LNTwww - User contributions [en]

Mobile Communications/LTE-Advanced - a Further Development of LTE

2017-01-25T21:34:46Z

Ayush:

{{LastPage}}
{{Header
|Untermenü=LTE – Long Term Evolution
|Vorherige Seite=Bitübertragungsschicht bei LTE
|Nächste Seite=
}}

== Wie schnell ist LTE wirklich? ==
 
Von bereits etablierten kabelbasierten Diensten wie DSL (Digital Subscriber Line) ist der Verbraucher gewöhnt, die angebotene Geschwindigkeit (zumindest weitgehend) auch nutzen zu können.
*Wie verhält es sich jedoch bei LTE? 

*Welche Datenraten kann der einzelne LTE–Nutzer tatsächlich erreichen? 

Für die Provider von Mobilfunksystemen ist es sehr viel schwieriger, konkrete Angaben zur Datenrate zu machen, da bei einer Funkverbindung viele schwer vorhersagbare Einflüsse zu berücksichtigen sind. 

Wie bereits im [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Technische_Neuerungen_von_LTE#Mehrantennensysteme_.282.29 Kapitel 4.2] beschrieben, sind nach derzeitiger Planung (2011) mit LTE im Downlink Datenraten bis zu 326 Mbit/s möglich und im Uplink ca. 86 Mbit/s. Dabei handelt es sich aber nur um maximal erreichbaren Werte. In der Realität wird aber die Geschwindigkeit von einer Vielzahl von Faktoren beeinflusst. Wir beziehen uns im Folgenden auf den Downlink – siehe [Gut10]<ref>Gutt, E.: ''LTE – eine neue Dimension mobiler Breitbandnutzung.'' [http://www.ltemobile.de/uploads/media/LTE_Einfuehrung_V1.pdf PDF-Dokument im Internet], 2010.</ref>:
*Da LTE ein sogenanntes Shared Medium ist, müssen sich alle Teilnehmer einer Zelle die gesamte Datenrate von 326 Mbit/s teilen. Zu beachten ist, dass Sprachübertragung oder eine normale Nutzung des Internets weniger Verkehr erzeugt als zum Beispiel Filesharing oder Ähnliches. 

*Je schneller sich ein Nutzer bewegt, desto geringer wird die ihm verfügbare Datenrate sein. Ein elementarer Bestandteil der LTE–Spezifikation ist, dass für eine Mobilität bis 15 km/h jeweils die höchsten Datenraten garantiert werden und bis 300 km/h zumindest noch &bdquo;gute Funktionalität”. 

*Die höchste theoretische Datenrate kann nur in nächster Nähe zur Basisstation erreicht werden. Je weiter ein Teilnehmer von dieser entfernt ist, desto geringer wird die ihm zugewiesene Datenrate, was u. a. auf das Umschalten von 64–QAM bzw. 16–QAM auf 4–QAM (QPSK) zu erklären ist. 

*Eine Abschirmung durch Wände und Gebäude oder das Vorhandensein von Störquellen jeglicher Art begrenzen die erreichbare Datenrate. Optimal wäre eine Sichtverbindung zwischen Empfänger und Basisstation (englisch: Line of Sight, LoS), ein Szenario, das eher selten anzutreffen ist. 

Die Realität sah im Sommer 2011 wie folgt aus: LTE ist bereits in einigen Ländern (zumindest testweise) verfügbar. Dazu gehören außer dem LTE–Vorreiter Schweden auch die USA und Deutschland. In verschiedenen Tests wurden Download–Geschwindigkeiten zwischen 5 und 12 Mbit/s erreicht, bei sehr guten Bedingungen bis zu 40 Mbit/s. Details finden Sie in einem [http://money.cnn.com/2011/05/25/technology/att_4g_lte/index.htm PDF–Dokument] von CNN. 

Darüber hinaus schien das 2011 existierende LTE–Netz aufgrund von zu hohen Verzögerungszeiten und den daraus resultierenden gelegentlichen Verbindungsunterbrechungen noch nicht bereit, die etablierten kabelgebundenen Internetanschlüsse zu ersetzen. Die Entwicklung auf diesem Gebiet schreitet jedoch mit Riesenschritten voran, so dass diese Information vom Sommer 2011 nicht allzu lang aktuell sein dürfte. 

== Einige Systemverbesserungen durch LTE–Advanced (1) ==
 
Während im Sommer 2011 die ersten LTE–Systeme entsprechend dem Release 8 vom Dezember 2008 langsam auf den Markt kamen, stand der Nachfolger bereits vor der Tür. Das im Juni 2011 fertig gestellte Release 10 des &bdquo;3GPP” ist Long Term Evolution–Advanced, oder kurz LTE–A. Es erfüllt als erste Technologie die Anforderungen der ITU (International Telecommunication Union) an einen 4G–Standard. Eine Zusammenstellung dieser Anforderungen – auch IMT–Advanced genannt – finden Sie sehr detailliert auf der [http://www.itu.int/dms_pub/itu-r/opb/rep/R-REP-M.2134-2008-PDF-E.pdf ITU–Website.] 

Ohne Anspruch auf Vollständigkeit werden hier einige Eigenschaften von LTE–Advanced genannt:
*Die Datenrate soll bei geringer Bewegung des Teilnehmers bis zu 1 Gbit/s betragen, bei schneller Bewegung bis zu 100 Mbit/s. Um diese hohen Datenraten zu erreichen, wurden einige neue technische Spezifikationen getroffen, auf die hier kurz eingegangen werden soll. 

*LTE–Advanced unterstützt Bandbreiten bis maximal 100 MHz, während die LTE–Spezifizierung (nach Release 8) nur 20 MHz vorsieht. Dabei müssen die FDD–Spektren nicht mehr symmetrisch zwischen Uplink und Downlink aufgeteilt sein. Es kann also zum Beispiel für den Downlink eine höhere Kanalbandbreite verwendet werden als für den Uplink, was der normalen Nutzung des mobilen Internets mit einem Smartphone entspricht. 

*Im Uplink von LTE–Advanced wird ebenfalls SC–FDMA verwendet. Da das 3GPP–Konsortium mit der SC–FDMA–Übertragung bei LTE nicht zufrieden war, wurden aber einige wesentliche Verbesserungen im Ablauf erarbeitet, . 

*Eine weitere interessante Neuheit stellt die Einführung sogenannter Relay Nodes dar. Ein solches Relay Node (RN) wird am Rand einer Zelle aufgestellt, um für bessere Übertragungsqualität an den Grenzen einer Zelle zu sorgen und so die Reichweite der Zelle zu erhöhen. 

[[File:P ID2295 LTE T 4 5 S2 v1.png|rahmenlos|rechts|Funktionsweise der Relay Nodes]]
Ein Relay Node sieht für ein Endgerät aus wie eine normale Basisstation (eNodeB). Sie muss aber nur ein relativ kleines Einsatzgebiet versorgen und muss deshalb nicht aufwändig an das Backbone angeschlossen werden. In den meisten Fällen ist ein RN über Richtfunk mit der nächsten Basisstation verbunden. 

Auf diese Art und Weise werden ohne großen Aufwand hohe Datenraten und gute Übertragungsqualität ohne Unterbrechungen gewährleistet. Durch Erhöhen der räumlichen Nähe zu den Basisstationen wird damit auch die Empfangsqualität in Gebäuden verbessert. 

Die Aufzählung der LTE–Neuerungen wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Einige Systemverbesserungen durch LTE–Advanced (2) ==
 
*Ein weiteres bei LTE–A hinzugekommenes Feature ist unter der Bezeichnung Coordinated Multiple Point Transmission and Reception (CoMP) bekannt. Damit versucht man, den störenden Einfluss von Interzellinterferenzen zu reduzieren. Mit intelligentem Scheduling über mehrere Basisstationen hinweg gelingt es sogar, Interzellinterferenz nutzbar zu machen. Dabei steht die Information für ein Endgerät an zwei benachbarten Basisstationen zur Verfügung und kann gleichzeitig übertragen werden. Details zur CoMP–Technik finden sich zum Beispiel in dem Internet–Artikel [http://www.3gpp.org/technologies/keywords-acronyms/97-lte-advanced LTE–Advanced] von 3gpp. 

*Durch die genannten Maßnahmen in Kombination mit vielen weiteren Verbesserungen – in erster Linie die Einführung von 4×4–MIMO für den Uplink und 8×8–MIMO im Downlink – gelingt es, die spektrale Effizienz (darunter versteht man den übertragbaren Informationsfluss in einem Hertz Bandbreite innerhalb einer Sekunde) von LTE–A gegenüber LTE signifikant zu erhöhen, und zwar im Downlink von 15 bit/s/Hz  auf 30 bit/s/Hz und im Uplink von 3.75 bit/s/Hz auf 15 bit/s/Hz. 

*Natürlich muss zusätzlich auch die Rückwärtskompatibilität zum vorangegangenen Standard LTE und zu früheren Mobilfunksystemen gewährleistet werden. Auch mit einem UMTS–Handy sollte man sich in ein LTE–Netz einwählen können, auch wenn man die LTE–spezifischen Features nicht nutzen kann. 

Anfang Juni 2011 gab es bereits die ersten Tests zu LTE–Advanced. Schweden, das bereits das erste kommerzielle LTE–Netz aufgebaut hat, übernahm auch hier wieder die Vorreiterrolle. Die Fa. Ericsson demonstrierte erstmals ein Testsystem mit praxistauglichen, handelsüblichen Endgeräten und will nach eigenen Angaben bereits 2013 mit der kommerziellen Nutzung von LTE–Advanced beginnen. In einem Youtube–Video ist ein LTE–Test in einem fahrenden Kleinbus zu sehen, bei dem Datenraten von über 900 Mbit/s im Downlink und 300 Mbit/s im Uplink erreicht wurden. 

== Standards in Konkurrenz zu LTE bzw. LTE–Advanced ==
 
Neben dem vom 3GPP–Konsortium spezifizierten LTE gibt es weitere Standards, die der schnellen mobilen Datenübertragung dienen sollen. Hier soll kurz auf die zwei wichtigsten eingegangen werden: 

cdma2000 (oder IS–2000) und dessen Weiterentwicklung UMB (Ultra Mobile Broadband): 

Hierbei handelt es sich um einen Mobilfunkstandard der dritten Generation, der vom [http://www.3gpp2.org/ 3GPP2] (Third Generation Partnership Project 2) spezifiziert und weiterentwickelt wurde. Weitere Informationen zu cdma2000 finden Sie im [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS#Der_IMT.E2.80.932000.E2.80.93Standard Kapitel 4.1] des Buches &bdquo;Beispiele von Nachrichtensystemen”. 

Über die Weiterentwicklung dieses Standards ist weitaus weniger bekannt als zu LTE. Erwähnenswert ist, dass es für cdma2000 und UMB einen ausschließlich für Datenübertragung spezifizierten Substandard gibt. Der Kölner Telekommunikationsanbieter NetCologne bietet derzeit (2011) auf dieser Basis mobiles Internet im Bereich um 450 MHz an. Darüber hinaus ist cdma2000 in Deutschland unbedeutend. 

Anmerkung: Das &bdquo;3GPP2” wurde nahezu zeitgleich mit dem fast namensgleichen [http://www.3gpp.org/ 3GPP] im Dezember 1998 gegründet, offenbar aufgrund von ideologischen Differenzen. 

WiMAX (Worldwide Interoperability for Microwave Access): 

Unter dieser Bezeichnung versteht man eine auf dem IEEE–Standard 802.16 basierende drahtlose Übertragungstechnik. Sie gehört damit wie auch WLAN (802.11) und Ethernet (802.3) zur Familie der 802–Standards. Es gibt zwei verschiedene Unterspezifikationen zu WiMAX, nämlich
*einen für den Betrieb einer statischen Verbindung, die kein Handover erlaubt, und 

*einen für den mobilen Betrieb, der UMTS und LTE Konkurrenz machen soll. 

Das Potential der statischen WiMAX–Verbindungen liegt hauptsächlich in der der großen Reichweite bei trotzdem vergleichsweise hoher Datenrate. Aus diesem Grund wurde statisches WiMAX zunächst als DSL–Alternative für dünn besiedelte Gebiete gehandelt. So sind bei einer Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger (Line of Sight, LoS) über 15 Kilometer etwa 4.5 Mbit/s möglich. In urbanem Gebiet ohne Sichtverbindung wird für WiMAX immerhin noch eine Reichweite von ca. 600 Meter angegeben, ein deutlich besserer Wert als die 100 Meter, die WLAN typischerweise bietet. 

Momentan (2011) wird auch an einer Weiterentwicklung namens WiMAX2 gearbeitet. Nach Aussage der Initiatoren ist WiMAX2 in der mobilen Version ein 4G–Standard, der genau wie LTE–Advanced Datenraten bis zu 1 Gbit/s erreichen kann. Ende 2011 soll WiMAX2 in die Praxis umgesetzt werden. Ob es zu diesem Termin und der prognostizierten Datenrate klappt, wird sich zeigen. 

In Deutschland spielt WiMAX (derzeit noch) keine große Rolle, da sowohl die Bundesregierung in ihrer Breitbandoffensive als auch alle großen Mobilfunkbetreiber Long Term Evolution (LTE bzw. LTE–A) als Zukunft der mobilen Datenübertragung ausgerufen haben. 

== Meilensteine der Entwicklung von LTE und LTE–Advanced ==
 
Abschließend noch ein kurzer Überblick über einige Meilensteine bei der Entwicklung hin zu LTE:
*2004: Das japanische Telekommunikationsunternehmen [https://www.nttdocomo.co.jp/english/index.html NTT DoCoMo] schlägt LTE als neuen internationalen Mobilfunkstandard vor. 

*09/2006: Nokia Siemens Networks (NSN) stellt zusammen mit [http://www.nomor.de/ Nomor Research] erstmals einen Emulator eines LTE–Netzes vor. Zur Demonstration wird ein HD–Video übertragen und zwei Nutzer spielen ein interaktives Onlinespiel. 

*02/2007: Auf dem 3GSM World Congress, der weltweit größten Mobilfunkmesse, demonstriert das schwedische Unternehmen [https://www.ericsson.com/ Ericsson] ein LTE–System mit 144 Mbit/s. 

*04/2008: DoCoMo demonstriert eine LTE–Datenrate von 250 Mbit/s. Nahezu zeitgleich erreicht Nortel Networks Corp. (Kanada) 50 Mbit/s bei einer Fahrzeuggeschwindigkeit von 100 km/h. 

*10/2008: Test des ersten funktionsfähigen LTE–Modems durch Ericsson in Stockholm. Dieser Termin ist der Startschuss für die kommerzielle Nutzung von LTE. 

*12/2008: Fertigstellung der Release 8 des 3GPP, gleichbedeutend mit LTE. Das Unternehmen [http://www.lg.com/de LG Electronics] entwickelt den ersten LTE–Chip für Mobiltelefone. 

*03/2009: Auf der CeBIT in Hannover zeigt [https://www.t-mobile.de/ T–Mobile] Videokonferenzen und Onlinespiele aus einem fahrenden Auto heraus. 

*12/2009: Das weltweit erste kommerzielle LTE–Netz startet in der Stockholmer Innenstadt, nur 14 Monate nach Beginn der Testphase. 

*04/2010: 3GPP beginnt mit der Spezifikation von Release 10, gleichbedeutend mit LTE–A. 

*05/2010: Die LTE–Frequenzauktion in Deutschland endet. Der Erlös ist mit 4.4 Milliarden Euro deutlich geringer, als von den Experten erwartet und von Politikern erhofft. 

*08/2010: T-Mobile baut in Kyritz die erste kommerziell nutzbare LTE–Basisstation Deutschlands. Für einen funktionierenden Betrieb fehlen aber noch die passenden Endgeräte. 

*12/2010: In Deutschland laufen die ersten größeren Pilottests in den Netzen von Telekom, [https://www.o2online.de/ O2] und [http://www.vodafone.de/ Vodafone] an. Inzwischen sind auch entsprechende LTE–Router verfügbar. 

*02/2011: In Südkorea werden erste erfolgreiche Tests mit dem Nachfolger LTE–Advanced durchgeführt. 

*03/2011: Das 3GPP Release 10 ist fertiggestellt. 

*06/2011: Start des ersten deutschen LTE–Netzes in Köln. Bis Ende 2011 will die Telekom in 100 weiteren Städten für eine großflächige Verbreitung von LTE sorgen. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:4.5 LTE vs. LTE–Advanced|A4.5 LTE vs. LTE–Advanced]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/Physical Layer for LTE

2017-01-25T21:32:42Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=LTE – Long Term Evolution
|Vorherige Seite=Die Anwendung von OFDMA und SC-FDMA in LTE
|Nächste Seite=LTE–Advanced – eine Weiterentwicklung von LTE
}}

== Allgemeine Beschreibung (1) ==
 
Die physikalische Schicht (englisch: Physical Layer) ist die unterste Schicht im OSI–Schichtenmodell der Internationalen Organisation für Normung (ISO), die man auch als Bitübertragungsschicht bezeichnet. Sie beschreibt die physikalische Übertragung der Bitfolgen bei LTE und die Funktionsweise der verschiedenen Kanäle gemäß der 3GPP–Spezifikation. Alle Spezifikationen sind dabei sowohl für FDD als auch für TDD gültig. 

[[File:P ID2284 LTE T 4 4 S1a v1.png|Protokollarchitektur bei LTE|class=fit]] 

Die Grafik zeigt die drei Schichten der LTE–Protokollarchitektur. Die Kommunikation zwischen den einzelnen Schichten findet über drei verschiedene Arten von Kanälen statt:
*Logische Kanäle, 

*Transportkanäle, 

*Physikalische Kanäle. 

In diesem Kapitel geht es hauptsächlich um die Kommunikation zwischen Sender und Empfänger in der untersten, in der Grafik rot hervorgehobenen physikalischen Schicht. Grundsätzlich ist anzumerken:
*Genau wie das Internet verwendet LTE ausschließlich eine paketbasierte Übertragung, ohne einem einzelnen Nutzer spezifisch Ressourcen zuzuweisen. 

*Das Design der LTE–Bitübertragungsschicht wird demzufolge durch das Prinzip der dynamisch zugewiesenen Netzressourcen geprägt. 

*Die Bitübertragungsschicht spielt eine Schlüsselrolle bei der effizienten Zuordnung und Ausnutzung der vorhandenen Systemressourcen. 

== Allgemeine Beschreibung (2) ==
 
Entsprechend der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Bit%C3%BCbertragungsschicht_bei_LTE#Allgemeine_Beschreibung_.281.29 Grafik auf der letzten Seite] kommuniziert die physikalische Schicht mit
*dem Block Medium Access Control (MAC) und tauscht dabei über sogenannte Transportkanäle Informationen über die Benutzer und die Regelung bzw. Kontrolle des Netzes aus, 

*dem Block Radio Resource Control (RRC), wobei hier laufend Kontrollbefehle und Messungen ausgetauscht werden, um die Übertragung an die Kanalqualität anzupassen. 

Die Komplexität der LTE–Übertragung soll durch die folgende Grafik angedeutet werden, die direkt vom European Telecommunications Standards Institute (ETSI) übernommen wurde. Sie zeigt die Kommunikation zwischen den einzelnen Schichten (Kanälen) und gilt ausschließlich für den Downlink. 

[[File:P ID2285 LTE T 4 4 S1b v1.png|Kommunikation zwischen den einzelnen Schichten im LTE-Downlink|class=fit]] 

Auf den nächsten Seiten werden die physikalische Schicht und die physikalischen Kanäle etwas genauer betrachtet, wobei wir zwischen Uplink und Downlink unterscheiden, uns aber nur auf das Wesentliche beschränken. In Wirklichkeit übernehmen die einzelnen Kanäle noch eine Reihe weiterer Funktionen, deren Beschreibung aber den Umfang dieses Tutorials sprengen würde. Wer interessiert ist, findet eine detaillierte Beschreibung zum Beispiel in [HT09]<ref>Holma, H.; Toskala, A.: ''LTE for UMTS – OFDMA and SC–FDMA Based Radio Access.'' Wiley & Sons, 2009.</ref>.

== Physikalische Kanäle im Uplink (1) ==
 
LTE verwendet im Uplink – Übertragung vom Endgerät zur Basisstation – das Vielfachzugriffsverfahren SC–FDMA. Dementsprechend existieren in der 3GPP–Spezifikation folgende physikalische Kanäle:
*Physical Uplink Shared Channel (PUSCH), 

*Physical Random Access Channel (PRACH), 

*Physical Uplink Control Channel (PUCCH). 

Die Nutzdaten werden im physikalischen Kanal PUSCH übertragen. Die Übertragungsgeschwindigkeit hängt davon ab, wie viel Bandbreite dem jeweiligen Nutzer in diesem Moment zur Verfügung steht. Die Übertragung basiert auf dynamisch zugeordneten Ressourcen in Zeit– und Frequenzbereich mit einer Auflösung von einer Millisekunde bzw. 180 kHz. Diese Zuordnung wird durch den [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Bit%C3%BCbertragungsschicht_bei_LTE#Scheduling_bei_LTE Scheduler] in der Basisstation (eNodeB) vorgenommen. Ohne Anweisung der Basisstation kann ein Endgerät keinerlei Daten übertragen. 

Die Ausnahme bildet dabei die Verwendung des physikalischen Kanals PRACH, dem einzigen Kanal im LTE–Uplink mit nicht–synchronisierter Übertragung. Eine wesentliche Aufgabe dieses Kanals ist die Anforderung einer Erlaubnis, über einen der beiden anderen physikalischen Kanäle Daten versenden zu dürfen. Durch das Versenden eines Cyclic Prefix und einer Signatur auf dem PRACH werden Endgerät und Basisstation synchronisiert und sind damit bereit für weitere Übertragungen. 

Der dritte Uplink–Kanal PUCCH wird ausschließlich zur Übertragung von Kontrollsignalen verwendet. Darunter versteht man
*positive und negative Empfangsbestätigungen (ACK/NACK), 

*Anfragen nach wiederholter Übertragung (im Falle eines NACK), sowie 

*den Austausch von Informationen über die Kanalqualität zwischen Endgerät und Basisstation. 

Die Beschreibung der physikalischen Kanäle des LTE–Uplinks wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Physikalische Kanäle im Uplink (2) ==
 
Werden gleichzeitig Nutzdaten vom Endgerät zur Basisstation gesendet, so kann die Übertragung solcher Kontrollsignale ebenfalls über den PUSCH erfolgen. Sind keine Nutzdaten zu übertragen, wird dagegen PUCCH verwendet. 

Eine gleichzeitige Verwendung von PUSCH und PUCCH ist aufgrund von Einschränkungen durch das Einträger–Übertragungsschemas SC–FDMA nicht möglich. Hätte man für alle Kontrollinformationen nur einen Shared Channel gewählt, so hätte man sich entscheiden müssen zwischen
*zwischenzeitlichen Problemen bei der Nutzdatenübertragung, oder 

*dauerhaft zu wenige Ressourcen für die Kontrollinformationen. 

Die Informationen über die Kanalqualität werden mit Hilfe sogenannter Referenzsymbolen gewonnen. Als Indikatoren für die Kanalqualität werden diese Informationen dann versendet
*zum Channel Quality Indicator (CQI), und 

*zum Rank Indicator (RI). 

Eine detaillierte Erklärung zur Qualitätsgewährleistung findet sich zum Beispiel in [HR09]<ref>Homayounfar, K.; Rohani, B.: ''CQI Measurement and Reporting in LTE: A New Framework.''
IEICE Technical Report, Vol. 108, No. 445, 2009.</ref>. und [HT09]<ref>Holma, H.; Toskala, A.: ''LTE for UMTS – OFDMA and SC–FDMA Based Radio Access.'' Wiley & Sons, 2009.</ref>. 

[[File:P ID2286 LTE T 4 4 S2 v2.png|Verteilung von Referenzsymbolen und Nutzdaten im PUSCH|class=fit]] 

Die Referenzsymbole bzw. Kanalqualitätsinformationen sind im PUSCH entsprechend der obigen Grafik verteilt. Diese beschreibt die Anordnung der Nutzinformatiom und der Signalisierungsdaten in einem &bdquo;virtuellen” Unterträger.
*Virtuell deshalb, weil es ja bei SC–FDMA keine Unterträger gibt wie bei OFDMA. 

*Die Referenzsymbole sind notwendig, um die Kanalqualität zu schätzen. 

*Diese Informationen werden dann als Channel Quality Indicator (CQI) bzw. als Rank Indicator (RI) ebenfalls über den PUSCH übertragen. 

== Physikalische Kanäle im Downlink (1) ==
 
Im Gegensatz zum Uplink verwendet LTE im Downlink – also bei der Übertragung von der Basisstation zum Endgerät – das Vielfachzugriffsverfahren OFDMA. Entsprechend wurden vom 3GPP–Konsortium hierfür folgende physikalische Kanäle spezifiziert:
*Physical Downlink Shared Channel (PDSCH), 

*Physical Downlink Control Channel (PDCCH), 

*Physical Control Format Indicator Channel (PCFICH), 

*Physical Hybrid ARQ Indicator Channel (PHICH), 

*Physical Broadcast Channel (PBCH), 

*Physical Multicast Channel (PMCH). 

Die Nutzdaten werden über den PDSCH übertragen. Die Ressourcenzuweisung geschieht sowohl im Zeitbereich (mit einer Auflösung von 1 ms) als auch im Frequenzbereich (Auflösung: 180 kHz). Aufgrund der Verwendung von OFDMA als Übertragungsverfahren hängt die individuelle Geschwindigkeit jedes Nutzers von der Anzahl der zugewiesenen Ressourcenblöcke (à 180 kHz) ab. Ein eNodeB vergibt die Ressourcen bezogen auf die Kanalqualität jedes einzelnen Nutzers. 

Im PDCCH sind alle Informationen bezüglich der Zuweisung von Ressourcenblöcken bzw. Bandbreite sowohl für den Uplink als auch für den Downlink enthalten. Ein Endgerät erhält dadurch Informationen, wie viele Ressourcen zur Verfügung stehen. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2287 LTE T 4 4 S3a v2.png|rahmenlos|rechts|Aufteilung zwischen PDCCH und PDSCH im LTE-Downlink]]

Die Grafik zeigt beispielhaft die Aufteilung zwischen den Kanälen PDCCH und PDSCH:
*Der PDCCH kann pro Subframe bis zu vier Symbole belegen (in der Grafik: zwei). 

*Somit verbleiben für die Nutzdaten (also für den Kanal PDSCH) zwölf Zeitschlitze. {{end}} 

Die weiteren physikalischen Kanäle des LTE–Downlinks werden auf der nächsten Seite beschrieben. 

== Physikalische Kanäle im Downlink (2) ==
 
Die Beschreibung der physikalischen Kanäle des LTE–Downlinks wird fortgesetzt: Über den Kanal PCFICH wird dem Endgerät mitgeteilt, wie viele Symbole den Kontrollinformationen des PDCCH zuzuordnen sind. Sinn dieser dynamischen Aufteilung zwischen Kontroll– und Nutzdaten ist folgender:
*Einerseits können auf diese Weise viele Nutzer mit jeweils nur geringer Datenrate unterstützt werden. Dieses Szenario benötigt eine größere Abstimmung, das heißt, in diesem Fall müsste der PDCCH drei oder vier Symbole umfassen. 

*Andererseits kann man den durch PDCCH bedingten Overhead soweit reduzieren, dass bei wenigen gleichzeitigen Nutzern diesen eine hohe Datenrate gewährt werden kann. 

Über den PDCCH hinaus werden auch im Downlink Referenzsymbole benötigt, um die Kanalqualität zu schätzen und den Channel Quality Indicator (CQI) zu berechnen. Diese Referenzsymbole sind auf die Unterträger (verschiedene Frequenzen) bzw. Symbole (unterschiedliche Zeiten) verteilt, wie die folgende Grafik zeigt. 

[[File:P ID2288 LTE T 4 4 S3b v1.png|Verteilung der Referenzsymbole im Downlink|class=fit]] 

Zu den anderen physikalischen Kanäle des LTE–Downlinks ist anzumerken:
*Die einzige Aufgabe des Downlink–Kanals PHICH (Physical Hybrid ARQ Indicator Channel) ist es zu signalisieren, ob ein im Uplink verschicktes Paket angekommen ist. 

*Über den Broadcast–Kanal PBCH (Physical Broadcast Channel) versenden die Basisstationen ungefähr alle 40 Millisekunden an alle mobilen Endgeräte in der Funkzelle Systeminformationen mit Betriebsparameter sowie Synchronisationssignale, die zur Anmeldung im Netz benötigt werden. 

*Einen ähnlichen Zweck hat der Multicast–Kanal PMCH (Physical Multicast Channel), worüber Informationen für sogenannte Multicast–Übertragungen – zu mehreren Empfängern gleichzeitig – gesendet werden. Es kann sich zum Beispiel um das in einem zukünftigen Release geplanten mobilen Fernsehen via LTE oder um Ähnliches handeln. 

== Abläufe in der physikalischen Ebene (1) ==
 
Unter &bdquo;Abläufen in der physikalischen Ebene” versteht man verschiedene Methoden und Verfahren, die in der Bitübertragungsschicht Anwendung finden. Darunter fallen unter anderem:
*Timing Advance, 

*Paging, 

*Random Access, 

*Channel Feedback Reporting, 

*Power Control, 

*Hybrid Adaptive Repeat and Request. 

Eine komplette Auflistung mit zugehöriger Beschreibung findet sich zum Beispiel in [HT09]<ref>Holma, H.; Toskala, A.: ''LTE for UMTS – OFDMA and SC–FDMA Based Radio Access.'' Wiley & Sons, 2009.</ref>. Hier soll nur auf die beiden letztgenannten Verfahren genauer eingegangen werden. 

Leistungsregelung (englisch: Power Control) 

Unter Power Control versteht man im Allgemeinen die Regelung der Übertragungsleistung mit dem Ziel,
*die Übertragungsqualität zu verbessern, 

*die Netzkapazität zu vergrößern, und 

*den Stromverbrauch zu verringern. 

Hinsichtlich des letzten Punktes war bei der Standardisierung von LTE zu berücksichtigen:
*Einerseits sollte der Stromverbrauch in den Endgeräten minimiert werden, um für diese längere Batterielaufzeiten zu gewährleisten. 

*Andererseits sollte verhindert werden, dass die Basisstationen eine zu große Leistungsspanne bereithalten müssen. 

Bei LTE wird Power Control nur im Uplink angewandt, wobei es sich eher um eine &bdquo;langsame” Leistungsregelung handelt. Damit ist gemeint, dass das in LTE spezifizierte Verfahren nicht so schnell reagieren muss wie beispielsweise bei UMTS (W–CDMA). Der Grund ist, dass durch Verwendung des orthogonalen Trägersystems SC–FMDA das sogenannte [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS#Near.E2.80.93Far.E2.80.93Effekt Near–Far–Problem] nicht existiert.

*Genau genommen wird bei LTE durch Power Control nicht die absolute Leistung kontrolliert, sondern die spektrale Leistungsdichte, also die Leistung pro Bandbreite. 

*Anstatt zu versuchen, Leistungsspitzen durch zeitweiliges Reduzieren der Übertragungsleistung zu glätten, können Leistungsspitzen auch zur kurzzeitigen Erhöhung der Datenrate ausgenutzt werden. 

Insgesamt soll durch die LTE–Leistungsregelung die optimale Balance gefunden werden zwischen einer möglichst geringen Leistung und gleichzeitig einer für die Übertragungsqualität (QoS) noch akzeptablen Interferenz. Dies wird konkret erreicht durch Abschätzen des Verlustes bei der Übertragung sowie durch die Berechnung eines Korrekturfaktors entsprechend den momentanen Standorteigenschaften. Die hier gemachten Aussagen stammen großteils aus [DFJ08]<ref>Dahlman, E., Furuskär A., Jading Y., Lindström M., Parkvall, S.: ''Key Features of the LTE Radio Interface.'' Ericsson Review No. 2, 2008.</ref>

== Abläufe in der physikalischen Ebene (2) ==
 
Hybrid Adaptive Repeat and Request 

Jedes Kommunikationssystem benötigt zur Sicherstellung einer ausreichenden Übertragungsqualität ein Schema zur erneuten Übertragung verloren gegangener Daten aufgrund auftretender Übertragungsfehler. In LTE wurde hierfür Hybrid Adaptive Repeat and Request (HARQ) spezifiziert. Dieses Verfahren wird auch bei [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#HARQ.E2.80.93Verfahren_und_Node_B_Scheduling UMTS] in ähnlicher Form eingesetzt. 

Der auf der Stop–and–wait–Technik basierende Ablauf ist Folgender:
*Nachdem ein Endgerät ein Paket von der Basisstation erhalten hat, wird es decodiert und es wird ein Feedback über den [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Bit%C3%BCbertragungsschicht_bei_LTE#Physikalische_Kan.C3.A4le_im_Uplink_.281.29 PUCCH] gesendet. 

*Im Falle einer fehlgeschlagenen Übertragung (&bdquo;NACK”) wird das Paket erneut gesendet. Erst wenn die Übertragung erfolgreich war (Feedback: &bdquo;ACK”), wird das nächste Paket verschickt. 

Um trotz der Stop–and–wait–Prozedur eine kontinuierliche Datenübertragung zu gewährleisten, benötigt LTE mehrere gleichzeitige HARQ–Prozesse. In LTE werden sowohl im Uplink als auch im Downlink jeweils acht parallele Prozesse verwendet. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik verdeutlicht die Funktionsweise bei acht gleichzeitigen HARQ–Prozessen. Der erste Prozess scheitert in diesem Beispiel im ersten Versuch bei der Übertragung von Paket 1. Der Empfänger teilt dieses &bdquo;Fail” dem Sender durch ein &bdquo;NACK” mit. Dagegen ist der zweite parallel ablaufende Prozess mit seinem ersten Paket erfolgreich: &bdquo;Pass”. 

[[File:P ID2289 LTE T 4 4 S4a v4.png|HARQ in LTE mit acht gleichzeitigen Prozessen|class=fit]] 

*Im nächsten Schritt (also nachdem die anderen sieben HARQ–Prozesse gesendet haben) sendet der erste HARQ aufgrund der Quittierung &bdquo;NACK” sein zuletzt verschicktes Paket nochmals. 

*Der zweite Prozess sendet hingegen aufgrund der Quittierung &bdquo;ACK” nun ein neues Paket. 

Ebenso verfahren die anderen Prozesse, die in diesem Beispiel außer Acht gelassen wurden.{{end}} 

== Modulation bei LTE (1) ==
 
LTE verwendet das Modulationsverfahren [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung_.281.29 Quadratur–Amplitudenmodulation] (englisch: Quadrature Amplitude Modulation, QAM). Dabei stehen sowohl im Uplink als auch im Downlink verschiedene Varianten zur Verfügung, nämlich
*4–QAM (identisch mit QPSK)  ⇒  2 bit pro Symbol, 

*16–QAM  ⇒  4 bit pro Symbol, 

*64–QAM  ⇒  6 bit pro Symbol. 

Die folgende Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen dieser Varianten. 

[[File:P ID2290 LTE T 4 4 S5a v2.png|Mögliche QAM-Signalraumkonstellationen in LTE|class=fit]] 

Je nach Umgebungsbeschaffenheit bzw. je nach Entfernung zur Basisstation wählt der Scheduler das passende Modulationsverfahren (siehe nachfolgende Grafik):
[[File:P ID2291 LTE T 4 4 S5b v1.png|rahmenlos|rechts|Modulationsverfahren, abhängig vom Abstand von der Basisstation]]
*64–QAM ermöglicht die besten Datenraten, ist aber auch am anfälligsten gegenüber Übertragungsstörungen und wird daher nur in der Nähe der Basisstationen verwendet. 

*Je schwächer die Verbindung ist, desto einfacher muss das Modulationsverfahren sein, desto geringer wird aber auch die spektrale Effizienz (in bit/s pro Hertz). 

*Sehr robust ist 4–QAM. Dieses Modulationsverfahren mit nur 2 bit pro Symbol (je eines für Real– und Imaginärteil) kann man auch noch für deutlich größere Entfernungen anwenden als beispielsweise 16–QAM. 

*Aufgrund der genau gleichen Signalraumkonstellation bezeichnet man die 4–QAM häufig auch als Quaternary Phase Shift Keying (QPSK). Die vier Signalraumpunkte sind zum einen quadratisch angeordnet (QAM–Prinzip). Sie liegen aber auch auf einem Kreis (Kennzeichen der PSK). 

Hinweis: Die Quadratur–Amplitudenmodulation ist keine LTE–spezifische Entwicklung, sondern wird auch bei vielen bereits etablierten kabelgebundenen Übertragungsverfahren verwendet, wie zum Beispiel Digital Subscriber Line (DSL).

== Modulation bei LTE (2) ==
 
Die Grafik aus [MG08]<ref>Myung, H.; Goodman, D.: ''Single Carrier FDMA – A New Air Interface for Long Term Evolution.''. West Sussex: John Wiley & Sons, 2008.</ref>. gibt folgenden Sachverhalt wieder:
*Mit 4–QAM bzw. QPSK (zwei bit/Symbol) erreicht man im LTE–Uplink bei den in [MG08] getroffenen Annahmen einen Durchsatz (englisch: Throughput) von knapp einem Mbit/s. 

*Erst ab einer gewissen Signalstärke (englisch: Signal–to–Noise Ratio, SNR) verwendet man eine höherstufige QAM, zum Beispiel 16–QAM (4 bit/Symbol) oder 64–QAM (8 bit/Symbol). 

*Ist das SNR hinreichend groß, so werden mit zunehmender Stufenzahl um so bessere Ergebnisse hinsichtlich des Datendurchsatzes erzielt.

:[[File:P ID2292 LTE T 4 4 S5c v2.png|Durchsatz in Abhängigkeit des SNR|class=fit]] 

Anzumerken ist, dass in den Kontrollkanälen stets die niederratige QPSK (4–QAM) verwendet wird, da diese Informationen
*einerseits auf Grund ihrer geringen Größe keine hohen Datenraten benötigen, und 

*andererseits auf Grund ihrer Wichtigkeit (nahezu) fehlerfrei empfangen werden sollten. 

Eine Ausnahme bildet der Kanal [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Bit%C3%BCbertragungsschicht_bei_LTE#Physikalische_Kan.C3.A4le_im_Uplink_.282.29 PUSCH] im Uplink, der sowohl Nutz– als auch Kontrolldaten überträgt. Aus diesem Grund wird hier für beide Signale die gleiche Modulationsart verwendet. 

== Scheduling bei LTE ==
 
Alle LTE–Basisstationen enthalten einen Scheduler, der zwischen
*einer möglichst großen Gesamtübertragungsrate 

*bei gleichzeitig ausreichend guter Übertragungsqualität (englisch: Quality of Service, QoS) 

abwägt. Ein QoS–Kriterium ist zum Beispiel die Paketverzögerungsdauer. Der Scheduler versucht also, mit Hilfe von Algorithmen die Gesamtsituation zu optimieren. 

Scheduling ist notwendig, um eine faire Ressourcenverteilung zu gewährleisten. Ein konkretes Beispiel ist, dass einem Nutzer, der momentan zwar einen schlechten Kanal und damit eine geringe Effizienz besitzt, trotzdem ausreichend viele Ressourcen zugeordnet werden müssen, da sonst die angestrebte (und ihm garantierte) Übertragungsqualität nicht eingehalten werden kann. 

Der Scheduler kontrolliert dazu einerseits die Auswahl des Modulationsverfahrens und andererseits das Subcarrier–Mapping. Die Funktionsweise des Schedulers wird anhand der folgenden Grafik für den Uplink verdeutlicht. Für den Downlink gelten ähnliche Aussagen. 

[[File:P ID2293 LTE T 4 4 S6 v1.png|Funktionsweise des Schedulers im LTE-Uplink|class=fit]] 

Basierend auf [SABM06]<ref>Schmidt, M.; Ahn, N.; Braun, V.; Mayer, H.P.: ''Performance of QoS and Channel-aware Packet Scheduling for LTE Downlink.'' [http://www.ikr.uni-stuttgart.de/Content/itg/fg524/Meetings/2009-02-09-Aachen/05_ITG524_Aachen_Schmidt.pdf, Alcatel-Lucent, 2006. PDF-Dokument in Internet].</ref>, [WGM07]<ref>Wang, X.; Giannakis, G.B.; Marques, A.G.: ''A Unified Approach to QoS – Guaranteed Scheduling or Channel-Adaptive Wireless Networks.'' Proceedings of the IEEE, Vol. 95, No. 12, Dec. 2007.</ref> und [MG08]<ref>Myung, H.; Goodman, D.: ''Single Carrier FDMA – A New Air Interface for Long Term Evolution..'' West Sussex: John Wiley & Sons, 2008.</ref> ist zusammenfassend zu vermerken:
*Scheduler–Algorithmen sind aufgrund der vielen Optimierungskriterien, Parameter und möglichen Szenarien oft sehr kompliziert. Beim Entwurf geht man daher meist von einem optimalen System aus, bei dem jede Basisstation die Kanalübertragungsfunktionen zu jeder Zeit ausreichend genau kennt und die Übertragungsverzögerung kein Problem darstellt. 

*Aus diesen Randbedingungen werden mit Hilfe von mathematischer Analyse verschiedene Ansätze erstellt [WGM07]<ref>Wang, X.; Giannakis, G.B.; Marques, A.G.: ''A Unified Approach to QoS – Guaranteed Scheduling or Channel-Adaptive Wireless Networks.'' Proceedings of the IEEE, Vol. 95, No. 12, Dec. 2007.</ref>, deren Effektivität allerdings nur über praktische Tests überprüft werden kann. Eine ausführliche Beschreibung solcher Tests findet sich beispielsweise in [MG08]<ref>Myung, H.; Goodman, D.: ''Single Carrier FDMA – A New Air Interface for Long Term Evolution..'' West Sussex: John Wiley & Sons, 2008.</ref>. 

*Prinzipiell kann die Gesamtübertragungsrate durch kanalabhängiges Scheduling (Ausnutzen von Frequenzselektivität) erhöht werden, allerdings verbunden mit großem Overhead, da Testsignale über die komplette Bandbreite gesendet werden müssen. Die Informationen sind an alle Endgeräte zu verteilen, wenn das komplette Optimierungspotential ausgenutzt werden soll. 

*In verschiedenen Tests zeigten sich die eindeutigen und signifikanten Vorteile (Verdoppelung des Durchsatzes) von kanalbasiertem Scheduling, aber auch die zu erwartenden Verluste bei sich schneller bewegenden Nutzern. Mehr dazu in dem empfehlenswerten Dokument [SABM06]<ref>Schmidt, M.; Ahn, N.; Braun, V.; Mayer, H.P.: ''Performance of QoS and Channel-aware Packet Scheduling for LTE Downlink.'' [http://www.ikr.uni-stuttgart.de/Content/itg/fg524/Meetings/2009-02-09-Aachen/05_ITG524_Aachen_Schmidt.pdf PDF-Dokument in Internet] , Alcatel-Lucent, 2006.</ref>. 

Aufgrund vieler Vorteile ist Scheduling fester Bestandteil des vom 3GPP spezifizierten LTE–Release 8. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:4.4 Zur Modulation bei LTE|A4.4 Zur Modulation bei LTE]]

[[Zusatzaufgaben:4.4 Physikalische Kanäle bei LTE]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/The Application of OFDMA and SC-FDMA in LTE

2017-01-25T21:23:17Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=LTE – Long Term Evolution
|Vorherige Seite=Technische Neuerungen von LTE
|Nächste Seite=Bitübertragungsschicht bei LTE
}}

== Allgemeines zur LTE–Übertragungstechnik ==
 
Im Gegensatz zum Vorgänger UMTS setzt Long Term Evolution (LTE) eine Variante des auch von WLAN genutzten OFDM–Konzepts ein, um die Übertragungsressourcen systematisch aufzuteilen. Das Mehrfachzugriffsverfahren [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich_.281.29 OFDM] besitzt ebenso wie die UMTS–Grundlagentechnologie [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS#Anwendung_des_CDMA.E2.80.93Verfahrens_in_UMTS CDMA] die Fähigkeit, das System gegen punktuell auftretende Übertragungsstörungen zu schützen. 

Zwar wäre es möglich, die bei der zweiten und dritten Mobilfunkgeneration verwendeten Technologien so anzupassen und zu erweitern, dass sie auch die geforderten Vorgaben der vierten Generation erfüllen. Die schnell ansteigende Komplexität von CDMA beim Empfang von Signalen auf mehreren Pfaden lässt die technische Realisierung jedoch als wenig sinnvoll erscheinen. 

Die stark abstrahierte Grafik zeigt die Aufteilung der kompletten Bandbreite für einzelne Unterträger und erklärt den Unterschied zwischen CDMA (UMTS) und OFDM (LTE). 

[[File:P ID2297 Mob T 4 3 S1 v1.png|Unterschied zwischen OFDM und CDMA|class=fit]] 

OFDM besitzt also im Gegensatz zu CDMA viele – typischerweise sogar mehrere hundert – Unterträger mit einer Bandbreite von jeweils nur einigen Kilohertz. Dazu wird der Datenstrom aufgeteilt und jeder der vielen Unterträger einzeln mit nur geringer Bandbreite moduliert. 

In LTE benutzt man OFDMA, eine auf OFDM basierende Übertragungstechnik. Hierfür sprechen unter anderem folgende Gründe [HT09]<ref>Holma, H.; Toskala, A.: ''LTE for UMTS – OFDMA and SC–FDMA Based Radio Access.'' Wiley & Sons, 2009.</ref>:
*Eine hohe Leistung in frequenzgesteuerten Kanälen, 
*die niedrige Komplexität im Empfänger, 
*gute Spektraleigenschaften und Bandbreitenflexibilität, sowie 
*Kompatibilität mit den neuesten Empfänger– und Multiantennentechnologien. 

Auf der folgenden Seite werden die Unterschiede zwischen den Mehrfachzugriffsverfahren OFDM und OFDMA kurz erläutert. 

== Gemeinsamkeiten und Unterschiede von OFDM und OFDMA ==
 
Das Prinzip von Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) wurde bereits im [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 5.5] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” erklärt. OFDM teilt das zur Verfügung stehende Frequenzband in eine große Anzahl von schmalbandigen Unterträgern auf, wobei zu beachten ist:
*Damit die einzelnen Unterträger möglichst wenig Intercarrier–Interferenz aufweisen, werden die Frequenzen der Unterträger so gewählt, dass sie zueinander orthogonal sind. 

*Das bedeutet: Bei der Mittenfrequenz eines jeden Unterträgers weisen alle anderen Träger keine Spektralanteile auf. Ziel ist es, für jeden Nutzer die gegenwärtig günstigsten Ressourcen zu wählen, um ein in der Gesamtheit optimales Ergebnis zu erhalten. 

*Konkret bedeutet das weiterhin, dass – angepasst an die jeweilige Netzsituation – die verfügbaren Ressourcen demjenigen Nutzer zugeteilt werden, der momentan damit am meisten anfangen kann. Zu diesem Zweck misst die Basisstation für die Abwärtsstrecke (Downlink) zum Endgerät hin die Leitungsqualität mit Hilfe von Referenzsymbolen. 

:[[File:P ID2298 Mob T 4 3 S2 v1.png|Aufteilung von Datenblöcken nach Frequenz und Zeit bei OFDM (oben) und OFDMA (unten)|class=fit]] 

Die Grafik zeigt oben die Frequenzzuteilung bei OFDM. Das untere Schaubild zeigt die Zuteilung bei Orthogonal Frequency Division Multiple Access (OFDMA). Man erkennt:
*Bei OFDMA beschränkt sich die Ressourcenzuteilung nach Kanalschwankungen nicht wie bei OFDM nur auf den Zeitbereich, sondern es wird auch der Frequenzbereich optimal einbezogen.

*Dadurch ist die OFDMA–Ressourcenzuteilung besser an die äußeren Umstände angepasst als bei OFDM. Um diese Flexibilität optimal nutzen zu können, ist allerdings eine Abstimmung zwischen der Basisstation (eNodeB) und dem Endgerät notwendig. Mehr dazu später im [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 4.4].

== Unterschiede zwischen OFDMA und SC–FDMA (1) ==
 
Es gibt Übertragungsverfahren wie beispielsweise WiMAX, die OFDMA in beiden Richtungen nutzen. Die LTE–Spezifizierung durch das 3GPP–Konsortium legt dagegen fest:
*Im Downlink – Übertragung von der Basisstation zum Endgerät – wird OFDMA eingesetzt. 

*Im Uplink – Übertragung vom Endgerät zur Basisstation – verwendet man Single Carrier Frequency Division Multiple Access (SC–FDMA). 

Aus der Grafik erkennt man, dass die beiden Systeme &bdquo;SC–FDMA” und &bdquo;OFDMA” sehr ähnlich sind. Oder anders ausgedrückt: SC–FDMA baut auf OFDMA auf (oder umgekehrt).
*Verzichtet man auf die beiden rot hinterlegten Komponenten (DFT) und auf die beiden blau hinterlegten Komponenten (IDFT) von SC–FDMA, so erhält man das OFDMA–System. 

*Die anderen hier verwendeten Symbole stehen für Seriell/Parallel–Wandler (S/P), Parallel/Seriell–Wandler (P/S), D/A–Wandler, A/D–Wandler sowie Hinzufügen/Entfernen des zyklischen Präfix'. 

[[File:P ID2300 Mob T 4 3 S3 v4.png|Sender- und Empfängerstruktur eines SC-FDMA–Systems|class=fit]] 

Die Signalerzeugung für SC–FDMA funktioniert ähnlich wie bei OFDMA, allerdings mit kleinen, für den Mobilfunk aber durchaus wichtigen Änderungen:
*Der Hauptunterschied liegt in der zusätzlichen [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Argumente_f.C3.BCr_die_diskrete_Realisierung_der_FT diskreten Fouriertransformation] (DFT). 

*Diese ist sendeseitig direkt nach der Seriell/Parallel–Wandlung durchzuführen. 

*Es handelt sich somit nicht mehr um ein Mehrträgerverfahren, sondern um eine Einträger–FDMA. 

*Man spricht wegen der notwendigen DFT/IDFT–Operationen auch von &bdquo;DFT–spread OFDM”. 

Die Einzelheiten dieser Grafik werden auf den folgenden Seiten erklärt. 

== Unterschiede zwischen OFDMA und SC–FDMA (2) ==
 
Fassen wir die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen. SC–FDMA unterscheidet sich von OFDMA folgendermaßen:
*Die Datensymbole werden mit einer Gruppe gleichzeitig übertragener Unterträger gesendet und nicht jedes Symbol von einem einzelnen, orthogonalen Unterträger. 

*Diese Unterträgergruppe kann dann als ein separates Frequenzband betrachtet werden, das die Daten sequenziell überträgt. Darauf geht der Name &bdquo;Single Carrier FDMA” zurück. 

*Während bei OFDMA die Datensymbole direkt die verschiedenen Unterträger erzeugen, durchlaufen sie bei SC–FDMA zuerst eine diskrete Fouriertransformation (DFT). 

*So werden die Datensymbole aus dem Zeitbereich zuerst in den Frequenzbereich transformiert, bevor sie die OFDM–Prozedur durchlaufen [Ixi09]<ref>''SC-FDMA – Single Carrier FDMA in LTE.'' PDF–Dokument im Internet, 2009.</ref>. 

[[File:P ID2301 Mob T 4 3 S3b v1.png|Frequenzbandaufteilung bei OFDMA und SC–FDMA|class=fit]] 

Man kann den Unterschied zwischen OFDMA und SC–FDMA aber auch so beschreiben:
*Bei einer OFDMA–Übertragung enthält jeder orthogonale Unterträger nur die Informationen eines einzigen Signals. 

*Hingegen beinhaltet bei SC–FDMA jeder einzelne Unterträger Informationen über alle in dieser Periode übertragenen Signale. 

Dieser Unterschied und die quasi–sequentielle Übertragung bei SC–FDMA lassen sich in obigem Schaubild besonders gut erkennen. Dieses stammt aus einem PDF–Dokument von [http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5991-2556EN.pdf Agilent–3GPP.]

== Funktionsweise von SC–FDMA (1) ==
 
Nun soll der SC–FDMA–Übertragungsvorgang genauer betrachtet werden. Die Informationen hierzu stammen großteils aus [MG08]<ref>Myung, H.; Goodman, D.: ''Single Carrier FDMA – A New Air Interface for Long Term Evolution.''. West Sussex: John Wiley & Sons, 2008.</ref>. Auf den Zweck und die Funktion des Cyclic Prefix wird hier nicht näher eingegangen. Die Gründe sind dieselben wie bei OFDM und können im [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix_.281.29 Kapitel 5.6] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” nachgelesen werden. 

[[File:P ID2304 Mob T 4 3 S4a v3.png|Betrachteter SC-FDMA-Sender |class=fit]] 

Die folgende Beschreibung bezieht sich auf den hier gezeigten SC–FDMA–Sender. Beachten Sie, dass bei LTE die Modulation an die Kanalqualität angepasst wird: In stark verrauschten Kanälen wird 4–QAM (Quadrature Amplitude Modulation mit nur vier Signalraumpunkten) verwendet. 

Bei besseren Bedingungen wird auf eine höherstufige QAM bis hin zu 64–QAM umgeschaltet. Weiter gilt:
*Ein Eingangsdatenblock besteht aus K komplexen Modulationssymbolen xν, die mit einer Rate von RQ [Symbole/s] erzeugt werden.

*Die diskrete Fouriertransformation (DFT) erzeugt K Symbole im Frequenzbereich entsprechend

::<math>X_\mu = \sum_{\nu = 0 }^{K-1}
x_\nu \cdot {\rm e}^{-{\rm j} { 2 \pi \cdot \nu
\cdot \mu }/{K}} \hspace{0.05cm},</math>

:die auf K von insgesamt N orthogonalen Unterträgern moduliert werden. Die Unterträger werden über eine größere Bandbreite von BK = N · f0 verteilt, wobei f0 = 15 kHz die bei LTE kleinste adressierbare Bandbreite angibt. Nichtbelegte Kanäle sind hier gestrichelt gezeichnet. 

*Die Kanalübertragungsrate ergibt sich zu RC = J · RQ mit dem Spreizfaktor J = N/K. Dieses SC–FDMA–System könnte dann gleichzeitig J orthogonale Eingangssignale verarbeiten. Im Fall von LTE wäre zum Beispiel K = 12 (kleinster adressierbarer Block) und N = 1024. J gibt folglich auch die Anzahl der Endgeräte an, die gleichzeitig mit dieser Basisstation verbunden sein können. 

*Nach dem so genannten Subcarrier–Mapping – darunter versteht man die Zuordnung der von der DFT erzeugten Symbole auf die zur Verfügung stehenden Unterträger – sind die Symbole dann auf eine gewisse Bandbreite &bdquo;gemappt”, zum Beispiel im Falle von K = 12 auf den Bereich von 0 bis 180 kHz oder von 180 kHz bis 360 kHz. 

*Die folgende IDFT–Transformation (oben blau markiert) generiert aus den Ausgangswerten Yμ im Frequenzbereich dann die Zeitdarstellung yν dieses Mappings. Diese Symbole werden dann durch den Parallel/Seriell–Wandler in eine für die Übertragung geeignete Sequenz überführt. 

== Funktionsweise von SC–FDMA (2) ==
 
Für das Subcarrier–Mapping gibt es verschiedene Ansätze:
*DFDMA oder Distributed Mapping: Hier werden die Modulationssymbole auf einen gewissen Bereich der zur Verfügung stehenden Kanalbandbreite verteilt. 

*IFDMA oder Interleaved FDMA: Sonderform von DFDMA, wenn die Modulationssymbole auf die komplette Bandbreite mit jeweils gleichen Abständen verteilt werden. 

*LFDMA oder Localized Mapping: Die K Modulationssymbole werden direkt benachbarten Unterträgern zugeordnet. Dies entspricht der derzeitigen 3GPP–Spezifikation. 

Die folgende Abbildung verdeutlicht diese drei Arten für das Subcarrier–Mapping. Zur Vereinfachung der Darstellung beschränken wir uns hier auf die (sehr kleinen) Parameterwerten K = 4 und N = 12. 

[[File:P ID2305 Mob T 4 3 S4b v1.png|Verschiedene Methoden des Subcarrier-Mappings|class=fit]] 

Es kann dabei gezeigt werden, dass der Sender bei SC–FDMA die drei Schritte
*Diskrete Fouriertransformation (DFT), 

*Subcarrier–Mapping, und 

*Inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) bzw. Fast–Fouriertransformation (IFFT) 

gar nicht einzeln durchlaufen muss. Diese drei Operationen kann man vielmehr gemeinsam als eine einzige lineare Operation realisieren. Die vollständige und mathematisch nicht ganz einfache Herleitung findet sich zum Beispiel in [MG08]<ref>Myung, H.; Goodman, D.: ''Single Carrier FDMA – A New Air Interface for Long Term Evolution.''. West Sussex: John Wiley & Sons, 2008.</ref>. Jedes Element der Ausgangssequenz yν ist dann durch eine gewichtete Summe der Eingangssequenzelemente xν darstellbar, wobei die Gewichte komplexwertig sind. 

Anstatt der vergleichsweise komplizierten Fouriertransformation reduziert sich die Operation somit
*auf eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl, und 

*dem J–fachen Wiederholen der Eingangssequenz xν. 

In Aufgabe A4.3 wird das (sendeseitige) Subcarrier–Mapping mit realistischeren Werten für K und N betrachtet und auf die Unterschiede zum Subcarrier–Demapping (am Empfänger) hingewiesen. 

== Vorteile von SC–FDMA gegenüber OFDM (1) ==
 
Der entscheidende Vorteil von SC–FDMA gegenüber OFDMA ist auf Grund seiner Einzelträgerstruktur sein niedrigeres Peak–to–Average Power–Ratio (PAPR). Darunter versteht man das Verhältnis von momentaner Spitzenleistung Pmax zur mittleren Sendeleistung PS. PAPR lässt sich auch durch den [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung_.281.29 Crest–Faktor] (Quotient der Signalamplituden) ausdrücken. Die beiden Größen sind also nicht identisch. 

[[File:P ID2308 Mob T 4 3 S5a v2.png|(Komplementäre) Verteilungsfunktion des PAPR bei OFDM-Systemen|rechts|rahmenlos]]

Die Grafik aus dem Internet–Dokument [Wu09]<ref>Wu, B.: ''Analyzing WiMAX Modulation Quality.'' [http://mwrf.com/Articles/Print.cfm?Ad=1&ArticleID=22022 PDF–Internetdokument,] 2009.</ref> zeigt in doppelt–logarithmischer Darstellung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 64–QAM–OFDM die momentane Leistung über der mittleren Leistung liegt.
*Die Wahrscheinlichkeit für große &bdquo;Ausreißer” ist zwar gering. Beispielsweise wird die mittlere Leistung nur in 0.1% der Zeit um mehr als 10 dB überschritten. 

*Auch wenn solche hohen Leistungsspitzen nur sehr selten sind, stellen sie trotzdem ein Problem für den Leistungsverstärker des Empfängers dar. 

Die Leistungsverstärker sollten im linearen Bereich betrieben werden, da ansonsten das Signal verzerrt wird. Nichtlinearitäten ergeben sich insbesondere auf Grund von
*Intercarrier–Interferenz innerhalb des Signals, 

*Interferenzen von benachbarten Kanälen aufgrund von Spektrumserweiterungen. 

Daher muss bei OFDM der Verstärker die meiste Zeit mit einer niedrigeren Leistung als möglich betrieben werden, was seine Effizienz drastisch reduzieren kann.

*Weil man SC–FDMA quasi als Einzelträger–Übertragungsverfahren betrachten kann, ist bei diesem das PAPR niedriger als bei OFDM(A). Dadurch kann zum Beispiel ein so genanntes Pulse–shaping–Filter verwendet werden, der das PAPR reduziert. 

Das niedrigere PAPR ist der wesentliche Grund dafür, dass im LTE–Uplink SC–FDMA zum Einsatz kommt und nicht OFDMA. Niedriges PAPR bedeutet eine längere Batterielaufzeit, ein für Mobiltelefone – insbesondere Smartphones – äußerst wichtiges Kriterium. Gleichzeitig bietet SC–FDMA eine ähnliche Leistungsfähigkeit und Komplexität wie OFDM. Für den Downlink ist der Punkt weniger bedeutend. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten ein OFDM–System mit N Trägern, alle mit gleicher Signalamplitude A. Dann ist nach einer stark vereinfachten Rechnung mit gleichem Proportionalitätsfaktor

*die maximale Signalleistung proportional zu (N · A)2, und 

*die mittlere Signalleistung proportional zu N · A2 . 

Daraus ergibt sich für Peak–to–Average Power–Ratio als der Quotient dieser beiden Leistungen zu PAPR = N. Schon bei nur zwei Trägern ergibt sich PAPR = 2 entsprechend 3 dB. 

Somit muss der Verstärker selbst bei nur zwei Trägern immer 3dB unterhalb der maximalen Leistung arbeiten, um im Fall von Signalspitzen keine Signalverzerrungen zu produzieren. Wie auf der nächsten Seite gezeigt wird, bedeuten 3dB aber bereits einen Rückgang des Wirkungsgrads auf 85%.{{end}} 

== Vorteile von SC–FDMA gegenüber OFDM (2) ==
 
PAPR steht in direkter Beziehung zur Sendeverstärkereffizienz. Die maximale Effizienz wird erreicht, wenn der Verstärker in der Umgebung der Sättigungsgrenze arbeiten kann. Die Grafik zeigt eine beispielhafte Verstärkerkennlinie, also die Ausgangsleistung aufgetragen über der Eingangsleistung. 

[[File:P ID2309 Mob T 4 3 S5b v1.png|Rückgang des Verstärkerwirkungsgrads bei steigendem „Back–off” |rechts|rahmenlos]]

Bei PAPR = 0 dB (also 1) könnte man die mittlere Leistung PS gleich der zulässigen Spitzenleistung Pmax setzen. Entsprechend der Kennlinie Pout/Pin ergäbe sich (beispielhaft) der Verstärkerwirkungsgrad zu 95%. 

Bei großem PAPR muss man den Verstärker aber unterhalb der Sättigungsgrenze betreiben, um zu starke Signalverzerrungen zu verhindern. 

Hier einige numerische Beispiele:
*Bei einem PAPR = 2 entsprechend der Überschlagsrechnung auf der letzten Seite müsste man die mittlere Sendeleistung um 3 dB kleiner als zulässig wählen, damit Pmax zu keinem Zeitpunkt überschritten würde. Der Wirkungsgrad würde so auf 85% zurückgehen. 

*Ein Back–off von 3 dB reicht aber meist nicht aus, vielmehr geht man in der Praxis von Werten zwischen 5 dB und 8 dB aus [Hin08]<ref>Hindelang, T.: ''Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript.'' Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref>. Entsprechend obiger Kurve sinkt aber bereits bei 5 dB der Wirkungsgrad auf nur mehr 70% (System S1, grüne Linie). 

*Mit dem System S2 können zwar alle Signalspitzen kleiner 8 dB vom Verstärker verzerrungsfrei übertragen werden, aber der Verstärkerwirkungsgrad beträgt nur noch 40%. Wie aus der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Anwendung_von_OFDMA_und_SC-FDMA_in_LTE#Vorteile_von_SC.E2.80.93FDMA_gegen.C3.BCber_OFDM_.281.29 Grafik] der letzten Seite zu ersehen ist, treten trotzdem noch in ca. 2% der Zeit starke Verzerrungen auf. 

*Die mittlere Sendeleistung sei PS = 100 mW. Dann muss bei einem PAPR von 8 dB (Faktor 9) der Verstärker bis zu Pmax = 900 mW verzerrungsfrei arbeiten, bei PAPR = 2 (3 dB) dagegen nur bis 200 mW. Der Unterschied zwischen den beiden Verstärkern ist ein enormer Kostenfaktor. 

Aufgrund dieser Auflistung kann zusammengefasst werden:
*OFDM mit einem großen Back–off im Uplink würde zu Problemen führen, nämlich zu extrem kurzen Batterielaufzeiten der mobilen Endgeräte. Daher wird im LTE–Uplink das konkurrierende Verfahren SC–FDMA verwendet. 

*Zudem ist die Sender–Komplexität bei SC–FDMA allgemein niedriger als bei anderen Verfahren, was billigere Endgeräte bedeutet [MLG06]<ref>Myung, H.; Lim, J.; ''Goodman, D.: Single Carrier FDMA for Uplink Wireless Transmission.'' IEEE Vehicular Technology Magazine, Vol. 1, No. 3, 2006.</ref>. Würde man das bei UMTS genutzte CDMA auf den 4G–Standard erweitern, so würde demgegenüber auf Grund der hohen Frequenzdiversität im Kanal die Empfängerkomplexität stark ansteigen [IXIA09]<ref>''SC-FDMA – Single Carrier FDMA in LTE.'' [https://www.ixiacom.com/pdfs/library/white_papers/SC-FDMA-INDD.pdf PDF–Dokument im Internet,] 2009.</ref>. 

*Allerdings wird die Frequenzbereichsentzerrung bei SC–FDMA komplizierter als bei OFDMA. Dies ist der Hauptgrund, warum man SC–FDMA nur im Uplink verwendet. So müssen diese komplizierten Entzerrer nur in den Basisstationen eingebaut werden und nicht in den Endgeräten. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:4.3 Subcarrier–Mapping|A4.3 Subcarrier–Mapping]]

[[Zusatzaufgaben:4.3 Zugriffsverfahren bei LTE]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/Technical Innovations of LTE

2017-01-25T21:14:44Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=LTE – Long Term Evolution
|Vorherige Seite=Allgemeines zum Mobilfunkstandard LTE
|Nächste Seite=Die Anwendung von OFDMA und SC-FDMA in LTE
}}

== Zur Sprachübertragung bei LTE ==
 
Anders als die bisherigen Mobilfunkstandards unterstützt LTE nur eine paketorientierte Übertragung. Für die Sprachübertragung wäre jedoch eine verbindungsorientierte Übertragung mit fester Reservierung der Ressourcen besser, da eine &bdquo;gestückelte Übertragung” – wie es beim paketorientierten Verfahren der Fall ist – relativ kompliziert ist. 

Das Problem der Einbindung von Sprachübertragungsverfahren war eine der großen Herausforderungen bei der Entwicklung von LTE, denn die Sprachübertragung ist für die Netzbetreiber weiterhin die größte Einnahmequelle. Es gab einige Ansätze, wie dem Internet–Artikel [Gut10]<ref>Gutt, E.: ''LTE – eine neue Dimension mobiler Breitbandnutzung''. [http://www.ltemobile.de/uploads/media/LTE_Einfuehrung_V1.pdf PDF-Dokument im Internet], 2010.</ref> entnommen werden kann. 

'''1'''  Eine sehr einfache und nahe liegende Methode ist Circuit Switched Fallback (CSFB). Hier wird für die Sprachübertragung eine leitungsgebundene Übertragung verwendet. Das Prinzip ist:
:* Das Endgerät meldet sich im LTE–Netz an und parallel dazu auch noch in einem GSM– oder UMTS–Netz. Bei eingehendem Anruf erhält das Endgerät von der Mobile Management Entity (MME, Kontrollknoten im LTE–Netz zur Nutzer–Authentifizierung) eine Nachricht, woraufhin eine leitungsgebundene Übertragung über das GSM– oder das UMTS–Netz aufgebaut wird.
:Ein Nachteil dieser Lösung (eigentlich ist es eine &bdquo;Problemverschleierung”) ist der stark verzögerte Verbindungsaufbau. Außerdem verhindert CSFB die komplette Umstellung des Netzes auf LTE.
'''2'''  Eine weitere Möglichkeit zur Integration von Sprache in ein paketorientes Übertragungssystem bietet Voice over LTE via GAN (VoLGA), die auf der von 3GPP entwickelten GAN-Technologie (Generic Access Network) basiert. In aller Kürze lässt sich das Prinzip wie folgt darstellen:
:* GAN ermöglicht leitungsbezogene Dienste über ein paketorientiertes Netzwerk (IP–Netzwerk), beispielsweise WLAN (Wireless Local Area Network). Mit kompatiblen Endgeräten kann man sich so im GSM–Netz über eine WLAN–Verbindung registrieren lassen und leitungsbasierte Dienste nutzen. VoLGA nutzt diese Funktionalität, in dem es WLAN durch LTE ersetzt. 
:* Vorteilhaft ist die schnelle Implementierung von VoLGA, da keine langwierige Neuentwicklung und keine Änderungen am Kernnetz notwendig sind. Allerdings muss dem Netz als Hardware ein sogenannter VoLGA Access Network Controller (VANC) hinzugefügt werden. Dieser sorgt für die Kommunikation zwischen Endgerät und Mobile Management Entity bzw. dem Kernnetz. 

Auch wenn VoLGA für Sprachverbindungen nicht auf ein GSM– oder UMTS–Netz zurückgreifen muss wie CSFB, wurde es auf Grund ihrer Benutzerunfreundlichkeit vom Großteil der Mobilfunkgemeinde auch nur als (unbefriedigende) Brückentechnologie betrachtet. T–Mobile war lange ein Verfechter der VoLGA–Technologie, beendete im Februar 2011 jedoch ebenfalls die weitere Entwicklung. 

Auf der nächsten Seite beschreiben wir einen besseren Lösungsvorschlag. Stichworte sind IP Multimedia Subsystem (IMS) sowie Voice over LTE (VoLTE). Die Betreiber in Deutschland haben relativ spät auf diese Technologie umgestellt: Vodafone und O2 Telefonica Anfang 2015, die Telekom Anfang 2016. Dies ist auch der Grund dafür, dass der Umstieg auf LTE in Deutschland (und in Europa allgemein) schleppender verlief als in den USA. Viele Kunden wollten nicht die höheren Preise für LTE zahlen, so lange es keine gut funktionierende Lösung für die Integration der Sprachübertragung gab. 

== VoLTE – Voice over LTE ==
 
Der aus heutiger Sicht (2016) erfolgversprechendste, teilweise bereits etablierte Ansatz zur Integration der Sprachdienste in das LTE–Netz ist Voice over LTE – kurz: VoLTE. Dieser offiziell von der [http://www.gsma.com/aboutus/ GSMA –] die weltweite Industrievereinigung von mehr als 800 Mobilfunkanbietern und über 200 Herstellern von Mobiltelefonen und Netzinfrastruktur – verabschiedete Standard ist ausschließlich IP–paketorientiert und basiert auf dem IP Multimedia Subsystem (IMS), das bereits 2010 in der UMTS–Release 9 definiert wurde. Die technischen Fakten zu IMS sind:
*Das IMS–Basisprotokoll ist das von Voice over IP bekannte Session Initiation Protocol (SIP). Es handelt sich dabei um ein Netzprotokoll, mit dem Verbindungen zwischen zwei Teilnehmern aufgebaut und gesteuert werden können. Dieses Protokoll ermöglicht die Entwicklung zu einem vollständig (für Daten und Sprache) IP–basierten Netzwerk und bietet damit Zukunftssicherheit. 

Der Grund, warum sich die Einführung von VoLTE gegenüber der LTE–Etablierung im Datenverkehr um vier Jahre verzögert hat, liegt im schwierigen Zusammenspiel von 4G mit den älteren Vorgängerstandards GSM (2G) und UMTS (3G). Hierzu ein Beispiel:
*Verlässt ein Mobilfunknutzer seine LTE–Zelle und wechselt in ein Gebiet ohne 4G–Versorgung, so muss ein unmittelbarer Wechsel zum nächstbesten Standard (3G) erfolgen. 

*Sprache wird hier technisch völlig anders übermittelt, nicht mehr durch viele kleine Datenpakete  ⇒  &bdquo;paketvermittelt”, sondern sequentiell in den eigens für den Teilnehmer reservierten logischen und physikalischen Kanälen  ⇒  &bdquo;leitungsvermittelt”. 

*Diese Umsetzung muss derart schnell und problemlos verlaufen, dass der Endkunde davon nichts merkt. Und diese Umsetzung muss für alle Mobilfunkstandards und Techniken funktionieren. 

Nach Ansicht aller Experten wird VoLTE das mobile Telefonieren ähnlich positiv beeinflussen, wie LTE das mobile Internet seit 2011 vorangebracht hat. Wesentliche Vorteile für die Nutzer sind:
*Eine höhere Sprachqualität, da VoLTE [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS#Sprachcodierung AMR–Wideband Codecs] mit 12.65 bzw. 23.85 kbit/s nutzt. Außerdem werden die VoLTE–Datenpakete für möglichst niedrige Latenzen priorisiert. 

*Ein enorm beschleunigter Verbindungaufbau innerhalb von einer oder zwei Sekunden, während es bei Circuit Switched Fallback (CSFB) unangenehm lange dauert, bis eine Verbindung steht. 

*Ein niedriger Akkuverbrauch, deutlich geringer als bei 2G und 3G, damit verbunden eine längere Akkulaufzeit. Auch gegenüber gängigen VoIP–Diensten ist der Energiebedarf bis zu 40% geringer. 

Aus Sicht der Provider ergeben sich folgende Vorteile:
*Eine bessere Spektraleffizienz: Doppelt so viele Gespräche im gleichen Frequenzband als bei 3G. Oder: Bei gleichem Gesprächsaufkommen steht für Datendienste mehr Kapazität zur Verfügung. 

*Eine einfache Implementierung von Rich Media Services (RCS), etwa für Videotelefonie oder zukünftige Anwendungen, durch die neue Kunden geworben werden können. 

*Eine bessere Akzeptanz der höheren Bereitstellungskosten durch LTE–Kunden, wenn man nicht zum Telefonieren in ein &bdquo;niederwertiges” Netz wie 2G oder 3G ausgelagert werden muss. 

== Bandbreitenflexibilität ==
 
LTE lässt sich durch die Verwendung von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich_.281.29 OFDM] mit relativ wenig Aufwand an unterschiedlich breite Frequenzbänder anpassen. Diese Tatsache ist eine aus verschiedenen Gründen – siehe [Mey10]<ref>Meyer, M.: ''Siebenmeilenfunk.'' c't 2010, Heft 25, 2010.</ref> – wichtige Eigenschaft, insbesondere für die Netzbetreiber:
*Abhängig von den gesetzlichen Vorgaben in verschiedenen Ländern können die Frequenzbänder für LTE unterschiedlich groß sein. Auch der Ausgang der staatenspezifischen Versteigerungen der LTE–Frequenzen (getrennt nach FDD und TDD) hat die Breite der Spektren beeinflusst. 

*Oft betreibt man LTE im Hinblick auf eine spätere Migration in der &bdquo;Frequenz–Nachbarschaft” etablierter Funkübertragungssysteme, mit deren Abschaltung in Kürze gerechnet wird. Steigt die Nachfrage, so kann man LTE nach und nach auf den frei werdenden Frequenzbereich ausweiten. 

*Als Beispiel sei die Migration der Fernsehkanäle nach der Digitalisierung genannt: Im jetzt frei gewordenen VHF–Frequenzbereich um 800 MHz wird ein Teil des LTE–Netzwerks angesiedelt – siehe [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE#LTE.E2.80.93Frequenzbandaufteilung Grafik] im Kapitel 4.1. 

*Eigentlich könnten die Bandbreiten mit einem Feinheitsgrad von bis zu 15 kHz (entsprechend einem OFDMA–Unterträger) gewählt werden. Da dies jedoch unnötig Overhead produzieren würde, hat man als kleinste adressierbare LTE–Ressource eine Dauer von einer Millisekunde und eine Bandbreite von 180 kHz festgelegt. Ein solcher Block entspricht zwölf Unterträgern (180 kHz geteilt durch 15 kHz). 

Um die Komplexität und den Aufwand bei der Hardwarestandardisierung möglichst gering zu halten, hat man sich zudem auf eine ganze Reihe zulässiger Bandbreiten zwischen 1.4 MHz und 20 MHz geeinigt. Die folgende Auflistung – entnommen aus [Ges08]<ref>Gessner, C.: ''UMTS Long Term Evolution (LTE): Technology Introduction.'' Rohde&Schwarz, 2008.</ref> – gibt die standarisierten Bandbreiten, die Anzahl der verfügbaren Blöcke sowie den &bdquo;Overhead” an:
*6 verfügbare Blöcke in der Bandbreite 1.4 MHz  ⇒  relativer Overhead ca. 22.8%, 

*15 verfügbare Blöcke in der Bandbreite 3 MHz  ⇒  relativer Overhead ca. 10%, 

*25 verfügbare Blöcke in der Bandbreite 5 MHz  ⇒  relativer Overhead ca. 10%, 

*50 verfügbare Blöcke in der Bandbreite 10 MHz  ⇒  relativer Overhead ca. 10%, 

*75 verfügbare Blöcke in der Bandbreite 15 MHz  ⇒  relativer Overhead ca. 10%, 

*100 verfügbare Blöcke in der Bandbreite 20 MHz  ⇒  relativer Overhead ca. 10%. 

Da sonst einige LTE–spezifische Funktionen nicht funktionieren würden, müssen mindestens 6 Blöcke bereitgestellt werden. Der relative Overhead ist bei kleiner Kanalbandbreite (1.4 MHz) vergleichsweise hoch: (1.4 – 6 · 0.18)/1.4 ≈ 22.8%. Ab einer Bandbreite von 3 MHz beträgt der relative Overhead konstant 10%. Weiter gilt, dass alle Endgeräte auch die maximale Bandbreite von 20 MHz unterstützen müssen [Ges08]<ref>Gessner, C.: ''UMTS Long Term Evolution (LTE): Technology Introduction.'' Rohde&Schwarz, 2008.</ref>

== FDD, TDD und Halb–Duplex–Verfahren (1) ==
 
Eine weitere wichtige Neuerung von LTE ist das Halb–Duplex–Verfahren, welches eine Mischung aus den beiden bereits von UMTS bekannten Duplexverfahren darstellt:
*[http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Vollduplexverfahren Frequency Division Duplex] (FDD), und 

*[http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Vollduplexverfahren Time Division Duplex] (TDD) . 

Solche Duplexverfahren sind erforderlich, damit Uplink und Downlink klar voneinander getrennt sind und die Übertragung reibungslos funktioniert. Die Grafik illustriert den Unterschied zwischen FDD– und TDD–basierter Übertragung. 

[[File:P ID2281 Mob T 4 2 S4a v1.png|Übertragungschema bei FDD (oben) bzw. TDD (unten)|class=fit]] 

Mit Hilfe der beiden Methoden FDD und TDD kann LTE sowohl in gepaarten, als auch in ungepaarten Frequenzbereichen betrieben werden. Die beiden Verfahren stellen gewissermaßen einen Gegensatz dar:
*FDD benötigt ein gepaartes Spektrum, also jeweils ein Frequenzband für die Übertragung von der Basisstation in Richtung Endgerät (Downlink) und eines für die Übertragung in umgekehrter Richtung (Uplink). Downlink sowie Uplink können dabei aber gleichzeitig übertragen werden. 

*TDD wurde für ungepaarte Spektren konzipiert. Zwar benötigt man nun für Uplink und Downlink nur noch ein einziges Band. Sender und Empfänger müssen sich nun allerdings bei der Übertragung abwechseln. Das Hauptproblem von TDD ist die erforderliche Synchronität der Netze. 

== FDD, TDD und Halb–Duplex–Verfahren (2) ==
 
In der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Technische_Neuerungen_von_LTE#FDD.2C_TDD_und_Halb.E2.80.93Duplex.E2.80.93Verfahren_.281.29 Grafik] auf der vorherigen Seite sind die Unterschiede zwischen FDD und TDD zu erkennen. Man sieht, dass man bei TDD beim Wechsel von Downlink zu Uplink (bzw. umgekehrt) eine Guard Period einfügen muss, damit es nicht zu einer Überlagerung der Signale kommt. 

Obwohl FDD in der Praxis voraussichtlich stärker genutzt werden wird (und die FDD–Frequenzen für die Provider auch sehr viel teuerer waren), gibt es durchaus auch einige Gründe, die für TDD sprechen:
*Frequenzen sind – wie sich bei der Versteigerung 2010 wieder gezeigt hat – ein rares und teures Gut. TDD benötigt aber nur die halbe Frequenzbandbreite. 

*Die TDD–Technik ermöglicht verschiedene Modi, die festlegen, wie viel Zeit für Downlink bzw. Uplink verwendet werden soll und kann so auf individuelle Anforderungen abgestimmt werden. 

Für die eigentliche Neuerung, das Halb–Duplex–Verfahren, benötigt man zwar wie bei FDD auch ein gepaartes Spektrum. Sender und Empfänger der Basisstation wechseln sich aber trotzdem wie bei TDD ab: Jedes Endgerät kann gleichzeitig entweder nur Senden oder nur Empfangen. 

[[File:P ID2276 Mob T 4 2 S4b v1.png|Übertragungsschema bei Halb–Duplex|class=fit]] 

Man erkennt aus dieser Grafik:
*Durch eine zweite Verbindung zu einem anderen Endgerät mit vertauschtem Downlink/Uplink–Raster kann trotzdem das gesamte zur Verfügung stehende Band voll genutzt werden. 

*Wesentlicher Vorteil des Halb–Duplex–Verfahrens besteht aber darin, dass durch die Verwendung des TDD–Konzepts die Anforderungen an die Endgeräte stark sinken und sich diese einfacher und billiger produzieren lassen. 

Dass diesem Aspekt in der Standardisierung große Bedeutung zugemessen wurde, lässt sich auch an der Verwendung von OFDMA im Downlink und SC–FDMA im Uplink erkennen: Dadurch erreicht man eine längere Batterielaufzeit der Endgeräte und es können günstigere Bauteile verwendet werden. Mehr dazu finden Sie im [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Anwendung_von_OFDMA_und_SC-FDMA_in_LTE#Allgemeines_zur_LTE.E2.80.93.C3.9Cbertragungstechnik Kapitel 4.3.]

== Mehrantennensysteme (1) ==
 
Verwendet ein Funksystem mehrere Sende– und Empfangsantennen, so spricht man von Multiple Input Multiple Output (MIMO). Dabei handelt es sich nicht um eine LTE–spezifische Entwicklung. So nutzt beispielweise auch WLAN diese Technologie. Das Prinzip der Mehrantennensysteme wird in der folgenden Grafik am Beispiel von 2×2–MIMO (zwei Sende– und zwei Empfangsantennen) verdeutlicht. 

Das Neue an LTE ist nicht die eigentliche Nutzung von Multiple Input Multiple Output, sondern die besonders intensive, nämlich 2×2–MIMO im Uplink und maximal 4×4–MIMO im Downlink. Beim Nachfolger [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/LTE%E2%80%93Advanced_%E2%80%93_eine_Weiterentwicklung_von_LTE#Wie_schnell_ist_LTE_wirklich.3F LTE–Advanced] ist die Nutzung von MIMO noch ausgeprägter, nämlich &bdquo;4×4” im Uplink und &bdquo;8×8” in Gegenrichtung. 

[[File:P ID2277 Mob T 4 2 S5a v1.png|Der Unterschied zwischen SISO und MIMO|class=fit]] 

Ein MIMO–System weist gegenüber Single Input Single Output (SISO, nur eine Sende– und eine Empfangsantennen) Vorteile auf. Man unterscheidet je nach Kanal zwischen mehreren Gewinnen:
*Leistungsgewinn gemäß der Anzahl von Empfangsantennen: Kombiniert man die über mehrere Antennen eintreffenden Funksignale in geeigneter Weise (Spatial Combining), so erhöht man die Empfangsleistung und verbessert so die Funkverbindung. Mit einer Verdoppelung der Antennen erreicht man einen Leistungsgewinn von maximal 3 dB. 

*Diversitätsgewinn durch Raumdiversität (englisch: Spatial Diversity): Verwendet man mehrere räumlich getrennte Empfangsantennen in einer Umgebung mit starker Mehrwegeausbreitung, so ist das Fading an den einzelnen Antennen meist unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit, dass alle Antennen gleichzeitig von Fading betroffen sind, ist sehr gering. 

*Datenratengewinn: Dieser steigert die Effizienz von MIMO vor allem in einer Umgebung mit erhöhter Mehrwegeausbreitung, insbesondere dann, wenn Sender und Empfänger keine direkte Sichtverbindung haben und die Übertragung über Reflexionen erfolgt. Die Verdreifachung der Antennenzahl bei Sender und Empfänger führt zu einer Verdoppelung der Datenrate. 

Nicht möglich ist jedoch, dass alle Vorteile gleichzeitig eintreten. Abhängig von der Kanalbeschaffenheit kann es auch passieren, dass man nicht einmal die Wahl hat, welchen Vorteil man nutzen will. 

Neben den MIMO-Systemen gibt es auch noch folgende Zwischenstufen:
*MISO–Systeme (nur eine Empfangsantenne, somit ist kein Leistungsgewinn möglich), und 

*SIMO–Systeme (nur eine Sendeantenne, nur kleiner Diversitätsgewinn). 

== Mehrantennensysteme (2) ==
 
Der Begriff &bdquo;MIMO” fasst Mehrantennenverfahren mit unterschiedlichen Eigenschaften zusammen, die jeweils in gewissen Situationen von Nutzen sein können. Vier davon sind in der Grafik veranschaulicht. 

[[File:P ID2484 Mob T 4 2 S5b v1.png|Vier Mehrantennenverfahren mit unterschiedlichen Eigenschaften|class=fit]] 

Die folgende Beschreibung ist auf die vier hier gezeigten Schaubildern abgestimmt.
*Werden die weitgehend unabhängigen Kanäle eines MIMO–Systems einem einzigen Teilnehmer zugeteilt (Schaubild links oben), so spricht man von Single–User MIMO. Durch 2×2–MIMO verdoppelt sich die Datenrate gegenüber dem SISO–Betrieb und mit jeweils vier Sende– und Empfangsantennen kann die Datenrate bei guten Kanalbedingungen nochmals verdoppelt werden. 

*LTE ermöglicht maximal 4×4–MIMO allerdings nur im Downlink. Als Empfänger (Endgeräte) kommen bei 4×4–MIMO aufgrund der Komplexität von Mehrantennensystemen nur Laptops mit LTE–Modems in Frage. Bei einem Handy beschränkt man sich auf 2×2–MIMO. 

*Im Gegensatz zum Single–User MIMO ist das Ziel beim Multi–User MIMO nicht die maximale Datenrate für einen Empfänger, sondern die Maximierung der Anzahl der Endgeräte, die das Netz gleichzeitig nutzen können (Schaubild oben rechts). Dabei werden verschiedene Datenströme zu unterschiedlichen Nutzern übertragen. Dies ist besonders an Orten mit hoher Nachfrage nützlich, wie zum Beispiel an Flughäfen oder in Fußballstadien. 

*Ein Mehrantennenbetrieb dient aber nicht nur der Maximierung von Nutzerzahl oder Datenrate, sondern im Falle von schlechten Übertragungsbedingungen können mehrere Antennen auch ihre Leistung bündeln und so gezielt Daten zu einem Nutzer übertragen, um dessen Empfangsqualität zu verbessern. Man spricht dann von Beamforming (Schaubild unten links), wodurch auch die Reichweite einer Sendestation erhöht wird. 

*Die vierte Möglichkeit ist Antennendiversität (Schaubild unten rechts). Dadurch erhöht man die Redundanz (hinsichtlich Systemauslegung) und macht die Übertragung robuster gegen Störungen. Ein einfaches Beispiel: Es gibt vier Kanäle, die alle die gleichen Daten übertragen. Fällt ein Kanal aus, so sind immer noch drei Kanäle vorhanden, die die Information transportieren können. 

== Systemarchitektur (1) ==
 
Die LTE–Architektur ermöglicht ein vollständig auf dem IP–Protokoll basierendes Übertragungssystem. Um dieses Ziel zu erreichen, musste die für UMTS spezifizierte Systemarchitektur nicht nur verändert, sondern teilweise komplett neu konzipiert werden. Dabei wurden auch andere IP–basierte Technologien wie mobiles WiMAX oder WLAN integriert, um in diese Netze problemlos wechseln zu können. 

In UMTS–Netzen (linke Grafik) ist zwischen einer Basisstation (NodeB) und dem Kernnetz noch der Radio Network Controller (RNC) zwischengeschaltet, der für den Wechsel zwischen verschiedenen Zellen hauptverantwortlich ist und der zu Latenzzeiten von bis zu 100 Millisekunden führen kann. 

[[File:P ID2278 Mob T 4 2 S6 v2.png|Systemarchitektur bei UMTS (UTRAN) und LTE (EUTRAN)|class=fit]] 

Die Neukonzipierung der Basisstationen (eNodeB anstelle von NodeB) und die Schnittstelle X2 sind die entscheidenden Weiterentwicklungen von UMTS hin zu LTE. Die rechte Grafik illustriert insbesondere die mit der neuen Technologie einhergegangene Reduzierung der Komplexität gegenüber UMTS (linke Grafik). Auch die LTE–Systemarchitektur lässt sich in zwei große Bereiche einteilen:
*das LTE–Kernnetz Evolved Packet Core (EPC), 

*die Luftschnittstelle Evolved UMTS Terrestrial Radio Access Network (EUTRAN) – eine Weiterentwicklung von [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/UMTS%E2%80%93Netzarchitektur#Architektur_der_Zugangsebene UMTS Terrestrial Radio Access Network] (UTRAN). 

EUTRAN überträgt die Daten zwischen dem Endgerät und der LTE–Basisstation  ⇒  &bdquo;eNodeB” über die sogenannte S1–Schnittstelle mit zwei Verbindungen, eine für die Übertragung von Nutzdaten und eine zweite für die Übertragung von Signalisierungsdaten. Aus obiger Grafik erkennt man:
*Die Basisstationen sind außer mit dem EPC auch mit den benachbarten Basisstationen verbunden. Diese Verbindungen (X2–Schnittstellen) bewirken, dass möglichst wenige Pakete verloren gehen, wenn sich das Endgerät aus dem Umkreis einer Basisstation in Richtung einer anderen bewegt. 

*Dazu kann die Basisstation, deren Versorgungsgebiet der Nutzer gerade verlässt, eventuell noch zwischengespeicherte Daten direkt und schnell an die &bdquo;neue” Basisstation weitergeben. Damit ist eine (weitgehend) durchgehende Übertragung sichergestellt. 

*Die Funktionalität des RNC geht zum Teil in die Basisstation, zum anderen in die Mobility Management Entity (MME) im Kernnetz über. Diese Reduktion der Schnittstellen verkürzt die Signaldurchlaufzeit im Netzwerk und das Handover signifikant auf 20 Millisekunden. 

*Die LTE–Systemarchitektur ist zudem so ausgelegt, dass sich zukünftig Inter–NodeB–Verfahren (wie Soft–Handover oder Cooperative Interference Cancellation) einfach integrieren lassen. 

== Systemarchitektur (2) ==
 
Das LTE–Kernnetz Evolved Packet Core (EPC) eines Netzbetreibers – in der Fachsprache Backbone – besteht aus verschiedenen Netzwerkkomponenten. Das EPC ist mit den Basisstationen über das Backhaul (englische Bezeichnung für Rücktransport) verbunden. Darunter versteht man die Anbindung eines vorgelagerten, meist hierarchisch untergeordneten Netzknotens an einen zentralen Netzknoten. 

Momentan besteht das Backhaul zum Großteil aus Richtfunk und sogenannten E1–Leitungen. Diese sind Kupferleitungen und erlauben einen Durchsatz von ca. 2 Mbit/s. Für GSM– und UMTS–Netzwerke waren diese Verbindungen noch ausreichend, aber bereits für großflächig vermarktetes [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#High.E2.80.93Speed_Downlink_Packet_Access HSDPA] reichen solche Datenraten nicht. Für LTE ist ein solches Backhaul komplett unbrauchbar:
*Das langsame Kabelnetzwerk würde die schnellen Funkverbindungen ausbremsen, und es wäre insgesamt kein Geschwindigkeitszuwachs festzustellen. 

*Aufgrund der geringen Kapazitäten der Leitungen mit E1–Standard wäre auch ein Ausbau mit weiteren baugleichen Leitungen nicht wirtschaftlich. 

Das Backhaul muss also im Zuge der LTE–Einführung neu entworfen werden. Dabei ist es wichtig, Zukunftssicherheit im Auge zu behalten, steht doch die nächste Generation LTE–Advanced bereits vor der Einführung. Schenkt man dem von Experten propagierten Moore's Law für Mobilfunkbandbreiten Glauben, so ist die teure Neuverlegung von Kabeln der wichtigste Faktor für die Zukunftssicherheit. 

Aufgrund der rein paketorientierten Übertragungstechnik bietet sich für das LTE–Backhaul der ebenfalls IP–basierte Ethernet–Standard an, der mit Hilfe von Lichtwellenleitern realisiert wird. Die Firma Fujitsu stellt in der Studie Fujitsu Network Communications Inc.: ''4G Impacts to Mobile Backhaul.'' [http://www.fujitsu.com/downloads/TEL/fnc/whitepapers/4Gimpacts.pdf PDF–Internetdokument,] 2009 die These auf, dass die momentane Infrastruktur noch für die nächsten zehn bis fünfzehn Jahre eine wichtige Rolle für das LTE–Backhaul spielen wird. 

Für den Generationenwechsel hin zu einem Ethernet–basierten Backhaul gibt es zwei Ansätze:
*der parallele Betrieb der Leitungen mit E1 und Ethernet–Standard, 

*die sofortige Migration zu einem auf Ethernet basierenden Backhaul. 

Ersteres hätte den Vorteil, dass die Netzbetreiber den Sprachverkehr weiterhin über die alten Leitungen laufen lassen und ausschließlich den bandbreitenintensiven Datenverkehr über die leistungsfähigeren Leitungen abwickeln könnten. Die zweite Möglichkeit wirft einige technische Probleme auf:
*Die vorher durch die langsamen E1-Standard–Leitungen transportierten Dienste müssten sofort auf ein paketbasiertes Verfahren umgestellt werden. 

*Ethernet bietet (anders als der jetzige Standard) bisher keine End–to–End–Synchronisierung, was beim Funkzellenwechsel zu starken Verzögerungen bis hin zu Dienstunterbrechungen führen kann – also eine gewaltige Einbuße der Servicequalität. Im Konzept SyncE werden jedoch von der Fa. Cisco bereits Vorschläge unterbreitet, wie die Synchronisation realisiert werden könnte. 

Für Ballungsgebiete wäre eine direkte Umstellung des Backhauls sicher lohnenswert, da für eine vergleichsweise hohe Zahl an neuen Nutzern nur relativ wenige neue Kabel verlegt werden müssten. Im ländlichen Raum ergäben sich aber durch größere Grabungsarbeiten schnell hohe Kosten. Dies ist aber genau der Bereich, der laut [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE#LTE.E2.80.93Frequenzbandaufteilung Vereinbarung] zwischen den (deutschen) Mobilfunkbetreibern und der Bundesregierung als erstes abgedeckt werden muss. Hier müsste (und wird wohl) der meist vorhandene Richtfunk auf hohe Datentaten erweitert werden. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:4.2 FDD, TDD und Halb–Duplex|A4.2 FDD, TDD und Halb–Duplex]]

[[Zusatzaufgaben:4.2 MIMO–Anwendungen bei LTE]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/General Information on the LTE Mobile Communications Standard

2017-01-25T21:11:18Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=LTE – Long Term Evolution
|Vorherige Seite=Die Charakteristika von UMTS
|Nächste Seite=Technische Neuerungen von LTE
}}

== Entwicklung der Mobilfunkteilnehmer bis 2010 ==
 
Während der letzten Jahre hat die Anzahl der Mobilanschlüsse drastisch zugenommen. Die Grafik zeigt für die Jahre 2004 bis 2010 bei den absoluten Zahlen der mobilen Endgeräte (rote Balken, linke Skala) eine Zunahme von 1.8 auf ca. 5 Milliarden weltweit. Die blauen Balken (linke Skala) zeigen die Entwicklung der Weltbevölkerung im gleichen Zeitraum. Die (prozentuale) Anzahl der Mobiltelefone (grüne Kurve, rechte Skala) bezogen auf die Weltbevölkerung ist in den Jahren 2004 bis 2010 von knapp 30% auf über 70% gestiegen. Dabei fließen natürlich Nutzer mit mehr als einem Mobiltelefon in die Statistik ein. 2010 besaßen also keineswegs 70% der Weltbevölkerung ein Mobiltelefon. 

[[File:P ID2265 LTE T 4 1 S3 v1.png|Absolute und prozentuale Anzahl der mobilen Endgeräte in den Jahren 2004 – 2010|class=fit]] 

Überproportional zugenommen hat – insbesondere seit der Einführung von Flatratetarifen – die Nutzung mobiler Datendienste. Die folgende Aussagen beziehen sich auf das Jahr 2010:
*Der globale mobile Datenverkehr verzeichnete 2010 einen Zuwachs um 159 Prozent und ist damit deutlich stärker angestiegen als erwartet. Mobile Datenübertragung verursacht bereits jetzt mehr Netzwerkbelastung als die Sprachübertragung im Mobilfunknetz. 

*Allein der mobile Datenverkehr war damit im Vergleichsjahr 2010 dreimal so groß wie das komplette Verkehrsaufkommen im Jahr 2000 (damals vorwiegend Sprachübertragung). 

*Obwohl Smartphones 2010 nur 13 Prozent aller mobilen Endgeräte ausmachten, waren sie für 78 Prozent der Daten– und Sprachübertragung verantwortlich. 

*Zu dieser Entwicklung haben auch 94 Millionen Laptop–Nutzer beigetragen, die das Internet unterwegs über UMTS–Modems nutzten. Ein solcher Laptop–Nutzer verursacht dabei im Mittel die 22–fache Datenmenge eines durchschnittlichen Smartphone–Benutzers. 

== Einige Eigenschaften von LTE ==
 
Das Kürzel LTE steht für Long Term Evolution und bezeichnet den neuen, UMTS nachfolgenden Mobilfunkstandard. Durch die konzeptionelle Neuentwicklung soll LTE auf lange Zeit (&bdquo;Long Term”) den sich immer weiter erhöhenden Bedarf an Bandbreite und nach höheren Geschwindigkeiten stillen. 

Der LTE–Standard wurde erstmals 2008 als UMTS–Release 8 durch das [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE#3GPP_.E2.80.93_Third_Generation_Partnership_Project 3GGP] (Third Generation Partnership Project) – einem Konglomerat verschiedener internationaler Telekommunikationsverbände – definiert und wird seitdem kontinuierlich durch sogenannte &bdquo;Releases” fortentwickelt. Durch das Bekenntnis der größten Mobilfunkanbieter weltweit ist LTE der erste (großteils) einheitliche Standard der Mobilfunktechnologie. 

Man bezeichnet LTE entsprechend der UMTS–Release 8 auch als &bdquo;3.9G”, da es die von der ITU (International Telecommunication Union) spezifizierten Bedingungen für den Mobilfunk der vierten Generation (4G) zunächst nicht ganz erfüllt. Das momentan neueste Release 10 (vom Juli 2011) genügt dagegen dem 4G–Standard. Im Kapitel 4.5 sind die Features dieser als LTE–A (LTE–Advanced) bezeichneten Technik angegeben. 

Nachfolgend sind wichtige Systemeigenschaften von LTE stichpunktartig zusammengestellt. Einige der Aussagen entstammen der Internetseite [http://www.itwissen.info/definition/lexikon/long-term-evolution-LTE.html ITWissen:]

*LTE basiert auf den Mehrfachzugriffsverfahren OFDMA (Orthogonal Frequency Division Multiple Access) im Downlink bzw. SC–FDMA (Single Carrier Frequency Division Multiple Access) im Uplink. Die detaillierte Beschreibung von OFDMA und insbesondere auch dessen Unterschiede zu [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich_.281.29 OFDM] findet sich in [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 4.3.]

