Applets:Eye Pattern and Worst-Case Error Probability

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Applet Description

The applet illustrates the eye pattern for different encodings 

• binary  (redundancy-free), 
• quaternary  (redundancy-free),
• pseudo–ternary:  (AMI and duobinary) 

and for various reception concepts 

• Matched Filter receiver, 
• CRO Nyquist system, 
• Gaussian low-pass filter.

The last reception concept leads to intersymbol interference, that is:  Neighboring symbols interfere with each other in symbol decision.

Such intersymbol interferences and their influence on the error probability can be captured and quantified very easily by the "eye pattern".  But also for the other two (without intersymbol interference) systems important insights can be gained from the graphs.

Furthermore, the most unfavorable ("worst case") error probability  

$$p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$$

is output, which for binary Nyquist systems is identical to the mean error probability  $p_{\rm M}$  and represents a suitable upper bound for the other system variants:  $p_{\rm U} \ge p_{\rm M}$.

In the  $p_{\rm U}$–equation mean:

• ${\rm Q}(x)$  is the  Complementary Gaussian Error Function.  The normalized eye opening can have values between  $0 \le ö_{\rm norm} \le 1$  .
• The maximum value  $(ö_{\rm norm} = 1)$  applies to the binary Nyquist system and  $ö_{\rm norm}=0$  represents a "closed eye".
• The normalized detection noise rms value  $\sigma_{\rm norm}$  depends on the adjustable parameter  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  but also on the coding and the receiver concept.

Theoretical Background

Systembeschreibung und Voraussetzungen

Für dieses Applet gilt das unten skizzierte Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:

• Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate  $R_{\rm B} = 1/T$, wobei  $T$  die Symboldauer angibt.
• Das Sendesignal  $s(t)$  ist zu allen Zeiten  $t$  gleich  $ \pm s_0$   ⇒   Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude  $s_0$  und Impulsdauer  $T$.

• Das Empfangssignal sei  $r(t) = s(t) + n(t)$, wobei der AWGN–Term  $n(t)$  durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0$  gekennzeichnet ist.
• Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden:  $H_{\rm K}(f) =1$.
• Das Empfangsfilter mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formt aus  $r(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$.
• Dieses wird vom Entscheider mit der Entscheiderschwelle  $E = 0$  zu den äquidistanten Zeiten  $\nu \cdot T$  ausgewertet.
• Es wird zwischen dem Signalanteil  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend von  $s(t)$  – und dem Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  unterschieden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen  $n(t)$  ist.
• $d_{\rm S}(t)$  kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um  $T$  verschobenen Detektionsgrundimpulsen  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  dargestellt werden.

• Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz  $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$  des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen).

Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall  $H_{\rm K}(f) =1$  mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit dem NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist. Die rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  hat dann die Dauer  $T_{\rm E} = T$  und die Höhe  $1/T$.

center|frame|Binäres Basisbandübertragungssystem;  die Skizze für  $h_{\rm E}(t)$  gilt nur für den Matched-Filter-Empfänger

• Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist dreieckförmig mit dem Maximum  $s_0$  bei  $t=0$ ; es gilt  $g_d(t)=0$  für  $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen   ⇒   $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$   ⇒   der Abstand aller Nutzabtastwerte von der Schwelle  $E = 0$  ist stets  $|d_{\rm S}(t = \nu \cdot T)| = s_0$.
• Die Detektionsrauschleistung ist bei dieser Konstellation:

$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t = N_0/(2T)=\sigma_{\rm MF}^2.$$

• Für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit der  Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$ :

$$p_{\rm M} = {\rm Q}\left[\sqrt{{s_0^2}/{\sigma_d^2}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right ] = {\rm Q}\left[\sqrt{2 \cdot E_{\rm B}/ N_0}\right ].$$

Das Applet berücksichtigt diesen Fall mit den Einstellungen  „nach Spalt–Tiefpass”  sowie  $T_{\rm E}/T = 1$. Die ausgegebenen Werte sind im Hinblick auf spätere Konstellationen

• die normierte Augenöffnung  $ö_{\rm norm} =1$   ⇒   dies ist der maximal mögliche Wert,
• der normierte Detektionsrauscheffektivwert (gleich der Wurzel aus der Detektionsrauschleistung)  $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$  sowie
• die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   bei impulsinterferenzfreien Systemen stimmen  $p_{\rm M}$  und   $p_{\rm U}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$

• Es gibt  $M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ Augen und eben so viele Schwellen   ⇒   $ö_{\rm norm} =1/(M\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1)$  ⇒   $M=4$:  Quaternärsystem,  $M=3$:  AMI-Code, Duobinärcode.
• Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.
• Beim AMI-Code und dem Duobinärcode hat dieser Verbesserungsfaktor, der auf das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  zurückgeht, den Wert  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang

right|frame|Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang

Wir setzen voraus, dass der Gesamtfrequenzgang zwischen der diracförmigen Quelle bis zum Entscheider den Verlauf eines  Cosinus-Rolloff-Tiefpasses  hat   ⇒   $H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ .

