Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Non-Recursive Filter"
Line 50: | Line 50: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | + | '''(1)''' Die Impulsantwort lautet: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ | |
− | : | + | Das Maximum liegt bei $T_{\rm A}$, d. h. es ist <$\underline{\nu = 1}$. |
− | + | '''(2)''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$. Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort | |
− | |||
− | |||
:$$h'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$ | :$$h'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$ | ||
− | + | ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang | |
:$$H'(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right).$$ | :$$H'(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right).$$ | ||
− | + | Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter: | |
:$$H(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$ | :$$H(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$ | ||
+ | Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge $H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. | ||
− | + | '''(3)''' Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle {g_\nu } \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle {h_\nu } \right\rangle = \left\langle {1, 2, 1 } \right\rangle$ ergibt | |
− | |||
− | |||
:$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;...\;} \right\rangle $$ | :$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;...\;} \right\rangle $$ | ||
− | + | und insbesondere $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: $y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$ | |
− | : | ||
− | + | '''(4)''' Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung: | |
:$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;} \right\rangle .$$ | :$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;} \right\rangle .$$ | ||
− | + | Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$. | |
− | + | <b>Anderer Lösungsweg:</b> | |
+ | *Die Eingangsfolge $\left\langle {s_\nu } \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$. | ||
+ | *Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe (2) den folgenden Wert: | ||
:$$H( {f = f_0 } ) = 2\left( {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$ | :$$H( {f = f_0 } ) = 2\left( {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$ | ||
− | + | *Lässt man den Einschwingungsvorgang (abgeschlossen bei $t = T_{\rm A}$) außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ (Phase: $90^\circ$) folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal: | |
− | |||
:$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$ | :$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$ | ||
− | + | *Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die <u>Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2</u>. | |
− | :Aus der Sinusfunktion wird die <u>Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2</u>. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} |
Revision as of 13:00, 19 April 2017
Betrachtet wird das nebenstehende nichtrekursive Filter mit den Filterkoeffizienten
- $$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$
Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden:
- die Gleichfolge
- $$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;...} \right\rangle .$$
- die Sinusfolge mit der Periodendauer $T_0 = 4 \cdot T_{\rm A}$:
- $$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;...} \right\rangle .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.
- Bezug genommen wird auch auf einige Kapitel im Buch Signaldarstellung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h(t)$. Die um $T_{\rm A}$ nach links verschobene Impulsantwort
- $$h'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$
ist symmetrisch um $t= 0$ und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang
- $$H'(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right).$$
Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter:
- $$H(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$
Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz $f=0$ ist demzufolge $H(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$.
(3) Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle {g_\nu } \right\rangle$ mit der Impulsantwort $\left\langle {h_\nu } \right\rangle = \left\langle {1, 2, 1 } \right\rangle$ ergibt
- $$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;...\;} \right\rangle $$
und insbesondere $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}$. Mit Ausnahme der Werte $y_0$ und $y_1$ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem konstanten Wert 4: $y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ) = 4 \cdot 1 = 4.$
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit $a_1$, $a_2$, $a_3$ und anschließender Überlagerung:
- $$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;} \right\rangle .$$
Der gesuchte Wert ist somit $y_4\hspace{0.15cm}\underline{ = -2}$.
Anderer Lösungsweg:
- Die Eingangsfolge $\left\langle {s_\nu } \right\rangle$ verläuft sinusförmig mit der Periode $4 \cdot T_{\rm A}$. Die Grundfrequenz ist dementsprechend $f_0 = 1/(4 \cdot T_{\rm A})$.
- Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang $H(f)$ gemäß Teilaufgabe (2) den folgenden Wert:
- $$H( {f = f_0 } ) = 2\left( {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$
- Lässt man den Einschwingungsvorgang (abgeschlossen bei $t = T_{\rm A}$) außer Betracht, so ergibt sich mit $\tau = T_{\rm A}$ (Phase: $90^\circ$) folgender Zusammenhang zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal:
- $$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$
- Das heißt: Aus der Sinusfunktion wird die Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2.