*Die Verwendung dieses Modulationsverfahrens ermöglicht Orthogonalität zwischen den einzelnen Nutzern, was in einer erhöhten Netzwerkkapazität resultiert [HT09]<ref>Holma, H.; Toskala, A.: ''LTE for UMTS – OFDMA and SC–FDMA Based Radio Access.'' Wiley & Sons, 2009.</ref>. Diese Technik ermöglicht in Verbindung mit Multiple Input Multiple Output (MIMO) derzeit (2011) Spitzendatenraten von 100 Mbit/s im Downlink. 

*Neben der gegenüber dem 3G–System UMTS deutlich höheren Datenrate nutzt die LTE–Technik die zur Verfügung stehende Bandbreite effizienter aus. Durch die Kombination des aktuellsten Stands der Technologie mit den vorhandenen Erfahrungen von GSM und UMTS ist der neue Standard damit nicht nur sehr viel schneller, sondern zudem auch einfacher und flexibler [Mey10]<ref>Meyer, M.: ''Siebenmeilenfunk.'' c't 2010, Heft 25, 2010.</ref>.

== Motivation und Ziele von LTE ==
 
Das amerikanische Telekommunikationsunternehmen Cisco Systems ging 2010 in einem [http://www.cisco.com/c/en/us/solutions/collateral/service-provider/visual-networking-index-vni/mobile-white-paper-c11-520862.html White Paper] davon aus, dass im Jahre 2015
*die Nutzung mobiler Daten sechsundzwanzigmal höher sein wird als noch 2010, 
*diese Nutzung dabei pro Jahr nochmals um 92% zunimmt, und 
*die gigantische Menge von 6.3 Exabyte (6.3 · 1018 Byte) pro Monat erreicht wird. 

Es wurde außerdem vorausgesagt, dass 2015 fünf Milliarden Menschen mit dem Internet verbunden sein werden [HT09]<ref>Holma, H.; Toskala, A.: ''LTE for UMTS – OFDMA and SC–FDMA Based Radio Access.'' Wiley & Sons, 2009.</ref>. Darüber hinaus werden aber gleichzeitig weitere kabellose Übertragungstechnologien entwickelt, die ebenso hohe Datenübertragungsraten versprechen. Alle diese Faktoren verlangten und verlangen nach einer Weiterentwicklung des 3GPP–Mobilfunkstandards &bdquo;UMTS”. 

Der Ericsson Mobility Report: Weltweite Prognose zur LTE-Abdeckung. [http://www.lte-anbieter.info/lte-news/ericsson-mobility-report-weltweite-prognose-zur-lte-abdeckung PDF–Internetdokument], 2015 von 2015 zeigt, dass die Prognose von 2010 übertroffen wurde. 2014 gab es bereits 7.1 Milliarden mobile Teilnehmer mit Internetzugang, 2020 sollen es 9.2 Milliarden sein. 

[[File:P ID3130 LTE T 4 1 S2 v2.png|Weltweite Prognose zur LTE–Abdeckung|class=fit]] 

Das 3GPP–Konsortium hat früh mit der Definition der Ziele von LTE begonnen, um mit der rasanten Entwicklung bei leitungsbezogenen Verbindungen mithalten zu können. Die genauen Ziele wurden dann Ende 2004 in der LTE Release 6 vergleichend zur HSPA–Technologie (High Speed Packet Access) festgeschrieben. Als Hauptziele wurden genannt:
*Eine rein paketorientierte Übertragung und ein hohes Maß an Beweglichkeit und Sicherheit, 
*geringere Komplexität, Kostenreduzierung und optimierte Batterielaufzeiten der Endgeräte, 
*Bandbreitenflexibilität zwischen 1.5 MHz und 20 MHz, 
*eine möglichst hohe spektrale Effizienz (Datenrate pro einem Hertz Bandbreite), 
*maximal mögliche Datenraten von 100 Mbit/s im Downlink bzw. 50 Mbit/s im Uplink, 
*Signaldurchlaufszeiten geringer als 10 Millisekunden. 

Dies bedeutet eine Erhöhung der spektralen Effizienz um den Faktor zwei bis vier, eine Reduktion der Latenz auf die Hälfte und eine Verzehnfachung der maximalen Datenrate im Vergleich zu HSPA. Auf die einzelnen Punkte, die einen Großteil der LTE–spezifischen technischen Charakteristika darstellen, wird in [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Technische_Neuerungen_von_LTE#Zur_Sprach.C3.BCbertragung_bei_LTE Kapitel 4.2] noch genauer eingegangen.

== Entwicklung der UMTS-Mobilfunkstandards hin zu LTE ==
 
Die Entwicklung der Mobilfunkstandards der dritten Generation wurde bereits im dritten Kapitel dieses Buches ausführlich thematisiert. Aus diesem Grund wird hier detailliert nur auf die neueren Entwicklungen eingegangen. Zunächst eine kurze unkommentierte Übersicht der UMTS Releases vor LTE aus [Hin08]<ref>Hindelang, T.: ''Mobile Communications.''
Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref>:
*Release 99 (Dezember 1999): 
:UMTS 3G FDD und TDD; 3.84 Mchip/s; CDMA–Luftschnittstelle. 

*Release 4 (Juli 2001): 
:Niedrigere Chiprate (1.28 Mchip/s) bei TDD; einige Korrekturen und kleinere Verbesserungen. 

*Release 5 (März 2002): 
:IP Multimedia Subsystem (IMS); [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#High.E2.80.93Speed_Downlink_Packet_Access High-Speed Downlink Packet Access] (HSDPA). 
*Release 6 (März 2005): 
:[http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#High.E2.80.93Speed_Uplink_Packet_Access High-Speed Uplink Packet Access] (HSUPA); Multimedia Broadcast&Multicast Services (MBMS); Kooperation mit Wireless LAN; Push–to–Talk; Generic Access Network (GAN). 
*Release 7 (Dezember 2007): 
:Verkleinerung der Latenzzeit; verbessertes Quality of Service (QoS); Echtzeitanwendungen (zum Beispiel VoIP, EDGE Evolution); MIMO bei UMTS; TDD–Option 7.68 Mchip/s. 

Das Release 8 vom Dezember 2008 war gleichbedeutend mit der Einführung von Long Term Evolution (LTE) und die Basis für die erste Generation von LTE–fähigen Endgeräten. Die wichtigsten Neuerungen und Charakteristiken von Release 8 – zusammengefasst vom [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE#3GPP_.E2.80.93_Third_Generation_Partnership_Project 3GPP –] waren:
*Eine hohe spektrale Effizienz und sehr kurze Latenzzeiten, 

*die Unterstützung verschiedener Bandbreiten, 

*eine einfache Protokoll– und Systemarchitektur, 

*Rückwärtskompatibilität und Kompatibilität zu anderen Systemen wie [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS#Der_IMT.E2.80.932000.E2.80.93Standard cdma2000,] 

*FDD (Frequency Division Duplex) und TDD (Time Division Duplex) wahlweise nutzbar, 

*Unterstützung von Self-Organizing Networks (SON). 

Auf diese Features (und einige andere mehr) wird in [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Technische_Neuerungen_von_LTE#Zur_Sprach.C3.BCbertragung_bei_LTE Kapitel 4.2] noch im Detail eingegangen. '''Release 9''' enthält demgegenüber nur kleinere Verbesserungen und wird hier nicht näher betrachtet. Das momentan neueste '''Release 10''' vom Juli 2011 beschreibt die Weiterentwicklung LTE–Advanced (LTE–A). 

== LTE–Frequenzbandaufteilung ==
 
Für LTE werden neue Frequenzen benötigt. In Deutschland wurden 2010 hierfür zwei Frequenzbereiche versteigert. Die Grafik veranschaulicht die Ergebnisse dieser Frequenzversteigerung.

[[File:P ID2266 LTE T 4 1 S4 v1.png|LTE- Frequenzbereiche um 800 MHz und 2.6 GHz|rechts|rahmenlos]]

*&bdquo;Bereich um 800 MHz” (791 ... 862 MHz): Hier wurden nur gepaarte Spektren für FDD vergeben; je zweimal 10 MHz für die Telekom, O2 und Vodafone; 

*&bdquo;Bereich um 2.6 GHz” (2.5 ... 2.69 GHz): Hier wurden neben gepaarten Spektren für FDD (insgesamt 140 MHz) auch ungepaarte Spektren für TDD (50 MHz) vergeben. Mehr über den Unterschied zwischen FDD und TDD findet sich in [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 4.2.] 

 Die beiden versteigerten Frequenzbereiche haben unterschiedliche Systemeigenschaften, die sie jeweils interessant für verschiedene Anwendungsbereiche machen: 

Der Bereich um 800 MHz wird auch als Digitale Dividende bezeichnet, da er durch die Umstellung der (terrestrischen) TV–Übertragung von PAL auf DVB–T (&bdquo;Digitalisierung”) frei wurde. Laut Vereinbarung der Bundesregierung mit den (deutschen) Netzbetreibern muss dieser Bereich dazu genutzt werden, bisher schlecht versorgte Regionen zu &bdquo;Schnellem Internet” zu verhelfen. Definiert wurden vier Stufen für den Versorgungsgrad einer Region mit Breitbandinternet. Erst wenn in ganz Deutschland 90% der jeweilig vorangegangenen Stufe abgedeckt sind, darf mit der nächsten Stufe begonnen werden.
*Die Wahl für dieses Projekt fiel auf den vergleichsweise niedrigen Frequenzbereich um 800 MHz mit besseren Ausbreitungseigenschaften als bei 2600 MHz, was für die kostengünstige Versorgung ländlicher Bereiche sinnvoll und auch notwendig ist. Eine LTE-800 Basisstation erreicht einen maximalen Senderadius von etwa 10 km. Das Verhältnis Nutzer pro Fläche ist geringer als bei LTE–2600. Daraus ergibt sich, dass LTE–800 eher für dünn besiedelte Regionen geeignet ist. 

*Der Frequenzbereich von 821 MHz bis 832 MHz bleibt frei, um Interferenzen zwischen dem Uplink und dem Downlink zu vermeiden  ⇒  Duplexlücke. Darüber hinaus kann dieser für die Veranstaltungstechnik genutzt werden, da Frequenzen um 800 MHz schon vor Einführung von LTE von Funkmikrofonen genutzt wurde. In solchen Gebieten, in denen LTE flächendeckend verfügbar ist, müssen zukünftig Funkmikrofone auf die Duplexlücke ausweichen können. 

*Die unterschiedliche Bedeutung der beiden Frequenzbereiche für die Netzbetreiber werden auch am Ergebnis der Frequenzversteigerung von 2010 deutlich. Die 60 MHz um 800 MHz erbrachten knapp 3.6 Milliarden Euro (60 Euro/Hz), die 190 MHz um 2.6 GHz nur 344 Millionen Euro (1,80 Euro/Hz). Zum Vergleich: Die Versteigerung der UMTS–Frequenzen im Jahr 2000 resultierte in der astronomische Summe von 50 Milliarden Euro für 60 MHz  ⇒  833 Euro/Hz. 

Es besteht zudem die Möglichkeit, LTE nach und nach in das bestehende GSM–Netz um 900 MHz bzw. 1800 MHz einzuführen. Dies wird insbesondere durch die Spektrumsflexibilität von LTE begünstigt. 

== 3GPP – Third Generation Partnership Project ==
 
Auf den letzten Seiten wurde schon mehrfach das Third Generation Partnership Project (oder kurz 3GPP) erwähnt. Hier soll ein kurzer Überblick über das Selbstverständnis dieser Gruppe, seine Struktur und seine Aktivitäten gegeben werden. Die Informationen sind direkt der [http://www.3gpp.org/ 3GPP–Website] entnommen. 

Das 3GPP ist eine Gruppe verschiedener internationaler Normierungsorganisationen, die sich zum Zweck der Einheitlichkeit zusammengeschlossen haben. Es wurde am 4.12.1998 von fünf Partnern gegründet:
*ARIB (Association of Radio Industries and Businesses, Japan) 
*ETSI (European Telecommunication Standards Institute) 
*ATIS (Alliance for Telecommunications Industry Solutions, USA) 
*TTA (Telecommunications Technology Association, Korea) 
*TTC (Telecommunications Technology Committee, Japan) 

Das 3GPP entwickelt, akzeptiert und pflegt einen weltweit anwendbaren Standard im Mobilfunk. Die regelmäßig und häufig abgehaltenen Konferenzen sind die wichtigsten Instanzen bei der Fortschreibung der Standardisierung der technischen Spezifikationen von LTE. Änderungsanträge durchlaufen einen festgesetzten Standardisierungsprozess mit drei Stufen, der hohe Qualität und eine gute Strukturierung der Arbeit des 3GPP ermöglicht. Hat ein Release die letzte Stufe erreicht und ist fertiggestellt, wird er von den Partnern bzw. den in den Partnerorganisationen vereinigten Telekommunikationsunternehmen an den Markt weitergegeben. 

In [Gut10]<ref>Gutt, E.: ''LTE – eine neue Dimension mobiler Breitbandnutzung.'' [http://www.ltemobile.de/uploads/media/LTE_Einfuehrung_V1.pdf PDF-Dokument] im Internet, 2010.</ref> findet man folgende Einschätzung: &bdquo;Ziel der 3GPP–Standardisierung ist die Erstellung von technischen Spezifikationen (TS), die alle technischen Details einer Mobilfunktechnologie detailliert beschreiben. Die Spezifikationen für LTE sind extrem umfangreich. Der Detailgrad ist so hoch gewählt, damit Mobilfunkgeräte unterschiedlicher Hersteller in allen Netzen problemlos funktionieren”.

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:4.1 Allgemeine Fragen zu LTE|A4.1 Allgemeine Fragen zu LTE]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/History and Development of Mobile Communication Systems

2017-01-25T21:04:00Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Mobilfunksysteme der 2. und 3. Generation – eine Übersicht
|Vorherige Seite=Das GWSSUS–Kanalmodell
|Nächste Seite=Gemeinsamkeiten von GSM und UMTS
}}

== Vorläufer der heutigen Mobilfunknetze ==
 
Heutzutage (2011) weiß jedes Kind, was Mobilfunk ist, und nur wenige Jugendliche können sich heute vorstellen, dass auch ein Leben ohne Handy, SMS und die unzähligen Mobilfunk–Features möglich ist. Noch vor zwanzig Jahren war das völlig anders: Nur einige wenige wussten von der Existenz solcher Systeme und noch weniger hatten jemals ein solches Gerät in der Hand. 

Wichtige Voraussetzung für die Realisierung mobiler Kommunikationssysteme ist die Theorie der elektromagnetischen Wellen, die James C. Maxwell 1864 entwickelt hat und von Heinrich Hertz entscheidend weiterentwickelt wurde. Ein weiterer großartiger Pionier der Funktechnik war Guglielmo M. Marconi, der 1896 die drahtlose Telegrafie erstmals öffentlich demonstrierte und dem 1901 die erste Transatlantik–Funkübertragung gelang. 1909 erhielt er für seine Erfindungen den Nobelpreis. 

Da die Marconi–Technik auch in der Transatlantik–Schifffahrt intensive Anwendung fand und deren Nutzung nach dem Untergang der Titanic (1912) sogar vorgeschrieben wurde, kann man die Entstehung mobiler Kommunikationssysteme etwa auf den Beginn des 20. Jahrhunderts datieren. 

Das erste Mobilfunknetz in Deutschland war das 1958 in Betrieb genommene und 1977 stillgelegte A–Netz, das im Frequenzbereich von 156 MHz bis 174 MHz mit analoger Frequenzmodulation (FM) arbeitete und bundesweit von bis zu 11000 Teilnehmern (aber sicher nicht gleichzeitig) genutzt wurde. Die Sendetechnik füllte den Kofferraum großer Limousinen. 

Auch das von 1972 bis 1994 betriebene B–Netz basierte auf analoger FM um 150 MHz. Dieses wurde zu seiner Blütezeit um 1985 von 27000 Teilnehmern genutzt und stellte 850 Funkkanäle zur Verfügung, wobei die Wiederverwendung gleicher Frequenzen in genügend weit voneinander entfernten Funkzellen berücksichtigt ist. Das Volumen der Sende– und Empfangseinrichtungen war aufgrund der zwischenzeitlichen Fortschritte auf dem Gebiet der Mikroelektronik deutlich kleiner als beim A–Netz. 

Als letztes Vorgängermodell der heutigen Systeme ist das noch ebenfalls analog aufgebaute C–Netz in einem Frequenzbereich um 450 MHz zu nennen, das in Deutschland in den Jahren zwischen 1986 und 2000 von der Deutschen Bundespost betrieben wurde. Es hatte 1993 seine maximale Teilnehmerzahl von 850000, bot eine Flächenabdeckung von immerhin 98% und stellte mit &bdquo;Handover” und &bdquo;Roaming” auch schon einige Features bereit, die bei den nachfolgenden Mobilfunkgenerationen zum Standard wurden. 

Das C–Netz rechnet man zur ersten Mobilfunkgeneration wie auch einige andere nahezu zeitgleich entstandene zellulare Systeme in anderen Ländern:
*AMPS (Advanced Mobile Phone Service), Bell Labs, USA, 1979, 
*ACS (Advanced Cellular Sytem), Fa. Comvik, Schweden, 1981, 
*NMT (Nordic Mobile Telephone), Schweden–Norwegen–Dänemark, 1981 und 1986, 
*TACS (Total Access Communication Standard), Großbritanien, 1985, 
*RTMS (Radio Telephone Mobile System), Italien, 1985, 
*RC 2000 (Radio Com 2000), Frankreich, 1986. 

== Mobilfunksysteme der zweiten Generation ==
 
Alle vorne genannten Mobilfunksysteme der ersten Generation (1G) waren nationale Lösungen mit folgender Konsequenz:
*Es war nicht möglich, zwischen den einzelnen Systemen zu kommunizieren. 
*Die Endgeräte (von &bdquo;Handy” sollte man noch nicht reden) ließen sich nur im jeweiligen Netz einsetzen, wodurch der Markt sehr eingeschränkt war und der wirtschaftliche Erfolg ausblieb. 

Anfang der 1980er Jahre gab es schon erste Bestrebungen zu einer Systemvereinheitlichung. Es entstand die zweite Generation (2G) von Mobilfunksystemen, gekennzeichnet durch
*eine durchgehend digitale Sprachübertragung, 
*die Bereitstellung von Datendiensten. 

Bei den Mobilfunksystemen der zweiten Generation ist die Sprachübertragung die zentrale Aufgabe und die Datenübertragung eher sekundär, wohingegen ein Kennzeichen der dritten Generation – zum Beispiel von UMTS – das so genannte &bdquo;mobile Internet” ist. 

Der bedeutenste 2G–Mobilfunkstandard ist GSM – Global System for Mobile Communications. Dieses im [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_GSM#Systemarchitektur_und_Basiseinheiten_von_GSM Kapitel 3.3] vorgestellte System ist nicht nur in Europa weit verbreitet, sondern es haben sich diesem Standard auch viele Regionen weltweit angeschlossen. GSM war und ist die am schnellsten wachsende Kommunikationstechnologie aller Zeiten. 

Die derzeit (2011) eingesetzten GSM–Systeme sind
*GSM 900: Frequenzen um 900 MHz (D–Netze; in Deutschland TD1 und Vodafone D2) ,
*GSM/DCS 1800: Frequenzbereich um 1.8 GHz (E–Netze; in Deutschland alle Betreiber), 
*GSM/PCS 1900: Frequenzbereich um 1.9 GHz (vorwiegend in den USA eingesetzt). 

Daneben werden zu den Mobilfunksystemen der zweiten Generation auch gezählt:
*das 1993 in Japan in Betrieb gegangene PDC–Netz (Personal Digital Cellular), 
*der &bdquo;Schnurlos–Standard” DECT (Digital Enhanced Cordless Telecommunications), 
*die Satellitensystemstandards LEO (Low Earth Orbit) und MEO (Medium Earth Orbit), 
*terrestrische Flugfunknetze  ⇒  TFTS (Terrestrical Flight Telephone System), 
*Versuchsnetze in den USA wie D–AMPS und Qualcomm–CDMA. 

Schließlich zählt man zu den 2G–Mobilfunksystemen auch &bdquo;Drahtlose Teilnehmeranschlüsse” mit sehr begrenzter Mobilität wie WLL (Wireless Local Loop) und RLL (Radio in the Local Loop). 

== Die Entstehungsgeschichte von GSM ==
 
Der GSM–Standard wurde um 1990 mit dem Ziel eingeführt, ein einheitliches paneuropäisches mobiles Telefonsystem und –netz anbieten zu können. Die Nutzung zur Datenübertragung stand zunächst nicht im Mittelpunkt, wurde aber seitdem durch Zusatzspezifikationen hinsichtlich Datenrate stetig verbessert. 

Nachfolgend einige Daten zur historischen Entwicklung von GSM:
*1982  Bei der &bdquo;Conférence Européenne des Postes et Télécommunications” (CEPT) wird die Groupe Spécial Mobile – abgekürzt GSM – eingerichtet.
*1987  Es wird eine Kooperation zwischen 17 zukünftigen Betreibern aus 15 europäischen Ländern gebildet und mit der GSM–Spezifikation begonnen.

*1990  Die Phase 1 der GSM 900-Spezifikation (für 900 MHz) wird abgeschlossen. Es beginnt die Anpassung für das System GSM/DCS 1800 (Digital Cellular System) um die Frequenz 1.8 GHz.

*1992  Die meisten europäischen GSM–Netzbetreiber beginnen den kommerziellen Betrieb mit Sprachdiensten. Ende 1992 sind bereits dreizehn Netze in sieben Ländern &bdquo;on air”.

*1995  Die Phase 2 der Standardisierung beginnt und beinhaltet Fax, Daten und SMS–Roaming sowie Anpassungen für GSM/PCS1900, das im selben Jahr in den USA in Betrieb geht.

*1999  Mit der Einführung von WAP (Wireless Application Protocol) wird es erstmals möglich, Inhalte des Internets und andere interaktive Dienstangebote auf Mobilgeräte zu übertragen.

*1999  Durch die Einführung von HSCSD (High Speed Circuit–Switched Data) wird die Datenrate von 9.6 auf 14.4 kbit/s erhöht; durch Bündelung von vier TDMA–Kanälen weiter auf 57.6 kbit/s.

*2000  Die Erweiterung GPRS (General Packet Radio Service) vereinfacht den drahtlosen Zugang zu paketvermittelten Datennetzen. Die maximale Datenrate beträgt (theoretisch) 171 kbit/s.

*2000  Mit der Phase 2+ wird EDGE (Enhanced Data Rates for GSM Evolution) definiert, womit die GPRS–Rate theoretisch verdreifacht werden könnte. Tatsächlich erreicht man nur 384 kbit/s.

*2006   T–Mobile beginnt als erster deutscher Mobilfunkanbieter mit der Bereitstellung von EDGE. In den nächsten Jahren ziehen in Deutschland die Betreiber Vodafone, O2 und E–Plus nach.

[[File:P ID2193 Mob T 3 1 S4 v1.png|Datenrate bei GSM und seinen Weiterentwicklungen|class=fit]] 

Die Grafik zeigt die Entwicklung der GSM–Datenübertragungsrate in linearem Maßstab. Die Abszisse bezeichnet das Jahr der Markteinführung (in Deutschland), nicht die Standardisierung. 

== Mobilfunksysteme der dritten Generation (1) ==
 
Schon kurz nach der GSM–Standardisierung zeigte sich, dass damit der Bandbreitenbedarf zur Nutzung multimedialer Dienste nicht gedeckt werden kann. Die nächste, dritte Generation von Mobilfunksystemen sollte auf [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung#FDMA.2C_TDMA_und_CDMA_.281.29 CDMA] (Code Division Multiple Access) basieren. 

Wesentliche Vorarbeiten waren:
*1949 Erste Ideen zum CDMA–Verfahren durch Claude E. Shannon und John R. Pierce. 

*1970 Verschiedene CDMA–Entwicklungen für militärische Systeme, beispielsweise GPS. 

*1989–1992 Grundlagenforschung zu den Eigenschaften zukünftiger Mobilfunksysteme im Rahmen des EU–Programms RACE–1 (Research, Analysis, Communication, Evaluation). 

*1992–1995 EU–Programm RACE–2. Schwerpunkt &bdquo;Entwicklung von Systemkonzepten”, basierend auf den Ergebnissen von RACE–1. 

Erste Überlegungen zum Standard IMT–2000 (International Mobile Telecommunications at 2000 MHz) wurden von der ITU 1992 angestellt. Daraus entwickelte sich mit UMTS (Universal Mobile Telecommunications Systems) das bekannteste Mobilfunksystem der dritten Generation (3G). Bis zur Markteinführung in Deutschland (2004) waren aber noch einige Zwischenschritte nötig:
*1996 Gründung des UMTS–Forums in Zürich – Umbenennung des geplanten europäischen Standards &bdquo;W–CDMA” in &bdquo;UMTS”.

*1998 Übernahme der Modi &bdquo;W–CDMA” und &bdquo;TD–CDMA” in den UMTS–Standard auf der ETSI–SMG–Sitzung in Paris.

*1998 Gründung des 3gpp–Forums (3rd Generation Partnership Project) durch die Gremien ETSI–SMG, T1P1, ARIB TTC und TTA.

*1999 Verabschiedung des Standards UMTS–R99 (Release 1999) durch die ETSI. Dieser gilt als Basis für die ersten verfügbaren UMTS–Endgeräte.

*2001 UMTS Release 4 als Weiterentwicklung von UMTS–R99: Quality of Service (QoS) wird nun nicht nur an der Funkschnittstelle, sondern auch im Festnetz unterstützt.

*2001 Erstes kommerzielle UMTS–Netz des norwegischen Unternehmens TELENOR.

*2002 UMTS Release 5: Die an das GSM–Festnetz angelehnte Architektur wird durch ein vollständig IP–basiertes Netz ersetzt. Zusätzlich erfolgt die Definition von HSDPA.

*2002 Erste UMTS–Sprach– und Datenverbindung von Nortel Networks und Qualcomm. Damit gelten diese beiden Firmen als Vorreiter bei der Umsetzung der UMTS–Technologie.

*2005 UMTS Release 6, womit dem Nutzer ein verbesserter QoS und dem Anbieter eine effektivere Ressourcenverwaltung geboten wird. Daneben Definition von HSUPA.

*2007 UMTS Release 7. Berücksichtigung von Realzeitapplikationen wie VoIP (Voice over IP) und Evolved EDGE (nur kurz nach der Markteinführung von 2G–EDGE).

== Mobilfunksysteme der dritten Generation (2) ==
 
Die Jahreszahlen auf der letzten Seite beziehen sich jeweils auf die Spezifizierung. Bis zur tatsächlichen Nutzung einer Weiterentwicklung hat es meist noch zwei bis vier Jahre gedauert. 

Fassen wir die bisherige Aufzählung kurz zusammen, wobei wir uns vorwiegend auf die Situation in Europa und insbesondere in Deutschland zum jetzigen Zeitpunkt (2011) beziehen: 

Zu den Mobilfunksystemen der dritten Generation (3G) zählt man:
*[http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Frequenzspektren_f.C3.BCr_UMTS UTRA–FDD] (UMTS Terrestrial Radio Access–Frequency Division Duplex) nach den UMTS–Spezifikationen bis einschließlich Release 7. 

*Hierin enthalten sind [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#High.E2.80.93Speed_Downlink_Packet_Access HSDPA] (High Speed Downlink Packet Access) gemäß UMTS Release 5 und [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#High.E2.80.93Speed_Uplink_Packet_Access HSUPA] (High–Speed Uplink Packet Access) nach UMTS Release 6. 

*[http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#Enhanced_Data_Rates_for_GSM_Evolution EDGE:] Diese GSM–Weiterentwicklung (in höheren Modi mit 8–PSK–Modulation) wird &bdquo;3G” zugeordnet, während man zum Beispiel [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM#General_Packet_Radio_Service_.28GPRS.29 GPRS] zu den 2G–Systemen zählt. 

Mit den genannten Standards ist die Entwicklung von UMTS noch lange nicht abgeschlossen:
*Im Dezember 2008 wurde mit der Release 8 unter anderem die Variante E–UTRA (evolved UTRA) spezifiziert, besser bekannt als Long Term Evolution (LTE). 

*Bereits im März 2011 wurde dann mit der UMTS Release 10 das bis dahin noch gar nicht eingeführte LTE zu LTE Advanced (LTE–A) weiterentwickelt. 

Diese derzeit (2011) neuesten Mobilfunkstandards werden im Kapitel 4 des Buches ausführlich behandelt. Man zählt sie zur vierten Generation der Mobilfunksysteme (4G). Bereits jetzt ist absehbar, dass noch weitere Generationen folgen werden. 

Vorher beschäftigen wir uns aber in stark komprimierter Form mit
*den Gemeinsamkeiten zwischen GSM und UMTS [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Gemeinsamkeiten_von_GSM_und_UMTS#Zellulare_Architektur (Kapitel 3.2),] 

*den Charakteristika von GSM [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_GSM#Systemarchitektur_und_Basiseinheiten_von_GSM (Kapitel 3.3),] sowie 

*den Charakteristika von UMTS [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_UMTS#Anforderungen_an_Mobilfunksysteme_der_dritten_Generation (Kapitel 3.4).] 

Auf den beiden nächsten Seiten belegen wir mit einigen im Internet veröffentlichten Zahlen den Erfolg des digitalen Mobilfunks in den Jahren bis 2009. Für die Zeit danach wird es sicher einen Rückgang hinsichtlich GSM und einen überproportionalen Anstieg bei UMTS und LTE geben. 

== Die Erfolgsgeschichte des digitalen Mobilfunks (1) ==
 
Die folgenden Angaben stammen aus verschiedenen im Internet gefundenen Artikeln, zum Beispiel aus [Göt08]<ref>Götze, J.: ''Methoden der Informationstechnik I – Digitale Mobilfunksysteme''.
Vorlesungsmanuskript, Fakultät für Elektrotechnik, Universität Dortmund, 2008.</ref>, [Hin08]<ref>Hindelang, T.: ''Mobile Communications.''
Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> und [Waa10]<ref>Waadt, A.: ''Mobilkommunikation – Mobile Communications. Vorlesungsmanuskript'', Lehrstuhl für Kommunikationstechnik, Universität Duisburg–Essen, 2010.</ref>. Kein einziger Eintrag in den nun folgenden Tabellen geht auf eigene Recherchen der LNTwww–Autoren zurück. 

[[File:P ID2194 Mob T 3 1 S5a.png|Steigerungsraten der deutschen Mobilfunknetze|class=fit]] 

Die Zahlen der obigen Tabelle mit den Steigerungsraten der deutschen Mobilfunknetze (als die Summe aller Anbieter) werden von den Autoren wie folgt interpretiert:
*In den Jahren von 1992 bis 2008 stieg die Anzahl der registrierten mobilen Endgeräte von einer Million auf mehr als 100 Millionen (erste Zeile). Seit Ende 2005 übersteigt die Anzahl der mobilen Teilnehmeranschlüsse bereits die Einwohnerzahl Deutschlands. 

*Die größten Zuwachsraten gab es 1992 direkt nach der GSM–Einführung (allerdings noch auf niedrigem Niveau) sowie um die Jahrtausendwende (dunklere Hinterlegungen in der Zeile 2). Wir erinnern uns an die Euphorie dieser Zeit kurz vor &bdquo;Platzen der Internetblase”, als die Versteigerung der deutschen UMTS–Lizenzen für insgesamt 20 Jahre Laufzeit und 120 MHz Bandbreite mehr als 100.000.000.000 DM (≈ 50.8 Milliarden Euro) einbrachte. 

*Aber auch die Zuwachsraten im neuen Jahrtausend (zwischen 5% und 10%) waren beachtlich, wenn man berücksichtigt, dass 2008 jeder in Deutschland Lebende inklusive Säuglingen und Greisen im Mittel schon 1.3 Mobiltelefone besessen hat. 

*Eine ganz besondere Erfolgsgeschichte war die Einführung der Kurzmitteilungen (englisch: Short Message Services, SMS). Beispielsweise wurden 2008 in deutschen Mobilfunknetzen fast 30 Milliarden solcher Kurznachrichten verschickt (dunklere Hinterlegung in Zeile 4). 

== Die Erfolgsgeschichte des digitalen Mobilfunks (2) ==
 
Betrachten wir nun die Entwicklung der Mobilkommunikation weltweit. Die Tabellen auf dieser Seite sind meist der URL–Seite von [http://www.gsmworld.com/newsroom/ GSMworld] entnommen. 

[[File:P ID2195 Mob T 3 1 S5b.png|Mobile Teilnehmeranschlüsse weltweit (GSM und UMTS)|class=fit]] 

Die Aussagen der oberen Tabelle lassen sich wie folgt zusammenfassen:
*2009 gab es weltweit mehr als 4.3 Milliarden mobile Teilnehmer. Zum Vergleich: Die Anzahl der Festnetzanschlüsse lag seit 2005 jeweils knapp unter einer Milliarde (wohl auch, weil eine Telefonanlage nur als ein Anschluss zählt), und nahm seitdem geringfügig, aber stetig ab. 

*Die jährlichen Steigerungsraten weltweit lagen zuletzt durchaus über 20% und damit über dem für Deutschland geltenden Wert. Dies lässt sich sicher damit erklären, dass in manchen Ländern 2009 noch keine solche Sättigung festzustellen war wie in Mitteleuropa. 

*Der GSM–Anteil lag zwischen 2006 und 2009 stabil bei etwa 80%. Der UMTS–Anteil (inkl. HSDPA) stieg von 2007 bis 2009 von 4% auf 9%, im wesentlichen auf Kosten des japanischen &bdquo;PDC” und des amerikanischen Systems &bdquo;cdma2000”. 

[[File:P ID2196 Mob T 3 1 S5c.png|Mobile Teilnehmeranschlüsse in den einzelnen Kontinenten|class=fit]] 

Aus der unteren Tabelle geht hervor, wie sich die Anzahl mobiler Teilnehmeranschlüsse auf die einzelnen Kontinente verteilt. Diese Zahlen aus den Jahren 2008 und 2009 lassen sich nach unserer Auffassung wie folgt zusammenfassen:
*Der interessanteste Markt für mobile Kommunikationssysteme ist eindeutig Asien. 2009 waren bereits 44% aller Teilnehmer dort registriert und der prozentuale Anteil wird weiter zunehmen. 

*Zu berücksichtigen ist auch, dass der prozentuale Anstieg des Asien–Anteils von 42.2% (2008) auf 44% (2009) in absoluten Zahlen einen Anstieg um 350 Millionen Anschlüsse bedeutet hat. 

*Der relative Marktanteil von Westeuropa ist von 13.4% (2008) auf 11.8% (2009) gesunken, obwohl die absolute Zahl von 493 Millionen auf 510 Millionen gestiegen ist. Die gleiche Tendenz lässt sich auch bei anderen &bdquo;Erste–Welt–Regionen” wie USA/Kanada ablesen. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.1 Entwicklungen des Mobilfunks|A3.1 Entwicklungen des Mobilfunks]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/The GWSSUS Channel Model

2017-01-25T20:32:47Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Frequenzselektive Übertragungskanäle
|Vorherige Seite=Mehrwegeempfang beim Mobilfunk
|Nächste Seite=Historie und Entwicklung der Mobilfunksysteme
}}

== Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme (1) ==
 
Während es bei linearen zeitinvarianten (LZI) Systemen mit der Übertragungsfunktion H(f) und der Impulsantwort h(τ) nur zwei das System vollständig beschreibende Funktionen gibt, sind bei zeitvarianten (LZV) Systemen insgesamt vier verschiedene Systemfunktionen möglich. Eine formale Untersscheidung dieser Funktionen hinsichtlich Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung durch Klein– und Großbuchstaben ist damit ausgeschlossen. 

Deshalb nehmen wir nun eine Nomenklaturänderung vor, die sich wie folgt formalisieren lässt:
*Die vier möglichen Systemfunktionen werden einheitlich mit η12 bezeichnet. 

*Der erste Index ist entweder ein V (Verzögerungszeit τ) oder ein F (Frequenz f). 

*Als zweiter Index ist entweder ein Z (Zeit t) oder ein D (Dopplerfrequenz fD) möglich. 

Da beim Mobilfunk im Gegensatz zur leitungsgebundenen Übertragung die Systemfunktionen nicht deterministisch beschrieben werden können, sondern statistische Größen sind, müssen später noch entsprechende Korrelationsfunktionen betrachtet werden. Diese bezeichnen wir im Folgenden einheitlich mit φ12, und verwenden gleiche Indizes wie für die Systemfunktionen η12. 

Diese formalisierten Bezeichnungen sind in der folgenden Grafik in blauer Schrift eingetragen. Zusätzlich sind die in anderen Kapiteln oder der Literatur verwendeten Bezeichnungen angegeben (graue Schrift). In den weiteren Kapiteln werden diese teilweise ebenfalls benutzt. 

[[File:P ID2165 Mob T 2 3 S1 v1.png|Zusammenhang zwischen den Systemfunktionen|class=fit]] 

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

== Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme (2) ==
 
In der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme_.281.29 Grafik] auf der letzten Seite sind die vier Systemfunktionen dargestellt. Oben erkennt man die zeitvariante Impulsantwort ηVZ(τ, t), die in [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk#Zeitinvariante_Beschreibung_des_Zweiwegekanals_.281.29 Kapitel 2.2] mit h(τ, t) bezeichnet wurde. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist

:<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot
\eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}. </math>

Zur Frequenz–Zeit–Darstellung (rechter Block) kommt man durch eine Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung τ. Man erhält so die zeitvariante Übertragungsfunktion H(f, t) = ηFZ(f, t). Die Fouriertransformation hinsichtlich τ ist in der Grafik durch &bdquo;Fτ[ · ]” angedeutet. Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:

:<math>\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm kurz:} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)
\hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm} \tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)
\hspace{0.05cm}.</math>

Die AKF dieser zeitvarianten Übertragungsfunktion lautet allgemein:

:<math>\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot
\eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Die Scatter–Funktion ηVD(τ, fD) entsprechend dem linken Block – manchmal auch mit s(τ, fD) bezeichnet – beschreibt den Mobilfunkkanal im Verzögerungs–Doppler–Bereich. Sie ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort ηVZ(τ, t) durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters t:

:<math> \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})
\hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}) \cdot
\eta_{\rm VD}^{\star}(\tau_2, f_{\rm D_2}) \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Der Funktionsparameter fD bezeichnet hierbei die [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung_.281.29 Dopplerfrequenz.] 

Abschließend betrachten wir noch die so genannte frequenzvariante Übertragungsfunktion, also die Frequenz–Doppler–Darstellung. Entsprechend der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme_.281.29 Grafik] gelangt man zu dieser auf zwei Wege:

:<math>\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})
\hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)\hspace{0.05cm},</math>

:<math>\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})
\hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.</math>

Anzumerken ist, dass die angegebenen Fourier–Zusammenhänge zwischen den Systemfunktionen in der Grafik durch die äußeren, dunkelgrünen Pfeile veranschaulicht sind. Die inneren (helleren) Pfeile kennzeichnen jeweils die Verknüpfungen über die [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral inverse Fouriertransformation.] 

Hinweis: Ein Interaktionsmodul zeigt den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frequenzbereich, formelmäßig beschreibbar durch Fouriertransformation und Fourierrücktransformation: 

[[Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion Please add link and do not upload flash video.]]

== Vereinfachungen aufgrund der GWSSUS–Voraussetzungen ==
 
Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert. Es müssen gegenüber dem allgemeinen Modell einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen. 

Man kommt zum GWSSUS–Modell (Gaussian Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering) durch folgende Festlegungen:
*Der Zufallsprozess der Kanalimpulsantwort h(τ, t) = ηVZ(τ, t) wird allgemein als komplex (also Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich), gaußisch (Kennung G) sowie als mittelwertfrei (Rayleigh, nicht Rice, also keine Sichtverbindung) angenommen. 

*Der Zufallsprozess sei schwach stationär, das heißt, seine Kenngrößen ändern sich mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF φVZ(τ1, t1, τ2, t2) der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht mehr von den absoluten Zeiten t1 und t2 ab, sondern nur noch von der Zeitdifferenz Δt = t2 – t1. Darauf weist die Kennung WSS   ⇒   Wide Sense Stationary hin. 

*Die einzelnen Echos aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was durch die Kennung US   ⇒   Uncorrelated Scattering ausgedrückt wird. 

[[File:P ID2166 Mob T 2 3 S2 v1.png|Zusammenhänge zwischen den Beschreibungsfunktionen des GWSSUS–Modells|class=fit]] 

Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften lässt sich der Mobilfunkkanal entsprechend der hier angegebenen Grafik beschreiben. Auf die einzelnen Leistungsdichtespektren (blau beschriftet) und die Korrelationsfunktion (mit roter Schrift) wird auf den nächsten Seiten noch im Detail eingegangen. 

== AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (1) ==
 
Zunächst betrachten wir die Autokorrelationsfunktion (AKF) der zeitvarianten Impulsantwort  ⇒  h(τ, t) = ηVZ(τ, t) etwas genauer. Dabei zeigt sich:

*Aufgrund der WSS–Eigenschaft lässt sich mit Δt = t2 – t1 schreiben:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = \varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t)\hspace{0.05cm}.</math>

*Da die Echos als unabhängig voneinander vorausgesetzt wurden (US–Eigenschaft), kann man die Impulsantwort bezüglich den Verzögerungen τ1, τ2 als unkorreliert annehmen. Dann gilt:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t) = 0 \hspace{0.35cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.35cm} \tau_1 \ne \tau_2\hspace{0.05cm}. </math>

*Ersetzt man nun τ1 durch τ und τ2 durch τ + Δτ, so lässt sich diese Autokorrelationsfunktion in folgender Weise darstellen:

::<math>\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}. </math>

*Wegen der Ausblendeigenschaft der Diracfunktion verschwindet die AKF für τ1 ≠ τ2  ⇒  Δt ≠ 0. ΦVZ(τ, Δt) nennt man das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum, das von der Verzögerung τ (= τ1 = τ2) und zusätzlich von der Zeitdifferenz Δt = t1 – t2 abhängt. 

Beachten Sie, dass hier Autokorrelationsfunktion φVZ(Δτ, Δt) und Leistungsdichtespektrum ΦVZ(τ, Δt) nicht wie sonst üblich über die Fouriertransformation zusammenhängen, sondern nach obiger Gleichung über eine Diracfunktion verknüpft sind. Nicht alle Symmetrieeigenschaften, die aus dem [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine Wiener–Chintchine–Theorem] folgen, sind somit auch hier gegeben. Insbesondere ist es durchaus möglich und sogar sehr wahrscheinlich, dass ein solches Leistungsdichtespektrum eine ungerade Funktion ist. 

In der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Vereinfachungen_aufgrund_der_GWSSUS.E2.80.93Voraussetzungen Übersicht] ist das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum ΦVZ(τ, Δt) oben in der Mitte zu erkennen. Da ηVZ(τ, t) wie jede beliebige [http://en.lntwww.de/Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort Impulsantwort] die Einheit [1/s] aufweist, hat die Autokorrelationsfunktion

:<math>\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot
\eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau + \Delta \tau, t + \Delta t) \right ]</math>

die Einheit [1/s2]. Da aber auch die Diracfunktion mit Zeitargument, δ(Δτ), die Einheit [1/s] aufweist, besitzt das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum ΦVZ(τ, Δt) ebenfalls die Einheit [1/s]:

:<math>\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.</math>

== AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (2) ==
 
Zum Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) kommt man, indem man in der Funktion ΦVZ(τ, Δt) den zweiten Parameter Δt = 0 setzt. Die Grafik zeigt einen beispielhaften Verlauf. 

[[File:P ID2170 Mob T 2 3 S3a v2.png|Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum|class=fit]] 

Das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) ist eine zentrale Größe für die Beschreibung eines Mobilfunkkanals. Es weist folgende Eigenschaften auf:
*ΦV(τ0) ist ein Maß für die &bdquo;Leistung” derjenigen Signalanteile, die um τ0 verzögert werden. Es wird hierfür implizit eine Mittelung über alle Dopplerfrequenzen (fD) vorgenommen. 

*Das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) hat wie ΦVZ(τ, Δt) die Einheit [1/s]. Es charakterisiert die Leistungsverteilung über alle möglichen Verzögerungszeiten τ. 

*In obiger Grafik farblich markiert ist die Leistung P0 ≈ ΦV(τ0) · Δτ solcher Signalanteile, die beim Empfänger über beliebige Pfade mit einer Verzögerung zwischen τ0 ± Δτ/2 eintreffen. 

*Normiert man das Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) derart, dass sich die Fläche 1 ergibt, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Verzögerungszeit:

::<math>{\rm WDF}_{\rm V}(\tau) = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}{\int_{0 }^{\infty}{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau} \hspace{0.05cm}.</math>

Im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie” hätten wir diese [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Eigenschaften_kontinuierlicher_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion] mit fτ(τ) bezeichnet. Um den Zusammenhang zwischen ΦV(τ) und der WDF deutlich werden zu lassen und Verwechslungen mit der Frequenz f zu vermeiden, wurde hier diese Nomenklatur gewählt. 

== Verzögerungsmodelle nach COST 207 ==
 
In den 1990er Jahren gründete die Europäische Union die Arbeitsgruppe COST 207 mit dem Ziel, standardisierte Kanalmodelle für den zellularen Mobilfunk bereitzustellen. Hierbei steht COST für European Cooperation in Science and Technology. 

In diesem internationalen Gremium wurden vier Profile für die Verzögerungszeit τ entwickelt, basierend auf Messungen und gültig für unterschiedliche Anwendungsszenarien. Im Folgenden werden vier verschiedene Verzögerungs–Leistungsdichtespektren angegeben, wobei stets der Normierungsfaktor Φ0 = ΦV(τ = 0) verwendet wird:
*Profil RA (englisch Rural Area)   ⇒   ländliches Gebiet:
::<math>{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}
\hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 0.7\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.109\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.</math>

*Profil TU (englisch Typical Urban)   ⇒   Städte und Vororte:
::<math>{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}
\hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 7\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.</math>

*Profil BU (englisch Bad Urban)   ⇒   ungünstige Bedingungen in Städten:
::<math>{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0}
= \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\
0.5 \cdot {\rm e}^{ (5\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 5\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},
\\ \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 5\,{\rm \mu s} < \tau < 10\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}</math>

*Profil HT (englisch Hilly Terrain)   ⇒   hügeliges Gebiet und Bergland:
::<math>{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0}
= \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\
0.04 \cdot {\rm e}^{ (15\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 2\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.286\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},
\\ \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 15\,{\rm \mu s} < \tau < 20\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}</math>

Die Grafik zeigt die Verzögerungs–Leistungsdichte dieser Profile in logarithmischer Darstellung. Aus den Exponentialfunktionen bei linearer Darstellung werden nun geradlinige Verläufe. 

[[File:P ID2175 Mob T 2 3 S4a v1.png|Verzögerungs–Leistungsdichte nach COST|class=fit]] 

Bei dieser logarithmischen Darstellung kann man den LDS–Parameter τ0 bei 10 &middot lg(1/e) = –4.34 dB ablesen, wie in der Grafik für das TU-Profil eingezeichnet. Auf diese vier COST–Profile wird in der Aufgabe A2.8 noch genauer eingegangen.

== AKF und LDS der frequenzvarianten Übertragungsfunktion ==
 
Die in der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme_.281.29 Grafik] auf der ersten Seite dieses Kapitels unten dargestellte Systemfunktion ηFD(f, fD) wird auch frequenzvariante Übertragungsfunktion genannt, wobei sich das Adjektiv &bdquo;frequenzvariant” auf die Dopplerfrequenz bezieht. Die dazugehörige AKF ist wie folgt definiert:

:<math>\varphi_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}, f_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}) \cdot
\eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, f_{\rm D_2}) \right ]\hspace{0.05cm}. </math>

Durch ähnliche Überlegungen wie auf der letzten Seite kann man diese Autokorrelationsfunktion unter GWSSUS–Bedingungen wie folgt darstellen:

:<math>\varphi_{\rm FD}(\Delta f, \Delta f_{\rm D}) = \delta(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.</math>

Dabei gilt:
*ΦFD(Δf, fD) ist das sogenannte Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum, das in der Grafik am Seitenende durch gelbe Hinterlegung hervorgehoben ist. 

*Das erste Argument Δf = f2 – f1 berücksichtigt, dass aufgrund der Stationarität die AKF und das LDS nur von der Frequenzdifferenz abhängen. 

*Der Faktor δ(ΔfD) mit ΔfD = fD2 – fD1 drückt die Unkorreliertheit der AKF bezüglich der Dopplerverschiebung aus. 

*Man kommt von ΦFD(Δf, fD) zum Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦD(fD), wenn man Δf = 0 setzt. ΦD(fD) gibt an, mit welcher Leistung einzelne Dopplerfrequenzen auftreten. 

*Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Dopplerfrequenz ergibt sich aus ΦD(fD) durch geeignete Flächennormierung. Diese weist wie ΦD(fD) die Einheit [1/Hz] auf:

::<math>{\rm WDF}_{\rm D}(f_{\rm D}) = \frac{{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})}{\int_{-\infty }^{+\infty}{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D}} \hspace{0.05cm}.</math>

*In vielen Fällen, so zum Beispiel für eine vertikale Monopulsantenne im isotrop gestreuten Feld, ist ΦD(fD) durch das [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading Jakes–Spektrum] gegeben. 

Das Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum ΦFD(Δf, fD) ist in der folgenden Grafik gelb hinterlegt. 

[[File:P ID2173 Mob T 2 3 S5 v1.png|Zur Berechnung des Doppler–Leistungsdichtespektrums|class=fit]] 

Eingezeichnet sind in dieser Grafik auch die Fourierzusammenhänge zu den benachbarten GWSSUS–Systembeschreibungsfunktionen. 
Wir verweisen hier auf das folgende Interaktionsmodul: 
[[Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts Please add link and do not upload flash videos.]]

== AKF und LDS der Verzögerungs–Doppler–Funktion ==
 
Die in der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme_.281.29 Übersicht] auf der ersten Seite von Kapitel 2.3 links dargestellte Systemfunktion wurde mit ηVD(τ, fD) bezeichnet. Die AKF dieser Verzögerungs–Doppler–Funktion kann unter Berücksichtigung der GWSSUS–Eigenschaften mit Δτ = τ2 – τ1 und ΔfD = fD2 – fD1 wie folgt geschrieben werden:

:<math>\varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = \varphi_{\rm VD}(\Delta \tau, \Delta f_{\rm D}) =
\delta(\Delta \tau) \cdot {\rm \delta}(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.</math>

Zu dieser Gleichung ist anzumerken:
*Die erste Diracfunktion δ(Δτ) berücksichtigt, dass die Verzögerungen unkorreliert sind (&bdquo;Uncorrelated Scattering”), die zweite Diracfunktion δ(ΔfD) folgt aus der Stationarität (&bdquo;Wide Sense Stationary”). 

*Das Verzögerungs–Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦVD(τ, fD) – auch Scatter–LDS genannt – kann aus ΦVZ(τ, Δt) bzw. ΦFD(Δf, fD) wie folgt berechnet werden:

::<math>{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm F}_{\Delta t} \left [ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \right ]
= \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot \Delta t)\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta t \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm F}_{f_{\rm D}}^{-1} \left [ {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \right ]
= \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \cdot {\rm exp}({\rm j}\cdot 2 \pi \cdot \tau \cdot \Delta f)\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta f \hspace{0.05cm}. </math>

*Sowohl die Systemfunktion ηVD(τ, fD) als auch die abgeleiteten Funktionen φVD(Δτ, ΔfD) und ΦVD(τ, fD) sind dimensionslos. Nähere Angaben hierüber finden Sie in Aufgabe A2.6.

*Weiterhin ist bei Erfüllung der GWSSUS–Voraussetzungen die Scatterfunktion gleich dem Produkt aus Verzögerungs– und Doppler–Leistungsdichtespektrum:

::<math>{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.</math>

Die Abbildung fasst die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels zusammen, wobei die auf dieser Seite beschriebenen Leistungsdichtespektren farblich hervorgehoben sind. 

[[File:P ID2171 Mob T 2 3 S6 v1.png|Eindimensionale Beschreibungsfunktion des GWSSUS–Modells|class=fit]] 

Festzuhalten ist:
*Der Einfluss der Verzögerungszeit (Laufzeit) τ und der Dopplerfrequenz fD lässt sich durch die Leistungsdichtespektren ΦV(τ) und ΦD(fD) separieren. 

*Die 2D–Verzögerungs–Doppler–Leistungsdichte ΦVD(τ, fD) ist gleich dem Produkt aus ΦV(τ) und ΦD(fD). 

== AKF und LDS der zeitvarianten Übertragungsfunktion ==
 
Die folgende Grafik zeigt alle Zusammenhänge zwischen den einzelnen Leistungsdichtespektren nochmals in kompakter Form. Auf den letzten Seiten wurden dabei bereits behandelt:
*[http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_zeitvarianten_Impulsantwort_.281.29 Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum] ΦVZ(τ, Δt); mit Δt = 0  ⇒  ΦV(τ) , 

*[http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_frequenzvarianten_.C3.9Cbertragungsfunktion Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum] ΦFD(Δf, fD); mit Δf = 0  ⇒  ΦD(fD), 

*[http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#AKF_und_LDS_der_Verz.C3.B6gerungs.E2.80.93Doppler.E2.80.93Funktion Verzögerungs–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum] ΦVD(τ, fD)  ⇒  ΦV(τ) · ΦD(fD). 

:[[File:P ID2176 Mob T 2 3 S7 v1.png|Zusammenstellung aller GWSSUS–Beschreibungsgrößen|class=fit]] 

Bisher noch nicht betrachtet wurde die gelb markierte Frequenz–Zeit–Korrelationsfunktion

:<math>\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot
\eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Berücksichtigt man wieder die GWSSUS–Vereinfachungen sowie die Identität ηVZ(f, t) = H(f, t), so lässt sich diese AKF mit Δf = f2 – f1 und Δt = t2 – t1 auch wie folgt schreiben:

:<math>\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t)
= {\rm E} \left [ H(f, t) \cdot
H^{\star}(f + \Delta f, t + \Delta t) \right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Hierzu ist anzumerken:
*Schon an der Namensgebung ist zu erkennen, dass φFZ(Δf, Δt) eine Korrelationsfunktion ist und kein Leistungsdichtespektrum wie die Funktionen ΦVZ(τ, Δt), ΦFD(Δf, fD), ΦVD(τ, fD). 

*Die Fourierzusammenhänge mit den benachbarten Funktionen lauten:

::<math>{\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)
\hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.05cm}\Delta f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \hspace{0.05cm}\Delta t)
\hspace{0.2cm} \stackrel{\Delta t,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})
\hspace{0.05cm}.</math>

*Setzt man in dieser zweidimensionalen Funktion die Parameter Δt = 0 bzw. Δf = 0, so ergeben sich die separaten Korrelationsfunktionen für den Frequenz– bzw. Zeitbereich:

::<math>\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t = 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\varphi_{\rm Z}(\Delta t) = \varphi_{\rm FZ}(\Delta f = 0, \Delta t ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Aus der Grafik wird auch deutlich, dass diese Korrelationsfunktionen mit den hergeleiteten Leistungsdichtespektren wieder über die Fouriertransformation korrespondieren:

::<math>\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm} {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm}\varphi_{\rm Z}(\Delta t) \hspace{0.2cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.</math> 

== Kenngrößen des GWSSUS–Modells (1) ==
 
Entsprechend den Ergebnissen der letzten Seite wird der Mobilfunkkanal durch
*das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum ΦV(τ) und 

*das Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦD(fD) 

vollständig beschrieben. Durch geeignete Normierung auf die jeweilige Fläche 1 ergeben sich daraus die Dichtefunktionen bezüglich der Verzögerungszeit τ bzw. der Dopplerfrequenz fD. 

Aus den Leistungsdichtespektren bzw. den zugehörigen Korrelationsfunktionen können Kenngrößen abgeleitet werden. Die wichtigsten sind hier zusammengestellt:
*Die Mehrwegeverbreiterung (englisch: Time Delay Spread oder Multipath Spread) TV gibt die Verbreiterung an, die ein Diracimpuls durch den Kanal im statistischen Mittel erfährt. TV ist definiert als die Standardabweichung (σV) der Zufallsgröße τ:

::<math>T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} = \sqrt{{\rm E} \left [ \tau^2 \right ] - m_{\rm V}^2}
\hspace{0.05cm}.</math>

:Der Mittelwert mV = E[τ] ist eine für alle Signalanteile gleiche mittlere Laufzeit (englisch: Average Excess Delay). E[τ2] ist als quadratischer Mittelwert zu berechnen.

*Die Kohärenzbandbreite BK (englisch: Coherence Bandwidth) ist derjenige Δf–Wert, bei dem der Betrag der Frequenzkorrelationsfunktion erstmals auf die Hälfte abgesunken ist.

::<math>|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.</math>

:BK ist ein Maß für die Frequenzdifferenz, um die sich zwei Sinussignale unterscheiden müssen, damit sie vollständig andere Kanalübertragungseigenschaften vorfinden. Ist die Signalbandbreite BS < BK, so werden alle Spektralanteile durch den Kanal annähernd gleich verändert. Das heißt: Genau dann liegt nichtfrequenzselektives Fading vor. 

In der Grafik links dargestellt ist die Verzögerungsleistungsdichte ΦV(τ) mit TV = 1 μs (rote Kurve) bzw. mit TV = 2 μs (blaue Kurve). Die zugehörigen Kohärenzbandbreiten BK = 276 kHz bzw. BK = 138 kHz sind in der φF(Δf)–Darstellung eingezeichnet. 

[[File:P ID2177 Mob T 2 3 S8 v3.png|Mehrwegeverbreiterung und Kohärenzbandbreite|class=fit]] 

Die aus ΦV(τ) berechenbare Mehrwegeverbreiterung TV steht mit der durch φF(Δf) festgelegten Kohärenzbandbreite BK in einem festen Verhältnis zueinander: BK ≈ 0.276/TV. Die oft benutzte Näherung [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk#Koh.C3.A4renzbandbreite_in_Abh.C3.A4ngigkeit_von_M BK' = 1/TV] ist bei exponentiellem ΦV(τ) sehr ungenau.

== Kenngrößen des GWSSUS–Modells (2) ==
 
Betrachten wir nun die Kenngrößen der Zeitvarianz, die von der Zeitkorrelationsfunktion φZ(Δt) bzw. vom Doppler–Leistungsdichtespektrum ΦD(fD) abgeleitet werden:
*Die Korrelationsdauer TD (englisch: Coherence Time) gibt die Zeit an, die im Mittel vergehen muss, bis der Kanal seine Übertragungseigenschaften aufgrund der Zeitvarianz völlig geändert hat. Die Definition ist vergleichbar mit der für die [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Kenngr.C3.B6.C3.9Fen_des_GWSSUS.E2.80.93Modells_.281.29 Kohärenzbandbreite]:

::<math>|\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0)| \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Dopplerverbreiterung BD (oder &bdquo;Fading–Bandbreite”, englisch: Doppler Spread) ist die mittlere Frequenzverbreiterung, die die einzelnen spektralen Signalanteile erfahren. Bei der Berechnung geht man ähnlich vor wie bei der [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Kenngr.C3.B6.C3.9Fen_des_GWSSUS.E2.80.93Modells_.281.29 Mehrwegeverbreiterung], indem man die Dopplerverbreiterung BD als die Standardabweichung der Zufallsgröße fD berechnet:

::<math>B_{\rm D} = \sigma_{\rm D} = \sqrt{{\rm E} \left [ f_{\rm D}^2 \right ] - m_{\rm D}^2}
\hspace{0.05cm}.</math>

:Zunächst ist aus ΦD(fD) durch Flächennormierung auf 1 die Doppler–WDF zu ermitteln, und daraus die mittlere Dopplerverschiebung mD = E[fD] und die Standardabweichung σD. 

Die Grafik gilt für einen zeitvarianten Kanal ohne Direktkomponente. Links dargestellt ist das [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading Jakes–Spektrum] ΦD(fD). Daraus kann die Dopplerverbreiterung ermittelt werden:

:<math>f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}50\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}: \hspace{-0.1cm}\hspace{0.45cm} B_{\rm D} \approx 35\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}100\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}: \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} B_{\rm D} \approx 70\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2181 Mob T 2 3 S8b v1.png|Dopplerverbreiterung und Korrelationsdauer|class=fit]] 

Die rechte Skizze zeigt die Zeitkorrelationsfunktion φZ(Δt) als die Fourierrücktransformierte von ΦD(fD). Bei den hier gegebenen Randbedingungen lautet diese mit der Besselfunktion:

:<math>\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D}) = {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.</math>

Die Korrelationsdauer der blauen Kurve ist TD = 4.84 ms. Für fD, max = 100 Hz (rote Kurven) ist die Korrelationsdauer nur halb so groß. Allgemein gilt im vorliegenden Fall: BD · TD ≈ 0.17. 

== Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell ==
 
Das abschließend in aller Kürze dargelegte Monte–Carlo–Verfahren zur Simulation eines GWSSUS–Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44]<ref>Rice, S.O.: ''Mathematical Analysis of Random Noise.'' BSTJ–23, pp. 282–232 und BSTJ–24, pp. 45–156, 1945.</ref> und Höher [Höh90]<ref>Höher, P.: ''Empfang trelliscodierter PSK–Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen – Entzerrung, Decodierung und Kanalschätzung.'' Düsseldorf: VDI–Verlag, Fortschrittsberichte, Reihe 10, Nr. 147, 1990.</ref>.

*Die 2D–Impulsantwort wird durch eine Summe aus M komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei M als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:

::<math>h(\tau, t)= \frac{1}{\sqrt {M}} \cdot \sum_{m=1}^{M} \alpha_m \cdot \delta (t - \tau_m) \cdot {\rm exp}({\rm j} \hspace{0.05cm} \phi_{m}) \cdot {\rm exp}({\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m} t)
\hspace{0.05cm}. </math>

*Vor Beginn werden die Verzögerungen τm, die Dämpfungsfaktoren αm, die gleichverteilten Phasen ϕm und die Dopplerfrequenzen fD,m nach den GWSSUS–Vorgaben &bdquo;ausgewürfelt”. 

*Grundlage für das Auswürfeln der Dopplerfrequenzen fD,m ist das [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading Jakes–Spektrum] ΦD(fD), das – geeignet normiert – gleichzeitig die WDF der Dopplerfrequenzen angibt. 

*Wegen ΦVD(τ, fD) = ΦV(τ) · ΦD(fD) ist für alle m die Verzögerungszeit τm unabhängig von der Dopplerfrequenz fD,m. Für den terrestrischen Landmobilfunk gilt dies mit guter Näherung. 

*Für das Auswürfeln der Parameter αm und τm   ⇒   ΦV(τ) stehen die [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verz.C3.B6gerungsmodelle_nach_COST_207 COST–Profile] RA (Rural Area), TU (Typical Urban), BU (Bad Urban) und HT (Hilly Terrain) zur Verfügung. 

*Je größer bei der Simulation die Anzahl M unterschiedlicher Pfade gewählt wird, um so besser wird eine reale Impulsantwort durch obige Gleichung angenähert. 

*Die höhere Simulationsgenauigkeit geht allerdings auf Kosten der Simulationsdauer. In der Literatur werden für M günstige Werte zwischen 100 und 600 angegeben. 

[[File:P ID2183 Mob T 2 3 S9a.png|Simulierte zeitvariante Übertragungsfunktion (Betragsquadrat)|rechts|rahmenlos]]

Der Bildschirmabzug zeigt ein Simulationsergebnis. Als 2D–Plot ist 20 · lg |H(f, t)| dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion H(f, t) in diesem Tutorial auch mit ηFZ(f, t) bezeichnet wurde. 

Der Simulation liegen folgende Parameter zugrunde:
*Die maximale Verzögerungszeit beträgt τmax ≈ 0.4 μs, woraus sich nach der Näherung für die Kohärenzbandbreite BK' ≈ 2.5 MHz ergibt. 

*Die Zeitvarianz entsteht durch eine Bewegung mit υ = 3 km/h. Die Trägerfrequenz ist 2 GHz. 

*Die maximale Dopplerfrequenz ist fD,max ≈ 5.5 Hz, die Dopplerverbreiterung BD = 4 Hz. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:2.5 Scatter-Funktion|A2.5 Scatter-Funktion]]

[[Zusatzaufgaben:2.5 Mehrwege-Szenario]]

[[Aufgaben:2.6 Einheiten bei GWSSUS|A2.6 Einheiten bei GWSSUS]]

[[Aufgaben:2.7 Kohärenzbandbreite|A2.7 Kohärenzbandbreite]]

[[Zusatzaufgaben:2.7 BK für den LZI–Zweiwegekanal]]

[[Aufgaben:2.8 COST-Verzögerungsmodelle|A2.8 COST-Verzögerungsmodelle]]

[[Aufgaben:2.9 Korrelationsdauer|A2.9 Korrelationsdauer]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/Probability Density of Rayleigh Fading

2017-01-25T20:07:16Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Zeitvariante Übertragungskanäle
|Vorherige Seite=Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung
|Nächste Seite=Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses
}}

== Allgemeine Beschreibung des Mobilfunkkanals ==
 
Im Folgenden wird zur Vereinfachung der Schreibweise auf den Zusatz &bdquo;TP” verzichtet. Somit liegt das reelle Signal s(t) = 1 am Eingang des Mobilfunkkanals an und das Ausgangssignal r(t) ist komplexwertig. Zusätzliche Rauschprozesse werden ausgeschlossen. 

Das Funksignal s(t) kann den Empfänger über eine Vielzahl von Pfaden erreichen, wobei die einzelnen Signalanteile in unterschiedlicher Weise gedämpft und verschieden lang verzögert werden. Allgemein kann man für das Tiefpass–Empfangssignal ohne Berücksichtigung von thermischem Rauschen schreiben:

:<math>r(t)= \sum_{k=1}^{K} \alpha_{k}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \phi_{k}(t)} \cdot s(t - \tau_{k})
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei sind folgende Bezeichnungen verwendet:
*Der zeitabhängige Dämpfungsfaktor auf dem k–ten Pfad ist αk(t). 

*Der zeitabhängige Phasenverlauf auf dem k–ten Pfad ist ϕk(t). 

*Die Laufzeit auf dem k–ten Pfad ist τk. 

Die Anzahl K der sich (zumindest geringfügig) unterscheidenden Pfade ist meist sehr groß und für eine direkte Modellierung ungeeignet. Das Modell lässt sich aber entscheidend vereinfachen, wenn man jeweils Pfade mit näherungsweise gleichen Verzögerungen zusammenfasst. Man unterscheidet somit nur noch M Hauptpfade, die durch großräumige Wegeunterschiede und damit merkliche Laufzeitunterschiede gekennzeichnet sind:

:<math>r(t)= \sum_{m=1}^{M} \hspace{0.1cm} \sum_{n=1}^{N_m} \alpha_{m,\hspace{0.01cm}n}(t) \cdot
{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}
\phi_{m,\hspace{0.02cm}n}(t)}
\cdot s(t - \tau_{m,\hspace{0.02cm}n})
\hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden bisher angegebenen Gleichungen sind identisch. Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn man für jeden Hauptpfad m die Nm Laufzeiten, die sich durch Reflexionen an Feinstrukturen sowie eventuell durch Beugungs– und Brechungserscheinungen geringfügig unterscheiden, durch eine mittlere Laufzeit ersetzt:

:<math>\tau_{m} = \frac{1}{N_m} \cdot \sum_{n=1}^{N_m} \tau_{m,\hspace{0.02cm}n}
\hspace{0.05cm}.</math>

Damit erhält man das folgende wichtige Zwischenergebnis:

:<math>r(t)= \sum_{m=1}^{M} z_m(t) \cdot s(t - \tau_{m}) \hspace{0.5cm} {\rm mit}
\hspace{0.5cm} z_m(t) = \sum_{n=1}^{N_m} \alpha_{m,\hspace{0.01cm}n}(t) \cdot
{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}
\phi_{m,\hspace{0.02cm}n}(t)}
\hspace{0.05cm}.</math>

== Modellierung von nichtfrequenzselektivem Fading (1) ==
 
Ausgehend von der soeben hergeleiteten Gleichung

:<math>r(t)= \sum_{m=1}^{M} z_m(t) \cdot s(t - \tau_{m}) \hspace{0.5cm} {\rm mit}
\hspace{0.5cm} z_m(t) = \sum_{n=1}^{N_m} \alpha_{m,\hspace{0.01cm}n}(t) \cdot
{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}
\phi_{m,\hspace{0.02cm}n}(t)}
\hspace{0.05cm}</math>

können zwei wichtige Sonderfälle abgeleitet werden:
*Gibt es mehr als einen Hauptpfad (M ≥ 2), so spricht man von Mehrwegeausbreitung. Wie im Kapitel 2 noch gezeigt werden wird, kommt es dann – je nach Frequenz – zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung. Für manche Frequenzen erweist sich die Mehrwegeausbreitung als günstig, für andere als extrem ungünstig. Man bezeichnet diesen Effekt auch als frequenzselektives Fading. 

*Bei nur einem Hauptpfad (M = 1, auf den Index &bdquo;1” verzichten wir in diesem Fall) vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt:

::<math>r(t)= z(t) \cdot s(t - \tau)
\hspace{0.05cm}.</math>

:Die Verzögerung τ bewirkt hier eine für alle Frequenzen konstante Laufzeit, die nicht weiter betrachtet wird. Es gibt nun keine Überlagerungen von Signalanteilen mit merklichen Laufzeitunterschieden und damit auch keine Frequenzabhängigkeit des Gesamtsignals. Man spricht deshalb von nichtfrequenzselektivem Fading oder Flat–Fading. Für dieses gilt:

::<math>r(t)= z(t) \cdot s(t) \hspace{0.5cm} {\rm mit}
\hspace{0.5cm} z(t) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_{n}(t) \cdot
{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}
\phi_{n}(t)}
\hspace{0.05cm}. </math>

Die Grafik zeigt das Modell zur Erzeugung von nichtfrequenzselektivem Fading. Man spricht auch von Rayleigh–Fading. 

[[File:P ID2108 Mob T 1 2 S2 v2.png|Rayleigh–Fading–Kanalmodell|class=fit]] 

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite. 

== Modellierung von nichtfrequenzselektivem Fading (2) ==
 
Wir betrachten die multiplikative Verfälschung z(t) entsprechend dem Rayleigh–Modell genauer. Für den komplexen Koeffizienten gilt entsprechend der letzten Seite:

:<math>z(t) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_{n}(t) \cdot
{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}
\phi_{n}(t) }=
\sum_{n=1}^{N} \alpha_{n}(t) \cdot
\cos(
\phi_{n}( t)) + {\rm j}\cdot \sum_{n=1}^{N} \alpha_{n}(t) \cdot
\sin(
\phi_{n}( t))
\hspace{0.05cm}. </math>

Das Empfangssignal r(t) ergibt sich, wenn man das Sendesignal s(t) mit der Zeitfunktion z(t) multipliziert. Es sei nochmals daran erinnert, dass sich alle Signale bzw. Zeitfunktionen s(t), z(t) und r(t) auf den äquivalenten Tiefpassbereich beziehen. 

[[File:P ID2109 Mob T 1 2 S2 v3.png|Rayleigh–Fading–Kanalmodell|class=fit]] 

Zu obiger Gleichung und der Grafik ist anzumerken:
*αn(t) und ϕn(t) hängen von den Umgebungsbedingungen ab. ϕn(t) erfasst die verschiedenen Laufzeiten auf den N Pfaden und den [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffektes_.281.29 Dopplereffekt] aufgrund der Bewegung.

*Die Zeitfunktion z(t) ist eine komplexe Größe, deren Real– und Imaginärteil wir im Folgenden wieder mit x(t) und y(t) bezeichnen.

*Eine deterministische Beschreibung der Zufallsgröße z(t) = x(t) + j · y(t) ist nicht möglich, vielmehr müssen diese Funktionen durch stochastische Prozesse modelliert werden.

*Ist die Anzahl N der (leicht) unterschiedlichen Laufzeiten hinreichend groß, so ergeben sich nach dem zentralen Grenzwertsatz Gaußsche Zufallsgrößen x(t) und y(t).

*x(t) und y(t) sind jeweils mittelwertfrei und besitzen die gleiche Varianz σ2:

::<math>{\rm E}[x(t)] = {\rm E}[y(t)] = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm E}[x^2(t)] = {\rm E}[y^2(t)] = \sigma^2
\hspace{0.05cm}.</math>

*Zu berücksichtigen ist die Orthogonität von Realteil und Imaginärteil (jeweils Cosinus und Sinus des gleichen Arguments); damit sind sie auch unkorreliert. Nur bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt daraus weiter die statistische Unabhängigkeit von x(t) und y(t).

*Aufgrund des Dopplereffekts gibt es allerdings statistische Bindungen innerhalb des Realteils x(t) und innerhalb des Imaginärteils y(t). Diese werden im Modell durch zwei [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter Digitale Filter] erzeugt.

== Beispielhafte Signalverläufe bei Rayleigh–Fading (1) ==
 
Die Grafiken auf dieser und der nächsten Seite zeigen jeweils durch Simulation gewonnene Signalverläufe von 100 ms Dauer und die dazugehörigen Dichtefunktionen. Es handelt sich um Bildschirmabzüge des Windows–Programms &bdquo;Mobilfunkkanal” aus dem Praktikum [Söd01]<ref>Söder, G.: ''Simulation digitaler Übertragungssysteme.'' Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.</ref>. 

[[File:P ID2110 Mob T 1 2 S3 v1.png|Realteil, Imaginärteil und Phasenverlauf bei Rayleigh-Fading|class=fit]] 

Die Darstellungen lassen sich wie folgt interpretieren:
*Der Realteil ist gaußverteilt (siehe rechte obere Grafik), wie auch aus dem Zeitsignalverlauf x(t) hervorgeht. Rot eingezeichnet ist die Gaußsche WDF fx(x) und blau das durch Simulation über 10.000 Abtastwerte gewonnene Histogramm.

*Im Programm eingestellt war für diese Darstellung eine [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung_.281.29 maximale Dopplerfrequenz] von 100 Hz. Deshalb gibt es statistische Bindungen innerhalb der Signale x(t) und y(t). Näheres hierzu finden Sie im [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Einige_allgemeine_Bemerkungen_zu_AKF_und_LDS Kapitel 1.3.]

*Die WDF fy(y) des Imaginärteils ist identisch mit fx(x). Die Varianz beträgt jeweils σ2 = 0.5. Zwischen x(t) und y(t) bestehen keine statistischen Bindungen; die Signale sind orthogonal.

*Die Phase ϕ(t) ist gleichverteilt zwischen ±π. Wie aus den Sprungstellen im Phasenverlauf zu erkennen, kann ϕ(t) durchaus größere Werte annehmen. Alle Bereiche (2k±1)π wurden aber bei der Histogrammerstellung auf den Wertebereich –π ... +π projiziert (k ganzzahlig).

*Die gleichverteilte Phase wird anhand der (hier nicht dargestellten) 2D–WDF verständlich. Diese ist rotationssymmetrisch und dementsprechend gibt es auch keine Vorzugsrichtung:

::<math>f_{x,\hspace{0.02cm}y}(x, y) = \frac{1}{2\pi \cdot \sigma^2} \cdot
{\rm exp} \left [ - \frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2} \right ] .</math>

== Beispielhafte Signalverläufe bei Rayleigh–Fading (2) ==
 
Die Grafik zeigt oben nochmals Real– und Imaginärteil von z(t) = x(t) + j · y(t). Darunter gezeichnet sind Verlauf und WDF von Betrag a(t) = |z(t)| und Betragsquadrat p(t) = a2(t) = |z(t)|2. 

[[File:P ID2111 Mob T 1 2 S3b v1.png|Realteil, Imaginärteil, Betrag und Betragsquadrat bei Rayleigh-Fading|class=fit]] 

Aus diesen Darstellungen geht hervor:
*Der Betrag besitzt eine [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung Rayleigh–WDF]  ⇒  Name &bdquo;Rayleigh–Fading”:

::<math>f_a(a) =
\left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm exp} [ -a^2/(2\sigma^2)] \\
0 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0
\\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Für die Momente erster bzw. zweiter Ordnung und die Varianz des Betrags a(t) = |z(t)| gilt:

::<math>{\rm E}[a] = \sigma \cdot \sqrt {{\pi}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm E}[a^2] = 2 \cdot \sigma^2
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Var}[a] = \sigma_a^2 = \sigma^2 \cdot \left ( 2 - {\pi}/{2}\right )
\hspace{0.05cm}. </math>

*Die WDF des Betragsquadrats p(t) ergibt sich durch [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen nichtlineare Transformation] der WDF fa(a) und führt zu einer Exponentialverteilung:

::<math>f_p(p) =
\left\{ \begin{array}{c} 1/(2\sigma^2) \cdot {\rm exp} [ -p/(2\sigma^2)] \\
0 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p \ge 0
\\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math>

Weitere Informationen zum Rayleigh–Fading finden Sie in Aufgabe A1.3 und Aufgabe Z1.3. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:1.3 Rayleigh–Fading|A1.3 Rayleigh–Fading]]

[[Zusatzaufgaben:1.3 Nochmals Rayleigh–Fading?]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Mobile Communications/Distance Dependent Attenuation and Shading

2017-01-25T20:04:55Z

Ayush:

{{FirstPage}}
{{Header
|Untermenü=Zeitvariante Übertragungskanäle
|Vorherige Seite=
|Nächste Seite=Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings
}}

== Physikalische Beschreibung des Mobilfunkkanals ==
 
Die Grafik zeigt ein typisches Mobilfunkszenario mit fester Basisstation und einem mobilen Teilnehmer, der sich mit der Geschwindigkeit υ auf die Basisstation zu bewegt. Bei dieser Darstellung erreicht das Funksignal die Mobilstation über einen direkten Pfad. Die Antenne des mobilen Teilnehmers empfängt aber auch noch weitere Signalanteile, die auf Umwegen zum Empfänger gelangen, zum Beispiel aufgrund von Reflexionen an Häusern, einem Gebirge, einem Flugzeug, der Ionosphäre oder dem Erdboden. 

[[File:P ID2095 Mob T 1 1 S1 v1.png|Mobilfunkszenario|class=fit]] 

Anhand dieses Szenarios lassen sich wichtige Probleme bei der Mobilkommunikation erklären:
*Pfadverlust (englisch: Path Loss): Dieser erfasst die Dämpfung der elektromagnetischen Welle, die in starkem Maße von der Entfernung zwischen Sender und Empfänger abhängt. 

*Abschattung (englisch: Shadowing, Long Term Fading): Diese bezeichnet eine langsame Veränderung der Empfangsbedingungen aufgrund der sich ändernden Umgebung, zum Beispiel, wenn man an einem Gebäude vorbeifährt oder wenn man ein Waldstück verlässt. 

*Mehrwegeausbreitung (englisch: Multipath Propagation): Gelangt das Signal auf mehreren Wegen mit Laufzeitunterschieden zum Empfänger, so kommt es – je nach Signalfrequenz – zu konstruktiven oder destruktiven Überlagerungen bis hin zu völliger Auslöschung. Für bestimmte Frequenzen ist die Topologie günstig, für andere ungünstig. Deshalb wird dieser Effekt auch als frequenzselektives Fading bezeichnet. 

*Zeitvarianz (englisch: Time Variation): Der Effekt entsteht durch die Bewegung de Senders und/oder des Empfängers, da zu jeder Zeit ein anderer Kanal vorliegt. Die Übertragungsqualität sinkt rapide, wenn der direkte Pfad durch ein Hindernis abgeschattet ist. Das Empfangssignal setzt sich dann nur aus den auf Umwegen eintreffenden Teilsignalen zusammen, die aufgrund von Streuungen an Bäumen und Sträuchern sowie eventuell Brechungs– und Beugungserscheinungen gegenüber dem direkten Pfad abgeschwächt sind und sich vektoriell zum Gesamtsignal addieren. 

*Dopplereffekt (englisch: Doppler Spread): Je nachdem, ob (und auch in welchem Winkel) sich die Mobilstation auf den Sender zu bewegt oder sich von diesem entfernt, kommt es zu (leichten) Frequenzverschiebungen und damit zu statistischen Bindungen innerhalb des empfangenen Signals, die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Definition_des_Begriffs_.E2.80.9EImpulsinterferenz.E2.80.9D_.281.29 Impulsinterferenzen] bewirken. 

In Kapitel 1.1 betrachten wir Pfadverlust und Abschattungseffekte genauer. Die Zeitvarianz ist Inhalt von Kapitel 1.2 und 1.4, auch unter Berücksichtigung des Dopplereffektes (Kapitel 1.3). Das Kapitel 2 beschreibt die Mehrwegeausbreitung, die beim Mobilfunk Echos zur Folge hat. 

== Freiraumausbreitung ==
 
Man spricht von Freiraumausbreitung, wenn zwischen Sender und Empfänger (im Abstand d) eine Sichtverbindung besteht wie bei der Satellitenkommunikation oder im Weltraum. Die Radiowellen breiten sich im &bdquo;leeren Raum” ungehindert kugelförmig um die Sendeantenne aus, werden aber aufgrund des Energieerhaltungssatzes mit zunehmender Entfernung abgeschwächt. 

Geometrisch kann man sich das so vorstellen, dass der Radius R der Kugel und damit auch die Kugelfläche immer größer und bei konstanter Gesamtenergie der Energieanteil pro Flächeneinheit proportional zu 1/R2 immer kleiner wird. 

Wir gehen von einer unmodulierten Schwingung der Frequenz fS bzw. der Wellenlänge λ = c/fS aus, wobei c = 3 · 108 m/s die Lichtgeschwindigkeit angibt. Die Signalleistung sei PS. 

Harald Friis hat 1944 eine Gleichung für die Empfangsleistung PE(d) im Abstand d angegeben, die allerdings nur im Vakuum gültig ist:

:<math>P_{\rm E}(d) = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} \cdot \lambda^2}{16 \cdot \pi^2 \cdot d^2 \cdot V_{\rm zus}} =
\frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} /V_{\rm zus}}{K_{\rm FR}(d)} \hspace{0.05cm}.</math>

GS bzw. GE bezeichnen die Antennengewinne von Sender und Empfänger. Vzus > 1 fasst alle Verluste zusammen, die unabhängig von der Wellenausbreitung sind, z.B. die Verluste durch die Antennen–Kabelzuführungen. Die Freiraumdämpfung KFR(d) hängt von der Distanz d ab:

:<math>K_{\rm FR}(d) = K_{\rm FR}(d_0) \cdot (d/d_0)^2 \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm}
K_{\rm FR}(d_0) = \left [{4 \cdot \pi \cdot d_0}/{\lambda} \right ]^2 \hspace{0.05cm}.</math>

Meist wird die Freiraumdämpfung logarithmisch mit der Pseudoeinheit &bdquo;dB” angegeben. Dann gilt für den Leistungsverlust durch die Freiraumdämpfung (&bdquo;V” steht für &bdquo;Verlust” in dB):

:<math>V_{\rm FR}(d) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} K_{\rm FR}(d) = V_{\rm 0} + 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>V_{\rm 0} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} V_{\rm FR}(d_0) = 20\,\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.2cm} ({4 \pi d_0}/{\lambda}) \hspace{0.05cm}.</math>

Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:
*Sie gilt nur im Fernfeld der Antenne (d > dF). dF = 2 D2/λ ist die Fraunhofer–Distanz. Für D ist hierbei die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne einzusetzen. 

*Die obige Formel gilt nicht für d → 0. Hierfür ergäbe sich der Grenzwert KFR → 0, und es ergäbe sich unabhängig von PS stets eine unendliche Empfangsleistung PE(d → 0). 

*Die Freiraumdämpfung KFR(d) nimmt mit zunehmender Entfernung d quadratisch zu und ebenfalls quadratisch mit zunehmender Signalfrequenz fS, das heißt, mit kleiner werdender Wellenlänge λ. 

*Beispielsweise gilt beim GSM/E–Netz (fS = 1.8 GHz ⇒ λ ≈ 17 cm): KFR(d = 1 km) = 1.6 &middot 109. Beim Empfänger im Abstand von 1 km kommt also nicht mal ein Milliardstel der Sendeleistung an. 

In der Aufgabe Z1.1 soll die obige Friis–Gleichung numerisch ausgewertet und interpretiert werden. Oft setzt man die Freiraumdämpfung in Bezug zu einer geeignet zu definierenden Normierungsdistanz d0, wobei man häufig d0 = 1 m verwendet. 

== Gebräuchliches Pfadverlustmodell ==
 
Im Gegensatz zu Satelliten– und Richtfunk–Übertragungsstrecken sind beim Landmobilfunk neben der Freiraumdämpfung weitere störende Effekte zu berücksichtigen, die ebenfalls zu einer Verminderung der Empfangsleistung beitragen, nämlich:
*Reflexionen: Durch Überlagerung des Sendesignals mit einer am Erdboden oder an anderen großen glatten Oberflächen reflektierten Signalkomponente können Auslöschungen entstehen, die eine Abnahme der Empfangsleistung bis zur Potenz 4 des Abstandes d zwischen Sender und Empfänger bewirken. Mehr hierzu finden Sie in [Zan05]<ref>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref> und [PA95]<ref>Pahlavan, K.; Allen, L.: ''Wireless Information Networks.'' New York: John Wiley & Sons, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.</ref>. 

*Beugung: Hiervon spricht man, wenn das Signal nicht reflektiert, sondern – zum Beispiel an einer Gebäudekante – von seiner Ausbreitungsrichtung abgelenkt wird. Eine physikalische Erklärung findet man wieder in [Zan05]<ref>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref>. 

*Streuung: Ist die Verbindung Sender – Empfänger durch mehrere Objekte mit unregelmäßiger Oberfläche (zum Beispiel Bäume oder Sträucher) unterbrochen, so trifft das Signal am Empfänger in Form vieler Streusignale mit leicht unterschiedlichen Laufzeiten ein. Die Größe des Hindernisses bestimmt dabei, ob dieses als reflektierendes oder als streuendes Objekt aufzufassen ist. 

Diese Effekte sind dafür verantwortlich, dass man Mobilfunk auch ohne direkte Sichtverbindung betreiben kann, und die Grundlage für den wirtschaftlichen Erfolg der Mobilfunksysteme. Negativ wirken sich diese Effekte durch eine geringere Empfangsleistung aus, was durch einen größeren Exponenten als γ = 2 berücksichtigt werden muss. Wir sprechen dann nicht mehr von Freiraumdämpfung, sondern allgemein vom Pfaddämpfungsfaktor:

:<math>K_{\rm P}(d) = K_{\rm P}(d_0) \cdot (d/d_0)^\gamma \hspace{0.05cm}.</math>

Die entsprechende dB–Größe nennen wir Pfadverlust (&bdquo;lg” ist der Logarithmus zur Basis 10):

:<math>V_{\rm P}(d) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>V_{\rm 0} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} V_{\rm P}(d_0) = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda}\hspace{0.05cm}. </math>

Aus diesen Gleichungen ist zu ersehen, dass die Freiraumdämpfung VFR(d) ein Sonderfall von VP(d) mit γ = 2 ist. In [Zan05]<ref>Zangl, J.: ''Multi-Hop-Netze mit Kanalcodierung und Medium Access Controll (/MAC).'' Düsseldorf: VDI Verlag, Reihe 10, Nummer 761, 2005.</ref> werden einige Zahlenwerte für den Exponenten γ angegeben, die als Mittelwerte über eine Vielzahl von Messungen bestimmt wurden. Unter anderem gilt
*bei freier Sichtverbindung (Satelliten, Richtfunk): γ ≈ 2, 

*in städtischer Umgebung: γ = 2.7 ... 3.5, 

*in abgeschatteter städtischer Umgebung: γ = 3.0 ... 5.0, 

*innerhalb von Gebäuden ohne Sichtverbindung: γ = 4.0 ... 6.0. 

== Weitere, exaktere Pfadverlustmodelle ==
 
Das relativ einfache Pfadverlustmodell entsprechend der letzten Seite ist gut geeignet für Makrozellen, setzt allerdings hohe Antennen der Basisstationen voraus. Es wird beispielsweise als Referenz–Szenario bei der Standardisierung von Long Term Evolution (LTE) eingesetzt. 

Natürlich kann dieses sehr einfache Zweiparameter–Modell (V0, γ) nicht alle Anwendungsfälle mit ausreichender Genauigkeit wiedergeben. Vielmehr findet man in der Literatur eine Vielzahl weiterer Modelle für die Leistungsdämpfung, die genauer an spezifische Randbedingungen (Umgebungen) angepasst sind und auch unterschiedliche Zellgrößen berücksichtigen. Bekannt sind zum Beispiel (siehe [Gol06]<ref>Goldsmith, A.: ''Wireless Communications.'' Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2006.</ref>. )

*das Okumura–Hata–Modell, 

*das Pfadverlustmodell gemäß COST 231, 

*das Dual–Slope–Modell. 

Letzteres wird oft für Simulationen von Mikrozellen im städtischen Bereich eingesetzt. Es lautet mit den Kenngrößen d0 = 1 m und dBP (Breakpoint, beispielsweise dBP = 100 m):

:<math>V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ( {d}/{d_0} \right )
+ (\gamma_1 - \gamma_0) \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left (1+ {d}/{d_{\rm BP}} \right )\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2096 Mob T 1 1 S4.png|Dual-Slope-Pfadverlustmodell|right|rahmelos]]

 Die Grafik zeigt diesen Verlauf für V0 = 10 dB, γ0 = 2 und γ1 = 4 im Bereich von einem Meter bis zu mehreren Kilometern (grauer Kurvenzug).

 
Häufig wird zur Vereinfachung die in der Grafik rot eingezeichnete asymptotische Näherung

:<math>V_{\rm P}(d) = \left\{ \begin{array}{c} V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},\\
V_{\rm BP} + \gamma_1 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_{\rm BP})\hspace{0.05cm}, \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}d < d_{\rm BP}\hspace{0.05cm},
\\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} d \ge d_{\rm BP}\hspace{0.05cm} \\ \end{array}</math>

verwendet. Der Wert VBP = 50 dB ergibt sich aus der Gleichung für den ersten Abschnitt an der Grenze d = 100 m des Gültigkeitsbereiches. 

Hinweis: In der Aufgabe A1.1 wird dieses Modell noch eingehend untersucht. 

== Zusätzlicher Verlust durch Abschattungen (Shadowing) ==
 
Die bisherigen Pfadverlustmodelle berücksichtigen nur die distanzabhängige Signaldämpfung gemäß der linken Grafik und lassen topologische Gegebenheiten wie den Einfluss von Abschattungen (englisch: Shadowing) außer Acht. Im Landmobilfunk führen Abschattungen dazu, dass der Signalpegel auch dann nicht konstant ist, wenn man sich im gleichen Abstand von der Basisstation (auf einem Kreisbogen) bewegt. Diesen Sachverhalt zeigt die rechte Grafik, wobei dunklere Bereiche einen größeren Pfadverlust kennzeichnen. Der Unterschied zwischen linkem und rechtem Bild ist auf &bdquo;Shadowing” zurückzuführen. 

[[File:P ID2097 Mob T 1 1 S5 v2.png|Pfadverlust ohne und mit Berücksichtigung von Abschattung}class=fit]] 

Die Auswirkungen von Abschattungen (Shadowing) lassen sich wie folgt zusammenfassen:
*Bei ruhenden Sender und Empfänger ist die Abschattung deterministisch zu betrachten. Sie führt dazu, dass der Pfadverlust aufgrund Abschattung um einen konstanten Wert VS (in dB) verändert wird:

::<math>V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ V_{\rm S}\hspace{0.05cm}. </math>

*Bewegt sich der Empfänger (oder auch der Sender), so ändert sich der Shadowing–Verlust entsprechend den Koordinaten und demzufolge auch mit der Zeit: VS ⇒ VS(x, y) bzw. VS(t). 

*Allerdings sind solche Kanaländerungen aufgrund von Abschattungen sehr langsam. Oft bleiben die Bedingungen über mehrere Sekunden gleich und man spricht hier von Long Term Fading im Gegensatz zu schnellem Fading wie [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals Rayleigh–Fading] und [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Kanalmodell_und_Rice.E2.80.93WDF Rice–Fading.] 

== Lognormal–Kanalmodell (1) ==
 
Zur Berücksichtigung des Shadowing–Verlustes VS bei der Systemplanung muss man auf stochastische Modelle zurückgreifen, die sich aus empirischen Untersuchungen ergeben haben. Am bekanntesten ist das Lognormal–Kanalmodell, das für die Zufallsvariable VS eine [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Gau%C3%9Fverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe#Allgemeine_Beschreibung Gaußsche WDF] zugrundelegt:

[[File:P ID2098 Mob T 1 1 S6a v1.png|rahmenlos|rechts|Lognormal-WDF des Shadowing-Verlustes]]

:<math>f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Der Name &bdquo;Lognormal” ergibt sich aus der Tatsache, dass die dB–Größe VS, die über den Logarithmus aus dem linearen Leistungsdämpfungsfaktor abgeleitet wird, normalverteilt (und damit gaußisch) ist. 

Das Lognormal–Kanalmodell ist durch zwei Parameter bestimmt:
*Der Mittelwert mS = E[VS] gibt den mittleren Shadowing–Verlust an. Für ländliches Gebiet wird mit mS = 6 dB gerechnet, für städtisches Gebiet geht man von 14 dB ... 20 dB aus. 

*Auch die Standardabweichung (oder Streuung) σS ist für ländliches Gebiet (≈ 6 dB) bzw. für städtische Bedingungen (zwischen 8 dB und 12 dB) unterschiedlich. 

Beachten Sie, dass VS beim Lognormal–Fading auch negative Werte annehmen kann (rote Hinterlegung in obiger Grafik), was der Vorstellung von Abschattung eigentlich widerspricht. In der Praxis hat sich dieses Modell allerdings als sehr gut erwiesen. Den &bdquo;Gewinn durch Abschattung” könnte man wie folgt interpretieren:
*In Häuserschluchten kann durch Reflexionen an Gebäuden mehr Energie ankommen, als es nach dem Pfadverlust zu erwarten wäre. 

*Der Pfadverlustexponent γ wird stets fest vorgegeben. Im städtischen Gebiet wird häufig von γ = 3.76 ausgegangen. Aber es gibt Positionen in der Stadt, bei denen γ kleiner ist. 

*Zu bedenken ist auch, dass ein solch einfaches Modell nicht alle Details exakt abbildet. Man sollte daher nicht versuchen, alle Modelleigenschaften physikalisch zu interpretieren. 

Es ist zweckmäßig, die Pfadverlustanteile in folgender Weise zusammenzufassen:

:<math>V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t) \hspace{0.25cm}{\rm mit}\hspace{0.25cm} V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)+ m_{\rm S}\hspace{0.05cm}.</math>

Der zweite Anteil V2(t) beschreibt nun eine Lognormal–WDF mit Mittelwert 0:

:<math>f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Die Entfernungabhängigkeit von V1 spielt keine große Rolle und wird hier nicht weiter betrachtet. 

== Lognormal–Kanalmodell (2) ==
 
[[File:P ID2099 Mob T 1 1 S6b v2.png|rahmenlos|rechts|Pfadverlustmodell mit Lognormal-Fading]]

Die Grafik zeigt ein Zeitbereichsmodell, mit dessen Hilfe der Pfadverlust VP gemäß obiger Gleichung simulativ nachgebildet werden kann.

 Dazu ist anzumerken:
*Das Eingangssignal s(t) besitze die Leistung PS. In logarithmischer Darstellung wird die Leistung auf 1 mW bezogen und es wird die Pseudoeinheit &bdquo;dBm” hinzugefügt.

*Der Pfadverlust V1 wird durch die Multiplikation mit k1 erzeugt. Das Ausgangssignal r'(t) hat dann eine um V1 (in dB) kleinere Leistung:

::<math>k_1 = 10^{-V_{\rm 1}/20} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}
10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' }{\rm 1\,mW}= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} + 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} k_1 =
10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S} }{\rm 1\,mW} - V_1
\hspace{0.05cm}.</math>

*Das (mittelwertfreie) Lognormal–Fading wird durch Multiplikation mit der Zufallsgröße z2(t) nachgebildet. Die WDF ergibt sich aus der Gaußschen Zufallsgröße V2 durch eine [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen nichtlineare Transformation] an der Kennlinie z2 = g(V2) = 10–V2/20.

*Für z2 < 0 ist diese WDF gleich 0, und für z2 ≥ 0 gilt mit der Abkürzung C = ln(10)/20 dB:

::<math>f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2102 Mob T 1 1 S6c v3.png|Zusammenhang zwischen Gauß (V2) und Lognormal (z2)]] 

Die Grafik verdeutlicht diese Transformation. Man erkennt die Gauß–WDF von V2 (blau) mit Streuung σS = 6 dB, die negativ–logarithmische Kennlinie (grün) und die unsymmetrische WDF (rot) der zu multiplizierenden Größe z2(t). Wir verweisen hierzu auch auf die Aufgabe Z1.2.

== Voraussetzungen für das restliche Kapitel 1 ==
 
Die mittlere Leistung aller am Empfänger ankommenden Signalanteile können mit Hilfe von Pfadverlust– und Abschattungsmodell berechnet werden. Das Lognormal–Abschattungsmodell berücksichtigt langsame Änderungen der Reflektoren aufgrund der Topologie, wobei sich die Empfangsbedingungen in Städten nur alle fünf bis zehn Meter ändern und auf dem Land nur alle 30 bis 100 Meter. Im Folgenden wird der Pfadverlust und der Einfluss von Abschattungen nicht weiter betrachtet, sondern auf 1 normiert. 

Pfade können sich konstruktiv oder destruktiv überlagern. Die damit zusammenhängenden Änderungen ergeben sich örtlich im Bereich der halben Wellenlänge. Beim Mobilfunk genügen dabei schon einige wenige Zentimeter, um völlig andere Empfangsbedingungen vorzufinden. Man spricht von Fast Fading. Ein solcher Kanal ist grundsätzlich frequenz– und zeitabhängig.

Für den Rest von Kapitel 1 wird die Frequenzabhängigkeit dadurch eliminiert, dass wir von einer einzigen festen Frequenz ausgehen. Es gelten somit ab sofort folgende Voraussetzungen:
*Das Eingangssignal des Mobilfunkkanals sei eine Cosinusschwingung mit der Amplitude A = 1 und der Frequenz fT. Wir bezeichnen diese Schwingung als Sendesignal sBP(t). 

*Das Ausgangssignal rBP(t) des Mobilfunkkanals – im Folgenden Empfangssignal genannt – unterscheidet sich von sBP(t) sowohl in der Amplitude (Hüllkurve) als auch in der Phase. 

*Wir betrachten des Weiteren den Mobilfunkkanal stets im [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion#Motivation äquivalenten Tiefpassbereich.] Das Sendesignal ist dann sTP(t) = 1 und somit reell. 

*Das TP–Ausgangssignal rTP(t) ist im Allgemeinen komplexwertig, wobei die Hüllkurve durch a(t) gegeben ist und sich die Phase ϕ(t) durch Verschiebungen der Nulldurchgänge bemerkbar macht. 

Allgemein gilt dann für das physikalische (Bandpass–)Signal am Ausgang des Mobilfunkkanals:

:<math>r_{\rm BP}(t) = a(t) \cdot \cos(2\pi f_{\rm T} t + \phi(t))
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t) = |r_{\rm BP}(t)|\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \phi(t) = {\rm arc}\hspace{0.15cm} r_{\rm BP}(t)\hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik zeigt Beispiele solcher Bandpass–Signale und deren Tiefpass–Repräsentanten, wobei vereinfachend der Fall ϕ(t) = 0 und damit ein reelles TP–Empfangssignal dargestellt ist. 