• Der Flankenabfall von  $H_{\rm CRO}(f)$  ist punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $1/(2T)$. Je größer der Rolloff-Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  ist, um so flacher verläuft die Nyquistflanke.
• Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot {\mathcal F}^{-1}\big[H_{\rm CRO}(f)\big]$  hat unabhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$  zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  Nullstellen.  Weitere Nulldurchgänge gibt es abhängig von  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$.  Für den Impuls gilt:

$$g_d(t) = s_0 \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} {\rm si}(\pi \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} t/T )\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\frac {\cos(\pi \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T )}{1 - (2 \cdot r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot t/T)^2}.$$

• Daraus folgt:  Wie beim Matched-Filter-Empfänger ist das Auge maximal geöffnet   ⇒   $ö_{\rm norm} =1$.

right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors Betrachten wir nun die Rauschleistung vor dem Entscheider. Für diese gilt:

$$\sigma_d^2 = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0/2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} {\rm d}f.$$

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion  $|H_{\rm E}(f)|^2$  für drei verschiedene Rolloff–Faktoren

• $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0$   ⇒   grüne Kurve,
• $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=1$   ⇒   rote Kurve,
• $r_{ \hspace {-0.05cm}f}=0.8$   ⇒   blaue Kurve.

Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung  $\sigma_d^2$.  Das grau hinterlegte Rechteck markiert den kleinsten Wert  $\sigma_d^2 =\sigma_{\rm MF}^2$, der sich auch mit dem Matched-Filter-Empfänger ergeben hat.
Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Rolloff–Faktor  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 0$  (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalen Empfangsfilters zu  $\sigma_d^2 =K \cdot \sigma_{\rm MF}^2$  mit  $K \approx 1.5$, da  $|H_{\rm E}(f)|^2$  mit wachsendem  $f$  steil ansteigt. Der Grund für diese Rauschleistungsanhebung ist die Funktion  $\rm si^2(\pi f T)$  im Nenner, die zur Kompensation des  $|H_{\rm S}(f)|^2$–Abfalls erforderlich ist.
  
• Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen Kurve, führt  $r_{\hspace{-0.05cm}f} = 1$  trotz dopplelt so breitem Spektrum zu einer kleineren Rauschleistung:  $K \approx 1.23$.  Für  $r_{\hspace{-0.05cm}f} \approx 0.8$ ergibt sich noch ein geringfügig besserer Wert. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
• Der normierte Detektionsrauscheffektivwert lautet somit für den Rolloff–Faktor  $r_{ \hspace {-0.05cm}f}$:   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{K(r_f)/(2 \cdot E_{\rm B}/ N_0)}$.
  
• Auch hier stimmt die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   exakt mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  überein.

$\text{Unterschiede bei den Mehrstufensystemen}$

Alle Anmerkungen im Abschnitt $2.2$ gelten in gleicher Weise für das „Nyquist–System mit Cosinus-Rolloff-Gesamtfrequenzgang”.

Impulsinterferenzbehaftetes System mit Gauß-Empfangsfilter

right|frame|System mit gaußförmigem Empfangsfilter

Wir gehen vom rechts skizzierten Blockschaltbild aus. Weiter soll gelten:

• Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$:

$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T).$$

• Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:

$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} f^2/(2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}f_{\rm G})^2 } \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm e}^{- \pi \cdot (2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} t)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der hier getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

right|frame|Frequenzgang und Impulsantwort des Empfangsfilters

$$g_d(t) = s_0 \cdot T \cdot \big [h_{\rm S}(t) \star h_{\rm G}(t)\big ] = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2} {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.02cm} \tau )^2} \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Integration führt zum Ergebnis:

$$g_d(t) = s_0 \cdot \big [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2} )\right ) \big ],$$

unter Verwendung der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u} \hspace{0.05cm}.$$

Das Modul  Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen  liefert die Zahlenwerte von  ${\rm Q} (x)$.

