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Exercise 4.7: About the Rake Receiver

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Zweiwegekanal & RAKE

Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:

r(t)=0.6s(t)+0.4s(tτ).

Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei  \tau = 1 \ \rm µ s. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten  K, \ h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}  und  \tau_{1}.

Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form

h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)

angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten  h_{0}, \ h_{1}, \ \tau_{0}  und  \tau_{1}  geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von  h_{\rm KR}(t)  soll bei  t = \tau  liegen.

Die Konstante  K  ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.

Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale  r(t)  und  b(t), wenn  s(t)  ein Rechteck der Höhe  1  und der Breite  T = 5 \ \rm µ s  beschreibt.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort  h_{\rm K}(t) ?

h_{\rm K}(t)  besteht aus zwei Diracfunktionen.
h_{\rm K}(t)  ist komplexwertig.
h_{\rm K}(t)  ist eine mit der Verzögerungszeit  \tau  periodische Funktion.

2

Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang  H_{\rm K}(f) ?

Es gilt  H_{\rm K}(f = 0) = 2.
H_{\rm K}(f)  ist komplexwertig.
|H_{\rm K}(f)|  ist eine mit der Frequenz  1/ \tau  periodische Funktion.

3

Setzen Sie  K = 1, \ h_{0} = 0.6  und   h_{1} = 0.4. Bestimmen Sie die Verzögerungen  \tau_{0}  und  \tau_{1}, damit die  h_{\rm KR}(t)–Gleichung mit  A_{0} = A_{2}  erfüllt wird.

\tau_{0} \ = \

\ \rm µ s
\tau_{1} \ = \

\ \rmµ s

4

Welcher Wert ist für die Konstante  K  zu wählen?

K \ = \

5

Welche Aussagen gelten für die Signale  r(t)  und  b(t) ?

Der Maximalwert von  r(t)  ist  1.
Die Breite von  r(t)  ist  7 \ \rm µ s.
Der Maximalwert von  b(t)  ist  1 \ \rm µ s.
Die Breite von  b(t)  ist  7 \ \rm µ s.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Impulsantwort  h_{\rm K}(t)  ergibt sich als das Empfangssignal  r(t), wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt  \Rightarrow s(t) = \delta(t).
  • Daraus folgt:
h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der Kanalfrequenzgang  H_{\rm K}(f)  ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort  h_{\rm K}(t). Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.
  • Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
  • H_{\rm K}(f)  ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit  1/\tau, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)
\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.
  • Für  f = 0  ist  |H_{\rm K}(f)| = 1. Im jeweiligen Frequenzabstand  1/\tau  wiederholt sich dieser Wert.


(3)  Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß  K = 1. Insgesamt kommt man über vier Wege von  s(t)  zum Ausgangssignal  b(t).

  • Um die vorgegebene  h_{\rm KR}(t)–Gleichung zu erfüllen, muss entweder  \tau_{0} = 0  gelten oder  \tau_{1}= 0. Mit  \tau_{0} = 0  erhält man für die Impulsantwort:
h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.
  • Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann  \tau_{1} = \tau  gewählt werden. Mit  h_{0} = 0.6  und  h_{1} = 0.4  erhält man dann  A_{0} \neq A_{2}:
h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.
  • Dagegen ergibt sich mit  h_{0} = 0.6h_{1} = 0.4,  \tau_{0} = \tau  und  \tau_{1} = 0:
h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.
  • Hier ist die Zusatzbedingung  A_{0} = A_{2}  erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.


(4)  Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung

K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.
  • Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort  (es gilt  0.24/0.52 = 6/13):
h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.


(5)  Für das Empfangssignal  r(t)  und für das RAKE–Ausgangssignal  b(t)  gelten:

Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers
r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},
b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) \hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} 1.00 \cdot s (t \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}\frac{6}{13} \cdot s (t \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.

Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die Grafik zeigt.

Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind  r(t)  und  b(t)  vergleichbar.