[[File:P ID2100 Mob T 1 1 S7 v1.png|Signale s(t) und r(t) zur Beschreibung des Mobilfunkkanals ]] 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:1.1 Dual-Slope–Verlustmodell|A1.1 Dual-Slope–Verlustmodell]]

[[Zusatzaufgaben:1.1 Einfaches Pfadverlustmodell]]

[[Aufgaben:1.2 Lognormal – Kanalmodell|A1.2 Lognormal – Kanalmodell]]

[[Zusatzaufgaben:1.2 Nochmals Lognormal–Fading]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Burst Error Channels

2017-01-25T20:00:00Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Digitale Kanalmodelle
|Vorherige Seite=Binary Symmetric Channel (BSC)
|Nächste Seite=Anwendungen bei Multimedia–Dateien
}}

== Kanalmodell nach Gilbert–Elliott (1) ==
 
Dieses auf E. N. Gilbert [Gil60]<ref>Gilbert, E. N.: ''Capacity of Burst–Noise Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266.</ref> und E. O. Elliott [Ell63]<ref>]Elliott, E.O.: ''Estimates of Error Rates for Codes on Burst–Noise Channels.'' In: Bell Syst. Techn. J., Vol. 42, (1963), pp. 1253 – 1266.</ref> zurückgehende Kanalmodell eignet sich zur Beschreibung und Simulation von digitalen Übertragungssystemen mit Bündelfehlercharakteristik.

[[File:P ID1835 Dig T 5 3 S1 version1.png|Gilbert–Elliott–Kanalmodell|class=fit]] 

Das Gilbert–Elliott–Modell (Kurzbezeichnung: GE–Modell) lässt sich wie folgt charakterisieren:
*Die unterschiedliche Übertragungsqualität zu unterschiedlichen Zeiten wird durch eine endliche Anzahl g von Kanalzuständen (Z1, Z2, ..., Zg) ausgedrückt. 

*Die in Wirklichkeit fließenden Übergänge der Störintensität – im Extremfall von völlig fehlerfreier Übertragung bis hin zum Totalausfall – werden beim GE–Modell durch feste Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Kanalzuständen approximiert. 

*Die Übergänge zwischen den g Zuständen erfolgen gemäß einem Markovprozess (1. Ordnung) und werden durch g · (g – 1) Übergangswahrscheinlichkeiten gekennzeichnet. Zusammen mit den g Fehlerwahrscheinlichkeiten in den einzelnen Zuständen gibt es somit g2 freie Modellparameter. 

*Aus Gründen der mathematischen Handhabbarkeit beschränkt man sich meist auf g = 2 Zustände und bezeichnet diese mit &bdquo;G” (GOOD) und &bdquo;B” (BAD). Meist wird die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;G” sehr viel kleiner sein als im Zustand &bdquo;B”. 

*Im Folgenden benutzen wir diese beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten pG und pB, wobei pG < pB gelten soll, sowie die Übergangswahrscheinlichkeiten Pr(B|G) und Pr(G|B). Damit sind auch die beiden anderen Übergangswahrscheinlichkeiten festgelegt:

::<math>{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 1 - {\rm
Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G), \hspace{0.2cm} {\rm
Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = 1 - {\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{0.05cm}.</math>

== Kanalmodell nach Gilbert–Elliott (2) ==
 
Beispielhaft betrachten wir nun das GE–Modell mit den Parametern

:<math>p_{\rm G} = 0.01, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.4,
\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) =
0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
G) = 0.01\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID1836 Dig T 5 3 S1a version1.png|Betrachtetes GE–Modell|class=fit]] 

Die nachfolgende Grafik zeigt eine dazugehörige (mögliche) Fehlerfolge der Länge N = 800. 

[[File:P ID1837 Dig T 5 3 S1b version1.png|Beispielhafte GE–Fehlerfolge|class=fit]] 

Befindet sich das GE–Modell im Zustand &bdquo;BAD”, so erkennt man dies an der grauen Hinterlegung. Die Wahrscheinlichkeiten, dass sich die Markovkette im Zustand &bdquo;G” bzw. &bdquo;B” befindet, lassen sich aus der vorausgesetzten Homogenität und Stationarität berechnen. Man erhält mit den obigen Zahlenwerten:

:<math>w_{\rm G} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
{\rm Pr(im\hspace{0.15cm} Zustand \hspace{0.15cm}G)}=
\frac{{\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{{\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.1}{0.1 + 0.01} =
{10}/{11}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>w_{\rm B} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
{\rm Pr(im\hspace{0.15cm} Zustand \hspace{0.15cm}B)}=
\frac{{\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.11}{0.1 + 0.01} =
{1}/{11}\hspace{0.05cm}.</math>

Damit kann auch die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells ermittelt werden:

:<math>p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}
= \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} \hspace{0.05cm}.</math>

Insbesondere gilt für das hier beispielhaft betrachtete Modell:

:<math>p_{\rm M} ={10}/{11} \cdot 0.01 +{1}/{11} \cdot 0.4 =
{1}/{22} \approx 4.55\%\hspace{0.05cm}.</math>

Zur Simulation einer GE–Fehlerfolge wird zwischen den Zuständen &bdquo;G” und &bdquo;B” entsprechend den vier Übergangswahrscheinlichkeiten umgeschaltet. Beim ersten Aufruf erfolgt die Auswahl des Zustandes zweckmäßigerweise entsprechend den Wahrscheinlichkeiten wG und wB. 

Zu jedem Taktzeitpunkt wird genau ein Element der Fehlerfolge 〈eν〉 entsprechend der aktuellen Fehlerwahrscheinlichkeit (pG bzw. pB) erzeugt. Die Simulation des Fehlerabstandes ist hier nicht anwendbar, da ein Zustandswechsel nach jedem Symbol (und nicht nur nach einem Fehler) möglich ist. 

== Fehlerabstandsverteilung des GE–Modells ==
 
In [Hub82]<ref>Huber, J.: Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle. Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref> finden sich die analytischen Berechnungen
*der Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstandes k:

::<math>{\rm Pr}(a=k) = \alpha_{\rm G} \cdot \beta_{\rm
G}^{\hspace{0.05cm}k-1} \cdot (1- \beta_{\rm G}) + \alpha_{\rm B}
\cdot \beta_{\rm B}^{\hspace{0.05cm}k-1} \cdot (1- \beta_{\rm
B})\hspace{0.05cm},</math>

*der Fehlerabstandsverteilung:

::<math>V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = \alpha_{\rm G} \cdot \beta_{\rm
G}^{\hspace{0.05cm}k-1}
+ \alpha_{\rm B} \cdot \beta_{\rm
B}^{\hspace{0.05cm}k-1} \hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei sind folgende Hilfsgrößen verwendet:

:<math>u_{\rm GG} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G})
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\it u}_{\rm GB} ={\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm} \rm G})
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>u_{\rm BB} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B})
\hspace{0.05cm},\hspace{0.29cm}
{\it u}_{\rm BG} ={\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm
B})\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \beta_{\rm G} \hspace{-0.1cm} =
\hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} -
u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\beta_{\rm B} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm
GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot
u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm}.</math>

:<math>x_{\rm G} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}}
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_{\rm G} = \frac{(w_{\rm G} \cdot
p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm
B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} \hspace{0.05cm},
\hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.</math>

Die angegebenen Gleichungen sind das Ergebnis umfangreicher Matrizenoperationen. 

[[File:P ID1838 Dig T 5 3 S2 version1.png|Fehlerabstandsverteilung von GE– und BSC–Modell|class=fit]] 

*Die Abbildung zeigt die Fehlerabstandsverteilung (FAV) des GE–Modells (rote Kurve) in linearer und logarithmischer Darstellung für Pr(G|B) = 0.1, Pr(B|G) = 0.01, pG = 0.001 und pB = 0.4. 

*Zum Vergleich ist auch der Verlauf von Va(k) für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit pM = 4.5% als blaue Kurve eingezeichnet. 

== Fehlerkorrelationsfunktion des GE–Modells ==
 
Für die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) ergibt sich mit der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit pM, den Übergangswahrscheinlichkeiten Pr(B|G) und Pr(G|B) sowie den Fehlerwahrscheinlichkeiten pG und pB in den zwei Zuständen &bdquo;G” und &bdquo;B” nach umfangreichen Matrizenoperationen der relativ einfache Ausdruck

:<math>\varphi_{e}(k) =
\left\{ \begin{array}{c} p_{\rm M} \\
p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) (p_{\rm M} - p_{\rm G})
[1 - {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^k \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm},
\\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>

Der nur für &bdquo;erneuernde Modelle” gültige Zusammenhang zwischen FKF und FAV ist hier nicht gegeben (GE–Modell ist nicht erneuernd!)  ⇒  Zur Berechnung unbedingt φe(k) = E[eν · eν+k] verwenden. 

In der Grafik ist ein beispielhafter FKF–Verlauf des GE–Modells mit roten Kreisen markiert eingetragen. Während beim gedächtnislosen Kanal (BSC–Modell, blaue Kurve) alle FKF–Werte φe(k ≠ 0) gleich pM2 sind, nähern sich die FKF–Werte beim Bündelfehlerkanal diesem Endwert deutlich langsamer. 

[[File:P ID1839 Dig T 5 3 S3 version1.png|Fehlerkorrelationsfunktion von GE-Modell (Kreise) und BSC-Modell (Kreuze)|class=fit]] 

Weiter erkennt man aus dieser Darstellung:
*Beim Übergang von k = 0 nach k = 1 tritt eine gewisse Unstetigkeit auf. Während φe(k = 0) = pM ist, ergibt sich mit der für k > 0 gültigen zweiten Gleichung für k = 0 folgender extrapolierter Wert:

::<math>\varphi_{e0} = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm
M} - p_{\rm G})\hspace{0.05cm}.</math>

*Ein quantitatives Maß für die Länge der statistischen Bindungen ist die Korrelationsdauer DK, die allgemein als die Breite eines flächengleichen Rechtecks mit der Höhe φe0 – pM2 definiert ist:

::<math>D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1
}^{\infty}\hspace{0.1cm} [\varphi_{e}(k) - p_{\rm
M}^2]\hspace{0.05cm}.</math>

*Beim Gilbert–Elliott–Modell erhält man hierfür den einfachen, analytisch angebbaren Ausdruck

::<math>D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1
\hspace{0.05cm}.</math>

*DK ist umso größer, je kleiner Pr(B|G) und Pr(G|B) sind (also Zustandswechsel selten auftreten). Für das BSC–Modell (pB = pG = pM, DK = 0) ist die Gleichung nicht anwendbar. 

== Kanalmodell nach McCullough (1) ==
 
Der wesentliche Nachteil des GE–Modells ist, dass damit eine Fehlerabstandssimulation nicht möglich ist. Wie in der Aufgabe A5.5 herausgearbeitet wurde, hat diese gegenüber der symbolweisen Generierung der Fehlerfolge 〈eν〉 große Vorteile hinsichtlich Rechengeschwindigkeit und Speicherbedarf. 

McCullough [McC68]<ref>McCullough, R.H.: ''The Binary Regenerative Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref> hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD” und &bdquo;BAD” jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als MC–Modell bezeichnet, während oben das GE–Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten ⇒ p(B|G) = Pr(B|G), p(G|B) = Pr(G|B) usw. dargestellt ist. 

[[File:P ID1840 Dig T 5 3 S4a version1.png|Kanalmodelle nach Gilbert–Elliott (oben) und McCullough (unten)|class=fit]] 

Zwischen den beiden Modellen bestehen viele Gemeinsamkeiten und einige wenige Unterschiede:
*Das McCullough–Kanalmodell beruht wie das Gilbert–Elliott–Modell auf einem Markovprozess erster Ordnung mit den beiden Zuständen &bdquo;G” (GOOD) und &bdquo;B” (BAD). Hinsichtlich der Modellstruktur ist kein Unterschied feststellbar. 

*Der wesentliche Unterschied zum GE–Modell besteht darin, dass ein Zustandswechsel zwischen &bdquo;G” und &bdquo;B” jeweils nur nach einem Fehler – also einer &bdquo;1” in der Fehlerfolge – möglich ist. Dies ermöglicht eine Fehlerabstandssimulation. 

*Die vier frei wählbaren GE–Parameter pG, pB, p(B|G) und p(G|B) können – wie auf der nächsten Seite gezeigt – so in die MC–Parameter qG, qB, q(B|G) und q(G|B) umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE–Modell erzeugt wird. 

*Beispielsweise bezeichnet q(B|G) die Übergangswahrscheinlichkeit von dem Zustand &bdquo;G” in den Zustand &bdquo;B” unter der Voraussetzung, dass im Zustand &bdquo;G” gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE–Parameter p(B|G) kennzeichnet diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung. 

== Kanalmodell nach McCullough (2) ==
 
Die Abbildung zeigt oben eine beispielhafte Fehlerfolge des GE–Modells mit den Parametern pG = 0.01, pB = 0.4, p(G|B) = 0.1 und p(B|G) = 0.01. Man erkennt, dass ein Zustandswechsel von &bdquo;G” (ohne Hinterlegung) nach &bdquo;B” (graue Hinterlegung) und umgekehrt zu jedem Zeitpunkt ν möglich ist – also auch dann, wenn eν gleich 0 ist. 

[[File:P ID1841 Dig T 5 3 S4 version1.png|Fehlerfolge des GE–Modells (oben) und des MC–Modells (unten)|class=fit]] 

Die Zusammenhänge zwischen den beiden Modellen lassen sich wie folgt zusammenfassen:
*Bei der unten dargestellten Fehlerfolge des McCullough–Modells ist im Gegensatz zur oberen Folge ein Zustandswechsel zum Zeitpunkt ν nur bei eν = 1 möglich. 

*Dies hat den Vorteil, dass man bei einer Fehlerfolgensimulation die Fehler nicht &bdquo;step–by–step” generieren muss, sondern die schnellere Fehlerabstandssimulation nutzen kann ⇒  Aufgabe A5.5. 

*Die Parameter des GE–Modells können derart in entsprechende MC–Parameter umgerechnet werden, dass beide Modellen äquivalent sind. 

*Das bedeutet, dass die MC–Fehlerfolge exakt gleiche statistische Eigenschaften besitzt wie die GE–Fehlerfolge. Es bedeutet aber nicht, dass die beiden Fehlerfolgen identisch sind. 

Die Umrechnung der GE– in die MC–Parameter wird auf der nächsten Seite beschrieben und in der Aufgabe A5.7 an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. In der Aufgabe Z5.7 wird weiter gezeigt, wie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit, die Fehlerabstandsverteilung, die Fehlerkorrelationsfunktion und die Korrelationsdauer des MC–Modells direkt aus den q–Parametern ermittelt werden können. 

== Kanalmodell nach McCullough (3) ==
 
Die Parameter des äquivalenten MC–Modells sind aus den GE–Parametern wie folgt berechenbar:

:<math>q_{\rm G} =1-\beta_{\rm
G}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q_{\rm
B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm}.</math>

:<math>q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) =\frac{\alpha_{\rm B} \cdot[{\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm
B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) =
\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei sind wieder die folgenden Hilfsgrößen verwendet:

:<math>u_{\rm GG} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G})
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\it u}_{\rm GB} ={\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm} \rm G})
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>u_{\rm BB} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B})
\hspace{0.05cm},\hspace{0.29cm}
{\it u}_{\rm BG} ={\rm Pr}(\rm
G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm
B})\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \beta_{\rm G} \hspace{-0.1cm} =
\hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} -
u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.7cm}\beta_{\rm B} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm
GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot
u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm}.</math>

:<math>x_{\rm G} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}}
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_{\rm G} = \frac{(w_{\rm G} \cdot
p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm
B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} \hspace{0.05cm},
\hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID1841 Dig T 5 3 S4 version1 (1).png|Fehlerfolge des GE–Modells (oben) und des MC–Modells (unten)|class=fit]] 

*GE–Parameter:     pG = 0.01, pB = 0.4, p(G|B) = 0.1 und p(B|G) = 0.01. 

*MC–Parameter:   qG = 0.0186, qB = 0.4613, q(G|B) = 0.2240 und q(B|G) = 0.3602. 

== Bündelfehlerkanalmodell nach Wilhelm ==
 
Dieses Modell geht auf Claus Wilhelm zurück und wurde ab Mitte der 1960er Jahre aus empirischen Messungen zeitlicher Folgen von Bitfehlern entwickelt. Es beruht auf Tausenden von Messstunden in Übertragungskanälen ab 200 bit/s mit analogem Modem bis hin zu 2.048 Mbit/s über [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen ISDN]. Ebenso wurden Seefunkkanäle bis zu 7500 Kilometern im Kurzwellenbereich vermessen. 

Aufgezeichnet wurden Blöcke der Länge n. Daraus wurde die jeweilige Blockfehlerrate hB(n) ermittelt. Ein Blockfehler liegt bereits dann vor, wenn auch nur eines der n Symbole verfälscht wurde. Wohl wissend, dass die Blockfehlerrate hB nur für n → ∞ exakt mit der Blockfehlerwahrscheinlichkeit pB übereinstimmt, setzen wir bei der folgenden Beschreibung pB(n) ≈ hB(n). 

[[File:P ID2778 Dig T 5 3 S5.png|rahmenlos|rechts|Beispielhafte Funktionsverläufe pB(n)]]

Bei einer Vielzahl von Messungen wurde immer wieder die Tatsache bestätigt, dass der Verlauf pB(n) in doppelt–logarithmischer Darstellung im unteren Bereich lineare Anstiege aufweisen (siehe Grafik). Es gilt also für n ≤ n∗:

:<math>{\rm lg} \hspace{0.1cm}p_{\rm B}(n) = {\rm lg} \hspace{0.1cm}p_{\rm S} + \alpha \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}n</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei bezeichnet pS = pB(n = 1) die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die empirisch gefundenen Werte von α liegen zwischen 0.5 und 0.95. Für 1 – α wird auch die Bezeichnung Bündelungsfaktor verwendet. 

{{Beispiel}}''':''' Für das BSC–Modell gilt für den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

:<math>p_{\rm B}(n) =1 -(1 -p_{\rm S})^n \approx n \cdot p_{\rm S}\hspace{0.05cm}.</math>

Daraus folgt α = 1 bzw. der Bündelungsfaktor 1 – α = 0. In diesem Fall (und nur in diesem) ergibt sich auch bei nicht–logarithmischer Darstellung ein linearer Verlauf. 

Es ist aber zu beachten, dass obige Näherung nur für pS << 1 und nicht allzu großes n zulässig ist, da sonst die Näherung (1 – pS)n ≈ 1 – n · pS nicht anwendbar ist. Das heißt aber auch, dass die oben angegebene Gleichung auch nur für einen unteren Bereich (für n < n∗ ) gilt. Ansonsten würde sich für n → ∞ eine unendlich große Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergeben.{{end}} 

Für die aus Messungen empirisch bestimmte Funktion pB(n) muss nun die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstand_und_Fehlerabstandsverteilung_.282.29 Fehlerabstandsverteilung] gefunden werden, aus der der Verlauf für n > n∗ extrapoliert werden kann und der die Nebenbedingung

:<math>\lim_{n \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \infty} p_{\rm B}(n) = 1 </math>

erfüllt. Wir bezeichnen diesen Ansatz als das Wilhelm–Modell. Da das Gedächtnis nur bis zum letzten Symbolfehler reicht, wird dieses ein Erneuerungsmodell (englisch: Renewal Model) sein. 

== Fehlerabstandsbetrachtung zum Wilhelm–Modell (1) ==
 
Betrachten wir nun die Fehlerabstände. Eine Fehlerfolge 〈eν〉 kann in äquivalenter Weise durch die Fehlerabstandsfolge 〈aν'〉 dargestellt werden, wie in der folgenden Grafik gezeigt. Man erkennt:
*Die Fehlerfolge ...1001... wird durch den Fehlerabstand a = 3 ausgedrückt. 
*Entsprechend bezeichnet der Fehlerabstand a = 1 die Fehlerfolge ...11... . 
*Die verschiedenen Indizes ν und ν' berücksichtigen, dass die beiden Folgen nicht synchron laufen.

:[[File:P ID2807 Dig T 5 3 S5b.png|Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge|class=fit]] 

Mit den Wahrscheinlichkeiten pa(k) = Pr(a = k) für die einzelnen Fehlerabstände k und der mittleren (Bit–)Fehlerwahrscheinlichkeit pS gelten folgende Definitionen für
* die Fehlerabstandsverteilung (FAV):             den mittleren Fehlerabstand E[a]:

::<math> V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k)= \sum_{\kappa = k}^{\infty}p_a(\kappa) \hspace{0.05cm},
\hspace{0.93cm}
{\rm E}[a] = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot p_a(k) = {1}/{p_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.</math>

Wir betrachten nun einen Block mit n Bit, beginnend bei der Bitposition ν + 1. Ein Blockfehler tritt immer dann auf, wenn ein Bit an den Positionen ν + 1, ... , ν + n verfälscht ist. 

[[File:P ID2808 Dig T 5 3 S5c neu.png|Zur Herleitung des Wilhelm–Modells|class=fit]] 

Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten werden in der Grafik durch die Fehlerabstandsverteilung Va'(k) ausgedrückt. Irgendwo vor dem Block der Länge n = 3
befindet sich der letzte Fehler, aber mindestens im Abstand k vom ersten Fehler im Block entfernt. Also ist der Abstand gleich oder größer als k, was genau der Wahrscheinlichkeit Va'(k) entspricht. 

Hinweis. Das Hochkomma soll anzeigen, dass wir später noch eine Korrektur vornehmen müssen, um von der empirisch gefundenen FAV zur richtigen Funktion Va(k) zu kommen. 

Für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit haben wir nun zwei Gleichungen: Durch Verallgemeinerung des obigen Bildes ergibt sich Gleichung (1). Die zweite Gleichung liefert unsere empirische Untersuchung:

:<math>(1)\hspace{0.2cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}'(k) \hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm}(2)\hspace{0.2cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}
\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}
\sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}'(k) = n^{\alpha} \hspace{0.05cm}. </math>

== Fehlerabstandsbetrachtung zum Wilhelm–Modell (2) ==
 
Wir betrachten weiterhin die Blockfehlerwahrscheinlichkeit pB(n) für einen Block mit n Bit:

::<math>(1)\hspace{0.2cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}'(k) \hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm}(2)\hspace{0.2cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}
\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}
\sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}'(k) = n^{\alpha} \hspace{0.05cm}. </math>

*Die Gleichung (1) wurde auf der letzten Seite hergeleitet. Sie stellt den Zusammenhang zwischen Blockfehlerwahrscheinlichkeit pB(n) und (approximativer) Fehlerabstandsverteilung Va′(k) her. 

*Die Gleichung (2) lieferte unsere empirische Untersuchung zu Beginn dieses Abschnitts. 

*Die letzte Gleichung ergibt sich aus Gleichsetzen von (1) und (2). 

Durch sukzessives Einsetzen von n = 1, 2, 3, ... in diese Gleichung erhalten wir mit Va'(1) = 1:

:<math>V_a\hspace{0.05cm}'(1) = 1^{\alpha}
\hspace{0.05cm},\hspace{1.1cm}
V_a\hspace{0.05cm}'(1) + V_a\hspace{0.05cm}'(2) =2^{\alpha}
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>V_a\hspace{0.05cm}'(1) + V_a\hspace{0.05cm}'(2) + V_a\hspace{0.05cm}'(3) = 3^{\alpha}
\hspace{0.35cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} V_a\hspace{0.05cm}'(k) = k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \hspace{0.05cm}.</math>

Die aus empirischen Daten gewonnenen Koeffizienten Va′(k) erfüllen jedoch nicht notwendigerweise die Normierungsbedingung. Um den Sachverhalt zu korrigieren, verwendet Wilhelm folgenden Ansatz:

:<math>V_a\hspace{0.05cm}(k) = V_a\hspace{0.05cm}'(k) \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
V_a\hspace{0.05cm}(k) = [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.05cm}.</math>

Wilhelm bezeichnet diese Darstellung als L–Modell, siehe [Wil11]<ref>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>. Die Konstante β ist in Abhängigkeit
*der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS, und 
*des empirisch gefundenen Exponenten α   ⇒   Bündelungsfaktor 1 – α 

so zu bestimmen, dass die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei unendlich großer Blocklänge gleich 1 wird:

:<math>\lim_{n \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \infty} p_B(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}(k)
= p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}
=1
\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sum_{k = 1}^{\infty} [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}
= {1}/{p_{\rm S}}
\hspace{0.05cm}.</math>

Um β zu bestimmen, wird die erzeugende Funktion von Va(k) verwendet, die wir mit Va(z) benennen:

:<math>V_a\hspace{0.05cm}(z) = \sum_{k = 1}^{\infty}V_a\hspace{0.05cm}(k) \cdot z^k =
\sum_{k = 1}^{n} [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}
\cdot z^k
\hspace{0.05cm}.</math>

In [Wil11]<ref>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.'' [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks], 2011ff.</ref> wird näherungsweise hergeleitet:

:<math>V_a\hspace{0.05cm}(z) = \frac{1}{\left (1- {\rm e}^{- \beta }\cdot z \right )^\alpha}
\hspace{0.05cm}.</math>

Aus der Gleichung für den mittleren Fehlerabstand folgt:

:<math> {\rm E}[a] = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot p_a(k)
= \sum_{k = 1}^{\infty} V_a(k) = \sum_{k = 1}^{\infty} V_a(k) \cdot 1^k = V_a(z=1) =
{1}/{p_{\rm S}}\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}{p_{\rm S}} = \left [V_a(z=1)\right]^{-1}=
\left [1- {\rm e}^{- \beta }\cdot 1\right]^{\alpha}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
{\rm e}^{- \beta } =1 - {p_{\rm S}}^{1/\alpha}\hspace{0.05cm}.</math>

== Numerischer Vergleich von BSC–Modell und Wilhelm–Modell (1) ==
 
Fassen wir dieses Zwischenergebnis zusammen, das von Wilhelm als L–Modell bezeichnet wird. 

Das L–Modell nach Wilhelm beschreibt die Fehlerabstandsverteilung in der Form

:<math>V_a\hspace{0.05cm}(k) = \left [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha}\right ] \cdot
\left [ 1 - {p_{\rm S}^{1/\alpha}}\right ]^{k-1}
\hspace{0.05cm}.</math>

Dieses Modell soll nun anhand beispielhafter numerischer Ergebnisse erläutert werden. 

{{Beispiel}}'''1 :''' Wir gehen zunächst vom [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Fehlerkorrelationsfunktion_des_BSC.E2.80.93Modells BSC–Modell] aus. Die Verfälschungswahrscheinlichkeit setzen wir aus Darstellungsgründen sehr hoch auf pS = 0.2. In der zweiten Zeile der nachfolgenden Tabelle ist dessen Fehlerabstandsverteilung Va(k) = Pr(a ≥ k) für k ≤ 10 eingetragen. 

[[File:P ID2827 Dig T 5 3 S5d ganz neu.png|Kenngrößen des BSC–Modells für pS = 0.2|class=fit]] 

Das Wilhelm–Modell mit pS = 0.2 und α = 1 weist genau die gleiche Fehlerabstandsverteilung Va(k) wie das entsprechende [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Fehlerabstandsverteilung_des_BSC.E2.80.93Modells BSC–Modell] auf. Dies zeigt auch die Rechnung. Mit α = 1 erhält man aus der Gleichung auf der letzten Seite:

:<math>V_a\hspace{0.05cm}(k) = \left [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha}\right ] \cdot
\left [ 1 - {p_{\rm S}^{1/\alpha}}\right ]^{k-1} = (1 - p_{\rm S})^{k-1}
\hspace{0.05cm}.</math>

Damit besitzen beide Modelle entsprechend den Zeilen 3 und 4 auch
*gleiche Wahrscheinlichkeiten Pr(a = k) = Va(k–1) – Va(k) der Fehlerabstände, 

*gleiche Blockfehlerwahrscheinlichkeiten pB(n). 

Im Hinblick auf das folgende Beispiel mit α ≠ 1 ist nochmals besonders zu erwähnen:
*Die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten pB(n) des Wilhelm–Modells ergeben sich grundsätzlich aus der Fehlerabstandsverteilung Va(k) entsprechend der Gleichung

::<math> p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}(k)
\hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} p_{\rm B}( 1) = 0.2 \cdot 1 = 0.2
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}p_{\rm B}(2) = 0.2 \cdot (1+0.8) = 0.36
\hspace{0.05cm}.</math>

*Im Sonderfall α = 1  ⇒  BSC–Modell (und nur in diesem) kann pB(n) auch durch Summation über die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten Pr(a = k) ermittelt werden:

::<math> p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} {\rm Pr}(a=k)
\hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} p_{\rm B}( 1) = 0.2
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}p_{\rm B}(2) = 0.2+ 0.16 = 0.36
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Numerischer Vergleich von BSC–Modell und Wilhelm–Modell (2) ==
 
{{Beispiel}} '''2 :''' Betrachten wir nun einen Kanal mit Bündelfehlercharakteristik. Die Grafik zeigt als grüne Kreise die Ergebnisse für das Wilhelm–L–Modell mit α = 0.7. Die rote Vergleichskurve gilt für α = 1 (bzw. für den BSC–Kanal) bei gleicher mittlerer Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS = 0.2. Unten rechts sind einige interessante Zahlenwerte angegeben. 

[[File:P ID2833 Dig T 5 3 S5h version2.png|Ergebnisse des Wilhelm–L–Modells mit α = 0.7 und pS = 0.2|class=fit]] 

Man erkennt aus diesen Darstellungen:
*Der Verlauf der Blockfehlerfehlerwahrscheinlichkeit beginnt jeweils mit pB(n = 1) = pS = 0.2, sowohl bei statistisch unabhängigen Fehlern (BSC) als auch bei Bündelfehlern (Wilhelm). 

*Beim Bündelfehlerkanal ist Pr(a = 1) = 0.438 deutlich größer als beim vergleichbaren BSC ⇒ Pr(a = 1) = 0.2. Zudem erkennt man einen abgeknickten Verlauf im unteren Bereich. 

*Der mittlere Fehlerabstand E[a] = 1/pS = 5 ist aber bei gleicher Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ebenfalls identisch. Der große Ausreiser bei k = 1 wird durch kleinere Wahrscheinlichkeiten für k = 2, k = 3 und k = 4 ausgeglichen, sowie durch die Tatsache, dass für große k die grünen Kreise – wenn auch nur minimal – oberhalb der roten Vergleichskurve liegen. 

*Das wichtigste Ergebnis ist aber, dass die Blockfehlerfehlerwahrscheinlichkeit für n > 1 beim Bündelfehlerkanal kleiner ist als beim vergleichbaren BSC–Modell, z.B.:  pB(n = 20) = 0.859.{{end}} 

Bevor wir dieses interessante Ergebnis interpretieren, beschreiben wie zunächst die endgültige Variante des Kanalmodells nach Wilhelm. Wir nennen es das Wilhelm–A–Modell. 

== Fehlerabstandsbetrachtung nach dem Wilhelm–A–Modell ==
 
Wilhelm hat aus der angegebenen [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerabstandsbetrachtung_zum_Wilhelm.E2.80.93Modell_.282.29 erzeugenden Funktion] Va(z) eine weitere Näherung entwickelt, die er als das A–Modell bezeichnet. Die Näherung basiert auf einer Taylorreihenentwicklung. 

Das A–Modell nach Wilhelm beschreibt die angenäherte Fehlerabstandsverteilung in der Form

:<math>V_a\hspace{0.05cm}(k) = \frac {1 \cdot \alpha \cdot (1+\alpha) \cdot \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\cdot (k-2+\alpha) }{(k-1)\hspace{0.05cm}!}\cdot
\left [ 1 - {p_{\rm S}^{1/\alpha}}\right ]^{k-1}
\hspace{0.05cm}.</math>

Insbesondere ergibt sich Va(k = 1) = 1 und Va(k = 2) = α · (1 – pS1/α). Hierbei ist zu berücksichtigen, dass der Zähler des Vorfaktors aus k Faktoren besteht. Für k = 1 ergibt sich dieser demzufolge zu 1. 

Im nachfolgenden Beispiel vergleichen wir die Unterschiede der beiden Wilhelm–Modelle (L bzw. A) hinsichtlich der resultierenden Blockfehlerwahrscheinlichkeit.

{{Beispiel}} '''3 :''' [[File:P ID2831 Dig T 5 3 S5i version2.png|rahmenlos|rechts|Ergebnisse des Wilhelm–Modells für pS = 0.2 und einige α ]] Nebenstehende Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeiten pB(n) für drei verschiedene α–Werte, erkennbar an den Farben
*Rot:   α = 1  ⇒  BSC–Modell, 

*Blau:  α = 0.95  ⇒  schwache Bündelung, 

*Grün:  α = 0.70  ⇒  starke Bündelung. 

Die durchgezogennen gelten für Linien das A–Modell und die gestrichelten für das L–Modell. Die im Bild angegebenen Zahlenwerte für pB(n = 100) beziehen sich ebenfalls auf das A–Modell. 

Für α = 1 geht sowohl das A–Modell als auch das L–Modell in das BSC–Modell (rote Kurve) über. Desweiteren ist anzumerken:
*Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS = 0.01  ⇒  E[a = 100] ist hier (einigermaßen) realistisch angenommen. Alle Kurven starten deshalb bei pB(n = 1) = 0.01  ⇒  gelbe Markierung. 

*Der Unterschied zwischen zwei gleichfarbigen Kurven ist gering (bei starker Bündelung etwas größer), wobei die durchgezogene Kurve stets oberhalb der gestrichelten Kurve liegt. 

*Auch dieses Beispiel zeigt: Je stärker die Bündelung (kleineres α), desto kleiner ist pB(n). Dies gilt allerdings nur, wenn man wie hier von einer konstanten Fehlerwahrscheinlichkeit pS ausgeht. 

*Ein (dürftiger) Erklärungsversuch: Nehmen wir an, dass bei BSC mit sehr kleinem pS jeder Blockfehler von genau einem Symbolfehler herrührt, dann wird bei gleicher Symbolfehleranzahl die Anzahl der Blockfehler kleiner, wenn zwei Symbolfehler in einen Block fallen (Bündelung). 

*Noch ein (passendes?) Beispiel aus dem täglichen Leben. Man kann eine Straße mit konstantem Verkehrsaufkommen leichter überqueren, wenn die Fahrzeuge &bdquo;irgendwie gebündelt” kommen.{{end}} 

== Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–Modells ==
 
Eine weitere Beschreibungsform der digitalen Kanalmodelle neben der Fehlerabstandsverteilung Va(k) ist die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerfolge_und_Fehlerkorrelationsfunktion Fehlerkorrelationsfunktion] φe(k) – abgekürzt FKF. Geht man von der binären Fehlerfolge 〈eν〉 mit eν ∈ {0, 1} aus, wobei eν = 0 eine richtige Übertragung und eν = 1 einen Symbolfehler (Bitfehler) hinsichtlich des ν–ten Bits bezeichnet, so gilt folgende Definition:

:<math>\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] =
\overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}}\hspace{0.05cm}.</math>

φe(k) gibt die (zeitdiskrete) [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29 Autokorrelationsfunktion] der ebenfalls zeitdiskreten Zufallsgröße e an. Die überstreichende Linie in der rechten Gleichung kennzeichnet die Zeitmittelung. 

Der Fehlerkorrelationswert φe(k) liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um k auseinander liegende Folgenelemente, zum Beispiel über eν und eν+k. Die dazwischen liegenden Elemente eν+1, ... , eν+k–1 beeinflussen den φe(k)–Wert nicht. 

Die Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–Modells kann wie folgt angenähert werden:

:<math>\varphi_e\hspace{0.05cm}(k) = p_{\rm S} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \left [ 1 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha}{1\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha \cdot (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \alpha)}{2\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^2 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \hspace{0.03cm} ... \hspace{0.03cm}\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac {\alpha \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \hspace{0.03cm} ... \hspace{0.03cm} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (k\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) }{k\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^k \right ] </math>

Zur Abkürzung ist hierbei C= 1 – pS1/α verwendet. Auf die Herleitung wird hier verzichtet. 

Nachfolgend werden die Eigenschaften der Fehlerkorrelationsfunktion an einem Beispiel aufgezeigt. 

{{Beispiel}} '''3:'''
[[File:P ID2834 Dig T 5 3 S5korr version2.png|rahmenlos|Fehlerkorrelationsfunktionen des Wilhelm–Modells|right]] Wie im [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell Beispiel 2] gelte pS = 0.01. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
*α = 0.7 (grüne Kurve), 

*α = 0.95 (blaue Kurve) und 

*α = 1 (BSC, rote Kurve). 

 Die nachfolgenden Aussagen lassen sich weitgehend verallgemeinern, siehe auch [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells GE–Modell]:
*Der FKF-Wert an der Stelle k = 0 ist bei allen Kanälen gleich pS = 0.01 (markiert durch den Kreis mit grauer Füllung) und der Grenzwert für k → ∞ liegt stets bei pS2 = 0.0001. 

*Dieser Endwert wird beim BSC–Modell bereits bei k = 1 erreicht (rot gefüllte Markierung). Hier kann die FKF also nur die beiden Werte pS und pS2 annehmen. 

*Auch für für α ≠ 1 erkennt man einen Knick bei k = 1. Danach verläuft die FKF monoton fallend. Der Abfall ist umso langsamer, je kleiner α ist, also je gebündelter die Fehler auftreten.{{end}} 

== Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–Modell (1) ==
 
Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in [Wil11]<ref> Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.'' [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks], 2011ff.</ref> sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS = 0.001 zugrunde liegt. In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler (BSC bzw. α = 1) und die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit α = 0.7. Zudem soll gelten: 

{{Definition}}''':''' Ein Fehlerburst (oder kurz Burst) beginnt stets mit einem Symbolfehler und endet, wenn kBurst – 1 fehlerfreie Symbole aufeinanderfolgen; kBurst bezeichnet den Burst–Endeparameter. Das Burstgewicht GBurst entspricht der Anzahl aller Symbolfehler im Burst. Bei einem Einzelfehler gilt GBurst = 1 und die Burstlänge LBurst (bestimmt durch den ersten und letzten Fehler) ist ebenfalls 1.{{end}} 

Wahrscheinlichkeit eines Einzelfehlers in einer Probe der Länge n   ⇒   p1 

[[File:P ID2835 Dig T 5 3 S5 Analyse1 kleiner.png|rahmenlos|rechts|Wahrscheinlichkeit eines Einzelfehlers in einem Block der Länge n]]

Für den BSC–Kanal (α = 1) gilt p1 = n · 0.001 · 0.999n–1  ⇒  rote Kurve. Aufgrund der doppel–logarithmischen Darstellung ergibt sich mit diesen Zahlenwerten ein (nahezu) linearer Verlauf. Beim BSC–Modell treten also Einzelfehler in einer Probe der Länge n = 100 mit etwa 9% Wahrscheinlichkeit auf. 

Beim Bündelfehlerkanal mit α = 0.7 (grüne Kurve) beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit nur etwa 0.7% und der Kurvenverlauf ist hier leicht gekrümmt. Bei der folgenden Rechnung gehen wir zunächst von der Annahme aus, dass der Einzelfehler in der Probe der Länge n an Position b auftritt:

*Bei einem Einzelfehler müssen dann noch n – b fehlerfreie Symbole folgen. Nach Mittelung über die möglichen Fehlerpositionen b erhält man somit:

::<math>p_1 = p_{\rm S} \cdot \sum_{b = 1}^{n} \hspace{0.15cm}V_a (b) \cdot V_a (n+1-b)
\hspace{0.05cm}.</math>

*Wegen der Ähnlichkeit mit der Signaldarstellung eines Digitalen Filters kann man die Summe als Faltung von Va(b) mit sich selbst bezeichnen. Für die erzeugende Funktion Va(z) wird aus der Faltung ein Produkt (bzw. wegen Va(b) ∗ Va(b) das Quadrat) und man erhält folgende Gleichung:

::<math>V_a(z=1) \cdot V_a(z=1) = \left [ V_a(z=1) \right ]^2 =
{\left [ 1 -(1- {p_{\rm S}}^{1/\alpha})\right ]^{-2\alpha}} \hspace{0.05cm}.</math>

*Mit der spezifischen [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell Fehlerabstandsverteilung] Va(z) erhält man somit folgendes Endergebnis:

::<math>p_1 = p_{\rm S}
\cdot \frac{2\alpha \cdot (2\alpha+1) \cdot \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} \cdot (2\alpha+n-2)}
{(n-1)!}\cdot
(1- {p_{\rm S}}^{1/\alpha})^{n-1} \hspace{0.05cm}.</math> 

== Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–Modell (2) ==
 
Mittlere Fehleranzahl in einem Burst mit dem Burst–Endeparameter kBurst   ⇒   E[GBurst] 

[[File:P ID2836 Dig T 5 3 S5 Analyse2 neu.png|rechts|Mittlere Fehleranzahl im Burst der Länge k]]

Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit wird weiterhin mit pS = 0.001 als (relativ) klein angenommen. 
#Rote Kurve für den BSC–Kanal (bzw. α = 1):
#* Der Parameter kBurst = 10 bedeutet beispielsweise, dass der Burst beendet ist, wenn nach einem Fehler neun fehlerfreie Symbole aufeinanderfolgenden. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlerabstand a ≤ 9 ist bei kleinem pS (hier: 0.001) äußerst klein. Daraus folgt weiter, dass dann (fast) jeder Einzelfehler als ein &bdquo;Burst” aufgefasst wird, und es gilt E[GBurst] ≈ 1.01. 
#* Bei größerem Burst–Endeparameter nimmt auch die Wahrscheinlichkeit Pr(a ≤ kBurst) deutlich zu und es kommt zu &bdquo;Bursts” mit mehr als einem Fehler. Wählt man beispielsweise kBurst = 100, so beinhaltet ein &bdquo;Burst” im Mittel 1.1 Symbolfehler. 
#*Das bedeutet gleichzeitig, dass es auch beim BSC–Modell zu langen Fehlerbursts (entsprechend unserer Definition) kommen kann, wenn bei gegebenem pS der Burst–Endeparameter zu groß gewählt ist oder bei vorgegebenem kBurst die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit pS zu groß ist. 
# Grüne Kurve für den Wilhelm–Kanal mit α = 0.7:
#:Das hier angegebene Verfahren zur numerischen Bestimmung der mittleren Fehleranzahl E[GBurst] eines Bursts kann unabhängig vom α–Wert angewendet werden. Man geht wie folgt vor:
#*Entsprechend den Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten Pr(a = k) generiert man eine Fehlerfolge e1, e2, ... , ei, ... mit den Fehlerabständen a1, a2, ... , ai, ... 
#*Ist ein Fehlerabstand ai ≥ kBurst, so kennzeichnet dieser das Ende eines Bursts. Ein solches Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit Pr(a ≥ kBurst) = Va(kBurst) ein. 
#*Wir zählen solche Ereignisse &bdquo;ai ≥ kBurst” im gesamten Block der Länge n. Deren Anzahl ist gleichzeitig die Anzahl der Burst im Block. Wir bezeichnen diese Anzahl mit NBurst. 
#*Gleichzeitig gilt die Beziehung NBurst = NFehler · Va(kBurst), wobei NFehler die Anzahl aller Fehler im Block angibt. Daraus lässt sich die mittlere Fehlerzahl pro Burst in einfacher Weise berechnen:

:::<math>{\rm E}[G_{\rm Burst}] =\frac {N_{\rm Fehler}}{N_{\rm Burst}} =\frac {1}{V_a(k_{\rm Burst})}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Marker in der Grafik korrespondieren mit folgenden Zahlenwerten der [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell Fehlerabstandsverteilung]. Die grünen Kreise (Wilhelm–Kanal, α = 0.7) ergeben sich aus Va(10) = 0.394 und Va(100) = 0.193, die roten Kreise (BSC–Kanal, α = 1) sind die Kehrwerte von Va(10) = 0.991 und Va(100) = 0906. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:5.6 Fehlerkorrelationsdauer|A5.6 Fehlerkorrelationsdauer]]

[[Zusatzaufgaben:5.6 GE-Modelleigenschaften]]

[[Aufgaben:5.7 MC- aus GE-Parameter|A5.7 MC- aus GE-Parameter]]

[[Zusatzaufgaben:5.7 Nochmals MC-Modell]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Carrier Frequency Systems with Coherent Demodulation

2017-01-25T19:49:15Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
|Vorherige Seite=Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit
|Nächste Seite=Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation
}}

== Signalraumdarstellung der linearen Modulation (1) ==
 
Im bisherigen Kapitel 4 wurde die Struktur des optimalen Empfängers und die Signaldarstellung mittels Basisfunktionen am Beispiel der Basisbandübertragung behandelt. Mit der gleichen Systematik und der gleichen Einheitlichkeit sollen nun auch Bandpass–Systeme betrachtet werden, die bereits in früheren Büchern bzw. Kapiteln beschrieben wurden, nämlich
*im [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#Unterschiede_zwischen_analogen_und_digitalen_Modulationsverfahren Kapitel 4] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren”, 

*im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK Kapitel 1.5] des vorliegenden Buches. 

Dabei beschränken wir uns im Kapitel 4.4 auf
* lineare Modulationsverfahren, und 
* kohärente Demodulation 

Das bedeutet, dass am Empfänger das beim Sender zugesetzte Trägersignal hinsichtlich Frequenz und Phase exakt bekannt sein muss. 

In diesem Fall kann das gesamte Übertragungssystem im [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_TP.E2.80.93Signal äquivalenten Tiefpassbereich] beschrieben werden und der Zusammenhang zur Basisbandübertragung ist noch offensichtlicher zu erkennen als bei Betrachtung der Bandpass–Signale. Es ergibt sich somit das folgende Modell, das auf der nächsten Seite im Detail beschrieben wird. 

[[File:P ID2051 Dig T 4 4 S1 version2.png|Äquivalentes Tiefpassmodell trägermodulierter Übertragungsverfahren|class=fit]] 

Die Beschreibung der nichtlinearen Modulationsverfahren und der nichtkohärenten Demodulation folgt im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung_.281.29 Kapitel 4.5].

== Signalraumdarstellung der linearen Modulation (2) ==
 
Zum [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Signalraumdarstellung_der_linearen_Modulation_.281.29 Übertragungsmodell] der letzten Seite ist Folgendes zu bemerken:
*Aus dem ankommenden Bitstrom 〈qk〉 ∈ {0, L} werden je b Datenbits seriell/parallel gewandelt. Diese Ausgangsbits ergeben die Nachricht m ∈ {m0, ..., mM–1}, wobei M = 2b die Stufenzahl angibt. Für das Folgende wird die Nachricht m = mi vorausgesetzt. 

*In der Signalraumzuordnung wird jeder Nachricht mi ein komplexer Amplitudenkoeffizient ai = aIi + j · aQi zugeordnet, dessen Realteil die Inphasekomponente und dessen Imaginärteil die Quadraturkomponente des späteren Sendesignals formen wird. 

*Am Ausgang des blau markierten Blockes Erzeugung des TP–Signals liegt das (im allgemeinen) komplexwertige Tiefpass–Signal

::<math>s_{\rm TP}(t) \big {|}_{m \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm} m_i} = a_i \cdot g_s(t) = a_{{\rm I}i} \cdot g_s(t) + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i} \cdot g_s(t)</math>

:vor, wobei gs(t) vorerst ebenso wie sTP(t) auf den Bereich 0 ≤ t < T beschränkt sein soll und der Index i wiederum einen Hinweis auf die gesendete Nachricht mi liefert. 

*Durch Energienormierung kommt man vom Sendegrundimpuls gs(t) zur Basisfunktion

::<math>\varphi_1(t) = { g_s(t)}/{\sqrt{E_{gs}}} \hspace{0.4cm} {\rm mit} \hspace{0.4cm} E_{gs} =
\int_{0}^{T} g_s(t)^2 \,{\rm d} t </math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) \big {|}_{m\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} m_i} = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1(t) + s_{{\rm Q}i} \cdot {\rm j} \cdot \varphi_1(t)
\hspace{0.05cm}.</math>

*Während die Koeffizienten aIi und aQi dimensionslos sind, weisen die neuen Koeffizienten sIi und sQi die Einheit &bdquo;Wurzel aus Energie” auf – siehe auch [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel_.281.29 Kapitel 4.1]:

::<math>s_{{\rm I}i} = {\sqrt{E_{gs}}} \cdot a_{{\rm I}i}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{{\rm Q}i} = {\sqrt{E_{gs}}} \cdot a_{{\rm Q}i}\hspace{0.05cm}. </math>

*Die obere Gleichung zeigt weiter, dass das hier betrachtete System im äquivalenten TP–Bereich durch je eine reelle Basisfunktion φ1(t) und eine rein imaginäre Basisfunktion ψ1(t) = j · φ1(t) oder durch eine einzige komplexe Basisfunktion ξ1(t) vollständig beschrieben wird. 

*Der grau hinterlegte Teil des Blockschaltbildes zeigt das Modell zur Erzeugung des BP–Signals sBP(t), zuerst die Multiplikation des TP–Signals sTP(t) mit dem komplexen Drehzeiger exp(j2πfTt) – auf diese Weise ergibt sich das analytische Signal s+(t) – und anschließend die Realteilbildung. 

*Die beiden Basisfunktionen des Bandpass–Signals sBP(t) ergeben sich hier als energienormierte und auf den Bereich 0 ≤ t ≤ T zeitbegrenzte Cosinus– bzw. Minus–Sinus–Schwingungen. 

Im Folgenden beschränken wir uns aber auf die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals sTP(t). 
Hinweis: Im skizzierten Modell sind komplexe Größen durch einen gelb gefüllten Doppelpfeil markiert. Diese Vereinbarung soll auch für alle nachfolgenden Grafiken gelten. 

== Kohärente Demodulation und optimaler Empfänger ==
 
Im Folgenden gehen wir stets vom äquivalenten Tiefpass–Signalen aus, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist. Insbesondere stellen die Signale s(t) und r(t) in der Grafik Tiefpass–Signale und sind somit im Allgemeinen komplex. Auf den Zusatz &bdquo;TP” wird im Weiteren verzichtet. 

[[File:P ID2053 Dig T 4 4 S2 version1.png|AWGN–Kanalmodell für komplexe Signale|class=fit]] 

Zu dieser Abbildung ist zu bemerken:
*Die Phasenlaufzeit des Kanals (also eine mit der Frequenz linear ansteigende Phasenfunktion) wird im Tiefpassbereich durch den zeitunabhängigen Drehfaktor exp(jϕ) ausgedrückt. 

*Das Signal n'(t) beschreibt einen komplexen weißen Gaußschen Zufallsprozess im TP–Bereich, wie im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#N.E2.80.93dimensionales_Gau.C3.9Fsches_Rauschen_.281.29 Kapitel 4.2] angegeben. Das Hochkomma wurde angefügt, um später beim Gesamtsystem mit n(t) arbeiten zu können. 

*Der Empfänger kennt die Kanalphase ϕ und korrigiert diese durch den konjugiert–komplexen Drehfaktor exp(–jϕ). Damit lautet das Empfangssignal im äquivalenten Tiefpassbereich:

::<math>r(t) = s(t) + n'(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\phi}= s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.</math>

*Durch die Phasendrehung ändert sich an den Eigenschaften des zirkular symmetrischen Rauschens nichts. Das heißt, n(t) = n'(t) · exp(–jϕ) hat genau gleiche statistische Eigenschaften wie n'(t). 

Die linke Grafik im obigen Bild verdeutlicht die soeben beschriebenen Sachverhalte. Die rechte Grafik zeigt das Gesamtsystem, wie es für den Rest von Kapitel 4 verwendet wird. Nach dem AWGN–Kanal folgt ein optimaler Empfänger gemäß [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#N.E2.80.93dimensionales_Gau.C3.9Fsches_Rauschen_.281.29 Kapitel 4.2]. Ein Symbolfehler kann wie folgt beschrieben werden:

:<math>m = m_i \hspace{0.2cm} \cap \hspace{0.2cm} \hat{m} \ne m_i \hspace{0.05cm}.</math>

== On–Off–Keying bzw. 2–ASK ==
 
Das einfachste digitale Modulationsverfahren ist On–Off–Keying (OOK), das bereits im [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” anhand seiner Bandpass–Signale ausführlich beschrieben wurde. Dort wurde dieses Verfahren teilweise auch Amplitude Shift Keying (ASK) genannt. 

[[File:P ID2054 Dig T 4 4 S3 version1.png|Signalraumkonstellationen für OOK|class=fit]] 

Dieses Verfahren kann wie folgt charakterisiert werden:
*OOK ist ein eindimensionales Modulationsverfahren (N = 1) mit sIi ∈ {0, E1/2} und sQi = 0 bzw. sIi = 0 und sQi ∈ {0, –E1/2}. Abkürzend gilt E = Egs. Die erste Kombination beschreibt ein cosinusförmiges Trägersignal, die zweite Kombination einen sinusförmigen Träger. 

*Jedes Bit wird einem Binärsymbol zugeordnet (b = 1, M = 2); man benötigt keinen S/P–Wandler. Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen, was für das Folgende stets vorausgesetzt wird, ist sowohl die mittlere Energie pro Symbol (ES) als auch die mittlere Energie pro Bit (EB) gleich E/2. 

*Der optimale OOK–Empfänger projiziert quasi das komplexwertige Empfangssignal r(t) auf die Basisfunktion φ1(t), wenn man von der linken Skizze (Cosinusträger) ausgeht. 

*Wegen N = 1 kann das Rauschen eindimensional angesetzt werden mit der Varianz σn2 = N0/2. Mit den Aussagen von [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Gleichwahrscheinliche_Bin.C3.A4rsymbole_.E2.80.93_Fehlerwahrscheinlichkeit_.283.29 Kapitel 4.3] erhält man für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

::<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{E}{2 N_0}}\right )
= {\rm Q} \left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Da jedes Bit genau auf ein Symbol abgebildet wird, ist die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB genau so groß:

::<math>p_{\rm B}
= {\rm Q} \left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.</math>

== Binary Phase Shift Keying (BPSK) ==
 
Das sehr oft angewandte Verfahren Binary Phase Shift Keying (BPSK), das bereits im [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” anhand der Bandpass–Signale (typisch: Phasensprünge) ausführlich beschrieben wurde, unterscheidet sich von On–Off–Keying durch eine konstante Hüllkurve. 

Für die Signalraumpunkte gilt stets s1 = – s0. Sie lauten beispielsweise:
*sIi ∈ {± E1/2}, sQi = 0 bei cosinusförmigem Träger, 
*sQi ∈ {± E1/2}, sIi = 0 bei sinusförmigem Träger. 

[[File:P ID2055 Dig T 4 4 S4 version1.png|Signalraumkonstellationen der BPSK|class=fit]] 

Anhand der in der Grafik angegebenen Gleichungen (grün hinterlegtes Feld) erkennt man die folgenden Verbesserungen gegenüber On–Off–Keying (OOK):
*Bei gegebener Normierungsenergie E ist der Abstand zwischen s1 und s0 doppelt so groß. Damit erhält man für die Fehlerwahrscheinlichkeit:

:<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right )
= {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E_{\rm S}}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.</math>

*In dieser Gleichung ist ebenfalls berücksichtigt, dass nun ES = EB = E gilt, das heißt, dass nun die mittleren Energien pro Symbol bzw. pro Bit doppelt so groß sind als bei OOK. 

*Die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit ist durch den Faktor 2 unter der Wurzel im Argument der Q–Funktion merklich geringer als bei On–Off–Keying, wenn ES und N0 nicht verändert werden. 

*Anders ausgedrückt: BPSK benötigt bei gleichem N0 nur die halbe Symbolenergie ES, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie OOK zu erzielen. Der logarithmische Gewinn beträgt 3 dB. 

== M–stufiges Amplitude Shift Keying (M–ASK) ==
 
In Analogie zur [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung#Fehlerwahrscheinlichkeit_eines_Mehrstufensystems_.281.29 M–stufigen Basisbandübertragung] betrachten wir nun eine M–stufige ASK, dessen Tiefpass–Signalraumkonstellation für die Parameter b = 3 ⇒ M = 8  ⇒  8–ASK wie folgt aussieht. 

[[File:P ID2056 Dig T 4 4 S5 version3.png|Signalraumkonstellation der 8-ASK|class=fit]] 

Der Name M–ASK ist nicht ganz zutreffend. Vielmehr handelt es sich um ein kombiniertes ASK/PSK–Verfahren, da sich zum Beispiel die beiden innersten Signalraumpunkte (±1) nicht in der Amplitude (Hüllkurve) unterscheiden, sondern nur durch die Phase (0° bzw. 180°). Weiter ist anzumerken:
*Die mittlere Energie pro Symbol kann für dieses eindimensionale Verfahren unter Ausnutzung der Symmetrie wie folgt berechnet werden:

::<math>E_{\rm S} = \frac{2}{M} \cdot \sum_{k = 1}^{M/2} (2k -1)^2 \cdot E = \frac{M^2 -1}{3} \cdot E \hspace{0.05cm}.</math>

*Da jedes der M Symbole b = log2 (M) Bit darstellt, erhält man für die mittlere Energie pro Bit:

::<math>E_{\rm B} = \frac{E_{\rm S}}{b} = \frac{E_{\rm S}}{{\rm log_2}\, (M)} =\frac{M^2 -1}{3 \cdot {\rm log_2}\, (M)} \cdot E
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}M= 8\hspace{-0.1cm}: E_{\rm S}/E = 21
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}E_{\rm B}/E = 7\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden äußeren Symbole aufgrund von AWGN–Rauschen verfälscht wird, ist gleich

::<math>{\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm \ddot{a}usseres\hspace{0.15cm} Symbol}) = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right )\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit der M–2 inneren Symbole ist doppelt so groß, da hier sowohl rechts als auch links andere Entscheidungsregionen angrenzen. Durch Mittelung erhält man die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

::<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = \frac{1}{M} \cdot \left [ 2 \cdot 1 \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right ) +
(M-2) \cdot 2 \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right ) \right ] = </math>

::<math>.\hspace{0.5cm} = \frac{2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right ) =\frac{2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{6 \cdot E_{\rm S}}{(M^2-1) \cdot N_0}}\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Bei Verwendung des [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung#Symbol.E2.80.93_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit_.282.29 Graycodes] (benachbarte Symbole unterscheiden sich jeweils um ein Bit) ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit näherungsweise um den Faktor b = log2 (M) kleiner als pS:

::<math>p_{\rm B} \approx \frac{p_{\rm S}}{b} = \frac{2 \cdot (M-1)}{M \cdot {\rm log_2}\, (M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{6 \cdot {\rm log_2}\, (M)}/({M^2-1 }) \cdot { E_{\rm B}}/{ N_0}}\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

== Quadraturamplitudenmodulation (M–QAM) ==
 
[[File:P ID2057 Dig T 4 4 S6 version1.png|rahmenlos|rechts|Signalraumkonstellation der 16-QAM]]

Die [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung_.281.29 Quadraturamplitudenmodulation] (M–QAM) ergibt sich durch je eine M–ASK für Inphase– und Quadraturkomponente ⇒  M2 Signalraumpunkte. 

Durch jedes Symbol werden nun b = log2 (M) Binärzeichen (Bit) dargestellt. Die Grafik zeigt den Sonderfall M = 16 ⇒ b = 4. Rot eingezeichnet ist die Bitzuordnung nach der Graycodierung. 

Die mittlere Energie pro Symbol (ES) bzw. pro Bit (EB) kann man aus dem Ergebnis für die M–ASK einfach berechnen (beachten Sie in dieser Gleichung den Unterschied zwischen einer Energie E und dem Erwartungswert E[...]):

:<math>E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm E} \left [ |s_{i}|^2 \right ] = {\rm E} \left [ |s_{{\rm I}i}|^2 \right ] + {\rm E} \left [ |s_{{\rm Q}i}|^2 = 2 \cdot {\rm E} \left [ |s_{{\rm I}i}|^2 \right ]\right ]=</math>
::<math> \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}2 \cdot \frac{M_{\rm I}^2-1}{3} \cdot E = 2/3 \cdot (M-1) \cdot E\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}E_{\rm B} =\frac{2 \cdot (M-1)}{3 \cdot {\rm log_2}\, (M)} \cdot E \hspace{0.05cm}.</math>

Daneben hat die M–stufige Quadraturamplitudenmodulation folgende Eigenschaften:
*Als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit kann die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit_.281.29 Union Bound] herangezogen werden, wobei zu beachten ist, dass ein inneres Symbol in vier Richtungen verfälscht werden kann:

::<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le \left\{ \begin{array}{c} 4 \cdot p \\
2 \cdot p \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f{\rm \ddot{u}r}} \hspace{0.15cm} M \ge 16 \hspace{0.05cm},
\\ {\rm f{\rm \ddot{u}r}} \hspace{0.15cm} M = 4 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm} {\rm mit} \hspace{0.4cm} p = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Berücksichtigt man, dass nur die (MI – 2)2 inneren Punkte in vier Richtungen verfälscht werden, die vier Eckpunkte dagegen nur in zwei und die restlichen in drei Richtungen (blaue Pfeile in der Grafik), so erhält man mit M = MI2 die bessere Näherung

::<math>p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \approx \hspace{-0.1cm} {1}/{M} \cdot \left [(M_{\rm I} - 2)^2 \cdot 4p + 4 \cdot 2p + 4 \cdot (M_{\rm I} - 2) \cdot 3p \right ] =</math>
:::<math> \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {p}/{M} \cdot \left [ 4 \cdot M - 16 \cdot \sqrt{M} + 16 + 8 + 12 \cdot \sqrt{M} - 24\right ]= </math>
:::<math> \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {4p}/{M} \cdot \left [ M - \sqrt{M} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - {1}/{\sqrt{M}} \right ] </math>

::<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm} M = 16\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}
p_{\rm S} \approx 3 \cdot p = 3 \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{2 E}/{N_0}}\right ) = 3 \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{1/5 \cdot E_{\rm S}}/{ N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.</math>

Allgemein gilt EB = ES/log2(M) und bei Graycodierung zusätzlich pB = pS/log2(M). Damit erhält man für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

:<math>p_{\rm B} \approx {4 \cdot (1 - 1/\sqrt{M})}/{ {\rm log_2}\, (M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{3 \cdot {\rm log_2}\, (M)}/({M-1 }) \cdot { E_{\rm B}}/{ N_0}}\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Anmerkung: Die beiden Näherungen gelten für M ≥ 16 exakt, wenn – wie für die obere Grafik vorausgesetzt – keine &bdquo;diagonalen Verfälschungen” auftreten können. Der Sonderfall 4–QAM (ohne innere Symbole) wird in der Aufgabe A4.13 behandelt. 

== Mehrstufiges Phase–Shift Keying (M–PSK) ==
 
Bei mehrstufiger Phasenmodulation, wobei die Stufenzahl M in der Praxis meist eine Zweierpotenz ist, liegen alle Signalraumpunkte auf einem Kreis mit Radius E1/2 gleichmäßig verteilt. Damit gilt für die mittlere Symbolenergie ES = E und für die mittlere Energie pro Bit  ⇒  EB = ES/b = E/log2 (M). 

[[File:P ID2064 Dig T 4 4 S7 version2.png|Signalraumkonstellation der 8–PSK und 16–PSK|class=fit]] 

Für Inphase– und die Quadraturkomponente der Signalraumpunkte si gilt allgemein (i = 0, ... , M–1):

:<math>s_{{\rm I}i} = \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
s_{{\rm Q}i} = \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} || \boldsymbol{ s}_i || = \sqrt{ s_{{\rm I}i}^2 + s_{{\rm Q}i}^2} = 1 \hspace{0.05cm}.</math>

Der Phasenoffset ϕoff ist in obiger Grafik jeweils zu 0 gesetzt. Die 4–PSK mit ϕoff = π/4 (45°) ist identisch mit der [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29 4–QAM]. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten ist in allen Fällen gleich: 

:<math>d_{\rm min} = d_{\rm 0, \hspace{0.05cm}1} = d_{\rm 1, \hspace{0.05cm}2} = ... = d_{M-1, \hspace{0.05cm}0} = 2 \cdot \sqrt{E} \cdot \sin (\pi/M)
\hspace{0.05cm}.</math>

⇒  dmin/E0.5 = 20.5 ≈ 1.414 (für M = 4), ≈ 0.765 (für M = 8) und ≈ 0.390 (für M = 16).

Die obere Schranke für die AWGN–Symbolfehlerwahrscheinlichkeit nach der [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit_.281.29 Union Bound] liefert:

:<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 2 \cdot {\rm Q} \left ( \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right ) = p_{\rm UB}
\hspace{0.05cm}.</math>

Für M = 2 (BPSK) erhält man daraus die Abschätzung pS ≤ pUB = 2 · Q[(2ES/N0)1/2]. Ein Vergleich mit der auf der [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29 BPSK–Seite] angegebenen Gleichung pS = Q [(2ES/N0)1/2] zeigt, dass in diesem Sonderfall die &bdquo;Union Bound” als obere Schranke den doppelten Wert liefert. Je größer M ist, umso genauer nähert pUB die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS an. Das Interaktionsmodul [[:File:MPSK_UB.swf|Mehrstufige PSK und Union Bound]] gibt auch die exakte, durch Simulation gewonnene Fehlerwahrscheinlichkeit an. 

Die Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit lautet (Graycode  ⇒  rote Beschriftung vorausgesetzt):

:<math>p_{\rm B} \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{{ {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Diese Schranke muss man allerdings nur für M > 4 anwenden. Für M = 2 (BPSK) und M = 4 (wegen der Identität zwischen 4–PSK und 4–QAM) kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit direkt angeben: 

:<math>p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

== Binary Frequency Shift Keying ⇒ 2–FSK (1) ==
 
Auch diese Modulationsart mit Parameter b = 1 ⇒ M = 2 wurde bereits im [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#FSK_.E2.80.93_Frequency_Shift_Keying_.281.29 Kapitel 4.4] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” anhand der Bandpass–Signale ausführlich beschrieben. Die beiden möglichen Signalformen werden im Bereich 0 ≤ t ≤ T durch zwei unterschiedliche Frequenzen dargestellt: 

:<math>s_{\rm BP0}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos( 2\pi \cdot( f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A})\cdot t)\hspace{0.05cm},</math>
:<math> s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos( 2\pi \cdot( f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A})\cdot t)\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei bezeichnet fT die Trägerfrequenz und ΔfA den (einseitigen) Frequenzhub. Die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit ist jeweils gleich:

:<math>E_{\rm S} = E_{\rm B} = E = \frac{A^2 \cdot T}{2}
\hspace{0.05cm}.</math>

Hier soll nun die FSK im äquivalenten Tiefpass–Signalraum betrachtet werden. Hier gilt:

:<math>s_{\rm TP0}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \Delta f_{\rm A} \hspace{0.03cm}\cdot t}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},</math>
:<math> s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \Delta f_{\rm A} \hspace{0.03cm}\cdot t}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},</math>

und für das innere Produkt erhält man

:<math>< \hspace{0.02cm} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{0.02cm}> \hspace{0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\int_{0}^{T} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}^{\star}(t) \,{\rm d} t = A^2 \cdot \int_{0}^{T} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} 4\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \Delta f_{\rm A} \hspace{0.03cm}\cdot t} \,{\rm d} t =</math>
:::::::<math> \hspace{0.2cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{A^2}{{\rm j} \cdot 4\pi \cdot \Delta f_{\rm A}} \cdot \left [ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} 4\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \Delta f_{\rm A} \hspace{0.03cm}\cdot T} - 1 \right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden Signale sind dann orthogonal, wenn dieses innere Produkt gleich 0 ist. Also muss gelten:

:<math>h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T = 1,\hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.1cm}3, ... </math>

Diese Größe bezeichnet man als den Modulationsindex. 

== Binary Frequency Shift Keying ⇒ 2–FSK (2) ==
 
Der Modulationsindex h = 2 · ΔfA · T gibt das Verhältnis zwischen dem gesamten (also beideseitigen) Frequenzhub (2 · ΔfA) und der Symbolrate (1/T) an. Setzt man h als ganzzahlig voraus, so lassen sich die beiden Tiefpass–Signale in der Form

:<math>s_{\rm TP0}(t) \hspace{-0.15cm }= \hspace{-0.15cm }\sqrt{E} \cdot \xi_1(t) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.15cm }= \hspace{-0.15cm } \sqrt{E} \cdot \xi_2(t)</math>

mit den komplexen Basisfunktionen

:<math>\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},</math>
:<math> \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}</math>

darstellen, und es ergibt sich die nachfolgend skizzierte Signalraumdarstellung der binären FSK. 

[[File:P ID2076 Dig T 4 4 S8 version2.png|Signalraumkonstellation der FSK, falls h ganzzahlig|class=fit]] 

Daraus folgt:
*Bei ganzzahligem Modulationsindex h sind die beiden Tiefpass-Signale sTP0(t) und sTP1(t) der binären FSK zueinander orthogonal. 

*Damit ergibt sich für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit (Herleitung in der Grafik):

::<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Q} \left ( \sqrt{{ {E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit hat den gleichen Wert:   pB = pS. 

Hinweis: Im Gegensatz zur Darstellung in [KöZ08]<ref>Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> ist hier der Frequenzhub ΔfA einseitig definiert. Deshalb unterscheiden sich die Gleichungen teilweise um den Faktor 2. Arbeitet man jedoch mit dem Modulationsindex h, so gibt es keine Unterschiede. 

== Minimum Shift Keying (MSK) ==
 
Unter [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying Minimum Shift Keying] (MSK) versteht man ein binäres FSK–System mit Modulationsindex h = 0.5  ⇒  Frequenzhub ΔfA = 1/(2T). Die Grafik zeigt ein MSK–Signal für die Trägerfrequenz fT = 4/T. Die beiden Frequenzen innerhalb des Sendsignals sind f0 = fT + 1/(4T) zur Darstellung der Nachricht m0 (gelbe Hinterlegung) sowie f1 = fT – 1/(4T)  ⇒  Nachricht m1 (grüne Hinterlegung). In dieser Grafik ist auch eine kontinuierliche Phasenanpassung bei den Übergängen berücksichtigt, um die Signalbandbreite zu verringern. Man spricht dann von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Bin.C3.A4re_FSK_mit_kontinuierlicher_Phasenanpassung Continuous Phase Modulation] (CPM). 

[[File:P ID2072 Dig T 4 4 S9 version2.png|Quellensignal und Bandpass–MSK–Signal|class=fit]] 

Ohne diese Phasenanpassung lauten die beiden Bandpass–Signalformen:

:<math>s_{\rm BP0}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi f_0 t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},</math>
:<math> s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi f_1 t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm}.</math>

Bildet man das innere Produkt der Bandpass–Signale, so erhält man mit fΔ = f0 – f1 und fΣ = f0 + f1:

:<math>< \hspace{0.02cm} s_{\rm BP0}(t) \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} s_{\rm BP1}(t) \hspace{0.02cm}> \hspace{0.2cm} =
{2E}/{T} \cdot \int_{0}^{T} \cos( 2\pi f_0 t) \cdot \cos( 2\pi f_1 t)\,{\rm d} t = </math>
:::<math> \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {E}/{T} \cdot \int_{0}^{T} \cos( 2\pi f_{\rm \Delta} t) \,{\rm d} t +
{E}/{T} \cdot \int_{0}^{T} \cos( 2\pi f_{\rm \Sigma} t) \,{\rm d} t</math>
:::<math> \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
{E}/{T} \cdot \int_{0}^{T} \cos( \pi \cdot {t}/{T}) \,{\rm d} t +
{E}/{T} \cdot \int_{0}^{T} \cos( 2\pi \cdot 2 f_{\rm T} \cdot t) \,{\rm d} t
\hspace{0.05cm}.</math>

Das erste Integral ist 0 (Integral über &bdquo;Cosinus” von 0 bis π). Für fT >> 1/T, was man in der Praxis voraussetzen kann, verschwindet auch das zweite Integral. Damit erhält man für das innere Produkt:

:<math>< \hspace{0.02cm} s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t) \hspace{0.02cm}> \hspace{0.2cm}=
0
\hspace{0.05cm}.</math>

Damit ist gezeigt, dass für den Modulationsindex h = 0.5 (also MSK) und allen Vielfachen hiervon die beiden Bandpass–Signale orthogonal sind. Mit den neuen reellen Basisfunktionen

:<math>\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{2/T} \cdot \cos( 2\pi f_0 t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},</math>
:<math> \varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{2/T} \cdot \cos( 2\pi f_1 t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T</math>

erhält man die genau gleiche Signalraumkonstellation wie für geradzahliges h (= 1, 2, 3, ...), und es ergibt sich somit auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:

:<math>p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right ) = p_{\rm B}
\hspace{0.05cm}.</math>

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:4.11 OOK und BPSK|A4.11 OOK und BPSK]]

[[Zusatzaufgaben:4.11 Nochmals OOK und BPSK]]

[[Aufgaben:4.12 Berechnungen zur 16-QAM|A4.12 Berechnungen zur 16-QAM]]

[[Aufgaben:4.13 Vierstufige QAM|A4.13 Vierstufige QAM]]

[[Aufgaben:4.14 8-PSK und 16-PSK|A4.14 8-PSK und 16-PSK]]

[[Zusatzaufgaben:4.14 4-QAM und 4-PSK]]

[[Aufgaben:4.15 Optimale Signalraumbelegung|4.15 Optimale Signalraumbelegung]]

[[Aufgaben:4.16 Binary Frequency Shift Keying|A4.16 Binary Frequency Shift Keying]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Signals, Basis Functions and Vector Spaces

2017-01-25T19:38:31Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
|Vorherige Seite=Viterbi–Empfänger
|Nächste Seite=Struktur des optimalen Empfängers
}}

== Zur Nomenklatur im vierten Kapitel (1) ==
 
Nahezu alle Ergebnisse dieses Kapitels wurden bereits in früheren Abschnitten hergeleitet. Grundlegend neu ist jedoch die Herangehensweise:
*Im Buch &bdquo;Modulationsverfahren” sowie in den ersten drei Kapiteln dieses Buches wurden bereits bei den Herleitungen die spezifischen Systemeigenschaften berücksichtigt – zum Beispiel, ob die Übertragung des Digitalsignals im Basisband erfolgt oder ob eine digitale Amplituden–, Frequenz– oder Phasenmodulation vorliegt. 

*Hier sollen nun die Systeme dahingehend abstrahiert werden, dass sie einheitlich behandelt werden können. Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur, und die Fehlerwahrscheinlichkeit lässt sich auch für nichtgaußverteiltes Rauschen angeben. 

Anzumerken ist, dass sich durch diese eher globale Vorgehensweise gewisse Systemunzulänglichkeiten nicht oder nur sehr ungenau erfassen lassen, wie beispielsweise
*der Einfluss eines nichtoptimalen Empfangsfilters auf die Fehlerwahrscheinlichkeit, 

*ein falscher Schwellenwert (Schwellendrift) oder 

*Phasenjitter (Schwankungen der Abtastzeitpunkte). 

Insbesondere bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen sollte also weiterhin entsprechend Kapitel 3 vorgegangen werden. 

Die Beschreibung basiert auf dem Skript [KöZ08]<ref>Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.<ref> von Ralf Kötter und Georg Zeitler, das sich stark an das Buch [WJ65]<ref>Wozencraft, J. M.; Jacobs, I. M.: ''Principles of Communication Engineering.'' New York: John Wiley & Sons, 1965.</ref> anlehnt. Gerhard Kramer, Lehrstuhlinhaber des LNT seit 2010, behandelt in seiner NT2–Vorlesung [Kra10]<ref>Kramer, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2010.</ref> die gleiche Thematik mit sehr ähnlicher Nomenklatur. 

Um unseren eigenen Studenten an der TU München das Lesen nicht unnötig zu erschweren, halten wir uns weitestgehend an diese Nomenklatur, auch wenn diese von anderen LNTwww–Kapiteln abweicht. 

== Zur Nomenklatur im vierten Kapitel (2) ==
 
Gegenüber den anderen Kapiteln in LNTwww ergeben sich hier folgende Nomenklaturunterschiede:
*Die zu übertragende Nachrich ist ein ganzzahliger Wert m ∈ {mi} mit  i = 0, ... , M – 1, wobei M den Symbolumfang angibt. Wenn es die Beschreibung vereinfacht, wird  i = 1, ... , M  induziert. 

*Das Ergebnis des Entscheidungsprozesses beim Empfänger ist ebenfalls ein Integerwert mit dem gleichen Symbolalphabet wie beim Sender. Man bezeichnet dieses Ergebnis auch als Schätzwert:

::<math>\hat{m} \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} i = 0, 1, ...\hspace{0.05cm} , M-1\hspace{0.2cm} ({\rm bzw.}\,\,i = 1, 2, ... \hspace{0.05cm}, M) \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit wird meist wie folgt bezeichnet:

::<math>{\rm Pr} ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) = 1 - {\rm Pr} ({\cal C}),
\hspace{0.4cm}{\rm Komplement\ddot{a}rereignis\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.2cm} {\rm Pr} ({\cal C}) = {\rm Pr} ( \hat{m} = m) \hspace{0.05cm}.</math>

:Im Fließtext wird aufgrund des durch HTML eingeschränkten Zeichensatzes &bdquo;Pr(Symbolfehler)” oder auch &bdquo;pS” verwendet. 

*Bei einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) wird nun entsprechend pr(ρ) zwischen der Zufallsgröße (r) und der Realisierung (ρ) unterschieden. Bisher wurde für eine WDF die Bezeichnung &bdquo;fr(r)” verwendet – siehe [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Eigenschaften_kontinuierlicher_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen Kapitel 3.1] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”. 

*Mit der Schreibweise pr(ρ) geben r und ρ Skalare an. Sind dagegen Zufallsgröße und Realisierung Vektoren (geeigneter Länge), so wird dies durch Fettschrift ausgedrückt:

::<math>p_{ \boldsymbol{ r}}(\boldsymbol{\rho}){\rm \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}den \hspace{0.15cm}Vektoren\hspace{0.15cm}}
\boldsymbol{ r}{\rm \hspace{0.15cm}und\hspace{0.15cm}}\boldsymbol{\rho}.\hspace{0.05cm}</math>

*Um Verwechslungen mit Energiewerten zu vermeiden, heißt nun der Schwellenwert G anstelle von E und wird in diesem Kapitel vorwiegend als Entscheidungsgrenze bezeichnet.

*Ausgehend von den beiden reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen x(t) und y(t) erhält man für das innere Produkt

::<math><\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t
\hspace{0.05cm},</math>

:und für die 2–Norm (oder kurz Norm):

::<math>||x(t) || = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}x(t) \hspace{-0.1cm}>}
\hspace{0.05cm}.</math>

Gegenüber dem Skript [KöZ08]<ref>Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2''. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> unterscheidet sich die Bezeichnungsweise hier wie folgt:
*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses &bdquo;E” ist Pr(&bdquo;E”); in Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2''. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008 wird hier P(&bdquo;E”) verwendet. Diese Nomenklaturänderung wurde auch deshalb vorgenommen, da Wahrscheinlichkeiten und Leistungen in manchen Gleichungen gemeinsam vorkommen. 

*Bandpass–Signale werden weiterhin mit Index &bdquo;BP” gekennzeichnet und nicht wie in Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2''. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008 mit einer Tilde. Das entsprechende Tiefpass–Signal ist (meist) mit dem Index &bdquo;TP” versehen. 

== Orthonormale Basisfunktionen (1) ==
 
Wir gehen in diesem Kapitel von einem Satz {si(t)} möglicher Sendesignale aus, die den möglichen Nachrichten mi eineindeutig zugeordnet werden können. Mit i = 1, ... , M gilt:

:<math>m \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} s(t) \in \{s_i(t) \}\hspace{-0.1cm}: m = m_i \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} s(t) = s_i(t) \hspace{0.05cm}.</math>

Weiter setzen wir für das Folgende voraus, dass die M Signale si(t) [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale energiebegrenzt] sind, was meist gleichzeitig bedeutet, dass sie nur von endlicher Dauer sind. 

{{Satz}}''':''' Eine jede Menge {s1(t), ... , sM(t)} energiebegrenzter Signale lässt sich in N ≤ M; orthonormale Basisfunktionen φ1(t), ... , φN(t) entwickeln, wobei gilt:

:<math>s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,
\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm}, N
\hspace{0.05cm}.</math>

Jeweils zwei Basisfunktionen φj(t) und φk(t) müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, es muss gelten (δjk nennt man das Kronecker–Symbol):

:<math><\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} =
\left\{ \begin{array}{c} 1 \\
0 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.1cm}j = k
\\ {\rm falls}\hspace{0.1cm} j \ne k \\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math> {{end}} 

Der Parameter N gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen φj(t) benötigt werden, um die M möglichen Sendesignale darzustellen. Mit anderen Worten: N ist die Dimension des Vektorraums, der von den M Signalen aufgespannt wird. Dabei gilt:
*Ist N = M, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal. Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien Ei = 〈si(t),  si(t)〉 können durchaus ungleich 1 sein. 
*N < M ergibt sich, wenn mindestens ein Signal si(t) als Linearkombination von Basisfunktionen φj(t) dargestellt werden kann, die sich aus anderen Signalen sj(t) ≠ si(t) ergeben haben. 

== Orthonormale Basisfunktionen (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten M = 3 energiebegrenzte Signale gemäß der Grafik. Man erkennt sofort, dass
*s1(t) und s2(t) zueinander orthogonal sind, 

*die Energie E1 = A2 · T = E ist und E2 = E/4 gilt, 

*φ1(t) und φ2(t) jeweils formgleich mit s1(t) bzw. s2(t) sind und beide die Energie 1 besitzen:

::<math>\varphi_1(t) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{\sqrt{A^2 \cdot T}} = \frac{1}{\sqrt{ T}} \cdot \frac{s_1(t)}{A}\hspace{0.95cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_1(t) = s_{11} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{11} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\varphi_2(t) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2}} = \frac{s_2(t)}{\sqrt{(A/2)^2 \cdot T}} = \frac{1}{\sqrt{ T}} \cdot \frac{s_2(t)}{A/2}\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_2(t) = s_{21} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{21} = \frac{\sqrt{E}}{2}\hspace{0.05cm}.</math>

*s3(t) durch die Basisfunktionen φ1(t) und φ2(t) ausgedrückt werden kann:

::<math>s_3(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},</math>
::<math>s_{31} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E}}/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.</math>

::[[File:P ID1993 Dig T 4 1 S2 version1.png|Darstellung der Sendesignale durch Basisfunktionen|class=fit]] 

Im rechten unteren Bild sind die Signale in einer 2D–Darstellung mit den Basisfunktionen φ1(t) und φ2(t) als Achsen dargestellt, wobei E = A2 · T gilt und der Zusammenhang zu den anderen Grafiken durch die Farbgebung zu erkennen ist. Die vektoriellen Repräsentanten der Signale s1(t), s2(t) und s3(t) in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:

:<math>\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.2cm} \mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.2cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Das Verfahren nach Gram-Schmidt (1) ==
 
Im Beispiel auf der letzten Seite war die Angabe der beiden orthonormalen Basisfunktionen φ1(t) und φ2(t) sehr einfach, da diese formgleich mit s1(t) und s2(t) waren. Das Gram–Schmidt–Verfahren findet die Basisfunktionen φ1(t), ... , φN(t) für beliebig vorgebbare Signale s1(t), ... , sM(t), und zwar wie folgt:

*Die erste Basisfunktion φ1(t) ist formgleich mit s1(t). Es gilt:

::<math>\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{|| s_1(t)||}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_1(t) || = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =|| s_1(t)||,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2
\hspace{0.05cm}.</math>

*Es wird nun angenommen, dass aus den Signalen s1(t), ... , sk–1(t) bereits die Basisfunktionen φ1(t), ... , φn–1(t) berechnet wurden (n ≤ k). Dann berechnen wir mittels sk(t) die Hilfsfunktion

::<math>\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
s_{kj} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.1cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, ... \hspace{0.1cm}, n-1\hspace{0.05cm}.</math>

*Ist θk(t) &equiv; 0  ⇒  ||θk(t)|| = 0, so liefert sk(t) keine neue Basisfunktion. Vielmehr lässt sich dann sk(t) durch die n–1 bereits vorher gefundenen Basisfunktionen φ1(t), ... , φn–1(t) ausdrücken:

::<math>s_k(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj}\cdot \varphi_j(t) \hspace{0.05cm}.</math>

*Eine neue Basisfunktion (nämlich die n–te) ergibt sich, falls ||θk(t)|| ≠ 0 ist:

::<math>\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{|| \theta_k(t)||}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_n(t) || = 1\hspace{0.05cm}.</math>

Diese Prozedur kann fortgesetzt werden, bis alle M Signale berücksichtigt wurden. Danach hat man alle N ≤ M orthonormalen Basisfunktionen φj(t) gefunden. Der Sonderfall N = M ergibt sich nur dann, wenn alle M Signale linear voneinander unabhängig sind. 

Auf der nächsten Seite wird das Gram–Schmidt–Verfahren an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. Wir verweisen auch auf das folgende Interaktionsmodul: 

[[:File:gram-schmidt.swf|Gram–Schmidt–Verfahren]] 

== Das Verfahren nach Gram-Schmidt (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten die M = 4 energiebegrenzten Signale s1(t), ... , s4(t) entsprechend der Grafik. Zur Vereinfachung der Berechnungen ist hier sowohl die Amplitude als auch die Zeit normiert. Man erkennt:
*Die Basisfunktion φ1(t) ist formgleich mit s1(t). Wegen E1 = ||s1(t)||2 = 3 · 0.52 = 0.75 ergibt sich s11 = ||s1(t)|| = 0.866. φ1(t) selbst besitzt abschnittsweise die Werte ±0.5/0.866 = ±0.577.

*Zur Berechnung der Hilfsfunktion θ2(t) berechnen wir

::<math>s_{21} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577</math>
:::<math> \hspace{-0.1cm}\Rightarrow \hspace{-0.1cm} \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, 0.667, -0.333)</math>
:::<math> \hspace{-0.1cm}\Rightarrow \hspace{-0.1cm} \hspace{0.3cm}|| \theta_2(t) ||^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667</math>
:::<math> \hspace{-0.1cm}\Rightarrow \hspace{-0.1cm} \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.2cm}
\varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, 0.816, -0.408)\hspace{0.05cm}. </math>

*Die inneren Produkte zwischen s3(t) mit φ1(t) bzw. φ2(t) liefern folgende Ergebnisse:

::<math>s_{31} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.577) + 0.5 \cdot (-0.577)- 0.5 \cdot (-0.577)= 0.289</math>
::<math>s_{32} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.408) + 0.5 \cdot (+0.816)- 0.5 \cdot (-0.408)= 0.816</math>
:::<math> \hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{-0.1cm} \hspace{0.3cm}\theta_3(t) = s_3(t) - 0.289 \cdot \varphi_1(t)- 0.816 \cdot \varphi_2(t) = 0\hspace{0.05cm}.</math>

:Das bedeutet: Die grüne Funktion s3(t) liefert keine neue Basisfunktion φ3(t), im Gegensatz zur Funktion s4(t). Die numerischen Ergebnisse hierfür können der Grafik entnommen werden. 

:[[File:P ID1990 Dig T 4 1 S3 version1.png|Zum Gram-Schmidt-Verfahren|class=fit]]{{end}} 

== Basisfunktionen komplexer Zeitsignale ==
 
In der Nachrichtentechnik hat man es oft mit komplexen Zeitfunktionen zu tun,
*nicht etwa, weil es komplexe Signale in der Realität gibt, sondern 

*weil die Beschreibung eines BP–Signals im äquivalenten TP–Bereich zu komplexen Signalen führt. 

Die Bestimmung der N ≤ M komplexwertigen Basisfunktionen ξk(t) aus den M komplexen Signalen si(t) kann ebenfalls mit dem [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt_.281.29 Gram–Schmidt–Verfahren] erfolgen, doch ist nun zu berücksichtigen, dass das innere Produkt zweier komplexer Signale x(t) und y(t) wie folgt zu berechnen ist:

:<math>< \hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.1cm}y(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y^{\star}(t)\,d \it t
\hspace{0.05cm}.</math>

Die entsprechenden Gleichungen lauten nun mit  i = 1, ... , M  und  k = 1, ... , N:

:<math>s_i(t) = \sum\limits_{k = 1}^{N}s_{ik} \cdot \xi_k(t),\hspace{0.2cm}s_i(t) \in {\cal C},\hspace{0.2cm}s_{ik} \in {\cal C}
,\hspace{0.2cm}\xi_k(t) \in {\cal C} \hspace{0.05cm},</math>

:<math>< \hspace{-0.1cm}\xi_k(t),\hspace{0.1cm} \xi_j(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{-\infty}^{+\infty}\xi_k(t) \cdot \xi_j^{\star}(t)\,d \it t
= {\rm \delta}_{ik} =
\left\{ \begin{array}{c} 1 \\
0 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c}{\rm falls}\hspace{0.15cm} k = j
\\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} k \ne j \\ \end{array}\hspace{0.05cm}.</math>

Natürlich lässt sich jede komplexe Größe auch durch zwei reelle Größen – nämlich durch den Realteil und den Imaginärteil – ausdrücken. Somit erhält man hier folgende Gleichungen:

:<math>s_{i}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{{\rm I}i}(t) + {\rm j} \cdot s_{{\rm Q}i}(t),
\hspace{0.2cm} s_{{\rm I}i}(t) = {\rm Re} [s_{i}(t)], \hspace{0.2cm} s_{{\rm Q}i}(t) = {\rm Im} [s_{i}(t)],</math>

:<math>\xi_{k}(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \varphi_k(t) + {\rm j} \cdot \psi_k(t),
\hspace{0.2cm} \varphi_k(t) = {\rm Re} [\xi_{k}(t)], \hspace{0.2cm} \psi_k(t) = {\rm Im} [\xi_{k}(t)],</math>

:<math>\hspace{0.35cm} s_{ik} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{{\rm I}ik} + {\rm j} \cdot s_{{\rm Q}ik},
\hspace{0.2cm} s_{{\rm I}ik} = {\rm Re} [s_{ik}], \hspace{0.2cm} s_{{\rm Q}ik} = {\rm Im} [s_{ik}],</math>

:<math> \hspace{0.35cm} s_{{\rm I}ik} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}{\rm Re}[\hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_i(t), \hspace{0.15cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm}], \hspace{0.2cm}s_{{\rm Q}ik} = {\rm Re}[\hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_i(t), \hspace{0.15cm}{\rm j} \cdot \psi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm}]
\hspace{0.05cm}. </math>

Die Nomenklatur ergibt sich aus der Hauptanwendung für komplexe Basisfunktionen, nämlich der [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung_.281.29 Quadratur–Amplitudenmodulation] (QAM). Der Index &bdquo;I” steht für Inphasekomponente und gibt den Realteil an, während die Quadraturkomponente (Imaginärteil) mit dem Index &bdquo;Q” gekennzeichnet ist. 

Um Verwechslungen mit der imaginären Einheit zu vermeiden, sind hier die komplexen Basisfunktionen ξk(t) mit &bdquo;k” induziert und nicht mit &bdquo;j”. 

== Dimension der Basisfunktionen (1) ==
 
Bei der Basisbandübertragung sind die möglichen Sendesignale (Betrachtung nur einer Symboldauer)
:<math>s_i(t) = a_i \cdot g_s(t), \hspace{0.2cm} i = 0, ...\hspace{0.05cm} , M-1,</math>

 wobei gs(t) den Sendegrundimpuls angibt und die ai in Kapitel 1 und Kapitel 2 als die möglichen Amplitudenkoeffizienten bezeichnet wurden. Anzumerken ist, dass im bisherigen Kapitel 4.1 für die Laufvariable i die Werte 1 bis M vorausgesetzt wurden und nicht wie hier 0 bis M – 1. 

Nach der Beschreibung dieses Kapitels handelt es sich unabhängig von der Stufenzahl M um ein eindimensionales Modulationsverfahren (N = 1), wobei bei der Basisbandübertragung
*die Basisfunktion φ1(t) gleich dem energienormierten Sendegrundimpuls gs(t) ist:

::<math>\varphi_1(t) ={g_s(t)}/{\sqrt{E_{gs}}} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
E_{gs} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2(t)\,d \it t
\hspace{0.05cm},</math>

*die dimensionslosen Amplitudenkoeffizienten ai in die Signalraumpunkte si umgerechnet werden können, die die Einheit &bdquo;Wurzel aus Energie” aufweisen. 

Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für die binäre unipolare (oben), die binäre bipolare (Mitte) sowie die quaternäre bipolare (unten) Basisbandübertragung. Rechts sind am Beispiel &bdquo;Rechteckimpuls” die zwei bzw. vier möglichen Sendesignale si(t) angegeben. Man kann daraus auch den Zusammenhang zwischen Signalenergie E und Impulsamplitude A erkennen. Die jeweils linken Darstellungen auf der φ1–Achse gelten aber unabhängig von der Form des Sendegrundimpulses gs(t), nicht nur für Rechtecke. 

[[File:P ID1991 Dig T 4 1 S5a version2.png|Eindimensionale Modulationsverfahren|class=fit]] 

*Die Grafik beschreibt gleichzeitig die eindimensionalen Trägerfrequenzsysteme On–Off–Keying (oben), BPSK bzw. 2–ASK (Mitte) und 4–ASK (unten). 

*Die Signale si(t) und die Basisfunktion φ1(t) beziehen sich dann auf den äquivalenten TP–Bereich. Im BP–Bereich ist φ1(t) eine auf den Zeitbereich 0 ≤ t ≤ T begrenzte harmonische Schwingung. 

== Dimension der Basisfunktionen (2) ==
 
Zu den zweidimensionalen Modulationsverfahren (N = 2) gehören
*M–stufiges Phase Shift Keying (M–PSK), 
*Quadratur–Amplitudenmodulation (4–QAM, 16–QAM, 64–QAM, ...), 
*binäres (orthogonales) Frequency Shift Keying (2–FSK). 

Allgemein ist bei orthogonaler FSK die Anzahl N der Basisfunktionen φk(t) gleich der Anzahl M der möglichen Sendesignale si(t). N = 2 ist deshalb nur für M = 2 möglich. 

[[File:P ID1992 Dig T 4 1 S5b version1.png|Signalraumkonstellationen für M-PSK und QAM|class=fit]] 

Die linke Grafik zeigt die 8–PSK–Konstellation. Beschränkt man sich auf die rot umrandeten Punkte, so liegt eine 4–PSK (Quaternary Phase Shift Keying, QPSK) vor. 

Die rechte Grafik bezieht sich auf die 16–QAM beziehungsweise – wenn man nur die rot umrandeten Signalraumpunkte betrachtet – auf die 4–QAM. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass die 4–QAM mit der QPSK bei entsprechender Achsenskalierung identisch ist. 

Die Grafiken beschreiben die Modulationsverfahren sowohl im Bandpass– als auch im äquivalenten Tiefpassbereich:
*Bei der Betrachtung als Bandpass–System sind die Basisfunktionen φ1(t) und φ2(t) cosinusförmig bzw. (minus–)sinusförmig – vergleiche hierzu Aufgabe A4.2. 

*Dagegen ist nach der Transformation der QAM–Systeme in den äquivalenten Tiefpassbereich die Basisfunktion φ1(t) gleich dem energienormierten (Energie 1) Sendegrundimpuls gs(t), während φ2(t) = j · φ1(t) zu setzen ist. Sie finden Näheres hierzu in der Aufgabe Z4.2. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:4.1 Gram-Schmidt-Verfahren|A4.1 Gram-Schmidt-Verfahren]]

[[Zusatzaufgaben:4.1 Andere Basisfunktionen]]

[[Aufgaben:4.2 AM/PM-Schwingungen|A4.2 AM/PM-Schwingungen]]

[[Zusatzaufgaben:4.2 Achtstufiges Phase Shift Keying]]

[[Aufgaben:4.3 Unterschiedliche Frequenzen|A4.3 Unterschiedliche Frequenzen]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Decision Feedback

2017-01-25T19:31:55Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
|Vorherige Seite=Lineare Nyquistentzerrung
|Nächste Seite=Optimale Empfängerstrategien
}}

== Prinzip und Blockschaltbild ==
 
Eine Möglichkeit zur Verminderung von Impulsinterferenzen bietet die Entscheidungsrückkopplung (engl.: Decision Feedback Equalization – abgekürzt DFE). In der deutschsprachigen Literatur wird diese manchmal auch als Quantisierte Rückkopplung (QR) bezeichnet. 

[[File:P ID1446 Dig T 3 6 S1 version1.png|Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung (DFE)|class=fit]] 

Die Grafik zeigt den entsprechenden Empfänger. Man erkennt anhand des Blockschaltbildes:
*Ohne die rot eingezeichnete Signalrückführung ergäbe sich ein herkömmlicher Digitalempfänger mit Schwellenwertentscheidung entsprechend [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer_.281.29 Kapitel 3.3]. Für die nachfolgende Beschreibung wird wieder angenommen, dass sich das gesamte Empfangsfilter HE(f) aus dem Kanalentzerrer 1/HK(f) und einem Gaußtiefpass HG(f) zur Rauschleistungsbegrenzung zusammensetzt. 

*Beim Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung wird vom rechteckförmigen Ausgangssignal υ(t) über ein lineares Netzwerk mit dem Frequenzgang HDFE(f) ein Kompensationssignal w(t) gewonnen und an den Eingang des Schwellenwertentscheiders zurückgeführt. 

*Dieses Signal w(t) wird vom vorentzerrten Signal d(t) subtrahiert. Bei geeigneter Dimensionierung des Rückkopplungsnetzwerkes weist somit das korrigierte Signal k(t) = d(t) – w(t) keine (oder zumindest deutlich geringere) Impulsnachläufer auf als das Signal d(t). Die Impulsvorläufer können dagegen aus Kausalitätsgründen nicht beeinflusst werden. 

*Da bei diesem Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung das Kompensationssignal w(t) vom rauschfreien Sinkensignal υ(t) abgeleitet wird, ist die Signalentzerrung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden wie bei linearer Entzerrung. Vielmehr besitzt das korrigierte Signal k(t) den gleichen Rauscheffektivwert σd wie das Signal d(t). 

Hinweis: Die Signalverläufe dieses nichtlinearen Entzerrungsverfahrens &bdquo;DFE” sowie die zugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeiten – gültig für einen verzerrungsfreien Kanal – können mit dem folgenden Interaktionsmodul angezeigt werden: 
[[:File:DFE.swf|Entscheidungsrückkopplung]]

== Ideale Entscheidungsrückkopplung ==
 
Wir behandeln zunächst die ideale DFE–Realisierung anhand der Grundimpulse. 

{{Definition}}''':''' Eine ideale Entscheidungsrückkopplung liegt vor, wenn am Entscheider der folgende Grundimpuls anliegt:
:<math>g_k(t) = \left\{ \begin{array}{c} g_d(t)
\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}
\begin{array}{*{20}c} t < T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ t \ge T_{\rm D} + T_{\rm V}. \\
\end{array}</math>{{end}} 

Das bedeutet, dass im Idealfall der Kompensationsgrundimpuls gw(t) den linear vorentzerrten Impuls gd(t) für alle Zeiten t > TD + TV exakt nachbilden muss. Die aus Realisiserungsgründen erforderliche Verzögerungszeit TV muss stets kleiner als die Symboldauer T sein; im Folgenden gelte stets TV = T/2. 

{{Beispiel}}''':''' Der Gesamtfrequenzgang HK(f) · HE(f) = HG(f) sei gaußförmig mit der Grenzfrequenz fG = 0.3/T. Bei NRZ–Rechteckimpulsen ergibt sich dann der skizzierte Detektionsgrundimpuls gd(t). 

[[File:P ID1447 Dig T 3 6 S2 version1.png|Grundimpulse und Signale bei idealer DFE|class=fit]] 

Links dargestellt sind auch die Grundimpulse gw(t) und gk(t) bei idealer Entscheidungsrückkopplung, wobei der Detektionszeitpunkt TD = 0 und die Verzögerungszeit TV = T/2 zugrunde liegen. 