• Dieser Detektionsgrundimpuls bewirkt  Impulsinterferenzen.
• Darunter versteht man, dass die Symbolentscheidung durch die Ausläufer benachbarter Impulse beeinflusst wird. Während bei impulsinterferenzfreien Übertragungssystemen jedes Symbol mit gleicher Wahrscheinlichkeit – nämlich der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  – verfälscht wird, gibt es günstige Symbolkombinationen mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(v_{\nu} \ne q_{\nu}) < p_{\rm M}$.
• Andere Symbolkombinationen erhöhen dagegen die Verfälschungswahrscheinlichkeit erheblich.

right|frame|Binäres Auge $($Gaußtiefpass,  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.35)$. Die Impulsinterferenzen lassen sich durch das sogenannte  Augendiagramm  sehr einfach erfassen und analysieren. Diese stehen im Mittelpunkt dieses Applets. Alle wichtigen Informationen finden Sie  hier.

• Das Augendiagramm entsteht, wenn man alle Abschnitte des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  der Länge  $2T$  übereinander zeichnet. Die Entstehung können Sie sich im Programm mit „Einzelschritt” verdeutlichen.

• Ein Maß für die Stärke der Impulsinterferenzen ist die vertikale Augenöffnung. Für den symmetrischen Binärfall gilt mit  $g_\nu = g_d(\pm \nu \cdot T)$  und geeigneter Normierung:

$$ ö_{\rm norm} = g_0 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$$

• Mit größerer Grenzfrequenz stören sich die Impulse weniger und  $ ö_{\rm norm}$  nimmt kontinuierlich zu. Gleichzeitig wird bei größerem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  auch der (normierte) Detektionsrauscheffektivwert größer:

$$ \sigma_{\rm norm} = \sqrt{\frac{f_{\rm G}/R_{\rm B}}{\sqrt{2} \cdot E_{\rm B}/N_{\rm 0}}}.$$

• Die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}\left[ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm} \right ]$   ⇒   „Worst Case” liegt meist deutlich über der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$.

$\text{Unterschiede beim redundanzfreien Quaternärsystem}$

• Für  $M=4$  ergeben sich andere Grundimpulswerte.
  Beispiel:     Mit  $M=4, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.4$  sind Grundimpulswerte  $g_0 = 0.955, \ g_1 = 0.022$  identisch mit  $M=2, \ f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.8$.
• Es gibt nun drei Augenöffnungen und eben so viele Schwellen.  Die Gleichung für die normierte Augenöffnung lautet nun:   $ ö_{\rm norm} = g_0/3 -2 \cdot (|g_1| + |g_2| + \text{...}).$
• Der normierte Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist beim Quaternärsystem wieder um den Faktor  $\sqrt{5/9} \approx 0.745$  kleiner als beim Binärsystem.

Pseudoternärcodes

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol  $q_\nu$  ein Codesymbol  $c_\nu$  erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol  $q_\nu$  auch von den  $N_{\rm C}$  vorangegangenen Symbolen  $q_{\nu-1}$, ... , $q_{\nu-N_{\rm C}} $  abhängt.  $N_{\rm C}$  bezeichnet man als die Ordnung  des Codes.  Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass

• die Symboldauer  $T$  des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Quellensignals übereinstimmt, und
• Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.
  
  

center|frame|Blockschaltbild und Ersatzschaltbild eines Pseudoternärcoders|class=fit

Besondere Bedeutung besitzen Pseudoternärcodes   ⇒   Stufenzahl  $M = 3$, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist. Genaueres hierzu finden Sie im  $\rm LNTwww$–Theorieteil.  Fazit:

• Umcodierung von binär  $(M_q = 2)$  auf ternär  $(M = M_c = 3)$:

$$q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.5cm} c_\nu \in \{-1, \ 0, +1\}\hspace{0.05cm}.$$

• Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich:

$$ r_c = 1 -1/\log_2\hspace{0.05cm}(3) \approx 36.9 \%\hspace{0.05cm}.$$

Anhand des Codeparameters  $K_{\rm C}$  werden verschiedene Pseudoternärcodes erster Ordnung  $(N_{\rm C} = 1)$  charakterisiert.

right|frame|Signale bei der AMI-Codierung|class=fit $\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = 1\text{: AMI–Code}$  (von:   Alternate Mark Inversion)

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal  $q(t)$. Darunter sind dargestellt:

• das ebenfalls binäre Signal  $b(t)$  nach dem Vorcodierer, und
• das Codersignal  $c(t) = s(t)$  des AMI–Codes.

