Exercise 1.2Z: Bit Error Measurement

From LNTwww


P ID1265 Dig Z 1 2.png

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$ eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER) $$h_{\rm B} = \frac {n_{\rm B}}{N}$$ simulativ ermittelt. Oftmals wird hB auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.

In obigen Gleichungen bedeuten

  • EB : Energie pro Bit,
  • N0 : AWGN–Rauschleistungsdichte,
  • nB : Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
  • N : Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit N = 64000, N = 128000 und N = 1.6 Millionen. Die letzte mit N → ∞ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB wieder.

Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

  • Die Bitfehlerhäufigkeit hB ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert mh = pB und der Varianz σh2pB/N.
  • Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt

$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

  • Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl nB der gemessenen Bitfehler mindestens 100 sein sollte.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2 .


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von N.
Je größer N ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
Je größer N ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.

2

Geben Sie die Streuung σh für verschiedene N an. 10 · lg EB/N0 = 0 dB.

$N = 64.000: σ_h$ =

$\cdot 10^{ -3 }\ $
$N = 1.600.000: σ_h $ =

$\cdot 10^{ -4 }\ $

3

Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für 10 · lg EB/N0 = 0 dB?

$N = 64.000: ε_{rel} $=

$\% $
$N = 1.600.000: ε_{rel} $=

$\% $

4

Geben Sie die Streuung σh für verschiedene N an. 10 · lg EB/N0 = 9 dB.

$N = 64.000: σ_h $=

$\cdot 10^{ -5 }\ $
$N = 1.600.000: σ_h $=

$\cdot 10^{ -6 }\ $

5

Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für 10 · lg EB/N0 = 9 dB?

$N = 64.000: ε_{rel} $=

$\% $
$N = 1.600.000: ε_{rel} $=

$\% $

6

Bis zu welchem (logarithmischen) EB/N0–Wert ist N = 1.6 Millionen aufgrund der Bedingung $n_B$ $\ge$ 100 ausreichend?

Maximum für 10 · lg $EB/N0 $=

$dB $


Musterlösung

(1) Natürlich wird die Genauigkeit der BER–Messung durch den Parameter N in starkem Maße beeinflusst. Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für 10 · lg EB/N0 = 6 dB zeigen: Bei N = 64000 (hB = 0.258 · 10–2) ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert 0.239 · 10–2 geringer als bei N = 128000 (hB = 0.272 · 10–2). Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag: Im statistischen Mittel wird die BER–Messung natürlich besser, wenn man N erhöht: Nur die Aussage 2 trifft zu.

(2) Bei 10 · lg EB/N0 = 0 dB, also EB = N0, erhält man folgende Werte:


(3)  (4)  (5)  (6)