Exercise 4.16Z: Multi-dimensional Data Reduction

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Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen x, y und z mit den Dimensionen N = 1, N = 2 und N = 3:
  • Die eindimensionale Zufallsgröße x ist durch die Varianz σ2 = 1 bzw. die Streuung σ = 1 charakterisiert. Wegen der Dimension N = 1 gilt x = x.
  • Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten y1 und y2 der 2D-Zufallsgröße y beträgt ρ = 1/3 (siehe Matrix Ky). y1 und y2 weisen ebenfalls die Streuung σ = 1 auf.
  • Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße z ist durch die Korrelationsmatrix Kz vollständig bestimmt.
Quantisiert man die Zufallsgröße x im Bereich zwischen –4 und +4 mit Intervallbreite Δx = 1/32, so gibt es insgesamt N1 = 256 unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit n1 = 8 Bit benötigt würden.
Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße y insgesamt N2 = 2562 = 65536 unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen y1 und y2 nicht berücksichtigt. Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem (y1, y2) zum neuen System (η1, η2) – ergibt sich eine geringere Zahl N2' quantisierter Wertepaare.
Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung (σ1 bzw. σ2) im Bereich von –4σi bis +4σi zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen: Δx = Δy = 1/32.
Den Quotienten N2'/N2 bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße y. In analoger Definition ist N3'/N3 der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße z für Δx = Δy = Δz = 1/32. Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert günstig ist.
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die Seite Eigenwerte und Eigenvektoren im Kapitel 4.7. Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von Kz lautet:
$$\lambda^3 - 3 \lambda^2 + \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$
Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist λ1 = 5/3.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix Ky. Es gelte λ1λ2.

$\lambda_1$ =

$\lambda_2$ =

2

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße y?

$N_2'/N_2$ =

3

Es gelte λ1 = 5/3. Berechnen Sie die Eigenwerte λ2 und λ3λ2 von Kz.

$\lambda_2$ =

$\lambda_3$ =

4

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße z?

$N_3'/N_3$ =


Musterlösung

1.  Aus der Bedingung Kyλ · E = 0 folgt:
$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 1/3 \\ 1/3 & 1- \lambda \end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -\frac{1}{9} = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ \frac{8}{9}= 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm \sqrt{1-\frac{8}{9}}= 1 \pm \frac{1}{3}.$$
Die Eigenwerte dieser 2×2-Matrix sind somit λ1 = 4/3 und λ2 = 2/3.
2.  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es
$$N_2 = \left( \frac{8}{\it \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$$
verschiedene Wertepaare. Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten η1 und η2 jeweils im Bereich von –4σ1 bis +4σ1 (bzw. von –4σ2 bis +4σ2) zu quantisieren sind, erhält man
$$N_2' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 .$$
Der Quotient lautet somit mit σ12 = λ1 und σ22 = λ2:
$$\frac{N_2'}{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}} \cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$
3.  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von Kz lautet:
$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1-\lambda & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1-\lambda \end{array}\right] = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 - \frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) - \frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} - \frac{1}{3}(1- \lambda) \right] = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+ \frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} ( \lambda - \frac{2}{3})= 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} - \lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} + \frac{2}{9}\lambda = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 + \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$
Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen: <nobr>λ1 = 5/3.</nobr> Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte λ2 und λ3 zu
$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 - {4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:
$$(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$$
Die weiteren Eigenwerte neben λ1 = 5/3 sind somit gleich und ergeben sich zu λ2 = λ3 = 2/3.
4.  Analog zur Vorgehensweise unter Punkt b) ergibt sich hier:
$$\frac{N_3'}{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot \lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$