Man erkennt das einfache AMI–Codierprinzip:

• Jeder Binärwert  „–1”  von $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm L$  wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu = 0$  codiert.
  
• Der Binärwert  „+1”  von  $q(t)$   ⇒   Symbol  $\rm H$  wird alternierend mit  $a_\nu = +1$  und  $a_\nu = -1$  dargestellt.
  
  

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen  „+1”–  bzw.  „–1”–Sequenzen enthalten sind, was bei einem gleichsignalfreien Kanal problematisch wäre. 
left|frame|class=fit

Links ist das Augendiagramm dargestellt.

•  Es gibt zwei Augenöffnungen und zwei Schwellen.
•  Die normierte Augenöffnung ist  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1)$, wobei  $g_0 = g_d(t=0)$  den Hauptwert des Detektionsgrundimpulses bezeichnet und  $g_1 = g_d(t=\pm T)$  die relevanten Vor- und Nachläufer, die das Auge vertikal begrenzen.

•  Die normierte Augenöffnung ist somit deutlich kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem   ⇒   $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1$.
•  Der normierte Rauscheffektivwert  $\sigma_{\rm norm}$  ist um den Faktor  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$  kleiner als beim vergleichbaren Binäsystem.

right|frame|Signale bei der Duobinärcodierung|class=fit

$\Rightarrow \ \ K_{\rm C} = -1\text{: Duobinärcode}$ 

Aus der rechten Grafik mit den Signalverläufen erkennt man:

• Hier können beliebig viele Symbole gleicher Polarität  („+1” bzw. „–1”)  direkt aufeinanderfolgen   ⇒   der Duobinärcode ist nicht gleichsignalfrei. 
• Dagegen tritt beim Duobinärcode die alternierende Folge  „ ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... ”  nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist.
•  Auch die Duobinärcode–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Der Verbesserungsfaktor durch das kleinere  $E_{\rm B}/ N_0$  ist wie beim AMI-Code gleich  $\sqrt{1/2} \approx 0.707$.

left|frame|class=fit
Links ist das Augendiagramm dargestellt.

•  Es gibt wieder zwei „Augen” und zwei Schwellen.
•  Die Augenöffnung ist   $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 - g_1)$.

• $ö_{\rm norm}$  ist also größer als beim AMI–Code und auch wie beim vergleichbaren Binäsystem.
• Nachteilig gegenüber dem AMI–Code ist allerdings, dass er nicht gleichsignalfrei ist.

Exercises

• First select the number  $(1,\ 2, \text{...})$  of the exercise.  The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
• A task description is displayed.  The parameter values ​​are adjusted.  Solution after pressing "Show solution".
  

(1)  Explain the occurrence of the eye pattern for  $M=2 \text{, Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. For this, select "step–by–step".

•  The eye pattern is obtained by dividing the "useful" signal  $d_{\rm S}(t)$  (without noise) into pieces of duration  $2T$  and drawing these pieces on top of each other.
•  In  $d_{\rm S}(t)$  all  "five bit combinations"  must be contained   ⇒   at least  $2^5 = 32$  pieces   ⇒   at most  $32$  distinguishable lines.
•  The eye pattern evaluates the transient response of the signal.  The larger the (normalized) eye opening, the smaller are the intersymbol interferences.

(1)  Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für  $M=2 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.

•  Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t)$  in Stücke der Dauer  $2T$  unterteilt und diese Teile übereinander zeichnet.
•  In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $2^5 = 32$  Teilstücke   ⇒   maximal  $32$  unterscheidbare Linien.
•  Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (normierte) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

(2)  Same setting as in  $(1)$. In addition,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$.  Evaluate the output characteristics  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$,  and  $p_{\rm U}$.

•  $ö_{\rm norm}= 0.542$  indicates that symbol detection is affected by adjacent pulses. For binary systems without intersymbol interference:  $ö_{\rm norm}= 1$.
•  The eye opening indicates only the signal  $d_{\rm S}(t)$  witout noise.  The noise influence is captured by  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$ . This value should be as small as possible.
•  The error probability  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  refers solely to the "worst-case sequences", for Gaussian low–pass e.g.  $\text{...}\ , -1, -1, +1, -1, -1, \text{...}$.
•  Other sequences are less distorted   ⇒   the mean error probability  $p_{\rm M}$  is (usually) significantly smaller than $p_{\rm U}$  (describing the worst case).