Die rechten Bilder aus [Söd01]<ref>Söder, G.: ''Simulation digitaler Übertragungssysteme.'' Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.</ref> – alle ohne Berücksichtigung des Rauschens – machen deutlich, dass durch die Kompensation aller Impulsnachläufer mittels des Korrektursignals w(t) die Abstände der Nutzabstandswerte dS(νT) von der Entscheiderschwelle E = 0 verändert werden. Besonders geringe Abstände wie beispielsweise zu den Zeitpunkten t = 6T und t = 7T werden deutlich vergrößert und damit deren Fehlerwahrscheinlichkeiten stark verringert (Pfeile weggehend von der Schwelle). 

Dagegen werden die im Signal d(t) weit vom Schwellenwert E = 0 entfernten Detektionsabtastwerte zur Schwelle hin verschoben und deren Verfälschungswahrscheinlichkeit leicht erhöht. Dies erkennt man zum Beispiel für den Zeitpunkt t = 5T.{{end}} 

== Augenöffnung und Fehlerwahrscheinlichkeit bei DFE ==
 
Betrachten wir nun die Augendiagramme ohne DFE (linke Grafik) und mit idealer DFE (rechte Grafik). 

[[File:P ID1448 Dig T 3 6 S3 version1.png|Augendiagramme ohne und mit DFE|class=fit]] 

Dabei wird von den gleichen Voraussetzungen wie auf der letzten Seite ausgegangen, so dass folgende Grundimpulswerte vorliegen:

:<math>g_0 = g_d(t=0) = 0.548 \cdot s_0
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_1 = g_d(t=T) = 0.214 \cdot s_0 =
g_{-1} \hspace{0.05cm},</math>
:<math> g_2 = g_d(t=2\hspace{0.05cm}T) = 0.012 \cdot s_0 = g_{-2}
\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_3 = g_{-3} = ... \approx 0
\hspace{0.05cm}.</math>

Diese beiden Augendiagramme können wie folgt interpretiert werden:
*Beim herkömmlichen Empfänger (ohne DFE) gilt bei binärer bipolarer redundanzfreier Codierung unter Berücksichtigung der Symmetrie:
::<math>{\ddot{o}(T_{\rm D} = 0 )} = {2} \cdot \left [ g_0 - | g_{-1}| - | g_{-2}| - | g_{1}| - | g_{2}|\right ] =</math>
:::::<math> = {2} \cdot \left [ g_0 - 2 \cdot g_{1} - 2 \cdot g_{2}\right
]= 0.192 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.</math>

*Dagegen werden bei idealer DFE die beiden Nachläufer g1 und g2 vollständig kompensiert und man erhält für die vertikale Augenöffnung:
::<math>{\ddot{o}(T_{\rm D} = 0 )} = {2} \cdot \left [ g_0 - g_{-1} - g_{-2}\right
]= 0.644 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.</math>

*Da das Korrektursignal w(t) aus dem entschiedenen und damit rauschfreien Signal υ(t) abgeleitet wird, wird der Rauscheffektivwert durch die Entscheidungsrückkopplung nicht verändert. Der Störabstandsgewinn durch die DFE ist somit im betrachteten Beispiel gleich
::<math>G_{\rm DFE}=
20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{0.644}{0.192} \approx 10.5\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.</math>

Bei einem Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung a∗ = 80 dB und 10 · lg EB/N0 = 80 dB bedeutet dieser Störabstandsgewinn beispielsweise, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit pU durch die DFE von 7% auf ca. 4 · 10–7 verkleinert wird – eine durchaus beachtenswerte Verbesserung. 

== Optimierung eines Übertragungssystems mit DFE ==
 
Die letzte Seite hat deutlich gemacht, dass die Entscheidungsrückkopplung bereits dann einen enormen Störabstandsgewinn bewirkt, wenn von einer festen Grenzfrequenz fG und dem Detektionszeitpunkt TD = 0 ausgegangen wird. Das System lässt sich aber weiter verbessern, wenn die beiden Parameter fG und TD gemeinsam optimiert werden. 

[[File:P ID1449 Dig T 3 6 S4 version1.png|Augendiagramme mit DFE und optimiertem Detektionszeitpunkt|class=fit]] 

Betrachten wir die Augendiagramme ohne Rauschen für fG · T = 0.3 (links) und fG · T = 0.2 (rechts). Für die nachfolgenden Berechnungen werden weiterhin die charakteristische Kabeldämpfung a∗ = 80 dB sowie der AWGN–Parameter 10 · lg EB/N0 = 80 dB (mit EB = s02 · T) vorausgesetzt, so dass sich der normierte Rauscheffektivwert zu σd/s0 = 0.065 (für fG · T = 0.3) bzw. σd/s0 = 0.010 (für fG · T = 0.2) ergibt. Die Optimierungsergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:

*Mit fG · T = 0.3 kann durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes auf TD,opt = –0.3T die Augenöffnung auf ö(TD) = 0.779 · s0 vergrößert werden. Daraus resultiert gegenüber TD = 0 (vergleiche letze Seite) ein weiterer Störabstandsgewinn von 20 · lg (0.779/0.644) ≈ 1.65 dB und die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nun zu pU ≈ 1.3 · 10–9 (gegenüber 4 · 10–7). 

*Bei einem DFE–Empfänger kann man zusätzlich die Grenzfrequenz weiter herabsetzen. So ergibt sich mit fG · T = 0.2 und TD = 0 die zwar kleine, aber immerhin von 0 verschiedene Augenöffnung ö(TD) = 0.152 · s0, die zusammen mit dem sehr günstigen Rauscheffektivwert σd/s0 = 0.010 zum (ungünstigsten) Störabstand 17.6 dB und zur Fehlerwahrscheinlichkeit pU = 1.6 · 10–14 führt. 

*Durch Kombination der Grenzfrequenz fG · T = 0.2 mit dem Detektionszeitpunkt TD = –0.5T erhält man schließlich die bei den getroffenen Voraussetzungen optimale Systemkonfiguration mit der Augenöffnung ö(TD) = 0.368 · s0 und dem (ungünstigsten) Störabstand 10 · lg ρU = 25.3 dB. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist damit (praktisch) gleich 0. 

== Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (1) ==
 
Als ein wesentliches Ergebnis von Kapitel 3.5 und Kapitel 3.6 empfiehlt sich folgende Vorgehensweise: Für ein Übertragungssystem über Kupferleitungen (Koaxialkabel, Zweidrahtleitung) sind aufgrund des erreichbaren Signal–zu–Rauschabstandes am Entscheider folgende Systemvarianten besonders geeignet:
*ein Mehrstufensystem (z.B. M = 4) und die optimale Nyquistentzerrung zur Kompensation der starken Impulsinterferenzen, hervorgerufen durch die linearen Kanalverzerrungen. 

*ein Binärsystem mit relativ kleiner Bandbreite des Gesamtfrequenzganges HG(f) = HK(f) · HE(f) und ein nichtlinearer Detektor mit Entscheidungsrückkopplung. 

Beide Systemvarianten liefern bei idealisierten Bedingungen vergleichbar gute Resultate. Zu beachten ist allerdings, dass es bei beiden Systemen durch Realisierungsungenauigkeiten zu großen Degradationen kommen kann, die hier am Beispiel des DFE–Systems genannt werden:

*Da über das Fernsprechnetz kein Gleichsignal übertragen werden kann, für unsere Berechnungen aber HK(f = 0) = 1 angenommen wird, ist am Empfänger eine Gleichsignalwiedergewinnung erforderlich. Diese Aussage trifft in gleicher Weise für das quaternäre Nyquistsystem zu. 

*Beim DFE–System muss der Kompensationsimpuls den vorentzerrten Grundimpuls gd(t) exakt nachbilden. Dies ist insbesondere dann schwierig, wenn gd(t) sehr breit ist (kleine Grenzfrequenz, zum Beispiel fG · T = 0.2) und die Optimierung den Detektionszeitpunkt TD, opt = –T/2 liefert. 

*Kommt es aufgrund eines sehr großen Rauschwertes zu einer Fehlentscheidung, so werden auch die nachfolgenden Symbole mit großer Wahrscheinlichkeit verfälscht. Allerdings gibt es immer wieder Symbolfolgen, die diese Fehlerfortpflanzung unterbrechen. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt den Grundimpuls gd(t) für die Grenzfrequenz fG · T = 0.2 (rote Kurve) und den Kompensationsimpuls gw(t) für TD = – T/2 (blau gefüllt). Hierbei ist wieder eine Verzögerungszeit TV = T/2 zwischen Entscheidung und Beginn der Signalkorrektur berücksichtigt. 

[[File:P ID1450 Dig T 3 6 S5a version1.png|Grundimpulse bei idealer DFE|class=fit]] 

Man erkennt, dass bereits für TD = –T/2 der erste Nachläufer gd(TD + T) = gd(T/2) genau so groß ist wie der Hauptwert gd(TD) = gd(–T/2). Gelingt es nicht, tatsächlich alle Nachläufer zu kompensieren, so ergibt sich schnell ein geschlossenes Auge und damit die Fehlerwahrscheinlichkeit pU = 50%.{{end}} 

== Realisierungsaspekte der Entscheidungsrückkopplung (2) ==
 
Für eine schaltungstechnische Realisierung genügt es, wenn der korrigierte Grundimpuls gk(t) lediglich zu den äquidistanten Detektionszeitpunkten TD + ν · T zu Null wird. Eine Realisierungsmöglichkeit stellt somit ein Laufzeitfilter gemäß der nachfolgenden Grafik dar,
*dessen Ordnung N (Anzahl der Filterkoeffizienten), und 

*dessen Filterkoeffizienten kν (mit ν = 1, ... , N) 

durch den Grundimpuls gd(t) sowie den Detektionszeitpunkt TD festgelegt sind. 

[[File:P ID1451 Dig T 3 6 S5b version1.png|Entscheidungsrückkopplung mit Laufzeitfilter|class=fit]] 

Diese DFE–Realisierung weist folgende Eigenschaften auf:
*Da das Ausgangssignal υ(t) rechteckförmig ist, ist der Kompensationsimpuls gw(t) treppenförmig. 

*Bei richtiger Dimensionierung der Filterkoeffizienten kν gilt für ν = 1, ... , N:
::<math>g_w(T_{\rm D} + \nu \cdot T) = g_d(T_{\rm D} + \nu \cdot T)
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
g_k(T_{\rm D} + \nu \cdot T) = 0 \hspace{0.05cm}.</math>

*Zum Detektionszeitpunkt TD ergibt sich die genau gleiche vertikale Augenöffnung wie bei idealer DFE. Nachteilig ist eine kleinere horizontale Augenöffnung. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt die Grundimpulse gd(t) und gk(t) bei der Entscheidungsrückkopplung mit einem Laufzeitfilter zweiter Ordnung. Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im Beispiel auf der letzten Seite: fG · T = 0.2, TD = –T/2, TV = T/2. 

[[File:P ID1452 Dig T 3 6 S5c version1.png|Grundimpulse bei DFE mit Laufzeitfilter|class=fit]] 

Wegen der Ordnung N = 2 werden hier allerdings nur die beiden ersten Nachläufer gd(0.5T) und gd(1.5T) kompensiert. Der dritte Nachläufer gd(2.5T) könnte durch einen weiteren Filterkoeffizienten k3 zu 0 gemacht werden. Dagegen können die Impulsvorläufer gd(–1.5T) und gd(–2.5T) prinzipiell nicht kompensiert werden.{{end}} 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:3.8 DFE mit Laufzeitfilter|A3.8 DFE mit Laufzeitfilter]]

[[Zusatzaufgaben:3.8 Optimaler Detektionszeitpunkt]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Linear Nyquist Equalization

2017-01-25T19:28:29Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
|Vorherige Seite=Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung
|Nächste Seite=Entscheidungsrückkopplung
}}

== Struktur des optimalen Nyquistentzerrers ==
 
In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus. 

[[File:P ID1423 Dig T 3 5 S1 version1.png|Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]] 

Hierzu ist anzumerken:
*Die Diracquelle liefert die zu übertragende Nachricht (Amplitudenkoeffizienten aν) in binärer bipolarer Form. Sie wird als redundanzfrei vorausgesetzt. 

*Die Sendeimpulsform gs(t) wird durch den Senderfrequenzgang HS(f) berücksichtigt. Bei allen Beispielen ist HS(f) = si(π f T) zugrunde gelegt. 

*Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal – hierfür wird meist ein Koaxialkabel angenommen – durch den gemeinsamen Frequenzgang HSK(f) = HS(f) · HK(f) zusammengefasst. 

*Das Empfangsfilter HE(f) setzt sich multiplikativ aus dem Matched–Filter HMF(f) = HSK∗(f) und dem Transversalfilter HTF(f) zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.

*Der Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Schwellenwertentscheider soll die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich erste Nyquistbedingung] erfüllen. Es muss also gelten:

::<math>H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)
= H_{\rm Nyq}(f)
\hspace{0.05cm}.</math>

*Mit dieser Bedingung ergibt sich die maximale Augenöffnung (keine Impulsinterferenzen). Deshalb gelten für das Detektions–SNR und den Systemwirkungsgrad bei binärer Signalisierung:

::<math>\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}}
= \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}
= \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter HE(f) so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:

::<math>\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/
T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2
\,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

*Wir bezeichnen die Konfiguration als Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst M = 2. 

== Wirkungsweise des Transversalfilters (1) ==
 
Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

:<math>H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
\hspace{0.4cm}
h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T)
\hspace{0.05cm}.</math>

N gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt k–λ = kλ. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten k0, ... , kN vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (N = 2). 

[[File:P ID1424 Dig T 3 5 S2 version2.png|Transversalfilter als Teil des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]] 

Für den Eingangsimpuls gm(t) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

*symmetrisch um t = 0 ist (Ausgang des Matched–Filters), 
*zu den Zeiten νT und –νT den Wert gm(ν) besitzt. 

Damit sind die Eingangsimpulswerte:

:<math>...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace
{0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm}
... \hspace{0.05cm}.</math>

Für den Detektionsgrundimpuls gd(t) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten νT mit den Abkürzungen g0 = gd(t = 0), g1 = gd(t = ±T), g2 = gd(t = ±2T) folgende Werte:

:<math> t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2
\cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} </math>
:<math> t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1
\cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)], </math>
:<math> t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1
\cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2 \cdot [g_m(2)+g_m(4)]
\hspace{0.05cm}. </math>

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten k0, k1 und k2 so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls gd(t) durch die normierten Stützstellen

:<math>...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0
,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2
= 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...</math>

vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. 

== Wirkungsweise des Transversalfilters (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm aus. Mit der Abkürzung gm(ν) = gm(± ν · T) gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer T:

:<math>g_m(t) = {\rm exp }\left ( - \sqrt{2 \cdot |t|/T}\right )</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.15cm}g_m(1)=
0.243,\hspace{0.15cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.15cm}g_m(3)= 0.086,
\hspace{0.15cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.</math>

Für den Ausgangsimpuls soll gd(0) = 1 und gd(±T) = 0 gelten. Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten k0 und k1, die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

:<math>t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot
[1.000 +0.135] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{k_1} =
-0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},</math>
:<math> t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot
0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0}
= 1 \hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID1425 Dig T 3 5 S2b version1.png|rechts|Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers]] 

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten k0 = 1.116 und k1 = 0.239. Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich gd(0) = 1 gilt (gelbe Hinterlegung). Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte (blaue Kreise) sind aber von 0 verschieden und bewirken Impulsinterferenzen. 

Das untere Diagramm zeigt, dass mit einem Filter zweiter Ordnung (N = 2) Nulldurchgänge bei ±T und bei ±2T erzwungen werden, wenn die Koeffizienten k0 = 1.127, k1 = 0.219 und k2 = 0.075 geeignet gewählt sind. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

:<math>t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2
\cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},\\
t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot
[1.000+0.135]+ k_2 \cdot [0.243+0.086] = 0\hspace{0.05cm},
\\
t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot
[0.243+0.086]+ k_2 \cdot [1.000 + 0.059]= 0 \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:
*Mit einem Laufzeitfilter N–ter Ordnung können der Hauptwert gd(0) zu 1 (normiert) sowie die ersten N Nachläufer und die ersten N Vorläufer zu Null gemacht werden. 

*Weitere Vor– und Nachläufer (|ν| > N) lassen sich so nicht kompensieren. Es ist auch möglich, dass diese außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen. 

*Im Grenzübergang N → ∞ (in der Praxis heißt das: ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten) ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich. 

== Beschreibung im Frequenzbereich (1) ==
 
Die Tatsache, dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus
*dem Matched–Filter HMF(f) = HS∗(f) · HK∗(f) – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls – 

*und einem Transversalfilter HTF(f) mit unendlich vielen Filterkoeffizienten 

zusammensetzt, folgt aus dem ersten Nyquistkriterium. Durch Anwendung der Variationsrechnung erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters (siehe [ST85]<ref>Söder, G.; Tröndle, K.: ''Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>):

:<math>H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f -
\frac{\kappa}{T})
|^2} \hspace{0.3cm}{\rm{mit}}\hspace{0.3cm}H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f)
\hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik zeigt diesen Verlauf in logarithmierter Form für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung
*a∗ = 0 dB  ⇒  grüne Null–Linie, 
*a∗ = 40 dB  ⇒  blauer Funktionsverlauf, 
*a∗ = 80 dB  ⇒  roter Funktionsverlauf. 

[[File:P ID1426 Dig T 3 5 S3 version1.png|Logarithmierter Frequenzgang des Transversalfilters|class=fit]] 

Man erkennt aus obiger Gleichung und dieser Skizze:
*HTF(f) ist reell, woraus sich die symmetrische Struktur des Transversalfilters ergibt: k–λ = kλ. 

*HTF(f) ist eine mit der Frequenz 1/T periodische Funktion. 

*Die Koeffizienten ergeben sich somit aus der Fourierreihe (angewandt auf die Spektralfunktion):

::<math>k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f -
{\kappa}/{T})
|^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) =
\sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm
e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Beschreibung im Frequenzbereich (2) ==
 
Die linke Grafik zeigt den Verlauf 20 · lg HTF(f) im Bereich | f | ≤ 1/T. Rechts ist der Frequenzgang 20 · lg |HE(f)| des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt. Es gilt:

:<math>H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{^\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f -
{\kappa}/{T})
|^2}.</math>

[[File:P ID1427 Dig T 3 5 S3b version1.png|Frequenzgang des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]] 

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:
*Der Transversalfilter–Frequenzgang HTF(f) ist symmetrisch zur Nyquistfrequenz fNyq = 1/(2T). Diese Symmetrie ist beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang HE(f) nicht mehr gegeben. 
*Die Maxima der Frequenzgänge HTF(f) und |HE(f)| hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung ab. Es gilt:
::<math>a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm
TF}(f)]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm
Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},</math>
::<math>a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)]
\approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|]
\approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.</math>

Für a∗ = 0 dB (idealer Kanal) kann auf das Transversalfilter verzichtet werden und es gilt, wie bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_-_Realisierung_mit_Matched-Filter_.281.29 Kapitel 1.2] hergeleitet:

:<math>H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T)\hspace{0.05cm}.</math>

== Approximation des optimalen Nyquistentzerrers ==
 
Betrachten wir nun den Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Entscheider. Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen. Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:

:<math>H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =
\frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f -
{\kappa}/{T})
|^2}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des optimalen Nyquistfilters:
*Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß (a∗ > 10 dB), so kann der Gesamtfrequenzgang mit sehr guter Näherung durch einen [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#1.2FT.E2.80.93Nyquistspektren_.281.29 Cosinus–Rolloff–Tiefpass] beschrieben werden. 

*Je größer a∗ ist, desto kleiner ist der Rolloff–Faktor und um so steiler verläuft der Flankenabfall. Für die charakteristische Kabeldämpfung a∗ = 40 dB ergibt sich r ≈ 0.4, für 80 dB ist r ≈ 0.18. 

*Oberhalb der Frequenz fNyq · (1 + r) besitzt HNyq(f) keine Anteile. Bei idealem Kanal – also für a∗ = 0 dB – reicht HNyq(f) = si2(πfT) allerdings theoretisch bis ins Unendliche (grüne Kurve).

:[[File:P ID1428 Dig T 3 5 S3c version1.png|Optimaler Nyquistfrequenzgang|class=fit]] 

Mit dem folgenden Interaktionsmodul können Sie sich den Cosinus–Rolloff–Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich verdeutlichen: 
[[:File:tiefpass.swf|Tiefpässe im Frequenz- und Zeitbereich]] 

== Berechnung der normierten Störleistung ==
 
Betrachten wir nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider. Für diese gilt:

:<math>\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/
(2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2
\,{\rm d} f .</math>

Das linke Bild zeigt |HE(f)|2 im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung a∗ = 80 dB.

[[File:P ID1429 Dig T 3 5 S5 version1.png|Zur Berechnung der normierten Störleistung beim ONE|class=fit]] 

Beachten Sie, dass |HE(f = 0)| = 1 ist. Da die Frequenz auf 1/T normiert wurde, entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve. Die numerische Auswertung ergibt: 

:<math>\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm
lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx
72.25\,{\rm dB}
\hspace{0.05cm}.</math>

Es kann gezeigt werden, dass die normierte Störleistung auch mit dem Transversalfilter–Frequenzgang HTF(f) berechnet werden kann, wie in der rechten Grafik dargestellt:

:<math>\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
\int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f
\hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.</math>

Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich. Man erkennt auch, dass der mittlere Koeffizient k0 gleich der normierten Störleistung ist. In der zweiten Spalte der nachfolgenden Tabelle ist 10 · lg (k0) in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung angegeben. Aufgrund der gewählten Normierung gilt diese Tabelle auch für redundanzfreie Mehrstufensysteme; M bezeichnet hierbei die Stufenzahl. 

[[File:P ID1430 Dig T 3 5 S5b version3.png|Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]] 

Die Koeffizienten k1, k2, k3, ... des Transversalfilters weisen für a∗ ≠ 0 alternierende Vorzeichen auf. Für a∗ = 40 dB sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als k0/10, für a∗ = 80 dB sogar sieben. 

== Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades ==
 
Für einen Systemvergleich eignet sich der [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung_.281.29 Systemwirkungsgrad], der das erreichbare Detektions–SNR ρd in Bezug zum maximalen SNR ρd, max setzt, das allerdings nur bei idealem Kanal HK(f) = 1 erreichbar ist. Für den Systemwirkungsgrad gilt bei M–stufiger Übertragung und optimaler Nyquistentzerrung:

:<math>\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.</math>

Die (normierte) Störleistung k0 kann aus der [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Berechnung_der_normierten_St.C3.B6rleistung Tabelle] auf der letzten Seite abgelesen werden. Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung a∗ in der ersten Spalte. 

Die folgende Tabelle aus [ST85]<ref>Söder, G.; Tröndle, K.: ''Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>. ermöglicht einen Systemvergleich für a∗ = 80 dB. Verglichen werden
*der gaußförmige Gesamtfrequenzgang (GTP) entsprechend Kapitel 3.4, 
*der optimale Nyquistentzerrer (ONE) entsprechend Kapitel 3.5. 

[[File:P ID1431 Dig T 3 5 S6 version1.png|Vergleich binärer und mehrstufiger Systeme|class=fit]] 

Das Ergebnis dieses Vergleichs kann wie folgt zusammengefasst werden:
*Im binären Fall (M = 2) ist das impulsinterferenzfreie System (ONE) um etwa 6 dB besser als das impulsinterferenzbehaftete System (GTP). 
*Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber &bdquo;GTP” ein weiterer, deutlicher Störabstandsgewinn möglich. Für M = 4 ist dieser Gewinn etwa 18.2 dB. 
*Das schmalbandige GTP–System kann allerdings deutlich verbessert werden, wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet. Dieser wird im Kapitel 3.6 behandelt. 

Hinweis: Alle Ergebnisse von Kapitel 3.5 lassen sich mit folgendem Interaktionsmodul nachvollziehen: 
[[:File:Lineare_Nyquistentzerrung.swf|Lineare Nyquistentzerrung]] 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:3.6 ONE-Transversalfilter|A3.6 ONE-Transversalfilter]]

[[Zusatzaufgaben:3.6 Exponentialimpuls - ONE]]

[[Aufgaben:3.7 Optimale Nyquistentzerrung|A3.7 Optimale Nyquistentzerrung]]

[[Zusatzaufgaben:3.7 Regeneratorfeldlänge]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Block Coding with 4B3T Codes

2017-01-25T19:18:37Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Codierte und mehrstufige Übertragung
|Vorherige Seite=Redundanzfreie Codierung
|Nächste Seite=Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes
}}

== Allgemeine Beschreibung von Blockcodes ==
 
Bei Blockcodierung wird jeweils eine Sequenz von mq binären Quellensymbolen (Mq = 2) durch einen Block von mc Codesymbolen mit dem Symbolumfang Mc dargestellt. Um eine jede Quellensymbolfolge in eine andere Codesymbolfolge umsetzen zu können, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

:<math>M_c^{\hspace{0.1cm}m_c} \ge
M_q^{\hspace{0.1cm}m_q}\hspace{0.05cm}.</math>

Bei den redundanzfreien Codes entsprechend [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung#Blockweise_und_symbolweise_Codierung Kapitel 2.2] gilt in dieser Gleichung das Gleichheitszeichen, wenn Mq eine Zweierpotenz ist. Mit dem Größerzeichen ergibt sich ein redundantes Digitalsignal, wobei die relative Coderedundanz wie folgt berechnet werden kann:

:<math>r_c = 1- \frac{m_q \cdot {\rm log_2} (M_q)}{m_c \cdot {\rm log_2} (M_c)} > 0 \hspace{0.05cm}.</math>

Der bekannteste Blockcode zur Übertragungscodierung ist der
4B3T–Code mit den Codeparametern

:<math>m_q = 4,\hspace{0.2cm}M_q = 2,\hspace{0.2cm}m_c =
3,\hspace{0.2cm}M_c = 3\hspace{0.05cm},</math>

der bereits in den 1970–er Jahren entwickelt wurde und beispielsweise bei [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen ISDN] (Integrated Services Digital Networks) eingesetzt wird. Ein 4B3T–Code besitzt folgende Eigenschaften:
*Wegen mq · TB = mc · T ist die Symboldauer T des Codersignals um den Faktor 4/3 größer als die Bitdauer TB des binären Quellensignals. Daraus ergibt sich die günstige Eigenschaft, dass der Bandbreitenbedarf um ein Viertel geringer ist als bei redundanzfreier Binärübertragung.

*Die relative Redundanz kann mit obiger Gleichung berechnet werden und ergibt sich zu ca. 16%. Diese Redundanz wird beim 4B3T–Code dazu verwendet, um Gleichsignalfreiheit zu erzielen. Das 4B3T–codierte Signal kann somit ohne merkbare Beeinträchtigung auch über einen Kanal mit der Eigenschaft HK(f = 0) = 0 übertragen werden. 

Die Umcodierung der 16 möglichen Binärblöcke in die entsprechenden Ternärblöcke könnte prinzipiell nach einer festen Codetabelle vorgenommen werden. Um die spektralen Eigenschaften dieser Codes weiter zu verbessern, werden bei den gebräuchlichen 4B3T–Codes, nämlich

*dem 4B3T–Code nach Jessop und Waters, 
*dem MS43–Code (von: Monitored Sum 4B3T–Code), 
*dem FoMoT–Code (von: Four Mode Ternary), 

zwei oder mehrere Codetabellen verwendet, deren Auswahl von der laufenden digitalen Summe der Amplitudenkoeffizienten gesteuert wird. Das Prinzip wird auf der nächsten Seite erklärt. 

== Laufende digitale Summe ==
 
Nach der Übertragung von l codierten Blöcken gilt für die laufende digitalen Summe mit den ternären Amplitudenkoeffizienten aν ∈ {–1, 0, +1}:

:<math>{\it \Sigma}_l = \sum_{\nu = 1}^{3 \hspace{0.02cm}\cdot
\hspace{0.05cm} l}\hspace{0.02cm} a_\nu \hspace{0.05cm}.</math>

Die Auswahl der Tabelle zur Codierung des (l + 1)–ten Blocks erfolgt abhängig vom aktuellen Wert Σl.

 [[File:P_ID1334__Dig_T_2_3_S2.png|Codetabellen für drei 4B3T-Codes|class=fit]] 

In obiger Tabelle sind die Codierregeln für die drei oben genannten 4B3T–Codes angegeben. Zur Vereinfachung der Schreibweise steht &bdquo;+” für den Amplitudenkoeffizienten &bdquo;+1” und &bdquo;–” für den Koeffizienten &bdquo;–1”. Die Beschreibung folgt auf der nächsten Seite. 

Die zwei Codetabellen des Jessop–Waters–Codes sind so gewählt, dass die laufende digitale Summe stets zwischen 0 und 5 liegt. Bei den beiden anderen Codes erreicht man durch drei bzw. vier alternative Tabellen die Beschränkung der laufenden digitalen Summe auf den Wertebereich 0 ≤ Σl ≤ 3. 

== AKF und LDS der 4B3T–Codes (1) ==
 
Die Vorgehensweise bei der Berechnung von AKF und LDS wird hier nur stichpunktartig skizziert:
*Der Übergang der laufenden digitalen Summe von Σl nach Σl+1 wird durch eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit sechs (Jessop–Waters) bzw. vier Zuständen (MS43, FoMoT) beschrieben – siehe [ST85]<ref>Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>. Für den FoMoT–Code gilt folgendes Markovdiagramm: 

:[[File:P_ID1335__Dig_T_2_3_S3_v1.png|Markovdiagramm zur Analyse des 4B3T-Codes (FoMoT)|class=fit]] 

*Die Werte an den Pfeilen kennzeichnen die Übergangswahrscheinlichkeiten Pr(Σl+1 | Σl), die sich aus den jeweiligen Codetabellen ergeben. Die Farben korrespondieren zu den Hinterlegungen der Tabelle auf der letzten Seite. Aufgrund der Symmetrie des FoMoT–Markovdiagramms sind die Wahrscheinlichkeiten Pr(Σl = 0) = ... = Pr(Σl = 3) alle gleich, nämlich 1/4. 

*Die Autokorrelationsfunktion (AKF) φa(λ) = E[aν · aν+λ] der Amplitudenkoeffizienten kann aus diesem Diagramm ermittelt werden. Einfacher als diese analytische Berechnung, die eines sehr großen Rechenaufwands bedarf, ist die simulative Bestimmung der AKF–Werte mittels Computer. 

*Durch Fouriertransformation der AKF kommt man zum Leistungsdichtespektrum (LDS) Φa(f) der Amplitudenkoeffizienten entsprechend der nachfolgendem Grafik aus [ST85]<ref>Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>. 

:[[File:P_ID1336__Dig_T_2_3_S3b_v1.png|LDS von 4B3T-Codes im Vergleich zu redundanzfreier und AMI-Codierung|class=fit]] 

:Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite. 

== AKF und LDS der 4B3T–Codes (2) ==
 
Durch Fouriertransformation der AKF φa(λ) = E[aν · aν+λ] der Amplitudenkoeffizienten kommt man zum entsprechenden Leistungsdichtespektrum (LDS) Φa(f) gemäß der folgenden Grafik aus [ST85]<ref>Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>: 

[[File:P_ID1336__Dig_T_2_3_S3b_v1.png|LDS von 4B3T-Codes im Vergleich zu redundanzfreier und AMI-Codierung|class=fit]] 

Die Aussagen der obigen Grafik lassen sich wie folgt zusammenfassen:
*Die Grafik zeigt das LDS Φa(f) der Amplitudenkoeffizienten. Das LDS Φs(f) unter Einbeziehung des Sendegrundimpulses erhält man durch Multiplikation mit 1/T · |Gs(f)|2. Beispielsweise muss man Φa(f) mit einer si2–Funktion multiplizieren, wenn gs(t) einen Rechteckimpuls beschreibt. 

*Bei redundanzfreier Binär– oder Ternärcodierung ergibt sich jeweils ein konstantes Φa(f), dessen Höhe von der Stufenzahl M abhängt (unterschiedliche Signalleistung). Dagegen weist das 4B3T–Leistungsdichtespektrum (rote Kurve) Nullstellen bei f = 0 und Vielfachen von f = 1/T auf. 

*Die Nullstelle bei f = 0 hat den Vorteil, dass das 4B3T–Signal ohne große Einbußen auch über einen so genannten Telefonkanal übertragen werden kann, der aufgrund von Übertragern für ein Gleichsignal nicht geeignet ist. 

*Die Nullstelle bei f = 1/T hat den Nachteil, dass dadurch die Taktrückgewinnung am Empfänger erschwert wird. Außerhalb dieser Nullstellen weisen die 4B3T–Codes ein flacheres Φa(f) als der in [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes#Allgemeine_Beschreibung_von_Partial_Response_Codes_.281.29 Kapitel 2.4] beschriebene AMI–Code (blaue Kurve) auf, was von Vorteil ist. 

*Der Grund für den flacheren LDS–Verlauf bei mittleren Frequenzen sowie den steileren Abfall zu den Nullstellen hin ist, dass bei den 4B3T–Codes bis zu fünf &bdquo;+1”– bzw. &bdquo;–1”–Koeffizienten aufeinanderfolgen können, während beim AMI–Code diese Symbole nur isoliert auftreten. 

*Die Unterschiede der einzelnen 4B3T–Codes sind nicht sonderlich ausgeprägt. So gilt für den MS43–Code E[aν2] ≈ 0.65 und für die beiden anderen E[aν2] = 0.69. Das obige LDS wurde für den FoMoT–Code ermittelt, dessen Markovdiagramm auf der letzten Seite dargestellt wurde. 

== Fehlerwahrscheinlichkeit der 4B3T-Codes (1) ==
 
Betrachten wir nun die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung des 4B3T–Codes im Vergleich zu redundanzfreier Binär– und Ternärcodierung, wobei folgende Voraussetzungen gelten sollen:
*Der Systemvergleich erfolgt zunächst unter der Nebenbedingung der &bdquo;Spitzenwertbegrenzung”. Deshalb verwenden wir den rechteckförmigen Sendegrundimpuls, der hierfür optimal ist. 

*Der Gesamtfrequenzgang zeigt einen Cosinus–Rolloff mit bestmöglichem Rolloff–Faktor r = 0.8. Die Rauschleistung σd2 ist somit [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Optimierung_des_Rolloff.E2.80.93Faktors_bei_Spitzenwertbegrenzung um 12% größer] als beim Matched-Filter (globales Optimum). 

Die Grafik zeigt die Augendiagramme (mit Rauschen) der drei zu vergleichenden Systeme und enthält die Gleichungen zur Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung. Jedes Diagramm enthält ca. 2000 Augenlinien.

[[File:P_ID1338__Dig_T_2_3_S4_v2.png|Augendiagramm bei redundanzfreier bzw. 4B3T-Codierung|class=fit]] 

Die beiden ersten Zeilen der Tabelle beschreiben den Systemvergleich bei Spitzenwertbegrenzung. Für das Binärsystem ergibt sich die Rauschleistung (unter Berücksichtigung der 12%–Erhöhung) zu

:<math>\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 \cdot T}) = 0.56 \cdot {N_0}/{T} = \sigma_1^2 \hspace{0.05cm}.</math>

Für das Augendiagramm und die nachfolgenden Berechnungen ist jeweils ein &bdquo;Störabstand” von 13 dB zugrunde gelegt. Damit erhält man:

:<math>10 \cdot {\rm lg } \hspace{0.1cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 13 \, {\rm dB } \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 10^{1.3} \approx 20</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_1^2 = 0.56 \cdot {s_0^2}/{20} \approx 0.028 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_1}/{s_0}\approx 0.167 \hspace{0.05cm}.</math>

In der Zeile &bdquo;B” ist die dazugehörige Symbolfehlerwahrscheinlichkeit
pS ≈ Q(s0/σ1) ≈ Q(6) = 10–9 angegeben. – Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Fehlerwahrscheinlichkeit der 4B3T-Codes (2) ==
 
[[File:P_ID1338__Dig_T_2_3_S4_v2.png|Augendiagramm bei redundanzfreier bzw. 4B3T-Codierung|class=fit]] 

Die beiden weiteren Augendiagramme lassen sich wie folgt interpretieren:
*Beim redundanzfreien Ternärsystem ist die Augenöffnung nur halb so groß wie beim Binärsystem und die Rauschleistung σ22 ist um den Faktor log2(3) kleiner als σ12. 

*Der Faktor 4/3 vor der Q–Funktion berücksichtigt, dass die ternäre &bdquo;0” in beiden Richtungen verfälscht werden kann. Damit ergeben sich folgende Zahlenwerte:

::<math>\frac{ \sigma_2}{s_0}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{{\rm log_2} (3)}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}\frac{ 0.167}{1.259}
\approx 0.133 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm}p_{\rm S}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.133}\right)\approx
\frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.76) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}1.1 \cdot 10^{-4} .</math>

*Der 4B3T–Code liefert noch etwas ungünstigere Ergebnisse, da hier bei gleicher Augenöffnung die Rauschleistung (σ32) weniger stark vermindert wird als beim redundanzfreien Ternärcode:

::<math>\frac{ \sigma_3}{s_0} = \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{4/3}} =\frac{ 0.167}{1.155}
\approx 0.145 \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}p_{\rm S}= \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.145}\right)\approx
\frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.45) = 3.7 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Leistungsbegrenzung sind für EB/N0 = 13 dB in der Zeile &bdquo;C” angegeben. Beim Binärsystem wird pS gegenüber der Zeile &bdquo;B” nicht verändert. 

*Für die beiden Ternärcodes gilt E[aν2] ≈ 2/3. Deshalb kann hier die Amplitude um den Faktor &bdquo;Wurzel aus 3/2” ≈ 1.225 vergrößert werden und man erhält für den redundanzfreien Ternärcode mit pS = 4/3 · Q(1.225 · 3.76) ≈ 2.9 · 10–5 eine signifikant kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als bei Spitzenwertbegrenzung (vgl. die Zeilen &bdquo;B” und &bdquo;C” in obiger Tabelle). Ähnliches gilt auch für den 4B3T-Code: pS = 4/3 · Q(1.225 · 3.45) ≈ 1.5 · 10–5. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:2.6 Modifizierter MS43-Code|A2.6 Modifizierter MS43-Code]]

[[Zusatzaufgaben:2.6 4B3T-Code nach Jessop und Waters]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Optimization of Baseband Transmission Systems

2017-01-25T19:07:51Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
|Vorherige Seite=Eigenschaften von Nyquistsystemen
|Nächste Seite=Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation
}}

== Voraussetzungen und Optimierungskriterium ==
 
Für dieses Kapitel 1.4 gilt das folgende Blockschaltbild: 
[[File:P_ID1286__Dig_T_1_4_S1_v1.png|Blockschaltbild eines Basisbandübertragungssystems|class=fit]] 
Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
*Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei; mehrstufige und/oder codierte Systeme werden im Kapitel 2 behandelt. Der Abstand aufeinander folgender Symbole beträgt T. Die (äquivalente) Bitrate ist bei den hier getroffenen Voraussetzungen gleich R = 1/T. 
*Der Sendegrundimpuls gs(t) ist rechteckförmig und weist die Amplitude s0 sowie die Impulsdauer TS ≤ T auf. Stimmt die Sendeimpulsdauer TS mit der Symboldauer T überein, so spricht man von NRZ–Rechteckimpulsen. Im Fall TS/T < 1 liegt ein RZ–Format vor. 
*Als Übertragungskanal wird das AWGN–Modell mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte N0 verwendet, so dass für das Empfangssignal r(t) = s(t) + n(t) gilt. Die für systemtheoretische Untersuchungen besser geeignete zweiseitige Rauschleistungsdichte beträgt somit N0/2. 
*Die Impulsantwort hE(t) des Empfangsfilters ist ebenfalls rechteckförmig, allerdings mit der Höhe 1/TE und der Breite TE. Daraus folgt für den Gleichsignalübertragungsfaktor HE(f = 0) = 1. Nur im Sonderfall TE = TS kann man HE(f) als Matched–Filter bezeichnen. 
*Um Impulsinterferenzen auszuschließen, muss bei der Optimierung der beiden Systemparameter TS bzw. TE stets die Randbedingung TS + TE ≤ 2T eingehalten werden. Impulsinterferenzen werden erst im [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen&action=edit&redlink=1 Kapitel 3] betrachtet. 
*Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle E = 0 und optimalen Detektionszeitpunkten (bei νT) verwendet. 
Unter Systemoptimierung verstehen wir hier, die Parameter TS und TE von Sendegrundimpuls und Empfangsfilter–Impulsantwort so zu bestimmen, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den kleinstmöglichen Wert annimmt.

== Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (1) ==
 
Die Optimierung der Systemgrößen wird entscheidend dadurch beeinflusst, ob als Nebenbedingung der Optimierung Leistungsbegrenzung oder Spitzenwertbegrenzung des Sendesignals gefordert wird. 
{{Definition}}''':''' Unter Leistungsbegrenzung versteht man, dass die (mittlere) Sendeleistung PS einen vorgegebenen Maximalwert PS, max nicht überschreiten darf: 
:<math>P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm
S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.</math>
Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen, wird man natürlich die mittlere Sendeleistung PS im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. Deshalb wird im Folgenden stets PS = PS, max gesetzt.{{end}} 
Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt, unter Anderem deshalb, weil die als &bdquo;Elektrosmog” bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der (mittleren) Strahlungsleistung abhängt. 
Anzumerken ist, dass ein Funkübertragungssystem natürlich nicht im Basisband arbeitet. Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume&action=edit&redlink=1 Kapitel 4] dieses Buches dahingehend modifiziert, dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind. 
{{Definition}}''':''' Spitzenwertbegrenzung spricht man immer dann, wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist. Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung:
:<math>|s(t)| \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}{\rm
alle}\hspace{0.15cm}t.</math>
Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff
Amplitudenbegrenzung, der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt. {{end}} 
Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt, aber nicht die mittlere, sondern die Spitzenleistung. Die Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung” ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig, wenn
*der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist, oder 
*die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen gewissen Wert nicht überschreiten darf. Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten. 

== Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Sendegrundimpuls gs(t) und Empfangsfilter–Impulsantwort hE(t) seien rechteckförmig. Die Amplitude g0 des Ausgangsimpulses stimmt stets mit der Eingangsimpulsamplitude s0 überein. 
*Beim System A (TS = T, TE = T) handelt es sich um die Matched–Filter–Realisierung mit NRZ–Rechteckimpulsen. [[File:P_ID3132__Dig_T_1_4_S2_A1_v2.png|Impulse/Impulsantworten bei System A|class=fit]] 
:Die Rauschleistung ist σd2 = N0/(2T). Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich somit unter Berücksichtigung von s02 · T = EB (&bdquo;Energie pro Bit”) wie folgt:
::<math>p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)=
{\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot
T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.</math> 
*Beim System B (TS = T, TE = T/2) ist das Empfangsfilter hE(t) nicht an den Sendegrundimpuls gs(t) angepasst. Deshalb ergibt sich ein trapezförmiger Detektionsgrundimpuls gd(t): 
:[[File:P_ID3133__Dig_T_1_4_S2_A2_v1.png|Impulse/Impulsantworten bei System B|class=fit]] 
:Die Rauschleistung ist σd2 = N0/(2T). Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich somit unter Berücksichtigung von s02 · T = EB (&bdquo;Energie pro Bit”) wie folgt:
::<math>p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)=
{\rm Q} \left( \sqrt{{ s_0^2 \cdot
T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.</math>
*Beim System C (TS = T/2, TE = T/2) ist wie bei System A die Matched–Filter–Bedingung erfüllt, allerdings bei RZ–Rechteckimpulsen mit dem Tastverhältnis 1/2. 
:[[File:P_ID3134__Dig_T_1_4_S2_A3_v2.png|Impulse/Impulsantworten bei System C|class=fit]] 
:Die Rauschleistung ist so groß wie bei System B  ⇒  σd2 = N0/T. Bei der zweiten Gleichung ist berücksichtigt, dass die Energie pro Bit jetzt nur noch halb so groß ist  ⇒  EB = 1/2 · s02 · T:
::<math>p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)=
{\rm Q} \left( \sqrt{{ s_0^2 \cdot
T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{2 \cdot {E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.</math>
{{end}}

== Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (3) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB in Abhängigkeit vom Verhältnis EB/N0 (linkes Diagramm) bzw. als Funktion von s02 · T/N0 (rechtes Diagramm). Es handelt sich dabei um die Interpretation der oben hergeleiteten Ergebnisse. 
[[File:P_ID1288__Dig_T_1_4_S2_v1.png|Systemvergleich bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung|class=fit]] 
Diese beiden Diagramme in doppelt–logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren: 
*Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung (Ps) bzw. bei konstanter Energie pro Bit (EB). Da der Abszissenwert zusätzlich auf N0 bezogen ist, gibt pB(EB/N0) den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten (N0) richtig wieder. 
*Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen A und C gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar. Wie auf den nächsten Seiten hergeleitet wird, liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn gs(t) und hE(t) formgleich sind (Matched–Filter). Die kleinere Leistung von System C wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen. 
*Dagegen wird bei System B die Matched–Filter–Bedingung nicht eingehalten (TE ≠ TS) und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um 3 dB rechts von der durch die Systeme A und C vorgegebenen Grenzkurve. 
*Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug A (NRZ–Impuls, Matched–Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann. 
*Die Kurve B in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung, da wiederum NRZ–Sendeimpulse verwendet werden. Der Abstand von 3 dB zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched–Filter–Bedingung zurückzuführen. 
*Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched–Filter–System C um 3 dB rechts vom Optimum. Der Grund für diese Degradation ist, dass bei gleichem Spitzenwert (gleicher Spitzenleistung) das System C nur die halbe mittlere Leistung wie das System A bereitstellt. 

{{end}}

== Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung (1) ==
 
Die Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit 
:<math>p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}</math> 
kann aufgrund des monotonen Funktionsverlaufs der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion Q(x) auf die Maximierung des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses vor dem Schwellenwertentscheider (Detektions–SNR) zurückgeführt werden: 
:<math>\rho_d ={g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{\rm Maximum}\hspace{0.05cm}.</math> 
Hierbei steht g0 als Abkürzung für gd(t = 0). Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass 
*der Detektionsgrundimpuls gd(t) = gs(t) ∗ hE(t) das erste Nyquistkriterium erfüllt, und 
*die Energie des Sendegrundimpulses gs(t) einen vorgegebenen Wert EB nicht überschreitet. 
In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits mehrfach erwähnt, dass beim AWGN–Kanal für das optimale System unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung gilt: 
:<math>p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.</math> 
{{Definition}}''':''' Der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung einer vorliegenden Konfiguration ist der Quotient aus dem tatsächlichen und dem größtmöglichen Detektions–SNR: 
:<math>\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}
L}}}= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.</math> 
Hierbei sind folgende Systemgrößen verwendet: 
*g0 = gd(t = 0) gibt die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an. 
*EB beschreibt die Energie des Sendegrundimpulses. 
*N0 ist die (einseitige) AWGN-Rauschleistungsdichte. 
*σd2 bezeichnet die Detektionsstörleistung für das gegebene Empfangsfilter. {{end}} 
Nachfolgend wird gezeigt, dass für den Systemwirkungsgrad stets ηL ≤ 1 gilt. 

== Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung (2) ==
 
Der Beweis erfolgt im Frequenzbereich. Aus Darstellungsgründen normieren wir den Sendegrundimpuls::
<math>h_{\rm S}(t) = \frac{g_s(t)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
H_{\rm S}(f) = \frac{G_s(f)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.05cm}.</math> 
Damit hat hS(t) die Einheit 1/s und HS(f) ist dimensionslos. Für die einzelnen Systemgrößen folgt daraus: 
*Aufgrund des ersten Nyquistkriteriums muss gelten::
<math>G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = G_{\rm Nyq}(f)</math>
::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)= H_{\rm
Nyq}(f)= \frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T}\hspace{0.05cm}.</math> 
*Die Amplitude des Detektionsgrundimpulses ist gleich
::<math>g_d(t=0) = g_0 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = g_0\hspace{0.05cm}.</math> 
*Die Energie des Sendegrundimpulses ist wie folgt gegeben::
<math>E_{\rm B} = g_0^2 \cdot T^2 \cdot
\int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.</math> 
*Die Detektionsstörleistung lautet::
<math> \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f =
\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f\hspace{0.05cm}. </math> 
Setzt man diese Teilergebnisse in die Gleichung für den Systemwirkungsgrad ein, so erhält man::
<math>\eta_{\rm L} = \left [ {T \cdot
\int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f } \right ]^{-1}\hspace{0.05cm}.</math> 
Wendet man auf den Ausdruck in der Klammer die Schwartzsche Ungleichung [BS01]<ref>Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.: ''Taschenbuch der Mathematik''. 5. Auflage. Frankfurt: Harry Deutsch, 2001.</ref> 
<math>T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 1}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 2}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.3cm}\ge\hspace{0.3cm}
\left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 1}(f) \cdot H_{\rm 2}(f)| \,{\rm d} f \right ]^2</math> 

<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm}\ge\hspace{0.2cm}
\left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.5cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1 </math> 
an, so erkennt man, dass stets ηL ≤ 1 gilt. Die Auswertung zeigt, dass für 
:<math>H_{\rm S, \hspace{0.05cm}opt}(f) = \gamma \cdot \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}</math> 
in obiger Ungleichung unabhängig vom Parameter γ das Gleichheitszeichen gilt::
<math>\gamma^2 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \frac {1}{\gamma^2} \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
= \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1</math> 
<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta_{\rm L} = 1 \hspace{0.05cm}.</math> 
Im Folgenden wird meist vereinfachend γ = 1 gesetzt. 

==Wurzel–Nyquist–Systeme==
 
Das wesentliche Ergebnis der Berechnungen auf den letzten Seiten war, dass beim optimalen Binärsystem unter der Nebenbedingung Leistungsbegrenzung
*die Impulsantwort hE(t) des Empfangsfilters formgleich mit dem Sendegrundimpuls gs(t) zu wählen ist (gleiches gilt für die zugehörigen Spektren), und 
*der Detektionsgrundimpuls gd(t) = gs(t) ∗ hE(t) die erste Nyquistbedingung erfüllen muss. 
Sind sowohl gs(t) als auch hE(t) rechteckförmig mit TS = TE ≤ T, so werden beide Bedingungen erfüllt. Nachteilig für diese Konfiguration ist allerdings der große Bandbreitenbedarf aufgrund der nur langsam abfallenden, si–förmigen Spektralfunktionen Gs(f) und HE(f). 
Geht man von einem Nyquistspektrum mit Cosinus–Rolloff–Flanke (und Rolloff–Faktor r) aus,
::<math> G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm
CRO}(f)}</math>
::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm
E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}\hspace{0.05cm},</math>
so ergeben sich günstigere Spektraleigenschaften und ein geringerer Bandbreitenbedarf. 
Die folgende Grafik zeigt die normierten Sendespektren Gs(f)/(g0T) in logarithmierter Darstellung für die drei Rolloff–Faktoren 
*r = 0 (grüne Kurve), 
*r = 0.5 (blaue Kurve), und 
*r = 1 (rote Kurve). 
Die Spektralfunktion Gs(f)/(g0T), die sich bei einem rechteckförmigen NRZ–Sendegrundimpils ergibt, ist gestrichelt und violett eingezeichnet. 
[[File:P_ID1289__Dig_T_1_4_S4_v1.png|Verschiedene Sendespektren bei Basisbandübertragung|class=fit]] 
Anzumerken ist, dass der Bandbreitenbedarf bei der Basisbandübertragung nur eine untergeordnete Rolle spielt. Die Grafik gilt jedoch auch für die Trägerfrequenzsysteme entsprechend [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume&action=edit&redlink=1 Kapitel 4] bei Darstellung im äquivalenten Tiefpassbereich. Bei diesen Systemen spielt die Bandbreite eine wichtige Rolle. Jedes zusätzliches Hertz an Bandbreite kann sehr teuer sein. 

== Systemoptimierung bei Spitzenwertbegrenzung (1) ==
 
Ist das (bipolare) Sendesignal auf ±s0 begrenzt, so gilt für die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit::
<math>p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}={2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.05cm}.</math> 
Der Buchstabe A steht hierbei für Amplitudenbegrenzung (oder Spitzenwertbegrenzung). Es gibt nur ein einziges System, das diese minimale Fehlerwahrscheinlichkeit erreicht, nämlich eine Konfiguration mit NRZ–Rechteck–Sendegrundimpuls und daran angepasstem Empfangsfilter. 
{{Definition}}''':''' Der Systemwirkungsgrad bei Amplitudenbegrenzung (Spitzenwertbegrenzung) lautet::
<math>\eta_{\rm A} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}
A}}}= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}\hspace{0.05cm}.</math> 
Hierbei sind folgende Systemgrößen verwendet:
*g0 = gd(t = 0) gibt die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an. 
*s0 stellt den maximalen Betrag des bipolaren Sendesignals dar. 
*N0 ist die (einseitige) Rauschleistungsdichte. 
*σd2 bezeichnet die Detektionsstörleistung.
{{end}} 
Dieser Wirkungsgrad unterscheidet sich vom Systemwirkungsgrad ηL bei Leistungsbegrenzung dadurch, dass nun im Nenner s02 · T anstelle von EB steht. Es besteht folgender Zusammenhang::
<math>\eta_{\rm A} = \frac{E_{\rm B}}{s_0^2 \cdot T} \cdot \eta_{\rm L}= {\eta_{\rm L}}/{C_{\rm S}^2}\hspace{0.05cm}.</math> 
Hierbei bezeichnet der Crestfaktor das Verhältnis von Maximalwert s0 und Effektivwert seff von s(t)::
<math>C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.</math> 
seff ist gleich der Wurzel aus der Signalleistung (EB/T). 
{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten wie im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung_.282.29 vorherigen Beispiel] drei unterschiedliche Konfigurationen mit jeweils rechteckförmigen Zeitfunktionen gs(t) und hE(t) und geben hierfür die Systemwirkungsgrade an::
<math>\underline {{\rm System \hspace{0.15cm}A\hspace{-0.1cm}:}}\hspace{0.5cm}\rho_d = {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} = { 2 \cdot s_0^2 \cdot
T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =
1\hspace{0.05cm}.</math>
:<math>\underline {{\rm System \hspace{0.15cm}B\hspace{-0.1cm}:}}\hspace{0.5cm}\rho_d = {E_{\rm B}}/{N_0} ={ s_0^2 \cdot
T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 0.5,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =
0.5\hspace{0.05cm}.</math>
:<math>\underline {{\rm System \hspace{0.15cm}C\hspace{-0.1cm}:}}\hspace{0.5cm}
\rho_d = {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} = { s_0^2 \cdot
T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =
0.5\hspace{0.05cm}.</math>
Man erkennt, dass beim System B beide Systemwirkungsgrade aufgrund der fehlenden Anpassung (TE ≠ TS) nur jeweils 0.5 sind. Beim System C hat zwar der Systemwirkungsgrad ηL wegen TE = Ts den Maximalwert. Dagegen ist ηA nur 0.5, da der RZ–Impuls nicht die maximale Energie besitzt, die aufgrund der Spitzenwertbegrenzung erlaubt wäre. Der Crestfaktor hat hier den Wert
&bdquo;Wurzel aus 2”. {{end}} 

== Systemoptimierung bei Spitzenwertbegrenzung (2) ==
 
Nun betrachten wir eine [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme Wurzel–Nyquist–Konfiguration] mit Cosinus–Rolloff–Gesamtfrequenzgang::
<math>G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm
E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}</math>
:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_d(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)} = G_{\rm Nyq}(f)\hspace{0.05cm}.</math>
Die Grafik zeigt die Augendiagramme am Sender (oben) und am Empfänger (unten), jeweils für die Rolloff–Faktoren r = 0.25, r = 0.50 und r = 1. Es sei daran erinnert, dass eine solche Konfiguration unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung unabhängig vom Rolloff–Faktor r optimal ist.
 [[File:P_ID1290__Dig_T_1_4_S5_v2.png|Augendiagramme bei Wurzel-Nyquist-Konfigurationen|class=fit]] 
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Sendeimpuls gs(t) erfüllt nicht die Nyquistbedingung: Das Auge am Sender (obere Bildreihe) ist nicht vollständig geöffnet; der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert. 

*Der Crestfaktor CS = s0/seff wird mit kleinerem r größer und damit der Wirkungsgrad ηA kleiner. Für r = 0.5 ergibt sich CS ≈ 1.45 und damit ηA ≈ 0.47. Das Detektions–SNR ist dann um den Betrag 10 · lg ηA ≈ 3.2 dB geringer als bei der Rechteck–Rechteck–Konfiguration. 

*Im (theoretischen) Grenzfall r = 0 gilt sogar CS → ∞ und ηA → 0. Der Sendegrundimpuls gs(t) fällt hier noch langsamer als mit 1/t ab, und es gilt:
::<math>\max_t\{ s(t) \} = \max_t \hspace{0.15cm}\big [ \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot
T)\ \big ]\rightarrow \infty\hspace{0.05cm}.</math>
*Begrenzt man das Sendesignal s(t) durch einen gegen 0 gehenden Gewichtungsfaktor auf einen endlichen Maximalwert s0, so führt dies zu einem geschlossenem Auge vor dem Entscheider. 

== Optimierung des Rolloff–Faktors bei Spitzenwertbegrenzung ==
 
Es wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
*Der Sendegrundimpuls gs(t) sei NRZ–rechteckförmig; bei Spitzenwertbegrenzung ist dies optimal. 
*Der Gesamtfrequenzgang HS(f) · HE(f) = HNyq(f) erfülle die Nyquistbedingung und werde durch einen Cosinus–Rolloff–Tiefpass HCRO(f) beschrieben. 
*Da die Impulsamplitude g0 unabhängig vom Rolloff–Faktor r ist, lässt sich die SNR–Maximierung hier auf die Minimierung der Rauschleistung vor dem Entscheider zurückführen::
<math>\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum,}
\hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.5cm}
H_{\rm E}(f) =\frac {H_{\rm CRO}(f)}{{\rm si}(\pi f T)}\hspace{0.05cm}.</math> 
Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion |HE(f)|2 für drei verschiedene Rolloff–Faktoren. Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung vor dem Entscheider.
 [[File:P_ID1291__Dig_T_1_4_S6_v2.png|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors bei Spitzenwertbegrenzung|class=fit]] 
Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Rolloff–Faktor r = 0 (Rechteck) führt trotz des sehr schmalbandigen Empfangsfilters nur zum Wirkungsgrad ηA = 0.65, da HE(f) wegen der si-Funktion im Nenner mit wachsendem f ansteigt. 
*r = 1 bewirkt zwar ein doppelt so breites Nyquistspektrum, führt aber zu keiner Anhebung. Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die grüne, ergibt sich ein besserer Wert: ηA = 0.88. 
*Der größte Systemwirkungsgrad ergibt sich für ropt ≈ 0.8 (flaches Maximum) mit ηA = 0.89. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung. 
*Durch Vergleich mit dem optimalen Frequenzgang HE(f) = si(πfT) bei Spitzenwertbegrenzung, der zum Ergebnis σd2 = N0/(2T)   ⇒   ηA = 1 führt, erhält man für den Systemwirkungsgrad:
::<math>eta_{\rm A} = \left [T \cdot
\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \right ]^{-1}
\hspace{0.05cm}.</math> 
*Das bedeutet: Das beste Cosinus-Rolloff-Nyquistspektrum mit ropt = 0.8 (blaue Kurve) ist gegenüber dem Matched-Filter (violett-gestrichelte Kurve) um ca. 0.5 dB schlechter, da die Fläche unter der blauen Kurve um ca. 12% größer ist als die Fläche unter der violetten Kurve. 

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:1.6_Wurzel–_Nyquist–_System|A1.6 Wurzel–Nyquist–System]]

[[Zusatzaufgaben:1.6Z_Zwei_Optimalsysteme|Z1.6 Zwei Optimalsysteme]]

[[Aufgaben:1.7_Systemwirkungsgrade|A1.7 Systemwirkungsgrade]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Properties of Nyquist Systems

2017-01-25T19:02:59Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
|Vorherige Seite=Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung
|Nächste Seite=Optimierung der Basisbandübertragungssysteme
}}

== Erstes Nyquistkriterium im Zeitbereich ==
 
Für dieses Kapitel wurde vorausgesetzt, dass die Detektion eines Symbols nicht durch Nachbarimpulse beeinträchtigt werden soll. Dies erreicht man durch die Detektion des Signals 
<math>d(t) = \sum \limits_{\it (\nu)} a_\nu \cdot g_d ( t - \nu T)</math> 
zu den Zeitpunkten νT immer dann, wenn der Detektionsgrundimpuls gd(t)
*auf den Bereich | t | < T beschränkt ist, was für das [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Definition_der_Bitfehlerwahrscheinlichkeit Kapitel 1.2] vorausgesetzt wurde, oder
*äquidistante Nulldurchgänge zu den Zeitpunkten νT aufweist.
Aus Gründen einer möglichst einfachen Darstellung wird im Kapitel 1.3 das Detektionsstörsignal dN(t) als vernachlässigbar klein angenommen.
{{Definition}}''':''' Man bezeichnet einen Detektionsgrundimpuls mit den Eigenschaften
::::<math>g_d ( t = \nu T)= 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.3cm}
\nu = \pm 1, \pm 2,\pm 3,\hspace{0.05cm}...</math>
als Nyquistimpuls gNyq(t), benannt nach dem Physiker Harry Nyquist.{{end}} 
{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt das Detektionssignal d(t) eines solchen Nyquistsystems. Rot gepunktet sind die (gewichteten und verschobenen) Nyquistimpulse aν · gNyq(t – νT) eingezeichnet. 
[[File:P_ID1272__Dig_T_1_3_S1_v1.png|Detektionssignal bei Nyquistimpulsformung|class=fit]] 
Zu den Detektionszeitpunkten gilt d(νT) = aν · gNyq(0), wie aus den blauen Kreisen und dem grünen Raster hervorgeht. Die Nachläufer der vorangegangenen Impulse (ν < 0) sowie die Vorläufer der nachfolgenden Impulse (ν > 0) beeinflussen beim Nyquistsystem die Detektion des Symbols a0 nicht. 
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass für diese Grafik der Detektionsgrundimpuls 
<math>g_{\rm Nyq} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot
t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot
T}\right)</math> 
mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff–Faktor r = 0.5 zugrunde liegt. Dieser wurde bereits im [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation Kapitel 3] des Buches &bdquo;Signaldarstellung” behandelt.{{end}}

== Erstes Nyquistkriterium im Frequenzbereich ==
 
Harry Nyquist hat die Bedingung für eine impulsinterferenzfreie Detektion nicht nur für den Zeitbereich formuliert, sondern 1928 auch das entsprechende Kriterium im Frequenzbereich angegeben. 
Erstes Nyquistkriterium: Erfüllt das Spektrum Gd(f) des Detektionsgrundimpulses die Bedingung 
<math>\sum \limits_{\it k = -\infty}^{+\infty} G_d \left ( f - \frac{k}{T} \right)=
g_0 \cdot T = {\rm const.} \hspace{0.05cm}, </math> 
so ist gd(t) ein Nyquistimpuls mit äquidistanten Nulldurchgängen zu den Zeitpunkten
νT (ν ≠ 0) und der Amplitude gd(t = 0) = g0. Hinweis: Sie finden den Beweis auf [http://en.lntwww.de/index.php?title=Digitalsignal%C3%BCbertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Beweis_des_ersten_Nyquistkriteriums der nächsten Seite]. 
Die nachfolgende Grafik zeigt zwei Nyquistspektren. Das Spektrum 
<math>G_1(f) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \cdot T \\
0 \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
|f| < {1}/({2T})\hspace{0.05cm}, \\
|f| > {1}/({2T}) \hspace{0.1cm} \\
\end{array}</math> 
erfüllt offensichtlich die oben formulierte Bedingung und zwar mit der kleinstmöglichen Bandbreite. Der dazugehörige Nyquistimpuls g1(t) = g0 · si(πt/T) klingt sehr langsam ab, nämlich asymptotisch mit 1/t. 
[[File:P_ID1273__Dig_T_1_3_S2_v1.png|Zur Verdeutlichung des ersten Nyquistkriteriums|class=fit]] 
Der rechts oben dargestellte Realteil des Spektrums G2(f) wurde aus dem Rechteckspektrum G1(f) durch Verschiebung von Teilstücken um 1/T nach rechts oder links konstruiert. Wegen 
<math>\sum \limits_{\it k = -\infty}^{+\infty} {\rm Re}\left[G_2 \left ( f -
\frac{k}{T} \right)\right]= g_0 \cdot T \hspace{0.05cm},
\hspace{1cm}\sum \limits_{\it k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G_2 \left ( f -
\frac{k}{T} \right)\right]= 0</math> 
handelt es sich bei G2(f) ebenfalls um ein Nyquistspektrum. Beim Imaginärteil heben sich die jeweils gleich schraffierten Anteile, die jeweils um 2/T auseinander liegen, auf. Die Angabe des dazugehörigen Nyquistimpulses g2(t) ist allerdings sehr kompliziert.

== Beweis des ersten Nyquistkriteriums ==
 
#Wir gehen von der ersten Nyquistbedingung im Zeitbereich aus::
<math>g_{\rm Nyq}(\nu
T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\
0 \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
\nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\
\nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\
\end{array}</math>
#Aus dem zweiten Fourierintegral erhält man somit für ν ≠ 0::
<math>g_{\rm Nyq}(\nu
T) = \int_{-\infty}^{+\infty}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\rm
e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu
\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.</math>
#Zerlegt man das Fourierintegral in Teilintegrale der Breite 1/T, so lauten die Bedingungsgleichungen::
<math>\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{(k-1/2)/T}^{(k+1/2)/T}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\rm
e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu
\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.</math>
#Mit der Substitution f ' = f + k/T folgt daraus::
<math>\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f' -
\frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}
\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f'-
k/T) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu
\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f ' = 0 \hspace{0.05cm}.</math>
#Für alle ganzzahligen Werte von k und ν gilt::
<math>{\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi
\hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm} \nu } = 1
\hspace{0.4cm} \Rightarrow \hspace{0.4cm}\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f' -
\frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi
\hspace{0.02cm}f' \hspace{0.02cm} \nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f
' = 0 \hspace{0.05cm}.</math>
#Durch Vertauschen von Summation und Integration sowie Umbenennen von f ' in f folgt weiter::
<math>\int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}\hspace{0.2cm} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G_{\rm Nyq}(f -
\frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi
\hspace{0.02cm}f \hspace{0.02cm} \nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f
= 0 \hspace{0.05cm}.</math>
#Diese Forderung ist für alle ν ≠ 0 nur dann zu erfüllen, wenn die unendliche Summe unabhängig von f ist, also einen konstanten Wert besitzt::
<math>\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G_{\rm Nyq}(f -
\frac{k}{T} ) = K_{\rm Nyq} \hspace{0.05cm}.</math>
#Aus der vorletzten Gleichung erhält man gleichzeitig für ν = 0::
<math>\int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}\hspace{0.2cm} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G_{\rm Nyq}(f -
\frac{k}{T} ) \,{\rm d} f
= K_{\rm Nyq} \cdot \frac{1}{T} = g_0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_{\rm Nyq} = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.</math>

== 1/T–Nyquistspektren (1) ==
 
Eine besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung besitzen solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich –1/T ≤ f ≤ +1/T beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez–Charakteristik und der Cosinus–Rolloff–Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten. 
[[File:P_ID1274__Dig_T_1_3_S3a_v1.png|1/T-Nyquistspektren|class=fit]] 
Für beide Nyquistspektren gilt in gleicher Weise:
*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen f1 und f2 punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz fNyq = 1/(2T) = (f1 + f2)/2. Das heißt, dass für 0 ≤ f ≤ fNyq gilt::
<math>G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}+f) + G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}-f) = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.</math>
*GNyq(f) ist für alle Frequenzen | f | ≤ f1 konstant gleich g0 · T und für | f | ≥ f2 identisch 0. Im Bereich zwischen f1 und f2 gilt::
<math>\frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T } = \left\{ \begin{array}{c} \frac{f_2 - |f|}{f_2 -f_1 }
\\ \\
\cos^2( \frac{\pi}{2}\cdot \frac{f_2 - |f|}{f_2 -f_1 }) \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{beim \hspace{0.15cm}Trapez}\hspace{0.05cm},}
\\ \\ {\rm{\rm{beim \hspace{0.15cm}Cosinus-Rolloff}}\hspace{0.05cm}.} \\ \end{array}</math>
*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir in beiden Fällen den Rolloff–Faktor, der Werte zwischen 0 und 1 (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann::
<math>r = \frac{f_2 -f_1 }
{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.</math>
*Für r = 0 (f1 = f2 = fNyq) ergibt sich das Rechteck-Nyquistspektrum, während der Rolloff-Faktor r = 1 (f1 = 0, f2 = 2fNyq) ein dreieckförmiges bzw. cos2–Spektrum angibt – je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht. 
Hinweis: In der Literatur wird der Rolloff–Faktor auch oft mit α (&bdquo;alpha”) bezeichnet.

== 1/T–Nyquistspektren (2) ==
 
Betrachten wir nun die Nyquistimpulse. Beim trapezförmigem Spektrum mit Rolloff–Faktor r erhält man::
<math>g_{_{\rm Trapez}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi
\cdot t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot r \cdot
t}{T}\right) \hspace{0.5cm}{\rm mit }\hspace{0.5cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .</math>
Dagegen liefert die Fourierrücktransformation des Cosinus–Rolloff–Spektrums::
<math>g_{_{\rm CRO}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot
t}{T}\right)\cdot \frac{\cos(\pi \cdot r \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
r \cdot t/T)^2 } \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x.</math>
Diese beiden Nyquistimpulse kann man im nachfolgend genannten Interaktionsmodul mit der Einstellung Δf · T = 1 betrachten und sich dabei den Einfluss des Rolloff–Faktors verdeutlichen: 
[[:File:tiefpass (1).swf|Tiefpässe im Frequenz– und Zeitbereich]] 
[[File:P_ID1276__Dig_T_1_3_S3b_v1.png|Nyquistimpulse mit Trapez- und Cosinus-Rolloff-Spektrum|class=fit]] 
Die obere Grafik zeigt den Nyquistimpuls mit Trapezspektrum für verschiedene Rolloff–Faktoren. Unten ist der entsprechende Zeitverlauf für das Cosinus–Rolloff–Spektrum dargestellt. Man erkennt:
*Je kleiner der Rolloff–Faktor r ist, desto langsamer erfolgt der Abfall des Nyquistimpulses. Diese Aussage trifft sowohl für das Trapez– als auch für das Cosinus–Rolloff–Spektrum zu.
*Im Grenzfall r → 0 ergibt sich in beiden Fällen das rechteckförmige Nyquistspektrum und der si–förmige Nyquistimpuls, der asymptotisch mit 1/t abklingt (grüne Kurven).
*Bei einem mittleren Rolloff (r ≈ 0.5) sind die ersten Überschwinger beim Trapezspektrum geringer als beim CRO–Spektrum, da bei gegebenem r die Nyquistflanke flacher verläuft (blaue Kurven).
*Mit dem Rolloff–Faktor r = 1 wird im Frequenzbereich aus dem Trapez ein Dreieck und aus dem CRO–Spektrum das Cosinus–Quadrat–Spektrum (rote Kurven).
*Mit r = 1 erfolgt der asymptotische Abfall der oberen Zeitfunktion (gemäß dem Trapezspektrum) mit 1/t2 und der Abfall der unteren Zeitfunktion (gemäß dem CRO–Spektrum) mit 1/t3.

== Zweites Nyquistkriterium (1) ==
 
Vor der exakten mathematischen Definition soll anhand von Grafiken veranschaulicht werden, welche Bedeutung das zweite Nyquistkriterium zur Bewertung eines Digitalsystems besitzt. 
[[File:P_ID1277__Dig_T_1_3_S4_v1.png|Zur Verdeutlichung des zweiten Nyquistkriteriums|class=fit]] 
*Die linke Grafik zeigt im Vorgriff auf das [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms Kapitel 3.2] das Augendiagramm eines Nyquistsystems mit Cosinus–Rolloff–Charakteristik, wobei der Rolloff–Faktor r = 0.5 gewählt wurde. Da hier das erste Nyquistkriterium erfüllt ist (es besteht eine Punktsymmetrie um fNyq), ergibt sich für die vertikale Augenöffnung zum Zeitpunkt t = 0 der größtmögliche Wert 2 · gd(0). Alle Augenlinien gehen zum Zeitpunkt t = 0 durch einen der beiden rot markierten Punkte.
*Das mittlere Spektrum weist keine Symmetrie bezüglich des Flankenabfalls auf, so dass hier das erste Nyquistkriterium nicht erfüllt ist – im Gegensatz zum zweiten. Alle Augenlinien schneiden hier die Zeitachse zu den selben Zeiten (markiert durch die grünen Punkte), was beispielsweise die Taktwiedergewinnung mittels einer PLL (Phase-Locked Loop) erleichtert. Die horizontale Augenöffnung ist bei Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums maximal gleich der Symboldauer T.
*Das rechte Augendiagrammm verdeutlicht, dass beim CRO–Spektrum mit r = 1 – und nur bei diesem – sowohl das erste als auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt werden. Der Nyquistimpuls:
<math>g_d ( t )= g_0 \cdot \frac{\pi }{4}\cdot {\rm si} \left (
\frac{\pi \cdot t}{T}\right)\cdot \left [ {\rm si}(\pi \cdot
(\frac{t}{T} + \frac{1}{2}) + {\rm si}(\pi \cdot (\frac{t}{T} -
\frac{1}{2})\right]</math>
:weist hier die erforderlichen Nulldurchgänge bei t = ±T, t = ±1.5T, t = ±2T, t = ±2.5T, ... auf, nicht jedoch bei ±0.5T. Die Impulsamplitude ist gd(t = 0) = g0.

== Zweites Nyquistkriterium (2) ==
 
Ein Impuls gNyq-2(t), der das zweite Nyquistkriterium erfüllt, muss Nulldurchgänge bei ±1.5T, ±2.5T, ±3.5T, ... besitzen.
Dagegen weist ein Nyquist–1–Impuls Nulldurchgänge bei ±T, ±2T, ±3T auf. Deshalb lässt sich ein
Nyquist–2–Impuls immer als Summe zweier (eventuell unterschiedlicher) und um ±T/2 verschobener Nyquist–1–Impulse darstellen. Geht man von einem Impuls gNyq–1(t) aus, so gilt:
:<math>g_{_{\rm Nyq-2}} ( t )= g_{_{\rm Nyq-1}} ( t +{T}/{2})+
g_{_{\rm Nyq-1}} ( t -{T}/{2})\hspace{0.05cm}.</math>
Im Frequenzbereich lautet das zweite Nyquistkriterium (siehe [ST85] <ref>Söder, G.; Tröndle, K.: ''Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>):
:<math>\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G_d \left ( f - \frac{k}{T}
\right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}= {\rm const.}</math>
{{Beispiel}}''':''' Ausgehend vom Impuls g(t) = g0 · si(π · t/T), der das erste Nyquistkriterium erfüllt, lautet der dazugehörige Nyquist–2–Impuls:
:<math>g_{_{\rm Nyq-2}}( t ) = g_0 \cdot \left [ {\rm si}(\pi \cdot \frac{t + T/2}{T}) + {\rm si}(\pi \cdot \frac{t- T/2}{T}) \right] =</math>
::::<math>= \frac{2 \cdot g_0}{\pi} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.</math>
Aufgrund der Begrenzung des Spektrums GNyq–1(f) auf den Bereich | f | ≤ fNyq = 1/(2T) beschränkt sich in obiger Gleichung die Summe auf den Term mit k = 0 und man erhält::
<math>G_{_{\rm Nyq-2}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \cdot T \cdot \cos(\frac{\pi \cdot f}{2 \cdot f_{_{\rm Nyq}}} )\\
\\ 0 \\\end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < f_{_{\rm
Nyq}}\hspace{0.05cm},
\\ \\ {\rm{sonst}}\hspace{0.05cm}. \\
\end{array}</math>
Dieser Frequenzverlauf und das dazugehörige Augendiagramm ist in der Grafik auf der letzten Seite in der mittleren Spalte oben skizziert. Man erkennt deutlich die Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums.
{{end}}

== Aufgaben ==
[[Aufgaben:1.4 Nyquistkriterien|A1.4 Nyquistkriterien]]

[[Zusatzaufgaben:1.4 Komplexes Nyquistspektrum]]

[[Aufgaben:1.5 Cosinus-Quadrat-Spektrum|A1.5 Cosinus-Quadrat-Spektrum]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Digital Signal Transmission/Error Probability for Baseband Transmission

2017-01-25T19:00:47Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
|Vorherige Seite=Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems
|Nächste Seite=Eigenschaften von Nyquistsystemen
}}

== Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit ==
 

Die Grafik zeigt ein sehr einfaches, aber allgemeingültiges Modell eines binären Übertragungssystems. 
[[File:P_ID1258__Dig_T_1_2_S1_v1.png|Zur Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit|class=fit]] 
Dieses lässt sich wie folgt charakterisieren:
*Die Quelle und die Sinke werden durch die beiden Binärfolgen 〈qν〉 und 〈υν〉 beschrieben.
*Das gesamte Übertragungsystem – bestehend aus Sender, Übertragungskanal inklusive Störungen und Empfänger – wird als &bdquo;Black Box” mit binärem Ein– und Ausgang betrachtet.
*Dieser &bdquo;Digitale Kanal” wird allein durch die Fehlerfolge 〈eν〉 charakterisiert. Bei fehlerfreier Übertragung des ν–ten Bits (υν = qν) gilt eν = 0, andernfalls (υν ≠ qν) wird eν = 1 gesetzt. 

{{Definition}}''':''' Die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist bei einem Binärsystem wie folgt gegeben::
<math>\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})]= \overline {\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})} =
\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it
N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm \rm Pr(\it v_{\nu}
\ne q_{\nu})\hspace{0.05cm}.</math>
 Diese statistische Größe ist das wichtigste Beurteilungskriterium eines jeden Digitalsystems.{{end}} 
Die Berechnung als Erwartungswert E[…..] gemäß dem ersten Teil der obigen Gleichung entspricht einer Scharmittelung über die Verfälschungswahrscheinlichkeit Pr(υν ≠ qν) des ν–ten Symbols, während die überstreichende Linie im rechten Teil eine Zeitmittelung kennzeichnet. Beide Berechnungsarten führen – unter der gerechtfertigten Annahme ergodischer Prozesse – zum gleichen Ergebnis, wie im Kapitel 4 des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” gezeigt wurde.

Auch aus der Fehlerfolge 〈eν〉 lässt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit als Erwartungswert bestimmen, wobei zu berücksichtigen ist, dass eν nur die Werte 0 und 1 annehmen kann::
<math>\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]= {\rm E}[{\it e_{\nu}}]\hspace{0.05cm}.</math>
Die obige Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt unabhängig davon, ob es statistische Bindungen innerhalb der Fehlerfolge 〈eν〉 gibt oder nicht. Je nachdem ist der Aufwand zur Berechnung von pB unterschiedlich groß und bei einer Systemsimulation müssen unterschiedliche digitale Kanalmodelle herangezogen werden. 
Im Kapitel 5 wird gezeigt, dass das sog. BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel) statistisch unabhängige Fehler liefert, während für die Beschreibung von Bündelfehlerkanälen auf die Modelle von Gilbert–Elliott [Gil60]<ref>Gilbert, E. N.: ''Capacity of Burst–Noise Channel,'' In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266.</ref> and McCullough [McC68]<ref>McCullough, R.H.: ''The Binary Regenerative Channel,'' In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref> zurückgegriffen werden muss.

== Definition der Bitfehlerquote (1) ==
 
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB eignet sich zum Beispiel gut für die Konzipierung und Optimierung von Digitalsystemen. Diese ist eine Apriori-Kenngröße, die eine Vorhersage über das Fehlerverhalten eines Nachrichtensystems erlaubt, ohne dass dieses bereits realisiert sein muss. 
Dagegen muss zur messtechnischen Erfassung der Qualität eines realisierten Systems oder bei einer Systemsimulation auf die Bitfehlerquote übergegangen werden, die durch den Vergleich von Quellen– und Sinkensymbolfolge ermittelt wird. Diese ist somit eine Aposteriori-Kenngröße des Systems.
{{Definition}}''':'''Die Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate, BER) ist das Verhältnis aus der Anzahl nB(N) der aufgetretenen Bitfehler (υν ≠ qν) und der Anzahl N der insgesamt übertragenen Symbole:
<math>h_{\rm B}(N) = \frac{n_{\rm B}(N)}{N} \hspace{0.05cm}.</math>
Im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt die Bitfehlerquote eine relative Häufigkeit dar; sie wird demzufolge auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.{{end}} 

Die Schreibweise hB(N) soll deutlich machen, dass die per Messung oder durch Simulation ermittelte Bitfehlerquote signifikant von dem Parameter N – also der Anzahl der insgesamt übertragenen oder simulierten Symbole – abhängt. Nach den elementaren Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung stimmt nur im Grenzfall N → ∞ die Aposteriori–Kenngröße hB mit der Apriori–Kenngröße pB exakt überein. 
Der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit wird in einem Lernvideo zum Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie” verdeutlicht: 
[[:File:bernoulli.swf|Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen]] (Dateigröße: 1.97 MB, Dauer: 4:25) 
Für die nachfolgende Herleitung wird das BSC–Modell zugrunde gelegt, das in [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Fehlerkorrelationsfunktion_des_BSC.E2.80.93Modells Kapitel 5.2] im Detail beschrieben wird. Jedes einzelne Bit wird mit der Wahrscheinlichkeit p = Pr(υν ≠ qν) = Pr(eν = 1) verfälscht, unabhängig von den Fehlerwahrscheinlichkeiten der benachbarten Symbole. Die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB ist somit ebenfalls gleich p.

== Definition der Bitfehlerquote (2) ==
 
Nun soll abgeschätzt werden, wie genau die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB = p beim BSC-Modell durch die Bitfehlerquote hB approximiert wird. Dies geschieht in mehreren Schritten:
*Die Anzahl der Bitfehler bei der Übertragung von N Symbolen ist eine diskrete Zufallsgröße::
<math>n_{\rm B}(N) = \sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu} \hspace{0.2cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1, ... , N \}\hspace{0.05cm}.</math>
*Bei statistisch unabhängigen Fehlern (BSC) ist nB [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Allgemeine_Beschreibung_der_Binomialverteilung binominalverteilt]. Demzufolge gilt::
<math>m_{n{\rm B}}=N \cdot p_{\rm B},\hspace{0.2cm}\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}\hspace{0.05cm}.</math>
*Für Mittelwert und Streuung der Bitfehlerquote hB = nB/N gilt deshalb::
<math>m_{h{\rm B}}= \frac{m_{n{\rm B}}}{N} = p_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_{h{\rm B}}= \frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=
\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.05cm}.</math>
*Nach Moivre und Laplace lässt sich die Binominalverteilung in eine Gaußverteilung überführen::
<math>f_{h{\rm B}}({h_{\rm B}}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{h{\rm B}}}\cdot {\rm exp}
\left[-\frac{(h_{\rm B}-p_{\rm B})^2}{2 \cdot \sigma_{h{\rm B}}^2}\right].</math>
*Mit dem [[:File:QFunction (1).swf|Gaußschen Fehlerintergal]] Q(x) lässt sich somit die Wahrscheinlichkeit pε berechnen, dass die per Simulation/Messung über N Symbole ermittelte Bitfehlerquote hB(N) betragsmäßig um weniger als einen Wert ε von der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB abweicht::
<math>p_{\varepsilon}= {\rm Pr} \left( |h_{\rm B}(N) - p_{\rm B}| < \varepsilon \right)
= 1 -2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{\varepsilon}{\sigma_{h{\rm B}}} \right)=
1 -2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{\varepsilon \cdot \sqrt{N}}{\sqrt{p_{\rm B} \cdot (1-p_{\rm B})}} \right)\hspace{0.05cm}.</math>
Dieses Ergebnis ist wie folgt zu interpretieren: Wenn man unendlich viele Versuchsreihen über jeweils N Symbole durchführt, ist der Mittelwert
mhB tatsächlich gleich der gesuchten Fehlerwahrscheinlichkeit pB. Bei einer einzigen Versuchsreihe wird man dagegen nur eine Näherung erhalten, wobei die jeweilige Abweichung vom Sollwert bei mehreren Versuchsreihen gaußverteilt ist.

{{Beispiel}}''':''' Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit betrage pB = 10–3 und es ist bekannt, dass die Bitfehler statistisch unabhängig sind. Macht man nun sehr viele Versuchsreihen mit jeweils N = 105 Symbolen, so werden die jeweiligen Ergebnisse hB entsprechend einer Gaußverteilung um den Sollwert 10–3 variieren. Die Streuung beträgt dabei
<math>\sigma_{h{\rm B}}= \sqrt{{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}/{N}}\approx 10^{-4}\hspace{0.05cm}.</math> 
Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit einen Wert zwischen 0.9 · 10–3 und 1.1 · 10–3 (ε = 10–4) haben wird, ist somit gleich pε = 1 – 2 · Q(ε/σhB) = 1 – 2 · Q(1) ≈ 68.4%. Soll diese Wahrscheinlichkeit (Genauigkeit) auf 95% gesteigert werden, so müsste N auf 400 000 erhöht werden.
{{end}}

== Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (1) ==
 
Entsprechend den [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Systemkomponenten_eines_Basisband%C3%BCbertragungssystems#Ersatzschaltbild_und_Voraussetzungen_f.C3.BCr_Kapitel_1 Voraussetzungen] zu diesem Kapitel gehen wir davon aus, dass das Detektionssignal zu den Detektionszeitpunkten wie folgt dargestellt werden kann::
<math> d(\nu T) = d_{\rm S}(\nu T)+d_{\rm N}(\nu T)\hspace{0.05cm}. </math>
Der Nutzanteil wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) fdS(dS) beschrieben, wobei wir hier von unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten pL = Pr(dS = –s0),
pH = Pr(dS = +s0) = 1– pL ausgehen. Die WDF fdN(dN) der Störkomponente ist gaußförmig und besitzt die Streuung σd. 
[[File:P_ID1259__Dig_T_1_2_S3_v2.png|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen|class=fit]]
 
Die WDF fd(d) der Detektionsabtastwerte d(νT) ergibt sich unter der Voraussetzung, dass dS(νT) und dN(νT) statistisch unabhängig voneinander sind (&bdquo;signalunabhängiges Rauschen”), als Faltungsprodukt<nowiki>:</nowiki>

<math>f_d(d) = f_{d{\rm S}}(d_{\rm S}) \star f_{d{\rm N}}(d_{\rm N})\hspace{0.05cm}.</math> 
Der Schwellenwertentscheider mit der Schwelle E = 0 trifft dann eine falsche Entscheidung, wenn
*das Symbol L gesendet wurde (dS = –s0) und d > 0 ist (rote schraffierte Fläche), oder
*das Symbol H gesendet wurde (dS = +s0) und d < 0 ist (blaue schraffierte Fläche).
 Da die Flächen der zwei Gaußkurven zusammen 1 ergeben, gibt die Summe aus der rot und der blau schraffierten Fläche die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB an. Die beiden grün schraffierten Flächen in der oberen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fdN(dN) sind – jede für sich – ebenfalls gleich pB. 
Die anhand der Grafik veranschaulichten Ergebnisse sollen nun formelmäßig hergeleitet werden. Es gilt:
<math>p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( \upsilon_\nu = \mathbf{H}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} q_\nu = \mathbf{L})+
p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( \upsilon_\nu = \mathbf{L}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} q_\nu = \mathbf{H})\hspace{0.05cm}.</math>
 Hierbei sind pL und pH die Quellensymbolwahrscheinlichkeiten, während die jeweils zweiten, bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(υν | qν) die Verfälschungen durch den AWGN–Kanal beschreiben.
Aus der Entscheidungsregel des Schwellenwertentscheiders (mit Schwelle E = 0) ergibt sich auch::
<math>p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)>0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)<0) =</math>
::<math>= p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)<-s_0) \hspace{0.05cm}.</math>
Die Herleitung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

== Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (2) ==
 
Die weitere Herleitung soll nun Schritt für Schritt erfolgen. Ausgegangen wird von der Gleichung::
<math>p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)>0)+
p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)<0) =</math>
::<math> = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)+
p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)<-s_0) \hspace{0.05cm}.</math>
*Die beiden Überschreitungswahrscheinlichkeiten in obiger Gleichung sind aufgrund der Symmetrie der Gaußschen WDF fdN(dN) gleich und es gilt::
<math>p_{\rm B} = (p_{\rm L} + p_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0) = {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)\hspace{0.05cm}.</math>
:Das bedeutet, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einem Binärsystem mit der Schwelle E = 0 nicht von den Symbolwahrscheinlichkeiten pL und pH = 1 – pL abhängt.
*Die Wahrscheinlichkeit, dass der gaußverteilte Stör– bzw. Rauschterm mit Streuung σd größer ist als die NRZ–Sendeimpulsamplitude s0, ergibt sich zu:
<math>p_{\rm B} = \int_{s_0}^{+\infty}f_{d{\rm N}}(d_{\rm N})\,{\rm d} d_{\rm N} =
\frac{\rm 1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d}\int_{
s_0}^{+\infty}{\rm exp} \left [-\frac{d_{\rm N}^2}{2\sigma_d^2} \right ]\,{\rm d} d_{\rm
N}\hspace{0.05cm}.</math>
*Unter Verwendung des komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet das Ergebnis:
<math>p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.</math>
*Häufig – insbesondere in der englischsprachigen Literatur – wird anstelle der Funktion Q(x) die vergleichbare komplementäre Error Function erfc(x) verwendet. Mit dieser gilt::
<math>p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2}\cdot \sigma_d}\right)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
{\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.</math>
Beide Funktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. Nachfolgend finden Sie ein Interaktionsmodul zur Berechnung der Funktionswerte von Q(x) und 1/2 · erfc(x): 
[[:File:QFunction (2).swf|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] 
Zur Auswertung obiger Gleichungen ist nach Ansicht des Autors bei der Basisbandübertragung die Q–Funktion besser geeignet. Aber das ist natürlich Geschmacksache.

{{Beispiel}}'':'' Für das Folgende wird vorausgesetzt, dass Tabellen zur Verfügung stehen, in denen das Argument der Gaußschen Fehlerfunktionen im Abstand 0.1 aufgelistet sind.
Mit s0/σd = 4 erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
:<math>p_{\rm B} = {\rm Q} (4) = 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2}})= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.</math>
Richtig ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder – noch besser – interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist. 
Außerhalb von Übungsbeispielen wird s0/σd in der Regel einen &bdquo;krummen” Wert besitzen. In diesem Fall bietet &bdquo;Q(x)” natürlich keinen Vorteil gegenüber &bdquo;erfc(x)”.
{{end}}

== Optimaler Binärempfänger - Realisierung mit Matched-Filter (1) ==
 
Für das Folgende wird von den im Kapitel 1.1 genannten [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Systemkomponenten_eines_Basisband%C3%BCbertragungssystems#Ersatzschaltbild_und_Voraussetzungen_f.C3.BCr_Kapitel_1 Voraussetzungen] ausgegangen. Dann kann man für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Empfängerfilters ansetzen::
<math>H_{\rm E}(f) = {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm E}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/T \\
1/(2T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|< T/2 \hspace{0.05cm},\\
|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|= T/2 \hspace{0.05cm},\\
|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|>T/2 \hspace{0.05cm}. \\
\end{array}</math>
Aufgrund der Linearität kann für das Detektionsnutzsignal geschrieben werden::
<math>d_{\rm S}(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_d ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t) \hspace{0.05cm}.</math>
Die Faltung zweier Rechtecke gleicher Breite T ergibt einen dreieckförmigen Detektionsgrundimpuls gd(t) mit
gd(t = 0) = s0.
Wegen gd(|t| ≥ T) = 0 ist das System
impulsinterferenzfrei; es gilt dS(νT) = ±s0. 
[[File:P_ID1261__Dig_T_1_2_S4_v1.png|Optimaler Binärempfänger (Matched-Filter-Variante)|class=fit]] 
Die Varianz des Detektionsstörsignals dN(t) – also die Detektionsstörleistung – lautet::
<math>\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{
+ \infty } {\left| {H_{\rm E}( f )} \right|^2
\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{-
\infty }^{+ \infty } {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f =
\frac{N_0 }{2T} \hspace{0.05cm}.</math>
Damit ergeben sich für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit folgende Gleichungen::
<math>p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}}\right)= {\rm Q} \left(
\sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{{
s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left(
\sqrt{{\rho_d}/{2}}\right)
\hspace{0.05cm}.</math>
ρd ist das momentane Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (SNR) des Detektionssignals d(t) zu den Zeitpunkten νT. Wir nennen es im Folgenden kurz &bdquo;Detektions–SNR”. Es gilt die Definition:
<math>\rho_d = \frac{d_{\rm S}^2(\nu T)}{{\rm E}[d_{\rm N}^2(\nu T)]}= \frac{s_0^2}{\sigma _d ^2}
\hspace{0.05cm}.</math>

== Optimaler Binärempfänger - Realisierung mit Matched-Filter (2) ==
 
Ein Vergleich der Ergebnisse der letzten Seite mit [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter#Optimierungskriterium_des_Matched.E2.80.93Filters Kapitel 5.4] von Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie” zeigt, dass das Empfangsfilter
HE(f) ein an den Sendegrundimpuls gs(t) angepasstes Matched–Filter ist::
<math>H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) = K_{\rm MF}\cdot G_s^*(f)\hspace{0.05cm}.</math> 
[[File:P_ID1261__Dig_T_1_2_S4_v1.png|Optimaler Binärempfänger (Matched-Filter-Variante)|class=fit]] 
Gegenüber der Seite [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter#Matched-Filter-Optimierung_.281.29 Matched–Filter–Optimierung] sind hier folgende Modifikationen berücksichtigt:
*Die Matched–Filter–Konstante ist hier zu KMF = 1/(s0 · T) gesetzt. Damit ist der Frequenzgang HMF(f) dimensionslos.
*Der im allgemeinen frei wählbare Detektionszeitpunkt ist hier zu TD = 0 gewählt. Damit ergibt sich allerdings ein akausales Filter.
*Das Detektions–SNR kann für jeden beliebigen Sendegrundimpuls gs(t) mit Spektrum Gs(f) wie folgt dargestellt werden, wobei sich die rechte Identität aus dem Parsevalschen Theorem ergibt::
<math>\rho_d = \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
E_{\rm B} = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm
d}t = \int^{+\infty} _{-\infty} |G_s(f)|^2\,{\rm
d}f\hspace{0.05cm}.</math>
*EB wird oft als Energie pro Bit bezeichnet und EB/N0 – fälschlicherweise – als SNR. Bei binärer Basisbandübertragung unterscheidet sich EB/N0 vom tatsächlichen SNR ρd um den Faktor 2.
*Die auf der letzten Seite hergeleitete Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann somit auch in der folgenden Weise geschrieben werden::
<math>p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)= {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)
\hspace{0.05cm}.</math>
Die Eigenschaften des Matched-Filters werden in folgendem Interaktionsmodul behandelt:
[[:File:Matched_Filter.swf|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters.]]

== Optimaler Binärempfänger – Realisierungsform „Integrate & Dump” ==
 
Bei rechteckförmigen NRZ–Sendeimpulsen kann das Matched–Filter auch als Integrator (jeweils über eine Symboldauer T) realisiert werden. Damit gilt für das Detektionssignal zu den Detektionszeitpunkten::
<math>d(\nu \cdot T + T/2) = \frac {1}{T} \cdot \int^{\nu \cdot T + T/2} _{\nu \cdot T - T/2} r(t)\,{\rm
d}t \hspace{0.05cm}.</math>
Die folgende Grafik verdeutlicht die Unterschiede bei der Realisierung des optimalen Binärempfängers mit Matched–Filter (MF)  ⇒  mittlere Skizze bzw. als &bdquo;Integrate & Dump” (I&D)  ⇒  untere Skizze. 
[[File:P_ID1263__Dig_T_1_2_S6_v2.png|Signale beim MF– und beim I&E–Empfänger|class=fit]] 
Man erkennt aus diesen Signalverläufen:
*Das Detektionsnutzsignal dS(t) ist zu den Detektionszeitpunkten in beiden Fällen gleich ±s0.
*Die unterschiedlichen Detektionszeitpunkte sind darauf zurückzuführen, dass das Matched–Filter im Gegensatz zu &bdquo;Integrate & Dump” als akausal angesetzt wurde (siehe letzte Seite).
*Beim MF–Empfänger ist die Varianz des Detektionsstörsignals zu allen Zeiten t gleich::
<math>{\rm E}[d_{\rm N}^2(t)]= {\sigma _d ^2} = {\rm const.}</math>
:Dagegen nimmt beim I&D–Empfänger die Varianz von Symbolanfang bis Symbolende zu.
*Zu den Detektionszeitpunkten νT ist die Detektionsstörleistung in beiden Fällen gleich, so dass sich die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt. Mit EB = s02 · T gilt nämlich::
<math>\sigma _d ^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-
\infty }^{ +\infty } {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f =
\frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}\hspace{0.2cm}
\Rightarrow \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{ s_0^2 /
\sigma _d ^2} \right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)
\hspace{0.05cm}.</math>

== Interpretation des optimalen Empfängers ==
 
In diesem Abschnitt wurde gezeigt, dass mit einem Empfänger, bestehend aus linearem Empfangsfilter und nichtlinearem Entscheider, die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen ist::
<math> p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)
= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{{ E_{\rm B}}/{N_0}}\right) \hspace{0.05cm}.</math>
Die sich ergebende Konfiguration ist ein Sonderfall des sog. Maximum–Aposteriori–Empfängers (MAP), der im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien#Betrachtetes_Szenario_im_Kapitel_3.7 Kapitel 3.7] dieses Buches behandelt wird.
Für die Gültigkeit obiger Gleichung müssen allerdings eine Reihe von Voraussetzungen erfüllt sein::
*Das Sendesignal s(t) ist binär sowie bipolar (antipodisch) und weist pro Bit die (mittlere) Energie EB auf. Die (mittlere) Sendeleistung ist somit EB/T.
*Es liegt ein AWGN–Kanal (Additive White Gaussian Noise) mit der konstanten (einseitigen) Rauschleistungsdichte N0 vor.
*Das Empfangsfilter HE(f) ist bestmöglich an das Sendegrundimpulsspektrum Gs(f) entsprechend dem Matched–Filter–Kriterium angepasst.
*Der Entscheider (Schwellenwert, Detektionszeitpunkte) sei optimal. Eine kausale Realisierung des Matched–Filters kann man durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes ausgleichen.
*Obige Gleichung gilt unabhängig vom Sendegrundimpuls gs(t). Allein die für die Übertragung eines Binärsymbols aufgewendete Energie EB ist entscheidend für die Fehlerwahrscheinlichkeit.
*Voraussetzung für die Anwendbarkeit obiger Gleichung ist, dass die Detektion eines Symbols nicht durch andere Symbole beeinträchtigt wird. Solche Impulsinterferenzen vergrößern pB enorm.
*Ist die absolute Sendeimpulsdauer TS kleiner oder gleich dem Symbolabstand T, so ist obige Gleichung bei Erfüllung des Matched-Filter-Kriteriums immer anwendbar.
*Die Gleichung gilt auch für Nyquistsysteme, bei denen zwar TS > T gilt, es aber aufgrund von äquidistanten Nulldurchgängen des Grundimpulses gd(t) nicht zu Impulsinterferenzen kommt.

