Signal Representation/General Description

1. Signal Representation
2. Periodic Signals
3. General Description

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# OVERVIEW OF THE SECOND MAIN CHAPTER #

In this chapter  periodic signals  are considered and described mathematically in the time and frequency domain.

This chapter contains in detail:

• Some basic terms like  period duration, fundamental frequency  and  circular frequency,
• the properties of a  equal signal  as a boundary case of a periodic signal,
• the definition and interpretation of the  Dirac function,
• the spectral representation of a  equal signal  or a  equal signal component,
• the time– and frequency representation of   harmonic oscillations, and finally
• the application of  Fourier series  for spectral analysis of periodic signals.

Further information on the topic as well as tasks, simulations and programming exercises can be found in

• Chapter 6: Linear and Time Invariant Systems  (Program lzi)

of the lab „Simulation Methods in Communication Engineering”. This former LNT course at the TU Munich is based on

• the educational software package  LNTsim    ⇒   Link points to the ZIP version of the program, and
• this   lab instruction    ⇒   Link refers to the PDF version of ;  chapter 6:  page 99-118.

Features and Applications

Periodic signals are of great importance for communications engineering:

• They belong to the class of deterministic signals, whose time function can be specified in analytical form.
• Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten  $t$  bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar.
• Sie sind daher niemals informationstragende Signale.

Trotzdem werden periodische Signale oft auch in der Nachrichtentechnik benötigt, zum Beispiel

• für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
• für die Synchronisation und Taktregenerierung bei Digitalsystemen,
• als Test– und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.

Oszilloskopbild von Cosinus- und Dreiecksignal

$\text{Beispiel 1:}$  Auf dem Oszilloskopbild sehen Sie zwei typische Vertreter periodischer Signale:

• oben ein Cosinussignal,
• unten ein Dreiecksignal.

Wie aus den eingeblendeten Einstellungen ersichtlich ist, beträgt bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.

Definition und Parameter

Bevor wir uns den Signalparametern eines periodischen Signals zuwenden, soll der Begriff „Periodizität” eindeutig definiert werden:

$\text{Definition:}$  Ein  periodisches Signal  $x(t)$  liegt dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von  $t$  und alle ganzzahligen Werte von  $i$  mit einem geeigneten  $T_{0}$  gilt:

$$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t).$$

Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:

• Die  Periodendauer  $T_{0}$  gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
• Die  Grundfrequenz  $f_{0} = 1/T_{0}$  beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde).
• Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker  Heinrich Hertz.
• Die  Grundkreisfrequenz  $\omega_{0}$  stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird.
• Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:

$$\omega_{0}=2\pi f_{0} = {2\pi}/{T_{0}}.$$

Zur Definition von Periodendauer, Grundfrequenz und Kreisfrequenz

$\text{Beispiel 2:}$  Dargestellt ist hier ein periodisches Zeitsignal:

• Die Periodendauer beträgt  $T_{0} = 2.5 \ \rm ms$.
• Daraus berechnet sich die Grundfrequenz  $f_0 = 400 \ \rm Hz$.
• Die Grundkreisfrequenz ergibt sich zu  $\omega_{0}=2513 \ \rm 1/s.$

Resultierende Periodendauer

Besteht ein Signal  $x(t)$  aus der Summe zweier periodischer Signale  $x_{1}(t)$  und  $x_{2}(t)$  mit den Periodendauern  $T_{1}$  bzw.  $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von  $T_{1}$  und  $T_{2}$.

• Diese Aussage gilt unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen.
• Besitzen  $T_{1}$  und  $T_{2}$  dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches  $($Beispiel:  $T_{2} = \pi \cdot T_{1})$, so ist das Summensignal  $x(t)$  im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten  $x_{1}(t)$  und  $x_{2}(t)$  nicht periodisch.

$\text{Beispiel 3:}$  Addiert werden ein cosinusförmiges Signal  $x_{1}(t)$  mit der Periodendauer  $T_{1} = 2\; {\rm ms}$  (blauer Signalverlauf)  und ein Sinussignal  $x_{2}(t)$  mit der Periodendauer  $T_{2} = 5\; {\rm ms}$  und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).

Resultierende Periodendauer der Summe aus Cosinus– und Sinussignal

• Das (rote) Summensignal  $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$  weist dann die resultierende Periodendauer  $T_{0} = 10\; {\rm ms}$  auf   ⇒   Grundfrequenz  $f_{0} = 100\; {\rm Hz}$.
• Die Frequenz  $f_{0}$  selbst ist in  $x(t)$  nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich  $f_{1} = 500\; {\rm Hz}$  und  $f_{2} = 200\; {\rm Hz}$.

Mit dem interaktiven Applet  Periodendauer periodischer Signale  lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.1: Gleichrichtung

Aufgabe 2.1Z: Summensignal