(2)  Gleiche Einstellung wie in  (1). Zusätzlich gilt  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$  und  $p_{\rm U}$.

•  $ö_{\rm norm}= 0.542$  zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt  $ö_{\rm norm}= 1$.
•  Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch  $\sigma_{\rm norm}= 0.184$  erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
•  Die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 0.16\%)$  bezieht sich allein auf die „ungünstigsten Folgen”, bei „Gauß” z. B.  $-1, -1, +1, -1, -1$.
•  Andere Folgen werden weniger verfälscht   ⇒   die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$  (beschreibt den „Worst Case”).

(3)  The last settings remain.  With which  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  value does the worst case error probability  $p_{\rm U}$  become minimal?  Consider also the eye pattern.

•  The minimum value  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  is obtained for  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, and this is almost independent of the setting of  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
•  The normalized noise rms value does increase compared to the experiment  $(2)$  from  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  to  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$.
•  However, this is more than compensated by the larger eye opening  $ö_{\rm norm}= 0.91$  compared to  $ö_{\rm norm}= 0.542$  $($magnification factor $\approx 1.68)$.

(3)  Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal? Auch das Augendiagramm betrachten.

•  Der minimale Wert  $p_{\rm U, \ min} \approx 0.65 \cdot 10^{-4}$  ergibt sich für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
•  Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch  (2)  von  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  auf  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$  an.
•  Dies wird aber durch die größere Augenöffnung  $ö_{\rm norm}= 0.91$  gegenüber  $ö_{\rm norm}= 0.542$  mehr als ausgeglichen  $($Vergrößerungsfaktor $\approx 1.68)$.

Das erste Statement eventuell besser formulieren in "D(eutsch)" und "E".

Die optimale Grenzfrquenz  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$ ist unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.  $p_{\rm U, \ min}$ hängt natürlich davon stark ab.

(4)  Which cutoff frequencies  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  result in a completely inadequate error probability  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Look at the eye pattern again  ("Overall view").

•  For  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  we get a "closed eye"  $(ö_{\rm norm}= 0)$  and thus a worst case error probability on the order of  $50\%$.
•  The decision on unfavorably framed bits must then be random, even with low noise  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

(4)  Für welche Grenzfrequenzen  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch das Augendiagramm betrachten.

•  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von  $50\%$.
•  Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss dann zufällig erfolgen, auch bei geringem Rauschen  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

(5)  Now select the settings  $M=2 \text{, Matched Filter receiver, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  and  "Overall view". Interpret the results.

•  The basic detection impulse  $g_d(t)$  is triangular and the eye is "fully open".  Consequently, the normalized eye opening is  $ö_{\rm norm}= 1.$
•  From  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  it follows $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
•  This  $p_{\rm U}$ value is by a factor  $15$  better than in  $(3)$.   But:  For  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  this so–called "Matched Filter Receiver" is not applicable.

(5)  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Der Detektionsgrundimpuls ist dreieckförmig und das Auge vollständig geöffnet. Die normierte Augenöffnung ist demzufolge  $ö_{\rm norm}= 1.$
•  Aus $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  folgt $E_{\rm B}/N_0 = 10$   ⇒   $\sigma_{\rm norm} =\sqrt{1/(2\cdot E_{\rm B}/ N_0)} = \sqrt{0.05} \approx 0.224 $  ⇒   $p_{\rm U} = {\rm Q}(4.47) \approx 3.9 \cdot 10^{-6}.$
•  Dieser Wert ist um den Faktor  $15$  besser als in (3).   Aber:  Bei  $H_{\rm K}(f) \ne 1$  ist der Matched-Filter-Empfänger so nicht anwendbar.

(6)  Same settings as in  $(5)$.  Now vary  $T_{\rm E}/T$  in the range between  $0.5$  and  $1.5$.  Interpret the results.