== Aufgaben ==
[[Aufgaben:1.2 Bitfehlerquote (BER)|A1.2 Bitfehlerquote (BER)]]

[[Zusatzaufgaben:1.2 Bitfehlermessung]]

[[Aufgaben:1.3 Einfluss von g(s) von (t) und h(E) von (t)|A1.3 Einfluss von g(s) von (t) und h(E) von (t)]]

[[Zusatzaufgaben:1.3 Schwellenwertoptimierung]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Klassifizierung von Signalen

2017-01-25T18:52:09Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Zielsetzung der Kanalcodierung
|Nächste Seite=Beispiele binärer Blockcodes
}}

== AWGN–Kanal bei binärem Eingang ==
 
Wir betrachten das bekannte zeitdiskrete [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell AWGN–Kanalmodell] gemäß der unteren Grafik (links):
*Das binäre und zeitdiskrete Nachrichtensignal x nimmt mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 1 an, das heißt, es ist Pr(x = 0) = Pr(x̃ = +1) = 1/2 sowie Pr(x = 1) = Pr(x̃ = –1) = 1/2. 

*Die Übertragung wird durch [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Systemkomponenten_eines_Basisband%C3%BCbertragungssystems#.C3.9Cbertragungskanal_und_St.C3.B6rungen_.282.29 additives weißes gaußverteiltes Rauschen] (AWGN) n mit der (normierten) Rauschleistung σ2 = N0/(2ES) beeinträchtigt. Die Streuung der Gauß–WDF ist σ. 

*Aufgrund der Gaußschen WDF kann das Ausgangssignal y = x̃ + n alle reellen Werte annehmen. Der Signalwert y ist zwar wie x̃ zeitdiskret, im Gegensatz zu diesem aber wertkontinuierlich. 

[[File:P ID2340 KC T 1 2 S1 v2.png|Modell und WDF des AWGN–Kanals|class=fit]] 

Die rechte Grafik zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (in blau bzw. rot):

:<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y-1)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm},</math>
:<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y+1)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Nicht dargestellt ist die gesamte (unbedingte) WDF, für die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen gilt:

:<math>f_y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 ) +
f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden schraffierten Flächen (jeweils ε) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung x = 0  ⇒  x̃ = +1 (blau)   bzw.   x = 1  ⇒  x̃ = –1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:

:<math>z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\
1 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y > 0\hspace{0.05cm},\\
{\rm falls} \hspace{0.15cm}y < 0\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>

Bei gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen ist dann die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pr(z ≠ x) ebenfalls gleich ε. Mit dem [[komplementären Gaußschen Fehlerintergral Please add link and do not upload flash videos.]] Q(x) gilt dabei:

:<math>\varepsilon = {\rm Q}(1/\sigma) = {\rm Q}(\sqrt{\rho}) =
\frac {1}{\sqrt{2\pi} } \cdot \int_{\sqrt{\rho}}^{\infty}{\rm e}^{- \alpha^2/2} \hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei bezeichnet ρ = 1/σ2 = 2 · ES/N0 das Signal–zu–Rauschverhältnis (SNR) vor dem Entscheider, wobei folgende Systemgrößen verwendet werden:
*ES ist die Signalenergie pro Symbol (ohne Codierung gleich EB, also der Signalenergie pro Bit), 

*N0 bezeichnet die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte des AWGN–Kanals. 

Wir verweisen hier auf das interaktive Flash–Modul [[Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash videos.]]

== Binary Symmetric Channel – BSC ==
 
Das AWGN–Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.1] zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell Binary Symmetric Channel (BSC): 

[[File:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]] 

Wählt man die Verfälschungswahrscheinlichkeiten Pr(y = 1 | x = 0) bzw. Pr(y = 0 | x = 1) jeweils zu

:<math>\varepsilon = {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>

so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei G = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch” begründet ist. 

Hinweis: Beim AWGN–Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit z ∈ {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit y. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN –Modells nun yA. Für das analoge Empfangssignal gilt yA = x̃ + n. 

Das BSC–Modell liefert eine statistisch unabhängige Fehlerfolge und eignet sich somit zur Modellierung gedächtnisloser rückkopplungsfreier Kanäle, die in diesem Buch ausnahmslos betrachtet werden. 

[[File:P ID2342 KC T 1 2 S2b.png|Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts) |class=fit]] 

Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
*dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert–Elliott–Modell,] 

*dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_McCullough_.281.29 McCullough–Kanalmodell.] 

Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC–Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert–Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird. 

== Binary Erasure Channel – BEC ==
 
Das BSC–Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig” und &bdquo;falsch”. Manche Empfänger – so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft–in Soft–out Decoder] – können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher. 

[[File:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]] 

Der Binary Erasure Channel (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:
*Das Eingangsalphabet des BEC–Kanalmodells ist binär ⇒ x ∈ {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär ⇒ y ∈ {0, 1, E}. Ein &bdquo;E” kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue &bdquo;Symbol” steht für Erasure, zu deutsch: Auslöschung.

*Bitfehler werden durch das BEC–Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung (E) wird mit der Wahrscheinlichkeit λ getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung 1 – λ beträgt.

*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC– und AWGN–Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure–Entscheidungsgebiet (&bdquo;E”) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC–Modell (G = 0) nun zwei Entscheidungsgrenzen G0 = G und G1 = –G gibt, und es gilt:

::<math>\lambda = {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)]\hspace{0.05cm}.</math>

Wir weisen hier nochmals auf zwei interaktive Flash–Module hin:
*[[Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash files.]] 

*[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion Please add link and do not upload flash files.]] 

== Binary Symmetric Error & Erasure Channel – BSEC ==
 
Das BEC–Modell ist aufgrund der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (kurz SNR) ρ. Stärkere Störungen ⇒ ein kleineres ρ sollten besser durch den Binary Symmetric Error & Erasure Channel (BSEC) mit den zwei Parametern
*Verfälschungswahrscheinlichkeit ε = Pr (y = 1 | x = 0) = Pr (y = 0 | x = 1), 

*Erasure–Wahrscheinlichkeit λ = Pr(y = E | x = 0) = Pr(y = E | x = 1) 

modelliert werden. Es gilt auch hier x ∈ {0, 1} und y ∈ {0, 1, E}. 

[[File:P ID2344 KC T 1 2 S4 v2.png|Binary Error & Erasure Channel (BEEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]] 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten das BSEC–Modell mit den beiden Entscheidungsgeraden G0 = G = 0.5 und G1 = –G, dessen Parameter ε und λ durch das SNR ρ = 1/σ2 des vergleichbaren AWGN–Kanals festgelegt sind. Dann gilt
*für σ = 0.5  ⇒  ρ = 4:
::<math>\varepsilon \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 + G)] = {\rm Q}(3) \approx 0.14\%\hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \lambda} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)] - \varepsilon = {\rm Q}(1) - {\rm Q}(3) \approx 15.87\% - 0.14\% = 15.73\%\hspace{0.05cm},</math>

*für σ = 0.25  ⇒  ρ = 16:

::<math>\varepsilon = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\it \lambda} = {\rm Q}(2) \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.</math>

Für die rechts dargestellte WDF wurde ρ = 4 vorausgesetzt. Für ρ = 16 könnte das BSEC–Modell durch die BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu einer gravierenden Verfälschung kommt.{{end}} 

== MAP– und ML–Kriterium (1) ==
 
Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an. 

[[File:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung|class=fit]] 

Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor υ so zu bestimmen, dass er &bdquo;möglichst gut” mit dem Informationswort u übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) </math>

bezogen auf die Vektoren u und υ der Länge k soll möglichst gering sein. Aufgrund der eindeutigen Zuordnung x = enc(u) durch den Kanalcoder bzw. empfängerseitig υ = enc–1(z) gilt in gleicher Weise:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{x})\hspace{0.05cm}. </math>

Der Kanaldecoder in obigem Modell besteht aus zwei Teilen:
*Der Codewortschätzer ermittelt aus dem Empfangsvektor y einen Schätzwert z ∈ C gemäß einem vorgegebenen Kriterium. 

*Anschließend wird aus dem (empfangenen) Codewort z das (empfangene) Informationswort υ durch einfaches Mapping ermittelt, das möglichst mit u übereinstimmen sollte. 

Für den Codewortschätzer gibt es insgesamt vier unterschiedliche Varianten, nämlich
*den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für das gesamte Codewort x, 

*den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für die einzelnen Codebits xi, 

*den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für das gesamte Codewort x, 

*den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für die einzelnen Codebits xi. 

Deren Definitionen folgen auf der nächsten Seite. Vorab aber gleich die wichtige Information:
*Ein MAP–Empfängerberücksichtigt im Gegensatz zum ML–Empfänger auch unterschiedliche Auftrittswahrscheinlichkeiten für das gesamte Codewort bzw. für deren einzelne Bits. 

*Sind alle Codeworte bzw. alle Codebits xi der Codeworte gleichwahrscheinlich, so ist der einfachere ML–Empfänger zum entsprechenden MAP–Empfänger äquivalent. 

== MAP– und ML–Kriterium (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise MAP – entscheidet sich unter den 2k zulässigen Codeworten xi ∈ C für das Codewort mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit (englisch: a–posteriori probability, APP):

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>

Pr(xi | y) ist die [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 bedingte Wahrscheinlichkeit,] dass xi gesendet wurde, wenn y empfangen wird.{{end}} 

Nach dem [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 Satz von Bayes] kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:

:<math>{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) =
\frac{{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.08cm} |\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \cdot {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )}{{\rm Pr}( \underline{y} )} \hspace{0.05cm}.</math>

Die Wahrscheinlichkeit Pr(y) ist unabhängig von xi und muss bei der Maximierung nicht berücksichtigt werden. Sind zudem alle 2k Informationsworte ui gleichwahrscheinlich, dann kann bei der Maximierung auch auf den Beitrag Pr(xi) = 2–k im Zähler verzichtet werden. 

{{Definition}}''':''' Der Maximum–Likelihood–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise ML – entscheidet sich unter den 2k zulässigen Codeworten xi ∈ C für das Codewort mit der größten Übergangswahrscheinlichkeit:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.</math>

Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr(y | xi) ist nun in Vorwärtsrichtung zu verstehen, nämlich, dass der Vektor y empfangen wird, wenn das Codewort xi gesendet wurde.{{end}} 

Im Folgenden verwenden wir auf Blockebene stets den ML–Empfänger. Aufgrund der vorausgesetzten gleichwahrscheinlichen Informationsworte liefert auch dieser stets die bestmögliche Entscheidung. 

Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits xi ∈ {0, 1} Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP–Empfänger. 

{{Definition}}''':''' Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Bitebene (kurz: bit–wise MAP) wählt für jedes Codebit xi den Wert ( 0 oder 1) mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(xi | y):

:<math>\underline{z} = {\rm arg}\hspace{-0.1cm}{ \max_{{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \{0, 1\}} \hspace{0.03cm} {\rm Pr}( {x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}}.</math>
{{end}} 

== ML–Entscheidung beim BSC–Kanal ==
 
Wenden wir nun das ML–Kriterium auf den gedächtnislosen BSC–Kanal an. Dann gilt:

:<math>{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) =
\prod\limits_{l=1}^{n} {\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
{\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) =
\left\{ \begin{array}{c} 1 - \varepsilon\\
\varepsilon \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y_l = x_l \hspace{0.05cm},\\
{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_l \ne x_l\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) =
\varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot
(1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})}
\hspace{0.05cm}.</math>

Dies lässt sich wie folgt begründen:
*Die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] dH(y, xi) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte y und xi mit jeweils n binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming–Distanz zwischen y = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und xi = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2. 

*In n – dH(y, xi) Positionen unterscheiden sich demnach die beiden Vektoren y und xi nicht. Im obigen Beispiel sind 5 der n = 7 Bit identisch. Zu obiger Gleichung kommt man schließlich durch Einsetzen der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε bzw. deren Ergänzung 1 – ε. 

Die Vorgehensweise bei der Maximum–Likelihood–Detektion ist, dasjenige Codewort xi zu finden, das die Übergangswahrscheinlichkeit Pr(y | xi) maximiert:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
\left [
\varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot
(1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})}
\right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Da der Logarithmus eine monoton steigende Funktion ist, erhält man das gleiche Ergebnis nach folgender Maximierung:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) </math>

:<math>{\rm mit}\hspace{0.15cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \ln \left [
\varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot
(1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})}
\right ] =</math>
:<math> \hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \cdot \ln
\hspace{0.05cm} \varepsilon + [n -d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})] \cdot \ln
\hspace{0.05cm} (1- \varepsilon) = </math>
:<math>\hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} \ln \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon} \cdot d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) + n \cdot \ln
\hspace{0.05cm} (1- \varepsilon)
\hspace{0.05cm}.</math>

Der zweite Term dieser Gleichung ist unabhängig von xi und muss für die Maximierung nicht weiter betrachtet werden. Auch der Faktor vor der Hamming–Distanz ist für alle xi gleich. Da aber ln ε/(1 – ε) negativ ist (zumindest für ε < 0.5, was ohne große Einschränkung vorausgestzt werden kann), wird aus der Maximierung eine Minimierung, und man erhält folgendes Endergebnis: 

ML–Entscheidung beim BSC–Kanal: Wähle von den 2k zulässigen Codeworten dasjenige mit der geringsten Hamming–Distanz dH(y, xi) zum Empfangsvektor y aus:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline{y} \in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

Anwendungen der ML/BSC–Entscheidung finden Sie auf den folgenden Seiten:
*[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity–check Code] (SPC) 

*[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Wiederholungscode] (englisch: Repetition Code, RC). 

== ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
 
Das AWGN–Modell für einen (n, k)–Blockcode unterscheidet sich vom [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang Modell] auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für x, x̃ und y nun die entsprechenden Vektoren x, x̃ und y verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus n Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML–Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
*Der AWGN–Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das White im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:

::<math>f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
\prod\limits_{l=1}^{n} f( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \tilde{x}_l )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement (l = 1, ... , n) gaußisch. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:

::<math>f({y_l \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) =
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y_l - \tilde{x}_l)^2}{2\sigma^2} \right ]</math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
\frac {1}{(2\pi)^{n/2} \cdot \sigma^n } \cdot \exp \left [ - \frac {1}{2\sigma^2} \cdot
\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2
\right ] \hspace{0.05cm}.</math>

*Da y nun nicht mehr wie beim BSC–Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt entsprechend der ML–Entscheidungsregel Wahrscheinlichkeitsdichten untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}}_i )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

*In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte y und x̃ im n–dimensionalen Raum als die Euklidische Distanz, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:

::<math>d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) =
\sqrt{\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in \mathcal{C}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Damit lautet die ML–Entscheidungsregel beim AWGN–Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF f(y | x̃i) konstant ist:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
\exp \left [ - \frac {d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}_i)}{2\sigma^2}
\right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis: 

ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal: Wähle von den 2k zulässigen Codeworten xi dasjenige mit der kleinsten Euklidischen Distanz zum Empfangsvektor y aus:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:1.3 BSC–BEC–BSEC–AWGN|A1.3 BSC–BEC–BSEC–AWGN]]

[[Aufgaben:1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung|A1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung]]

{{Display}}

Channel Coding/The Basics of Low-Density Parity Check Codes

2017-01-24T22:27:16Z

Ayush:

{{LastPage}}
{{Header
|Untermenü=Iterative Decodierverfahren
|Vorherige Seite=Grundlegendes zu den Turbocodes
|Nächste Seite=
}}

== Einige Charakteristika der LDPC–Codes (1) ==
 
Die Low–density Parity–check Codes – kurz LDPC–Codes – wurden bereits Anfang der 1960er Jahre erfunden und gehen auf die Dissertation [Gal63]<ref>Gallager, R. G.: ''Low–density Parity–check Codes.'' MIT Press, Cambridge, MA, 1963.</ref> von Robert G. Gallager zurück. 

Die Idee kam allerdings aufgrund der damaligen Prozessorentechnologie um einige Jahrzehnte zu früh. Schon drei Jahre nach Berrou's Erfindung der Turbocodes 1993 erkannten dann allerdings David J. C. MacKay und Radford M. Neal das riesige Potential der LDPC–Codes, wenn man diese ebenso wie die Turbocodes iterativ symbolweise decodiert. Sie erfanden die LDPC–Codes quasi neu. 

Wie aus dem Namensbestandteil &bdquo;Parity–check” bereits hervorgeht, handelt es sich bei diesen Codes um lineare Blockcodes entsprechend den Ausführungen in Kapitel 1. Deshalb gilt auch hier:
*Das Codewort ergibt sich aus dem Informationswort u (dargestellt mit k Binärsymbolen) und der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix Generatormatrix] G der Dimension k×n zu x = u · G  ⇒  Codewortlänge n. 

*Die Prüfgleichungen ergeben sich aus der Identität x · HT &equiv; 0, wobei H die Prüfmatrix bezeichnet. Diese besteht aus m Zeilen und n Spalten. Während im ersten Kapitel grundsätzlich m = n – k gegolten hat, fordern wir für die LPDC–Codes lediglich noch m ≥ n – k. 

Ein gravierender Unterschied zwischen einem LDPC–Code und einem herkömmlichen Blockcode nach der Beschreibung im ersten Kapitel ist, dass die Prüfmatrix H nur spärlich mit Einsen besetzt ist. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt beispielhaft die Prüfmatrizen H für
*den Hamming–Code mit Codelänge n = 15, m = 4  ⇒  k = 11 Informationsbits, 

*den LDPC–Code aus [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref> der Länge n = 12 und mit m = 9 Prüfgleichungen  ⇒  k ≥ 3. 

[[File:P ID3065 KC T 4 4 S1a v3 einfacher Rahmen.png|Prüfmatrizen eines Hamming–Codes und eines LDPC–Codes|class=fit]] 

In der linken Grafik beträgt der Anteil der Einsen 32/60 ≈ 53.3%, wohingegen in der rechten Grafik der Einsen–Anteil mit 36/108 = 33.3% geringer ist. Bei den für die Praxis relevanten LDPC–Codes (großer Länge) ist der Einsen–Anteil noch deutlich niedriger. 

Hinweis: Auf der nächsten Seite wird auf diese Grafik noch mehrmals Bezug genommen.{{end}} 

== Einige Charakteristika der LDPC–Codes (2) ==
 
Wir analysieren nun die beiden Prüfmatrizen anhand der Rate und des Hamming–Gewichts. 

[[File:P ID3066 KC T 4 4 S1a v2.png|Prüfmatrizen eines Hamming–Codes und eines LDPC–Codes|class=fit]] 

*Die Rate des betrachteten Hamming–Codes (linke Grafik) ist R = k/n = 11/15 ≈ 0.733. Das Hamming–Gewicht einer jeden der vier Zeilen ist wZ = 8, während die Hamming–Gewichte wS(i) der Spalten zwischen 1 und 4 variieren. Für die Spalten–Laufvariable gilt hier: 1 ≤ i ≤ 15.

*Beim betrachteten LDPC–Code gibt es in allen Zeilen vier Einsen  ⇒  wZ = 4 und in allen Spalten drei Einsen ⇒ wS = 3. Die Codebezeichnung (wZ, wS) LDPC–Code verwendet genau diese Parameter. Beachten Sie die unterschiedliche Nomenklatur zum &bdquo;(n, k, m) Hamming–Code”.

*Man spricht hier von einem regulären LDPC–Code, da alle Zeilengewichte wZ(j) für 1 ≤ j ≤ m konstant gleich wZ sind und auch alle Spaltengewichte (mit den Indizes 1 ≤ i ≤ n) gleich sind: wS(i) = wS = const. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so liegt ein irregulärer LDPC–Code vor.

*Für die Coderate kann man allgemein (also, wenn k nicht bekannt ist) nur eine Schranke angeben: R ≥ 1 – wS/wZ. Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn alle Zeilen von H linear unabhängig sind  ⇒  m = n – k. Dann ergibt sich die herkömmliche Gleichung: R = 1 – wS/wZ = 1 – m/n = k/n.

*Dagegen gilt für die Coderate eines irregulären LDPC–Codes und auch für den links skizzierten (15, 11, 4) Hammingcode:

::<math>R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
{\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i)
\hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm}
{\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j)
\hspace{0.05cm}.</math>

:Da beim Hamming–Code die m = n – k Prüfgleichungen linear voneinander unabhängig sind, kann das &bdquo;≥”–Zeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden, was gleichzeitig R = k/n bedeutet. 

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie in Aufgabe A4.11 und in Aufgabe Z4.11

== Zweiteilige LDPC–Graphenrepräsentation – Tanner–Graph (1) ==
 
Alle wesentlichen Merkmale eines LDPC–Codes sind in der Prüfmatrix H = (hj,i) enthalten und lassen sich durch einen so genannten Tanner–Graphen darstellen. Es handelt sich um eine Bipartite Graph Representation, wobei die deutsche Übersetzung von &bdquo;bipartite” in etwa &bdquo;zweiteilig” lautet. Bevor wir beispielhafte Tanner–Graphen genauer betrachten und analysieren, müssen zuerst noch einige geeignete Beschreibungsgrößen definiert werden:
*Die n Spalten der Prüfmatrix H stehen jeweils für ein Codewortbit. Da jedes Codewortbit sowohl ein Informationsbit als auch ein Prüfbit sein kann, hat sich hierfür die neutrale Bezeichnung Varibale Node (VN) durchgesetzt. Das i–te Codewortbit wird Vi genannt und die Menge aller Variable Nodes (VNs) ist {V1, ..., Vi, ..., Vn}. 

*Die m Zeilen von H beschreiben jeweils eine Prüfgleichung (englisch: Parity–check Equation). Wir bezeichnen im folgenden eine solche Prüfgleichung als Check Node (CN). Die Menge aller Check Nodes (CNs) ist {C1, ..., Cj, ..., Cm}, wobei Cj die Prüfgleichung der j–ten Zeile angibt. 

*Im Tanner–Graphen werden die n Variable Nodes Vi als Kreise und die m Check Nodes Cj als Quadrate dargestellt. Ist das Matrixelement in Zeile j und Spalte i ⇒ hj,i = 1, so gibt es eine Verbindungslinie (englisch: Edge) zwischen dem Variable Node Vi und dem Check Node Cj. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID3069 KC T 4 4 S2a v3.png|rahmenlos|rechts|Einfaches Beispiel für einen Tanner–Graphen|class=fit]] Sie sehen rechts einen beispielhaften Tannergraphen zur Verdeutlichung obiger Begriffe mit
*den Variable Nodes (kurz: VNs) V1 bis V4, und 

*den Check Nodes (kurz: CNs) C1 bis C3. 

Der zugehörige Code hat allerdings keinerlei praktische Bedeutung. Man erkennt aus der Grafik:
*Die Codelänge ist n = 4 und es gibt m = 3 Prüfgleichungen. Damit hat die Prüfmatrix H die Dimension 3×4. 

*Es gibt insgesamt sechs Verbindungslinien (englisch: Edges). Damit sind sechs der zwölf Elemente hj,i von H Einsen. 

*Bei jedem Check Node kommen zwei Linien an. Das bedeutet, dass die Hamming–Gewichte aller Zeilen gleich sind: wS(j) = 2 = wS. 

*Von den Knoten V1 und V4 gibt es jeweils nur einen Übergang zu einem Check Node, von V2 und V3 dagegen zwei. Aus diesem Grund handelt es sich um einen irregulären Code. 

Die Prüfmatrix lautet demnach:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0\\
0 &1 &1 &0\\
0 &0 &1 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Auf der nächsten Seite folgt ein praxisrelevanteres Beispiel. 

== Zweiteilige LDPC–Graphenrepräsentation – Tanner–Graph (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' In Aufgabe A4.11 wurden zwei Prüfmatrizen analysiert:
*Der Coder entsprechend der Matrix H1 ist systematisch. Die Codeparameter sind n = 8, k = 4 und m = 4 ⇒ Rate 1/2. Der Code ist irregulär, da die Hamming–Gewichte nicht für alle Spalten gleich sind. In der folgenden Grafik ist diese &bdquo;irreguläre H–Matrix” oben angegeben. 

*Unten angegeben ist die &bdquo;reguläre H–Matrix” entsprechend der Matrix H3 in Aufgabe A4.11. Die Zeilen sind Linearkombinationen der oberen Matrix. Für diesen nicht systematischen Coder gilt mit wS = 2 und wZ = 4 ebenfalls:

::<math>R \ge 1 - \frac{w_{\rm S}}{w_{\rm Z}}
= 1 - \frac{2}{4} = 1/2
\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID3071 KC T 4 4 S2b v4.png|Tanner–Graph eines regulären und eines irregelären Codes|class=fit]] 

Die Grafik zeigt die zugehörigen Tanner–Graphen:
*Der linke Graph bezieht sich auf die irreguläre Matrix. Die acht Variable Nodes (abgekürzt VNs) Vi sind mit den vier Check Nodes (abgekürzt CNs) Cj verbunden, falls das Element in Zeile j und Spalte i  ⇒  hj,i gleich 1 ist. Andernfalls (falls hj,i = 0) besteht keine Verbindung. 

*Der links dargestellte Graph ist für die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes_.281.29 iterative symbolweise Decodierung] nicht sonderlich gut geeignet. Die VNs V5, ...., V8 sind jeweils nur mit einem CN verbunden, was für die Decodierung keinerlei Information liefert. 

*Im rechten Tanner–Graph für den regulären Code erkennt man, dass hier von jedem VN Vi zwei Verbindungslinien (englisch: Edges) abgehen und von jedem CN Cj deren vier. Damit ist bei der Decodierung in jeder Iterationsschleife ein Informationsgewinn möglich. 

*Man erkennt zudem, dass hier beim Übergang vom irregulären zum äquivalenten regulären Code der Einsen–Anteil zunimmt, im Beispiel von 37.5% auf 50%. Diese Aussage kann allerdings nicht verallgemeinert werden.{{end}} 

== Iterative Decodierung von LDPC–Codes (1) ==
 
Als Beispiel für die iterative LDPC–Decodierung wird nun der sog. Message–passing Algorithm beschrieben. Wir verdeutlichen diesen anhand des rechten Tanner–Graphen auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Zweiteilige_LDPC.E2.80.93Graphenrepr.C3.A4sentation_.E2.80.93_Tanner.E2.80.93Graph_.282.29 vorherigen Seite] und damit für die dort angegebene reguläre Prüfmatrix. 

Bei diesem Decodieralgorithmus erfolgt abwechselnd (oder iterativ) ein Informationsaustausch zwischen den Variable Nodes (VNs) V1, ... , Vn und den Check Nodes (CNs) C1, ... , Cm. 

[[File:P ID3075 KC T 4 4 S3a v1.png|Iterative Decodierung von LDPC–Codes|class=fit]] 

Für das betrachtete Beispiel gilt:
*Es gibt n = 8 VNs und m = 4 CNs. Da ein regulärer LDPC–Code vorliegt, gehen von jedem VN dV = 2 Verbindungslinien zu einem CN und jeder CN ist mit dC = 4 VNs verbunden.

*Der Variable Node Degree dV ist gleich dem Hamming–Gewicht einer jeden Spalte (wS) und für den Check Node Degree gilt: dC = wZ (Hamming–Gewicht einer jeden Zeile).

*In der folgenden Beschreibung verwenden wir auch die Begriffe Nachbarn eines VN  ⇒  N(Vi) sowie Nachbarn eines CN  ⇒  N(Cj), wobei wir uns hier auf implizite Definitionen beschränken:

::<math>N(V_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \{ C_1, C_2\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(V_1) = \{ C_3, C_4\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm},\hspace{0.3cm}N(V_8) = \{ C_1, C_4\}\hspace{0.05cm},</math>
::<math>N(C_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \{ V_1, V_4, V_5, V_8\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(C_4) = \{ V_2, V_3, V_6, V_8\}\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID3085 KC T 4 4 S3c v2.png|rahmenlos|rechts|Informationsaustausch zwischen VNs und CNs]]

Die Skizze aus [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref> zeigt den Austausch von Information zwischen dem Variable Node Vi und dem Check Node Cj – ausgedrückt durch [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio_.281.29 Log–Likelihood Ratios] (kurz: L–Werte). Der Informationsaustausch geschieht in zwei Richtungen:
*L(Vi → Cj): Extrinsische Information aus Sicht von Vi, Apriori–Information aus Sicht von Cj. 

*L(Cj → Vi): Extrinsische Information aus Sicht von Cj, Apriori–Information aus Sicht von Vi. 

== Iterative Decodierung von LDPC–Codes (2) ==
 
Die Beschreibung des Decodieralgorithmus wird fortgesetzt: 

Initialisierung: Zu Beginn der Decodierung erhalten die Variable Nodes (VNs) keine Apriori–Information von den Check Nodes (CNs), und es gilt für 1 ≤ i ≤ n: L(Vi → Cj) = LK(Vi). Wie aus der letzten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes_.281.29 Grafik] ersichtlich, ergeben sich diese Kanal–L–Werte LK(Vi) aus den Empfangswerten yi. 

Check Node Decoder: Jeder Knoten Cj repräsentiert eine Prüfgleichung. So steht C1 für &bdquo;V1 + V4 + V5 + V8 = 0”. Man erkennt den Zusammenhang zur extrinsischen Information bei der symbolweisen Decodierung des Single Parity–check Codes. In Analogie zu [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte_.282.29 Kapitel 4.1] und Aufgabe A4.4 gilt somit für den extrinsischen L–Wert von Cj und gleichzeitig für die Apriori–Information bezüglich Vi:

:<math>L(C_j \rightarrow V_i) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}\left [ \prod\limits_{V \in N(C_j)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} V \ne V_i} \hspace{-0.35cm}{\rm tanh}\left [L(V \rightarrow C_j \right ] /2) \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Variable Node Decoder: Im Gegensatz zum Check Node Decoder (CND) besteht beim Variable Node Decoder (VND) eine Verwandtschaft zur Decodierung eines Repetition Codes, weil alle mit Vi verbundenen Check Nodes Cj demselben Bit entsprechen  ⇒  dieses Bit wird quasi dV mal wiederholt. 

In Analogie zu [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte_.281.29 Kapitel 4.1] gilt für den extrinsischen L–Wert von Vi und gleichzeitig für die Apriori–Information bezüglich Cj:

:<math>L(V_i \rightarrow C_j) = L_{\rm K}(V_i) + \hspace{-0.55cm} \sum\limits_{C \hspace{0.05cm}\in\hspace{0.05cm} N(V_i)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} C \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} C_j} \hspace{-0.55cm}L(C \rightarrow V_i)
\hspace{0.05cm}.</math>

Das folgende Schaubild des beschriebenen Decodieralgorithmus' für LDPC–Codes zeigt Ähnlichkeiten mit der Vorgehensweise bei [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Seriell_verkettete_Turbocodes_.E2.80.93_SCCC seriell verketteten Turbocodes]. Um eine vollständige Analogie zwischen der LDPC– und der Turbodecodierung herzustellen, ist auch hier zwischen dem Variable Node Decoder (VND) und dem Check Node Decoder (CND) ein Interleaver sowie ein De–Interleaver eingezeichnet. Da es sich hierbei nicht um reale Systemkomponenten handelt, sondern nur um Analogien, haben wir diese Begriffe in Hochkommata gesetzt. 

[[File:P ID3078 KC T 4 4 S3b v3.png|Zusammenhang zwischen LDPC– und serieller Turbo–Decodierung|class=fit]] 

== Leistungsfähigkeit der LDPC–Codes (1) ==
 
Wir betrachten nun wie in [Str14] fünf reguläre LDPC–Codes mit den folgenden Eigenschaften:
*Die Prüfmatrizen H weisen jeweils n Spalten und m = n/2 linear voneinander unabhängige Zeilen auf. In jeder Zeile gibt es wZ = 6 Einsen und in jeder Spalte wS = 3 Einsen. 

*Der Einsen–Anteil beträgt wZ/n = wS/m, so dass bei großer Codewortlänge n die Klassifizierung &bdquo;Low–density” gerechtfertigt ist. Für die rote Kurve (n = 210) ist der Einsen–Anteil 0.6%. 

*Die Rate aller Codes beträgt R = 1 – wS/wZ = 1/2. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Matrixzeilen gilt aber auch R = k/n mit der Informationswortlänge k = n – m = n/2. 

[[File:P ID3079 KC T 4 4 S4a v5.png|rahmenlos|rechts|Bitfehlerrate von LDPC–Codes]]

Die Grafik zeigt die Bitfehlerrate (BER) abhängig vom AWGN–Parameter 10 · lg EB/N0. Zum Vergleich ist die Kurve für uncodierte Übertragung eingezeichnet. 

Man erkennt:
*Die Bitfehlerrate ist um so kleiner, je länger der Code ist. Für 10 · lg EB/N0 = 2 dB und n = 28 = 256 ergibt sich BER ≈ 10–2. Für n = 212 = 4096 dagegen nur BER ≈ 2 · 10–7. 

*Mit n = 215 = 32768 (violette Kurve) benötigt man 10 · lg EB/N0 ≈ 1.35 dB für BER = 10–5. Der Abstand von der Shannon–Grenze (0.18 dB für R = 1/2 und BPSK) beträgt ca. 1.2 dB. 

[[File:P ID3080 KC T 4 4 S4b v4.png|rahmenlos|links| „Waterfall Region” und „Error Floor”]]

 
Die Kurven für n = 28 bis n = 210 weisen zudem auf einen Effekt hin, den wir schon bei den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Leistungsf.C3.A4higkeit_der_Turbocodes_.281.29 Turbocodes] festgestellt haben: Zuerst fällt die BER–Kurve steil ab  ⇒  &bdquo;Waterfall Region”, danach folgt ein Knick und ein Verlauf mit deutlich geringerer Steigung  ⇒  &bdquo;Error Floor”. Die qualitative Grafik links verdeutlicht den Effekt, der natürlich nicht abrupt einsetzt (Übergang nicht eingezeichnet). 

Ein (LDPC–)Code ist immer dann als gut zu bezeichnen, wenn
*die BER–Kurve nahe der Shannon–Grenze steil abfällt, 

*der &bdquo;Error Floor” (Ursachen hierfür siehe nächste Seite) bei sehr niedrigen BER–Werten liegt, 

*die Anzahl der erforderlichen Iterationen handhabbar ist, und 

*diese Eigenschaften nicht erst bei nicht mehr praktikablen Blocklängen erreicht werden. 

== Leistungsfähigkeit der LDPC–Codes (2) ==
 
[[File:P ID3087 KC T 4 4 S5a v3.png|rahmenlos|rechts|LDPC–Codes im Vergleich zur Shannon–Grenze]] In diesem Kapitel wurden vorwiegend reguläre LDPC–Codes behandelt, auch im BER–Diagramm auf der letzten Seite. 

Die Ignoranz der irregulären LDPC–Codes ist nur der Kürze dieses Kapitels geschuldet, nicht deren Leistungsfähigkeit. 

Im Gegenteil: Irreguläre LDPC–Codes gehören zu den besten Kanalcodes überhaupt. Das gelbe Kreuz in der Grafik liegt praktisch auf der informationstheoretischen Grenzkurve für binäre Eingangssignale (grüne Kurve, mit BPSK beschriftet). Die Codewortlänge dieses irregulären Rate–1/2–Codes von [CFRU01]<ref>Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: ''On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit.'' – In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref> beträgt 2 · 106. Daraus ist schon ersichtlich, dass dieser Code nicht für den praktischen Einsatz gedacht war, sondern für einen Rekordversuch getunt wurde. 

Bei der LDPC–Codekonstruktion geht man ja stets von der Prüfmatrix H aus. Für den gerade genannten Code hat diese die Dimension 1000000×2000000, beinhaltet also 2 · 1012 Matrixelemente. 

Füllt man die Matrix per Zufallsgenerator mit (wenigen) Einsen  ⇒  &bdquo;Low–density”. So spricht man von unstrukturiertem Code–Design. Dies kann bei langen Codes zu folgenden Problemen führen:
*Die Komplexität des Coders kann zunehmen, da trotz Modifikation der Prüfmatrix H sichergestellt werden muss, dass die Generatormatrix G systematisch sein muss. 

*Aufwändige Hardware–Realisierung des iterativen Decoders. 

*&bdquo;Error Floor” durch einzelne Einsen in einer Spalte (oder Zeile) sowie kurze Schleifen. 

{{Beispiel}}''':''' Im linken Teil der Grafik ist der Tanner–Graph für einen regulären LDPC–Code mit der Prüfmatrix H1 dargestellt. Grün eingezeichnet ist ein Beispiel für die minimale Schleifenlänge (englisch: Girth). Diese Kenngröße gibt an, wieviele Kanten man mindestens durchläuft, bis man von einem Check Node Cj wieder bei diesem landet (oder von Vi zu Vi). Im linken Beispiel ergibt sich die minimale Kantenlänge 6, zum Beispiel der Weg C1 → V1 → C3 → V5 → C2 → V2 → C1. 

[[File:P ID3088 KC T 4 4 S4c v3.png|Zur Definition eines „Girth”|class=fit]] 

Vertauscht man in der Prüfmatrix nur zwei Einsen  ⇒  Matrix H2, so ist die minimale Schleifenlänge 4, von C1 → V4 → C4 → V6 → C1. Ein kleiner Girth führt zu einem &bdquo;Error Floor” im BER–Verlauf.{{end}} 

== Einige Anwendungsgebiete für LDPC–Codes ==
 
[[File:P ID3081 KC T 4 4 S5a v3.png|rahmenlos|rechts|Einige standardisierte LDPC–Codes im Vergleich zur Shannon–Grenze]] In dem Schaubild sind zwei Kommunikations–Standards, die auf strukturierten LDPC–Codes basieren, im Vergleich zur AWGN–Kanalkapazität eingetragen. 

Anzumerken ist, dass für die eingezeichneten standardisierten Codes die Bitfehlerrate 10–5 zugrunde liegt, während die Kapazitätskurven (entsprechend der Informationstheorie) für die Fehlerwahrscheinlichkeit 0 gelten.
*Rote Kreuze zeigen die LDPC–Codes nach CCSDS (Consultative Comittee for Space Data Systems), entwickelt für ferne Weltraummissionen. Diese Klasse stellt Codes der Rate 1/3, 1/2, 2/3 und 4/5 bereit. Alle Punkte liegen ca. 1 dB rechts von der Kapazitätskurve für binären Eingang (grüne Kurve &bdquo;BPSK”). 

*Die blauen Rechtecke markieren die LDPC–Codes für DVB–T2/S2. Die
Abkürzungen stehen für &bdquo;Digital Video Broadcasting – Satellite” bzw. &bdquo;Digital Video Broadcasting – Terrestrial”, und die &bdquo;2” macht deutlich, dass es sich jeweils um die zweite Generation (von 2005 bzw. 2009) handelt. Der Standard ist durch 22 Prüfmatrizen definiert, die Raten von etwa 0.2 bis zu 19/20 zur Verfügung stellen. Je elf Varianten gelten für die Codelänge 64800 Bit (Normal FECFRAME) bzw. 16200 Bit (Short FECFRAME). Kombiniert mit [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen Modulationsverfahren hoher Ordnung] (8PSK, 16–ASK/PSK, ...) zeichnen sich die Codes durch große spektrale Effizienz aus. 

[[File:P ID3082 KC T 4 4 S6a v3.png|IRA–Coder bei DVB–S2/T2|class=fit]] 

DVB–Codes gehören zu den Irregular Repeat Accumulate (IRA) Codes die erstmals im Jahr 2000 in [JKE00]<ref>Jin, H.; Khandekar, A.; McEliece, R.: ''Irregular Repeat–Accumulate Codes.'' Proc. of the 2nd Int. Symp. on Turbo Codes and Related Topics, Best, France, S. 1–8., Sept. 2000.</ref> vorgestellt wurden. Die Grafik zeigt die Grundstruktur des Coders. Der grün hinterlegte Teil – mit Repetition Code (RC), Interleaver, Single Parity–Code (SPC) sowie Akkumulator – entspricht exakt einem seriell–verketteten Turbocode  ⇒  siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Einige_Anwendungsgebiete_f.C3.BCr_Turbocodes RA–Coder.] Die Beschreibung des IRA–Codes basiert aber allein auf der Prüfmatrix H, die sich durch den irregulären Repetition Code in eine für die Decodierung günstige Form bringen lässt. Als äußerer Code wird zudem ein hochratiger BCH–Code (von Bose–Chaudhuri–Hocquenghem) verwendet, der den Error Floor herabsetzen soll. 

In der oberen Grafik nicht eingetragen sind die LDPC–Codes für den Standard DVB Return Channel Terrestrial (RCS), für den WiMax–Standard (IEEE 802.16) sowie für das 10GBASE–T–Ethernet, die gewisse Ähnlichkeiten mit den IRA–Codes aufweisen. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:4.11 Analyse von Prüfmatrizen|A4.11 Analyse von Prüfmatrizen]]

[[Zusatzaufgaben:4.11 Coderate aus der Prüfmatrix]]

[[Aufgaben:4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph|A4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph]]

[[Aufgaben:4.13 Decodierung von LDPC–Codes|A4.13 Decodierung von LDPC–Codes]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/The Basics of Turbo Codes

2017-01-24T22:14:29Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Iterative Decodierverfahren
|Vorherige Seite=Grundlegendes zu den Produktcodes
|Nächste Seite=Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes
}}

== Grundstruktur eines Turbocodes (1) ==
 
Alle heute (2016) aktuellen Kommunikationssysteme wie UMTS (3. Mobilfunkgeneration) und LTE (4. Mobilfunkgeneration) verwenden das in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Kapitel 4.1] dargelegte Konzept der symbolweisen iterativen Decodierung. Dass dies so ist, steht unmittelbar mit der Erfindung der Turbocodes im Jahre 1993 durch C. Berrou, A. Glavieux und P. Thitimajshima in Zusammenhang, denn erst mit diesen Codes konnte man sich der Shannon–Grenze mit vertretbarem Decodieraufwand annähern. 

Turbocodes ergeben sich durch die parallele oder serielle Verkettung von Faltungscodes. Die Grafik zeigt die parallele Verkettung zweier Codes mit den Parametern k = 1, n = 2  ⇒  Rate R = 1/2. 

[[File:P ID3034 KC T 4 3 S1a v1.png|Parallele Verkettung zweier Rate–1/2–Codes|class=fit]] 

In dieser Darstellung bezeichnet:
*u das aktuell betrachtete Bit der Informationssequenz u, 

*xi,j das aktuell betrachtete Bit am Ausgang j von Coder i   (mit 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2), 

*X = (x1,1, x1,2, x2,1, x2,2) das Codewort für das aktuelle Informationsbit u. 

Die resultierende Rate des verketteten Codiersystems ist somit R = 1/4. 

Verwendet man systematische Komponentencodes, so ergibt sich das folgende Modell: 

[[File:P ID3035 KC T 4 3 S1b v1.png|Rate–1/3–Turbocodierer (parallele Verkettung zweier Rate–1/2–Faltungscodes) |class=fit]] 

Die Modifikationen gegenüber der oberen Grafik lassen sich wie folgt begründen:
*Bei systematischen Codes C1 und C2 ist sowohl x1,1 = u als auch x2,1 = u. Deshalb kann man auf die Übertragung eines redundanten Bits (zum Beispiel x2,2) verzichten.

*Mit dieser Reduktion ergibt sich ein Rate–1/3–Turbocode mit den Parametern k = 1 und n = 3. Das Codewort lautet mit den Paritybits p1 und p2 von Coder 1 bzw. Coder 2:

::<math>\underline{X} = \left (u, p_1, p_2 \right )\hspace{0.05cm}.</math>

Auf der nächsten Seite wird unser Turbocode–Modell nochmals geringfügig modifiziert. 

== Grundstruktur eines Turbocodes (2) ==
 
Im Folgenden gehen wir stets von einem noch weiter modifizierten Turbocoder–Modell aus:
*Wie es für die Beschreibung von Faltungscodes erforderlich ist, liegt nun am Eingang anstelle des isolierten Informationsbits u die Informationssequenz u = (u1, u2, ... , ui, ... ) an. 

*Die Codewortsequenz wird mit x = (X1, X2, ... , Xi, ... ) bezeichnet. Um Verwechslungen zu vermeiden, wurden vorne die Codeworte Xi = (u, p1, p2)i mit Großbuchstaben eingeführt. 

[[File:P ID3036 KC T 4 3 S1c v1.png|Rate–1/3–Turbocodierer mit Interleaver|class=fit]] 

*Die Coder C1 und C1 werden (gedanklich) als [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter Digitale Filter] konzipiert und sind somit durch die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder_.282.29 Übertragungsfunktionen] G1(D) und G2(D) darstellbar. 

*Aus verschiedenen Gründen  ⇒  siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving übernächste Seite] sollte die Eingangssequenz des zweiten Coders  ⇒  uπ gegenüber der Sequenz u durch einen Interleaver (Π) verwürfelt sein. 

*Somit spricht nichts dagegen, die beiden Coder gleich zu wählen: G1(D) = G2(D) = G(D). Ohne Interleaver würde dies die Korrekturfähigkeit extrem einschränken. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt die verschiedenen Sequenzen in angepassten Farben. Anzumerken ist:
#   Für uπ ist eine 3×4–Interleaver–Matrix entsprechend Aufgabe Z4.8 berücksichtigt.
#    Die Paritysequenzen ergeben sich gemäß G1(D) = G2(D) = 1 + D2  ⇒  siehe Aufgabe A4.8. 

[[File:P ID3037 KC T 4 3 S1d v2.png|Beispielhafte Sequenzen beim Rate–1/3–Turbocodierer|class=fit]]{{end}} 

== Erste Voraussetzung für Turbocodes: Rekursive Komponentencodes ==
 
Nichtrekursive Übertragungsfunktionen zur Erzeugung der Paritysequenzen bewirken einen Turbocode mit unzureichend kleiner Minimaldistanz. Grund für diese Unzulänglichkeit ist die endliche Impulsantwort g = (1, g2, ... , gm, 0, 0, ... ) mit g2, ... , gm ∈ {0, 1}. Hierbei bezeichnet m das Codegedächtnis. 

Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm für das Beispiel G(D) = [1, 1 + D2]. Die Übergänge sind mit &bdquo;ui | ui pi” beschriftet. Die Abfolge S0 → S1 → S2 → S0 → S0 → S0 → ... führt bezüglich des Eingangs zur Informationssequenz u = (1, 0, 0, 0, 0, ... ) und bezüglich des jeweils zweiten Codesymbols zur Paritysequenz   p = (1, 0, 1, 0, 0, ... )  ⇒  identisch mit der Impulsantwort g  ⇒  Gedächtnis m = 2. 

[[File:P ID3044 KC T 4 3 S2a v2.png|Nichtrekursiver Turbocode und Zustandsübergangsdiagramm|class=fit]] 

Die untere Grafik gilt für einen sog. RSC–Code (Recursive Systematic Convolutional) entsprechend G(D) = [1, (1 + D2)/(1 + D + D2)]. Hier führt die Folge S0 → S1 → S3 → S2 → S1 → S3 → S2 → ... zur Impulsantwort g = (1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ... ). Diese Impulsantwort setzt sich aufgrund der Schleife S1 → S3 → S2 → S1 bis ins Unendliche fort. Dies ermöglicht bzw. erleichtert die iterative Decodierung. 

[[File:P ID3045 KC T 4 3 S2b v2.png|RSC-Turbocode und Zustandsübergangsdiagramm|class=fit]] 

Mehr Details zu den Beispielen auf dieser Seite finden Sie in Aufgabe A4.8 und Aufgabe A4.9. 

== Zweite Voraussetzung für Turbocodes: Interleaving ==
 
Es ist offensichtlich, dass bei G1(D) = G2(D) ein Interleaver (Π) unerlässlich ist. Ein weiterer Grund ist, dass die Apriori–Information als unabhängig vorausgesetzt wird. Somit sollten benachbarte (und somit möglicherweise stark abhängige) Bits für den jeweils anderen Teilcode weit auseinander liegen. 

Für jeden RSC–Code  ⇒  unendliche Impulsantwort g  ⇒  gebrochen–rationale Übertragungsfunktion G(D) gibt es nämlich gewisse Eingangssequenzen u, die zu sehr kurzen Paritysequenzen p = u ∗ g mit geringem Hamming–Gewicht wH(p) führen. Eine solche Sequenz ist beispielsweise in der unteren Grafik auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Erste_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Rekursive_Komponentencodes letzten Seite] angegeben:   u = (1, 1, 1, 0, 0, ...). Dann gilt für die Ausgangssequenz:

:<math>P(D) = U(D) \cdot G(D) = (1+D+D^2) \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2}= 1+D^2</math>

:<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. </math>

Durch Interleaving (deutsch: Verwürfelung) wird nun mit großer Wahrscheinlichkeit sichergestellt, dass diese Sequenz u = (1, 1, 1, 0, 0, ...) in eine Sequenz uπ gewandelt wird,
*die zwar ebenfalls nur drei Einsen beinhaltet, 

*deren Ausgangssequenz aber durch ein großes Hamming–Gewicht wH(p) gekennzeichnet ist. 

Somit gelingt es dem Decoder, solche &bdquo;Problemsequenzen” iterativ aufzulösen. 

Zur Beschreibung der Interleaver verwendet man die Zuordnung IIn → IOut. Diese Bezeichnungen stehen für die Indizes von Ausgangs– bzw. Eingangsfolge. Die Interleavergröße wird mit Imax benannt. 

[[File:P ID3048 KC T 4 3 S3a v5.png|Zur Verdeutlichung von Block–Interleaving|rechts|rahmenlos]] 

Es gibt mehrere, grundsätzlich verschiedene Interleaver–Konzepte: 

Bei einem Block–Interleaver füllt man eine Matrix mit S Spalten und Z Zeilen spaltenweise und liest die Matrix zeilenweise aus. Damit wird ein Informationsblock mit Imax = S · Z Bit deterministisch verwürfelt. 

Die Grafik verdeutlicht das Prinzip für Imax = 64  ⇒  1 ≤ IIn < 65 und 1 ≤ IOut < 65. Die Reihenfolge der Ausgangsbits lautet dann: 

          1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 2, 10, 18, ... , 48, 56 , 64. 

Mehr Informationen zum Block–Interleaving gibt es in Aufgabe Z4.8. 

[[File:P ID3050 KC T 4 3 S3b v5.png|rahmenlos|links|Zur Verdeutlichung von S–Random–Interleaving]]

Turbocodes verwenden oft den S–Random–Interleaver. Dieser pseudozufällige Algorithmus mit dem Parameter &bdquo;S” garantiert, dass zwei am Eingang weniger als S auseinander liegende Indizes am Ausgang mindestens im Abstand S + 1 auftreten. Die linke Grafik zeigt die S–Random–Kennlinie IOut(IIn) für Imax = 640. 

Auch dieser Algorithmus ist deterministisch, und man kann die Verwürfelung im Decoder rückgängig machen ⇒ De–Interleaving. Die Verteilung wirkt trotzdem &bdquo;zufälliger” als bei Block–Interleaving. 

== Symbolweise iterative Decodierung eines Turbocodes ==
 
Die Decodierung eines Turbocodes geschieht grundsätzlich wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen Kapitel 4.1] beschrieben. Aus der folgenden Grafik erkennt man aber einige nur für den Turbodecoder zutreffende Besonderheiten. 

[[File:P ID3049 KC T 4 3 S4a v2.png|Iterativer Turbodecoder für die Rate R = 1/3|class=fit]] 

Vorausgesetzt ist ein Rate–1/3–Turbocode entsprechend der Beschreibung auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes_.282.29 ersten Seite] dieses Abschnitts. Auch die Farbgebung für die Informationssequenz u und die beiden Paritysequenzen p1 und p2 sind an die früheren Grafiken angepasst. Weiter ist zu bemerken:
*Die Empfangsvektoren y0, y1 und y2 sind reellwertig und liefern die jeweilige Soft–Information bezüglich der Sequenzen u (Information), p1 (Parity für Coder 1) und p2 (Parity für Coder 2). 

*Der Decoder 1 erhält die erforderliche intrinsische Information in Form der L–Werte LK,0 (aus y0) und LK,1 (aus y1) über jedes einzelne Bit der Sequenzen u und p1. 

*Beim zweiten Decoder ist auch die Verwürfelung der Informationssequenz u durch den Interleaver zu berücksichtigen. Die zu verarbeitenden L–Werte sind somit π(LK,0) und LK,2. 

*Beim allgemeinen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen SISO–Decoder] am Ende von Kapitel 4.1 wurde der Informationsaustausch zwischen den beiden Komponentendecodern mit LA,2 = LE,1 sowie LA,1 = LE,2 angegeben. Ausgeschrieben auf Bitebene bedeuten diese Gleichungen mit 1 ≤ i ≤ n:

::<math>L_{\rm A, \hspace{0.01cm}2}(i) = L_{\rm E, \hspace{0.01cm}1}(i)
\hspace{0.5cm}{\rm bzw.}\hspace{0.5cm}
L_{\rm A, \hspace{0.01cm}1}(i) = L_{\rm E, \hspace{0.01cm}2}(i) \hspace{0.03cm}.</math>

*Beim Turbodecoder muss bei diesem Informationsaustausch auch der Interleaver berücksichtigt werden. Dann gilt wieder für i = 1, ..., n:

::<math>L_{\rm A, \hspace{0.01cm}2}\left ({\rm \pi}(i) \right ) = L_{\rm E, \hspace{0.01cm}1}(i)
\hspace{0.5cm}{\rm bzw.}\hspace{0.5cm}
L_{\rm A, \hspace{0.01cm}1}(i) = L_{\rm E, \hspace{0.01cm}2}\left ({\rm \pi}(i) \right ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Der Aposteriori–L–Wert wird in obigem Modell (willkürlich) vom Decoder 1 abgegeben. Dies lässt sich damit begründen, dass eine Iteration für einen zweifachen Informationsaustausch steht. 

== Leistungsfähigkeit der Turbocodes (1) ==
 
Wir betrachten wieder wie auf den letzten Seiten den Rate–1/3–Turbocode
*mit gleichen Filterfunktionen G1(D) = G2(D) = (1 + D2)/(1 + D + D2)  ⇒  Gedächtnis m = 2, 

*mit der Interleavergröße K; zunächst gelte K = 10000, 

*eine ausreichende Anzahl an Iterationen (I = 20), hier nahezu gleichzusetzen mit &bdquo;I → ∞”. 

Die beiden RSC–Komponentencodes sind jeweils auf K Bit terminiert. Deshalb gruppieren wir
*die Informationssequenz u zu Blöcken mit je K Informationsbits, und 

*die Codesequenz x zu Blöcken mit je N = 3 · K Codebits. 

Die Grafik zeigt als grüne Kurve in doppelt–logarithmischer Darstellung die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ⇒  Pr(Blockfehler) beim [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal] in Abhängigkeit der Kenngröße 10 · lg(EB/N0). Man erkennt:
[[File:P ID3053 KC T 4 3 S5a v7.png|rahmenlos|rechts|Bit– und Blockfehlerwahrscheinlichkeit von Turbodecodes]]
*Die Daten entstammen dem Vorlesungsskript [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>. Die mit Kreuzen markierten Punkte ergaben sich aus den Gewichtsfunktionen des Turbocodes mit Hilfe der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit Union Bound.] 

*Simulationsergebnisse aus [Liv15] sind in der Grafik durch Kreise markiert. Sie sind nahezu deckungsgleich mit den berechneten Werten. 

*Die Union Bound ist nur eine obere Schranke, basierend auf ML–Decodierung. Der iterative Decoder ist suboptimal (also schlecher als ML). Diese beiden Effekte heben sich scheinbar auf. 

*Etwa bei 10 · lg(EB/N0) = 1 dB ist ein Knick im (grünen) Kurvenverlauf festzustellen, der mit der Steigungsänderung von Pr(Bitfehler)  ⇒  blaue Kurve korrespondiert. Die Erklärung folgt unten. 

Die blauen Kreuze (Berechnung) und die blauen Kreise (Simulation) bezeichnen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Als Vergleichskurve ist die (strichpunktierte) Kurve für uncodierte Übertragung eingezeichnet. Anzumerken ist:
*Bei kleinen Abszissenwerten ist der Kurvenabfall in der gewählten Darstellung nahezu linear und ausreichend steil. Für Pr(Bitfehler) = 10–5 benötigt man 10 · lg(EB/N0) ≈ 0.8 dB. 

*Im Vergleich zur [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29 Shannon–Grenze,] die sich für die Coderate R = 1/3 zu 10 · lg(EB/N0) ≈ –0.55 dB ergibt, liegt unser Standard–Turbocode (mit Gedächtnis m = 2) nur etwa 1.35 dB entfernt. 

*Ab 10 · lg(EB/N0) ≈ 0.5 dB verläuft die Kurve flacher. Ab ca. 1.5 dB ist der Verlauf wieder (fast) linear mit geringerer Steigung. Für Pr(Bitfehler) = 10–7 benötigt man etwa 10 · lg(EB/N0) = 3 dB. 

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Leistungsfähigkeit der Turbocodes (2) ==
 
Wir betrachten weiter die (blaue) Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die Interleavergröße K = 10000 und versuchen, den flacheren Abfall bei größerem EB/N0 zu erklären. Man spricht von einem Error Floor.
[[File:P ID3056 KC T 4 3 S5b v4.png|rahmenlos|rechts|Bit– und Blockfehlerwahrscheinlichkeit von Turbodecodes]]
*Der Grund für dieses asymptotisch schlechtere Verhalten bei besserem Kanal (im Beispiel: ab ca. 10 · lg EB/N0 > 2 dB) ist die Periode P der Coderimpulsantwort g, wie auf der Seite [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving Zweite Voraussetzung: Interleaving] nachgewiesen. 

*Im Beispiel (m = 2) ist die Periode P = 2m = 3. Dadurch ist für u = (1, 1, 1)  ⇒  wH(u) = 3 trotz unbegrenzter Impulsantwort g die Paritysequenz begrenzt:   p = (1, 0, 1)  ⇒  wH(p) = 2. 

*Die Sequenz u = (0, ..., 0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)  ⇒  U(D) = Dx · (1 + DP) führt ebenfalls zu einem kleinen Hamming–Gewicht wH(p) am Ausgang, was den iterativen Decodierprozess erschwert. 

*Eine gewisse Abhilfe schafft der Interleaver, der dafür sorgt, dass nicht die beiden Sequenzen p1 und p2 gleichzeitig durch sehr kleine Hamming–Gewichte wH(p1) und wH(p2) belastet sind. 

*Aus der Grafik erkennt man, dass Pr(Bitfehler) umgekehrt proportional zur Interleavergröße K ist. Das heißt: Bei großem K funktioniert die Entspreizung ungünstiger Eingangssequenzen besser. 

*Allerdings gilt die Näherung K · Pr(Bitfehler) = const. nur für größere EB/N0–Werte ⇒ kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeiten. Der oben beschriebene Effekt tritt zwar auch bei kleinerem EB/N0 auf, doch sind dann die Auswirkungen auf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit geringer. 

Dagegen gilt der flachere Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit (grüne Kurve weitgehend unabhängig von der Interleavergröße K, also sowohl für K = 1000 als auch für K = 10000. Im Bereich ab 10 · lg EB/N0 > 2 dB dominieren aufgrund der kleinen Bitfehlerwahrscheinlichkeiten (< 10–5) nämlich Einzelfehler, so dass hier die Näherung Pr(Blockfehler) ≈ Pr(Bitfehler) · K gültig ist. 

Die hier beispielhaft gezeigten Kurven für Bit– und Blockfehlerwahrscheinlichkeit gelten qualitativ auch für m > 2, zum Beispiel für den Turbocode von UMTS und LTE (jeweils m = 3), der in Aufgabe A4.10 analysiert wird. Es ergeben sich aber einige quantitative Unterschiede:
*Die Kurve verläuft bei kleinem EB/N0 steiler und der Abstand von der Shannongrenze ist etwas geringer als im hier gezeigten Beispiel für m = 2. 

*Auch für größeres m gibt es einen Error Floor. Der Knick in den dargestellten Kurven erfolgt aber später, also bei kleineren Fehlerwahrscheinlichkeiten. 

== Seriell verkettete Turbocodes – SCCC ==
 
Die bisher betrachteten Turbocodes werden manchmal auch als Parallel Concatenated Convolutional Codes (PCCC) bezeichnet. Einige Jahre nach Berrou's Erfindung wurden von anderen Autoren auch Serial Concatenated Convolutional Codes (SCCC) entsprechend folgender Grafik vorgeschlagen.
*Die Informationssequenz u liegt am äußeren Faltungscoder C1 an. Dessen Ausgangssequenz sei c. 

*Nach dem Interleaver (Π) folgt der innere Faltungscoder C2. Die Codesequenz wird x genannt. 

*Die resultierende Coderate ist R = R1 · R2. Bei Rate–1/2–Komponentencodes ist R = 1/4. 

[[File:P ID3058 KC T 4 3 S7a v1.png|SCCC–Coder und –Decoder|class=fit]] 

Die untere Grafik zeigt den SCCC–Decoder und verdeutlicht die Verarbeitung der L–Werte und den Austausch der extrinsischen Information zwischen den beiden Komponentencoder:
*Der innere Decoder (für den Code C2) erhält vom Kanal die intrinsische Information LK(x) und vom äußeren Decoder (nach Interleaving) die Apriori–Information LA(w) mit w = π(c). An den äußeren Decoder wird die extrinsische Information LE(w) abgegeben. 

*Der äußere Decoder (für C1) verarbeitet die Apriori–Information LA(c), also die extrinsische Information LE(w) nach dem De–Interleaving. Er liefert die extrinsische Information LE(c). 

*Nach hinreichend vielen Iterationen ergibt sich das das gewünschte Decodierergebnis in Form der Aposteriori–L–Werte LAPP(u) der Informationssequenz u. 

Wichtig für seriell verkettete Faltungscodes ist, dass der innere Code rekursiv ist (also ein RSC–Code). Der äußere Code C1 kann auch nichtrekursiv sein. Zur Leistungsfähigkeit solcher Codes ist anzumerken:
*SCCCs sind bei großem EB/N0 besser als PCCCs  ⇒  niedrigerer Error Floor. Die Aussage gilt schon für SCCC–Komponentencodes mit Gedächtnis m = 2 (nur vier Trelliszustände), während bei PCCC das Gedächtnis m = 3 bzw. m = 4 (acht bzw. sechzehn Trelliszustände) sein sollte. 

*Im unteren Bereich (kleines EB/N0) ist dagegen der beste seriell verkettete Faltungscode (SCCC) um einige Zehntel Dezibel schlechter als der vergleichbare Turbocode gemäß Berrou (PCCC). Entsprechend größer ist auch der Abstand von der Shannongrenze. 

== Einige Anwendungsgebiete für Turbocodes ==
 
[[File:P ID3059 KC T 4 3 S7b v2.png|rahmenlos|rechts|Einige standardisierte Turbocodes im Vergleich zur Shannon–Grenze]]
In fast allen neueren Kommunikationssystemen (nach 1993 standardisiert) werden Turbocodes eingesetzt. Die Grafik zeigt deren Leistungsfähigkeit beim AWGN–Kanal im Vergleich zur [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29 Shannonschen Kanalkapazität] (blaue Kurve). 

Der grün hinterlegte Bereich &bdquo;BPSK” gibt die Shannongrenze für Nachrichtensystemee mit binärem Eingang an, mit der nach dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t Kanalcodierungstheorem] eine fehlerfreie Übertragung gerade noch möglich ist. 

Anzumerken ist, dass hier für die eingezeichneten Kanalcodes von standardisierten Systemen die Fehlerrate 10–5 zugrunde liegt, während die informationstheoretischen Kapazitätskurven (Shannon, BPSK) für die Fehlerwahrscheinlichkeit 0 gelten.
*Die blauen Rechtecke markieren die Turbocodes für UMTS. Diese sind Rate–1/3–Codes mit Gedächtnis m = 3. Die Leistungsfähigkeit hängt stark von der Interleavergröße ab. Mit K = 6144 liegt dieser Code nur etwa 1 dB rechts von der Shannon–Grenze. LTE verwendet die gleichen Turbocodes. Geringfügige Unterschiede ergeben sich aufgrund des unterschiedlichen Interleavers. 

*Die roten Kreuze markieren die Turbocodes nach CCSDS (Consultative Comittee for Space Data Systems), entwickelt für den Einsatz bei fernen Weltraummissionen. Diese Klasse geht von der einheitlichen Interleavergröße K = 6920 aus und stellt Codes der Rate 1/6, 1/4, 1/3 und 1/2 zur Verfügung. Die niedrigsten Coderaten erlauben einen Betrieb mit 10 · lg (EB/N0) ≈ 0 dB. 

*Der grüne Kreis steht für einen sehr einfachen Repeat–Accumulate (RA) Code, einem seriell–verketteten Turbocode. Der äußere Decoder verwendet einen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Wiederholungscode] (englisch: Repetition Code), im gezeichneten Beispiel mit der Rate R = 1/3. Nach dem Interleaver folgt ein RSC–Code mit G(D) = 1/(1 + D)  ⇒  Gedächtnis m = 1. Bei systematischer Ausführung ist die Gesamtcoderate R = 1/4 (zu jedem Informationsbit noch drei Paritybits). Aus der oberen Grafik erkennt man, dass dieser einfache RA–Code überraschend gut ist. Mit der Interleavergröße K = 300000 beträgt der Abstand von der Shannon–Grenze lediglich ca. 1.5 dB. 

[[File:P ID3064 KC T 4 3 S7c v1.png|Repeat Accumulate (RA) Code der Rate 1/4|class=fit]] 

In der oberen Grafik nicht eingetragen sind die Turbocodes für den Standard DVB Return Channel Terrestrial (RCS) sowie für den WiMax–Standard (IEEE 802.16), die ähnliche Turbocodes benutzen. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:4.8 Wiederholung zu den Faltungscodes|A4.8 Wiederholung zu den Faltungscodes]]

[[Zusatzaufgaben:4.8 Grundlegendes zum Interleaving]]

[[Aufgaben:4.9 Wiederholung zu den RSC-Codes|A4.9 Wiederholung zu den RSC-Codes]]

[[Aufgaben:4.10 UMTS/LTE–Turbocoder|A4.10 UMTS/LTE–Turbocoder]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/The Basics of Product Codes

2017-01-24T21:43:34Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Iterative Decodierverfahren
|Vorherige Seite=Soft–in Soft–out Decoder
|Nächste Seite=Grundlegendes zu den Turbocodes
}}

== Grundstruktur eines Produktcodes ==
 
Die Grafik zeigt den prinzipiellen Aufbau von Produktcodes, die bereits 1954 von Peter Elias eingeführt wurden. Der nachfolgend dargestellte zweidimensionale Produktcode C = C1 × C2 basiert auf den beiden linearen und binären Blockcodes mit den Parametern (n1, k1) bzw. (n2, k2). 

[[File:P ID3000 KC T 4 2 S1 v1.png|Grundstruktur eines Produktcodes|class=fit]] 

Die Codewortlänge ist n = n1 · n2. Diese n Codebits lassen sich wie folgt gruppieren:
*Die k = k1 · k2 Informationsbits sind in der k2×k1–Matrix U angeordnet. Die Coderate ist gleich dem Produkt der Coderaten der beiden Basiscodes: R = k/n = (k1/n1) · (k2/n2) = R1 · R2. 

*Die rechte obere Matrix P(1) mit der Dimension k2×m1 beinhaltet die Prüfbits (englisch: Parity) hinsichtlich des Codes C1. In jeder der k2 Zeilen werden zu den k1 Informationsbits m1 = n1 – k1 Prüfbits hinzugefügt, wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.282.29 Kapitel 1.3] am Beispiel der Hamming–Codes beschrieben wurde. 

*Die linke untere Matrix P(2) der Dimension m2×k1 beinhaltet die Prüfbits hinsichtlich des zweiten Komponentencodes C2. Hier erfolgt die Codierung (und auch die Decodierung) zeilenweise: In jeder der k1 Spalten werden die k2 Informationsbits noch um m2 = n2 – k2 Prüfbits ergänzt. 

*Die m2×m1–Matrix P(12) rechts unten bezeichnet man als Checks–on–Checks. Hier werden die vorher erzeugten Parity–Matrizen P(1) und P(2) entsprechend den Prüfgleichungen verknüpft. 

Alle Produktcodes entsprechend obiger Grafik weisen folgende Eigenschaften auf:
*Bei linearen Komponentencodes C1 und C2 ist auch der Produktcode C = C1 × C2 linear. 

*Jede Zeile von C gibt ein Codewort von C1 wieder und jede Spalte ein Codewort von C2. 

*Die Summe zweier Zeilen ergibt aufgrund der Linearität wieder ein Codewort von C1. 

*Ebenso ergibt die Summe zweier Spalten ein gültiges Codewort von C2. 

*Jeder Produktcodes beinhaltet auch das Nullwort 0 (ein Vektor mit n Nullen). 

*Die minimale Distanz von C ist dmin = d1 · d2, wobei di die minimale Distanz von Ci angibt. 

== Iterative Syndromdecodierung von Produktcodes (1) ==
 
Wir betrachten nun den Fall, dass ein Produktcode mit Matrix X über einen Binärkanal übertragen wird. Die Empfangsmatrix sei Y = X + E, wobei E die Fehlermatrix bezeichnet. Alle Elemente der Matrizen X, E und Y seien binär, also 0 oder 1. 

Für die Decodierung der beiden Komponentencodes bietet sich die Syndromdecodierung entsprechend dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.5] an. Im zweidimensionalen Fall bedeutet dies:
*Man decodiert zunächst die n2 Zeilen der Empfangsmatrix Y, basierend auf der Prüfmatrix H1 des Komponentencodes C1. Man verwendet hierzu die Syndromdecodierung. 

*Dazu bildet man jeweils das sogenannte Syndrom s = y · H1T, wobei der Vektor y der Länge n1 die aktuelle Zeile von Y angibt und &bdquo;T” für &bdquo;transponiert” steht. 

*Entsprechend dem berechneten sμ (mit 0 ≤ μ < 2n1–k1) findet man dann in einer vorbereiteten Syndromtabelle das wahrscheinliche Fehlermuster e = eμ. 

*Bei nur wenigen Fehlern innerhalb der Zeile stimmt dann y + e mit dem gesendeten Zeilenvektor x überein. Sind zu viele Fehler aufgetreten, so kommt es allerdings zu Fehlkorrekturen. 

*Anschließend syndromdecodiert man die n1 Spalten der (korrigierten) Empfangsmatrix Y', diesmal basierend auf der (transponierten) Prüfmatrix H2T des Komponentencodes C2. 

*Hierzu bildet man das Syndrom s = y' · H2T, wobei der Vektor y' der Länge n2 die betrachtete Spalte von Y' bezeichnet. 

*Aus einer zweiten Syndromtabelle (gültig für den Code C2) findet man für das berechnete sμ (mit 0 ≤ μ < 2n2–k2) das wahrscheinliche Fehlermuster e = eμ der bearbeiteten Spalte. 

*Nach Korrektur aller Spalten liegt die Marix Y'' vor. Nun kann man wieder eine Zeilen– und anschließend eine Spaltendecodierung vornehmen  ⇒  zweite Iteration, und so weiter, und so fort. 

Auf der nächsten Seite wird dieser Decodieralgorithmus an einem Beispiel verdeutlicht. Dazu betrachten wir wieder den (42, 12) Produktcode, basierend auf
*dem Hammingcode (7, 4, 3)  ⇒  Code C1, 

*dem verkürzten Hammingcode (6, 3, 3)  ⇒  Code C2. 

Die Prüfmatrizen dieser beiden systematischen Komponentencodes lauten in transponierter Form:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_1^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
1 &1 &0 \\
0 &1 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
{ \boldsymbol{\rm H}}_2^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
1 &0 &1 \\
0 &1 &1 \\
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math> 

== Iterative Syndromdecodierung von Produktcodes (2) ==
 
Die linke Grafik zeigt die Empfangsmatrix Y, Aus Darstellungsgründen wurde die Codermatrix X zu einer 6 × 7–Nullmatrix gewählt, so dass die neun Einsen in Y gleichzeitig Übertragungsfehler darstellen. 

[[File:P ID3014 KC T 4 2 S2a v1.png|Zur Syndromdecodierung des (42, 12)–Produktcodes|class=fit]] 

Hinweis: Für die folgenden Berechnungen ist der Link zu den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Produktcodes#Iterative_Syndromdecodierung_von_Produktcodes_.281.29 transponierten Prüfmatrizen] nützlich. 

Die zeilenweise Syndromdecodierung geschieht über das Syndrom s = y · H1T. Im Einzelnen:
*Zeile 1  ⇒  Einzelfehlerkorrektur ist erfolgreich (ebenso in den Zeilen 3, 4 und 6): [[File:P ID3015 KC T 4 2 S2b v1.png|rahmenlos|rechts|Syndromtabelle für den Code C1]]

::<math>\underline{s} = \left ( 0, \hspace{0.02cm} 0, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0 \right ) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_1^{\rm T}
\hspace{-0.05cm}=
\left ( 0, \hspace{0.03cm} 1, \hspace{0.03cm}1 \right )
= \underline{s}_3</math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{y} + \underline{e}_3 = \left ( 0, \hspace{0.02cm} 0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0 \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Zeile 2  ⇒  Fehlkorrektur bezüglich Bit 5:

::<math>\underline{s} = \left ( 1, \hspace{0.02cm} 0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}1 \right ) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_1^{\rm T}
\hspace{-0.05cm}=
\left ( 1, \hspace{0.03cm} 0, \hspace{0.03cm}0 \right )
= \underline{s}_4</math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{y} + \underline{e}_4 = \left ( 1, \hspace{0.02cm} 0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}1 \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Zeile 5  ⇒  Fehlkorrektur bezüglich Bit 3:

::<math>\underline{s} = \left ( 0, \hspace{0.02cm} 0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0 \right ) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_1^{\rm T}
\hspace{-0.05cm}=
\left ( 0, \hspace{0.03cm} 1, \hspace{0.03cm}1 \right )
= \underline{s}_3</math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{y} + \underline{e}_3 = \left ( 0, \hspace{0.02cm} 0, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0 \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Die spaltenweisen Syndromdecodierung entfernt alle Einzelfehler in den Spalten 1, 2, 3, 4, 6 und 7.
[[File:P ID3019 KC T 4 2 S2c v1.png|rahmenlos|rechts|Syndromtabelle für den Code C2]]
*Spalte 5  ⇒  Fehlkorrektur bezüglich Bit 4:

::<math>\underline{s} = \left ( 0, \hspace{0.02cm} 1, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}0 \right ) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_1^{\rm T}
\hspace{-0.05cm}=
\left ( 1, \hspace{0.03cm} 0, \hspace{0.03cm}0 \right )
= \underline{s}_4</math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{y} + \underline{e}_4 = \left ( 0, \hspace{0.02cm} 1, \hspace{0.02cm}0, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}1, \hspace{0.02cm}0 \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Die verbliebenen drei Fehler werden durch zeilenweise Decodierung der zweiten Iterationsschleife korrigiert. 

Ob alle Fehler eines Blockes korrigierbar sind, hängt vom Fehlermuster ab. Hier verweisen wir auf Aufgabe A4.7. 

== Leistungsfähigkeit der Produktcodes ==
 
Die 1954 eingeführten Produktcodes waren die ersten Codes, die auf rekursiven Konstruktionsregeln basierten und somit grundsätzlich für die iterative Decodierung geeignet waren. Der Erfinder Peter Elias hat sich diesbezüglich zwar nicht geäußert, aber in den letzten zwanzig Jahren hat dieser Aspekt und die gleichzeitige Verfügbarkeit schneller Prozessoren dazu beigetragen, dass inzwischen auch Produktcodes in realen Kommunikationssystemen eingesetzt werden, z. B. beim Fehlerschutz von Speichermedien und bei Glasfasersystemen mit sehr hoher Datenrate. 

Meist verwendet man sehr lange Produktcodes (großes n = n1 · n2) mit folgender Konsequenz:
*Aus Aufwandsgründen ist hier die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.282.29 Maximum–Likelihood–Decodierung auf Blockebene] für die Komponentencodes C1 und C2 nicht anwendbar, auch nicht die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung Syndromdecodierung,] die ja eine Realisierungsform der ML–Decodierung darstellt. 

*Anwendbar ist dagegen auch bei großem n die iterative symbolweise MAP–Decodierung, wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Kapitel 4.1] beschrieben. Der Austausch von extrinsischer und Apriori–Information geschieht hier zwischen den beiden Komponentencodes. Genaueres hierüber findet man in [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>. 
[[File:P ID3020 KC T 4 2 S3 v4.png|Bit–/Blockfehlerrate eines (1024, 676)–Produktcodes beim AWGN–Kanal|class=fit]] 

Die Grafik zeigt für einen (1024, 676)–Produktcode, basierend auf dem Extended Hammingcode eHC (32, 26) als Komponentencodes, die AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit (links) in Abhängigkeit der Iterationen (I) sowie rechts die Fehlerwahrscheinlichkeit der Blöcke (bzw. Codeworte). Die Coderate beträgt R = R1 · R2 = 0.66, womit sich die Shannon–Grenze zu 10 · lg (EB/N0) ≈ 1 dB ergibt. 

Links erkennt man den Einfluss der Iterationen. Beim Übergang von I = 1 auf I gewinnt man ca. 2 dB (bei der Bitfehlerrate 10–5) und mit I = 10 ein weiteres dB. Weitere Iterationen lohnen sich nicht. 

Auch alle in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 Kapitel 1.6] genannten Schranken können hier angewendet werden, so auch die in der rechten Grafik gestrichelt eingezeichneten Truncated Union Bound:

:<math>{\rm Pr(Truncated{0.15cm}Union\hspace{0.15cm} Bound)}= W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{d_{\rm min} \cdot {2R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Die minimale Distanz beträgt dmin = d1 · d2 = 4 · 4 = 16. Mit der Gewichtsfunktion des eHC (32, 26),

:<math>W_{\rm eHC(32,\hspace{0.08cm}26)}(X) = 1 + 1240 \cdot X^{4}
+ 27776 \cdot X^{6}+
330460 \cdot X^{8} + ...\hspace{0.05cm} + X^{32},</math>

erhält man für den Produktcode Wd, min = 12402 = 15376000. Damit ist die obere Gleichung bestimmt. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:A4.6: Produktcode–Generierung|A4.6: Produktcode–Generierung]]

[[Zusatzaufgaben:Z4.6: Grundlagen der Produktcodes]]

[[Aufgaben:A4.7: Produktcode–Decodierung|A4.7: Produktcode–Decodierung]]

[[Zusatzaufgaben:Z4.7: Syndromdecodierung – Prinzip]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Soft-in Soft-Out Decoder

2017-01-24T21:36:17Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Iterative Decodierverfahren
|Vorherige Seite=Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken
|Nächste Seite=Grundlegendes zu den Produktcodes
}}

== Hard Decision vs. Soft Decision (1) ==
 
Zur Hinleitung auf die Thematik dieses vierten und letzten Kapitels und zur Motivation betrachten wir das folgende Nachrichtenübertragungssystem mit Codierung. 

[[File:P ID2971 KC T 4 1 S1a v8.png|Betrachtetes Nachrichtenübertragungssystem mit Codierung|class=fit]] 

Nachfolgend werden alle Symbole in bipolarer Darstellung angegeben: &bdquo;0”  →  &bdquo;+1” und &bdquo;1”  →  &bdquo;–1”.
*Die Symbolfolge u = (u1, u2) wird der Coderfolge x = (x1, x2, x3) = (u1, u2, p) zugeordnet, wobei für das Paritybit p = u1 &oplus; u2 gilt  ⇒  [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity–check Code]  ⇒  SPC (3, 2, 2). 

*Der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal] verändert die Binärsymbole xi ∈ {+1, –1} zu reellwertigen Ausgangswerten yi, z.B. im Block 4 der unteren Tabelle:   x1 = +1  ⇒  y1 = +0.9  und   x3 = –1  ⇒  y3 = +0.1. 

*Die Decodierung geschieht gemäß dem Kriterium [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.282.29 Maximum Likelihood (block–wise ML),] wobei zwischen Hard Decision (ML–HD) und Soft Decision (ML–SD) zu unterscheiden ist. 

*Das obige Blockschaltbild in seiner Gesamtheit entspricht ML–HD. Hier werden zur Detektion nur die Vorzeichen der AWGN–Ausgangswerte entsprechend  yHD, i = sign[ySD, i]  ausgewertet. 

*Bei Soft Decision (ML–SD) verzichtet man auf den schraffierten Block in obigem Blockschaltbild und wertet direkt die wertkontinuierlichen Eingangsgrößen ySD, i aus. 

[[File:P ID2972 KC T 4 1 S1b v4.png|Gegenüberstellung von Hard Decision und Soft Decision|class=fit]] 

Aus der Beispieltabelle erkennt man:
*Hard Decision  ⇒ die Symbolfolge υHD ergibt sich aus den hart entschiedenen Kanalwerten yHD (blaue Hinterlegung): Es werden nur die beiden ersten Blöcke fehlerfrei decodiert. 

*Soft Decision  ⇒ die Symbolfolge υSD ergibt sich aus den &bdquo;weichen” Kanalausgangswerten ySD (grüne Hinterlegung): Nun wird in diesem Beispiel auch der dritte Block richtig entschieden. 

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Hard Decision vs. Soft Decision (2) ==
 
Für alle Spalten der folgenden Tabelle wird vorausgesetzt:
*der Nachrichtenblock u = (0, 1), bipolar darstellbar als (+1, –1), 

*der SPC (3, 2)–codierte Block x = (0, 1, 1) bzw. in Bipolardarstellung (+1, –1, –1). 

Die vier Blöcke unterscheiden sich also nur durch unterschiedliche AWGN–Realisierungen. 

[[File:P ID2973 KC T 4 1 S1b v4.png|Gegenüberstellung von Hard Decision und Soft Decision|class=fit]] 

Die Tabelle ist wie folgt zu interpretieren:
*Bei idealem Kanal entsprechend Block 1  ⇒  x = ySD = yHD gibt es keinen Unterschied zwischen der (blauen) herkömmlichen ML–HD –Variante und der (grünen) ML–SD –Variante. 

*Der Block 2 demonstriert geringe Signalverfälschungen. Wegen yHD = x (das heißt, dass der Kanal die Vorzeichen nicht verfälscht) liefert auch ML–HD das richtige Ergebnis υHD = u. 

*Dagegen gilt im dritten Block yHD ≠ x und es gibt auch keine SPC (3, 2)–Zuordnung u  ⇒  yHD. Der ML–Decoder kann hier nur durch die Ausgabe υHD = (E, E) vermelden, dass er bei der Decodierung dieses Blocks gescheitert ist. &bdquo;E” steht hierbei für [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC Erasure] (deutsch: Auslöschung). 

*Auch der Soft Decision Decoder erkennt, dass eine Decodierung anhand der Vorzeichen nicht funktioniert. Anhand der ySD–Werte erkennt er aber, dass mit großer Wahrscheinlichkeit das zweite Bit verfälscht wurde und entscheidet sich für die richtige Symbolfolge υSD = (+1, –1) = u. 

*Im vierten Block werden durch den AWGN–Kanal sowohl die Vorzeichen von Bit 2 als auch von Bit 3 verändert, was zum Ergebnis υHD = (+1, +1) ≠ u (+1, –1) führt  ⇒  ein Blockfehler und gleichzeitig ein Bitfehler. Auch der Soft Decision Decoder liefert hier das gleiche falsche Ergebnis. 

Die Decodiervariante ML–SD bietet gegenüber ML–HD zudem den Vorteil, dass man relativ einfach jedes Decodierergebnis mit einem Zuverlässigkeitswert versehen kann (in obiger Tabelle ist dieser allerdings nicht angegeben). Dieser Zuverlässigkeitswert
*hätte bei Block 1 seinen Maximalwert, 

*wäre bei Block 2 deutlich kleiner, 

*läge bei Block 3 und 4 nahe bei 0. 

== Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio (1) ==
 
Es sei x ∈ {+1, –1} eine binäre Zufallsvariable mit den Wahrscheinlichkeiten Pr(x = +1) und Pr(x = –1). Für die Codierungstheorie erweist es sich als zweckmäßig hinsichtlich der Rechenzeiten, wenn man anstelle der Wahrscheinlichkeiten Pr(x = ±1) den natürlichen Logarithmus des Quotienten heranzieht. 

{{Definition}}''':''' Das Log–Likelihood–Verhältnis (kurz: der L–Wert, englisch: Log–Likelihood Ratio, LLR) der Zufallsgröße x ∈ {+1, –1} lautet:

:<math>L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.</math>

Bei unipolarer/symbolhafter Darstellung (+1 → 0  und  –1 → 1) gilt entsprechend mit ξ ∈ {0, 1}:

:<math>L(\xi)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(\xi = 0)}{{\rm Pr}(\xi = 1)}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Nachfolgend ist der nichtlineare Zusammenhang zwischen Pr(x = ±1) und L(x) angegeben. Ersetzt man Pr(x = +1) durch Pr(ξ = 0), so gibt die mittlere Zeile den L–Wert der unipolaren Zufallsgröße ξ an. 

[[File:P ID2975 KC T 4 1 S2a v1.png|Wahrscheinlichkeit und L–Wert|class=fit]] 

Man erkennt:
*Der wahrscheinlichere Zufallswert von x ∈ {+1, –1} ist durch sign L(x)  ⇒  Vorzeichen gegeben. 

*Dagegen gibt der Betrag |L(x)| die Zuverlässigkeit für das Ergebnis sign(L(x)) an. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2976 KC T 4 1 S2b v2.png|rahmenlos|rechts|BSC–Modell]] Wir betrachten das skizzierte [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] mit bipolarer Darstellung. Hier gilt mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε = 0.1 sowie den beiden Zufallsgrößen x ∈ {+1, –1} und y ∈ {+1, –1} am Eingang und Ausgang des Kanals:

:<math>L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} = </math>
:<math>\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
\left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\
{\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)] \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = +1,
\\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = -1. \\ \end{array}</math>

Beispielsweise ergeben sich für ε = 0.1 folgende Zahlenwerte (vergleiche obere Tabelle):

:<math>L(y = +1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{0.9}{0.1} = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
L(y = -1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = -2.197\hspace{0.05cm}.</math>

Dieses Beispiel zeigt, dass man die sog. L–Wert–Algebra auch auf bedingte Wahrscheinlichkeiten anwenden kann. In Aufgabe Z4.1 wird das BEC–Modell in ähnlicher Weise beschrieben.{{end}} 

== Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio (2) ==
 
Wir betrachten nun den AWGN–Kanal mit den beiden bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

:<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=+1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=+1 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e} ^{ - {(y-1)^2}/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm},</math>
:<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=-1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=-1 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e} ^{ - {(y+1)^2}/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.</math>

In der Grafik sind zwei beispielhafte Gaußfunktionen als blaue bzw. rote Kurve dargestellt. 

[[File:P ID2977 KC T 4 1 S2c v3.png|Bedingte AWGN–Dichtefunktionen|class=fit]] 

Die gesamte WDF des Ausgangssignals y ergibt sich aus der (gleich) gewichteten Summe:

:<math>f_{y } \hspace{0.05cm} (y ) = 1/2 \cdot \big [ f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=+1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=+1 ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}
f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=-1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=-1 )
\big ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangswert y in einem (sehr) schmalen Intervall der Breite Δ um y0 = 0.25 liegt, so erhält man näherungsweise

:<math>{\rm Pr} (|y - y_0| \le{\it \Delta}/2 \hspace{0.05cm}
\Big | \hspace{0.05cm}x=+1 )\hspace{-0.1cm} \approx \hspace{-0.1cm}
\frac {\it \Delta}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e} ^{ - {(y_0-1)^2}/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\rm Pr} (|y - y_0| \le {\it \Delta}/2 \hspace{0.05cm}
\Big | \hspace{0.05cm}x=-1 )\hspace{-0.1cm} \approx \hspace{-0.1cm}
\frac {\it \Delta}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e} ^{ - {(y_0+1)^2}/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.</math>

Die etwas größeren senkrechten Striche bezeichnen die Bedingungen, die kleineren die Betragsbildung. 

Der L–Wert der bedingten Wahrscheinlichkeit in Vorwärtsrichtung (das bedeutet: Ausgang y für einen gegebenen Eingang x) ergibt sich somit als der Logarithmus des Quotienten beider Ausdrücke:

:<math>L(y = y_0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \left [ \frac{{\rm e} ^{ - {(y_0-1)^2}/(2\sigma^2)}}{{\rm e} ^{ - {(y_0+1)^2}/(2\sigma^2)}} \right ] =
{\rm ln} \left [ {\rm e} ^{ - [ {(y_0-1)^2}+{(y_0+1)^2}]/(2\sigma^2)} \right ]\hspace{0.15cm} = </math>
:<math>\hspace{2.4cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{(y_0+1)^2-(y_0-1)^2}{2\cdot \sigma^2} = \frac{2 \cdot y_0}{\sigma^2}\hspace{0.05cm}. </math>

Ersetzen wir nun die Hilfsgröße y0 durch die (allgemeine) Zufallsgröße y am AWGN–Ausgang, so lautet das Endergebnis:

:<math>L(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {2 \cdot y}/{\sigma^2} =K_{\rm L} \cdot y\hspace{0.05cm}. </math>

Hierbei ist KL = 2/σ2 eine Konstante, die allein von der Streuung der Gaußschen Störung abhängt. 

== Symbolweise Soft–in Soft–out Decodierung ==
 
Wir gehen nun von einem (n, k)–Blockcode aus, wobei das Codewort x = (x1, ... , xn) durch den Kanal in das Empfangswort y = (y1, ... , yn) verfälscht wird. Bei langen Codes ist eine Maximum–a–posteriori–Entscheidung auf Blockebene – kurz: [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.282.29 block–wise MAP] – sehr aufwändig. Man müsste unter den 2k zulässigen Codeworten xj ∈ C dasjenige mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit (englisch: A Posteriori Probability, APP) finden. Das auszugebende Codewort z wäre in diesem Fall

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}j} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}j} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2981 KC T 4 1 S3a v6.png|Modell der symbolweisen Soft–in Soft–out Decodierung|class=fit]] 

Eine zweite Möglichkeit ist die Decodierung auf Bitebene. Der dargestellte symbolweise (oder bitweise) Soft–in Soft–out Decoder hat die Aufgabe, alle Codewortbits xi ∈ {0, 1} entsprechend maximaler Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(xi | y) zu decodieren. Mit der Laufvariablen i = 1, ... , n gilt dabei:

*Der entsprechende L–Wert (englisch: Log Likelihood Ratio, LLR) für das i–te Codebit lautet:

::<math>L_{\rm APP} (i) = L(x_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{y}) =
{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x_i = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{y})}{{\rm Pr}(x_i = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{y})}\hspace{0.05cm} . </math>

*Der Decoder arbeitet iterativ. Bei der Initialisierung (gekennzeichnet durch den Parameter I = 0) ist LAPP(i) = LK(i), wobei das Kanal–LLR LK(i) durch den Empfangswert yi gegeben ist. 

*Berechnet wird zudem der extrinsische L–Wert LE(i), der die gesamte Information quantifiziert, die alle anderen Bits (j ≠ i) aufgrund der Code–Eigenschaften über das betrachtete i–te Bit liefern. 

*Bei der nächsten Iteration (ab I = 1) wird LE(i) bei der Berechnung von LAPP(i) als Apriori–Information LA(i) berücksichtigt. Für das neue Aposteriori–LLR in der Iteration I + 1 gilt somit:

::<math>L_{\hspace{0.1cm}\rm APP}^{(I+1)} (i) = L_{\hspace{0.1cm}\rm APP}^{(I)} (i) + L_{\hspace{0.1cm}\rm A}^{(I+1)} (i) = L_{\hspace{0.1cm}\rm APP}^{(I)} (i) + L_{\hspace{0.1cm}\rm E}^{(I)} (i)\hspace{0.05cm} . </math>

*Die Iterationen werden fortgesetzt, bis alle |LAPP(i)| größer sind als ein vorzugebender Wert. Das wahrscheinlichste Codewort z ergibt sich dann aus den Vorzeichen aller LAPP(i), mit i = 1, ... , n. 

*Bei einem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes_.282.29 systematischen Code] geben die ersten k Bit von z das gesuchte Informationswort an, das mit großer Wahrscheinlichkeit mit der gesendeten Nachricht u übereinstimmen wird. 

Diese Beschreibung des SISO–Decodierers nach [Bos98]<ref>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref> soll in erster Linie die unterschiedlichen L–Werte verdeutlichen. Das große Potential der symbolweisen Decodierung erkennt man allerdings erst im Zusammenhang mit [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen verketteten Codiersystemen.] 

== Zur Berechnung der extrinsischen L–Werte (1) ==
 
Die Schwierigkeit bei der symbolweisen iterativen Decodierung ist im allgemeinen die Bereitstellung der extrinsischen L–Werte LE(i). Bei einem Code der Länge n gilt hierbei für die Laufvariable: i = 1, ... , n. 

{{Definition}}''':''' Der extrinsische L–Wert (englisch: extrinsic LLR) ist ein Maß für die Informationen, den die anderen Symbole (j ≠ i) des Codewortes über das i–te Codesymbol liefern, ausgedrückt als Log–Likelihood–Verhältnis. Wir benennen diesen Kennwert mit LE(i).{{end}} 

Wir berechnen nun die extrinsischen L–Werte LE(i) für zwei beispielhafte Codes. 

Repetition Code ⇒ RC (n, 1, n) 

Ein Wiederholungscode zeichnet sich dadurch aus, dass alle n Codesymbole xi ∈ {0, 1} identisch sind. Der extrinsische L–Wert für das i–ten Symbol ist hier sehr einfach anzugeben und lautet:

:<math>L_{\rm E}(i) = \hspace{0.05cm}\sum_{j \ne i} \hspace{0.1cm} L_j
\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}L_j = L_{\rm APP}(j)
\hspace{0.05cm}.</math>

Ist die Summe über alle Lj≠i positiv, so bedeutet dies aus Sicht der anderen L–Werte eine Präferenz für &bdquo;xi = 0”. Bei negativer Summe ist &bdquo;xi = 1” wahrscheinlicher. LE(i) = 0 erlaubt keine Vorhersage. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten die Decodierung eines Wiederholungscodes (n = 4), wobei gelten soll:
*L = (+1, –1, +3, –1)  ⇒  LE = (+1, +3, –1, +3): LE(1) ist positiv, obwohl zwei der anderen
L–Werte (Mehrheit) negativ sind  ⇒  Präferenz für &bdquo;x1 = 0”. Alle Aposteriori–L–Werte sind
nach einer Iteration positiv  ⇒  Informationsbit ist u = 0. Weitere Iterationen bringen nichts. 

[[File:P ID3094 KC T 4 4 S3a neu v2.png|Decodierbeispiel 1 für den RC (3, 1)|class=fit]] 

*L = (+1, +1, –4, +1)  ⇒  LE = (–2, –2, +3, –2): Alle Aposteriori–L–Werte sind
nach zwei Iterationen negativ  ⇒  Informationsbit ist u = 1  ⇒  zu Beginn waren drei Vorzeichen falsch. 

[[File:P ID3096 KC T 4 4 S3c neu v1.png|Decodierbeispiel 2 für den RC (3, 1)|class=fit]] 

*L = (+1, +1, –3, +1)  ⇒  LE = (–1, –1, +3, –1): Alle Aposteriori–L–Werte sind
nach einer Iteration 0  ⇒  Informationsbit kann nicht decodiert werden. Weitere Iterationen bringen nichts. 

[[File:P ID3095 KC T 4 4 S3b neu v1.png|Decodierbeispiel 3 für den RC (3, 1)|class=fit]]{{end}} 

== Zur Berechnung der extrinsischen L–Werte (2) ==
 
Single Parity–check Code ⇒ SPC (n, n –1, 2)
 

Bei jedem Single Parity–check Code ist die Anzahl der Einsen in jedem Codewort geradzahlig. Oder anders ausgedrückt: Für jedes Codewort x ist das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Gewicht] wH(x) geradzahlig. 

Das Codewort x(–i) beinhalte alle Symbole mit Ausnahme von xi  ⇒  Vektor der Länge n – 1. Damit lautet der extrinsische L–Wert bezüglich dieses i–ten Symbols, wenn x empfangen wurde:

:<math>L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}
\hspace{0.05cm}.</math>

Wie in der Aufgabe A4.4 gezeigt werden soll, kann hierfür auch geschrieben werden:

:<math>L_{\rm E}(i) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.1cm} \left [ \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \right ]
\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}L_j = L_{\rm APP}(j)
\hspace{0.05cm}.</math>

{{Beispiel}}''':''' Wir gehen vom Single Parity–check Code mit n = 3, k = 2  ⇒  kurz SPC (3, 2, 2) aus. Die 2k = 4 gültigen Codeworte x = {x1, x2, x3} lauten bei bipolarer Beschreibung  ⇒  xi ∈ {±1}:

:<math> \underline{x}_0 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm}+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm}+1)\hspace{-0.05cm}, \hspace{0.3cm}
\underline{x}_1 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} -1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} -1)\hspace{-0.05cm}, \hspace{0.3cm}
\underline{x}_2 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (-1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} +1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} -1)\hspace{-0.05cm}, \hspace{0.3cm}
\underline{x}_3 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (-1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} -1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} +1)\hspace{-0.05cm}. </math>

Bei diesem Code ist also das Produkt x1 · x2 · x3 stets positiv. 

[[File:P ID3098 KC T 4 1 S3e v1.png|Decodierbeispiel für den SPC (3, 2)|class=fit]] 

Die Tabelle zeigt den Decodiervorgang für LAPP = (+2.0, +0.4, –1.6). Die harte Entscheidung nach den Vorzeichen von LAPP(i) ergäbe hier (+1, +1, –1), also kein gültiges Codewort des SP(3, 2, 2). 

Rechts sind in der Tabelle die dazugehörigen extrinsischen L–Werte eingetragen: 

:<math>L_{\rm E}(1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm}
\left [ {\rm tanh} (0.2) \cdot {\rm tanh} (-0.8)\hspace{0.05cm}\right ] = -0.131\hspace{0.05cm}, </math>
:<math>L_{\rm E}(2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm}
\left [ {\rm tanh} (1.0) \cdot {\rm tanh} (-0.8)\hspace{0.05cm}\right ] = -0.518\hspace{0.05cm}, </math>
:<math>L_{\rm E}(3) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm}
\left [ {\rm tanh} (1.0) \cdot {\rm tanh} (0.2)\hspace{0.05cm}\right ] = +0.151\hspace{0.05cm}.</math>

Die zweite Gleichung lässt sich wie folgt interpretieren:
*LAPP(1) = +2.0 und LAPP(3) = –1.6 sagen aus, dass Bit 1 eher &bdquo;+1” als &bdquo;–1” ist und Bit 3 eher &bdquo;–1” als &bdquo;+1”. Die Zuverlässigkeit (Betrag) ist beim ersten Bit etwas größer als beim dritten. 

*Die extrinsische Information LE(2) = –0.518 berücksichtigt nur die Informationen von Bit 1 und Bit 3 über Bit 2. Aus deren Sicht ist das zweite Bit eine &bdquo;–1” mit der Zuverlässigkeit 0.518. 

*Der vom Empfangswert y2 abgeleitete L–Wert  ⇒  LAPP(2) = +0.4 hat für das zweite Bit eine &bdquo;+1” vermuten lassen. Die Diskrepanz wird hier bereits in der Iteration I = 1 aufgelöst. 

