Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.3Z: High- and Low-Pass Filters in p-Form"
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− | '''(1)''' | + | '''(1)''' <u>Beide Aussagen</u> treffen zu: |
*Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte: | *Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte: | ||
:$$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm | :$$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm | ||
TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { | TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { | ||
− | =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{ | + | =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{1.2cm} |
\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm | \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm | ||
TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},$$ | TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm | :$$ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm | ||
− | HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{ | + | HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{1.4cm} |
\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm | \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm | ||
HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$ | HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | *Man erkennt, dass $H_{\rm TP}(p)$ für sehr hohe Frequenzen | + | *Man erkennt, dass $H_{\rm TP}(p)$ für sehr hohe Frequenzen Null ergibt und $H_{\rm HP}(p)$ für sehr niedrige Frequenzen. |
− | '''(2)''' Wir betrachten den Vierpol | + | |
+ | '''(2)''' Wir betrachten den Vierpol $(1)$. Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis | ||
:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} | :$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} | ||
{R + pL}= \frac { p } | {R + pL}= \frac { p } | ||
{p +{R}/{L}} | {p +{R}/{L}} | ||
\hspace{0.05cm} .$$ | \hspace{0.05cm} .$$ | ||
− | Es handelt sich um einen | + | Es handelt sich um einen $\rm Hochpass$ mit dem Kennparameter $\underline {K = 1}$ und der Nullstelle bei |
:$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega | :$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega | ||
s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} | s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} | ||
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− | '''(3)''' Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$: | + | |
+ | '''(3)''' Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$: | ||
:$$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } | :$$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } | ||
{{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} | {{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} | ||
|H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } | |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } | ||
{(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$ | {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$ | ||
− | Aus der Bedingung $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: | + | Aus der Bedingung $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: |
:$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} | :$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} | ||
f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$ | f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$ | ||
+ | |||
'''(4)''' Richtig ist die <u>erste Aussage</u>: | '''(4)''' Richtig ist die <u>erste Aussage</u>: | ||
− | *Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität $C$ ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt $C$ wie ein Kurzschluss. | + | *Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität $C$ ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt $C$ wie ein Kurzschluss. |
− | *Daraus folgt: Der Vierpol | + | *Daraus folgt: Der Vierpol $(3)$ beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen $(2)$ und $(4)$ Tiefpassverhalten. |
− | '''(5)''' Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol | + | '''(5)''' Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol $(3)$ lautet: |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } | :$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } | ||
{{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } | {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } |
Revision as of 18:11, 26 November 2018
Die Grafik zeigt vier einfache Filterkonfigurationen mit Tiefpass– bzw. Hochpasscharakteristik, die sich aus diskreten Bauelementen zusammensetzen.
Für die Bauelemente der Schaltungen $(1)$ und $(2)$ gelte:
- $$R = 100\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Vierpol–Schaltungen $(1)$, ... , $(4)$ sollen durch ihre $p$–Übertragungsfunktionen $H_{\rm L}(p)$ charakterisiert werden.
- Daraus ergibt sich (bei dieser Aufgabe, nicht allgemein) der Frequenzgang entsprechend der Gleichung
- $$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Beide Aussagen treffen zu:
- Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte:
- $$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{1.2cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},$$
- $$ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{1.4cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$
- Man erkennt, dass $H_{\rm TP}(p)$ für sehr hohe Frequenzen Null ergibt und $H_{\rm HP}(p)$ für sehr niedrige Frequenzen.
(2) Wir betrachten den Vierpol $(1)$. Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis
- $$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} {R + pL}= \frac { p } {p +{R}/{L}} \hspace{0.05cm} .$$
Es handelt sich um einen $\rm Hochpass$ mit dem Kennparameter $\underline {K = 1}$ und der Nullstelle bei
- $$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
(3) Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:
- $$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } {{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$
Aus der Bedingung $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
- $$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$
(4) Richtig ist die erste Aussage:
- Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität $C$ ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt $C$ wie ein Kurzschluss.
- Daraus folgt: Der Vierpol $(3)$ beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen $(2)$ und $(4)$ Tiefpassverhalten.
(5) Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol $(3)$ lautet:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac { R } {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } {p +{1}/{(RC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x}= -{1}/(RC)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = -\frac{1}{p_{\rm x} \cdot R}= \frac{-1}{-10^{-7 }\, 1/s \cdot 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,{\rm nF}} \hspace{0.05cm} .$$