•  For  $T_{\rm E}/T < 1$ ,  $ö_{\rm norm}= 1$  still holds.  But  $\sigma_{\rm norm}$  becomes larger, for example  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  for  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   the filter is too broadband!
•  For  $T_{\rm E}/T > 1$  results in a smaller  $\sigma_{\rm norm}$  compared to  $(5)$.  But the "eye" is no longer open, e.g.  $T_{\rm E}/T =1.25$:   $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

(6)  Gleiche Einstellung wie in  (5). Variieren Sie nun  $T_{\rm E}/T$  im Bereich zwischen  $0.5$  und  $1.5$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Für  $T_{\rm E}/T < 1$  gilt weiterhin  $ö_{\rm norm}= 1$. Aber  $\sigma_{\rm norm}$  wird größer, zum Beispiel  $\sigma_{\rm norm} = 0.316$  für  $T_{\rm E}/T =0.5$   ⇒   das Filter ist zu breitbandig!
•  Für  $T_{\rm E}/T > 1$  ergibt sich im Vergleich zu  (5)  ein kleineres  $\sigma_{\rm norm}$. Aber Das Auge ist nicht mehr geöffnet.  $T_{\rm E}/T =1.25$:  $ö_{\rm norm}= g_0 - 2 \cdot g_1 = 0.6$.

(7)  Now select the settings  $M=2 \text{, CRO Nyquist system, }r_f = 0.2$  and  "Overall view". Interpret the eye pattern, also for other  $r_f$ values.

•  Unlike  $(6)$  here the basic detection impulse is not zero for  $|t|>T$,  but  $g_d(t)$  has equidistant zero crossings:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   Nyquist system.
•  All  $32$  eye lines pass through only two points at  $t=0$.  The vertical eye opening is maximum for all  $r_f$    ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
•  In contrast, the horizontal eye opening increases with  $r_f$  and is for  $r_f = 1$  maximum equal to  $T$   ⇒   the phase jitter has no influence in this case.

(7)  Wählen Sie nun die Einstellungen  $M=2 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.2$  sowie „Auge – Gesamt”. Interpretieren Sie das Augendiagramm, auch für andere  $r_f$–Werte.

•  Im Gegensatz zu  (6)  ist hier der Grundimpuls für  $|t|>T$  nicht Null, aber  $g_d(t)$  hat äquidistane Nulldurchgänge:  $g_0 = 1, \ g_1 = g_2 = 0$   ⇒   Nyquistsystem.
•  Alle  $32$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur zwei Punkte. Die vertikale Augenöffnung ist für alle  $r_f$  maximal   ⇒    $ö_{\rm norm}= 1$.
•  Dagegen nimmt die horizontale Augenöffnung mit  $r_f$  zu und ist  $r_f = 1$  maximal gleich  $T$   ⇒   Phasenjitter hat in diesem Fall nur geringen Einfluss.

(8)  Same setting as in  $(7)$.  Now vary  $r_f$  with respect to minimum error probability.  Interpret the results.

• $ö_{\rm norm}= 1$  always holds.  In contrast,  $\sigma_{\rm norm}$  shows a slight dependence on  $r_f$.  The minimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  results for  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
•  Compared to the best possible case according to  $(5)$   ⇒   "Matched Filter Receiver"  $p_{\rm U}$  is three times larger, although  $\sigma_{\rm norm}$  is only larger by about  $5\%$.
•  The larger  $\sigma_{\rm norm}$ value is due to the exaggeration of the noise PDS to compensate for the drop through the transmitter frequency response  $H_{\rm S}(f)$.

(8)  Gleiche Einstellung wie in  (7). Variieren Sie nun  $r_f$  im Hinblick auf minimale Fehlerwahrscheinlichkeit. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  $ö_{\rm norm}= 1$  gilt stets. Dagegen zeigt  $\sigma_{\rm norm}$  eine leichte Abhängigkeit von  $r_f$.  DasMinimum  $\sigma_{\rm norm}=0.236$  ergibt sich für  $r_f = 0.9$   ⇒   $p_{\rm U} \approx 1.1 \cdot 10^{-5}.$
•  Gegenüber dem bestmöglichen Fall gemäß  (5)  „Matched–Filter–Empfänger” ist  $p_{\rm U}$  dreimal so groß, obwohl  $\sigma_{\rm norm}$  nur um ca.  $5\%$  größer ist.
•  Der größere  $\sigma_{\rm norm}$–Wert geht auf die Überhöhung des Rausch–LDS zurück, um den Abfall durch den Sender–Frequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  auszugleichen.

In "D, Musterlösung 2. Statement": (7) ändern in (5)

(9)  Select the settings  $M=4 \text{, Matched Filter receiver, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  and  $12 \ {\rm dB}$.  Interpret the results.

•  Now there are three eye openings.  Compared to  $(5)$  thus  $ö_{\rm norm}$  is smaller by a factor of  $3$.  $\sigma_{\rm norm}$  on the other hand, only by a factor of  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
•  For  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  the error probability is  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  and for  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  approx.  $0.59\%$.

