View source for Aufgaben:Exercise 2.8: Code Comparison: Binary, AMI and 4B3T


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes
}}


[[File:P_ID1355__Dig_A_2_8.png|right|frame|Augendiagramme von verschiedenen Codes]]
In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0.8$&nbsp; zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten):
*der redundanzfreie Binärcode,
*der AMI–Code (ca. &nbsp;$37 \%$&nbsp; Redundanz),
*der 4B3T–Code (ca. &nbsp;$16&nbsp; \%$ Redundanz).


Weiter kann von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:
*Es liegt AWGN–Rauschen vor, wobei gilt:
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} ({s_0^2 \cdot T}/{N_0}) = 10\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
*Die Detektionsstörleistung hat beim Binärsystem folgenden Wert (wegen des nicht optimalen Empfangsfilters &nbsp;$12 \%$–Aufschlag):
:$$\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T})\hspace{0.05cm}.$$
*Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems lautet:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$
*Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme:
:$$p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( s_0/(2 \sigma_d) \right) \hspace{0.05cm}.$$
*Zu berücksichtigen ist, dass sich der Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_{d}$&nbsp; gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem durchaus verändern kann.






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]].
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes|Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes]].
 
*Zur numerischen Auswertung der Q–Funktion können Sie das interaktve Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; verwenden.



===Fragebogen===

<quiz display=simple>

{Berechnen Sie den (normierten) Rauscheffektivwert für das '''Binärsystem'''.
|type="{}"}
$\sigma_{d}/s_{0} \ = \ $ { 0.237 3% }


{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems?
|type="{}"}
$\ p_{\rm S} \ = \ $ { 1.22 3% } $\ \cdot 10^{-5}$


{Wie groß ist der Rauscheffektivwert beim System mit '''AMI–Codierung'''?
|type="{}"}
$\sigma_{d}/s_{0} \ = \ $ { 0.237 3% }


{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei AMI–Codierung?
|type="{}"}
$\ p_{\rm S} \ = \ $ { 2.32 3% } $\ \%$


{Welcher Rauscheffektivwert ergibt sich bei Verwendung des '''4B3T–Codes'''?
|type="{}"}
$\sigma_{d}/s_{0} \ = \ $ { 0.205 3% }

{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des 4B3T–Codes?
|type="{}"}
$\ p_{\rm S} \ = \ $ { 1.11 3% } $\ \%$

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Aus dem angegebenen S/N-Verhältnis erhält man:
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}({s_0^2 \cdot T}/{N_0}) = 10\, {\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{10}$$
:$$ \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T}) = 0.056 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_d}/{s_0} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.237}\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Daraus folgt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des binären redundanzfreien Referenzsystems:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right)\approx {\rm Q}(4.22)\hspace{0.15cm}\underline { = 1.22 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Die Symboldauer $T$ des AMI–codierten Signals ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des Binärsignals. Deshalb ändert sich an den Bandbreitenverhältnissen nichts und man erhält den gleichen Rauscheffektivwert wie unter Punkt '''(1)''' berechnet:
:$${ \sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.237} \hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp;  Aufgrund der ternären Entscheidung wird das Argument der Q–Funktion halbiert:
:$$p_{\rm S} \approx{4}/{3}\cdot {\rm Q}(2.11)={4}/{3} \cdot 1.74 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 2.32 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
Der Faktor $4/3$ berücksichtigt hierbei, dass das innere Symbol $0$ nach zwei Richtungen hin verfälscht werden kann.


'''(5)'''&nbsp; Bei Anwendung einer 4B3T–Codierung wird die Symbolrate um $25 \%$ verringert. Um den gleichen Faktor $0.75$ wird dadurch die Rauschleistung kleiner als unter '''(1)''' und '''(3)''' berechnet. Daraus folgt:
:$${ \sigma_d}/{s_0} = \sqrt{0.75} \cdot 0.237 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.205} \hspace{0.05cm}.$$


'''(6)'''&nbsp; Aufgrund des kleineren Rauscheffektivwertes ergibt sich nun eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit dem AMI–Code:
:$$p_{\rm S} \approx {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{0.5}{ 0.205} \right) = {4}/{3} \cdot 0.833 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.11 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
Die deutlich kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit des redundanzfreien Binärcodes kann der 4B3T–Code aufgrund der ternären Entscheidung (halbe Augenöffnung) jedoch nicht erreichen.
{{ML-Fuß}}



[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^2.4 Pseudoternärcodes^]]