*Entschieden wird hier für das Codewort x1. Bei 0.518 < LAPP(2) < 1.6 würde das Ergebnis x1 erst nach mehreren Iterationen vorliegen. Für LAPP(2) > 1.6 liefert der Decoder dagegen x0.{{end}} 

== BCJR–Decodierung: Vorwärts–Rückwärts–Algorithmus ==
 
Ein Beispiel für die iterative Decodierung von Faltungscodes ist der BCJR–Algorithmus, benannt nach dessen Erfindern L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek und J. Raviv  ⇒  [BCJR74]<ref>Bahl, L.R.; Cocke, J.; Jelinek, F.; Raviv, J.: ''Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate.'' In: IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-20, S. 284-287, 1974.</ref>. Der Algorithmus weist viele Parallelen zur sieben Jahren älteren Viterbi–Decodierung auf, doch auch signifikante Unterschiede:
*Während Viterbi die Gesamtsequenz schätzt  ⇒  [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.282.29 block–wise Maximum Likelihood,] minimiert der BCJR–Algorithmus die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  ⇒  [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.282.29 bit–wise MAP.] 

*Der Viterbi–Algorithmus kann (in seiner ursprünglichen Form) keine Softinformation verarbeiten. Dagegen gibt der BCJR–Algorithmus bei jeder Iteration für jedes einzelne Symbol (Bit) einen Zuverlässigkeitswert an, der bei späteren Iterationen berücksichtigt wird. 

[[File:P ID3024 KC T 4 1 S5 v2.png|Gegenüberstellung von Viterbi– und BCJR–Algorithmus|class=fit]] 

Die Abbildung soll – fast unzulässig vereinfacht – die unterschiedliche Vorgehensweise von Viterbi–Algorithmus (links) und BCJR–Algorithmus (rechts) verdeutlichen. Zugrunde liegt ein Faltungscode mit dem Gedächtnis m = 1 und der Länge L = 4  ⇒  Gesamtlänge L' = 5 (mit Terminierung).
*Der Viterbi–Algorithmus sucht und findet den wahrscheinlichsten Pfad von Γ0(S0) nach Γ5(S0), nämlich S0 → S1 → S0 → S0 → S1. Wir verweisen auf die Musterlösung zur Aufgabe Z3.9. 

Die Skizze für den BCJR–Algorithmus verdeutlicht die Gewinnung des extrinsischen L–Wertes für das dritte Symbol  ⇒  LE(3). Der relevante Bereich im Trellis ist schraffiert:
*Bei der Abarbeitung des Trellisdiagramms in Vorwärtsrichtung gewinnt man – in gleicher Weise wie bei Viterbi – die Metriken α1, α2, ... α5. Zur Berechnung von LE(3) benötigt man hiervon α2. 

*Anschließend durchläuft man das Trellisdiagramm rückwärts (also von rechts nach links) und erhält damit die Metriken β4, β3, .... , β0 entsprechend der unteren Skizze. 

*Der gesuchte extrinsische L–Wert LE(3) ergibt sich aus den Metriken α2 (in Vorwärtsrichtung) und β3 (in Rückwärtsrichtung) sowie der Apriori–Information γ3 über das Symbol i = 3. 

== Grundstruktur von verketteten Codiersystemen ==
 
Die wichtigsten Kommunikationssysteme der letzten Jahre verwenden zwei unterschiedliche Kanalcodes. Man spricht dann von verketteten Codiersystemen (englisch: Concatenated Codes). Auch bei relativ kurzen Komponentencodes C1 und C2 ergibt sich für den verketteten Code C eine hinreichend große Codewortlänge n, die ja bekanntlich erforderlich ist, um sich der Kanalkapazität anzunähern. 

Zunächst seien einige Beispiele aus dem Mobilfunk genannt:
*Bei GSM (Global System for Mobile Communications, zweite Mobilfunkgeneration) wird zunächst die Datenbitrate von 9.6 kbit/s auf 12 kbit/s erhöht, um auch in leitungsvermittelten Netzen eine Fehlererkennung zu ermöglichen. Anschließend folgt ein punktierter Faltungscode mit der Ausgangsbitrate 22.8 kbit/s. Die Gesamtcoderate beträgt somit etwa 42.1%.

*Beim 3G–Mobilfunksystem UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) verwendet man je nach den Randbedingungen (guter/schlechter Kanal, wenige/viele Teilnehmer in der Zelle) einen Faltungscode oder einen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes_.281.29 Turbocode] (darunter versteht man per se die Verkettung zweier Faltungscodierer). Beim 4G–Mobilfunksystem LTE (Long Term Evolution) verwendet man für kurze Kontrollsignale einen Faltungscode und für die längeren Payload-Daten einen Turbocode. 

[[File:P ID2998 KC T 4 1 S6 v1.png|Parallel verkettetes Codiersystem|class=fit]] 

Die Grafik zeigt die Grundstruktur eines parallel verketteten Codiersystems. Alle Vektoren bestehen aus n Elementen: L = (L(1), ... , L(n)). Die Berechnung aller L–Werte geschieht also auf Symbolebene. Nicht dargestellt ist hier der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving Interleaver,] der zum Beispiel bei den Turbocodes obligatorisch ist.
*Die Codesequenzen x1 und x2 werden zur gemeinsamen Übertragung über den Kanal durch einen Multiplexer zum Vektor x zusammengefügt. Am Empfänger wird die Sequenz y wieder in die Einzelteile y1 und y2 zerlegt. Daraus werden die Kanal–L–Werte LK,1 und LK,2 gebildet. 

*Der symbolweise Decoder ermittelt entsprechend der vorne beschriebenen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte_.281.29 Vorgehensweise] die extrinsischen L–Werte LE,1 und LE,2, die gleichzeitig die Apriori–Informationen LA,2 und LA,1 für den jeweils anderen Decoder darstellen. 

*Nach ausreichend vielen Iterationen (also dann, wenn ein Abbruchkriterium erfüllt ist) liegt am Decoderausgang der Vektor der Aposteriori–Werte  ⇒  LAPP an. Im Beispiel wird willkürlich der Wert im oberen Zweig genommen. Möglich wäre aber auch der untere L–Wert. 

Das obige Modell gilt insbesondere auch für die Decodierung der Turbo–Codes gemäß [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes_.281.29 Kapitel 4.3.] 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:4.1 Zum „Log Likelihood Ratio”|A4.1 Zum „Log Likelihood Ratio”]]

[[Zusatzaufgaben:4.1 L–Werte des BEC–Modells]]

[[Aufgaben:4.2 Kanal–LLR bei AWGN|A4.2 Kanal–LLR bei AWGN]]

[[Aufgaben:4.3 Iterative Decodierung beim BSC|A4.3 Iterative Decodierung beim BSC]]

[[Zusatzaufgaben:4.3 Umrechnung von L–Wert und S–Wert]]

[[Aufgaben:4.4 Extrinsische L–Werte beim SPC|A4.4 Extrinsische L–Werte beim SPC]]

[[Zusatzaufgaben:4.4 Ergänzung zur Aufgabe A4.4]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Distance Characteristics and Error Probability Bounds

2017-01-24T21:20:58Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Faltungscodierung und geeignete Decoder
|Vorherige Seite=Decodierung von Faltungscodes
|Nächste Seite=Soft–in Soft–out Decoder
}}

== Freie Distanz vs. Minimale Distanz ==
 
Eine äußerst wichtige Kenngröße hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit eines linearen Blockcodes ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten:

:<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =
\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')
=
\min_{\substack{\underline{x} \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{0}}}\hspace{0.1cm}w_{\rm H}(\underline{x})
\hspace{0.05cm}.</math>

Der zweite Gleichungsteil ergibt sich aus der Tatsache, dass jeder lineare Code auch das Nullwort (0) beinhaltet. Zweckmäßigerweise setzt man deshalb x' = 0, so dass die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] dH(x, 0) das gleiche Ergebnis liefert wie das Hamming–Gewicht wH(x). 

{{Beispiel}}''':''' Beispiel: Die nachfolgende Tabelle zeigt die 16 Codeworte des [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes (7, 4, 3)–Hamming–Codes.] 

[[File:P ID2684 KC T 3 5 S1 neu.png|Codewort des (7, 4, 3)–Hamming–Codes|class=fit]] 

Alle Codeworte außer dem Nullwort (0) beinhalten mindestens drei Einsen ⇒  dmin = 3. Es gibt sieben Codeworte mit drei Einsen, sieben mit vier Einsen und je eines ohne Einsen bzw. mit sieben Einsen.{{end}} 

Die freie Distanz dF eines Faltungscodes (Convolution Code ⇒ CC) unterscheidet sich formelmäßig nicht von der minimalen Distanz eines linearen Blockcodes:

:<math>d_{\rm F}(\mathcal{CC}) =
\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{CC} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')
=
\min_{\substack{\underline{x} \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{CC} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{0}}}\hspace{0.1cm}w_{\rm H}(\underline{x})
\hspace{0.05cm}.</math>

In der Literatur wird anstelle von dF teilweise auch d∞ verwendet.
*Wesentlicher Unterschied zur minimalen Distanz ist, dass bei Faltungscodes nicht Informations– und Codeworte zu betrachten sind, sondern Sequenzen mit der Eigenschaft [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Voraussetzungen_und_Definitionen semi–infinite.] 

*Jede Codesequenz x beschreibt einen Pfad durch das Trellis. Die freie Distanz ist dabei das kleinstmögliche Hamming–Gewicht eines solchen Pfades (mit Ausnahme des Nullpfades). 

[[File:P ID2685 KC T 3 5 S1c v1.png|Einige Pfade mit w(x) = dF|class=fit]] 

Die Grafik zeigt drei der unendlich vielen Pfade mit dem minimalen Hamming–Gewicht wH(x) = dF = 5. 

== Pfadgewichtsfunktion (1) ==
 
Für jeden linearen Blockcode lässt sich wegen der endlichen Anzahl an Codeworten x in einfacher Weise eine Gewichtsfunktion angeben. Für das Beispiel auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Freie_Distanz_vs._Minimale_Distanz letzten Seite] lautet diese:

:<math>W(X) = 1 + 7 \cdot X^{3} + 7 \cdot X^{4} + X^{7}\hspace{0.05cm}.</math>

Bei einem (nicht terminierten) Faltungscode kann keine solche Gewichtsfunktion angegegeben werden, da es unendlich viele, unendlich lange Codesequenzen x gibt, und damit auch unendlich viele Trellispfade. Um dieses Problem in den Griff zu bekommen, gehen wir nun von folgenden Voraussetzungen aus:
*Als Bezugsgröße für das Trellisdiagramm wählen wir stets den Pfad der Codesequenz x = 0 und nennen diesen den Nullpfad φ0. 

*Desweiteren betrachten wir nur noch solche Pfade φj ∈ Φ, die alle zu einer vorgegebenen Zeit t vom Nullpfad abweichen und irgendwann wieder zu diesem zurückkehren. 

Obwohl nur ein Bruchteil aller Trellispfade zu dieser Menge Φ gehören, beinhaltet Φ = {φ1, φ2, φ3, ...} noch immer eine unbegrenzte Menge an Pfaden. φ0 gehört nicht zu dieser Menge. 

[[File:P ID2686 KC T 3 5 S2a v1.png|Einige Pfade und ihre Pfadgewichte|class=fit]] 

Im obigen Trellis sind einige Pfade φj ∈ Φ eingezeichnet:
*Der gelbe Pfad φ1 gehört zur Sequenz x1 = (11, 10, 11) mit dem Hamming–Gewicht wH(x1) = 5. Damit ist auch das Pfadgewicht w(φ1) = 5. Aufgrund der Festlegung des Abzweigzeitpunktes t hat nur noch dieser einzige Pfad φ1 die freie Distanz dF = 5 zum Nullpfad  ⇒  A5 = 1. 

*Für die beiden grünen Pfade mit den korrespondierenden Sequenzen x2 = (11, 01, 01, 11) bzw. x3 = (11, 10, 00, 10, 11) gilt w(φ2) = w(φ3) = 6. Kein anderer Pfad weist das Pfadgewicht 6 auf. Wir berücksichtigen diese Tatsache durch den Koeffizienten A6 = 2. 

*Eingezeichnet ist auch der graue Pfad φ4, assoziiert mit der Sequenz x4 = (11, 01, 10, 01, 11)  ⇒  w(φ4) = 7. Auch die Sequenzen x5 = (11, 01, 01, 00, 10, 11), x6 = (11, 10, 00, 01, 01, 11) und x7 = (11, 10, 00, 10, 00, 10, 11) weisen jeweils das gleiche Pfadgewicht 7 auf  ⇒  A7 = 4. 

Damit lautet die Pfadgewichtsfunktion (englisch: Path Weight Enumerator Function, PWEF):

:<math>T(X) = A_5 \cdot X^5 + A_6 \cdot X^6 + A_7 \cdot X^7 + ... \hspace{0.1cm}= X^5 + 2 \cdot X^6 + 4 \cdot X^7+ ... \hspace{0.1cm}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die Definition dieser Funktion T(X) wird auf der nächsten Seite nachgeliefert. 

== Pfadgewichtsfunktion (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Für die Pfadgewichtsfunktion (englisch: Path Weight Enumerator Function, PWEF) eines Faltungscodes gilt:

:<math>T(X) = \sum_{\varphi_j \in {\it \Phi}}\hspace{0.1cm} X^{w(\varphi_j)} \hspace{0.1cm}=\hspace{0.1cm} \sum_{w = d_{\rm F}}^{\infty}\hspace{0.1cm} A_w \cdot X^w
\hspace{0.05cm}.</math>

*Φ bezeichnet die Menge aller Pfade an, die den Nullpfad φ0 genau zum festgelegten Zeitpunkt t verlassen und (irgendwann) später zu diesem zurückkehren. 

*Gemäß der zweiten Gleichung sind die Summanden nach ihren Pfadgewichten w geordnet, wobei Aw die Anzahl der Pfade mit Pfadgewicht w bezeichnet. Die Summe beginnt mit w = dF. 

*Das Pfadgewicht w(φj) ist gleich dem Hamming–Gewicht (also der Anzahl der Einsen) der zum Pfad φj assoziierten Codesequenz xj:

::<math>w({\varphi_j) = w_{\rm H}(\underline {x}}_j)
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Hinweis: Die für die linearen Blockcodes definierte Gewichtsfunktion W(X) und die hier
definierte Pfadgewichtsfunktion T(X) weisen viele Gemeinsamkeiten auf, sie sind jedoch nicht identisch. 

Betrachten wir nochmals die Gewichtsfunktion

:<math>W(X) = 1 + 7 \cdot X^{3} + 7 \cdot X^{4} + X^{7}</math>

des (7, 4, 3)–Hamming–Codes und die Pfadgewichtsfunktion

:<math>T(X) = X^5 + 2 \cdot X^6 + 4 \cdot X^7+ 8 \cdot X^8+ ... </math>

unseres Standard–Faltungscodierers, so fällt die &bdquo;1” in der ersten Gleichung auf. Das heißt: Bei den linearen Blockcodes wird das Bezugs–Codewort xi = 0 mitgezählt, wohingegen die Nullcodesequenz xi = 0 bzw. der Nullpfad φ0 bei den Faltungscodes ausgeschlossen wird. Nach Ansicht der Autoren hätte man auch W(X) ohne die &bdquo;1” definieren können. Damit wäre unter anderem vermieden worden, dass sich die Bhattacharyya–Schranke für lineare Blockcodes und für Faltungscodes durch &bdquo;–1” unterscheiden, wie aus den folgenden Gleichungen hervorgeht: 

[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya_.281.29 Bhattacharyya–Schranke für die linearen Blockcodes:]

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1
\hspace{0.05cm},</math>

[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Burstfehlerwahrscheinlichkeit_und_Bhattacharyya.E2.80.93Schranke_.282.29 Bhattacharyya–Schranke für die Faltungscodes:]

:<math>{\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta)
\hspace{0.05cm},</math>

Die Pfadgewichtsfunktion T(X) liefert nur Informationen hinsichtlich der Gewichte der Codesequenz x. Mehr Informationen erhält man, wenn zusätzlich auch die Gewichte der Informationssequenz u erfasst werden. Man benötigt dann zwei Formalparameter X und U, wie aus der Definition auf der folgenden Seite hervorgeht. 

== Erweiterte Pfadgewichtsfunktion ==
 
{{Definition}}''':''' Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion (englisch: Enhanced Path Weight Enumerator Function, EPWEF) lautet:

:<math>T_{\rm enh}(X, U) = \sum_{\varphi_j \in {\it \Phi}}\hspace{0.1cm} X^{w(\varphi_j)} \cdot U^{{ u}(\varphi_j)} \hspace{0.1cm}=\hspace{0.1cm} \sum_{w} \sum_{u}\hspace{0.1cm} A_{w, \hspace{0.05cm}u} \cdot X^w \cdot U^{u}
\hspace{0.05cm}.</math>

Es gelten alle Angaben der Definition von T(X) auf der letzten Seite. Zusätzlich ist zu beachten:
*Das Pfadeingangsgewicht u(φj) ist gleich dem Hamming–Gewicht der zum Pfad φj assoziierten Informationssequenz uj. Es wird als Potenz des Formalparameters U ausgedrückt. 

*Der Koeffizient Aw, u bezeichnet die Anzahl der Pfade φj mit dem Pfadausgangsgewicht w(φj) und dem Pfadeingangsgewicht u(φj). Als Laufvariable für den zweiten Anteil wird u verwendet. 

*Setzt man in der erweiterten Pfadgewichtsfunktion den Formalparameter U = 1, so ergibt sich die ursprüngliche Gewichtsfunktion T(X) gemäß der Definition auf der letzten Seite. 

Bei vielen (und allen relevanten) Faltungscodes lässt sich obere Gleichung noch vereinfachen:

:<math>T_{\rm enh}(X, U) =\hspace{0.1cm} \sum_{w = d_{\rm F}}^{\infty}\hspace{0.1cm} A_w \cdot X^w \cdot U^{u}
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion unseres Standardcodieres lautet somit:

:<math>T_{\rm enh}(X, U) = U \cdot X^5 + 2 \cdot U^2 \cdot X^6 + 4 \cdot U^3 \cdot X^7+ ... \hspace{0.1cm}
\hspace{0.05cm}.</math>

Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem unten dargestellten Trellis, so erkennt man:
*Der gelb hinterlegte Pfad – gekennzeichnet durch X 5 – setzt sich aus einem blauen Pfeil (ui = 1) und zwei roten Pfeilen (ui = 0) zusammen. Somit wird aus X 5 der erweiterte Term UX 5. 

*Die Sequenzen der beiden grünen Pfade sind u2 = (1, 1, 0, 0)  ⇒  x2 = (11, 01, 01, 11) sowie u3 = (1, 0, 1, 0, 0)  ⇒  x3 = (11, 10, 00, 10, 11). Daraus ergibt sich der zweite Term 2 · U 2X 6. 

*Der graue Pfad (und die drei nicht gezeichneten Pfade) ergeben zusammen den Beitrag 4 · U 3X 7. Jeder dieser Pfade beinhaltet drei blaue Pfeile  ⇒  drei Einsen in jeder Informationssequenz. 

[[File:P ID2702 KC T 3 5 S2a v1.png|Einige Pfade und ihre Pfadgewichte|class=fit]] 

== Pfadgewichtsfunktion aus Zustandsübergangsdiagramm (1) ==
 
Es gibt eine elegante Methode, um die Pfadgewichtsfunktion T(X) und deren Erweiterung direkt aus dem Zustandsübergangsdiagramm zu bestimmen. Dies soll hier und auf den folgenden Seiten am Beispiel unseres [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister_.281.29 Standardcodes] demonstriert werden. 

Zunächst muss dazu das Zustandsübergangsdiagramm umgezeichnet werden. Die Grafik zeigt dieses links in der bisherigen Form als Diagramm (A), während rechts das neue Diagramm (B) angegeben ist. 

[[File:P ID2688 KC T 3 5 S3b1 v2.png|Zustandsübergangsdiagramm in zwei verschiedenen Varianten|class=fit]] 

Man erkennt:
*Der Zustand S0 wird aufgespalten in den Startzustand S0 und den Endzustand S0'. Damit lassen sich alle Pfade des Trellisdiagramms, die im Zustand S0 beginnen und irgendwann zu diesem zurückkehren, auch im rechten Graphen (B) nachvollziehen. Ausgeschlossen sind dagegen direkte Übergänge von S0 nach S0′ und damit auch der Nullpfad (Dauer–S0). 

*Im Diagramm (A) sind die Übergänge anhand der Farben Rot (für ui = 0) und Blau (für ui = 1) unterscheidbar, und die Codeworte xi ∈ {00, 01, 10, 11} sind an den Übergängen vermerkt. Im neuen Diagramm (B) werden (00) durch X 0 = 1 und (11) durch X 2 ausgedrückt. Die Codeworte (01) und (10) sind nun nicht mehr unterscheidbar, sondern werden einheitlich mit X bezeichnet. 

*Anders formuliert: Das Codewort xi wird nun als X w dargestellt, wobei X eine dem Ausgang (der Codesequenz) zugeordnete Dummy–Variable ist und w = wH(xi) das Hamming–Gewicht des Codewortes xi angibt. Bei einem Rate–1/2–Code ist der Exponent w entweder 0, 1 oder 2. 

*Ebenfalls verzichtet wird im Diagramm (B) auf die Farbcodierung. Das Informationsbit ui = 1 wird nun durch U 1 = U und das Informationsbit ui = 0 durch U 0 = 1 gekennzeichnet. Die Dummy–Variable U ist also der Eingangssequenz u zugeordnet. 

Die Beschreibung wird auf den nächsten Seiten fortgesetzt. 

== Pfadgewichtsfunktion aus Zustandsübergangsdiagramm (2) ==
 
Ziel unserer Berechnungen wird es sein, den (beliebig komplizierten) Weg von S0 nach S0' durch die erweiterte Pfadgewichtsfunktion Tenh(X, U) zu charakterisieren. Dazu benötigen wir Regeln, um den Graphen schrittweise vereinfachen zu können. 

[[File:P ID2689 KC T 3 5 S3b1.png|rahmenlos|rechts|Zusammenfassung zweier serieller Übergänge]]

Serielle Übergänge 

Zwei serielle Verbindungen – gekennzeichnet durch A(X, U) und B(X, U) – können durch eine einzige Verbindung mit dem Produkt dieser Bewertungen ersetzt werden. 

[[File:P ID2690 KC T 3 5 S3b2.png|rahmenlos|rechts|Zusammenfassung zweier paralleler Übergänge]]

Parallele Übergänge 
Zwei parallele Verbindungen werden durch die Summe ihrer Bewertungsfunktionen zusammengefasst.
 

[[File:P ID2691 KC T 3 5 S3b3.png|rahmenlos|rechts|Reduzierung eines Rings]]
Ring
Die nebenstehende Konstellation kann durch eine einzige Verbindung ersetzt werden, wobei für die Ersetzung gilt:

:<math>E(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)}
\hspace{0.05cm}.</math> 

[[File:P ID2692 KC T 3 5 S3b4.png|rahmenlos|rechts|Reduzierung einer Rückkopplung ]]

Rückkopplung 
Durch die Rückkopplung können sich hier zwei Zustände beliebig oft abwechseln. Für diese Konstellation gilt:

:<math>F(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)\cdot C(X, U)}{1- C(X, U)\cdot D(X, U)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die hier angegebenen Gleichungen für Ring und Rückkopplung sind in Aufgabe Z3.12 zu beweisen. 

== Pfadgewichtsfunktion aus Zustandsübergangsdiagramm (3) ==
 
Die auf der letzten Seite genannten Regeln sollen nun auf unser Standardbeispiel angewendet werden. In der unteren Grafik sehen Sie links das modifizierte Zustandsübergangsdiagramm (B).
*Zunächst ersetzen wir den rot hinterlegten Umweg von S1 nach S2 über S3 im Diagramm (B) durch die im Diagramm (C) eingezeichnete rote Verbindung. Es handelt sich nach der Klassifizierung auf der letzten Seite um einen &bdquo;Ring” mit den Beschriftungen A = C = U · X und B = X, und wir erhalten die erste Reduktionsfunktion:

::<math>T_1(X, U) = \frac{U \cdot X^2}{1- U \cdot X}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Nun fassen wir die parallelen Verbindungen entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm (C) zusammen und ersetzen diese durch die blaue Verbindung im Diagramm (D). Die zweite Reduktionsfunktion lautet somit:

::<math>T_2(X, U) = T_1(X, U) + X = \frac{U X^2 + X \cdot (1-UX)}{1- U X} = \frac{X}{1- U X}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Der gesamte Graph (D) kann somit durch eine einzige Verbindung von S0 nach S0' ersetzt werden. Nach der Rückkopplungsregel erhält man für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion:

::<math>T_{\rm enh}(X, U) = \frac{(U X^2) \cdot X^2 \cdot \frac{X}{1- U X}}{1- U \cdot \frac{X}{1- U X}} = \frac{U X^5}{1- U X- U X} = \frac{U X^5}{1- 2 \cdot U X}
\hspace{0.05cm}.</math>

Mit der Reihenentwicklung 1/(1 – x) = 1 + x + x2 + x3 + ... lässt sich hierfür auch schreiben:

:<math>T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + 2 \hspace{0.05cm}UX + (2 \hspace{0.05cm}UX)^2 + (2 \hspace{0.05cm}UX)^3 + ... \hspace{0.05cm} \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2695 KC T 3 5 S3a v2.png|Zur Reduktion der Zustandsübergänge|class=fit]] 

Setzt man die formale Input–Variable U = 1, so erhält man die &bdquo;einfache” Pfadgewichtsfunktion, die allein Aussagen über die Gewichtsverteilung der Ausgangssequenz x erlaubt:

:<math>T(X) = X^5 \cdot \left [ 1 + 2 X + 4 X^2 + 8 X^3 + ... \hspace{0.05cm} \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Das gleiche Ergebnis haben wir bereits aus dem Trellisdiagramm auf [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Pfadgewichtsfunktion_.281.29 Seite 2a] abgelesen. Dort gab es einen grauen Pfad mit Gewicht 5, zwei gelbe Pfade mit Gewicht 6 und vier grüne Pfade mit Gewicht 7. 

== Burstfehlerwahrscheinlichkeit und Bhattacharyya–Schranke (1) ==
 
Das folgende einfache Modell gilt sowohl für lineare Blockcodes als auch für Faltungscodes. 

[[File:P ID2705 KC T 3 5 S5 v1.png|Einfaches Übertragungsmodell inklusive Codierung/Decodierung|class=fit]] 

Bei den Blockcodes bezeichnen u = (u1, ..., ui, ..., uk) und υ = (υ1, ..., υi, ..., υk) die Informationsblöcke am Eingang und Ausgang des Systems. Damit können folgende Beschreibungsgrößen definiert werden:
*die Blockfehlerwahrscheinlichkeit Pr(υ ≠ u), 

*die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pr(υi ≠ ui). 

Bei realen Übertragungssystemen ist aufgrund des thermischen Rauschens die Bitfehlerwahrscheinlichkeit stets größer als 0. Weiter gilt:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} > {\rm Pr(Bitfehler)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierfür ein einfacher Erklärungsversuch: Entscheidet der Decoder in jedem Block der Länge k Bit genau ein Bit falsch, so beträgt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit = 1/k und die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist 1. 

Bei Faltungscodes ist dagegen die Blockfehlerwahrscheinlichkeit nicht angebbar, da hier u = (u1, u2, ...) und υ = (υ1, υ2, ...) Sequenzen darstellen. Selbst der kleinstmögliche Codeparameter k = 1 führt hier zur Sequenzlänge k′ → ∞, und die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergäbe sich stets zu 1, selbst wenn die Bitfehlerwahrscheinlichkeit extrem klein (aber ≠ 0) ist. 

[[File:P ID2706 KC T 3 5 S5b v1.png|Nullpfad φ0 und Abweichungspfade φi|class=fit]] 

Deshalb definieren wir bei Faltungscodes stattdessen die Burstfehlerwahrscheinlichkeit:

:<math>{\rm Pr(Burstfehler)} = {\rm Pr}\big \{{\rm Decoder\hspace{0.15cm} verl\ddot{a}sst\hspace{0.15cm} zur\hspace{0.15cm} Zeit}\hspace{0.15cm}t \hspace{0.15cm}{\rm den \hspace{0.15cm}korrekten \hspace{0.15cm}Pfad}\big \}
\hspace{0.05cm}.</math>

Um für die folgende Herleitung die Schreibweise zu vereinfachen, gehen wir stets von der Nullsequenz (0) aus, die im gezeichneten Trellis als Nullpfad φ0 rot dargestellt ist. Alle anderen eingezeichneten Pfade φ1, φ2, φ3, ... (und noch viele mehr) verlassen φ0 zur Zeit t. Sie alle gehören zur Pfadmenge Φ  ⇒  &bdquo;Viterbi–Decoder verlässt den korrekten Pfad zur Zeit t”, deren Wahrscheinlichkeit auf der nächsten Seite berechnet werden soll. 

== Burstfehlerwahrscheinlichkeit und Bhattacharyya–Schranke (2) ==
 
Wir gehen wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit Kapitel 1.6] von der paarweisen Fehlerwahrscheinlichkeit Pr[φ0 → φi] aus, dass vom Decoder anstelle des Pfades φ0 der Pfad φi ausgewählt werden könnte. Alle betrachteten Pfade φi haben gemein, dass sie den Nullpfad φ0 zum Zeitpunkt t verlassen; sie gehören alle zur Pfadmenge Φ. 

[[File:P ID2707 KC T 3 5 S5c v1.png|Zur Berechnung der Burstfehlerwahrscheinlichkeit|class=fit]] 

Die gesuchte Burstfehlerwahrscheinlichkeit ist gleich der folgenden Vereinigungsmenge:

:<math>{\rm Pr(Burstfehler)}= {\rm Pr}\left ([\varphi_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \varphi_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\varphi_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \varphi_{\hspace{0.02cm}2}]\hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} \right )= {\rm Pr} \left ( \cup_{\varphi_{\hspace{0.02cm}i} \in {\it \Phi}} \hspace{0.15cm} [\varphi_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \varphi_{\hspace{0.02cm}i}] \right )\hspace{0.05cm}.</math>

Eine obere Schranke hierfür bietet die so genannte [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit Union–Bound] entsprechend Kapitel 1.6:

:<math>{\rm Pr(Burstfehler)} \le \sum_{\varphi_{\hspace{0.02cm}i} \in {\it \Phi}}\hspace{0.15cm}
{\rm Pr}\left [\varphi_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \varphi_{\hspace{0.02cm}i}\right ] = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit kann mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya_.281.29 Bhattacharyya–Schranke] abgeschätzt werden:

:<math>{\rm Pr}\left [\underline {0} \mapsto \underline {x}_{\hspace{0.02cm}i}\right ]
\le \beta^{w_{\rm H}({x}_{\hspace{0.02cm}i})}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
{\rm Pr}\left [\varphi_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \varphi_{\hspace{0.02cm}i}\right ]
\le
\hspace{0.05cm} \beta^{w(\varphi_i)}\hspace{0.05cm}.</math>

wH(xi) bezeichnet das Hamming–Gewicht der möglichen Codesequenz xi, w(φi) das Pfadgewicht des entsprechenden Pfades φi ∈ Φ und β den so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya_.281.29 Bhattacharyya–Kanalparameter.] 

Durch Summation über alle Pfade und einen Vergleich mit der (einfachen) [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Pfadgewichtsfunktion_.282.29 Pfadgewichtsfunktion] T(X) erhalten wir das Ergebnis:

:<math>{\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta),\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
T(X) = \sum_{\varphi_{\hspace{0.02cm}i} \in {\it \Phi}}\hspace{0.15cm}
\hspace{0.05cm} X^{w(\varphi_i)}\hspace{0.05cm}.</math> 

{{Beispiel}}''':''' Für unseren Standardcodierer  ⇒  R = 1/2, m = 2, G(D) = (1 + D + D2, 1 + D) haben wir folgende Pfadgewichtsfunktion erhalten, siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Pfadgewichtsfunktion_.281.29 Theorieteil, Seite 2a:]

:<math>T(X) = X^5 + 2 \cdot X^6 + 4 \cdot X^7 + ... \hspace{0.1cm}
= X^5 \cdot ( 1 + 2 \cdot X + 4 \cdot X^2+ ... \hspace{0.1cm})
\hspace{0.05cm}.</math>

Mit der Reihenentwicklung 1/(1 – x) = 1 + x + x2 + x3 + ... kann hierfür auch geschrieben werden:

:<math>T(X) = \frac{X^5}{1-2 \cdot X}
\hspace{0.05cm}.</math>

Das BSC–Modell liefert mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε folgende Bhattacharyya–Schranke:

:<math>{\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta) = T( X = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1-\varepsilon)})
= \frac{(2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1-\varepsilon)})^5}{1- 4\cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1-\varepsilon)}}\hspace{0.05cm}.</math>

In Aufgabe A3.14 soll diese Gleichung numerisch ausgewertet werden.{{end}} 

== Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Viterbi–Schranke (1) ==
 
Abschließend wird eine obere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit angegeben. Entsprechend der Grafik gehen wir wie [Liv10] von folgenden Gegebenheiten aus: 

[[File:P ID2715 KC T 3 5 S6a v1.png|Zur Definition der Beschreibungsgrößen L, N und H|class=fit]] 

*Gesendet wurde die Nullsequenz x = 0  ⇒  Pfad φ0. 

*Die Dauer einer Pfadabweichung (englisch: Error Burst Duration) wird mit L bezeichnet. 

*Den Abstand zweier Bursts (englisch: Inter–Burst Time) nennen wir N. 

*Das Hamming–Gewicht des Fehlerbündels sei H. 

Für einen Rate–1/n–Faltungscode ⇒ k = 1, also einem Informationsbit pro Takt, lässt sich aus den Erwartungswerten E[L], E[N] und E[H] der oben definierten Zufallsgrößen eine obere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit angeben:

:<math>{\rm Pr(Bitfehler)} = \frac{{\rm E}[H]}{{\rm E}[L] + {\rm E}[N]}\hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} \frac{{\rm E}[H]}{{\rm E}[N]}
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei ist vorausgesetzt, dass die (mittlere) Dauer eines Fehlerbündels in der Praxis sehr viel kleiner ist als der zu erwartende Abstand zweier Bündel. Weiter kann gezeigt werden, dass die mittlere Inter–Burst Time E[N] gleich dem Kehrwert der Burstfehlerwahrscheinlichkeit ist, während der Erwartungswert im Zähler wie folgt abgeschätzt:

:<math>{\rm E}[H] \le \frac{1}{\rm Pr(Burstfehler)}\hspace{0.1cm} \cdot \sum_{\varphi_{\hspace{0.02cm}i} \in {\it \Phi}}\hspace{0.05cm}
\hspace{0.05cm} u(\varphi_i) \cdot \beta^{w(\varphi_i)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Bei der Herleitung dieser Schranke in [Liv10] werden die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit Pr[φ0 → φi] sowie die Bhattacharyya–Abschätzung verwendet. Damit erhält man mit
*dem Pfadeingangsgewicht u(φi), 

*dem Pfadausgangsgewicht w(φi), 

*dem Bhattacharyya–Parameter β. 

die folgende Abschätzung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

:<math>{\rm Pr(Bitfehler)} \hspace{0.05cm} \le \sum_{\varphi_{\hspace{0.02cm}i} \in {\it \Phi}}\hspace{0.05cm}
\hspace{0.01cm} u(\varphi_i) \cdot \beta^{w(\varphi_i)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Man nennt diese Abschätzung die Viterbi–Schranke. 

== Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Viterbi–Schranke (2) ==
 
Wir erinnern uns an die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Erweiterte_Pfadgewichtsfunktion erweiterte Pfadgewichtsfunktion]

:<math>T_{\rm enh}(X, U) = \sum_{\varphi_j \in {\it \Phi}}\hspace{0.1cm} X^{w(\varphi_j)} \cdot U^{{ u}(\varphi_j)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Leitet man diese Funktion nach der Dummy–Eingangsvariablen U ab, so erhält man

:<math>\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) = \sum_{\varphi_j \in {\it \Phi}}\hspace{0.1cm} { u}(\varphi_j) \cdot X^{w(\varphi_j)} \cdot U^{{ u}(\varphi_j)-1}
\hspace{0.05cm}.</math>

Schließlich setzen wir noch für die Dummy–Eingangsvariablen U = 1:

:<math>\left [ \frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{ U=1}} = \sum_{\varphi_j \in {\it \Phi}}\hspace{0.1cm} { u}(\varphi_j) \cdot X^{w(\varphi_j)} \hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt den Zusammenhang zum Ergebnis der letzten Seite. 

Zusammenfassung: Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines Faltungscodes kann mit der erweiterten Pfadgewichtsfunktion in geschlossener Form abgeschätzt werden:

:<math>{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1}}
\hspace{0.05cm}.</math>

Man spricht von der Viterbi–Schranke. Dabei leitet man die erweiterte Pfadgewichtsfunktion nach dem zweiten Parameter U ab und setzt dann X = β und U = 1. 

[[File:P ID2716 KC T 3 5 S6b v2.png|AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Faltungscodes|rechts|rahmenlos]] 

In Aufgabe A3.14 werden
*die Viterbi–Schranke und 
*die Bhattacharyya–Schranke 

für unseren Rate–1/2–Standardcode sowie das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] numerisch ausgewertet.
*Die roten Kreise kennzeichnen die Bitfehlerrate für den gleichen Code (m = 2) beim [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal.] 

*Die grünen Kreuze markieren einen Faltungscode mit m = 6, den man oft [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz_.282.29 Industriestandardcode] nennt. 

Die Grafik verdeutlicht die gute Korrekturfähigkeit der Faltungscodes. Insbesondere Codes mit großem Gedächtnis m führen zu großen Gewinnen gegenüber uncodierter Übertragung (gestrichelte Kurve). 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.12 Pfadgewichtsfunktion|A3.12 Pfadgewichtsfunktion]]

[[Zusatzaufgaben:3.12 Ring und Rückkopplung]]

[[Aufgaben:3.13 Nochmals Tenh(X, U) und T(X)|A3.13 Nochmals Tenh(X, U) und T(X)]]

[[Aufgaben:3.14 Faltungscodes: Schranken|A3.14 Faltungscodes: Schranken]]

{{Display}}

Channel Coding/Decoding of Convolutional Codes

2017-01-24T21:04:45Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Faltungscodierung und geeignete Decoder
|Vorherige Seite=Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm
|Nächste Seite=Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken
}}

== Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 
Ein wesentlicher Vorteil der Faltungscodierung ist, dass es hierfür mit dem Viterbi–Algorithmus ein sehr effizientes Decodierverfahren gibt. Dieser von Andrew J. Viterbi entwickelte Algorithmus wurde bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_f.C3.BCr_Kapitel_3.8_.281.29 Kapitel 3.8] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” im Hinblick auf seinen Einsatz zur Entzerrung im Detail beschrieben. Für seinen Einsatz als Faltungsdecodierer gehen wir von folgendem Blockschaltbild und den folgenden Voraussetzungen aus: 

[[File:P ID2651 KC T 3 4 S1 v1.png|Systemmodell zur Beschreibung der Decodierung von Faltungscodes|class=fit]] 
*Die Informationssequenz u = (u1, u2, ...) ist hier im Gegensatz zur Beschreibung der linearen Blockcodes ⇒ [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.5] oder von Reed–Solomon–Codes ⇒ [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Kapitel 2.4] im allgemeinen unendlich lang (&bdquo;semi–infinite”). Für die Informationssymbole gilt stets ui ∈ {0, 1}. 

*Die Codesequenz x = (x1, x2, ...) mit xi ∈ {0, 1} hängt außer von u auch noch von der Coderate R = 1/n, dem Gedächtnis m und der Übertragungsfunktionsmatrix G(D) ab. Bei endlicher Anzahl L an Informationsbits sollte der Faltungscode durch Anfügen von m Nullen terminiert werden:

::<math>\underline{u}= (u_1,\hspace{0.05cm} u_2,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm}, u_L, \hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm}, 0 ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Empfangssequenz y = (y1, y2, ...) ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC Binary Symmetric Channel] (BSC) gilt yi ∈ {0, 1}, so dass die Verfälschung von x auf y mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] dH (x, y) quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal] folgen auf [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken_.281.29 Seite 6] dieses Kapitels.

*Der nachfolgend beschriebene Viterbi–Algorithmus liefert eine Schätzung z für die Codesequenz x und eine weitere Schätzung υ für die Informationssequenz u. Dabei gilt:

::<math>{\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{x})\stackrel{!}{=}{\rm Minimum}
\hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}
{\rm Pr}(\underline{\upsilon} \ne \underline{u})\stackrel{!}{=}{\rm Minimum}
\hspace{0.05cm}.</math>

'''Zusammenfassung :''' Der Viterbi–Algorithmus sucht bei einem digitalen Kanalmodell (zum Beispiel BSC) von allen möglichen Codesequenzen x' diejenige Sequenz z mit der minimalen Hamming–Distanz dH(x', y) zur Empfangssequenz y:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}' \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}( \underline{x}'\hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} \underline{y} )
= {\rm arg} \max_{\underline{x}' \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}')\hspace{0.05cm}.</math>

Das bedeutet auch: Der Viterbi–Algorithmus erfüllt das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.281.29 Maximum–Likelihood–Kriterium.] 

== Vorbemerkungen zu den nachfolgenden Decodierbeispielen (1) ==
 
In den Beispielen dieses Kapitels wird stets von unserem Standard–Faltungscodierer der Rate R = 1/2, mit dem Gedächtnis m = 2 sowie der Übertragungsfunktionsmatrix G(D) = (1 + D + D2, 1 + D2) ausgegangen. Die Länge der Informationssequenz sei L = 5 und unter Berücksichtigung der Terminierung L′ = 7. Die betrachteten Codesequenzen x und auch die Empfangssequenzen y setzen sich somit jeweils aus 14 Bit zusammen. Durch Aufteilung entsprechend y = ( y1, y2, ... , y7) ergeben sich die Bitpaare yi ∈ {00, 01, 10, 11}. 

[[File:P ID2652 KC T 3 4 S2 v1.png|Trellis zur Decodierung der Empfangssequenz y|class=fit]] 

Die Viterbi–Decodierung erfolgt mit Hilfe des dargestellten Trellisdiagramms. Ein roter Pfeil steht für die Hypothese ui = 0, ein blauer für ui = 1. Um Verwechslungen zu vermeiden, versehen wir hypothetische Größen mit Apostroph. Auch dann, wenn wir sicher wissen, dass das Informationsbit ui = 1 ist, gilt ui' ∈ {0, 1}. Neben den Pfeilen steht die jeweilige hypothetische Codesequenz xi' ∈ {00, 01, 10, 11}. 

Wir gehen auf dieser und den nachfolgenden Seiten davon aus, dass die Viterbi–Decodierung auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] dH(xi', yi) zwischen dem Empfangswort yi und den vier möglichen Codeworten xi' ∈ {00, 01, 10, 11} basiert. Dann gehen wir wie folgt vor:

*In den noch leeren Kreisen werden die Fehlergrößen Γi(Sμ) der Zustände Sμ (0 ≤ μ ≤ 3) zu den Zeitpunkten i eingetragen. Der Startwert ist stets Γ0(S0) = 0.

*Die Fehlergrößen für i = 1 und i = 2 ergeben sich zu

::<math>{\it \Gamma}_1(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_1 \big ) \hspace{0.05cm}, \hspace{2.13cm}{\it \Gamma}_1(S_1) = d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_1 \big ) \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_2(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\it \Gamma}_1(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_2 \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}{\it \Gamma}_2(S_1) = {\it \Gamma}_1(S_0)+ d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_2 \big ) \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_2(S_2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\it \Gamma}_1(S_1) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_2 \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}{\it \Gamma}_2(S_3) = {\it \Gamma}_1(S_1)+ d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_2 \big ) \hspace{0.05cm}.</math>

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Vorbemerkungen zu den nachfolgenden Decodierbeispielen (2) ==
 
Fortsetzung der allgemeinen Viterbi–Beschreibung: 

[[File:P ID2664 KC T 3 4 S2 v1.png|Trellis zur Decodierung der Empfangssequenz y|class=fit]] 

*Ab dem Zeitpunkt i = 3 hat das Trellisdiagramm seine Grundform erreicht, und zur Berechnung aller Γi(Sμ) muss jeweils das Minimum zwischen zwei Summen ermittelt werden:

::<math>{\it \Gamma}_i(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm Min} \left [{\it \Gamma}_{i-1}(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{i-1}(S_2) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big ) \right ] \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_i(S_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm Min} \left [{\it \Gamma}_{i-1}(S_0) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{i-1}(S_2) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big ) \right ] \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_i(S_2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm Min} \left [{\it \Gamma}_{i-1}(S_1) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{i-1}(S_3) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big ) \right ] \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_i(S_3) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm Min} \left [{\it \Gamma}_{i-1}(S_1) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{i-1}(S_3) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \underline{y}_i \big ) \right ] \hspace{0.05cm}.</math>

*Von den zwei an einem Knoten Γi(Sμ) ankommenden Zweigen wird der schlechtere (der zu einem größeren Γi(Sμ) geführt hätte) eliminiert. Zu jedem Knoten führt dann nur noch ein einziger Zweig. 

*Sind alle Fehlergrößen bis einschließlich i = 7 ermittelt, so kann der Viterbi–Algotithmus mit der Suche das zusammenhängenden Pfades vom Ende des Trellis ⇒ Γ7(S0) bis zum Anfang ⇒ Γ0(S0) abgeschlossen werden. 

*Durch diesen Pfad liegen dann die am wahrscheinlichsten erscheinende Codesequenz z und die wahrscheinlichste Informationssequenz υ fest. Nicht für alle Empfangssequenzen y gilt aber z = x und υ = u. Das heißt: Bei zu vielen Übertragungsfehlern versagt auch der Viterbi–Algorithmus. 

== Decodierbeispiel für den fehlerfreien Fall (1) ==
 
Zunächst gehen wir von der Empfangssequenz y = (11, 01, 01, 11, 11, 10, 11) aus, die hier – wegen der Codewortlänge n = 2 – bereits in Bitpaare y1, ... , y7 unterteilt ist. 

[[File:P ID2653 KC T 3 4 S2 v95.png|Viterbi–Schema für y = (11, 01, 01, 11, 11, 10, 11)|class=fit]] 

Die eingetragenen Zahlenwerte und die verschiedenen Stricharten werden im folgenden Text erklärt:
*Ausgehend vom Initialwert Γ0(S0) = 0 kommt man mit y1 = (11) durch Addition der Hamming-Distanzen dH ((00), y1) = 2 bzw. dH ((11), y1) = 0 zu den Fehlergrößen Γ1(S0) = 2, Γ1(S1) = 0. 

*Im zweiten Decodierschritt gibt es Fehlergrößen für alle vier Zustände: Mit y2 = (01) erhält man:

::<math>{\it \Gamma}_2(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Gamma}_1(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) = 2+1 = 3 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_2(S_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Gamma}_1(S_0) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) = 2+1 = 3 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_2(S_2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Gamma}_1(S_1) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) = 0+2=2 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_2(S_3) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Gamma}_1(S_1) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) = 0+0=0 \hspace{0.05cm}.</math>

*In allen weiteren Decodierschritten müssen jeweils zwei Werte verglichen werden, wobei dem Knoten Γi(Sμ) stets der kleinere Wert zugewiesen wird. Beispielsweise gilt für i = 3 mit y3 = (01):

::<math>{\it \Gamma}_3(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{2}(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{2}(S_2) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] =</math>
::<math> \hspace{1.2cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [ 3+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+1 \right ] = 3\hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Gamma}_3(S_3) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{2}(S_1) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{2}(S_3) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] =</math>
::<math> \hspace{1.2cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [ 3+0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0+2 \right ] = 2\hspace{0.05cm}.</math>

*Ab i = 6 wird im betrachteten Beispiel die Terminierung des Faltungscodes wirksam. Hier sind nur noch zwei Vergleiche zur Bestimmung von Γ6(S0) und Γ6(S2) anzustellen, und für i = 7 nur noch ein Vergleich mit dem Endergebnis Γ7(S0). 

*Von den jeweils zwei an einem Knoten ankommenden Zweigen wird stets nur derjenige bei der abschließenden Pfadsuche herangezogen, der zur minimalen Fehlergröße Γi(Sμ) geführt hat. Die &bdquo;schlechten” Zweige werden verworfen. Sie sind in obiger Grafik jeweils punktiert dargestellt. 

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

== Decodierbeispiel für den fehlerfreien Fall (2) ==
 
Nachdem alle Fehlergrößen Γi(Sμ) – in dem vorliegenden Beispiel für 1 ≤ i ≤ 7 und 0 ≤ μ ≤ 3 – ermittelt wurden, kann der Viterbi–Decoder mit der Pfadsuche beginnen. 

[[File:P ID2654 KC T 3 4 S3b v1.png|Viterbi–Pfadsuche für y = (11, 01, 01, 11, 11, 10, 11)|class=fit]] 

Die Pfadsuche läuft wie folgt ab:
*Ausgehend vom Endwert Γ7(S0) wird in Rückwärtsrichtung ein zusammenhängender Pfad bis zum Startwert Γ0(S0) gesucht. Erlaubt sind nur die durchgezogenen Zweige. Punktierte Linien können nicht Teil des ausgewählten Pfades sein. 

*Der ausgewählte Pfad ist in der Grafik grau markiert. Er durchläuft von rechts nach links die Zustände S0 ← S2 ← S1 ← S0 ← S2 ← S3 ← S1 ← S0. Es gibt keinen zweiten durchgehenden Pfad von Γ7(S0) zu Γ0(S0). Das bedeutet: Das Decodierergebnis ist eindeutig. 

*Das Ergebnis υ = (1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) des Viterbi–Decoders hinsichtlich der Informationssequenz erhält man, wenn man für den durchgehenden Pfad – nun aber in Vorwärtsrichtung von links nach rechts – die Farben der einzelnen Zweige auswertet (rot entspricht einer 0, blau einer 1). 

Aus dem Endwert Γ7(S0) = 0 erkennt man, dass in diesem ersten Beispiel keine Übertragungsfehler vorlagen. Das Decodierergebnis z stimmt also mit dem Empfangsvektor y = (11, 01, 01, 11, 11, 10, 11) und der tatsächlichen Codesequenz x überein. Außerdem ist υ nicht nur die nach dem ML–Kriterium wahrscheinlichste Informationssequenz u, sondern es gilt auch hier die Identität: υ = u. 

Anmerkung: Bei der beschriebenen Decodierung wurde von der bereits in der Überschrift enthaltenen Information &bdquo;Fehlerfreier Fall” natürlich kein Gebrauch gemacht wurde. 

== Decodierbeispiele für den fehlerbehafteten Fall (1) ==
 
Es folgen zwei weitere Beispiele zur Viterbi–Decodierung. Die Berechnung der Fehlergrößen Γi(Sμ) geschieht wie auf [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Vorbemerkungen_zu_den_nachfolgenden_Decodierbeispielen_.281.29 Seite 2] beschrieben und auf der letzten Seite für den fehlerfreien Fall demonstriert. 

[[File:P ID2655 KC T 3 4 S4a v1.png|Decodierbeispiel mit zwei Bitfehlern|class=fit]] 

Als Resümee dieses ersten Beispiels mit obigem Trellis ist festzuhalten:
*Auch hier lässt sich ein eindeutiger Pfad (dunkelgraue Markierung) zurückverfolgen, der zu den folgenden Ergebnissen führt (erkennbar an den Beschriftungen bzw. den Farben dieses Pfades):

::<math>\underline{z} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \big (00\hspace{0.05cm}, 11\hspace{0.05cm}, 10\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, 01\hspace{0.05cm}, 01\hspace{0.05cm}, 11 \hspace{0.05cm} \big ) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \underline{\upsilon} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \big (0\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 0 \hspace{0.05cm} \big ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Der Vergleich der am wahrscheinlichsten gesendeten Codesequenz z mit dem Empfangsvektor y zeigt, dass hier zwei Bitfehler (am Beginn) vorlagen. Da aber der verwendete Faltungscode die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz_.281.29 freie Distanz dF = 5] aufweist, führen zwei Fehler noch nicht zu einem falschen Decodierergebnis. 

*Es gibt andere Pfade wie zum Beispiel den heller markierten Pfad (S0 → S1 → S3 → S3 → S3 → S2 → S0 → S0), die zunächst als vielversprechend erscheinen. Erst im letzten Decodierschritt (i = 7) kann dieser hellgraue Pfad endgültig verworfen werden. 

*Dieses Beispiel zeigt, dass eine zu frühe Entscheidung oft zu einem Decodierfehler führt, und man erkennt auch die Zweckmäßigkeit der Terminierung: Bei endgültiger Entscheidung zum Zeitpunkt i = 5 (dem Ende der eigentlichen Informationssequenz) wären die Sequenzen (0, 1, 0, 1, 1) und (1, 1, 1, 1, 0) noch als gleichwahrscheinlich angesehen worden. 

Anmerkung: Bei der Berechnung von Γ5(S0) = 3 und Γ5(S1) = 3 führen hier jeweils die beiden Vergleichszweige zur gleichen minimalen Fehlergröße. In der Grafik sind diese beiden Sonderfälle durch Strichpunktierung markiert. 

In diesem Beispiel hat dieser Sonderfall keine Auswirkung auf die Pfadsuche. Der Algorithmus erwartet trotzdem stets eine Entscheidung zwischen zwei konkurrierenden Zweigen. In der Praxis hilft man sich dadurch, dass man bei Gleichheit einen der beiden Pfade zufällig auswählt. 

== Decodierbeispiele für den fehlerbehafteten Fall (2) ==
 
Im letzten Beispiel gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen bezüglich Quelle und Coder aus:

:<math>\underline{u} = \big (1\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 1 \hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 0 \big )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline{x} = \big (11\hspace{0.05cm}, 01\hspace{0.05cm}, 01\hspace{0.05cm}, 11\hspace{0.05cm}, 11\hspace{0.05cm}, 10\hspace{0.05cm}, 11 \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} \big ) \hspace{0.05cm}.</math>

Aus der ersten der beiden Grafiken erkennt man, dass sich hier der Decoder trotz dreier Bitfehler für den richtigen Pfad (dunkle Hinterlegung) entscheidet. Es gibt also nicht immer eine Fehlentscheidung, wenn mehr als dF/2 Bitfehler aufgetreten sind. 

[[File:P ID2700 KC T 3 4 S4b v1.png|Decodierbeispiel mit drei Bitfehlern|class=fit]] 

In der unteren Grafik ist noch ein vierter Bitfehler in Form von y7 = (01) hinzugefügt:
*Nun führen beide Zweige im Schritt i = 7 zur minimalen Fehlergröße Γ7(S0) = 4, erkennbar an den strichpunktierten Übergängen. Entscheidet man sich im dann erforderlichen Losverfahren für den dunkel hinterlegten Pfad, so wird auch bei vier Bitfehlern noch die richtige Entscheidung getroffen. 

*Andernfalls kommt es zu einer Fehlentscheidung. Je nachdem, wie das Auswürfeln im Schritt i = 6 zwischen den beiden strichpunktierten Konkurrenten ausgeht, entscheidet man sich entweder für den violetten oder den hellgrauen Pfad. Mit dem richtigen Pfad haben beide wenig gemein. 

:[[File:P ID2704 KC T 3 4 S4c v1.png|Decodierbeispiel mit vier Bitfehlern|class=fit]] 

== Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation ==
 
Insbesondere beim [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] – aber auch bei jedem anderen Binärkanal  ⇒  Eingang xi ∈ {0, 1}, Ausgang yi ∈ {0, 1} wie zum Beispiel dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert–Elliott–Modell] – liefert die Hamming–Distanz dH(x, y) genau die gleiche Information über die Ähnlichkeit der Eingangsfolge x und der Ausgangsfolge y wie das [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel_.282.29 innere Produkt.] Nimmt man an, dass die beiden Folgen in bipolarer Darstellung vorliegen (gekennzeichnet durch Tilden) und dass die Folgenlänge jeweils L ist, so gilt für das innere Produkt:

:<math><\hspace{-0.1cm}\underline{\tilde{x}}, \hspace{0.05cm}\underline{\tilde{y}} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}
= \sum_{i = 1}^{L} \tilde{x}_i \cdot \tilde{y}_i \hspace{0.3cm}{\rm mit } \hspace{0.2cm} \tilde{x}_i = 1 - 2 \cdot x_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{y}_i = 1 - 2 \cdot y_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{x}_i, \hspace{0.05cm}\tilde{y}_i \in \hspace{0.1cm}\{ -1, +1\} \hspace{0.05cm}.</math>

Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als &bdquo;Korrelationswert”. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, dass der Wertebereich eines [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient Korrelationskoeffizienten] eigentlich ±1 ist. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge L = 10: 

[[File:P ID2662 KC T 3 4 S5 v1.png|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und „Korrelation” |class=fit]] 

*Links dargestellt sind die unipolaren Folgen x und y sowie das Produkt x · y. Man erkennt die Hamming–Distanz dH(x, y) = 6  ⇒  sechs Bitfehler an den Pfeilpositionen. Das innere Produkt 〈x · y〉 = 0 hat hier keine Aussagekraft. Zum Beispiel ist 〈0 · y〉 unabhängig von y stets Null.

*Die Hamming–Distanz dH = 6 erkennt man auch aus der bipolaren (antipodalen) Darstellung der rechten Grafik. Die &bdquo;Korrelationswert” hat aber nun den richtigen Wert 4 · (+1) + 6 · (–1) = –2. Es gilt der deterministische Zusammenhang zwischen den beiden Größen mit der Folgenlänge L:

::<math><\hspace{-0.1cm}\underline{\tilde{x}}, \hspace{0.05cm}\underline{\tilde{y}} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}
= L - 2 \cdot d_{\rm H} (\underline{\tilde{x}}, \hspace{0.05cm}\underline{\tilde{y}})\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Interpretieren wir nun diese Gleichung für einige Sonderfälle:
*Identische Folgen: Die Hamming–Distanz ist gleich 0 und der &bdquo;Korrelationswert” gleich L. 

*Invertierte: Folgen: Die Hamming–Distanz ist gleich L und der &bdquo;Korrelationswert” gleich –L. 

*Unkorrelierte Folgen: Die Hamming–Distanz ist gleich L/2, der &bdquo;Korrelationswert” gleich 0. 

== Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken (1) ==
 
Mit den Erkenntnissen der letzten Seite lässt sich der Viterbi–Algorithmus auch wie folgt charakterisieren. Der Algorithmus sucht von allen möglichen Codesequenzen x′ ∈ C die Sequenz z mit der maximalen Korrelation zur Empfangssequenz y:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}' \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} \left\langle \tilde{\underline{x}}'\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.05cm} \tilde{\underline{y}} \right\rangle
\hspace{0.4cm}{\rm mit }\hspace{0.4cm}\tilde{\underline{x}}'= 1 - 2 \cdot \underline{x}'\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\tilde{\underline{y}}= 1 - 2 \cdot \underline{y}
\hspace{0.05cm}.</math>

〈 ... 〉 bezeichnet einen &bdquo;Korrelationswert” entsprechend den Aussagen auf der letzten Seite. Die Tilden weisen wieder auf die bipolare (antipodale) Darstellung hin. 

Die Grafik zeigt die diesbezügliche Trellisauswertung. Zugrunde liegt
*der gleiche Faltungscode mit R = 1/2, m = 2 und G(D) = (1 + D + D2, 1 + D2), und 

*der gleiche Empfangsvektor y = (11, 11, 10, 00, 01, 01, 11) 

wie für das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Decodierbeispiel_f.C3.BCr_den_fehlerfreien_Fall_.281.29 Trellisdiagramm] auf Seite 3a dieses Kapitels, basierend auf der minimalen Hamming–Distanz und den Fehlergrößen Γi(Sμ). Beide Darstellungen ähneln sich sehr. 

[[File:P ID2663 KC T 3 4 S6 v1.png|Viterbi–Decodierung, basierend auf Korrelation und Metrik|class=fit]] 

Ebenso wie die Suche nach der Sequenz mit der minimalen Hamming–Distanz geschieht auch die Suche nach dem maximalen Korrelationswert schrittweise:
*Die Knoten bezeichnet man hier als die Metriken Λi(Sμ). Die englische Bezeichnung hierfür ist Cumulative Metric, während Branch Metric den Metrikzuwachs angibt. 

*Der Endwert Λ7(S0) = 10 gibt den &bdquo;Korrelationswert” zwischen der ausgewählten Folge z und dem Empfangsvektor y an. Im fehlerfreien Fall ergäbe sich Λ7(S0) = 14. 

Die Trellisbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken (2) ==
 
Die nachfolgende Beschreibung bezieht sich auf die Trellisauswertung entsprechend der letzten Seite, basierend auf [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken_.281.29 &bdquo;Korrelationswerten” und den Metriken Λi(Sμ).] Zum Vergleich zeigt die Grafik auf Seite 3a Trellisauswertung, die auf [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Decodierbeispiele_f.C3.BCr_den_fehlerbehafteten_Fall_.281.29 Hamming–Distanzen und den Fehlergrößen Γi(Sμ)] basieren. 

*Die Metriken zum Zeitpunkt i = 1 ergeben sich mit y1 = (11) zu

::<math>{\it \Lambda}_1(S_0) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} <\hspace{-0.05cm}(00)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm}
= \hspace{0.2cm}<(+1,\hspace{0.05cm} +1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(-1,\hspace{0.05cm} -1) >\hspace{0.1cm}
= \hspace{0.1cm} -2 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Lambda}_1(S_1) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} <\hspace{-0.05cm}(11)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm}
= \hspace{0.2cm}<(-1,\hspace{0.05cm} -1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(-1,\hspace{0.05cm} -1) >\hspace{0.1cm}
= \hspace{0.1cm} +2 \hspace{0.05cm}.</math>

*Entsprechend gilt zum Zeitpunkt i = 2 mit y2 = (11):

::<math>{\it \Lambda}_2(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Lambda}_1(S_0) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(00)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm}
= \hspace{0.1cm} -2-2 = -4 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Lambda}_2(S_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Lambda}_1(S_0) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(11)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm}
= \hspace{0.1cm} -2+2 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Lambda}_2(S_2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Lambda}_1(S_1) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(10)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm}
= \hspace{0.1cm} 2+0 = 2 \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Lambda}_2(S_3) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\it \Lambda}_1(S_1) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(01)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm}
= \hspace{0.1cm} 2+0 = 2 \hspace{0.05cm}.</math>

*Ab dem Zeitpunkt i = 3 muss eine Entscheidung zwischen zwei Metriken getroffen werden. Beispielsweise erhält man mit y3 = (10) für die oberste und die unterste Metrik im Trellis:

::<math>{\it \Lambda}_3(S_0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm max} \left [{\it \Lambda}_{2}(S_0) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(00)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Lambda}_{2}(S_1) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(00)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(11) \hspace{-0.05cm}> \right ] =</math>
::<math>\hspace{1.25cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm max} \left [ -4+0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+0 \right ] = 2\hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \Lambda}_3(S_3) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm max} \left [{\it \Lambda}_{2}(S_1) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(01)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(10) \hspace{-0.05cm}>\hspace{0.2cm} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\it \Lambda}_{2}(S_3) \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.1cm}<\hspace{-0.05cm}(10)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}(10) \hspace{-0.05cm}> \right ] =</math>
::<math>\hspace{1.25cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm max} \left [ 0+0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+2 \right ] = 4\hspace{0.05cm}.</math>

Vergleicht man die zu minimierenden Fehlergrößen Γi(Sμ) mit den zu maximierenden Metriken Λi(Sμ), so erkennt man den folgenden deterministischen Zusammenhang:

:<math>{\it \Lambda}_i(S_{\mu}) = 2 \cdot \big [ i - {\it \Gamma}_i(S_{\mu}) \big ] \hspace{0.05cm}.</math>

Die Auswahl der zu den einzelnen Decodierschritten überlebenden Zweige ist bei beiden Verfahren identisch, und auch die Pfadsuche liefert das gleiche Ergebnis. 

Zusammenfassung:
*Beim Binärkanal – zum Beispiel dem BSC–Modell – führen die beiden beschriebenen Viterbi–Varianten Fehlergrößenminimierung und Metrikmaximierung zum gleichen Ergebnis. 

*Beim AWGN–Kanal ist die Fehlergrößenminimierung nicht anwendbar, da keine Hamming–Distanz zwischen dem binären Eingang x und dem analogen Ausgang y angegeben werden kann. 

*Die Metrikmaximierung ist beim AWGN–Kanal vielmehr identisch mit der Minimierung der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal Euklidischen Distanz] – siehe Aufgabe Z3.10. 

*Ein weiterer Vorteil der Metrikmaximierung ist, dass eine Zuverlässigkeitsinformation über die Empfangswerte y in einfacher Weise berücksichtigt werden kann. 

== Viterbi–Entscheidung bei nicht–terminierten Faltungscodes (1) ==
 
Bisher wurde stets ein terminierter Faltungscode der Länge L′ = L + m betrachtet, und das Ergebnis des Viterbi–Decoders war der durchgehende Trellispfad vom Startzeitpunkt (i = 0) bis zum Ende (i = L′). 

Bei nicht–terminierten Faltungscodes (L′ → ∞) ist diese Entscheidungsstrategie nicht anwendbar. Hier muss der Algorithmus abgewandelt werden, um in endlicher Zeit eine bestmögliche Schätzung (gemäß Maximum–Likelihood) der einlaufenden Bits der Codesequenz liefern zu können. 

[[File:P ID2676 KC T 3 4 S7 v1.png|Beispielhaftes Trellis und überlebende Pfade|class=fit]] 

Die obere Grafik zeigt ein beispielhaftes Trellis für
*unseren Standard–Codierer   ⇒   R = 1/2, m = 2, G(D) = (1 + D + D2, 1 + D2), 

*die Nullfolge ⇒ u = 0 = (0, 0, 0, ...)   ⇒   x = 0 = (00, 00, 00, ...), 

*jeweils einen Übertragungsfehler bei i = 4 und i = 5. 

Anhand der Stricharten erkennt man erlaubte (durchgezogene) und verbotene (punktierte) Pfeile in rot (ui = 0) und blau (ui = 1). Punktierte Linien haben einen Vergleich gegen einen Konkurrenten verloren und können nicht Teil des ausgewählten Pfades sein. 

Die untere Grafik zeigt die 2m überlebenden Pfade Φi (Sμ) für den Zeitpunkt i = 9. Man findet diese Pfade am einfachsten von rechts nach links. Die folgende Angabe zeigt die durchlaufenen Zustände Sμ in Vorwärtsrichtung: 

:Φ9(S0) : S0 → S0 → S0 → S0 → S0 → S0 → S0 → S0 → S0 → S0, 

:Φ9(S1) : S0 → S0 → S0 → S0 → S1 → S2 → S1 → S3 → S2 → S1, 

:Φ9(S2) : S0 → S0 → S0 → S0 → S1 → S2 → S1 → S2 → S1 → S2, 

:Φ9(S3) : S0 → S0 → S0 → S0 → S1 → S2 → S1 → S2 → S1 → S3. 

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Viterbi–Entscheidung bei nicht–terminierten Faltungscodes (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Der überlebende Pfad (englisch: Survivor) Φi(Sμ) ist der durchgehende Pfad vom Start S0 (bei i = 0) zum Knoten Sμ zum Zeitpunkt i. Empfehlenswert ist die Pfadsuche in Rückwärtsrichtung.{{end}} 

[[File:P ID2677 KC T 3 4 S7b v1.png|Die überlebenden Pfade Φ6, ... , Φ9 |class=fit]] 

Die Grafik zeigt die überlebenden Pfade für die Zeitpunkte i = 6 bis i = 9. Zusätzlich sind die jeweiligen Metriken Λi(Sμ) für alle vier Zustände angegeben.Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
*Zum Zeitpunkt i = 9 kann noch keine endgültige ML–Entscheidung über die ersten neun Bit der Informationssequenz getroffen werden. Allerdings ist bereits sicher, dass die wahrscheinlichste Bitfolge durch einen der Pfade Φ9(S0), ... , Φ9(S3) richtig wiedergegeben wird. 

*Da alle vier Pfade bei i = 3 zusammenlaufen, ist die Entscheidung &bdquo;υ1 = 0, υ2 = 0, υ3 = 0” die bestmögliche (hellgraue Hinterlegung). Auch zu einem späteren Zeitpunkt würde keine andere Entscheidung getroffen werden. Hinsichtlich der Bits υ4, υ5, ... sollte man sich noch nicht festlegen. 

*Müsste man zum Zeitpunkt i = 9 eine Zwangsentscheidung treffen, so würde man sich für Φ9(S0)  ⇒  υ = (0, 0, ... , 0) entscheiden, da die Metrik Λ9(S0) = 14 größer ist als die Vergleichsmetriken. 

*Die Zwangsentscheidung zum Zeitpunkt i = 9 führt in diesem Beispiel zum richtigen Ergebnis. Zum Zeitpunkt i = 6 wäre ein solcher Zwangsentscheid falsch gewesen ⇒ υ = (0, 0, 0, 1, 0, 1), und zu den Zeitpunten i = 7 bzw. i = 8 nicht eindeutig. 

== Weitere Decodierverfahren für Faltungscodes ==
 
Wir haben uns bisher in diesem Kapitel nur mit dem Viterbi–Algorithmus beschäftigt, der 1967 von A. J. Viterbi veröffentlicht wurde. Erst 1974 hat G. D. Forney nachgewiesen, dass dieser Algorithmus eine Maximum–Likelihood–Decodierung von Faltungscodes durchführt. 

Aber schon in den Jahren zuvor waren viele Wissenschaftler sehr bemüht, effiziente Decodierverfahren für die 1955 erstmals von Peter Elias beschriebenen Faltungscodes bereitzustellen. Zu nennen sind hier unter Anderem – genauere Beschreibungen findet man beispielsweise in [Bos99]<ref>Bossert, M.: ''Channel Coding for Telecommunications.'' Wiley & Sons, 1999.</ref>.
*Sequential Decoding von J. M. Wozencraft und B. Reifen aus dem Jahre 1961, 

*der Vorschlag von R. M. Fano (1963), der als Fano–Algorithmus bekannt wurde, 

*die Arbeiten von K. Zigangirov (1966) und F. Jelinek (1969), deren Decodierverfahren häufig als Stack–Algorithmus bezeichnet wird. 

Alle diese Decodierverfahren und auch der Viterbi–Algorithmus in seiner bisher beschriebenen Form liefern &bdquo;hart” entschiedene Ausgangswerte ⇒ υi ∈ {0, 1}. Oftmals wären jedoch Informationen über die Zuverlässigkeit der getroffenen Entscheidungen wünschenswert, insbesondere dann, wenn ein verkettetes Codierschema mit einem äußeren und einem inneren Code vorliegt. 

Kennt man die Zuverlässigkeit der vom inneren Decoder entschiedenen Bits zumindest grob, so kann durch diese Information die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des äußeren Decoders (signifikant) herabgesetzt werden. Der von J. Hagenauer in [Hag90]<ref>Hagenauer, J.: ''Soft Output Viterbi Decoder.'' In: Technischer Report, Deutsche Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt (DLR), 1990.</ref> vorgeschlagene Soft–Output–Viterbi–Algorithmus (SOVA) erlaubt es, zusätzlich zu den entschiedenen Symbolen auch jeweils ein Zuverlässigkeitsmaß anzugeben. 

Abschließend gehen wir noch etwas genauer auf den BCJR–Algorithmus ein, benannt nach dessen Erfinder L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek und J. Raviv [BCJR74]<ref>Bahl, L.R.; Cocke, J.; Jelinek, F.; Raviv, J.: ''Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate.'' In: IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-20, S. 284-287, 1974.</ref>. Während der Viterbi–Algorithmus nur eine Schätzung der Gesamtsequenz vornimmt  ⇒  block–wise ML, schätzt der BCJR–Algorithmus ein einzelnes Symbol (Bit) unter Berücksichtigung der gesamten empfangenen Codesequenz. Es handelt sich hierbei also um eine symbolweise Maximum–Aposteriori–Decodierung  ⇒  bit–wise MAP. 

Der Unterschied zwischen Viterbi–Algorithmus und BCJR–Algorithmus soll – stark vereinfacht – am Beispiel eines terminierten Faltungscodes dargestellt werden:
*Der Viterbi–Algorithmus arbeitet das Trellis nur in einer Richtung – der Vorwärtsrichtung – ab und berechnet für jeden Knoten die Metriken Λi(Sμ). Nach Erreichen des Endknotens wird der überlebende Pfad gesucht, der die wahrscheinlichste Codesequenz kennzeichnet. 

*Beim BCJR–Algorithmus wird das Trellis zweimal abgearbeitet, einmal in Vorwärtsrichtung und anschließend in Rückwärtsrichtung. Für jeden Knoten sind dann zwei Metriken angebbar, aus denen für jedes Bit die Aposterori–Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann. 

Hinweis: Diese Kurzzusammenfassung basiert auf dem Lehrbuch [Bos98]<ref>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref>. Eine etwas ausführlichere Beschreibung des BCJR–Algorithmus' folgt im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Kapitel 4.1.] 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.9 Viterbi–Algorithmus: Grundlegendes|A3.9 Viterbi–Algorithmus: Grundlegendes]]

[[Zusatzaufgaben:3.9 Nochmals Viterbi–Algorithmus]]

[[Aufgaben:3.10 Fehlergrößenberechnung|A3.10 Fehlergrößenberechnung]]

[[Zusatzaufgaben:3.10 ML–Decodierung von Faltungscodes]]

[[Aufgaben:3.11 Viterbi–Pfadsuche|A3.11 Viterbi–Pfadsuche]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Code Description with State and Trellis Diagram

2017-01-24T20:38:24Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Faltungscodierung und geeignete Decoder
|Vorherige Seite=Algebraische und polynomische Beschreibung
|Nächste Seite=Decodierung von Faltungscodes
}}

== Zustandsdefinition für ein Speicherregister (1) ==
 
Ein Faltungscodierer kann auch als Automat mit endlicher Anzahl von Zuständen aufgefasst werden. Die Zustandsanzahl ergibt sich dabei aus der Zahl der Speicherelemente  ⇒  Gedächtnis m zu 2m. 

[[File:P ID2630 KC T 3 3 S1 v2.png|Faltungscodierer mit k = 1, n = 2 und m = 2|class=fit]] 

Im Kapitel 3.3 gehen wir meist vom gezeichneten Faltungscodierer aus, der durch folgende Kenngrößen charakterisiert wird:
*k = 1, n = 2  ⇒  Coderate R = 1/2, 

*Gedächtnis m = 2  ⇒  Einflusslänge ν = 3, 

*Übertragungsfunktionsmatrix in Oktalform (7, 5)  ⇒  G(D) =(1 + D + D2, 1 + D2). 

Die Codesequenz zum Zeitpunkt i  ⇒  xi = (xi(1), xi(2)) hängt außer vom Informationsbit ui auch vom Inhalt (ui–1, ui–2) des Speichers ab. Hierfür gibt es 2m = 4 Möglichkeiten, die man als die Zustände S0, S1, S2 und S3 bezeichnet. Der Registerzustand Sμ sei dabei über den Index definiert:

:<math>\mu = u_{i-1} + 2 \cdot u_{i-2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm allgemein\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.15cm}
\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l}
\hspace{0.05cm}.</math>

Im Englischen verwendet man für &bdquo;Zustand” den Begriff State. Entsprechend ist auch im deutschen Text manchmal vom Registerstatus die Rede. 

Um Verwechslungen zu vermeiden, unterscheiden wir im Weiteren durch Groß– bzw. Kleinbuchstaben:
*die möglichen Zustände Sμ mit den Indizes 0 ≤ μ ≤ 2m – 1, 

*die aktuellen Zustände si zu den Zeitpunkten i = 1, 2, 3, .... 

Auf der nächsten Seite verdeutlichen wir die Zustände an einem Beispiel. 

== Zustandsdefinition für ein Speicherregister (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Die folgende Grafik zeigt für obigen Faltungscodierer jeweils den Beginn (i ≤ 15)
*der Informationssequenz u  ⇒  Informationsbits ui, 

*der aktuellen Zustände si ∈ {S0, S1, S2, S3} zu den Zeitpunkten i, sowie 

*der jeweiligen Codesequenzen xi = (xi(1), xi(2)). 

[[File:P ID2631 KC T 3 3 S1b v1.png|Zur Verdeutlichung der Registerzustände Sμ|class=fit]] 

Die Farbkennzeichnungen sollen den Übergang zu den nachfolgenden Grafiken auf den nächsten Seiten erleichtern. Man erkennt aus obiger Darstellung beispielsweise:
*Zum Zeitpunkt i = 5 gilt ui–1 = u4 = 0, ui–2 = u3 = 1. Das heißt, der Automat befindet sich im Zustand s5 = S2. Mit dem Informationsbit ui = u5 = 0 erhält man die Codesequenz x5 = (11). 

*Der Zustand für den Zeitpunkt i = 6 ergibt sich aus ui–1 = u5 = 0 und ui–2 = u4 = 0 zu s6 = S0. Wegen u6 = 0 wird nun x6 = (00) ausgegeben und der neue Zustand s7 ist wiederum S0. 

*Auch zum Zeitpunkt i = 12 wird wegen u12 = 0 die Codesequenz x12 = (11) ausgegeben und man geht vom Zustand s12 = S2 in den Zustand s13 = S0 über. 

*Dagegen wird zum Zeitpunkt i = 9 die Codesequenz (00) ausgegeben und auf s9 = S2 folgt s10 = S1. Gleiches gilt auch für i = 15. In beiden Fällen lautet das aktuelle Informationsbit ui = 1.{{end}} 

Aus diesem Beispiel ist zu erkennen, dass die Codesequenz xi zum Zeitpunkt i allein
*vom aktuellen Zustand si = Sμ (0 ≤ μ ≤ 2m – 1), sowie 

*vom aktuellen Informationsbit ui 

abhängt. Ebenso wird der Nachfolgezustand si+1 allein durch si und ui bestimmt. Diese Eigenschaften werden im so genannten Zustandsübergangsdiagramm auf der nächsten Seite berücksichtigt. 

== Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1) ==
 
Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm (englisch: State Transition Diagram) für unseren Standardcodierer. Dieses liefert alle Informationen über den (n = 2, k = 1, m = 2)–Faltungscodierer in kompakter Form. Die Farbgebung ist mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister_.281.29 sequenziellen Darstellung] auf der vorherigen Seite abgestimmt. Der Vollständigkeit halber ist auch die Herleitungstabelle nochmals angegeben. 

[[File:P ID3022 KC T 3 3 S2 v2.png|Zustandsübertragungsdiagramm 1 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Die 2m+k Übergänge sind mit &bdquo;ui | xi” beschriftet. Beispielsweise ist abzulesen:
*Durch das Informationsbit ui = 0 (gekennzeichnet durch eine rote Beschriftung) gelangt man vom Zustand si = S1 zum Zustand si+1 = S2 und die beiden Codebits lauten xi(1) = 1, xi(2) = 0. 

*Mit dem Informationsbit ui = 1 (blaue Beschriftung) im Zustand si = S1 ergeben sich dagegen die Codebits zu xi(1) = 0, xi(2) = 1, und man kommt zum neuen Zustand si+1 = S3. 

Die Struktur des Zustandsübergangsdiagramms ist allein durch die Parameter m und k festgelegt:
*Die Anzahl der Zustände ist 2m · k. 

*Von jedem Zustand gehen 2k Pfeile ab. 

Ein weiteres Beispiel folgt auf der nächsten Seite. 

== Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (2) ==
 
Die obere Grafik zeigt nochmals das Zustandsübergangsdiagramm für unseren Standardcodierer. Dieses dient lediglich als Vergleichsgrundlage für das nachfolgende Beispiel. 

[[File:P ID2679 KC T 3 3 S2a v1.png|Zustandsübertragungsdiagramm 1 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Die untere Grafik gilt für einen systematischen Code, ebenfalls mit den Kenngrößen n = 2, k = 1, m = 2. Es handelt sich um die äquivalente systematische Repräsentation des obigen Codierers. Man bezeichnet diesen auch als RSC–Codierer (englisch: Recursive Systematic Convolutional Encoder). 

[[File:P ID2680 KC T 3 3 S2b v3.png|Zustandsübertragungsdiagramm 2 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Gegenüber dem oberen Zustandsübergangsdiagramm erkennt man folgende Unterschiede:
*Da die früheren Informationsbits ui–1 und ui–2 nicht abgespeichert werden, beziehen sich hier die Zustände si = Sμ auf die verarbeiteten Größen wi–1 und wi–2, wobei wi = ui + wi–1 + wi–2 gilt. 

*Da dieser Code systematisch ist, gilt xi(1) = ui. Die Herleitung der zweiten Codebits xi(2) finden Sie in Aufgabe A3.5. Es handelt sich um ein rekursives Filter, wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion Kapitel 3.2] beschrieben. 

Der Bildervergleich zeigt, dass sich für beide Codierer ein ähnliches Zustandsübergangsdiagramm ergibt:
*Man gelangt von jedem Zustand si ∈ {S0, S1, S2,S3} zu den gleichen Nachfolgezuständen si+1. 

*Ein Unterschied besteht hinsichtlich der ausgegebenen Codesequenzen xi ∈ {00, 01, 10, 11}. 

== Darstellung im Trellisdiagramm (1) ==
 
Man kommt vom Zustandsübergangsdiagramm zum so genannten Trellisdiagramm (oder kurz: Trellis), indem man zusätzlich eine Zeitkomponente  ⇒  Laufvariable i berücksichtigt. Die folgende Grafik stellt die beiden Diagramme für unseren Standardcodierer (n = 2, k = 1, m = 2) gegenüber. 

[[File:P ID2635 KC T 3 3 S3 v2.png|Zustandsübergangsdiagramm vs. Trellisdiagramm (n = 2, k = 1, m = 2)|class=fit]] 

Die untere Darstellung hat Ähnlichkeit mit einem Gartenspalier – etwas Phantasie vorausgesetzt. Die englische Übersetzung hierfür ist &bdquo;Trellis”. Weiter ist anhand dieser Grafik zu erkennen:
*Da alle Speicherregister mit Nullen vorbelegt sind, startet das Trellis stets vom Zustand s1 = S0. Zum nächsten Zeitpunkt (i = 2) sind dann nur die beiden Zustände S0 und S1 möglich. 

*Ab dem Zeitpunkt i = m + 1 = 3 hat das Trellis für jeden Übergang von si nach si+1 genau das gleiche Aussehen. Jeder Zustand Sμ ist durch einen roten Pfeil (ui = 0) und einen blauen Pfeil (ui = 1) mit einem Nachfolgezustand verbunden. 

*Gegenüber einem Codebaum, der mit jedem Zeitschritt i exponentiell anwächst – siehe zum Beispiel [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger#Fehlergr.C3.B6.C3.9Fen_und_Gesamtfehlergr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29 Kapitel 3.8, Seite 2a] im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung” – ist hier die Zahl der Knoten (also der möglichen Zustände) auf 2m begrenzt. 

*Diese erfreuliche Eigenschaft eines jeden Trellisdiagramms nutzt auch der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Viterbi–Algorithmus] zur effizienten Maximum–Likelihood–Decodierung von Faltungscodes. 

== Darstellung im Trellisdiagramm (2) ==
 
Das folgende Beispiel soll zeigen, dass zwischen der Aneinanderreihung der Codesequenzen xi und den Pfaden durch das Trellisdiagramm eine 1:1–Zuordnung besteht. Auch die Informationssequenz u ist aus dem ausgewählten Trellispfad anhand der Farben der einzelnen Zweige ablesbar. Ein roter Zweig steht für das Informationsbit ui = 0, ein blauer für ui = 1. 

{{Beispiel}}''':''' Auf der ersten Seite dieses Abschnitts wurde für unseren Rate–1/2–Standardcodierer mit Gedächtnis m = 2 sowie die Informationssequenz u = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, ...) die Codesequenz x hergeleitet, die in nachfolgender Tabelle für i ≤ 9 nochmals angegeben ist. 

[[File:P ID2636 KC T 3 3 S3b v1.png|Trellisdiagramm einer Beispielssequenz|class=fit]] 

Darunter gezeichnet ist das Trellisdiagramm. Man erkennt:
*Der ausgewählte Pfad durch das Trellis ergibt sich durch die Aneinanderreihung roter und blauer Pfeile, die für die möglichen Informationsbits ui = 0 bzw. ui = 1 stehen. Diese Aussage gilt für jeden Rate–1/n–Faltungscode. Bei einem Code mit k > 1 gäbe es 2k verschiedenfarbige Pfeile. 

*Bei einem Rate–1/n–Faltungscode sind die Pfeile mit den Codeworten xi = (xi(1), ... , (xi(n)) beschriftet, die sich aus dem Informationsbit ui und den aktuellen Registerzuständen si ergeben. Für n = 2 gibt es nur vier mögliche Codeworte, nämlich 00, 01, 10 und 11. 

*In vertikaler Richtung erkennt man aus dem Trellis die möglichen Registerzustände Sμ. Bei einem Rate–k/n–Faltungscode mit der Gedächtnisordnung m gibt es 2k · m verschiedene Zustände. Im vorliegenden Beispiel (k = 1, m = 2) sind dies nur die Zustände S0, S1, S2 und S3.{{end}} 

== Definition der freien Distanz (1) ==
 
Als eine wichtige Kenngröße der linearen Blockcodes wurde in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Fehlererkennung_und_Fehlerkorrektur Kapitel 1.1] die minimale Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Codeworten x und x' eingeführt:

:<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =
\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.</math>

Aufgrund der Linearität gehört zu jedem Blockcode auch das Nullwort 0. Damit ist dmin auch gleich dem minimalen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Gewicht] wH (x) eines Codewortes x ≠ 0. 

Bei Faltungscodes erweist sich die Beschreibung der Distanzverhältnisse als wesentlich aufwändiger, da ein Faltungscode aus unendlich langen und unendlich vielen Codesequenzen besteht. 

{{Definition}}''':''' Die freie Distanz dF eines Faltungscodes ist gleich der Anzahl der Bits, in dem sich zwei beliebige Codesequenzen x und x' (mindestens) unterscheiden. Anders ausgedrückt: Die freie Distanz ist gleich der minimalen Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Pfaden durch das Trellis.{{end}} 

Da Faltungscodes ebenfalls linear sind, kann man auch hier als Bezugssequenz die unendlich lange Nullsequenz heranziehen: x = 0. Damit ist die freie Distanz dF gleich dem minimalen Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer Codesequenz x ≠ 0. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten die Nullsequenz 0 (weiß markiert) sowie zwei andere Codesequenzen x sowie x' (mit gelber bzw. dunkler Hinterlegung) in unserem Standard–Trellis und charakterisieren diese Sequenzen anhand der Zustandsfolgen:

:<math>\underline{0} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \left ( S_0 \rightarrow S_0 \rightarrow S_0\rightarrow S_0\rightarrow S_0\rightarrow \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right)= \left ( 00, 00, 00, 00, 00,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\right) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \left ( S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2\rightarrow S_0\rightarrow S_0\rightarrow \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right)= \left ( 11, 10, 11, 00, 00,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\right) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{x}' \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \left ( S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_3\rightarrow S_2\rightarrow S_0\rightarrow \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right)= \left ( 11, 01, 01, 11, 00,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\right) \hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2638 KC T 3 3 S4b v2.png|Zur Definition der freien Distanz|class=fit]] 

Man erkennt aus diesen Darstellungen:
*Die freie Distanz dF = 5 ist gleich dem Hamming–Gewicht wH(x). Keine andere Sequenz als die gelb hinterlegte unterscheidet sich von 0 um weniger als 5 Bit. Beispielsweise ist wH(x′) = 6. 

*In diesem Beispiel ergibt sich die freie Distanz dF = 5 auch als die Hamming–Distanz zwischen den Sequenzen x und x′, die sich genau in fünf Bitpositionen unterscheiden.{{end}} 

== Definition der freien Distanz (2) ==
 
Je größer die freie Distanz dF ist, desto besser ist das asymptotische Verhalten des Faltungscoders. Zur genauen Berechnung von Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man allerdings – ebenso wie bei den linearen Blockcodes – die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Gewichtsfunktion] (englisch: Weight Enumerator Function)  ⇒  siehe [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 3.5.] 

Die freie Distanz dF nimmt mit wachsendem Gedächtnis m zu, vorausgesetzt, man verwendet für die Übertragungsfunktionsmatrix G(D) geeignete Polynome. In der Tabelle sind für Rate–1/2–Faltungscodes die n = 2 Polynome zusammen mit dem dF–Wert angegeben. Von Bedeutung ist insbesondere der sog. Industriestandardcode mit m = 6  ⇒  64 Zustände und der freien Distanz dF = 10. 

[[File:P ID2639 KC T 3 3 S4c.png|Optimale Faltungscodes der Rate 1/2|class=fit]] 

Das folgende Beispiel zeigt, welche Auswirkungen es hat, wenn man ungünstige Polynome zugrundelegt. 

{{Beispiel}}''':''' Unser (n = 2, k = 1, m = 2)–Standard–Coder basiert auf der Übertragungsfunktionsmatrix G(D) = (1+D+D2, 1+D2). Dieser weist die freie Distanz dF = 5 auf. 

[[File:P ID2640 KC T 3 3 S4d v3.png|Zustandsübergangsdiagramm 3 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Verwendet man G(D) = (1+D, 1+D2), so ändert sich das Zustandsübergangsdiagramm gegenüber dem Standard–Coder  ⇒  [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Darstellung_im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm_.281.29 Seite 2a] nur wenig. Die Auswirkungen sind aber gravierend:
*Die freie Distanz ist nun nicht mehr dF = 5, sondern nur noch dF = 3, wobei die Codesequenz x = (11, 01, 00, 00, ...) zur Informationssequenz u = 1 = (1, 1, 1, 1, ...) gehört. 

*Das heißt: Durch nur drei Übertragungsfehler an den Positionen 1, 2, und 4 verfälscht man die Einssequenz (1) in die Nullsequenz (0) und produziert so unendlich viele Decodierfehler. 

*Einen Faltungscodierer mit diesen Eigenschaften bezeichnet man als katastrophal. Der Grund für dieses extrem ungünstige Verhalten ist, dass hier 1+D und 1+D2 nicht teilerfemd sind.{{end}} 

== Terminierte Faltungscodes ==
 
Bei der theoretischen Beschreibung der Faltungscodes geht man stets von Informationssequenzen u und Codesequenzen x aus, die per Definition unendlich lang sind. In praktischen Anwendungen, siehe zum Beispiel GSM und UMTS verwendet man dagegen stets eine Informationssequenz endlicher Länge L. Bei einem Rate–1/n–Faltungscode hat dann die Codesequenz mindestens die Länge n · L. 

[[File:P ID2641 KC T 3 3 S5 v2.png| Terminierter Faltungscode der Rate R = 128/260|class=fit]] 

Die Grafik zeigt ohne Hinterlegung das Trellis unseres Standard–Rate–1/2–Faltungscodes bei binärer Eingangsfolge u der endlichen Länge L = 128. Damit hat die Codefolge x die Länge 2 · L = 256. Aufgrund des undefinierten Endzustands ist eine vollständige Maximum–Likelihood–Decodierung der gesendeten Folge allerdings nicht möglich. Da man nicht weiß, welcher der Zustände S0, ... , S3 sich für i > L einstellen würden, wird die Fehlerwahrscheinlichkeit (etwas) größer sein als im Grenzfall L → ∞. 

Um dies zu verhindern, terminiert man den Faltungscode entsprechend der Hinterlegung in obiger Grafik:
*Man fügt an die L = 128 Informationsbits noch m = 2 Nullen an  ⇒  L' = 130.

*Damit ergibt sich beispielsweise für den farblich hervorgehobenen Pfad durch das Trellis:

::<math>\underline{x}' = (11\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 00 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm},\hspace{0.05cm} 10\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}00\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 11 \hspace{0.05cm} ) </math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{u}' = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm} ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Das Trellis endet nun stets (also unabhängig von den Daten) im definierten Endzustand S0 und man erreicht so die bestmögliche Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend Maximum–Likelihood. 

*Die Verbesserung hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit erkauft man sich allerdings auf Kosten einer kleineren Coderate. Gilt L >> m, so ist dieser Verlust nur gering. Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit Terminierung die Coderate R ' = 0.5 · L/(L + m) ≈ 0.492 anstelle von R = 0.5. 

== Punktierte Faltungscodes ==
 
Wir gehen von einem Faltungscode der Rate R0 = 1/n0 aus, den wir Muttercode nennen. Streicht man von dessen Codesequenz einige Bits entsprechend einem vorgegebenen Muster, so spricht man von einem punktierten Faltungscode (englisch: Punctured Convolutional Code) mit der Coderate R > R0. 

Die Punktierung geschieht mittels der Punktierungsmatrix P mit folgenden Eigenschaften:
*Die Zeilenzahl ist n0, die Spaltenzahl gleich der Punktierungsperiode p, die durch die gewünschte Coderate bestimmt wird. 

*Die n0 · p Matrixelemente Pij sind binär (0 oder 1). Bei Pij = 1 wird das entsprechende Codebit übernommen, bei Pij = 0 punktiert. 

*Die Rate des punktierten Faltungscodes ergibt sich als der Quotient aus p und der Anzahl N1 der Einsen in der P–Matrix. 

Man findet günstig punktierte Faltungscodes üblicherweise nur mittels computergestützter Suche. Dabei bezeichnet man einen punktierten Faltungscode dann als günstig, wenn er
*die gleiche Gedächtnisordnung m aufweist wie der Muttercode (auch die Gesamteinflusslänge ist in beiden Fällen gleich: ν = m + 1), 

*eine möglichst große freie Distanz dF besitzt, die natürlich kleiner ist als die des Muttercodes. 

{{Beispiel}}''':''' Ausgehend von unserem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Rate.E2.80.931.2F2.E2.80.93Faltungscodierer_.281.29 Rate–1/2–Standardcode] mit den Parametern n0 = 2, m = 2 erhält man mit der Punktierungsmatrix

:<math>{\boldsymbol{\rm P}} =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}N_1 = 4</math>

einen punktierten Faltungscode der Rate R = p/N1 = 3/4. Wir betrachten hierzu folgende Konstellation:
*Informationssequenz:                     u = (1, 0, 0, 1, 1, 0, ...), 

*Codesequenz ohne Punktierung:    x = (11, 10, 11, 11, 01, 01, ...), 

*Codesequenz mit Punktierung:      x' = (11, 1_, _1, 11, 0_, _1, ...), 

*Empfangssequenz ohne Fehler:      y = (11, 1_, _1, 11, 0_, _1, ...), 

*Modifizierte Empfangssequenz:     y' = (11, 1E, E1, 11, 0E, E1, ...). 

Jedes punktierte Bit in der Empfangssequenz y (markiert durch einen Unterstrich) wird also durch ein Erasure E ersetzt – siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC Binary Erasure Channel.] Ein solches durch die Punktierung entstandene Erasure wird vom Decoder genauso behandelt wie eine Auslöschung durch den Kanal. 

Natürlich erhöht sich durch die Punktierung die Fehlerwahrscheinlichkeit. Dies kann man bereits daran erkennen, dass die freie Distanz nach der Punktierung auf dF = 3 sinkt. Demgegenüber besitzt der Muttercode die freie Distanz dF = 5.{{end}} 

Eine Anwendung findet die Punktierung zum Beispiel bei den so genannten RCPC–Codes (Rate Compatible Punctered Convolutional Codes). Näheres hierzu in der Aufgabe A3.8. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.6 Zustandsübergangsdiagramm|A3.6 Zustandsübergangsdiagramm]]

[[Zusatzaufgaben:3.6 Übergangsdiagramm für m = 3]]

[[Aufgaben:3.7 Vergleich zweier Faltungscoder|A3.7 Vergleich zweier Faltungscoder]]

[[Zusatzaufgaben:3.7 Welcher Code ist katastrophal ?]]

[[Aufgaben:3.8 RCPC–Codes|A3.8 RCPC–Codes]]

{{Display}}

Channel Coding/Code Description with State and Trellis Diagram

2017-01-24T20:37:22Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Faltungscodierung und geeignete Decoder
|Vorherige Seite=Algebraische und polynomische Beschreibung
|Nächste Seite=Decodierung von Faltungscodes
}}

== Zustandsdefinition für ein Speicherregister (1) ==
 
Ein Faltungscodierer kann auch als Automat mit endlicher Anzahl von Zuständen aufgefasst werden. Die Zustandsanzahl ergibt sich dabei aus der Zahl der Speicherelemente  ⇒  Gedächtnis m zu 2m. 

[[File:P ID2630 KC T 3 3 S1 v2.png|Faltungscodierer mit k = 1, n = 2 und m = 2|class=fit]] 

Im Kapitel 3.3 gehen wir meist vom gezeichneten Faltungscodierer aus, der durch folgende Kenngrößen charakterisiert wird:
*k = 1, n = 2  ⇒  Coderate R = 1/2, 

*Gedächtnis m = 2  ⇒  Einflusslänge ν = 3, 

*Übertragungsfunktionsmatrix in Oktalform (7, 5)  ⇒  G(D) =(1 + D + D2, 1 + D2). 

Die Codesequenz zum Zeitpunkt i  ⇒  xi = (xi(1), xi(2)) hängt außer vom Informationsbit ui auch vom Inhalt (ui–1, ui–2) des Speichers ab. Hierfür gibt es 2m = 4 Möglichkeiten, die man als die Zustände S0, S1, S2 und S3 bezeichnet. Der Registerzustand Sμ sei dabei über den Index definiert:

:<math>\mu = u_{i-1} + 2 \cdot u_{i-2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm allgemein\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.15cm}
\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l}
\hspace{0.05cm}.</math>

Im Englischen verwendet man für &bdquo;Zustand” den Begriff State. Entsprechend ist auch im deutschen Text manchmal vom Registerstatus die Rede. 

Um Verwechslungen zu vermeiden, unterscheiden wir im Weiteren durch Groß– bzw. Kleinbuchstaben:
*die möglichen Zustände Sμ mit den Indizes 0 ≤ μ ≤ 2m – 1, 

*die aktuellen Zustände si zu den Zeitpunkten i = 1, 2, 3, .... 

Auf der nächsten Seite verdeutlichen wir die Zustände an einem Beispiel. 

== Zustandsdefinition für ein Speicherregister (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' Die folgende Grafik zeigt für obigen Faltungscodierer jeweils den Beginn (i ≤ 15)
*der Informationssequenz u  ⇒  Informationsbits ui, 

*der aktuellen Zustände si ∈ {S0, S1, S2, S3} zu den Zeitpunkten i, sowie 

*der jeweiligen Codesequenzen xi = (xi(1), xi(2)). 

[[File:P ID2631 KC T 3 3 S1b v1.png|Zur Verdeutlichung der Registerzustände Sμ|class=fit]] 

Die Farbkennzeichnungen sollen den Übergang zu den nachfolgenden Grafiken auf den nächsten Seiten erleichtern. Man erkennt aus obiger Darstellung beispielsweise:
*Zum Zeitpunkt i = 5 gilt ui–1 = u4 = 0, ui–2 = u3 = 1. Das heißt, der Automat befindet sich im Zustand s5 = S2. Mit dem Informationsbit ui = u5 = 0 erhält man die Codesequenz x5 = (11). 

*Der Zustand für den Zeitpunkt i = 6 ergibt sich aus ui–1 = u5 = 0 und ui–2 = u4 = 0 zu s6 = S0. Wegen u6 = 0 wird nun x6 = (00) ausgegeben und der neue Zustand s7 ist wiederum S0. 

*Auch zum Zeitpunkt i = 12 wird wegen u12 = 0 die Codesequenz x12 = (11) ausgegeben und man geht vom Zustand s12 = S2 in den Zustand s13 = S0 über. 