(9)  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Spalt–TP, }T_{\rm E}/T = 1$,  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  und  $12 \ {\rm dB}$.  Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  Es gibt nun drei Augenöffnungen. Gegenüber  (5)  ist also  $ö_{\rm norm}$  um den Faktor  $3$  kleiner,  $\sigma_{\rm norm}$  dagegen nur um etwa den Faktor  $\sqrt{5/9)} \approx 0.75$.
•  Für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$  ergibt sich nun die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2.27\%$  und für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$  nur mehr  $0.59\%$.

In "D, Musterlösung 2. Statement": (nur mehr) ändern in (sogar)

(10)  For the remaining tasks, always  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Consider the eye pattern  ("overall view")  for  $M=4 \text{, CRO Nyquist system, }r_f = 0.5$.

•  In the analyzed  $d_{\rm S}(t)$  region all  "five symbol combinations"  must be contained   ⇒   minimum  $4^5 = 1024$  parts   ⇒   maximum  $1024$  distinguishable lines.
•  All  $1024$  eye lines pass through only four points at  $t=0$ :   $ö_{\rm norm}= 0.333$.  $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  is slightly larger than in  $(9)$  ⇒   $p_{\rm U} \approx 1\%$.

(10)  Für die restlichen Aufgaben gelte stets  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Betrachten Sie das Augendiagramm für  $M=4 \text{, CRO–Nyquist, }r_f = 0.5$.

•  In  $d_{\rm S}(t)$  müssen alle „Fünf–Symbol–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $4^5 = 1024$  Teilstücke   ⇒   maximal  $1024$  unterscheidbare Linien.
•  Alle  $1024$  Augenlinien gehen bei  $t=0$  durch nur vier Punkte:  $ö_{\rm norm}= 0.333$. $\sigma_{\rm norm} = 0.143$  ist etwas größer als in  (9)  ⇒   ebenso  $p_{\rm U} \approx 1\%$.

(11)  Select the settings  $M=4 \text{, Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  and vary  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.  Interpret the results.

•  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  leads to the minimum error probability  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  $\text{Compromise between}$  $ö_{\rm norm}= 0.312$  and  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
•  If the cutoff frequency is too small, intersymbol interference dominates.  Example:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
•  If the cutoff frequency is too high, noise dominates.  Example:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
•  From the comparison with  $(9)$  one can see:  $\text{With quaternary coding it is more convenient to allow intersymbol interference}$.

(11)  Wählen Sie die Einstellungen  $M=4 \text{, nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  und variieren Sie  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$.   Interpretieren Sie die Ergebnisse.

•  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.48$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 0.21\%$.  Kompromiss zwischen  $ö_{\rm norm}= 0.312$  und  $\sigma_{\rm norm}= 0.109$.
•  Bei zu kleiner Grenzfrequenz dominieren die Impulsinterferenzen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 0.3$:  $ö_{\rm norm}= 0.157; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.086$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 3.5\%$.
•  Bei zu großer Grenzfrequenz dominiert das Rauschen.  Beispiel:  $f_{\rm G}/R_{\rm B}= 1.0$:  $ö_{\rm norm}= 0.333; $ $\sigma_{\rm norm}= 0.157$  ⇒    $p_{\rm U} \approx 1.7\%$.
•  Aus dem Vergleich mit  (9)  erkennt man:  Bei Quaternärcodierung ist es günstiger, Impulsinterferenzen zuzulassen.

(12)  What differences does the eye pattern show for  $M=3 \text{ (AMI code), Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  compared to the binary system  $(1)$? Interpretation.

•  The basic detection impulse  $g_d(t)$  is the same in both cases.  The sample values are respectively  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
•  With the AMI code, there are two eye openings each  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  With the binary code:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
•  The AMI sequence consists of  $50\%$  zeros.  The symbols  $+1$  and  $-1$  alternate   ⇒   there is no long  $+1$  sequence and no long  $-1$  sequence.
•  Therein lies the only advantage of the AMI code:  This can also be applied to a channel with  $H_{\rm K}(f= 0)=0$  ⇒   a DC signal is suppressed.

(12)  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (AMI-Code), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.48$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem? Interpretation.