*Dagegen wird zum Zeitpunkt i = 9 die Codesequenz (00) ausgegeben und auf s9 = S2 folgt s10 = S1. Gleiches gilt auch für i = 15. In beiden Fällen lautet das aktuelle Informationsbit ui = 1.{{end}} 

Aus diesem Beispiel ist zu erkennen, dass die Codesequenz xi zum Zeitpunkt i allein
*vom aktuellen Zustand si = Sμ (0 ≤ μ ≤ 2m – 1), sowie 

*vom aktuellen Informationsbit ui 

abhängt. Ebenso wird der Nachfolgezustand si+1 allein durch si und ui bestimmt. Diese Eigenschaften werden im so genannten Zustandsübergangsdiagramm auf der nächsten Seite berücksichtigt. 

== Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1) ==
 
Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm (englisch: State Transition Diagram) für unseren Standardcodierer. Dieses liefert alle Informationen über den (n = 2, k = 1, m = 2)–Faltungscodierer in kompakter Form. Die Farbgebung ist mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister_.281.29 sequenziellen Darstellung] auf der vorherigen Seite abgestimmt. Der Vollständigkeit halber ist auch die Herleitungstabelle nochmals angegeben. 

[[File:P ID3022 KC T 3 3 S2 v2.png|Zustandsübertragungsdiagramm 1 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Die 2m+k Übergänge sind mit &bdquo;ui | xi” beschriftet. Beispielsweise ist abzulesen:
*Durch das Informationsbit ui = 0 (gekennzeichnet durch eine rote Beschriftung) gelangt man vom Zustand si = S1 zum Zustand si+1 = S2 und die beiden Codebits lauten xi(1) = 1, xi(2) = 0. 

*Mit dem Informationsbit ui = 1 (blaue Beschriftung) im Zustand si = S1 ergeben sich dagegen die Codebits zu xi(1) = 0, xi(2) = 1, und man kommt zum neuen Zustand si+1 = S3. 

Die Struktur des Zustandsübergangsdiagramms ist allein durch die Parameter m und k festgelegt:
*Die Anzahl der Zustände ist 2m · k. 

*Von jedem Zustand gehen 2k Pfeile ab. 

Ein weiteres Beispiel folgt auf der nächsten Seite. 

== Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (2) ==
 
Die obere Grafik zeigt nochmals das Zustandsübergangsdiagramm für unseren Standardcodierer. Dieses dient lediglich als Vergleichsgrundlage für das nachfolgende Beispiel. 

[[File:P ID2679 KC T 3 3 S2a v1.png|Zustandsübertragungsdiagramm 1 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Die untere Grafik gilt für einen systematischen Code, ebenfalls mit den Kenngrößen n = 2, k = 1, m = 2. Es handelt sich um die äquivalente systematische Repräsentation des obigen Codierers. Man bezeichnet diesen auch als RSC–Codierer (englisch: Recursive Systematic Convolutional Encoder). 

[[File:P ID2680 KC T 3 3 S2b v3.png|Zustandsübertragungsdiagramm 2 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Gegenüber dem oberen Zustandsübergangsdiagramm erkennt man folgende Unterschiede:
*Da die früheren Informationsbits ui–1 und ui–2 nicht abgespeichert werden, beziehen sich hier die Zustände si = Sμ auf die verarbeiteten Größen wi–1 und wi–2, wobei wi = ui + wi–1 + wi–2 gilt. 

*Da dieser Code systematisch ist, gilt xi(1) = ui. Die Herleitung der zweiten Codebits xi(2) finden Sie in Aufgabe A3.5. Es handelt sich um ein rekursives Filter, wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion Kapitel 3.2] beschrieben. 

Der Bildervergleich zeigt, dass sich für beide Codierer ein ähnliches Zustandsübergangsdiagramm ergibt:
*Man gelangt von jedem Zustand si ∈ {S0, S1, S2,S3} zu den gleichen Nachfolgezuständen si+1. 

*Ein Unterschied besteht hinsichtlich der ausgegebenen Codesequenzen xi ∈ {00, 01, 10, 11}. 

== Darstellung im Trellisdiagramm (1) ==
 
Man kommt vom Zustandsübergangsdiagramm zum so genannten Trellisdiagramm (oder kurz: Trellis), indem man zusätzlich eine Zeitkomponente  ⇒  Laufvariable i berücksichtigt. Die folgende Grafik stellt die beiden Diagramme für unseren Standardcodierer (n = 2, k = 1, m = 2) gegenüber. 

[[File:P ID2635 KC T 3 3 S3 v2.png|Zustandsübergangsdiagramm vs. Trellisdiagramm (n = 2, k = 1, m = 2)|class=fit]] 

Die untere Darstellung hat Ähnlichkeit mit einem Gartenspalier – etwas Phantasie vorausgesetzt. Die englische Übersetzung hierfür ist &bdquo;Trellis”. Weiter ist anhand dieser Grafik zu erkennen:
*Da alle Speicherregister mit Nullen vorbelegt sind, startet das Trellis stets vom Zustand s1 = S0. Zum nächsten Zeitpunkt (i = 2) sind dann nur die beiden Zustände S0 und S1 möglich. 

*Ab dem Zeitpunkt i = m + 1 = 3 hat das Trellis für jeden Übergang von si nach si+1 genau das gleiche Aussehen. Jeder Zustand Sμ ist durch einen roten Pfeil (ui = 0) und einen blauen Pfeil (ui = 1) mit einem Nachfolgezustand verbunden. 

*Gegenüber einem Codebaum, der mit jedem Zeitschritt i exponentiell anwächst – siehe zum Beispiel [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger#Fehlergr.C3.B6.C3.9Fen_und_Gesamtfehlergr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29 Kapitel 3.8, Seite 2a] im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung” – ist hier die Zahl der Knoten (also der möglichen Zustände) auf 2m begrenzt. 

*Diese erfreuliche Eigenschaft eines jeden Trellisdiagramms nutzt auch der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Viterbi–Algorithmus] zur effizienten Maximum–Likelihood–Decodierung von Faltungscodes. 

== Darstellung im Trellisdiagramm (2) ==
 
Das folgende Beispiel soll zeigen, dass zwischen der Aneinanderreihung der Codesequenzen xi und den Pfaden durch das Trellisdiagramm eine 1:1–Zuordnung besteht. Auch die Informationssequenz u ist aus dem ausgewählten Trellispfad anhand der Farben der einzelnen Zweige ablesbar. Ein roter Zweig steht für das Informationsbit ui = 0, ein blauer für ui = 1. 

{{Beispiel}}''':''' Auf der ersten Seite dieses Abschnitts wurde für unseren Rate–1/2–Standardcodierer mit Gedächtnis m = 2 sowie die Informationssequenz u = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, ...) die Codesequenz x hergeleitet, die in nachfolgender Tabelle für i ≤ 9 nochmals angegeben ist. 

[[File:P ID2636 KC T 3 3 S3b v1.png|Trellisdiagramm einer Beispielssequenz|class=fit]] 

Darunter gezeichnet ist das Trellisdiagramm. Man erkennt:
*Der ausgewählte Pfad durch das Trellis ergibt sich durch die Aneinanderreihung roter und blauer Pfeile, die für die möglichen Informationsbits ui = 0 bzw. ui = 1 stehen. Diese Aussage gilt für jeden Rate–1/n–Faltungscode. Bei einem Code mit k > 1 gäbe es 2k verschiedenfarbige Pfeile. 

*Bei einem Rate–1/n–Faltungscode sind die Pfeile mit den Codeworten xi = (xi(1), ... , (xi(n)) beschriftet, die sich aus dem Informationsbit ui und den aktuellen Registerzuständen si ergeben. Für n = 2 gibt es nur vier mögliche Codeworte, nämlich 00, 01, 10 und 11. 

*In vertikaler Richtung erkennt man aus dem Trellis die möglichen Registerzustände Sμ. Bei einem Rate–k/n–Faltungscode mit der Gedächtnisordnung m gibt es 2k · m verschiedene Zustände. Im vorliegenden Beispiel (k = 1, m = 2) sind dies nur die Zustände S0, S1, S2 und S3.{{end}} 

== Definition der freien Distanz (1) ==
 
Als eine wichtige Kenngröße der linearen Blockcodes wurde in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Fehlererkennung_und_Fehlerkorrektur Kapitel 1.1] die minimale Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Codeworten x und x' eingeführt:

:<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =
\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.</math>

Aufgrund der Linearität gehört zu jedem Blockcode auch das Nullwort 0. Damit ist dmin auch gleich dem minimalen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Gewicht] wH (x) eines Codewortes x ≠ 0. 

Bei Faltungscodes erweist sich die Beschreibung der Distanzverhältnisse als wesentlich aufwändiger, da ein Faltungscode aus unendlich langen und unendlich vielen Codesequenzen besteht. 

{{Definition}}''':''' Die freie Distanz dF eines Faltungscodes ist gleich der Anzahl der Bits, in dem sich zwei beliebige Codesequenzen x und x' (mindestens) unterscheiden. Anders ausgedrückt: Die freie Distanz ist gleich der minimalen Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Pfaden durch das Trellis.{{end}} 

Da Faltungscodes ebenfalls linear sind, kann man auch hier als Bezugssequenz die unendlich lange Nullsequenz heranziehen: x = 0. Damit ist die freie Distanz dF gleich dem minimalen Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer Codesequenz x ≠ 0. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten die Nullsequenz 0 (weiß markiert) sowie zwei andere Codesequenzen x sowie x' (mit gelber bzw. dunkler Hinterlegung) in unserem Standard–Trellis und charakterisieren diese Sequenzen anhand der Zustandsfolgen:

:<math>\underline{0} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \left ( S_0 \rightarrow S_0 \rightarrow S_0\rightarrow S_0\rightarrow S_0\rightarrow \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right)= \left ( 00, 00, 00, 00, 00,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\right) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \left ( S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2\rightarrow S_0\rightarrow S_0\rightarrow \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right)= \left ( 11, 10, 11, 00, 00,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\right) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{x}' \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \left ( S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_3\rightarrow S_2\rightarrow S_0\rightarrow \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}\right)= \left ( 11, 01, 01, 11, 00,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\right) \hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2638 KC T 3 3 S4b v2.png|Zur Definition der freien Distanz|class=fit]] 

Man erkennt aus diesen Darstellungen:
*Die freie Distanz dF = 5 ist gleich dem Hamming–Gewicht wH(x). Keine andere Sequenz als die gelb hinterlegte unterscheidet sich von 0 um weniger als 5 Bit. Beispielsweise ist wH(x′) = 6. 

*In diesem Beispiel ergibt sich die freie Distanz dF = 5 auch als die Hamming–Distanz zwischen den Sequenzen x und x′, die sich genau in fünf Bitpositionen unterscheiden.{{end}} 

== Definition der freien Distanz (2) ==
 
Je größer die freie Distanz dF ist, desto besser ist das asymptotische Verhalten des Faltungscoders. Zur genauen Berechnung von Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man allerdings – ebenso wie bei den linearen Blockcodes – die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Gewichtsfunktion] (englisch: Weight Enumerator Function)  ⇒  siehe [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 3.5.] 

Die freie Distanz dF nimmt mit wachsendem Gedächtnis m zu, vorausgesetzt, man verwendet für die Übertragungsfunktionsmatrix G(D) geeignete Polynome. In der Tabelle sind für Rate–1/2–Faltungscodes die n = 2 Polynome zusammen mit dem dF–Wert angegeben. Von Bedeutung ist insbesondere der sog. Industriestandardcode mit m = 6  ⇒  64 Zustände und der freien Distanz dF = 10. 

[[File:P ID2639 KC T 3 3 S4c.png|Optimale Faltungscodes der Rate 1/2|class=fit]] 

Das folgende Beispiel zeigt, welche Auswirkungen es hat, wenn man ungünstige Polynome zugrundelegt. 

{{Beispiel}}''':''' Unser (n = 2, k = 1, m = 2)–Standard–Coder basiert auf der Übertragungsfunktionsmatrix G(D) = (1+D+D2, 1+D2). Dieser weist die freie Distanz dF = 5 auf. 

[[File:P ID2640 KC T 3 3 S4d v3.png|Zustandsübergangsdiagramm 3 für n = 2, k = 1, m = 2|class=fit]] 

Verwendet man G(D) = (1+D, 1+D2), so ändert sich das Zustandsübergangsdiagramm gegenüber dem Standard–Coder  ⇒  [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Darstellung_im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm_.281.29 Seite 2a] nur wenig. Die Auswirkungen sind aber gravierend:
*Die freie Distanz ist nun nicht mehr dF = 5, sondern nur noch dF = 3, wobei die Codesequenz x = (11, 01, 00, 00, ...) zur Informationssequenz u = 1 = (1, 1, 1, 1, ...) gehört. 

*Das heißt: Durch nur drei Übertragungsfehler an den Positionen 1, 2, und 4 verfälscht man die Einssequenz (1) in die Nullsequenz (0) und produziert so unendlich viele Decodierfehler. 

*Einen Faltungscodierer mit diesen Eigenschaften bezeichnet man als katastrophal. Der Grund für dieses extrem ungünstige Verhalten ist, dass hier 1+D und 1+D2 nicht teilerfemd sind.{{end}} 

== Terminierte Faltungscodes ==
 
Bei der theoretischen Beschreibung der Faltungscodes geht man stets von Informationssequenzen u und Codesequenzen x aus, die per Definition unendlich lang sind. In praktischen Anwendungen, siehe zum Beispiel GSM und UMTS verwendet man dagegen stets eine Informationssequenz endlicher Länge L. Bei einem Rate–1/n–Faltungscode hat dann die Codesequenz mindestens die Länge n · L. 

[[File:P ID2641 KC T 3 3 S5 v2.png| Terminierter Faltungscode der Rate R = 128/260|class=fit]] 

Die Grafik zeigt ohne Hinterlegung das Trellis unseres Standard–Rate–1/2–Faltungscodes bei binärer Eingangsfolge u der endlichen Länge L = 128. Damit hat die Codefolge x die Länge 2 · L = 256. Aufgrund des undefinierten Endzustands ist eine vollständige Maximum–Likelihood–Decodierung der gesendeten Folge allerdings nicht möglich. Da man nicht weiß, welcher der Zustände S0, ... , S3 sich für i > L einstellen würden, wird die Fehlerwahrscheinlichkeit (etwas) größer sein als im Grenzfall L → ∞. 

Um dies zu verhindern, terminiert man den Faltungscode entsprechend der Hinterlegung in obiger Grafik:
*Man fügt an die L = 128 Informationsbits noch m = 2 Nullen an  ⇒  L' = 130.

*Damit ergibt sich beispielsweise für den farblich hervorgehobenen Pfad durch das Trellis:

::<math>\underline{x}' = (11\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 00 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm},\hspace{0.05cm} 10\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}00\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 01\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 11 \hspace{0.05cm} ) </math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{u}' = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm} ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Das Trellis endet nun stets (also unabhängig von den Daten) im definierten Endzustand S0 und man erreicht so die bestmögliche Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend Maximum–Likelihood. 

*Die Verbesserung hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit erkauft man sich allerdings auf Kosten einer kleineren Coderate. Gilt L >> m, so ist dieser Verlust nur gering. Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit Terminierung die Coderate R ' = 0.5 · L/(L + m) ≈ 0.492 anstelle von R = 0.5. 

== Punktierte Faltungscodes ==
 
Wir gehen von einem Faltungscode der Rate R0 = 1/n0 aus, den wir Muttercode nennen. Streicht man von dessen Codesequenz einige Bits entsprechend einem vorgegebenen Muster, so spricht man von einem punktierten Faltungscode (englisch: Punctured Convolutional Code) mit der Coderate R > R0. 

Die Punktierung geschieht mittels der Punktierungsmatrix P mit folgenden Eigenschaften:
*Die Zeilenzahl ist n0, die Spaltenzahl gleich der Punktierungsperiode p, die durch die gewünschte Coderate bestimmt wird. 

*Die n0 · p Matrixelemente Pij sind binär (0 oder 1). Bei Pij = 1 wird das entsprechende Codebit übernommen, bei Pij = 0 punktiert. 

*Die Rate des punktierten Faltungscodes ergibt sich als der Quotient aus p und der Anzahl N1 der Einsen in der P–Matrix. 

Man findet günstig punktierte Faltungscodes üblicherweise nur mittels computergestützter Suche. Dabei bezeichnet man einen punktierten Faltungscode dann als günstig, wenn er
*die gleiche Gedächtnisordnung m aufweist wie der Muttercode (auch die Gesamteinflusslänge ist in beiden Fällen gleich: ν = m + 1), 

*eine möglichst große freie Distanz dF besitzt, die natürlich kleiner ist als die des Muttercodes. 

{{Beispiel}}''':''' Ausgehend von unserem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Rate.E2.80.931.2F2.E2.80.93Faltungscodierer_.281.29 Rate–1/2–Standardcode] mit den Parametern n0 = 2, m = 2 erhält man mit der Punktierungsmatrix

:<math>{\boldsymbol{\rm P}} =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}N_1 = 4</math>

einen punktierten Faltungscode der Rate R = p/N1 = 3/4. Wir betrachten hierzu folgende Konstellation:
*Informationssequenz:                     u = (1, 0, 0, 1, 1, 0, ...), 

*Codesequenz ohne Punktierung:    x = (11, 10, 11, 11, 01, 01, ...), 

*Codesequenz mit Punktierung:      x' = (11, 1_, _1, 11, 0_, _1, ...), 

*Empfangssequenz ohne Fehler:      y = (11, 1_, _1, 11, 0_, _1, ...), 

*Modifizierte Empfangssequenz:     y' = (11, 1E, E1, 11, 0E, E1, ...). 

Jedes punktierte Bit in der Empfangssequenz y (markiert durch einen Unterstrich) wird also durch ein Erasure E ersetzt – siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC Binary Erasure Channel.] Ein solches durch die Punktierung entstandene Erasure wird vom Decoder genauso behandelt wie eine Auslöschung durch den Kanal. 

Natürlich erhöht sich durch die Punktierung die Fehlerwahrscheinlichkeit. Dies kann man bereits daran erkennen, dass die freie Distanz nach der Punktierung auf dF = 3 sinkt. Demgegenüber besitzt der Muttercode die freie Distanz dF = 5.{{end}} 

Eine Anwendung findet die Punktierung zum Beispiel bei den so genannten RCPC–Codes (Rate Compatible Punctered Convolutional Codes). Näheres hierzu in der Aufgabe A3.8. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.6 Zustandsübergangsdiagramm|A3.6 Zustandsübergangsdiagramm]]

[[Zusatzaufgaben:3.6 Übergangsdiagramm für m = 3]]

[[Aufgaben:3.7 Vergleich zweier Faltungscoder|A3.7 Vergleich zweier Faltungscoder]]

[[Zusatzaufgaben:3.7 Welcher Code ist katastrophal ?]]

[[Aufgaben:3.8 RCPC–Codes|A3.8 RCPC–Codes]]

{{Display}}

Channel Coding/Algebraic and Polynomial Description

2017-01-23T23:55:09Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Faltungscodierung und geeignete Decoder
|Vorherige Seite=Grundlagen der Faltungscodierung
|Nächste Seite=Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm
}}

== Definition und Interpretation der Teilmatrizen G0, ... , Gm ==
 
Entsprechend den Ausführungen in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes Kapitel 1.4] lässt sich das Codewort x eines linearen Blockcodes aus dem Informationswort u und der Generatormatrix G in einfacher Weise ermitteln:

:<math>\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.</math>

Dabei gilt:
*Die Vektoren u und x haben die Länge k (Bitanzahl eines Informationswortes) bzw. n (Bitanzahl eines Codewortes) und G besitzt die Dimension k × n (k Zeilen und n Spalten). 

*Bei Faltungscodierung bezeichnen dagegen u und x Sequenzen mit k' → ∞ und n' → ∞. Deshalb wird auch die Generatormatrix G in beiden Richtungen unendlich weit ausgedehnt sein. 

Als Vorbereitung für die Einführung der Generatormatrix G auf der nächsten Seite definieren wir m + 1 Teilmatrizen, jeweils mit k Zeilen und n Spalten, die wir mit Gl bezeichnen, wobei 0 ≤ l ≤ m gilt. 

{{Definition}}''':''' Ist das Matrizenelement Gl(κ, j) = 1, so sagt dies aus, dass das Codebit xi(j) durch das Informationsbit ui–l(κ) beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich 0.{{end}} 

Diese Definition wird nun an einem Beispiel verdeutlicht.

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2600 KC T 3 1 S4 v1.png|rechts|rahmenlos|Faltungscoder mit k = 2, n = 3 und m = 1]] Wir betrachten wiederum den Faltungscodierer gemäß nebenstehender Grafik mit den folgenden Codebits:

:<math>x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)}+ u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm}.</math>

Wegen der Gedächtnisordnung m = 1 wird dieser Codierer durch die beiden Teilmatrizen G0 und G1 charakterisiert:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Diese Matrizen sind wie folgt zu interpretieren:
*Erste Zeile von G0, rote Pfeile:       ui(1) beeinflusst sowohl xi(1) als auch xi(3), nicht jedoch xi(2). 

*Zweite Zeile von G0, blaue Pfeile:   ui(2) beeinflusst xi(2) und xi(3), aber nicht xi(1). 

*Erste Zeile von G1, grüne Pfeile:     ui–1(1) beeinflusst alle drei Coderausgänge. 

*Zweite Zeile von G1, brauner Pfeil: ui–1(2) beeinflusst nur xi(1).{{end}} 

== Generatormatrix eines Faltungscodierers mit Gedächtnis m ==
 
Mit den Teilmatrizen G0, ... , Gm lassen sich die n Codebits zum Zeitpunkt i wie folgt ausdrücken:

:<math>\underline{x}_i = \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.15cm}\underline{u}_{i-l} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_l =
\underline{u}_{i} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_0 + \underline{u}_{i-1} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_1 + ... + \underline{u}_{i-m} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_m
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei sind folgende vektorielle Größen zu berücksichtigen:

:<math>\underline{\it u}_i = \left ( u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, u_i^{(k)}\right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\underline{\it x}_i = \left ( x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, x_i^{(n)}\right )\hspace{0.05cm}.</math>

Betrachtet man die bei i = 1 beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen

:<math>\underline{\it u} = \big( \underline{\it u}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it u}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\underline{\it x} = \big( \underline{\it x}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it x}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},</math>

so kann dieser Zusammenhang durch die Matrixgleichung x = u · G ausgedrückt werden. Hierbei ist für die Generatormatrix G zu setzen:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\
& { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\
& & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\
& & & \cdots & \cdots & & & \cdots
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Aus der Gleichung erkennt man sofort das Gedächtnis m des Faltungscodes. Die Parameter k und n sind direkt nicht ablesbar. Sie sind aber durch die Zeilen– und Spaltenzahl der Teilmatrizen Gl festgelegt. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2601 KC T 3 2 S2 v1.png|rahmenlos|rechts|Generatormatrix eines Faltungscodes]] Mit den zwei Matrizen G0 und G1 – siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_k_.3D_2_Eing.C3.A4ngen letztes Beispiel] – erhält man die rechts skizzierte Matrix G. 

Anzumerken ist:
*Die Generatormatrix G erstreckt sich nach unten und nach rechts eigentlich bis ins Unendliche. Explizit dargestellt sind aber nur 8 Zeilen und 12 Spalten.

*Für die zeitlich begrenzte Informationssequenz u = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1) ist der gezeichnete Matrixteil ausreichend. Die Codesequenz lautet dann:   x = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0).

*Anhand der Beschriftungsfarben lassen sich die n = 3 Codewortstränge ablesen. Das gleiche Ergebnis haben wir (auf anderem Wege) im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_k_.3D_2_Eing.C3.A4ngen Beispiel] am Ende von Kapitel 3.1 erhalten.

::<math>\underline{\it x}^{(1)} = (0\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{\it x}^{(2)} = (1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm},1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
\underline{\it x}^{(3)} = (1\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 0) \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Generatormatrix für Faltungscodierer der Rate 1/n ==
 
Wir betrachten nun den Sonderfall k = 1, zum einen aus Gründen einer möglichst einfachen Darstellung, aber auch, weil Faltungscodierer der Rate 1/n für die Praxis eine große Bedeutung besitzen. 

[[File:P ID2602 KC T 3 2 S3a.png|rahmenlos|rechts|Faltungscoder (k = 1, n = 2, m = 1)]]

Faltungscodierer mit k = 1, n = 2 und m = 1 

Aus der nebenstehenden Skizze kann abgeleitet werden:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix}
1 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
11 & 01 & 00 & 00 & 00 & \cdots & \\
00 & 11 & 01 & 00 & 00 & \cdots & \\
00 & 00 & 11 & 01 & 00 & \cdots & \\
00 & 00 & 00 & 11 & 01 & \cdots & \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Für die Eingangssequenz u = (1, 0, 1, 1) beginnt die Codesequenz mit x = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, ...). Dieses Ergebnis ist gleich der Summe der Zeilen 1, 3 und 4 der Gewneratormatrix. 

[[File:P ID2603 KC T 3 2 S3b.png|rahmenlos|rechts|Faltungscoder (k = 1, n = 2, m = 2)]]

Faltungscodierer mit k = 1, n = 2 und m = 2 

Aufgrund der Gedächtnisordnung m = 2 gibt es hier drei Teilmatrizen:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix}
1 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix}
1 & 1
\end{pmatrix}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
11 & 10 & 11 & 00 & 00 & 00 & \cdots & \\
00 & 11 & 10 & 11 & 00 & 00 & \cdots & \\
00 & 00 & 11 & 10 & 11 & 00 & \cdots & \\
00 & 00 & 00 & 11 & 10 & 11 & \cdots & \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Hier führt die Eingangsssequenz u = (1, 0, 1, 1) zur Codesequenz x = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, ...). 

[[File:P ID2604 KC T 3 2 S3c.png|rahmenlos|rechts|Faltungscoder (k = 1, n = 3, m = 3)]]

Faltungscodierer mit k = 1, n = 3 und m = 3

Wegen m = 3 gibt es vier Teilmatrizen der Dimension 1 × 3:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}_1=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},</math>

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_2=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}}_3=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Damit lautet die resultierende Generatormatrix:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
110 & 001 & 001 & 011 & 000 & 000 & 000 & \cdots & \\
000 & 110 & 001 & 001 & 011 & 000 & 000 & \cdots & \\
000 & 000 & 110 & 001 & 001 & 011 & 000 & \cdots & \\
000 & 000 & 000 & 110 & 001 & 001 & 011 & \cdots & \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},</math>

und man erhält für u = (1, 0, 1, 1) die Codesequenz x = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, ...). 

== GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (1) ==
 
In [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Rate.E2.80.931.2F2.E2.80.93Faltungscodierer_.282.29 Kapitel 3.1] wurde bereits darauf hingewiesen, dass ein Faltungscodierer der Rate 1/n durch mehrere Digitale Filter realisiert werden kann, wobei die Filter parallel mit der gleichen Eingangsfolge u arbeiten. Bevor wir diese Aussage vertiefen, sollen zuerst die Eigenschaften eines Digitalfilters für das Galoisfeld GF(2) genannt werden. 

[[File:P ID2605 KC T 3 2 S4 v1.png|Digitales Filter in GF(2) der Ordnung m|class=fit]] 

Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
*Das Filter besitzt die Impulsantwort g = (g0, g1, g2, ... , gm), wobei für alle Filterkoeffizienten (mit den Indizes 0 ≤ l ≤ m) gilt:   gl ∈ GF(2) = {0, 1}. 

*Die einzelnen Symbole ui der Eingangsfolge u seien ebenfalls binär: ui ∈ {0, 1}. Damit gilt für das Ausgangssymbol zu den Zeitpunkten i ≥ 1 mit Addition und Multiplikation in GF(2):

::<math>x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.</math>

*Dies entspricht der (zeitdiskreten) [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich Faltungsoperation] (englisch: Convolution), gekennzeichnet durch einen Stern. Damit kann für die gesamte Ausgangssequenz geschrieben werden:

::<math>\underline{x} = \underline{u} * \underline{g}\hspace{0.05cm}.</math>

*Wesentlicher Unterschied gegenüber dem [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter Kapitel 5.2] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” ist die Modulo–2–Addition (1 + 1 = 0) anstelle der herkömmlichen Addition (1 + 1 = 2). 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2606 KC T 3 2 S4b.png|rahmenlos|rechts|Digitales Filter mit Impulsantwort (1, 0, 1, 1)]] Die Impulsantwort des dargestellten Digitalen Filters der Ordnung 3 lautet g = (1, 0, 1, 1).
Die Eingangssequenz dieses Filters sei zeitlich unbegrenzt:   u = (1, 1, 0, 0, 0, ...). 

Damit ergibt sich die (unendliche) Ausgangssequenz x im binären Galoisfeld ⇒ GF(2):

:<math>\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}. ... \hspace{0.05cm}) * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})= </math>
:<math>\hspace{0.3cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} . ... \hspace{0.05cm})
\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} . ... \hspace{0.05cm})
= (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, . ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.</math>

Bei der herkömmlichen Faltung (für reelle Zahlen) hätte dagegen das Ergebnis gelautet:

:<math>\underline{x}= (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 2,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, . ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2) ==
 
Zeitdiskrete Signale kann man auch durch Polynome bezüglich einer Dummy–Variablen repräsentieren. 

{{Definition}}''':''' Die zum zeitdiskreten Signal x = (x0, x1, x2, ...) gehörige D–Transformierte lautet:

:<math>X(D) = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}= \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D^i \hspace{0.05cm}.</math>

Für diese spezielle Transformation in einen Bildbereich verwenden wir auch die Notation:

:<math>\underline{x} = (x_0, x_1, x_2,\hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) \quad
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
X(D) = \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D^i \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

In der Literatur wird manchmal x(D) anstelle von X(D) verwendet. Wir schreiben in LNTwww aber alle Bildbereichsfunktionen mit Großbuchstaben, zum Beispiel Fourier–, Laplace– und D–Transformation:

:<math>x(t) \hspace{0.15cm}
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}
X(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x(t) \hspace{0.15cm}
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X(p)
\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} \underline{x} \hspace{0.15cm}
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}
X(D) \hspace{0.05cm}.</math>

Wir werden nun die D–Transformation auch auf die Informationssequenz u und die Impulsantwort g an. Aufgrund der zeitlichen Begrenzung von g ergibt sich die obere Summationsgrenze bei G(D) zu i = m: 

:<math>\underline{u} = (u_0, u_1, u_2,\hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) \quad
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
U(D) = \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D^i \hspace{0.05cm},</math>

:<math>\underline{g} = (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}, g_m) \quad
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
G(D) = \sum_{i = 0}^{m} g_i \cdot D^i \hspace{0.05cm}.</math> 

{{Satz}}''':''' Wie bei allen Spektraltransformationen gilt auch bei der D–Transformation im Bildbereich die Multiplikation, da die (diskreten) Zeitsignale u und g durch die Faltung verknüpft sind:

:<math>\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \quad
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
X(D) = U(D) \cdot G(D) \hspace{0.05cm}.</math>

Man bezeichnet, wie in der [http://en.lntwww.de/Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang Systemtheorie] allgemein üblich, auch die D–Transformierte G(D) der Impulsantwort g als Übertragungsfunktion (englisch: Transfer Function).{{end}} 

Der (recht einfache) Beweis dieses wichtigen Ergebnisses finden Sie in der Angabe zu Aufgabe Z3.3. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2607 KC T 3 2 S4b.png|rahmenlos|rechts|Digitales Filter mit Impulsantwort (1, 0, 1, 1)]] Wir betrachten wieder die zeitdiskreten Signale

:<math>\underline{u} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) \quad
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
U(D) = 1+ D \hspace{0.05cm},</math>

:<math>\underline{g} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
G(D) = 1+ D^2 + D^3 \hspace{0.05cm}.</math>

Wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters_.281.29 letzten Biespiel:] erhält man auch auf diesem Lösungsweg:

:<math>X(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} U(D) \cdot G(D) = (1+D) \cdot (1+ D^2 + D^3) =</math>
:<math>\hspace{1cm} = \hspace{-0.15cm} 1+ D^2 + D^3 +D + D^3 + D^4 = 1+ D + D^2 + D^4 </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.4cm} \underline{x} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.</math>

Die Multiplikation mit D im Bildbereich entspricht im Zeitbereich einer Verschiebung um eine Stelle nach rechts, weshalb man D als Verzögerungsoperator (englisch: Delay Operator) bezeichnet:

:<math>W(D) = D \cdot X(D) \quad
\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\circ\quad
\underline{w} = (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Anwendung der D–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscoder (1) ==
 
Wir wenden nun die Ergebnisse der letzten Seite auf einen Faltungscoder an, wobei wir uns zunächst auf den Sonderfall k = 1 beschränken. Ein solcher (n, k = 1)–Faltungscode lässt sich mit n Digitalen Filtern realisieren, die auf der gleichen Informationssequenz u parallel arbeiten. Die Grafik zeigt die Anordnung für den Codeparameter n = 2  ⇒  Coderate R = 1/2. 

[[File:P ID2608 KC T 3 2 S5 v1.png|class=fit|Zwei parallel arbeitende Filter, jeweils mit Ordnung m]] 

Die nachfolgenden Gleichungen gelten für beide Filter gleichermaßen, wobei für das obere Filter j = 1 und für das untere Filter j = 2 zu setzen ist:
*Die Impulsantworten der beiden Filter ergeben sich zu

::<math>\underline{g}^{(j)} = (g_0^{(j)}, g_1^{(j)}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}, g_m^{(j)}\hspace{0.01cm}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit }\hspace{0.15cm} j \in \{1,2\}\hspace{0.05cm}.</math>

*Die beiden Ausgangssequenzen lauten:

::<math>\underline{x}^{(j)} = (x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, x_2^{(j)}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.05cm}) = \underline{u} \cdot \underline{g}^{(j)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit }\hspace{0.15cm} j \in \{1,2\}\hspace{0.05cm}.</math>

:Hierbei ist berücksichtigt, dass das obere Filter und das untere Filter beide auf der gleichen Eingangssequenz u = (u0, u1, u2, ...) arbeiten.

*Für die D–Transformierten der Ausgangssequenzen gilt:

::<math>X^{(j)}(D) = U(D) \cdot G^{(j)}(D) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit }\hspace{0.15cm} j \in \{1,2\}\hspace{0.05cm}.</math>

Auf der nächsten Seite verwenden wir eine kompaktere Schreibweise. 

== Anwendung der D–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscoder (2) ==
 
Um den soeben dargelegten Sachverhalt kompakter darstellen zu können, definieren wir nun folgende vektorielle Größen eines Faltungscodes der Rate 1/n:

{{Definition}}''':''' Die D–Übertragungsfunktionen der n parallel angeordneten digitalen Filter werden im Vektor G(D) zusammengefasst:

:<math>\underline{G}(D) = \left ( G^{(1)}(D), G^{(2)}(D), \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, G^{(n)} (D) \right )\hspace{0.05cm}.</math>

Der Vektor X(D) beinhaltet die D–Transformierten der n Codesequenzen x(1), x(2), ... , x(n):

:<math>\underline{X}(D) = \left ( X^{(1)}(D), X^{(2)}(D), \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, X^{(n)} (D) \right )\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Damit erhält man die folgende Vektorgleichung:

:<math>\underline{X}(D) = U(D) \cdot \underline{G}(D)\hspace{0.05cm}.</math>

Aufgrund des Codeparameters k = 1 ist U(D) hier keine vektorielle Größe. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2609 KC T 3 2 S5b.png|rahmenlos|rechts|Faltungscoder mit n = 2, k = 1 und m = 2]] Wir betrachten beispielhaft den skizzierten Faltungscode mit den Codeparametern n = 2, k = 1 und m = 2. Für diesen gilt:

:<math>\underline{g}^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
G(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{g}^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
G(D) = 1+ D^2 </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{G}(D) = \big ( 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}1+ D^2 \big )\hspace{0.05cm}.</math>

Die Informationssequenz sei u = (1, 0, 1, 1), was zur D–Transformierten U(D) = 1 + D2 + D3 führt. Damit erhält man

:<math>\underline{X}(D) = \left ( X^{(1)}(D),\hspace{0.1cm} X^{(2)}(D) \right ) = U(D) \cdot \underline{G}(D) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}</math>

wobei

:<math>{X}^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1+ D^2 + D^3) \cdot (1+ D + D^2)=</math>
:<math>\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm}1+ D + D^2 + D^2 + D^3 + D^4 + D^3 + D^4 + D^5 = 1+ D + D^5</math>

:<math>\Rightarrow \underline{x}^{(1)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},</math>

:<math>{X}^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1+ D^2 + D^3) \cdot (1+ D^2)=</math>
:<math>\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm}1+ D^2 + D^2 + D^4 + D^3 + D^5 = 1+ D^3 + D^4 + D^5</math>

:<math>\Rightarrow \underline{x}^{(2)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.</math>

Das gleiche Ergebnis haben wir in der Aufgabe Z3.1 auf anderem Wege erhalten. Nach dem Multplexen der beiden Sränge erhält man wieder:   x = (11, 10, 00, 01, 01, 11, 00, 00, ... ).{{end}} 

== Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix (1) ==
 
Auf der letzten Seite haben wir gesehen, dass ein Faltungscode der Rate 1/n sich am kompaktesten als Vektorgleichung im D–transformierten Bereich beschreiben lässt:

:<math>\underline{X}(D) = U(D) \cdot \underline{G}(D)\hspace{0.05cm}.</math>

Nun erweitern wir das Resultat auf Faltungscodierer mit mehr als einem Eingang  ⇒  k≥ 2 (siehe Grafik). 

[[File:P ID2616 KC T 3 2 S6b v1.png|Allgemeiner (n. k)–Faltungscoder |class=fit]] 

Um einen Faltungscode der Rate k/n im D–Bereich abbilden zu können, muss die Dimension obiger Vektorgleichung hinsichtlich Eingang und Übertragungsfunktion erhöht werden:

:<math>\underline{X}(D) = \underline{U}(D) \cdot { \boldsymbol{\rm G}}(D)\hspace{0.05cm},</math>

mit folgenden Maßnahmen:
*Aus der skalaren Funktion U(D) wird der Vektor U(D) = (U(1)(D), U(2)(D), ... , U(k)(D)). 

*Aus dem Vektor G(D) wird die k×n–Matrix G(D), die man als Übertragungsfunktionsmatrix bezeichnet (englisch: Transfer Function Matrix oder auch Polynomial Generator Matrix):

::<math>{\boldsymbol{\rm G}}(D)=\begin{pmatrix}
G_1^{(1)}(D) & G_1^{(2)}(D) & \ldots & G_1^{(n)}(D)\\
G_2^{(1)}(D) & G_2^{(2)}(D) & \ldots & G_2^{(n)}(D)\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
G_k^{(1)}(D) & G_k^{(2)}(D) & \ldots & G_k^{(n)}(D)
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

*Jedes der k·n Matrixelemente Gi(j)(D) mit 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n ist ein Polynom über der Dummy–Variablen D im Galoisfeld GF(2), maximal vom Grad m, wobei m das Gedächtnis angibt. 

*Für die obige Übertragungsfunktionsmatrix kann mit den zu Beginn dieses Kapitels definierten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Definition_und_Interpretation_der_Teilmatrizen_G0.2C_..._.2C_Gm Teilmatrizen] G0, ... , Gm auch geschrieben werden (als Index verwenden wir wieder l):

::<math>{\boldsymbol{\rm G}}(D) = \sum_{l = 0}^{m} {\boldsymbol{\rm G}}_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l
= {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D + {\boldsymbol{\rm G}}_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm}+ {\boldsymbol{\rm G}}_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m
\hspace{0.05cm}.</math>

Auf der nächsten Seite werden diese Definitionen und Gesetzmäßigkeiten an einem ausführlichen Beispiel verdeutlicht. 

== Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix (2) ==
 
{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2617 KC T 3 1 S4 v1.png|rahmenlos|rechts|Faltungscoder mit k = 2, n = 3 und m = 1]] Wir betrachten nun wieder den (n = 3, k = 2, m = 1)–Faltungscoder, dessen Teilmatrizen in einem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Definition_und_Interpretation_der_Teilmatrizen_G0.2C_..._.2C_Gm früheren Beispiel] wie folgt ermittelt wurden:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \\
{ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Wegen m = 1 existieren keine Teilmatrizen für l ≥ 2. Damit lautet die Übertragungsfunktionsmatrix:

:<math>{\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_0 + {\boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D =
\begin{pmatrix}
1+D & D & 1+D\\
D & 1 & 1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die (zeitlich begrenzte) Informationssequenz sei u = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1), woraus sich die beiden Eingangsfolgen wie folgt ergeben:

:<math>\underline{u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
{U}^{(1)}(D) = D + D^3 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
{U}^{(2)}(D) = 1 + D^3 \hspace{0.05cm}.</math>

Daraus folgt für den Vektor der D–Transformierten am Coderausgang:

:<math>\underline{X}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \big (\hspace{0.05cm} {X}^{(1)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(2)}(D)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} {X}^{(3)}(D)\hspace{0.05cm}\big ) = \underline{U}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D)</math>
:<math>\hspace{1cm} = \hspace{-0.15cm} \begin{pmatrix}
D+D^3 & 1+D^3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1+D & D & 1+D\\
D & 1 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Damit ergeben sich in den drei Strängen folgende Codesquenzen:

:<math>{X}^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (D + D^3) \cdot (1+D) + (1 + D^3) \cdot D =</math>
:<math>\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm} D + D^2 + D^3 + D^4 + D + D^4 = D^2 + D^3</math>

:<math>\Rightarrow \underline{x}^{(1)} = (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},</math>

:<math>{X}^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (D + D^3) \cdot D + (1 + D^3) \cdot 1 =</math>
:<math>\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm} D^2 + D^4 + 1 + D^3 = 1+D^2 + D^3 + D^4</math>

:<math>\Rightarrow \underline{x}^{(2)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},</math>

:<math>{X}^{(3)}(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (D + D^3) \cdot (1 + D) + (1 + D^3) \cdot 1 =</math>
:<math>\hspace{1.5cm} = \hspace{-0.15cm} D + D^2 + D^3+ D^4 + 1 + D^3 = 1+ D + D^2 + D^4</math>

:<math>\Rightarrow \underline{x}^{(3)} = (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.</math>

Die gleichen Ergebnisse haben wir auf anderen Wegen bereits in vorherigen Beispielen erhalten:
* im Beispiel von [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_k_.3D_2_Eing.C3.A4ngen Kapitel 3.1, Seite 4.] 

*im Beispiel von [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Generatormatrix_eines_Faltungscodierers_mit_Ged.C3.A4chtnis_m Kapitel 3.2, Seite 2.]{{end}} 

== Systematische Faltungscodes (1) ==
 
Die Polynomrepräsentation anhand der Übertragungsfunktionsmtrix G(D) ermöglicht Einblicke in die Struktur eines Faltungscodes. Beispielsweise erkennt man anhand dieser k&timesn–Matrix, ob es sich um einen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes_.282.29 systematischen Code] handelt. Darunter versteht man einen Code, bei dem die Codesequenzen x(1), ... , x(k) mit den Informationssequenzen u(1), ... , u(k) identisch sind. Die Grafik zeigt beispielhaft einen systematischen (n = 4, k = 3)–Faltungscode. 

[[File:P ID2611 KC T 3 2 S7 v2.png|Systematischer Faltungscode mit k = 3 und n = 4|class=fit]] 

Ein systematischer (n, k)–Faltungscode liegt immer dann vor, wenn die Übertragungsfunktionsmatrix (mit k Zeilen und n Spalten) folgendes Aussehen hat:

:<math>{\boldsymbol{\rm G}}(D) = {\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei ist folgende Nomenklatur verwendet:
*Ik bezeichnet eine diagonale Einheitsmatrix der Dimension k × k. 

*P(D) ist eine k × (n –k)–Matrix, wobei jedes Matrixelement ein Polynom in D beschreibt. 

{{Beispiel}}''':''' Ein systematischer Faltungscode mit den Codeparametern n = 3, k = 2, m = 2 könnte beispielsweise die folgende Übertragungsfunktionsmatrix aufweisen:

:<math>{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1+D^2\\
0 & 1 & 1+D
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Andere systematische Faltungscodes mit gleichem n und gleichem k unterscheiden sich demgegenüber nur durch die beiden Matrixelemente in der letzten Spalte.{{end}} 

Zu jedem (n, k)–Faltungscode mit der Generatormatrix G(D) kann ein äquivalenter systematischer Code gefunden werden, dessen D–Matrix wir mit Gsys(D) benennen. 

[[File:P ID2622 KC T 3 2 S7 v1.png|Unterteilung von G(D) in T(D) und Q(D)|class=fit]] 

Auf der nächsten Seite wird gezeigt, wie man von einer beliebigen Matrix G(D) durch Aufspalten in zwei Teilmatrizen T(D) und Q(D) und verschiedene Matrizenoperationen zur Matrix Gsys(D) kommt. 

== Systematische Faltungscodes (2) ==
 
Um von einer Übertragungsfunktionsmatrix G(D) zur Matrix Gsys(D) eines äquivalenten systematischen Faltungscodes zu kommen, geht man entsprechend der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes_.281.29 Grafik] auf der letzten Seite wie folgt vor:
*Man unterteilt die k×n–Matrix G(D) in eine quadratische Matrix T(D) mit k Zeilen und k Spalten und bezeichnet den Rest mit Q(D).

*Anschließend berechnet man die zu T(D) inverse Matrix T–1(D) und daraus die Matrix für den äquivanten systematischen Code:

::<math>{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.</math>

*Da T–1(D) · T(D) die k×k–Einheitsmatrix Ik ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:

::<math>{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ]
\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}.
\hspace{0.05cm}</math>

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2613 KC T 3 2 S1 neu.png|rahmenlos|rechts|Faltungscodierer der Rate 2/3]] Der auf den letzten Seiten schon häufiger betrachtete Coder der Rate 2/3 ist nicht systematisch, weil zum Beispiel
x(1) ≠ u(1), x(2) ≠ u(2) gilt (siehe nebenstehende Coderschaltung). 

Man erkennt dies aber auch anhand der Übertragungsfunktionsmatrix:

:<math>{\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}\big ]</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
{\boldsymbol{\rm T}}(D) = \begin{pmatrix}
1+D & D\\
D & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \begin{pmatrix}
1+D \\
1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Determinante von T(D) ergibt sich zu (1 + D) · 1 + D · D = 1 + D + D2 und ist ungleich 0. Somit kann für die Inverse von T(D) geschrieben werden (Vertauschung der Diagonalelemente!):

:<math>{\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix}
1 & D\\
D & 1+D
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Das Produkt T(D) · T–1(D) ergibt die Einheitsmatrix I2, und für die dritte Spalte von Gsys(D) gilt:

:<math>{\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D)
= \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix}
1 & D\\
D & 1+D
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1+D\\
1
\end{pmatrix} </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)
= \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix}
(1+D) + D \\
D \cdot (1+D) + (1+D)
\end{pmatrix}
= \frac{1}{1+D+D^2} \cdot \begin{pmatrix}
1 \\
1+D^2
\end{pmatrix} </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.2cm}{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{1+D+D^2}\\
0 & 1 &\frac{1+D^2}{1+D+D^2}
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. </math>

Es ist noch zu klären, wie das Filter einer solchen gebrochen–rationalen Übertragungsfunktion aussieht.{{end}} 

== Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion ==
 
Hat eine Übertragungsfunktion die Form G(D) = A(D)/B(D), so bezeichnet man das zugehörige Filter als rekursiv. Bei einem rekursiven Faltungscodierer mit dem Gedächtnis m kann für die beiden Polynome A(D) und B(D) allgemein geschrieben werden:

:<math>A(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{l = 0}^{m} a_l \cdot D^l = a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm} + a_m \cdot D^m \hspace{0.05cm},</math>
:<math>B(D) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 1 + \sum_{l = 1}^{m} b_l \cdot D^l = 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm} + b_m \cdot D^m \hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik zeigt die entsprechende Filterstruktur in der so genannten Controller Canonical Form. 

[[File:P ID2619 KC T 3 2 S8 v1.png|Rekursives Filter zur Realisierung von G(D) = A(D)/B(D)|class=fit]] 

Die Koeffizienten a0, ... , am beschreiben den Vorwärtszweig, während b1, ... , bm eine Rückkopplung bilden. Alle Koeffizienten sind binär, also 1 (durchgehende Verbindung) oder 0 (fehlende Verbindung). 

{{Beispiel}}''':''' Die rechts skizzierte Filterstruktur lässt sich durch folgende Gleichungen beschreiben:

:<math>x_i \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} w_i + w_{i-2} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>w_i \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-1}+ w_{i-2} \hspace{0.05cm}.</math>

Entsprechend gilt für die D–Transformierten:

:<math>X(D) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} W(D) + W(D) \cdot D^2 =</math>
:<math> \hspace{1.3cm} = \hspace{0.15cm} W(D) \cdot \left ( 1+ D^2 \right ) \hspace{0.05cm},</math>

:<math>W(D) = \hspace{0.08cm} U(D) + W(D) \cdot D+ W(D) \cdot D^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
U(D) = W(D) \cdot \left ( 1+ D + D^2 \right ) \hspace{0.05cm}.</math>

Somit erhält man für die Übertragungsfunktion dieses Filters:

:<math>G(D) = \frac{X(D)}{U(D)} = \frac{1+D^2}{1+D+D^2} \hspace{0.05cm}. </math>

Im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes_.282.29 Beispiel zu den systematischen Faltungscodes] hat sich genau ein solcher Ausdruck ergeben.{{end}} 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.2 G–Matrix eines Faltungscoders|A3.2 G–Matrix eines Faltungscoders]]

[[Zusatzaufgaben:3.2 (3, 1, 3)–Faltungscodierer]]

[[Aufgaben:3.3 x über U(D) und G(D)|A3.3 x über U(D) und G(D)]]

[[Zusatzaufgaben:3.3 Faltung und D–Transformation]]

[[Aufgaben:3.4 Systematische Faltungscodes|A3.4 Systematische Faltungscodes]]

[[Zusatzaufgaben:3.4 Äquivalente Faltungscodes?]]

[[Aufgaben:3.5 Rekursive Filter für GF(2)|A3.5 Rekursive Filter für GF(2)]]

{{Display}}

Channel Coding/Basics of Convolutional Coding

2017-01-23T23:40:19Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Faltungscodierung und geeignete Decoder
|Vorherige Seite=Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete
|Nächste Seite=Algebraische und polynomische Beschreibung
}}

== Voraussetzungen und Definitionen ==
 
Wir betrachten in diesem Kapitel eine unendlich lange binäre Informationssequenz u und unterteilen diese in Informationsblöcke ui zu je k Bit. Man kann diesen Sachverhalt wie folgt formalisieren:

:<math>\underline{\it u} = \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, ... \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i , ... \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} \underline{\it u}_i = \left ( u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, ... \hspace{0.1cm}, u_i^{(k)}\right )\hspace{0.05cm},</math>

:<math>u_i^{(j)}\in {\rm GF(2)}\hspace{0.3cm}{\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.3cm}1 \le j \le k
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \underline{\it u}_i \in {\rm GF}(2^k)\hspace{0.05cm}.</math>

Im Englischen bezeichnet man eine solche Sequenz ohne negative Indizes als semi–infinite. 

{{Definition}}''':''' Bei einem binären Faltungscode (englisch: Binary Convolutional Code) wird zu dem Taktzeitpunkt i ein Codewort xi bestehend aus n Codebits ausgegeben:

:<math>\underline{\it x}_i = \left ( x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, ... \hspace{0.1cm}, x_i^{(n)}\right )\in {\rm GF}(2^n)\hspace{0.05cm}.</math>

Dieses ergibt sich entsprechend
*den k Bit des aktuellen Informationsblockes ui, und 

*den m vorherigen Informationsblöcken u i–1, ... , u i–m. {{end}} 

Die folgende Grafik verdeutlicht diesen Sachverhalt für die Parameter k = 4, n = 7, m = 2 und i = 4. Die n = 7 zum Zeitpunkt i = 4 erzeugten Codebits x4(1), ... , x4(7) können (direkt) von den k · (m + 1) = 12 rot markierten Informationsbits abhängen und werden durch Modulo–2–Additionen erzeugt. 

[[File:P ID2590 KC T 3 1 S1 v1.png|Abhängigkeiten bei einem Faltungscodierer mit m = 2|class=fit]] 

Gelb eingezeichnet ist zudem ein (n, k)–Faltungscodierer. Zu beachten ist, dass sich der Vektor ui und die Sequenz u(i) grundlegend unterscheiden. Während ui = (ui(1), ui(2), ... , ui(k)) die k zum Zeitpunkt i parallel anliegenden Informationsbits zusammenfasst, bezeichnet u(i) = (u1(i), u2(i), ...) die (horizontale) Sequenz am i–ten Eingang des Faltungscodierers. Für den Faltungscode gelten folgende Definitionen:
*Die Coderrate ergibt sich wie bei den Blockcodes zu R = k/n. 

*Man bezeichnet m als das Gedächtnis (englisch: Memory) des Codes und den Convolutional Code selbst mit CC(n, k, m). 

*Daraus ergibt sich die Einflusslänge (englisch: Constraint Length) zu ν = m + 1. 

*Für k > 1 gibt man diese Parameter oft auch in Bit an: mBit = m · k bzw. νBit = (m + 1) · k. 

== Gemeinsamkeiten und Unterschiede gegenüber Blockcodes ==
 
Aus der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Voraussetzungen_und_Definitionen Definition] auf der letzten Seite ist ersichtlich, dass ein binärer Faltungscode mit m = 0 (also ohne Gedächtnis) identisch wäre mit einem binären Blockcode wie in Kapitel 1 beschrieben. Wir schließen diesen Grenzfall aus und setzen deshalb für das Folgende stets voraus:
*Das Gedächtnis m sei größer oder gleich 1. 

*Die Einflusslänge ν sei größer oder gleich 2. 

{{Beispiel}}''':''' Bei einem (7, 4)–Blockcode hängt das Codewort x4 nur vom Informationswort u4 ab, nicht jedoch von u2 und u3, wie bei dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Voraussetzungen_und_Definitionen beispielhaften Faltungscodes] (mit m = 2) auf der letzten Seite. 

[[File:P ID2592 KC T 3 1 S2 v2.png|Abhängigkeiten bei einem (7, 4)–Blockcode zum Zeitpunkt i = 4|class=fit]] 

Gilt beispielsweise x4(1) = u4(1), x4(2) = u4(2), x4(3) = u4(3), x4(4) = u4(4) sowie

:<math>x_4^{(5)} = u_4^{(1)}+ u_4^{(2)}+u_4^{(3)}\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm}
x_4^{(6)} = u_4^{(2)}+ u_4^{(3)}+u_4^{(4)}\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm}
x_4^{(7)} = u_4^{(1)}+ u_4^{(2)}+u_4^{(4)}\hspace{0.05cm} ,</math>

so handelt es sich um einen so genannten systematischen Hamming–Code (7, 4, 3) entsprechend [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.282.29 Kapitel 1.3.] In der Grafik sind diese speziellen Abhängigkeiten für x4(1) und x4(7) rot eingezeichnet.{{end}} 

In gewisser Weise könnte man auch einen (n, k)–Faltungscode mit Gedächtnis m ≥ 1 als Blockcode interpretieren, dessen Codeparameter n' >> n und k' >> k allerdings sehr viel größere Werte annehmen müssten als die des vorliegenden Faltungscodes. Aufgrund der großen Unterschiede in der Beschreibung, in den Eigenschaften und insbesondere bei der Decodierung betrachten wir aber Faltungscodes in diesem Lerntutorial als etwas völlig Neues. Hierfür sprechen folgende Gründe:
*Ein Blockcodierer setzt Informationsworte der Länge k Bit blockweise in Codeworte mit n Bit um. Der Blockcode ist dabei um so leistungsfähiger, je größer seine Codewortlänge n ist. Bei gegebener Coderate R = k/n erfordert dies auch eine große Informationswortlänge k. 

*Dagegen wird die Korrekturfähigkeit eines Faltungscodes im wesentlichen durch sein Gedächtnis m bestimmt. Die Codeparameter k und n werden hier meist sehr klein gewählt (1, 2, 3, ...). Von praktischer Bedeutung sind somit nur ganz wenige und zudem sehr einfache Faltungscodes. 

*Auch schon bei kleinen Werten für k und n überführt ein Faltungscoder eine ganze Sequenz von Informationsbits (k' → ∞) in eine sehr lange Sequenz von Codebits (n' = k'/R). Ein solcher Code bietet somit oft ebenfalls eine große Korrekturfähigkeit. 

*Es gibt effiziente Faltungsdecoder ⇒ [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Viterbi–Algorithmus] bzw. [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#BCJR.E2.80.93Decodierung:_Vorw.C3.A4rts.E2.80.93R.C3.BCckw.C3.A4rts.E2.80.93Algorithmus BCJR–Algorithmus.] Diese können Soft–Decision–Input (Zuverlässigkeitsinformationen über den Kanal) einfach verarbeiten und liefern auch Soft–Decision–Output (Zuverlässigkeitsinformation über das Decodierergebnis). 

== Rate–1/2–Faltungscodierer (1) ==
 
Die Grafik zeigt einen (n = 2, k = 1)–Faltungscodierer. Zum Taktzeitpunkt i liegt das Informationsbit ui am Codereingang an und es wird ein 2–Bit–Codeblock x i = (xi(1), xi(2)) ausgegeben. 

[[File:P ID2593 KC T 3 1 S3a v1.png|Faltungscoder (k = 1, n = 2) für ein Informationsbit ui |class=fit]] 

Unter Berücksichtigung der (halb–unendlich) langen Informationssequenz u ergibt sich folgendes Modell: 

[[File:P ID2594 KC T 3 1 S3b v1.png|class=fit|Faltungscoder (k = 1, n = 2) für die Informationssequenz u ]] 

Um aus einem einzigen Informationsbit ui zwei Codebits xi(1) und xi(2) generieren zu können, muss der Faltungscodierer mindestens ein Speicherelement beinhalten:

:<math>k = 1\hspace{0.05cm}, n = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m \ge 1
\hspace{0.05cm}.</math>

Anmerkung: Die beiden Begriffe Faltungscodierer und Faltungscoder werden in unserem Lerntutorial synonym verwendet und können beliebig ausgetauscht werden. Beide Begriffe bezeichnen die konkrete Umsetzung einer Informationssequenz u in eine Codesequenz x. 

Die Begriffe Faltungscodierer und Faltungscode sollte man allerdings nicht verwechseln. Unter einem Faltungscode CC (k, n, m)  ⇒  R = k/n  versteht man die Menge aller möglichen Codesequenzen x, die mit diesem Code unter Berücksichtigung aller möglichen Informationssequenzen u (am Eingang) generiert werden kann. Es gibt verschiedene Faltungscodierer, die den gleichen Faltungscode realisieren. 

{{Beispiel}}''':''' Nachfolgend ist ein Faltungscodierer für die Parameter k = 1, n = 2 und m = 1 dargestellt. Das gelbe Quadrat kennzeichnet ein Speicherelement. Dessen Beschriftung D ist von Delay abgeleitet. 

[[File:P ID2595 KC T 3 1 S3c v1.png|Faltungscodierer mit k = 1, n = 2, m = 1 sowie Beispielsequenzen|class=fit]] 

Es handelt sich hier um einen systematischen Faltungscodierer, gekennzeichnet durch xi(1) = ui. Der zweite Ausgang liefert xi(2) = ui + ui–1. In der beispielhaften Ausgangssequenz nach Multiplexing sind alle xi(1) rot und alle xi(2) blau beschriftet.{{end}} 

== Rate–1/2–Faltungscodierer (2) ==
 
Nachfolgend sehen Sie links das Ersatzschaltbild eines (n = 2, k = 1)–Faltungscodierers, aber nun mit m = 2 Speicherelementen. Die beiden Informationsbits lauten:

:<math>x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1}+ u_{i-2} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.</math>

Wegen xi(1) ≠ ui handelt es sich hier nicht um einen systematischen Code. 

[[File:P ID2596 KC T 3 1 S3d v1.png|Faltungscoder (k = 1, n = 2, m = 2) in zwei verschiedenen Darstellungen|class=fit]] 

Rechts angegeben ist eine Realisierungsform dieses Coders. Man erkennt:
*Die Informationssequenz u wird in einem Schieberegister der Länge L = m + 1 = 3 abgelegt. 

*Zum Taktzeitpunkt i beinhaltet das linke Speicherelement das aktuelle Informationsbit ui, das zu den nächsten Taktzeitpunkten jeweils um eine Stelle nach rechts verschoben wird. 

*Aus der Anzahl der gelben Quadrate ergibt sich wieder das Gedächtnis m = 2 des Coders. 

Aus den beiden Darstellungen wird deutlich, dass xi(1) und xi(2) jeweils als der Ausgang eines Digitalen Filters über dem Galoisfeld GF(2) interpretiert werden kann, wobei beide Filter parallel mit der gleichen Eingangsfolge u arbeiten. Da sich (ganz allgemein) das Ausgangssignal eines Filters aus der [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich Faltung] des Eingangssignals mit der Filterimpulsantwort ergibt, spricht man von Faltungscodierung. 

== Faltungscodierer mit k = 2 Eingängen ==
 
Nun betrachten wir einen Faltungscodierer, der aus k = 2 Informationsbits n = 3 Codebits generiert. Die Informationssequenz u wird in Blöcke zu je zwei Bit aufgeteilt. Zum Taktzeitpunkt i liegt am oberen Eingang das Bit ui(1) an und am unteren Eingang ui(2). Für die n = 3 Codebits zum Zeitpunkt i gilt dann:
[[File:P ID2598 KC T 3 1 S4 v1.png|rahmenlos|rechts| Faltungscodierer mit k = 2 und n = 3]]

:<math>x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)}+ u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm}.</math>

In der Grafik sind die Info–Bits ui(1) und ui(2) rot bzw. blau gekennzeichnet, und die vorherigen Info–Bits ui–1(1) und ui–1(2) grün bzw. braun.Anzumerken ist:
*Das Gedächtnis m ist gleich der maximalen Speicherzellenzahl in einem Zweig   ⇒   hier m = 1.

*Die Einflusslänge ν ist gleich der Summe aller Speicherelemente   ⇒   hier ν = 2. 

*Alle Speicherelemente seien zu Beginn der Codierung (Initialisierung) auf Null gesetzt. 

Der hiermit definierte Code ist die Menge aller möglichen Codesequenzen x, die sich bei Eingabe aller möglichen Informationssequenzen u ergeben. Sowohl u als auch x seien dabei (zeitlich) unbegrenzt. 

{{Beispiel}}''':''' Die Informationssequenz sei u = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, ...). Daraus ergeben sich die beiden Teilsequenzen u(1) = (0, 1, 0, 1, ...) und u(2) = (1, 0, 0, 1, ...). Mit der Festlegung u0(1) = u0(2) = 0 folgt aus den obigen Gleichungen für die n = 3 Codebits:
*im ersten Codierschritt (i = 1):

::<math>x_1^{(1)} = u_{1}^{(1)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
x_1^{(2)} = u_{1}^{(2)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
x_1^{(3)} = u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 = 1 \hspace{0.05cm},</math>

*im zweiten Codierschritt (i = 2):

::<math>x_2^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{1}^{(1)}+ u_{1}^{(2)} = 1 + 0 + 1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
x_2^{(2)} = u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(1)} = 0+0 = 0\hspace{0.05cm},</math>
::<math>x_2^{(3)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)}+ u_{1}^{(1)} = 1 + 0+0 =1\hspace{0.05cm},</math>

*im dritten Codierschritt (i = 3):

::<math>x_3^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{3}^{(1)} + u_{2}^{(1)}+ u_{2}^{(2)} = 0+1+0 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
x_3^{(2)} = u_{3}^{(2)} + u_{2}^{(1)} = 0+1=1\hspace{0.05cm},</math>
::<math>x_3^{(3)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{3}^{(1)} + u_{3}^{(2)}+ u_{2}^{(1)} = 0+0+1 =1\hspace{0.05cm},</math>

*und schließlich im vierten Codierschritt (i = 4):

::<math>x_4^{(1)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{4}^{(1)} + u_{3}^{(1)}+ u_{3}^{(2)} = 1+0+0 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
x_4^{(2)} = u_{4}^{(2)} + u_{3}^{(1)} = 1+0=1\hspace{0.05cm},</math>
::<math>x_4^{(3)} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u_{4}^{(1)} + u_{4}^{(2)}+ u_{3}^{(1)} = 1+1+0 =0\hspace{0.05cm}.</math>

Damit lautet die Codesequenz nach dem Multiplexer:   x = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...).{{end}} 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:3.1 Analyse eines Faltungscoders|A3.1 Analyse eines Faltungscoders]]

[[Zusatzaufgaben:3.1 Faltungscodes der Rate 1/2]]

{{Display}}

Channel Coding/Error Probability and Application Areas

2017-01-23T23:35:21Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung
|Nächste Seite=Grundlagen der Faltungscodierung
}}

== Blockfehlerwahrscheinlichkeit für RSC und BDD ==
 
Zur Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung gehen wir vom gleichen Blockschaltbild wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.5 Kapitel 2.5] aus, wobei wir uns hier für den Codewortschätzer (y → z) auf [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#M.C3.B6gliche_Codewortsch.C3.A4tzer:_HD.E2.80.93MLD_bzw._BDD_.281.29 Bounded Distance Decoding] (BDD) beschränken. Für Maximum Likelihood Decoding sind die Ergebnisse geringfügig besser. 

[[File:P ID2564 KC T 2 6 S1 v2.png|Systemmodell mit RSC, m–BSC und BDD|class=fit]] 

Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit sei wie folgt definiert:

:<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{\upsilon} \ne \underline{u})= { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{c}) = { \rm Pr}( f >t) \hspace{0.05cm}.</math>

Aufgrund der BDD–Annahme ergibt sich das gleiche einfache Ergebnis wie für die binären Blockcodes, nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl f der Fehler im Block (Empfangswort) größer ist als die Korrekturfähigkeit t des Codes. Da für die Zufallsgröße f (Fehleranzahl) eine [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung Binominalverteilung] im Bereich 0 ≤ f ≤ n vorliegt, erhält man:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} =
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.</math>

Während aber im Kapitel 1 stets ci ∈ GF(2) gegolten hat und damit die f Übertragungsfehler jeweils Bitfehler waren, versteht man bei Reed–Solomon–Codierung unter einem Übertragungsfehler (yi ≠ ci) wegen ci ∈ GF(2m) bzw. yi ∈ GF(2m) einen Symbolfehler. Damit ergeben sich folgende Unterschiede:
*Das diskrete Kanalmodell zur Beschreibung der binären Blockcodes ist der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC Binary Symmetric Channel] (BSC). Jedes Bit ci eines Codewortes wird mit der Wahrscheinlichkeit ε verfälscht (yi ≠ ci) und mit der Wahrscheinlichkeit 1 – ε richtig übertragen (yi = ci). 

*Bei Reed–Solomon–Codierung muss das BSC–Modell durch das m–BSC–Kanalmodell ersetzt werden. Ein Symbol ci wird mit der Wahrscheinlichkeit εS in ein anderes Symbol yi verfälscht (egal, in welches) und kommt mit der Wahrscheinlichkeit 1 – εS unverfälscht beim Empfänger an. 

{{Beispiel}}''':''' Wir gehen vom BSC–Parameter ε = 0.1 aus und betrachten Reed–Solomon–Codesymbole ci ∈ GF(28)   ⇒   m = 8, q = 256, n = 255. Für eine Symbolverfälschung (yi ≠ ci) genügt bereits ein falsches Bit. Oder anders ausgedrückt: Soll yi = ci gelten, so müssen alle m = 8 Bit des Codesymbols richtig übertragen werden:

:<math>1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - \varepsilon)^m = 0.9^8 \approx 0.43
\hspace{0.05cm}.</math>

Damit ergibt sich für das 8–BSC–Modell die Verfälschungswahrscheinlichkeit εS ≈ 0.57. Mit der Annahme, dass die Verfälschung von ci = β in jedes andere Symbol yi = γ ≠ β gleichwahrscheinlich ist, erhält man Pr(yi = γ | ci = β) = 0.57/255 ≈ 0.223%.{{end}} 

== Anwendung der Reed–Solomon–Codierung bei binären Kanälen (1) ==
 
Die Voraussetzungen für die folgende Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Systems mit Reed–Solomon–Codierung und Umsetzung auf Binärsymbole sind in der Grafik zusammenge-fasst:
*Angenommen wird eine (n, k)–Reed–Solomon–Codierung mit Symbolen aus GF(2m). Je kleiner die Coderate R = k/n ist, um so weniger Information kann bei fester Datenrate übertragen werden. 

*Jedes Symbol wird durch m Bit binär dargestellt  ⇒  Binär–Mapping. Ein Block (Codewort c) besteht somit aus n Symbolen bzw. aus n · m Binärzeichen (Bit), die in cbin zusammengefasst sind. 

*Vorausgesetzt wird außerdem der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal,] gekennzeichnet durch den Parameter EB/N0. Entsprechend diesem Kanalmodell geschieht die Übertragung bipolar: &bdquo;0” ↔  &bdquo;+1”, &bdquo;1” ↔  &bdquo;–1”. 

*Der Empfänger trifft harte Entscheidungen (Hard Decision) auf Bitebene. Vor der Decodierung inclusive der Fehlerkorrektur werden die Binärsymbole wieder auf GF(2m)–Symbole umgesetzt. 

:[[File:P ID2565 KC T 2 6 S2a v2.png|Anwendung der Reed–Solomon–Codierung bei Binärkanälen|class=fit]] 

Die auf der letzten Seite angegebene Gleichung (gültig für Bounded Distance Decoding),

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} =
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm},</math>

basiert auf dem m–BSC–Kanal. Ausgehend vom AWGN–Kanal kommt man
*mit dem [[komplementären Gaußschen Fehlerintegral Please add link and do not upload flash videos.]] Q(x) zum BSC–Parameter

::<math>\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{2 \cdot E_{\rm S}/N_0} \big )
= {\rm Q} \big (\sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \big )
\hspace{0.05cm},</math>

*und daraus zur Verfälschungswahrscheinlichkeit εS auf Symbolebene:

::<math>\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m
\hspace{0.05cm}.</math>

{{Beispiel}}''':''' Für R = k/n = 239/255 = 0.9373, 10 · lg EB/N0 = 7 dB  ⇒  EB/N0 ≈ 5 und n = 28 – 1  ⇒  m = 8 erhält man für den Parameter εS des 8–BSC–Modells:

:<math>\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{2 \cdot 0.9373 \cdot 5} \big ) = {\rm Q} \big (3.06\big ) \approx 1.1 \cdot 10^{-3}
\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - 1.1 \cdot 10^{-3})^8 = 1 - 0.9989^8 = 1 - 0.9912 \approx 0.88 \cdot 10^{-2}
\hspace{0.05cm}.</math>

Jedes einzelne Symbol wird also mit mehr als 99–prozentiger Wahrscheinlichkeit fehlerfrei übertragen.{{end}} 

== Anwendung der Reed–Solomon–Codierung bei binären Kanälen (2) ==
 
Die folgende Grafik zeigt die in [Liv10]<ref>Liva, G.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref> angegebenen Blockfehlerwahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit des AWGN–Quotienten 10 · lg (EB/N0). Dargestellt sind die berechneten Kurvenverläufe Pr(υ ≠ u) für zwei verschiedene Reed–Solomon–Codes entsprechend den Deep Space Standards nach CCSDS (Consultative Committee for Space Data Systems), nämlich

*der RSC (255, 239,17)256, der bis zu t = 8 Fehler korrigieren kann, 

*der RSC (255, 223, 33)256 mit höherer Korrekturfähigkeit (t = 16) aufgrund kleinerer Coderate. 

:[[File:P ID2566 KC T 2 6 S2b v1.png|Blockfehlerwahrscheinlichkeit zweier Reed–Solomon–Codes der Länge n = 255|class=fit]] 

Wir analysieren den in der Grafik gelb hinterlegten Punkt, gültig für
*den RSC (255, 239, 17)256, und 

*10 · lg EB/N0 = 7.1 dB ⇒ εS = 0.007. 

Die dazugehörige Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich entsprechend der Grafik zu

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} =
\sum_{f =9}^{255} {255 \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{255-f}\approx 10^{-4} \hspace{0.05cm}.</math>

Dominant ist hierbei der erste Term (für f = 9), der bereits etwa 80% ausmacht:

:<math>{255 \choose 9} \approx 1.1 \cdot 10^{16}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
\varepsilon_{\rm S}^9 \approx 4 \cdot 10^{-20}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
(1 -\varepsilon_{\rm S})^{246} \approx 0.18
\hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(f = 9) \approx 8 \cdot 10^{-5}
\hspace{0.05cm}.</math>

Dies soll als Beleg dafür gelten, dass man die Summation schon nach wenigen Termen abbrechen darf. 

Die hier nur angedeutete Berechnung sollen Sie in der Aufgabe A2.15 für den RSC (7, 3, 5)8 – also für etwas übersichtlichere Parameter – vollständig durchführen. 

== Anwendung der Reed–Solomon–Codierung bei binären Kanälen (3) ==
 
Die in der Grafik dargestellten Ergebnisse kann man wie folgt zusammenfassen:
*Für kleines EB/N0 (des AWGN–Kanals) sind die Reed–Solomon–Codes völlig ungeeignet. Beide Codes liegen für 10 · lg EB/N0 < 6 dB über der Vergleichskurve für uncodierte Übertragung. 

*Die Berechung für den RSC (255, 223, 33)256 unterscheidet sich von obiger Rechnung nur in der unteren Summationsgrenze (fmin = 17) und (wegen R = 0.8745) durch ein etwas größeres εS. 

*Dieser (t = 16)–Code ist für BER = 10–6 auch nur weniger als 1 dB besser als der durch grüne Kreuze gekennzeichnete Code mit t = 8. Die Ergebnisse beider Codes sind eher enttäuschend. 

:[[File:P ID2582 KC T 2 6 S2b v1.png|Blockfehlerwahrscheinlichkeit zweier Reed–Solomon–Codes der Länge n = 255|class=fit]] 

Allgemein gilt:
*Reed–Solomon–Codes sind beim gedächtnislosen Binärkanal (AWGN–Kanal) nicht sehr gut. Beide Codes liegen mehr als 4 dB von der informationstheoretischen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#AWGN.E2.80.93Kanalkapazit.C3.A4t_f.C3.BCr_bin.C3.A4re_Eingangssignale Shannon–Grenze] entfernt. 

*Reed–Solomon–Codes sind dagegen sehr wirkungsvoll bei so genannten [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Bündelfehlerkanälen.] Sie werden deshalb vorwiegend bei Fadingkanälen, Speichersysteme, usw. eingesetzt. 

Hinweis: Die Reed–Solomon–Codes sind nicht perfekt. Welche Konsequenzen sich daraus ergeben, wird in der Aufgabe A2.16 behandelt. 

== Typische Anwendungen mit Reed–Solomon–Codierung (1) ==
 
Reed–Solomon–Codierung wird häufig entsprechend der Grafik zusammen mit einem inneren Code in kaskadierter Form angewandt. Der innere Code ist fast immer ein Binärcode und in der Satelliten– und Mobilkommunikation oft ein Faltungscode. Will man nur die Reed–Solomon–Codierung/Decodierung untersuchen, so ersetzt man in einer Simulation die grau hinterlegten Komponenten durch einen einzigen Block, den man Super Channel nennt. 

[[File:P ID2575 KC T 2 6 S3a v2.png|Codeschema mit Kaskadierung|class=fit]] 

Besonders effizient ist ein solches verkettetes (englisch: concatenated) Codiersystem, wenn zwischen den beiden Codierern ein Interleaver geschaltet ist, um Bündelfehler weiter zu entspreizen. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt beispielhaft einen solchen Interleaver, wobei wir uns auf eine 20 × 4 Matrix beschränken. In der Praxis sind diese Matrizen deutlich größer. 

[[File:P ID2579 KC T 2 6 S3b v2.png|Interleaver–Matrix für 20x4 Symbole|class=fit]] 

Der Interleaver wird zeilenweise beschrieben und spaltenweise ausgelesen (blaue Beschriftung). Beim De–Interleaver (grüne Beschriftung) ist die Reihenfolge genau umgekehrt.
*Die Reed–Solomon–Symbole werden also nicht fortlaufend an den inneren Coder weitergeleitet, sondern entsprechend der angegebenen Reihenfolge als Symbol 1, 21, 41, 61, 2, 22, usw. . 

*Auf dem Kanal wird ein zusammenhängender Bereich (hier die Symbole 22, 42, 62, 3, 23 ⇒ rot umrandetes Rechteck) zerstört, z. B. durch einen Kratzer auf dem Kanal &bdquo;Speichermedium”. 

*Nach dem De–Interleaving ist die Symbolreihenfolge wieder 1, 2, 3, ... Man erkennt an den rot umrandeten Kreisen, dass nun dieses Fehlerbündel weitgehend &bdquo;aufgebrochen” wurde.{{end}} 

== Typische Anwendungen mit Reed–Solomon–Codierung (2) ==
 
Eine sehr weit verbreitete Anwendung von Reed–Solomon–Codierung – und zudem die kommerziell erfolgreichste – ist die Compact Disc (CD), deren Fehlerkorrekturmechanismus bereits im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_einf.C3.BChrende_Beispiele_.283.29 Kapitel 1.1] dieses Buches beschrieben wurde. Hier ist der innere Code ebenfalls ein Reed–Solomon–Code, und das verkette Codiersystem lässt sich wie folgt beschreiben:
*Beide Kanäle des Stereo–Audiosignals werden mit je 44.1 kHz abgetastet und jeder einzelne Abtastwert wird mit 32 Bit (4 Byte) digital dargestellt. 

*Die Gruppierung von 6 Samples ergibt einen Rahmen (192 Bit) und damit 24 Codesymbole aus dem Galoisfeld GF(28). Jedes Codesymbol entspricht somit genau einem Byte. 

*Der erste Reed–Solomon–Code mit der Rate R1 = 24/28 liefert 28 Byte, die einem Interleaver der Größe 28 · 109 Byte zugeführt werden. Das Auslesen erfolgt (kompliziert) diagonal. 

*Der Interleaver verteilt zusammenhängende Bytes großräumig über die gesamte Disk. Dadurch werden so genannte Bursts &bdquo;aufgelöst”, die zum Beispiel durch Kratzer auf der CD herrühren. 

*Zusammen mit dem zweiten Reed–Solomon–Code (Rate R2 = 28/32) ergibt sich eine Gesamtrate von R = (24/28) · (28/32) = 3/4. Beide Codes können jeweils t = 2 Symbolfehler korrigieren. 

*Beide RS–Komponentencodes (28, 24, 5) und (32, 28, 5) basieren jeweils auf dem Galoisfeld GF(28), was eigentlich eine Codelänge n = 255 bedeuten würde. 

*Die hier benötigten kürzeren Komponentencodes ergeben sich aus aus dem RSC (255, 251, 5)256 durch Shortening. Man sieht, dass dadurch die minimale Distanz dmin = 5 nicht verändert wird. 

*Mit der anschließenden Eight–to–Fourteen–Modulation und weiterer Kontrollsymbole kommt man schließlich zur endgültigen Coderate 192/588 ≈ 0.326 der CD–Daten-komprimierung. 

Auf der Seite [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Die_.E2.80.9EGeschlitzte_CD.E2.80.9D_.E2.80.93_eine_Demonstration_des_LNT_der_TUM Geschlitzte CD] kann man sich anhand eines Audio–Beispiels von der Korrekturfähigkeit dieser cross–interleaved Reed–Solomon–Codierung überzeugen, aber auch deren Grenzen erkennen. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.15 Pr(υ ≠ u) vs. EB/N0|A2.15 Pr(υ ≠ u) vs. EB/N0]]

[[Zusatzaufgaben:2.15 Nochmals Pr(υ ≠ u) für BDD]]

[[Aufgaben:2.16 BDD–Entscheidungskriterien|A2.16 BDD–Entscheidungskriterien]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Error Correction According to Reed-Solomon Coding

2017-01-23T23:26:09Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal
|Nächste Seite=Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete
}}

== Blockschaltbild und Voraussetzungen zu Kapitel 2.5 ==
 
Wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Kapitel 2.4] betrachten wir ein Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung, das durch die beiden Codeparameter n = 2m – 1 und k gekennzeichnet ist. Mit der Generatormatrix G lautet der Zusammenhang zwischen dem Informationswort u und dem Codewort c:

:<math>\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1, ... \hspace{0.05cm}, u_i, ...\hspace{0.05cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, ... \hspace{0.05cm}, c_i, ...\hspace{0.05cm}, c_{n-1})
\hspace{0.05cm}.</math>

Sowohl die Informationssymbole ui als auch die Codesymbole ci entstammen dem Körper GF(q) mit q = n + 1 = 2m, und sind somit durch m Binärsymbole (Bit) darstellbar. 

[[File:P ID2545 KC T 2 5 S1 v2.png|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und m–BSC|class=fit]] 

Ein Vergleich dieses Blockschaltbildes mit dem entsprechenden [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Modell zu Kapitel 2.4] zeigt:
*Der wesentliche Unterschied liegt im verwendeten diskreten Kanalmodell (grün hinterlegt). Anstelle des Auslöschungskanals (&bdquo;m–BEC”) wird nun der m–BSC betrachtet. Für jedes einzelne Bit des Codesymbols ci wird der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC Binary Symmetric Channel] (BSC) angewandt. Ist auch nur ein Bit innerhalb des Codesymbols verfälscht, so ist yi ≠ ci. 

*Im Kapitel 2.4 sind unsichere Bit bereits durch Auslöschungen E (Erasures) markiert. Aufgabe des Codewortfinders (CWF) ist es deshalb, aus dem verstümmelten Empfangswort y das Decodierergebnis z zu rekonstruieren. Ist die Anzahl e der Auslöschungen kleiner als die minimale Distanz dmin, so gelingt dies und man erhält z = c. Andernfalls meldet der CWF, dass er das aktuelle Empfangswort y nicht decodieren kann. Eine Fehlentscheidung (z ≠ c) ist ausgeschlossen. 

*In diesem Kapitel wird nun der erste Decoderblock als Codewortschätzer (CWS) bezeichnet. Die Namensgebung soll deutlich machen, dass aufgrund des m–BSC–Modells Fehlentscheidungen (z ≠ c) unvermeidlich sind, nämlich dann, wenn durch mehrere Symbolfehler das Empfangswort y zu einem gültigen Codewort verfälscht wurde. 

Aufgabe des Decoders ist es, seinen Ausgangsvektor υ so zu bestimmen, dass er &bdquo;möglichst gut” mit dem Informationswort u übereinstimmt. Oder etwas genauer formuliert:

:<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{\upsilon} \ne \underline{u}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

Aufgrund des deterministischen Mappings c = enc(u) und υ = enc–1(z) gilt in gleicher Weise:

:<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{c}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

Deshalb werden im Folgenden die zwei gelb hinterlegten Blöcke nicht weiter betrachtet. Im Mittelpunkt der Betrachtungen steht vielmehr der rot hinterlegte Codewortschätzer (CWS). 

== Mögliche Codewortschätzer: HD–MLD bzw. BDD (1) ==
 
Die rechte Skizze der nachfolgenden Grafik verdeutlicht nochmals die Aufgabenstellung, wobei hier das Kanalmodell &bdquo;m–BSC” durch den additiven Fehlervektor e = y – c ersetzt ist. Die linke Skizze verdeutlicht den Zusammenhang zwischen diesen drei Vektoren. 

[[File:P ID2546 KC T 2 5 S2 v2.png|Zur Definition des Fehlervektors e|class=fit]] 

Diese Aufgabenstellung soll durch ein Beispiel verdeutlicht werden. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2547 KC T 2 5 Darstellung v1.png|Drei Darstellungsformen für GF(23)|rechts|rahmenlos]] Alle nachfolgend genannten Symbole sind Elemente von GF(23) = {0, 1, α1, α2, α3, α4, α5, α6}. Zur Umrechnung zwischen der Koeffizientendarstellung (mit der Reihenfolge k2, k1, k0) und der Exponentendarstellung (als Potenzen des primitiven Elements α) kann die nebenstehende Tabelle verwendet werden. 

Codewort und Empfangswort lauten in Koeffizientendarstellung:

:<math>\underline{c} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( (010), (001), (100),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{y} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( (011), (001), (000),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm}.</math>

Damit ergibt sich für den Fehlervektor e = y – c:

:<math>\underline{e} \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \Big ( (001), (000), (100), (000),(000),(000),(000)\Big )\hspace{0.05cm}.</math>

Umgewandelt in die Exponentendarstellung erhält man:

:<math>\underline{c} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( \alpha^1, 1, \alpha^2,\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{y} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( \alpha^3, 1, \hspace{0.09cm}0\hspace{0.09cm},\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{e} = \Big ( \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^2,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}\Big )\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Aufgabe des Codewortschätzers (CWS) ist es, das zu y wahrscheinlichste Codewort ci zu finden und sein Ergebnis z = ci an das nachfolgende Mapping weiterzugeben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten:
*Hard Decision Maximum Likelihood Decoding (HD–MLD), 

*Bounded Distance Decoding (BDD), 

*Decodierung über die halbe Mindestdistanz. 

Diese Decodierprinzipien werden auf der nächsten Seite ausführlicher behandelt. 

== Mögliche Codewortschätzer: HD–MLD bzw. BDD (2) ==
 
Aufgabe des Codewortschätzers (CWS) ist es, das zu y wahrscheinlichste Codewort ci zu finden und sein Ergebnis z = ci weiterzugeben. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten: 

Hard Decision Maximum Likelihood Decoding (HD–MLD): 

Man wählt von allen möglichen Reed–Solomon–Codeworten ci (hiervon gibt es insgesamt qk) dasjenige mit der geringsten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] zum Empfangswort y aus. Somit lautet das Ergebnis:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}_{\rm RS}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{c}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.</math>

Die Entscheidung passiert hier auf der maximalen Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(ci | y) und führt zum bestmöglichen Ergebnis. Näheres siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal Kapitel 1.2.] Es wird stets entschieden, selbst wenn die Anzahl r der Symbolfehler größer ist als die Korrekturfähigkeit t des Codes. In einem solchen Fall ist allerdings das Decodierergebnis sehr unsicher. 

Es sei nochmals erwähnt, dass bei ML–Decodierung immer entschieden wird. Ein Decodierversagen ist ausgeschlossen. Aber natürlich gibt es auch falsche Entscheidungen. 

Bounded Distance Decoding (BDD): 

Falls die Anzahl r der Symbolfehler im Empfangswort y nicht größer ist als die Korrekturfähigkeit t = &lfloor;(dmin – 1)/2&rfloor; des Codes, kann man die r Symbolfehler vollständig korrigieren. Der Fall r > t führt zu einem Abbruch des Decodiervorgangs ohne Ergebnis. Anders ausgedrückt: Es werden nur diejenigen Empfangsworte zum Kugelmittelpunkt decodiert, die in einer Kugel um diesen mit Radius t liegen. Andere werden als undecodierbar markiert, zum Beispiel als Erasure. 

Decodierung über die halbe Mindestdistanz: 

Hier wird auch im Fall r > t versucht, das Codewort zu decodieren. Im Gegensatz zu HD–MLD, das ebenfalls über die halbe Mindestdistanz hinaus decodiert, ist hier aber ein Decodierversagen nicht per se ausgeschlossen. 

Für den Rest dieses Kapitels beschäftigen wir uns ausschließlich mit Bounded Distance Decoding. Der Grund hierfür ist die enorme Komplexität der Maximum Likelihood Detection proportional zu qn–k. 

== Vorgehensweise beim „Bounded Distance Decoding” ==
 
Im Folgenden werden die einzelnen Schritte des BDD–Algorithmuses kurz und rezeptartig beschrieben. Auf den nächsten Seiten werden dann die einzelnen Punkte genauer behandelt und die Vorgehensweise an typischen Beispielen verdeutlicht. 

(A) Berechne das Syndrom s = y · HT:
*Ergibt sich aus dem Empfangswort y und der Prüfmatrix H des Codes das Syndrom s = 0, so setze den BDD–Ausgang z = y und beende den Decodiervorgang für dieses Empfangswort. 

*Andernfalls setze den Parameter r = 1 und mache mit Schritt (B) weiter. 

(B) Bestimme die tatsächliche Symbolfehleranzahl r:
*Erstelle und überprüfe die Gleichungen Λl · sT = 0 für l = 1, ..., 2t–r unter der Annahme, dass das Empfangswort genau r Symbolfehler beinhaltet. 

*Λl bezeichnet die verallgemeinerten ELP–Koeffizientenvektoren und t die Korrekturfähigkeit des Codes. Für die Reed–Solomon–Codes gilt einheitlich t = &lfloor;(n – k)/2&rfloor;. 

*Gibt es eine eindeutige Lösung, dann mache mit Schritt (C) weiter. Im Empfangsvektor y sind dann tatsächlich genau r Symbole verfälscht und im Fehlervektor e gibt es r Einträge ungleich 0. 

*Andernfalls erhöhe r um 1. Falls r ≤ t, dann wiederhole Schritt (B) von Beginn an: Das bisher angenommene r war offensichtlich zu klein. Deshalb nun ein neuer Versuch mit größerem r. 

*Ist das neue r größer als die Korrekturfähigkeit t des Codes, so kann das aktuelle Empfangswort nicht decodiert werden. Beende den Decodierversuch mit einer Fehlermeldung. 

(C) Lokalisiere die r Fehlerpositionen:
*Erstelle das Error Locator Polynom Λ(x) und finde dessen r Nullstellen in GF(q) \ {0}. 

*Ein Fehler an der Stelle i liegt immer dann vor, wenn Λ(αi) = 0 ist. 

(D) Bestimme die r Fehlerwerte ei ≠ 0:
*Bekannt sind die r Fehlerstellen. Ersetzt man im Empfangsvektor y die falschen Symbole durch Auslöschungen  ⇒  yi = E, falls ei ≠ 0, so findet man das Ergebnis z entsprechend Kapitel 2.4. 

*Eine Alternative: Aus der Gleichung e · HT = s kommt man unter Ausnutzung der fehlerfreien Stellen (ei = 0) zu einem linearen Gleichungssystem für die fehlerhaften Symbole (ei ≠ 0). 

== Schritt (A): Auswertung des Syndroms beim BDD ==
 
Wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung Kapitel 1.5] gezeigt, kann zur Decodierung eines linearen Codes das Syndrom s herangezogen werden. Mit dem Empfangswort y gleich Codewort c plus Fehlervektor e gilt für dieses:

:<math>\underline {s} = \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}=
\underline {c} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}+
\underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}
\hspace{0.05cm}.</math>

Da stets c · HT = 0 gilt, folgt aus s = 0 auch e · HT = 0. Das heißt:
*Mit sehr großer Wahrscheinlichkeit kann aus s = 0 auch auf e = 0 und damit auch auf das richtige Decodierergebnis z = y geschlossen werden. Der Decodiervorgang wäre damit abgeschlossen. 

*Es gibt aber auch Fehlermuster e ≠ 0, die zum Syndrom s = 0 führen. Solche Muster beinhalten sicher mehr als t Symbolfehler, so dass auch hier der Abbruch des Decodiervorgangs sinnvoll ist. Alle nachfolgenden Berechnungen würden auch nicht zum Erfolg führen. 

{{Beispiel}} '''A:'''
[[File:P ID2548 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Diesem und den folgenden Beispielen auf den nächsten Seiten liegt stets der Reed–Solomon–Code (7, 3, 5)8 zugrunde, so dass die hier angegebenen Umrechnungen in GF(23) genutzt werden können. Das Empfangswort lautet:

:<math>\underline{y}=\big (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm} \alpha^2, \hspace{0.05cm} \alpha^5, \hspace{0.05cm} \alpha^5 \big).</math>

Mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Generatormatrix_und_Pr.C3.BCfmatrix_.282.29 Prüfmatrix] H ergibt sich für das Syndrom:

:<math>\underline {s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}=
\begin{pmatrix}
\alpha^3, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^5, \hspace{0.05cm}\alpha^5
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 \\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 \\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^5 \\
\alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 \\
\alpha^5 & \alpha^3 & \alpha^1 & \alpha^6 \\
\alpha^6 & \alpha^5 & \alpha^4 & \alpha^3
\end{pmatrix} = </math>
:<math> \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(\alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3) + (\alpha^1 , \alpha^2 , \alpha^3 , \alpha^4) + (0,0,0,0) + (\alpha^4,1,\alpha^3,\alpha^6)+</math>
:<math>\hspace{0.15cm} + \hspace{0.15cm}
(\alpha^6,\alpha^3,1,\alpha^4)+(\alpha^3,\alpha^1,\alpha^6,\alpha^4) + (\alpha^4,\alpha^3,\alpha^2,\alpha^1)= ... \hspace{0.05cm}=
(\alpha^5,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^1) \hspace{0.05cm}.</math>

Das Empfangswort wurde also verfälscht. Andernfalls hätte sich s = 0 = (0, 0, 0, 0) ergeben müssen. 

Die Beschreibung des Decodiervorgangs beim RSC (7, 3, 5)8 wird im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28B.29:_Aufstellen.2FAuswerten_des_ELP.E2.80.93Koeffizientenvektors_.282.29 Beispiel B] fortgesetzt.{{end}} 

== Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften (1) ==
 
Nach der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Syndromberechnung] mit dem Ergebnis s ≠ 0 wissen wir,
*dass das Empfangswort y nicht mit dem Codewort c übereinstimmt, bzw. 

*dass der Fehlervektor e = (e0, e1, ... , en–1) auch Elemente ungleich 0 beinhaltet. 

Wir wissen allerdings nicht, wie viele Symbole verfälscht wurden (0 < r ≤ n) und wir können auch nicht die Positionen der Fehlerstellen (ei ≠ 0) im Fehlervektor e nennen. 

Einen Lösungsansatz für diese Aufgabe bietet das Error Locator Polynom, das von W. W. Peterson eingeführt wurde. Siehe [Pet60]<ref>Peterson, W.W: ''Encoding and Error-correction Procedures for the Bose-Chaudhuri codes.'' IRE Transactions on Information Theory , IT-6:459{470), 1960.</ref>. Im Deutschen ist hierfür auch der Begriff Schlüsselgleichung üblich. 

{{Definition}}''':''' Es sei bekannt, dass genau r Elemente des Fehlervektors e ungleich 0 sind, erkennbar am Hamming–Gewicht wH(e) = r. Ebenfalls bekannt sei die Menge IFP der Fehlerpositionen:

:<math>I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.</math>

Dann gilt für das Error Locator Polynom (ELP):

:<math>{\it \Lambda}(x)=x \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ].</math>{{end}} 

Vom Error Locator Polynom wissen wir aufgrund der Definition:
*Wegen des Faktors x vor dem Produktzeichen ist Λ(x = 0) = 0. 

*Weitere r Nullstellen ergeben sich für x = αi mit i ∈ IFP, das heißt, für alle Fehlerpositionen. 

*Dagegen ergibt das Error Locator Polynom für i ∉ IFP ⇒ ei = 0 keine Nullstelle: Λ(x = αi) ≠ 0. 

Wir suchen also die r nichttrivialen Nullstellen von Λ(x) mit dem Argument x ∈ GF(q) \ {0}. Gelingt uns dies, so kennen wir die r Fehlerpositionen, jedoch noch nicht die tatsächlichen Fehlerwerte ei ∈ GF(q). 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2549 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Es gelte n = 7 ⇒ q = 8, r = 2 und IFP = {2, 4}: 

[[File:P ID2551 KC T 2 5 S5a.png]] 

Damit erhält man für das Error Locator Poynom aus GF(23):

:<math>{\it \Lambda}(x)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}x \cdot (x-\alpha^2) \cdot (x-\alpha^4)=</math>
:<math> \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm} x \cdot (x+\alpha^2) \cdot (x+\alpha^4) =</math>
:<math> \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm}x \cdot \big [x^2 + (\alpha^2 + \alpha^4) \cdot x + \alpha^6\big ] =</math>
:<math> \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot x + x^2\big ]\hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden Nullstellen (außer bei x = 0) ergeben sich hier natürlich für x = α2 und x = α4, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:

:<math>{\it \Lambda}(x = \alpha^2)\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^2 + (\alpha^2)^2\big ] = x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^3 + \alpha^4 \big ]= 0\hspace{0.05cm},</math>
:<math> {\it \Lambda}(x = \alpha^4)\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^4 + (\alpha^4)^2\big ] =x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha \big ]= 0\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften (2) ==
 
Für die weitere Herleitung gehen wir stets vom RSC (7, 3, 5)8 mit den folgenden Parameterwerten aus: n = 7, k = 3, dmin = 5  ⇒  t = (dmin – 1)/2 = 2. Die Anzahl der Symbolfehler sei r = 2 = t. 

Damit lautet das zu lösende Gleichungssystem mit den Hilfsgrößen Ai = Λ(αi):

:<math>A_0 = {\it \Lambda }(\alpha^0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^0 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^0)^1 + (\alpha^0)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot 1 + {\it \lambda}_1 \cdot 1 + 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>A_1 = {\it \Lambda }(\alpha^1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^1 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^1)^1 + (\alpha^1)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^1+ {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \hspace{0.05cm},</math>
:::::::::<math>...</math>
:<math> A_6 = {\it \Lambda }(\alpha^6) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^6 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^6)^1 + (\alpha^6)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^6 + {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^{12} + \alpha^{18} \hspace{0.05cm}.</math>

In Vektorform lautet dieses Gleichungssystem mit dem Hilfsvektor A = (A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6):

:<math>\underline {A}^{\rm T}=\begin{pmatrix}
A_0\\
A_1\\
A_2\\
A_3\\
A_4\\
A_5\\
A_6
\end{pmatrix}
\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 \\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 \\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 \\
\alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12}\\
\alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15}\\
\alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18}
\end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
{\lambda}_0\\
{\lambda}_1\\
1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Wir erweitern nun den ELP–Koeffizientenvektor Λ durch Anhängen von Nullen auf die Länge n – k. Im betrachteten Beispiel erhält man somit Λ = (λ0, λ1, 1, 0) und folgende Vektorgleichung:

:<math>\underline {A}^{\rm T}
\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^8\\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 & \alpha^{12}\\
\alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12} & \alpha^{16}\\
\alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15} & \alpha^{20}\\
\alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18} & \alpha^{24}
\end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
{\lambda}_0\\
{\lambda}_1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Aus der 7 × 3–Matrix wurde nun eine 7 × 4–Matrix. Ddie vierte Spalte kann eigentlich beliebig gefüllt werden, da alle Elemente mit Nullen multipliziert werden. Durch die hier gewählte Ergänzung erhält man die transponierte [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Generatormatrix_und_Pr.C3.BCfmatrix_.282.29 Prüfmatrix] des RSC (7, 3, 5)8, und man kann für die letzte Vektorgleichung schreiben:

:<math>\underline {A}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} \cdot \underline {\it \Lambda }^{\rm T}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {A} = \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }}
\hspace{0.05cm}.</math>

Da aber für die Fehlerstellen (ei ≠ 0) stets Ai = Λ(αi) = 0 gilt, ist das Produkt Ai · ei immer 0 und man erhält als Bestimmungsgleichung für die Nullstellen des Error Locator Polynoms:

:<math>\underline {A}^{\rm T} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline {\it \Lambda } \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0
\hspace{0.05cm}.</math>

Daraus folgt das wichtige Zwischenergebnis: Die nichttrivialen Nullstellen (ungleich 0) λ0, λ1, ... des Error Locator Polynoms Λ(x) müssen stets der Vektorgleichung Λ · sT = 0 genügen, wobei Λ den ELP–Koeffizientenvektor bezeichnet und s = y · HT das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Syndrom] angibt. 

== Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors (1) ==
 
Bevor wir das Zwischenergebnis Λ · sT = 0 an einem Beispiel verdeutlichen können, müssen noch einige Verallgemeinerungen vorgenommen werden. Der Grund hierfür ist:
*Die Gleichung Λ · sT = 0 liefert nur eine einzige Bestimmungsgleichung. Damit kann das Problem für r = 1 gelöst werden, wenn man sicher ist, dass tatsächlich nur ein Symbol verfälscht wurde. 