•  Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist in beiden Fällen gleich. Die Abtastwerte sind jeweils  $g_0 = 0.771, \ g_1 = 0.114$.
•  Beim AMI–Code gibt es zwei Augenöffnungen mit je  $ö_{\rm norm}= 1/2 \cdot (g_0 -3 \cdot g_1) = 0.214$.  Beim Binärcode:  $ö_{\rm norm}= g_0 -2 \cdot g_1 = 0.543$.
•  Die AMI–Folge besteht zu 50% aus Nullen. Die Symbole  $+1$  und  $-1$  wechseln sich ab   ⇒   es gibt keine lange  $+1$–Folge und keine lange  $-1$–Folge.
•  Darin liegt der einzige Vorteil des AMI–Codes:  Dieser kann auch bei einem gleichsignalfreien Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$  angewendet werden.

(13)  Same setting as in  $(12)$.  Select additionally  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$.  Analyze the worst-case error probability of the AMI code.

•  Despite smaller  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  the AMI code has higher error probability  $p_{\rm U} \approx 2\%$  than the binary code:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
•  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  results in a closed eye  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$.  With binary coding:  For  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  the eye is open.

(13)  Gleiche Einstellung wie in  (12), zudem  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12 \ {\rm dB}$. Analysieren Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit des AMI–Codes.

•  Trotz kleinerem  $\sigma_{\rm norm} = 0.103$  hat der AMI–Code eine höhere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2\%$  als der Binärcode:  $\sigma_{\rm norm} = 0.146, \ p_{\rm U} \approx \cdot 10^{-4}.$
•  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.34$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  ⇒    $p_{\rm U} =50\%$. Beim Binärcode:  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}>0.34$  ist das Auge geöffnet.

(14)  What differences does the eye pattern show for  $M=3 \text{ (Duobinary code), Gaussian low-pass, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  compared to the binary system  (1)? Interpretation.

•  With redundancy-free binary code:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\% $.   With Duobinary code:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\% $.
• In particular, with small  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  the Duobinary code gives good results, since the transitions from  $+1$  to  $-1$  (and vice versa) are absent in the eye pattern.
• Even with  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  the eye is open.  But in contrast to AMI  the Duobinary code is not applicable with a DC-free channel   ⇒   $H_{\rm K}(f= 0)=0$.

(14)  Welche Unterschiede zeigt das Auge für  $M=3 \text{ (Duobinärcode), nach Gauß–TP, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.30$  gegenüber dem vergleichbaren Binärsystem?

•  Redundanzfreier Binärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.096, \ \sigma_{\rm norm} = 0.116 \ p_{\rm U} \approx 20\% $       Duobinärcode:  $ö_{\rm norm}= 0.167, \ \sigma_{\rm norm} = 0.082 \ p_{\rm U} \approx 2\% $.
• Insbesondere bei kleinem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$  liefert der Duobinärcode gute Ergebnisse, da die Übergänge von  $+1$  nach  $-1$  (und umgekehrt) im Auge fehlen.
• Selbst mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B}=0.2$  ist das Auge noch geöffnet. Im Gegensatz zum AMI–Code  ist aber „Duobinär” bei gleichsignalfreiem Kanal nicht anwendbar.

Applet Manual

right|600px     (A)     Auswahl:   Codierung
                   (binär,  quaternär,  AMI–Code,  Duobinärcode)

    (B)     Auswahl:   Detektionsgrundimpuls
                    (nach Gauß–TP,  CRO–Nyquist,  nach Spalt–TP}

    (C)     Prametereingabe zu  (B)
                   (Grenzfrequenz,  Rolloff–Faktor,  Rechteckdauer)

    (D)     Steuerung der Augendiagrammdarstellung
                   (Start,  Pause/Weiter,  Einzelschritt,  Gesamt,  Reset)

    (E)     Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

    (F)     Darstellung:  Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$

    (G)     Darstellung:  Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

    (H)     Darstellung:  Augendiagramm im Bereich  $\pm T$

    ( I )     Numerikausgabe:  $ö_{\rm norm}$  (normierte Augenöffnung)

    (J)     Prametereingabe  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$  für  (K)

    (K)     Numerikausgabe:  $\sigma_{\rm norm}$  (normierter Rauscheffektivwert)

    (L)     Numerikausgabe:  $p_{\rm U}$  (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

    (M)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    (N)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (O)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden

About the Authors

This interactive calculation tool was designed and implemented at the  Institute for Communications Engineering  at the  Technical University of Munich.

• The first version was created in 2008 by Thomas Großer  as part of his diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: Günter Söder).

• Last revision and English version 2020/2021 by  Carolin Mirschina  in the context of a working student activity.  Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by  Studienzuschüsse  ("study grants")  of the TUM Faculty EI.  We thank.

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