*Ist man sich dessen nicht sicher, führt aber die Berechnung trotzdem für r = 1 durch, so braucht man noch eine zweite Gleichung (oder auch mehrere), um die Annahme zu verifizieren. 

Die Eigenschaft des [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Error_Locator_Polynom_.E2.80.93_Definition_und_Eigenschaften_.281.29 Error Locator Polynoms,] dass Λ(αi) nur für ei ≠ 0 (i–tes Symbol verfälscht) gleich Null ist, bleibt erhalten, wenn man Λ(x) mit beliebigen Potenzen von x multipliziert. Jede Multiplikation mit x bedeutet für den ELP–Koeffizientenvektor eine Verschiebung um eine Stelle nach rechts. 

[[File:P ID2550 KC T 2 5 S3 v1.png|Verschobene ELP–Koeffizientenvektoren|class=fit]] 

Mit der verallgemeinerten Definition (wobei Λ1(x) dem bisherigen Λ(x) entspricht),

:<math>{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm},</math>

ergeben sich durch sukzessive Verschiebung gegenüber Λ die ELP–Koeffizientenvektoren Λl. Die Grafik zeigt die Belegung unter der Annahme von 1 ≤ r ≤ 3 Fehlerstellen im Vektor e. Man erkennt:
*Die Länge aller Λl ist stets n – k. Jeder Vektor beinhaltet jeweils r Koeffizienten λi(0 ≤ i < r) und eine Eins. Der Rest eines jeden Vektors ist mit Nullen aufgefüllt. 

*Für jedes r gibt es genau n–k–r Koeffizientenvektoren Λl, wobei sich Λl aus Λl–1 stets durch Rechtsverschiebung um eine Position ergibt. Der Vektor Λn–k–r endet immer mit einer 1. 

*Das Gleichungssystem Λl · sT = 0 führt deshalb zu n – k – r Gleichungen. Der gewählte Ansatz für r ist nur dann richtig, wenn alle Gleichungen zu den gleichen Ergebnissen für λ0, ... , λr–1 führen. 

*Ist dies nicht der Fall, so muss man r erhöhen und damit ein neues Gleichungssystem bearbeiten, und zwar solange, bis sich aus allen Gleichungen für das aktuelle r eine eindeutige Lösung ergibt. 

*Ist schließlich r größer als die Korrekturfähigkeit t des Codes, so kann die Berechnung beendet werden. Das anstehende Empfangswort y ist dann nicht decodierbar. 

== Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors (2) ==
 
Hier nochmals die verallgemeinerte Definition für das Error Locator Polynom (ELP):

:<math>{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

Dieses lässt sich am einfachsten mit den verschobenen ELP–Koeffizientenvektoren Λl auswerten, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird. Hierbei beziehen wir uns auf die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28B.29:_Aufstellen.2FAuswerten_des_ELP.E2.80.93Koeffizientenvektors_.281.29 Grafik auf der letzen Seite,] die Λl–Belegung unter der Annahme r = 1, r = 2 oder r = 3 Fehler im Fehlervektor e zeigt. 

{{Beispiel}} '''B:''' Es gelten weiterhin die im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Beispiel A] genannten Voraussetzungen. Dort wurde aufgrund des Syndroms s = (α5, α2, α3, α) ≠ 0 auch nachgewiesen, dass der Empfangsvektor y verfälscht wurde ⇒ Fehlervektor e ≠ 0. Nicht bekannt ist allerdings die tatsächliche Symbolfehleranzahl r. 

Unter der Annahme eines einzigen falschen Symbols (r = 1) erhält man folgendes Gleichungssystem (hier in Matrixform geschrieben):
[[File:P ID2556 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]]

:<math>\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda }}_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}=
\begin{pmatrix}
\lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_0 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\alpha^5\\
\alpha^2\\
\alpha^3\\
\alpha
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\lambda_0 = \alpha^{2-5}= \alpha^{-3}= \alpha^{4}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\lambda_0 = \alpha^{3-2}= \alpha\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\alpha^3 \cdot \lambda_0 + \alpha^1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\lambda_0 = \alpha^{1-3}= \alpha^{-2} = \alpha^{5} \hspace{0.05cm}.</math>

Diese drei Gleichungen liefern drei unterschiedliche Lösungen für λ0, was nicht zielführend ist. 

Deshalb stellen wir nun ein weiteres Gleichungssystem auf, und zwar unter der Annahme r = 2:

:<math>\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda }}_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}=
\begin{pmatrix}
\lambda_0 & \lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_0 & \lambda_1 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\alpha^5\\
\alpha^2\\
\alpha^3\\
\alpha
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix} </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \cdot \lambda_1 + \alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \cdot \lambda_1 + \alpha^1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm}.</math>

Dieses Gleichungssystem ist nun eindeutig lösbar. Man erhält λ0 = α2 und λ1 = α6. Das bedeutet: Die Annahme, dass tatsächlich r = 2 Positionen des Empfangsvektors y verfälscht wurden, ist richtig. 

Man weiß aber noch nicht, welche Positionen verfälscht wurden. Soviel vorneweg; Es sind nicht die Positionen 2 und 6, sondern die Symbolpositionen 0 und 2, wie im folgenden [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28C.29:_Lokalisierung_der_Fehlerstellen Beispiel C] gezeigt wird.{{end}} 

== Schritt (C): Lokalisierung der Fehlerstellen ==
 
Nach Abarbeitung von Schritt (B) sind bekannt:
*die Anzahl r der Fehlerstellen ei ≠ 0 im Vektor e = (e0, ... , ei, ... , en–1), 

*die Koeffizienten λ0, ... , λr–1 des Error Locator Polynoms. 

Zu bestimmen ist nun noch die Menge der Fehlerpositionen:

:<math>I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.</math>

Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten:
*die so genannte Chien–Suche, in dem man durch Einsetzen der möglichen Codesymbole außer dem Nullsymbol  ⇒ αi (0 ≤ i < n)  in das Error Locator Polynom dessen Nullstellen er- mittelt, 

*die Auswertung der Gleichung A = (A0, ... , Ai, ... , An–1) = Λ · H mit der Abkürzung Ai = Λ(αi). 

Beide Verfahren werden im folgenden Beispiel angewendet. 

{{Beispiel}}''':''' In [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28B.29:_Aufstellen.2FAuswerten_des_ELP.E2.80.93Koeffizientenvektors_.282.29 Beispiel B] wurde entsprechend den in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Beispiel A] genannten Randbedingungen ermittelt, dass r = 2 Symbolfehler vorliegen und die ELP–Koeffizienten λ0 = α2 und λ1 = α6 lauten. Damit ergibt sich das Error Locator Polynom:

:<math>{\it \Lambda}(x)=x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+x^2 \big ]
=x \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot x+x^2 \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2557 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Entsprechend der Chien–Suche erhält man

:<math>{\it \Lambda}(\alpha^0)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^0 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot 1 + 1 \big ] = </math>
:<math>\hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} \alpha^2 + (\alpha^2 + 1) + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle}}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\it \Lambda}(\alpha^1)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^1 \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^2\big ]=</math>
:<math>\hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} \alpha^1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Keine\hspace{0.15cm} Nullstelle}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\it \Lambda}(\alpha^2)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^2 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^4 \big ]
=\alpha^4 + \alpha^{10} + \alpha^6 =</math>
:<math> \hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) =</math>
:<math> \hspace{1.4cm}= \hspace{0.15cm}0
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle}}\hspace{0.05cm}.</math>

Damit sind die beiden Fehlerpositionen mit i = 0 und i = 2 gefunden und der Fehlervektor lautet: e = (e0, 0, e2, 0, 0, 0, 0). 

Die Vektorgleichung A = Λ · H liefert das gleiche Ergebnis in kompakterer Form:

:<math>\underline {A} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \underline{\it \Lambda} \cdot { \boldsymbol{\rm H }} = (\alpha^2, \alpha^6, 1, 0) \cdot
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6 \\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^3 & \alpha^5 \\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^3 & \alpha^5 & \alpha^1 & \alpha^4 \\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^6 & \alpha^3
\end{pmatrix} = </math>
:<math> \hspace{0.5cm} = \hspace{0.15cm}(\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5,\alpha^6,1 ,\alpha^1)
+ (\alpha^6,\alpha^1,\alpha^3,\alpha^5,1 ,\alpha^2,\alpha^4)+</math>
:<math> \hspace{0.5cm}+ \hspace{0.15cm} (1, \alpha^3,\alpha^6,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1,\alpha^4) =
(0,\alpha^1,0,\alpha^3,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
A_0 = A_2 = 0\hspace{0.05cm}.</math>

Fortsetzung im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28D.29:_Abschlie.C3.9Fende_Fehlerkorrektur Beispiel D] auf der nächsten Seite.{{end}} 

== Schritt (D): Abschließende Fehlerkorrektur ==
 
Im letzten Schritt müssen nun nur noch die r Symbolfehler korrigiert werden, deren Positionen nach Beendigung von Schritt (D) bekannt sind:
*Markiert man die Fehlerpositionen im Empfangswort y als Auslöschungen E (Erasures), so kann das zugehörige Codewort z entsprechend der Beschreibung im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Kapitel 2.4] gefunden werden. 

*Eine zweite Möglichkeit bietet die Bestimmung des Fehlervektors e aus der Gleichung e · HT = s und die Korrektur entsprechend z = y – e. Diese liegt dem folgenden Beispiel zugrunde. 

{{Beispiel}} '''D:''' In [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Beispiel A] wurde das Empfangswort mit y = (α3, 1, 0, α1, α2, α5, α5) vorgegeben und daraus das Syndrom s = (α5, α2, α3, α) ermittelt. Nach den Berechnungen im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28C.29:_Lokalisierung_der_Fehlerstellen Beispiel C] lautet der Fehlervektor e = (e0, 0, e2, 0, 0, 0, 0). Alle diese Angaben gelten für den RSC (7, 3, 5)8. 

Aus e · HT = s erhält man nun folgende Bestimmungsgleichungen für die Fehlerwerte e0 und e2:

:<math>\underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \begin{pmatrix}
e_0 & 0 & e_2 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1\\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5}\\
\alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2}\\
\alpha^5 & \alpha^{3} & \alpha^{1} & \alpha^{6}\\
\alpha^6 & \alpha^{5} & \alpha^{4} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \underline {s} =
\begin{pmatrix}
\alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^1
\end{pmatrix} </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}e_0 \cdot (1, 1, 1, 1) + e_2 \cdot ( \alpha^2, \alpha^4, \alpha^6, \alpha^1)\stackrel{!}{=}
( \alpha^5, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^1)</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^2 = \alpha^5\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^4 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^6 = \alpha^3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^1 = \alpha^1\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2558 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Alle diese Gleichungen führen zum Ergebnis e0 = 1, e2 = α2. Damit lautet das korrigierte Codewort:

:<math>\hspace{0.8cm}\underline {y} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^1,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} \alpha^5,\hspace{0.05cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\underline {e} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {z} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \underline {y} - \underline {e} = \underline {y} + \underline {e}=
(\alpha^1,\hspace{0.03cm} 1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^5,\hspace{0.03cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

== Schnelle Reed–Solomon–Decodierung ==
 
Die Klasse der Reed–Solomon–Codes wurde bereits im Jahre 1960 durch die Veröffentlichung [RS60]<ref>Reed, I.S.; Solomon, G.: ''Polynomial Codes over Certain Finite Fields.'' J. Siam, Vol. 8, pp. 300–304, 1960.</ref> eingeführt. Ihre effiziente Decodierung war jedoch erst ein bis zwei Jahrzehnte später möglich. 

Auf den letzten Seiten haben wir den so genannten Petersen–Algorithmus inklusive der Chien–Suche am Beispiel des RSC (7, 3, 5)8 demonstriert, der bis zu t = 2 Fehler korrigieren kann. Im Mittelpunkt des Decodiervorgangs stand dabei das Aufstellen und Lösen der Schlüsselgleichung (englisch: Error Locator Polynom), wobei die Nullstellen eines Grad–2–Polynoms in GF(7) gefunden werden mussten. Sie konnten erkennen, dass diese algebraische Decodierung mit großem Aufwand verbunden ist. 

Bei den in Praxis eingesetzten Codes mit großer Codewortlänge n und hoher Korrekturfähigkeit t würde der Decodieraufwand explodieren, wenn nicht schnellere Decodieralgorithmen gefunden worden wären. So müssen beim Reed–Solomon–Code (255, 223, 33)256, der schon früh im ESA/NASA–Standard zur Satellitenübertragung genannt wurde, zur Decodierng eines einzigen Codewortes die bis zu t = 16 Nullstellen im GF(255) gefunden werden, und das auch noch in Echtzeit. 

Ab Ende der 1960er Jahre haben sich viele Wissenschaftler um schnellere Decodieralgorithmen für Reed–Solomon–Codes bemüht:

*Beim Berlekamp–Massey–Algorithmus (BMA) wird die Schlüsselgleichung Λ · sT = 0 als rückgekoppeltes Schieberegister dargestellt, siehe zum Beispiel [Mas69]<ref>Massey, J.L.: ''Shift Register Synthesis and BCH Decoding.''. IEEE Trans. on Information Theory, vol. IT-15, pp. 122–127, Jan. 1969.</ref>, [Fri96]<ref>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref> und [Bos98]<ref>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref>. Das Problem wird damit auf die Synthese eines autoregressiven Filters zurückgeführt. Dieser Algorithmus arbeitet wesentlich schneller als der (leichter durchschaubare) Petersen–Algorithmus. 

*Etwas später wurde in [SK+75]<ref>Sugiyama, Y.; Kashara, M.; Hirasawa, S.; Namekawa, T.: ''A Method for Solving Key Equation for Decoding Goppa Codes.'' Information and Control, Vol. 27, pp. 87–99, 1975.</ref> ein Decodierverfahren vorgeschlagen, das auf dem Euklidischen Algorithmus basiert. Dieser liefert den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen, was zur Decodierung genutzt wird. Der Euklidische Algorithmus ist vergleichbar schnell wie der BMA. Genauere Informationen finden Sie wieder in [Bos98]<ref>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref> und [Fri96]<ref>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>. 

*Weitere effiziente Decodiernethoden von Reed–Solomon–Codes arbeiten im Frequenzbereich unter Verwendung der [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Argumente_f.C3.BCr_die_diskrete_Realisierung_der_FT Diskreten Fouriertransformation] (DFT) im Körper GF(n). 

Die Grundzüge der Reed–Solomon–Fehlerkorrektur wurden bereits in den 1960er Jahren entwickelt. Aber bis in die heutige Zeit (2013) ist die (möglichst schnelle) algebraische Decodierung dieser Codes ein hochaktuelles Forschungsgebiet.

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.12 Decodierung beim RSC(7, 4, 4)(Base 8)|A2.12 Decodierung beim RSC(7, 4, 4)(Base 8)]]

[[Zusatzaufgaben:2.12 Reed–Solomon–Syndromberechnung]]

[[Aufgaben:2.13 Nun RSC (7, 3, 5)(Base 8)–Decodierung|A2.13 Nun RSC (7, 3, 5)(Base 8)–Decodierung]]

[[Aufgaben:2.14 Petersen–Algorithmus|A2.14 Petersen–Algorithmus]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Error Correction According to Reed-Solomon Coding

2017-01-23T23:23:56Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal
|Nächste Seite=Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete
}}

== Blockschaltbild und Voraussetzungen zu Kapitel 2.5 ==
 
Wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Kapitel 2.4] betrachten wir ein Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung, das durch die beiden Codeparameter n = 2m – 1 und k gekennzeichnet ist. Mit der Generatormatrix G lautet der Zusammenhang zwischen dem Informationswort u und dem Codewort c:

:<math>\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1, ... \hspace{0.05cm}, u_i, ...\hspace{0.05cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, ... \hspace{0.05cm}, c_i, ...\hspace{0.05cm}, c_{n-1})
\hspace{0.05cm}.</math>

Sowohl die Informationssymbole ui als auch die Codesymbole ci entstammen dem Körper GF(q) mit q = n + 1 = 2m, und sind somit durch m Binärsymbole (Bit) darstellbar. 

[[File:P ID2545 KC T 2 5 S1 v2.png|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und m–BSC|class=fit]] 

Ein Vergleich dieses Blockschaltbildes mit dem entsprechenden [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Modell zu Kapitel 2.4] zeigt:
*Der wesentliche Unterschied liegt im verwendeten diskreten Kanalmodell (grün hinterlegt). Anstelle des Auslöschungskanals (&bdquo;m–BEC”) wird nun der m–BSC betrachtet. Für jedes einzelne Bit des Codesymbols ci wird der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC Binary Symmetric Channel] (BSC) angewandt. Ist auch nur ein Bit innerhalb des Codesymbols verfälscht, so ist yi ≠ ci. 

*Im Kapitel 2.4 sind unsichere Bit bereits durch Auslöschungen E (Erasures) markiert. Aufgabe des Codewortfinders (CWF) ist es deshalb, aus dem verstümmelten Empfangswort y das Decodierergebnis z zu rekonstruieren. Ist die Anzahl e der Auslöschungen kleiner als die minimale Distanz dmin, so gelingt dies und man erhält z = c. Andernfalls meldet der CWF, dass er das aktuelle Empfangswort y nicht decodieren kann. Eine Fehlentscheidung (z ≠ c) ist ausgeschlossen. 

*In diesem Kapitel wird nun der erste Decoderblock als Codewortschätzer (CWS) bezeichnet. Die Namensgebung soll deutlich machen, dass aufgrund des m–BSC–Modells Fehlentscheidungen (z ≠ c) unvermeidlich sind, nämlich dann, wenn durch mehrere Symbolfehler das Empfangswort y zu einem gültigen Codewort verfälscht wurde. 

Aufgabe des Decoders ist es, seinen Ausgangsvektor υ so zu bestimmen, dass er &bdquo;möglichst gut” mit dem Informationswort u übereinstimmt. Oder etwas genauer formuliert:

:<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{\upsilon} \ne \underline{u}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

Aufgrund des deterministischen Mappings c = enc(u) und υ = enc–1(z) gilt in gleicher Weise:

:<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{c}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

Deshalb werden im Folgenden die zwei gelb hinterlegten Blöcke nicht weiter betrachtet. Im Mittelpunkt der Betrachtungen steht vielmehr der rot hinterlegte Codewortschätzer (CWS). 

== Mögliche Codewortschätzer: HD–MLD bzw. BDD (1) ==
 
Die rechte Skizze der nachfolgenden Grafik verdeutlicht nochmals die Aufgabenstellung, wobei hier das Kanalmodell &bdquo;m–BSC” durch den additiven Fehlervektor e = y – c ersetzt ist. Die linke Skizze verdeutlicht den Zusammenhang zwischen diesen drei Vektoren. 

[[File:P ID2546 KC T 2 5 S2 v2.png|Zur Definition des Fehlervektors e|class=fit]] 

Diese Aufgabenstellung soll durch ein Beispiel verdeutlicht werden. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2547 KC T 2 5 Darstellung v1.png|Drei Darstellungsformen für GF(23)|rechts|rahmenlos]] Alle nachfolgend genannten Symbole sind Elemente von GF(23) = {0, 1, α1, α2, α3, α4, α5, α6}. Zur Umrechnung zwischen der Koeffizientendarstellung (mit der Reihenfolge k2, k1, k0) und der Exponentendarstellung (als Potenzen des primitiven Elements α) kann die nebenstehende Tabelle verwendet werden. 

Codewort und Empfangswort lauten in Koeffizientendarstellung:

:<math>\underline{c} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( (010), (001), (100),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{y} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( (011), (001), (000),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm}.</math>

Damit ergibt sich für den Fehlervektor e = y – c:

:<math>\underline{e} \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \Big ( (001), (000), (100), (000),(000),(000),(000)\Big )\hspace{0.05cm}.</math>

Umgewandelt in die Exponentendarstellung erhält man:

:<math>\underline{c} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( \alpha^1, 1, \alpha^2,\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{y} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \Big ( \alpha^3, 1, \hspace{0.09cm}0\hspace{0.09cm},\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{e} = \Big ( \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^2,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}\Big )\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Aufgabe des Codewortschätzers (CWS) ist es, das zu y wahrscheinlichste Codewort ci zu finden und sein Ergebnis z = ci an das nachfolgende Mapping weiterzugeben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten:
*Hard Decision Maximum Likelihood Decoding (HD–MLD), 

*Bounded Distance Decoding (BDD), 

*Decodierung über die halbe Mindestdistanz. 

Diese Decodierprinzipien werden auf der nächsten Seite ausführlicher behandelt. 

== Mögliche Codewortschätzer: HD–MLD bzw. BDD (2) ==
 
Aufgabe des Codewortschätzers (CWS) ist es, das zu y wahrscheinlichste Codewort ci zu finden und sein Ergebnis z = ci weiterzugeben. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten: 

Hard Decision Maximum Likelihood Decoding (HD–MLD): 

Man wählt von allen möglichen Reed–Solomon–Codeworten ci (hiervon gibt es insgesamt qk) dasjenige mit der geringsten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] zum Empfangswort y aus. Somit lautet das Ergebnis:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}_{\rm RS}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{c}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.</math>

Die Entscheidung passiert hier auf der maximalen Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(ci | y) und führt zum bestmöglichen Ergebnis. Näheres siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal Kapitel 1.2.] Es wird stets entschieden, selbst wenn die Anzahl r der Symbolfehler größer ist als die Korrekturfähigkeit t des Codes. In einem solchen Fall ist allerdings das Decodierergebnis sehr unsicher. 

Es sei nochmals erwähnt, dass bei ML–Decodierung immer entschieden wird. Ein Decodierversagen ist ausgeschlossen. Aber natürlich gibt es auch falsche Entscheidungen. 

Bounded Distance Decoding (BDD): 

Falls die Anzahl r der Symbolfehler im Empfangswort y nicht größer ist als die Korrekturfähigkeit t = &lfloor;(dmin – 1)/2&rfloor; des Codes, kann man die r Symbolfehler vollständig korrigieren. Der Fall r > t führt zu einem Abbruch des Decodiervorgangs ohne Ergebnis. Anders ausgedrückt: Es werden nur diejenigen Empfangsworte zum Kugelmittelpunkt decodiert, die in einer Kugel um diesen mit Radius t liegen. Andere werden als undecodierbar markiert, zum Beispiel als Erasure. 

Decodierung über die halbe Mindestdistanz: 

Hier wird auch im Fall r > t versucht, das Codewort zu decodieren. Im Gegensatz zu HD–MLD, das ebenfalls über die halbe Mindestdistanz hinaus decodiert, ist hier aber ein Decodierversagen nicht per se ausgeschlossen. 

Für den Rest dieses Kapitels beschäftigen wir uns ausschließlich mit Bounded Distance Decoding. Der Grund hierfür ist die enorme Komplexität der Maximum Likelihood Detection proportional zu qn–k. 

== Vorgehensweise beim „Bounded Distance Decoding” ==
 
Im Folgenden werden die einzelnen Schritte des BDD–Algorithmuses kurz und rezeptartig beschrieben. Auf den nächsten Seiten werden dann die einzelnen Punkte genauer behandelt und die Vorgehensweise an typischen Beispielen verdeutlicht. 

(A) Berechne das Syndrom s = y · HT:
*Ergibt sich aus dem Empfangswort y und der Prüfmatrix H des Codes das Syndrom s = 0, so setze den BDD–Ausgang z = y und beende den Decodiervorgang für dieses Empfangswort. 

*Andernfalls setze den Parameter r = 1 und mache mit Schritt (B) weiter. 

(B) Bestimme die tatsächliche Symbolfehleranzahl r:
*Erstelle und überprüfe die Gleichungen Λl · sT = 0 für l = 1, ..., 2t–r unter der Annahme, dass das Empfangswort genau r Symbolfehler beinhaltet. 

*Λl bezeichnet die verallgemeinerten ELP–Koeffizientenvektoren und t die Korrekturfähigkeit des Codes. Für die Reed–Solomon–Codes gilt einheitlich t = &lfloor;(n – k)/2&rfloor;. 

*Gibt es eine eindeutige Lösung, dann mache mit Schritt (C) weiter. Im Empfangsvektor y sind dann tatsächlich genau r Symbole verfälscht und im Fehlervektor e gibt es r Einträge ungleich 0. 

*Andernfalls erhöhe r um 1. Falls r ≤ t, dann wiederhole Schritt (B) von Beginn an: Das bisher angenommene r war offensichtlich zu klein. Deshalb nun ein neuer Versuch mit größerem r. 

*Ist das neue r größer als die Korrekturfähigkeit t des Codes, so kann das aktuelle Empfangswort nicht decodiert werden. Beende den Decodierversuch mit einer Fehlermeldung. 

(C) Lokalisiere die r Fehlerpositionen:
*Erstelle das Error Locator Polynom Λ(x) und finde dessen r Nullstellen in GF(q) \ {0}. 

*Ein Fehler an der Stelle i liegt immer dann vor, wenn Λ(αi) = 0 ist. 

(D) Bestimme die r Fehlerwerte ei ≠ 0:
*Bekannt sind die r Fehlerstellen. Ersetzt man im Empfangsvektor y die falschen Symbole durch Auslöschungen  ⇒  yi = E, falls ei ≠ 0, so findet man das Ergebnis z entsprechend Kapitel 2.4. 

*Eine Alternative: Aus der Gleichung e · HT = s kommt man unter Ausnutzung der fehlerfreien Stellen (ei = 0) zu einem linearen Gleichungssystem für die fehlerhaften Symbole (ei ≠ 0). 

== Schritt (A): Auswertung des Syndroms beim BDD ==
 
Wie in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Prinzip_der_Syndromdecodierung Kapitel 1.5] gezeigt, kann zur Decodierung eines linearen Codes das Syndrom s herangezogen werden. Mit dem Empfangswort y gleich Codewort c plus Fehlervektor e gilt für dieses:

:<math>\underline {s} = \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}=
\underline {c} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}+
\underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}
\hspace{0.05cm}.</math>

Da stets c · HT = 0 gilt, folgt aus s = 0 auch e · HT = 0. Das heißt:
*Mit sehr großer Wahrscheinlichkeit kann aus s = 0 auch auf e = 0 und damit auch auf das richtige Decodierergebnis z = y geschlossen werden. Der Decodiervorgang wäre damit abgeschlossen. 

*Es gibt aber auch Fehlermuster e ≠ 0, die zum Syndrom s = 0 führen. Solche Muster beinhalten sicher mehr als t Symbolfehler, so dass auch hier der Abbruch des Decodiervorgangs sinnvoll ist. Alle nachfolgenden Berechnungen würden auch nicht zum Erfolg führen. 

{{Beispiel}} '''A:'''
[[File:P ID2548 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Diesem und den folgenden Beispielen auf den nächsten Seiten liegt stets der Reed–Solomon–Code (7, 3, 5)8 zugrunde, so dass die hier angegebenen Umrechnungen in GF(23) genutzt werden können. Das Empfangswort lautet:

:<math>\underline{y}=\big (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm} \alpha^2, \hspace{0.05cm} \alpha^5, \hspace{0.05cm} \alpha^5 \big).</math>

Mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Generatormatrix_und_Pr.C3.BCfmatrix_.282.29 Prüfmatrix] H ergibt sich für das Syndrom:

:<math>\underline {s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}=
\begin{pmatrix}
\alpha^3, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^5, \hspace{0.05cm}\alpha^5
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 \\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 \\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^5 \\
\alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 \\
\alpha^5 & \alpha^3 & \alpha^1 & \alpha^6 \\
\alpha^6 & \alpha^5 & \alpha^4 & \alpha^3
\end{pmatrix} = </math>
:<math> \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(\alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3) + (\alpha^1 , \alpha^2 , \alpha^3 , \alpha^4) + (0,0,0,0) + (\alpha^4,1,\alpha^3,\alpha^6)+</math>
:<math>\hspace{0.15cm} + \hspace{0.15cm}
(\alpha^6,\alpha^3,1,\alpha^4)+(\alpha^3,\alpha^1,\alpha^6,\alpha^4) + (\alpha^4,\alpha^3,\alpha^2,\alpha^1)= ... \hspace{0.05cm}=
(\alpha^5,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^1) \hspace{0.05cm}.</math>

Das Empfangswort wurde also verfälscht. Andernfalls hätte sich s = 0 = (0, 0, 0, 0) ergeben müssen. 

Die Beschreibung des Decodiervorgangs beim RSC (7, 3, 5)8 wird im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28B.29:_Aufstellen.2FAuswerten_des_ELP.E2.80.93Koeffizientenvektors_.282.29 Beispiel B] fortgesetzt.{{end}} 

== Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften (1) ==
 
Nach der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Syndromberechnung] mit dem Ergebnis s ≠ 0 wissen wir,
*dass das Empfangswort y nicht mit dem Codewort c übereinstimmt, bzw. 

*dass der Fehlervektor e = (e0, e1, ... , en–1) auch Elemente ungleich 0 beinhaltet. 

Wir wissen allerdings nicht, wie viele Symbole verfälscht wurden (0 < r ≤ n) und wir können auch nicht die Positionen der Fehlerstellen (ei ≠ 0) im Fehlervektor e nennen. 

Einen Lösungsansatz für diese Aufgabe bietet das Error Locator Polynom, das von W. W. Peterson eingeführt wurde. Siehe [Pet60]<ref>Peterson, W.W: ''Encoding and Error-correction Procedures for the Bose-Chaudhuri codes.'' IRE Transactions on Information Theory , IT-6:459{470), 1960.</ref>. Im Deutschen ist hierfür auch der Begriff Schlüsselgleichung üblich. 

{{Definition}}''':''' Es sei bekannt, dass genau r Elemente des Fehlervektors e ungleich 0 sind, erkennbar am Hamming–Gewicht wH(e) = r. Ebenfalls bekannt sei die Menge IFP der Fehlerpositionen:

:<math>I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.</math>

Dann gilt für das Error Locator Polynom (ELP):

:<math>{\it \Lambda}(x)=x \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ].</math>{{end}} 

Vom Error Locator Polynom wissen wir aufgrund der Definition:
*Wegen des Faktors x vor dem Produktzeichen ist Λ(x = 0) = 0. 

*Weitere r Nullstellen ergeben sich für x = αi mit i ∈ IFP, das heißt, für alle Fehlerpositionen. 

*Dagegen ergibt das Error Locator Polynom für i ∉ IFP ⇒ ei = 0 keine Nullstelle: Λ(x = αi) ≠ 0. 

Wir suchen also die r nichttrivialen Nullstellen von Λ(x) mit dem Argument x ∈ GF(q) \ {0}. Gelingt uns dies, so kennen wir die r Fehlerpositionen, jedoch noch nicht die tatsächlichen Fehlerwerte ei ∈ GF(q). 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2549 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Es gelte n = 7 ⇒ q = 8, r = 2 und IFP = {2, 4}: 

[[File:P ID2551 KC T 2 5 S5a.png]] 

Damit erhält man für das Error Locator Poynom aus GF(23):

:<math>{\it \Lambda}(x)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}x \cdot (x-\alpha^2) \cdot (x-\alpha^4)=</math>
:<math> \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm} x \cdot (x+\alpha^2) \cdot (x+\alpha^4) =</math>
:<math> \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm}x \cdot \big [x^2 + (\alpha^2 + \alpha^4) \cdot x + \alpha^6\big ] =</math>
:<math> \hspace{1.1cm} = \hspace{0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot x + x^2\big ]\hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden Nullstellen (außer bei x = 0) ergeben sich hier natürlich für x = α2 und x = α4, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:

:<math>{\it \Lambda}(x = \alpha^2)\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^2 + (\alpha^2)^2\big ] = x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^3 + \alpha^4 \big ]= 0\hspace{0.05cm},</math>
:<math> {\it \Lambda}(x = \alpha^4)\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^4 + (\alpha^4)^2\big ] =x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha \big ]= 0\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften (2) ==
 
Für die weitere Herleitung gehen wir stets vom RSC (7, 3, 5)8 mit den folgenden Parameterwerten aus: n = 7, k = 3, dmin = 5  ⇒  t = (dmin – 1)/2 = 2. Die Anzahl der Symbolfehler sei r = 2 = t. 

Damit lautet das zu lösende Gleichungssystem mit den Hilfsgrößen Ai = Λ(αi):

:<math>A_0 = {\it \Lambda }(\alpha^0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^0 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^0)^1 + (\alpha^0)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot 1 + {\it \lambda}_1 \cdot 1 + 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>A_1 = {\it \Lambda }(\alpha^1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^1 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^1)^1 + (\alpha^1)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^1+ {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \hspace{0.05cm},</math>
:::::::::<math>...</math>
:<math> A_6 = {\it \Lambda }(\alpha^6) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^6 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^6)^1 + (\alpha^6)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^6 + {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^{12} + \alpha^{18} \hspace{0.05cm}.</math>

In Vektorform lautet dieses Gleichungssystem mit dem Hilfsvektor A = (A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6):

:<math>\underline {A}^{\rm T}=\begin{pmatrix}
A_0\\
A_1\\
A_2\\
A_3\\
A_4\\
A_5\\
A_6
\end{pmatrix}
\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 \\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 \\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 \\
\alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12}\\
\alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15}\\
\alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18}
\end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
{\lambda}_0\\
{\lambda}_1\\
1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Wir erweitern nun den ELP–Koeffizientenvektor Λ durch Anhängen von Nullen auf die Länge n – k. Im betrachteten Beispiel erhält man somit Λ = (λ0, λ1, 1, 0) und folgende Vektorgleichung:

:<math>\underline {A}^{\rm T}
\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^8\\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 & \alpha^{12}\\
\alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12} & \alpha^{16}\\
\alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15} & \alpha^{20}\\
\alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18} & \alpha^{24}
\end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm}
\begin{pmatrix}
{\lambda}_0\\
{\lambda}_1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Aus der 7 × 3–Matrix wurde nun eine 7 × 4–Matrix. Ddie vierte Spalte kann eigentlich beliebig gefüllt werden, da alle Elemente mit Nullen multipliziert werden. Durch die hier gewählte Ergänzung erhält man die transponierte [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Generatormatrix_und_Pr.C3.BCfmatrix_.282.29 Prüfmatrix] des RSC (7, 3, 5)8, und man kann für die letzte Vektorgleichung schreiben:

:<math>\underline {A}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} \cdot \underline {\it \Lambda }^{\rm T}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {A} = \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }}
\hspace{0.05cm}.</math>

Da aber für die Fehlerstellen (ei ≠ 0) stets Ai = Λ(αi) = 0 gilt, ist das Produkt Ai · ei immer 0 und man erhält als Bestimmungsgleichung für die Nullstellen des Error Locator Polynoms:

:<math>\underline {A}^{\rm T} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline {\it \Lambda } \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0
\hspace{0.05cm}.</math>

Daraus folgt das wichtige Zwischenergebnis: Die nichttrivialen Nullstellen (ungleich 0) λ0, λ1, ... des Error Locator Polynoms Λ(x) müssen stets der Vektorgleichung Λ · sT = 0 genügen, wobei Λ den ELP–Koeffizientenvektor bezeichnet und s = y · HT das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Syndrom] angibt. 

== Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors (1) ==
 
Bevor wir das Zwischenergebnis Λ · sT = 0 an einem Beispiel verdeutlichen können, müssen noch einige Verallgemeinerungen vorgenommen werden. Der Grund hierfür ist:
*Die Gleichung Λ · sT = 0 liefert nur eine einzige Bestimmungsgleichung. Damit kann das Problem für r = 1 gelöst werden, wenn man sicher ist, dass tatsächlich nur ein Symbol verfälscht wurde. 

*Ist man sich dessen nicht sicher, führt aber die Berechnung trotzdem für r = 1 durch, so braucht man noch eine zweite Gleichung (oder auch mehrere), um die Annahme zu verifizieren. 

Die Eigenschaft des [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Error_Locator_Polynom_.E2.80.93_Definition_und_Eigenschaften_.281.29 Error Locator Polynoms,] dass Λ(αi) nur für ei ≠ 0 (i–tes Symbol verfälscht) gleich Null ist, bleibt erhalten, wenn man Λ(x) mit beliebigen Potenzen von x multipliziert. Jede Multiplikation mit x bedeutet für den ELP–Koeffizientenvektor eine Verschiebung um eine Stelle nach rechts. 

[[File:P ID2550 KC T 2 5 S3 v1.png|Verschobene ELP–Koeffizientenvektoren|class=fit]] 

Mit der verallgemeinerten Definition (wobei Λ1(x) dem bisherigen Λ(x) entspricht),

:<math>{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm},</math>

ergeben sich durch sukzessive Verschiebung gegenüber Λ die ELP–Koeffizientenvektoren Λl. Die Grafik zeigt die Belegung unter der Annahme von 1 ≤ r ≤ 3 Fehlerstellen im Vektor e. Man erkennt:
*Die Länge aller Λl ist stets n – k. Jeder Vektor beinhaltet jeweils r Koeffizienten λi(0 ≤ i < r) und eine Eins. Der Rest eines jeden Vektors ist mit Nullen aufgefüllt. 

*Für jedes r gibt es genau n–k–r Koeffizientenvektoren Λl, wobei sich Λl aus Λl–1 stets durch Rechtsverschiebung um eine Position ergibt. Der Vektor Λn–k–r endet immer mit einer 1. 

*Das Gleichungssystem Λl · sT = 0 führt deshalb zu n – k – r Gleichungen. Der gewählte Ansatz für r ist nur dann richtig, wenn alle Gleichungen zu den gleichen Ergebnissen für λ0, ... , λr–1 führen. 

*Ist dies nicht der Fall, so muss man r erhöhen und damit ein neues Gleichungssystem bearbeiten, und zwar solange, bis sich aus allen Gleichungen für das aktuelle r eine eindeutige Lösung ergibt. 

*Ist schließlich r größer als die Korrekturfähigkeit t des Codes, so kann die Berechnung beendet werden. Das anstehende Empfangswort y ist dann nicht decodierbar. 

== Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors (2) ==
 
Hier nochmals die verallgemeinerte Definition für das Error Locator Polynom (ELP):

:<math>{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP}}(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

Dieses lässt sich am einfachsten mit den verschobenen ELP–Koeffizientenvektoren Λl auswerten, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird. Hierbei beziehen wir uns auf die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28B.29:_Aufstellen.2FAuswerten_des_ELP.E2.80.93Koeffizientenvektors_.281.29 Grafik auf der letzen Seite,] die Λl–Belegung unter der Annahme r = 1, r = 2 oder r = 3 Fehler im Fehlervektor e zeigt. 

{{Beispiel}} '''B:''' Es gelten weiterhin die im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Beispiel A] genannten Voraussetzungen. Dort wurde aufgrund des Syndroms s = (α5, α2, α3, α) ≠ 0 auch nachgewiesen, dass der Empfangsvektor y verfälscht wurde ⇒ Fehlervektor e ≠ 0. Nicht bekannt ist allerdings die tatsächliche Symbolfehleranzahl r. 

Unter der Annahme eines einzigen falschen Symbols (r = 1) erhält man folgendes Gleichungssystem (hier in Matrixform geschrieben):
[[File:P ID2556 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]]

:<math>\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda }}_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}=
\begin{pmatrix}
\lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_0 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\alpha^5\\
\alpha^2\\
\alpha^3\\
\alpha
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\lambda_0 = \alpha^{2-5}= \alpha^{-3}= \alpha^{4}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\lambda_0 = \alpha^{3-2}= \alpha\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\alpha^3 \cdot \lambda_0 + \alpha^1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\lambda_0 = \alpha^{1-3}= \alpha^{-2} = \alpha^{5} \hspace{0.05cm}.</math>

Diese drei Gleichungen liefern drei unterschiedliche Lösungen für λ0, was nicht zielführend ist. 

Deshalb stellen wir nun ein weiteres Gleichungssystem auf, und zwar unter der Annahme r = 2:

:<math>\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda }}_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}=
\begin{pmatrix}
\lambda_0 & \lambda_1 & 1 & 0 \\
0 & \lambda_0 & \lambda_1 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\alpha^5\\
\alpha^2\\
\alpha^3\\
\alpha
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix} </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \cdot \lambda_1 + \alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \cdot \lambda_1 + \alpha^1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm}.</math>

Dieses Gleichungssystem ist nun eindeutig lösbar. Man erhält λ0 = α2 und λ1 = α6. Das bedeutet: Die Annahme, dass tatsächlich r = 2 Positionen des Empfangsvektors y verfälscht wurden, ist richtig. 

Man weiß aber noch nicht, welche Positionen verfälscht wurden. Soviel vorneweg; Es sind nicht die Positionen 2 und 6, sondern die Symbolpositionen 0 und 2, wie im folgenden [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28C.29:_Lokalisierung_der_Fehlerstellen Beispiel C] gezeigt wird.{{end}} 

== Schritt (C): Lokalisierung der Fehlerstellen ==
 
Nach Abarbeitung von Schritt (B) sind bekannt:
*die Anzahl r der Fehlerstellen ei ≠ 0 im Vektor e = (e0, ... , ei, ... , en–1), 

*die Koeffizienten λ0, ... , λr–1 des Error Locator Polynoms. 

Zu bestimmen ist nun noch die Menge der Fehlerpositionen:

:<math>I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.</math>

Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten:
*die so genannte Chien–Suche, in dem man durch Einsetzen der möglichen Codesymbole außer dem Nullsymbol  ⇒ αi (0 ≤ i < n)  in das Error Locator Polynom dessen Nullstellen er- mittelt, 

*die Auswertung der Gleichung A = (A0, ... , Ai, ... , An–1) = Λ · H mit der Abkürzung Ai = Λ(αi). 

Beide Verfahren werden im folgenden Beispiel angewendet. 

{{Beispiel}}''':''' In [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28B.29:_Aufstellen.2FAuswerten_des_ELP.E2.80.93Koeffizientenvektors_.282.29 Beispiel B] wurde entsprechend den in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Beispiel A] genannten Randbedingungen ermittelt, dass r = 2 Symbolfehler vorliegen und die ELP–Koeffizienten λ0 = α2 und λ1 = α6 lauten. Damit ergibt sich das Error Locator Polynom:

:<math>{\it \Lambda}(x)=x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+x^2 \big ]
=x \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot x+x^2 \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2557 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Entsprechend der Chien–Suche erhält man

:<math>{\it \Lambda}(\alpha^0)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^0 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot 1 + 1 \big ] = </math>
:<math>\hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} \alpha^2 + (\alpha^2 + 1) + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle}}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\it \Lambda}(\alpha^1)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^1 \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^2\big ]=</math>
:<math>\hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} \alpha^1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Keine\hspace{0.15cm} Nullstelle}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\it \Lambda}(\alpha^2)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^2 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^4 \big ]
=\alpha^4 + \alpha^{10} + \alpha^6 =</math>
:<math> \hspace{1.4cm} = \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) =</math>
:<math> \hspace{1.4cm}= \hspace{0.15cm}0
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle}}\hspace{0.05cm}.</math>

Damit sind die beiden Fehlerpositionen mit i = 0 und i = 2 gefunden und der Fehlervektor lautet: e = (e0, 0, e2, 0, 0, 0, 0). 

Die Vektorgleichung A = Λ · H liefert das gleiche Ergebnis in kompakterer Form:

:<math>\underline {A} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \underline{\it \Lambda} \cdot { \boldsymbol{\rm H }} = (\alpha^2, \alpha^6, 1, 0) \cdot
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6 \\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^3 & \alpha^5 \\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^3 & \alpha^5 & \alpha^1 & \alpha^4 \\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^6 & \alpha^3
\end{pmatrix} = </math>
:<math> \hspace{0.5cm} = \hspace{0.15cm}(\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5,\alpha^6,1 ,\alpha^1)
+ (\alpha^6,\alpha^1,\alpha^3,\alpha^5,1 ,\alpha^2,\alpha^4)+</math>
:<math> \hspace{0.5cm}+ \hspace{0.15cm} (1, \alpha^3,\alpha^6,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1,\alpha^4) =
(0,\alpha^1,0,\alpha^3,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
A_0 = A_2 = 0\hspace{0.05cm}.</math>

Fortsetzung im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28D.29:_Abschlie.C3.9Fende_Fehlerkorrektur Beispiel D] auf der nächsten Seite.{{end}} 

== Schritt (D): Abschließende Fehlerkorrektur ==
 
Im letzten Schritt müssen nun nur noch die r Symbolfehler korrigiert werden, deren Positionen nach Beendigung von Schritt (D) bekannt sind:
*Markiert man die Fehlerpositionen im Empfangswort y als Auslöschungen E (Erasures), so kann das zugehörige Codewort z entsprechend der Beschreibung im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zu_Kapitel_2.4 Kapitel 2.4] gefunden werden. 

*Eine zweite Möglichkeit bietet die Bestimmung des Fehlervektors e aus der Gleichung e · HT = s und die Korrektur entsprechend z = y – e. Diese liegt dem folgenden Beispiel zugrunde. 

{{Beispiel}} '''D:''' In [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD Beispiel A] wurde das Empfangswort mit y = (α3, 1, 0, α1, α2, α5, α5) vorgegeben und daraus das Syndrom s = (α5, α2, α3, α) ermittelt. Nach den Berechnungen im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28C.29:_Lokalisierung_der_Fehlerstellen Beispiel C] lautet der Fehlervektor e = (e0, 0, e2, 0, 0, 0, 0). Alle diese Angaben gelten für den RSC (7, 3, 5)8. 

Aus e · HT = s erhält man nun folgende Bestimmungsgleichungen für die Fehlerwerte e0 und e2:

:<math>\underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \begin{pmatrix}
e_0 & 0 & e_2 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1\\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5}\\
\alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2}\\
\alpha^5 & \alpha^{3} & \alpha^{1} & \alpha^{6}\\
\alpha^6 & \alpha^{5} & \alpha^{4} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \underline {s} =
\begin{pmatrix}
\alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^1
\end{pmatrix} </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}e_0 \cdot (1, 1, 1, 1) + e_2 \cdot ( \alpha^2, \alpha^4, \alpha^6, \alpha^1)\stackrel{!}{=}
( \alpha^5, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^1)</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^2 = \alpha^5\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^4 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^6 = \alpha^3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
e_0 + e_2 \cdot \alpha^1 = \alpha^1\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2558 KC T 2 5 Darstellung v1.png|rahmenlos|rechts|Drei Darstellunsformen für GF(23)]] Alle diese Gleichungen führen zum Ergebnis e0 = 1, e2 = α2. Damit lautet das korrigierte Codewort:

:<math>\hspace{0.8cm}\underline {y} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^1,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} \alpha^5,\hspace{0.05cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.8cm}\underline {e} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {z} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \underline {y} - \underline {e} = \underline {y} + \underline {e}=
(\alpha^1,\hspace{0.03cm} 1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^5,\hspace{0.03cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

== Schnelle Reed–Solomon–Decodierung ==
 
Die Klasse der Reed–Solomon–Codes wurde bereits im Jahre 1960 durch die Veröffentlichung [RS60]<ref>Reed, I.S.; Solomon, G.: ''Polynomial Codes over Certain Finite Fields.'' J. Siam, Vol. 8, pp. 300–304, 1960.</ref> eingeführt. Ihre effiziente Decodierung war jedoch erst ein bis zwei Jahrzehnte später möglich. 

Auf den letzten Seiten haben wir den so genannten Petersen–Algorithmus inklusive der Chien–Suche am Beispiel des RSC (7, 3, 5)8 demonstriert, der bis zu t = 2 Fehler korrigieren kann. Im Mittelpunkt des Decodiervorgangs stand dabei das Aufstellen und Lösen der Schlüsselgleichung (englisch: Error Locator Polynom), wobei die Nullstellen eines Grad–2–Polynoms in GF(7) gefunden werden mussten. Sie konnten erkennen, dass diese algebraische Decodierung mit großem Aufwand verbunden ist. 

Bei den in Praxis eingesetzten Codes mit großer Codewortlänge n und hoher Korrekturfähigkeit t würde der Decodieraufwand explodieren, wenn nicht schnellere Decodieralgorithmen gefunden worden wären. So müssen beim Reed–Solomon–Code (255, 223, 33)256, der schon früh im ESA/NASA–Standard zur Satellitenübertragung genannt wurde, zur Decodierng eines einzigen Codewortes die bis zu t = 16 Nullstellen im GF(255) gefunden werden, und das auch noch in Echtzeit. 

Ab Ende der 1960er Jahre haben sich viele Wissenschaftler um schnellere Decodieralgorithmen für Reed–Solomon–Codes bemüht:

*Beim Berlekamp–Massey–Algorithmus (BMA) wird die Schlüsselgleichung Λ · sT = 0 als rückgekoppeltes Schieberegister dargestellt, siehe zum Beispiel [Mas69]<ref>Massey, J.L.: ''Shift Register Synthesis and BCH Decoding.''. IEEE Trans. on Information Theory, vol. IT-15, pp. 122–127, Jan. 1969.</ref>, [Fri96]<ref>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref> und [Bos98]<ref>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref>. Das Problem wird damit auf die Synthese eines autoregressiven Filters zurückgeführt. Dieser Algorithmus arbeitet wesentlich schneller als der (leichter durchschaubare) Petersen–Algorithmus. 

*Etwas später wurde in [SK+75]<ref>Sugiyama, Y.; Kashara, M.; Hirasawa, S.; Namekawa, T.: ''A Method for Solving Key Equation for Decoding Goppa Codes.'' Information and Control, Vol. 27, pp. 87–99, 1975.</ref> ein Decodierverfahren vorgeschlagen, das auf dem Euklidischen Algorithmus basiert. Dieser liefert den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen, was zur Decodierung genutzt wird. Der Euklidische Algorithmus ist vergleichbar schnell wie der BMA. Genauere Informationen finden Sie wieder in [Bos98]<ref>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref> und [Fri96]<ref>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>. 

*Weitere effiziente Decodiernethoden von Reed–Solomon–Codes arbeiten im Frequenzbereich unter Verwendung der [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Argumente_f.C3.BCr_die_diskrete_Realisierung_der_FT Diskreten Fouriertransformation] (DFT) im Körper GF(n). 

Die Grundzüge der Reed–Solomon–Fehlerkorrektur wurden bereits in den 1960er Jahren entwickelt. Aber bis in die heutige Zeit (2013) ist die (möglichst schnelle) algebraische Decodierung dieser Codes ein hochaktuelles Forschungsgebiet.

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.12 Decodierung beim RSC(7, 4, 4)(Base 8)|A2.12 Decodierung beim RSC(7, 4, 4)(Base 8)]]

[[Zusatzaufgaben:2.12 Reed–Solomon–Syndromberechnung]]

[[Aufgaben:2.13 Nun RSC (7, 3, 5)(Base 8)–Decodierung|A2.13 Nun RSC (7, 3, 5)(Base 8)–Decodierung]]

[[Aufgaben:2.14 Petersen–Algorithmus|A2.14 Petersen–Algorithmus]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Reed-Solomon Decoding for the Erasure Channel

2017-01-23T23:04:40Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes
|Nächste Seite=Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung
}}

== Blockschaltbild und Voraussetzungen zu Kapitel 2.4 ==
 
Im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel_.281.29 Kapitel 1.5] wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort y das gesendete Codewort x bestmöglich decodieren zu können. Zugrunde gelegt war dabei das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC BEC–Kanalmodell] (Binary Erasure Channel), das ein unsicheres Bit als Erasure E (&bdquo;Auslöschung”) markiert. 

Im Gegensatz zu [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC] (Binary Symmetric Channel) und [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN] (Additive White Gaussian Noise) wurden hier Bitfehler (yi ≠ xi) ausgeschlossen. Jedes Bit eines Empfangswortes stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein (yi = xi) oder ist bereits als Auslöschung markiert (yi = E). 

[[File:P ID2544 KC T 2 4 S1 v2.png|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und Auslöschungskanal|class=fit]] 

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild, das sich von dem Modell in Kapitel 1.5 geringfügig unterscheidet:
*Da Reed–Solomon–Codes lineare Blockcodes sind, stehen Informationswort u und Codewort c über die Generatormatrix G und die folgende Gleichung in Zusammenhang:

::<math>\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1, ... \hspace{0.05cm}, u_i, ...\hspace{0.05cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, ... \hspace{0.05cm}, c_i, ...\hspace{0.05cm}, c_{n-1})
\hspace{0.05cm}.</math>

*Für die einzelnen Symbole von Informations– und Codewort gilt bei Reed–Solomon–Codierung:

::<math>u_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}c_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} q = n+1 = 2^m
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} n = 2^m - 1\hspace{0.05cm}. </math>

:Jedes Codesymbol ci wird somit mit m ≥ 2 Binärsymbolen (Bit) dargestellt. Zum Vergleich: Für die binären Blockcodes gilt q = 2, m = 1 und die Codewortlänge n ist frei wählbar. 

*Bei Codierung auf Symbolebene muss das BEC–Modell zum m–BEC–Modell erweitert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit λm ≈ m · λ wird ein Codesymbol ci ausgelöscht (yi = E) und es gilt Pr(yi = ci) = 1 – λm. Näheres zur Umrechnung der beiden Modelle finden Sie in Aufgabe Z2.11. 

Im Folgenden beschäftigen wir uns ausschließlich mit dem Block Codewortfinder (CWF), der aus dem Empfangsvektor y den Vektor z ∈ CRS gewinnt:
*Falls die Anzahl e der Auslöschungen in Vektor y hinreichend klein ist, lässt sich das gesamte Codewort mit Sicherheit (z = c) finden. 

*Sind zuviele Symbole des Empfangswortes y ausgelöscht, meldet der Decoder, dass dieses Wort nicht decodierbar ist. Eventuell wird dann die Codesequenz noch einmal gesendet. 

Beim Auslöschungskanal (m–BEC) ist also im Gegensatz zum m–BSC, der im Kapitel 2.5 Anwendung findet, eine Fehlentscheidung (z ≠ c) ausgeschlossen ⇒ Blockfehlerwahrscheinlichkeit Pr(z ≠ c) = 0 ⇒ Pr(υ ≠ u) = 0. Das rekonstruierte Informationswort ergibt sich gemäß dem Blockschaltbild (gelbe Hinterlegung) zu υ = enc–1(z). Mit der Generatormatrix G kann hierfür auch geschrieben werden:

:<math>\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {z} = \underline {\upsilon} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {\upsilon} = \underline {z} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T}
\hspace{0.05cm}. </math>

== Vorgehensweise am Beispiel des RSC (7, 3, 5)8 ==
 
Um die RS–Decodierung beim Auslöschungskanal so einfach wie möglich darstellen zu können, gehen wir von einer konkreten Aufgabenstellung aus:
*Verwendet wird ein Reed–Solomon–Code mit den Parametern n = 7, k = 3 und q = 23 = 8. Allgemein gilt für das Informationswort u, das Codewort c und die Prüfmatrix H:

::<math>\underline {u} = (u_0, u_1, u_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, c_2,c_3,c_4,c_5,c_6)\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
u_i, c_i \in {\rm GF}(2^3) = \{0, 1, \alpha, \alpha^2, ... , \alpha^6\}
\hspace{0.05cm},</math>

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2} & \alpha^{6} & \alpha^{3}
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. </math>

*Der Empfangsvektor wird mit y = (α1, 1, E, E, α2, E, α5) vorgegeben. Da der Auslöschungskanal keine Fehler produziert, sind dem Decoder vier der Codesymbole bekannt:

::<math>c_0 = \alpha^1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
c_1 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
c_4 = \alpha^2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
c_6 = \alpha^5
\hspace{0.05cm}.</math>

*Es ist offensichtlich, dass der Block &bdquo;Codewortfinder” – im Blockschaltbild mit CWF bezeichnet – einen Vektor der Form z = (c0, c1, z2, z3, c4, z5, c6) liefern soll mit z2, z3, z5 ∈ GF(23). 

*Da das vom Decoder gefundene Codewort z aber auch ein gültiges Reed–Solomon–Codewort sein soll    ⇒    z ∈ CRS, muss entsprechend den Ausführungen in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29 Kapitel 2.3] gelten:

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline {z}^{\rm T} = \underline {0}^{\rm T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2} & \alpha^{6} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1\\
z_2\\
z_3\\
c_4\\
z_5\\
c_6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}. </math>

*Daraus ergeben sich vier Gleichungen für die Unbekannten z2, z3, z5. Bei eindeutiger Lösung – und nur bei einer solchen – ist die Decodierung erfolgreich und man kann dann mit Sicherheit sagen, dass tatsächlich c = z gesendet wurde. 

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Lösung der Matrixgleichungen am Beispiel des RSC (7, 3, 5)8 ==
 
Gefunden werden muss also das zulässige Codewort z, das die Bestimmungsgleichung H · zT = 0T erfüllt. Zweckmäßigerweise spalten wir dazu den Vektor z in zwei Teilvektoren auf, nämlich in
*den Vektor zE = (z2, z3, z5) der ausgelöschten Symbole (Index E für Erasures), 

*den Vektor zK = (c0, c1, c4, c6) der bekannten Symbole (Index K für Korrekt). 

Mit den zugehörigen Teilmatrizen (jeweils mit n – k = 4 Zeilen)

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} =
\begin{pmatrix}
\alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^5 \\
\alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^{3} \\
\alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{1} \\
\alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{6}
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K}
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^4 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^1 & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^{5} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^{2} & \alpha^{3}
\end{pmatrix}</math>

lautet somit die Bestimmungsgleichung:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} +
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T}
= \underline {0}^{\rm T} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} = -
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm}. </math>

Da für alle Elemente zi ∈ GF(2m) die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes additive Inverse] InvA(zi) (= –zi) = zi ist, gilt in gleicher Weise

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} =
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^4 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^1 & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^{5} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^{2} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\alpha^1\\
1\\
\alpha^{2}\\
\alpha^{6}
\end{pmatrix} = \hspace{0.15cm}... \hspace{0.15cm}=
\begin{pmatrix}
\alpha^3\\
\alpha^{4}\\
\alpha^{2}\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die rechte Gleichungsseite ergibt für das betrachtete Beispiel  ⇒  zK = (c0, c1, c4, c6) und basiert auf dem Polynom p(x) = x3 + x + 1, das zu folgenden Potenzen in α führt:

:<math>\alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}\alpha + 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm} \alpha^4 = \alpha^2 + \alpha\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm} \alpha^5 = \alpha^2 + \alpha + 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm} \alpha^6 = \alpha^2 + 1\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{1.12cm} \alpha^8 = \alpha^1 \hspace{0.05cm},
\hspace{1.19cm} \alpha^9 = \alpha^2 \hspace{0.05cm},
\hspace{1.9cm} \alpha^{10} = \alpha^3 = \alpha + 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} ...</math>

Damit lautet die Matrizengleichung zur Bestimmung des gesuchten Vektors zE:

:<math>\begin{pmatrix}
\alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^5 \\
\alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^{3} \\
\alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{1} \\
\alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{6}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
z_2\\
z_3\\
z_5
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}
\begin{pmatrix}
\alpha^3\\
\alpha^{4}\\
\alpha^{2}\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}. </math>

Löst man diese Matrizengleichung (am einfachsten per Programm), so erhält man

:<math>z_2 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}z_3 = \alpha^1\hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}z_5 = \alpha^5
\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\underline {z} = \left ( \hspace{0.05cm} \alpha^1, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^5, \hspace{0.05cm}\alpha^5 \hspace{0.05cm}\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ergebnis ist richtig, wie die folgenden Kontrollrechnungen zeigen:

:<math>\alpha^2 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \cdot \alpha^1 + \alpha^5 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
\alpha^4 + \alpha^4 + \alpha^{10} = \alpha^{10} = \alpha^3\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^4 \cdot \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^3 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
(\alpha^2 + 1) + (1) + (\alpha) = \alpha^{2} + \alpha = \alpha^4\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
(\alpha) + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^5 \cdot \alpha^1 + \alpha^6 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
(\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) + (\alpha^2 + \alpha) = 0\hspace{0.05cm}.</math>

Das zugehörige Informationswort erhält man mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix Generatormatrix] G zu υ = z · GT = (α1, 1, α3). 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.11 RS–Decodierung nach „Erasures”|A2.11 RS–Decodierung nach „Erasures”]]

[[Zusatzaufgaben:2.11 Erasure–Kanal für Symbole]]

{{Display}}

Channel Coding/Reed-Solomon Decoding for the Erasure Channel

2017-01-23T23:04:00Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes
|Nächste Seite=Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung
}}

== Blockschaltbild und Voraussetzungen zu Kapitel 2.4 ==
 
Im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel_.281.29 Kapitel 1.5] wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort y das gesendete Codewort x bestmöglich decodieren zu können. Zugrunde gelegt war dabei das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC BEC–Kanalmodell] (Binary Erasure Channel), das ein unsicheres Bit als Erasure E (&bdquo;Auslöschung”) markiert. 

Im Gegensatz zu [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC] (Binary Symmetric Channel) und [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN] (Additive White Gaussian Noise) wurden hier Bitfehler (yi ≠ xi) ausgeschlossen. Jedes Bit eines Empfangswortes stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein (yi = xi) oder ist bereits als Auslöschung markiert (yi = E). 

[[File:P ID2544 KC T 2 4 S1 v2.png|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und Auslöschungskanal|class=fit]] 

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild, das sich von dem Modell in Kapitel 1.5 geringfügig unterscheidet:
*Da Reed–Solomon–Codes lineare Blockcodes sind, stehen Informationswort u und Codewort c über die Generatormatrix G und die folgende Gleichung in Zusammenhang:

::<math>\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1, ... \hspace{0.05cm}, u_i, ...\hspace{0.05cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, ... \hspace{0.05cm}, c_i, ...\hspace{0.05cm}, c_{n-1})
\hspace{0.05cm}.</math>

*Für die einzelnen Symbole von Informations– und Codewort gilt bei Reed–Solomon–Codierung:

::<math>u_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}c_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} q = n+1 = 2^m
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} n = 2^m - 1\hspace{0.05cm}. </math>

:Jedes Codesymbol ci wird somit mit m ≥ 2 Binärsymbolen (Bit) dargestellt. Zum Vergleich: Für die binären Blockcodes gilt q = 2, m = 1 und die Codewortlänge n ist frei wählbar. 

*Bei Codierung auf Symbolebene muss das BEC–Modell zum m–BEC–Modell erweitert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit λm ≈ m · λ wird ein Codesymbol ci ausgelöscht (yi = E) und es gilt Pr(yi = ci) = 1 – λm. Näheres zur Umrechnung der beiden Modelle finden Sie in Aufgabe Z2.11. 

Im Folgenden beschäftigen wir uns ausschließlich mit dem Block Codewortfinder (CWF), der aus dem Empfangsvektor y den Vektor z ∈ CRS gewinnt:
*Falls die Anzahl e der Auslöschungen in Vektor y hinreichend klein ist, lässt sich das gesamte Codewort mit Sicherheit (z = c) finden. 

*Sind zuviele Symbole des Empfangswortes y ausgelöscht, meldet der Decoder, dass dieses Wort nicht decodierbar ist. Eventuell wird dann die Codesequenz noch einmal gesendet. 

Beim Auslöschungskanal (m–BEC) ist also im Gegensatz zum m–BSC, der im Kapitel 2.5 Anwendung findet, eine Fehlentscheidung (z ≠ c) ausgeschlossen ⇒ Blockfehlerwahrscheinlichkeit Pr(z ≠ c) = 0 ⇒ Pr(υ ≠ u) = 0. Das rekonstruierte Informationswort ergibt sich gemäß dem Blockschaltbild (gelbe Hinterlegung) zu υ = enc–1(z). Mit der Generatormatrix G kann hierfür auch geschrieben werden:

:<math>\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {z} = \underline {\upsilon} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {\upsilon} = \underline {z} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T}
\hspace{0.05cm}. </math>

== Vorgehensweise am Beispiel des RSC (7, 3, 5)8 ==
 
Um die RS–Decodierung beim Auslöschungskanal so einfach wie möglich darstellen zu können, gehen wir von einer konkreten Aufgabenstellung aus:
*Verwendet wird ein Reed–Solomon–Code mit den Parametern n = 7, k = 3 und q = 23 = 8. Allgemein gilt für das Informationswort u, das Codewort c und die Prüfmatrix H:

::<math>\underline {u} = (u_0, u_1, u_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, c_2,c_3,c_4,c_5,c_6)\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
u_i, c_i \in {\rm GF}(2^3) = \{0, 1, \alpha, \alpha^2, ... , \alpha^6\}
\hspace{0.05cm},</math>

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2} & \alpha^{6} & \alpha^{3}
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. </math>

*Der Empfangsvektor wird mit y = (α1, 1, E, E, α2, E, α5) vorgegeben. Da der Auslöschungskanal keine Fehler produziert, sind dem Decoder vier der Codesymbole bekannt:

::<math>c_0 = \alpha^1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
c_1 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
c_4 = \alpha^2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
c_6 = \alpha^5
\hspace{0.05cm}.</math>

*Es ist offensichtlich, dass der Block &bdquo;Codewortfinder” – im Blockschaltbild mit CWF bezeichnet – einen Vektor der Form z = (c0, c1, z2, z3, c4, z5, c6) liefern soll mit z2, z3, z5 ∈ GF(23). 

*Da das vom Decoder gefundene Codewort z aber auch ein gültiges Reed–Solomon–Codewort sein soll    ⇒    z ∈ CRS, muss entsprechend den Ausführungen in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29 Kapitel 2.3] gelten:

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline {z}^{\rm T} = \underline {0}^{\rm T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2} & \alpha^{6} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
c_0\\
c_1\\
z_2\\
z_3\\
c_4\\
z_5\\
c_6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}. </math>

*Daraus ergeben sich vier Gleichungen für die Unbekannten z2, z3, z5. Bei eindeutiger Lösung – und nur bei einer solchen – ist die Decodierung erfolgreich und man kann dann mit Sicherheit sagen, dass tatsächlich c = z gesendet wurde. 

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Lösung der Matrixgleichungen am Beispiel des RSC (7, 3, 5)8 ==
 
Gefunden werden muss also das zulässige Codewort z, das die Bestimmungsgleichung H · zT = 0T erfüllt. Zweckmäßigerweise spalten wir dazu den Vektor z in zwei Teilvektoren auf, nämlich in
*den Vektor zE = (z2, z3, z5) der ausgelöschten Symbole (Index E für Erasures), 

*den Vektor zK = (c0, c1, c4, c6) der bekannten Symbole (Index K für Korrekt). 

Mit den zugehörigen Teilmatrizen (jeweils mit n – k = 4 Zeilen)

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} =
\begin{pmatrix}
\alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^5 \\
\alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^{3} \\
\alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{1} \\
\alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{6}
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K}
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^4 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^1 & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^{5} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^{2} & \alpha^{3}
\end{pmatrix}</math>

lautet somit die Bestimmungsgleichung:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} +
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T}
= \underline {0}^{\rm T} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} = -
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm}. </math>

Da für alle Elemente zi ∈ GF(2m) die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes additive Inverse] InvA(zi) (= –zi) = zi ist, gilt in gleicher Weise

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} =
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^4 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^1 & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^{5} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^{2} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
\alpha^1\\
1\\
\alpha^{2}\\
\alpha^{6}
\end{pmatrix} = \hspace{0.15cm}... \hspace{0.15cm}=
\begin{pmatrix}
\alpha^3\\
\alpha^{4}\\
\alpha^{2}\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die rechte Gleichungsseite ergibt für das betrachtete Beispiel  ⇒  zK = (c0, c1, c4, c6) und basiert auf dem Polynom p(x) = x3 + x + 1, das zu folgenden Potenzen in α führt:

:<math>\alpha^3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}\alpha + 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm} \alpha^4 = \alpha^2 + \alpha\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm} \alpha^5 = \alpha^2 + \alpha + 1\hspace{0.05cm},
\hspace{0.4cm} \alpha^6 = \alpha^2 + 1\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},
\hspace{1.12cm} \alpha^8 = \alpha^1 \hspace{0.05cm},
\hspace{1.19cm} \alpha^9 = \alpha^2 \hspace{0.05cm},
\hspace{1.9cm} \alpha^{10} = \alpha^3 = \alpha + 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} ...</math>

Damit lautet die Matrizengleichung zur Bestimmung des gesuchten Vektors zE:

:<math>\begin{pmatrix}
\alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^5 \\
\alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^{3} \\
\alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{1} \\
\alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{6}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
z_2\\
z_3\\
z_5
\end{pmatrix} \stackrel{!}{=}
\begin{pmatrix}
\alpha^3\\
\alpha^{4}\\
\alpha^{2}\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}. </math>

Löst man diese Matrizengleichung (am einfachsten per Programm), so erhält man

:<math>z_2 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}z_3 = \alpha^1\hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}z_5 = \alpha^5
\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\underline {z} = \left ( \hspace{0.05cm} \alpha^1, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^5, \hspace{0.05cm}\alpha^5 \hspace{0.05cm}\right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ergebnis ist richtig, wie die folgenden Kontrollrechnungen zeigen:

:<math>\alpha^2 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \cdot \alpha^1 + \alpha^5 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
\alpha^4 + \alpha^4 + \alpha^{10} = \alpha^{10} = \alpha^3\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^4 \cdot \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^3 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
(\alpha^2 + 1) + (1) + (\alpha) = \alpha^{2} + \alpha = \alpha^4\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
(\alpha) + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^5 \cdot \alpha^1 + \alpha^6 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
(\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) + (\alpha^2 + \alpha) = 0\hspace{0.05cm}.</math>

Das zugehörige Informationswort erhält man mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix Generatormatrix] G zu υ = z · GT = (α1, 1, α3). 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.11 RS–Decodierung nach „Erasures”|A2.11 RS–Decodierung nach „Erasures”]]

[[Zusatzaufgaben:2.11 Erasure–Kanal für Symbole]]

{{Display}}

Channel Coding/Definition and Properties of Reed-Solomon Codes

2017-01-23T20:40:16Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Erweiterungskörper
|Nächste Seite=Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal
}}

== Konstruktion von Reed–Solomon–Codes (1) ==
 
Ein Reed–Solomon–Code – im Folgenden manchmal auch verkürzt als RS–Code bezeichnet – ist ein [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes linearer Blockcode,] der einem Informationsblock u mit k Symbolen ein entsprechendes Codewort c mit n > k Symbolen zuordnet. Diese noch heute vielfach eingesetzten Codes wurden bereits Anfang der 1960er Jahre von Irving Stoy Reed und Gustave Solomon erfunden. 

[[File:P ID2515 KC T 2 3 S1 v2.png|Linearer (n, k)–Blockcode|class=fit]] 

In [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1] wurde der Informationsblock mit u = (u1, ... , uk) und das Codewort mit x = (x1, ... , xn) bezeichnet. Die Nomenklaturänderung gemäß obiger Grafik wurde vorgenommen, um Verwechslungen mit dem Argument von Polynomen auszuschließen und die Beschreibung der RS–Codes zu vereinfachen. 

Alle in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes Kapitel 1.4] genannten Eigenschaften linearer zyklischer Blockcodes gelten auch für einen Reed–Solomon–Code. Zusätzlich gilt:
*Konstruktion und Decodierung von RS–Codes basieren auf der Arithmetik eines Galoisfeldes GF(q), wobei wir uns hier auf binäre Erweiterungskörper mit q = 2m Elementen beschränken:

::<math>{\rm GF}(2^m) = \big \{\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{0} ,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
\alpha^{1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}...\hspace{0.1cm}, \alpha^{q-2}\hspace{0.05cm} \big \}\hspace{0.05cm}. </math>

*Prinzipiell unterschiedlich zum ersten Kapitel ist, dass die Koeffizienten u0, u1, ... , uk–1 nun nicht mehr einzelne Informationsbits (0 oder 1) angeben, sondern ebenfalls Elemente aus GF(2m) sind. Jedes der m Symbole steht vielmehr für m Bit. 

*Bei den Reed–Solomon–Codes ist der Parameter n (Codelänge) gleich der Anzahl der Elemente des Galoisfeldes ohne das Nullwort: n = q – 1. Wir verwenden hierzu folgende Nomenklatur:

::<math>{\rm GF}(2^m) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\} = \big \{\hspace{0.05cm} \alpha^{0} ,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
\alpha^{1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}...\hspace{0.1cm}, \alpha^{n-1}\hspace{0.05cm} \big \}\hspace{0.05cm}. </math>

*Die k Koeffizienten ui ∈ GF(2m) des Informationsblocks u ( 0 ≤ i < k) kann man formal auch durch ein Polynom u(x) ausdrücken. Der Grad des Polynoms ist dabei k–1:

::<math>u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i} = u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ u_{k-1} \cdot x^{k-1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} u_i \in {\rm GF}(2^m)
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die n Symbole c0, ... , cn–1 des zugehörigen Codewortes c = (c0, c1, ... , cn–1) ergeben sich mit diesem Polynom u(x) zu

::<math>c_0 = u(\alpha^{0}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} c_1 = u(\alpha^{1})\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}...\hspace{0.1cm},\hspace{0.3cm} c_{n-1}= u(\alpha^{n-1}) \hspace{0.05cm}.</math>

*Meist werden die Codesymbole ci ∈ GF(2m) vor der Übertragung wieder in Binärform ⇒ GF(2) gebracht, wobei dann jedes Symbol durch m Bit dargestellt wird. 

== Konstruktion von Reed–Solomon–Codes (2) ==
 
Fassen wir die Aussagen der letzten Seite kurz zusammen:

{{Definition}}''':''' Ein (n, k)–Reed–Solomon–Code für das Galoisfeld GF(2m) wird festgelegt durch
*die n = 2m–1 Elemente von GF(2m)\{0} = {α0, α1, ... , αn–1}, wobei α ein primitives Element von GF(2m) bezeichnet,

*ein an den Informationsblockt u angepasstes Polynom vom Grad k–1 der Form

::<math>u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i} = u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ u_{k-1} \cdot x^{k-1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} u_i \in {\rm GF}(2^m)
\hspace{0.05cm}.</math>

Damit lässt sich der (n, k)–Reed–Solomon–Code beschreiben als

:<math>C_{\rm RS} = \Big \{ \underline {c} = \big ( u(\alpha^{0}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} u(\alpha^{1})\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}...\hspace{0.1cm}, u(\alpha^{n-1})\hspace{0.1cm} \big )
\hspace{0.1cm} \big | \hspace{0.2cm} u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} u_i \in {\rm GF}(2^m)
\Big \} \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Die bisherigen Angaben sollen nun an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden.

{{Beispiel}}''':''' Wir gehen von den folgenden Codeparametern aus:

:<math>k = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}n = 3 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \underline {u} = (u_0, u_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
\underline {c} = (c_0, c_1, c_2)\hspace{0.05cm},</math>

:<math>q = n+1 = 4 \hspace{0.45cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm GF} (q) = {\rm GF} (2^m)
\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m = 2\hspace{0.05cm}.</math>

Ausgehend von der Bedingungsgleichung p(α) = α2 + α + 1 = 0  ⇒  α2 = α + 1 erhält man folgende Zuordnungen zwischen der Exponenten–, der Polynom– und der Koeffizientendarstellung von GF(22): 

[[File:P ID2517 KC T 2 3 S1b v3.png|GF(22) in Exponenten–, Polynom– und Koeffizientenform |class=fit]] 

Der Koeffizientenvektor wird durch das Polynom u(x) = u0 + ui · x ausgedrückt. Der Polynomgrad ist k – 1 = 1. Für u0 = α1 und u1 = α2 erhält man beispielsweise das Polynom u(x) = α + α2 · x und damit

:<math>c_0 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u (x = \alpha^0) = u (x = 1) = \alpha + \alpha^2 \cdot 1 = \alpha + (\alpha + 1) =1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u (x = \alpha^1) = \alpha + \alpha^2 \cdot \alpha = \alpha + \alpha^3 = \alpha + \alpha^0 = \alpha + 1 = \alpha^2 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u (x = \alpha^2) = \alpha + \alpha^2 \cdot \alpha^2 = \alpha + \alpha^4 = \alpha + \alpha^1 = 0 \hspace{0.05cm}.</math>

Daraus ergeben sich folgende Zuordnungen auf Symbol– bzw. Bitebene:

:<math>\underline {u} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^1, \alpha^2)\hspace{0.57cm}\leftrightarrow\hspace{0.3cm}
\underline {c} = (1, \alpha^2, 0)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline {u}_{\rm bin} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1,0,1,1)\hspace{0.3cm}\leftrightarrow\hspace{0.3cm}
\underline {c}_{\rm bin} = (0,1,1,1,0,0)\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Konstruktion von Reed–Solomon–Codes (3) ==
 
Die folgende Grafik zeigt die Codetabelle dieses RSC (3, 2, 2)4 genannten Reed–Solomon–Codes. Die Bezeichnung bezieht sich auf die Parameter n = 3, k = 2, dmin = 2 und q = 4. In den Spalten 1 bis 3 erkennt man den Zusammenhang u → u(x) → c, in den beiden letzten die Codiervorschrift ubin ↔ cbin. 

[[File:P ID2570 KC T 2 3 S1bb v3.png|rahmenlos|rechts|Codetabelle des RSC (3, 2, 2)4]]
 
Zur Verdeutlichung nochmals der Eintrag für (α0, α2):

:<math>u(x) = u_0 + u_1 \cdot x = \alpha^0 + \alpha^2 \cdot x. </math>

Daraus ergeben sich folgende Codesymbole:

:<math>c_0 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u (x = \alpha^0) = 1 + \alpha^2 \cdot 1 =</math>
:<math> = \hspace{-0.15cm}1 + (1+\alpha ) =\alpha \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u (x = \alpha^1) = 1 + \alpha^2 \cdot \alpha =</math>
:<math> = \hspace{-0.15cm}1 + (1+\alpha ) \cdot \alpha = 1 + \alpha + \alpha^2 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} u (x = \alpha^2) = 1 + \alpha^2 \cdot \alpha^2 =</math>
:<math> = \hspace{-0.15cm}1 + \alpha = \alpha^2 \hspace{0.05cm}.</math>

 
Hinweis: Aus der Elementenmenge {0, α0 = 1, α1, α2} sollte nicht geschlossen werden, dass für diesen Code die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.283.29 3D–Darstellung] mit den Achsen α0 = 1, α1 und α2 zutrifft. Aus der Koeffizientendarstellung geht vielmehr eindeutig hervor, dass GF(22) ein zweidimensionaler Code ist, wobei die Achsen der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers_.283.29 2D–Darstellung] mit α0 = 1 und α1 = α zu beschriften sind. 

== Generatormatrix und Prüfmatrix (1) ==
 
Da es sich beim Reed–Solomon–Code um einen linearen Blockcode handelt, ist der Zusammenhang zwischen Informationswort u und Codewort c durch die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix Generatormatrix] G gegeben:

:<math>\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
\hspace{0.05cm}.</math>

Wie bei jedem linearen (n, k)–Blockcode besteht die Generatormatrix aus k Zeilen und n Spalten. Im Gegensatz zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes Kapitel 1.4] sind nun aber die Elemente der Generatormatrix nicht mehr binär (0 oder 1), sondern entstammen dem Galoisfeld GF(2m) \ {0}. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten wie auf der letzten Seite wieder den RSC (3, 2, 2)4, dessen Generatormatrix folgende Form hat:

:<math> { \boldsymbol{\rm G}} =
\begin{pmatrix}
g_{00} & g_{01} & g_{02}\\
g_{10} & g_{11} & g_{12}
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} g_{ij} \in
{\rm GF}(2^2) \hspace{-0.01cm}\setminus \hspace{-0.01cm} \{0\} = \big \{\hspace{0.05cm} \alpha^{0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
\alpha^{1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2} \hspace{0.05cm}\big \}\hspace{0.05cm}. </math>

Daneben gilt:
*Die erste Zeile von G gibt das Codewort für das Informationswort u1 = (1, 0) an bzw. für die Polynomfunktion u1(x) = 1. Damit erhält man die Matrixelemente der ersten Zeile zu

::<math>g_{00} = u_{1}(\alpha^{0}) = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
g_{01} = u_{1}(\alpha^{1}) = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
g_{02} = u_{1}(\alpha^{2}) = 1\hspace{0.05cm}.</math>

*Die zweite Zeile ist gleich dem Codewort für das Informationswort u2 = (0, 1)  ⇒  u2(x) = x. Die Matrixelemente der zweiten Zeile lauten somit:

::<math>g_{10} = u_{2}(\alpha^{0}) = \alpha^{0} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
g_{11} = u_{2}(\alpha^{1}) = \alpha \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
g_{12} = u_{2}(\alpha^{2}) = \alpha^{2}\hspace{0.05cm}.</math>

::<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}} =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & \alpha & \alpha^2
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Für das Informationswort u = (u0, u1) mit den Symbolen u0, u1 ∈ {0, α0, α1, α2} erhält man unter Berücksichtigung der beiden Gleichungen α2 = α + 1 sowie α3 = α0 = 1 wiederum die Codetabelle des RSC (3, 2, 2)4 auf Symbolebene. 

[[File:P ID2519 KC T 2 3 S2a v1.png|Codetabelle des RSC (3, 2, 2)4 auf Symbolebene|class=fit]] 

Man erhält natürlich mit der Generatormatrix genau die gleiche Codetabelle u ↔ c wie nach der Berechnung über die Funktion u(x). Die entsprechende [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.283.29 Codetabelle auf Bitebene] ergibt sich wieder, wenn man die Elemente nicht in Exponentendarstellung angibt, sondern in Koeffizientenform:

:<math>(0, \hspace{0.1cm}\alpha^{0}, \hspace{0.1cm}\alpha^{1}, \hspace{0.1cm}\alpha^{2}) \hspace{0.3cm}\Leftrightarrow\hspace{0.3cm}(00, \hspace{0.1cm}01, \hspace{0.1cm}10, \hspace{0.1cm}11)
\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

== Generatormatrix und Prüfmatrix (2) ==
 
Wir verallgemeinern nun das Ergebnis der letzten Seite für einen Reed–Solomon–Code mit
*der Dimension k (Symbolanzahl pro Informationsblock), 

*der Codewortlänge n (Symbolanzahl pro Codewort). 

Die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix Generatormatrix] G (mit k Zeilen und n Spalten) und die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix Prüfmatrix] H (n – k Zeilen, n Spalten) müssen folgende Gleichung erfüllen:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0}}\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei bezeichnet 0 eine Nullmatrix (alle Elemente gleich 0) mit k Zeilen und n – k Spalten. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten den RSC (7, 3, 5)8  ⇒  Codeparameter n = 7, k = 3, basierend auf dem Galoisfeld GF(23 = 8) mit der Nebenbedingung α3 = α + 1. Beachten Sie hinsichtlich der Bezeichnung:
*Der dritte Parameter der für Blockcodes üblichen Nomenklatur nennt die freie Distanz dmin = 5. 

*Anders als bei den in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Kapitel 1.3] behandelten binären Codes (SPC, RC, HC) wird bei den Reed–Solomon–Codes noch der Hinweis q zum Galoisfeld hinzugefügt (hier: q = 8). 

Alle Elemente der Generatormatrix und der Prüfmatrix

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}} =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
{ \boldsymbol{\rm H}} =
\begin{pmatrix}
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\
1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4}\\
1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2} & \alpha^{6} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} </math>

entstammen dem Galoisfeld GF(23) \ {0} = {α0, α1, α2, α3, α4, α5, α6}. Für das Matrixprodukt gilt:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
\alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\
\alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1\\
\alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5}\\
\alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2}\\
\alpha^5 & \alpha^{3} & \alpha^{1} & \alpha^{6}\\
\alpha^6 & \alpha^{5} & \alpha^{4} & \alpha^{3}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Dies soll hier nur für zwei Elemente nachgewiesen werden:
*Erste Zeile, erste Spalte:

::<math>1 \hspace{0.15cm} \cdot \hspace{0.15cm} \big [1 + \alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6 \big ] =</math>
::<math>\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} 1 + \alpha + \alpha^2 + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + \alpha)+ (\alpha^2 + \alpha +1)+ (\alpha^2 + 1) = 0 \hspace{0.05cm}, </math>

*Letzte Zeile, letzte Spalte:

::<math>1 \hspace{0.15cm} \cdot \hspace{0.15cm} 1 + \alpha^2 \cdot \alpha^4 + \alpha^4 \cdot \alpha^1
+ \alpha^6 \cdot \alpha^5+ \alpha^1 \cdot \alpha^2+ \alpha^3 \cdot \alpha^6+ \alpha^5 \cdot \alpha^3=</math>
::<math>\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} 1 + \alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^{11} + \alpha^{3}+ \alpha^{9}+ \alpha^{8} =</math>
::<math> \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} 1 + \alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^{4} + \alpha^{3}+ \alpha^{2}+ \alpha^{1} =0 \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Singleton–Schranke und minimale Distanz ==
 
Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung minimale Distanz] zwischen zwei beliebigen Codeworten ci und cj. Die Reed–Solomon–Codes gehören zur Klasse der linearen und zyklischen Codes. Bei diesen kann man vom Nullwort c0 = (0 0 ... 0) als Bezugsgröße ausgehen. Aus der Anzahl der Nullen in den anderen Codeworten cj ≠ c0 lässt sich das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Distanzspektrum] {Wi} angeben. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt die Bestimmung des Distanzspektrums für den RSC (3, 2, 2)4. Gegenüber den bisherigen Grafiken sind die Symbole mit 0, 1, 2, 3 anstelle von 0, α0, α1, α2 bezeichnet. Die Distanz d zwischen cj und dem Nullwort c0 ist identisch dem Hamming–Gewicht wH (cj). 

[[File:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den RSC (3, 2, 2)4|class=fit]] 

Neun der Codeworte unterscheiden sich vom Nullwort in zwei Symbolen und sechs Codeworte in drei Symbolen: W2 = 9, W3 = 6. Es gibt kein einziges Codewort mit nur einer Null. Das heißt: Die minimale Distanz beträgt hier dmin = 2. 

Aus der zweiten Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung dmin = 2 gilt.{{end}} 

Dieses empirische Ergebnis soll nun ohne Beweis verallgemeinert werden:
*Die minimale Distanz eines jeden (n, k)–Reed–Solomon–Codes beträgt dmin = n – k + 1. Damit lassen sich e = dmin – 1 = n – k Symbolfehler erkennen. 

*Bei fehlerkorrigierenden Codes wählt man meist ein dmin ungeradzahlig ⇒  n – k geradzahlig. Bei RS–Codes können dann bis zu t = (n – k)/2 Symbolfehler korrigiert werden. 

*Die Singleton–Schranke besagt, dass für alle linearen Codes dmin ≤ n – k + 1 gilt. RS–Codes erreichen die Schranke mit Gleichheit; sie sind MDS–Codes (Maximum Distance Separable).

*Das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Distanzspektrum] setzt sich zusammen aus W0 = 1 sowie weiteren Gewichtsfaktoren Wi mit d ≤ i ≤ n, wobei in der folgenden Gleichung dmin mit d abgekürzt ist:

::<math>W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.</math>

== Codebezeichnung und Coderate ==
 
Die übliche Bezeichnung für die Reed–Solomon–Codes ist  RSC (n, k, dmin)q  mit
*der Länge n des Codes (Symbolanzahl eines Codewortes), 

*der Dimension k des Codes (Symbolanzahl eines Informationswortes), 

*der minimalen Distanz dmin = n – k + 1, maximal entsprechend der Singleton–Schranke, und 

*der Größe q = 2m des Galoisfeldes ⇒ GF(q). 

Alle Elemente ui des Informationswortes u = (u0, ..., ui, ..., uk–1) und alle Elemente ci des Codewortes c = (c0, ..., ci, ..., cn–1) sind nicht binäre Symbole und entstammen dem Galoisfeld GF(q). 

Für die Realisierung werden diese Symbole stets auch binär dargestellt  ⇒  ui, xi ∈ GF(2), und man kommt zum äquivalenten binären Code  RSC (nbin, kbin, dmin)2   mit
*nbin = n · m Bit eines Codewortes, 

*kbin = k · m Bit eines Informationswortes. 

Die Coderate wird durch diese Maßnahme nicht verändert:

:<math>R = \frac{k}{n}= \frac{k_{\rm bin}}{n_{\rm bin}} = \frac{k \cdot m}{n \cdot m} = \frac{k}{n}
\hspace{0.05cm}.</math>

Ebenso ändert sich durch den Übergang von GF(q) auf GF(2) nichts an der minimalen Distanz dmin. 

{{Beispiel}}''':''' Beim RSC (3, 2, 2)4 ist die Coderate R = k/n = 2/3 und die minimale Distanz dmin = 2. Für das Distanzspektrum {Wi} und die Gewichtsfunktion W(X) gilt nach [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Kapitel 1.6] (siehe Tabelle):

:<math>W_0 = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_2 = 9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_3 = 6\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}W(X) = 1 + 9 \cdot X^2 + 6 \cdot X^3\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2521 KC T 2 3 S3 v1.png|Herleitung der Distanzspektren von RSC (3, 2, 2) 4 und RSC (6, 4, 2)2|class=fit]] 

Die binäre Repräsentation des Codes RSC (3, 2, 2)4 führt zum RSC (6, 4, 2)2, ebenfalls mit der Rate R = 4/6 = 2/3 und der Minimaldistanz dmin = 2. Es ergibt sich allerdings ein anderes Distanzspektrum:

:<math>W_0 = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_2 = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_3 = 8
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_4 = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_6 = 1</math>

:<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm}W(X) = 1 + 3 \cdot X^2 + 8 \cdot X^3 + 4 \cdot X^4 + X^6 \hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Bedeutung der Reed–Solomon–Codes ==
 
Anhand des hier oft beispielhaft betrachteten RSC (3, 2, 2)4 konnten wir viele Eigenschaften der Reed–Solomon–Codes in überschaubarem Rahmen kennenlernen. Praxisrelevant ist dieser Code nicht, da wegen dmin = 2 kein einziger Fehler korrigiert und auch nur ein einziger Fehler erkannt werden kann. Schon der nächstgrößere Code RSC (7, 3, 5)8, der bis zu t = 2 Fehler korrigieren kann, weist bereits eine Codetabelle mit 83 = 512 Einträgen auf und ist zu Demonstrationszwecken weniger gut geeignet. 

In der Praxis werden meist größere RS–Codes eingesetzt, zum Beispiel der RSC (255, 223, 33)256 mit den folgenden Eigenschaften:
*Der Code basiert auf dem Galoisfeld GF(28). Jedes Symbol entspricht somit einem Byte. Die Coderate ist mit R = 0.8745 relativ groß. 

*Trotz dieser großen Coderate (geringen Redundanz) können mit diesem Code bis zu e = 32 Fehler innerhalb eines Blocks aus 255 Symbolen erkannt und t = 16 Fehler korrigiert werden. 

*Die Codetabelle würde allerdings 28 · 223 = 21784 ≈ 10537 Einträge aufweisen und wird deshalb wahrscheinlich auch von niemanden tatsächlich erstellt. 

Der große Vorteil der Reed–Solomon–Codes (und einer ganzen Reihe davon abgeleiteter weiterer Codes) ist zum einen, dass sie analytisch geschlossen konstruiert werden können, zum anderen ihre große Flexibilität hinsichtlich der Codeparameter. Meist geht man wie folgt vor:
*Man gibt die Korrekturfähigkeit in Form des Parameters t vor. Daraus ergibt sich die minimale Distanz dmin = 2t + 1 und die Differenz n – k = 2t entsprechend der Singleton–Schranke. Einen besseren Wert gibt es nicht. 

*Ein weiterer Entwurfsparameter ist die Coderate R = k/n, wobei die Codewortlänge n = 2m – 1 nicht völlig frei wählbar ist. Durch Erweiterung, Verkürzung und Punktierung – siehe Aufgabe Z1.9 – kann die Vielzahl an möglichen Codes weiter vergrößert werden. 

*Bei Reed–Solomon–Codes ist die Gewichtsverteilung exakt bekannt und es ist eine Anpassung an die Fehlerstruktur des Kanals möglich. Sie sind insbesondere für Bündelfehlerkanäle gut geeignet, die bei mobilen Funksystemen aufgrund von temporären Abschattungen häufig vorliegen. 

*Im Falle statistisch unabhängiger Fehler sind BCH–Codes (von Bose–Chaudhuri–Hocquenghem) besser geeignet. Diese sind eng verwandt mit den RS–Codes, allerdings erfüllen sie nicht immer das Singleton–Kriterium. Eine ausführliche Beschreibung finden Sie in [Fri96]<ref>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>. 

*Die Decodierung nach dem BDD–Prinzip (Bounded Distance Decoding) kann rechentechnisch sehr einfach erfolgen, zum Beispiel mit dem Berlekamp–Massey–Algorithmus. Zudem kann im Decoder ohne wesentlichen Mehraufwand auch Soft–Decision–Information verarbeitet werden. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.7 Reed–Solomon–Code (7, 3, 5)(Base 8)|A2.7 Reed–Solomon–Code (7, 3, 5)(Base 8)]]

[[Zusatzaufgaben:2.7 Reed–Solomon–Code (15, 5, 11)(Base 16)]]

[[Aufgaben:2.8 RS–Generatorpolynome|A2.8 RS–Generatorpolynome]]

[[Zusatzaufgaben:2.8 „Plus” und „Mal” in GF(2^3)]]

[[Aufgaben:2.9 Reed–Solomon–Parameter|A2.9 Reed–Solomon–Parameter]]

[[Aufgaben:2.10 Fehlererkennung bei RSC|A2.10 Fehlererkennung bei RSC]]

[[Zusatzaufgaben:2.10 Coderate und minimale Distanz]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Extension Field

2017-01-23T20:25:09Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Einige Grundlagen der Algebra
|Nächste Seite=Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes
}}

== GF(22) – Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) ==
 
Im [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 2.1] wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3}  ⇒  q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr ergeben sich für die Addition modulo 4 und die Multiplikation modulo 4 folgende Tabellen:

:<math>{\rm Operationen } \hspace{0.15cm}{\rm modulo}\hspace{0.15cm}{\it q} = 4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}</math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! 2
! 3
|-
! 0
| 0
| 1
| 2
|| 3
|-
! 1
| 1
| 2
| 3
|| 0
|-
! 2
| 2
| 3
| 0
|| 1
|-
! 3
| 3
| 0
| 1
|| 2
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! 2
! 3
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| 2
|| 3
|-
! 2
| 0
| 2
| 0
|| 2
|-
! 3
| 0
| 3
| 2
|| 1
|}
</td>
</table>

Für zi = 2 gibt es keine multiplikative Inverse InvM(zi). Dies erkennt man daran, dass kein einziges Element zj ∈ {0, 1, 2, 3} die Bedingung 2 · zj = 1 erfüllt. Geht man dagegen vom binären Galoisfeld GF(2) = {0, 1} aus und erweitert dieses entsprechend der Gleichung

:<math>{\rm GF}(2^2)= \big\{k_0+k_1\cdot \alpha \ | \ k_0, k_1\in{\rm GF}(2) = \{ 0, 1\} \big \}\hspace{0.05cm}, </math>

so ergibt sich die ebenfalls endliche Menge {0, 1, α, 1 + α}  ⇒  die Ordnung ist weiterhin q = 4. Führt man die Rechenoperationen modulo p(α) = α2 + α + 1 durch, so erhält man das folgende Ergebnis:

:<math>{\rm modulo} \hspace{0.15cm} {\it p} (\alpha) \hspace{0.25cm}\Rightarrow </math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1+α
|| 1
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

Hierzu ist anzumerken:
*Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation sind weiterhin NA = 0 und NM = 1.

*Da bei Modulo–Ausführung kein Unterschied zwischen Addition und Subtraktion besteht, ist α + α = α – α = 0. Für alle zi gilt somit: Die additive Inverse von zi ist das Element zi selbst.

*Die Einträge in der Multiplikationstabelle ergeben sich nach folgenden Berechnungen:

::<math>\big [ \alpha \cdot (1+\alpha) \big ] \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} p(\alpha) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha + 1)= 1\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\big [ \alpha \cdot \alpha \big ] \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} p(\alpha) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 ) \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha + 1)= 1+\alpha\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\big [ (1+\alpha) \cdot (1+\alpha) \big ] \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} p(\alpha) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 + 1) \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha + 1)= \alpha\hspace{0.05cm}.</math>

*Damit existieren für alle Elemente mit Ausnahme des Nullelements die multiplikativen Inversen:

::<math>{\rm Inv_M}( 1) = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Inv_M}(\alpha) = 1+\alpha \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Inv_M}(1+\alpha) = \alpha \hspace{0.05cm}.</math>

'''Daraus folgt:''' Die Menge {0, 1, α, 1 + α} stellt zusammen mit den zwei Rechenoperationen Addition und Multiplikation modulo p(α) = α2 + α + 1 ein Galoisfeld der Ordnung q = 4 dar. Dieses mit GF(22) = GF(4) bezeichnete Galoisfeld erfüllt alle in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes Kapitel 2.1] genannten Eigenschaften. 

Im Gegensatz zum Zahlenkörper GF(3) = {0, 1, 2} mit der Eigenschaft, dass q = 3 eine Primzahl ist, nennt man GF(22) einen Erweiterungskörper (englisch: Extension Field). 

== GF(22) – Beispiel eines Erweiterungskörpers (2) ==
 
Das Polynom p(α) und damit die Bestimmungsgleichung p(α) = 0 darf nicht beliebig vorgegeben werden. Zum Beleg hierfür vergleichen wir die Verknüpfungstabellen für zwei verschiedene Polynome. 

Polynom entsprechend der letzten Seite  ⇒  p(α) = α2 + α + 1:

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1+α
|| 1
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

Neuer (allerdings ungeeigneter) Ansatz  ⇒  p(α) = α2 + 1:

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1
|| 1+α
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1+α
|| 0
|}
</td>
</table>

Die Additionstabelle ist in beiden Fällen identisch und auch die Multiplikationstabellen unterscheiden sich nur durch die vier Einträge in den beiden unteren Zeilen und den beiden hinteren Spalten:
*Aus p(α) = 0 folgt nun für das Produkt α · α = 1 und das Produkt (1+α) · (1+α) ergibt das Element 0. Das gemischte Produkt α · (1+α) ist nun 1+α. 

*In der letzten Zeile der Multipliaktionstabelle und auch in der letzten Spalte steht nun keine &bdquo;1” ⇒ Hinsichtlich der Bedingung p(α) = α2 + 1 = 0 existiert die multiplikative Inverse zu 1+α nicht. 

*Damit erfüllt aber die endliche Menge {0, 1, α, 1+α} zusammen mit Rechenoperationen modulo p(α) = α2 + 1 auch nicht die Voraussetzungen eines Erweiterungskörpers GF(22). 

Fassen wir zusammen: Aus dem binären Galoisfeld GF(2) = {0, 1} lässt sich unter Zuhilfenahme eines Polynoms vom Grad m = 2 mit binären Koeffizienten,

:<math>p(x) = x^2 + k_1 \cdot x + k_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}k_0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}k_1 \in \{0, 1\}
\hspace{0.05cm},</math>

ein Erweiterungskörper GF(22) formulieren. Im vorliegenden Fall gibt es nur ein geeignetes Polynom p1(x) = x2 + x + 1. Alle anderen möglichen Polynome vom Grad m = 2, nämlich

:<math>p_2(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^2 + 1 \hspace{0.06cm} = (x+1) \cdot (x+1)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_3(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^2 \hspace{0.76cm} = x \cdot x \hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_4(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^2 + x = (x+1) \cdot x </math>

lassen sich faktorisieren und ergeben keinen Erweiterungskörper. Man nennt die Polynome p2(x), p3(x) und p4(x) reduzibel. 

Anmerkung: Die Umbenennung der Funktionsvariablen α in x hat nur formale Bedeutung im Hinblick auf die folgenden Seiten. 

== GF(22) – Beispiel eines Erweiterungskörpers (3) ==
 
Wir betrachten weiterhin den Körper GF(22) = {0, 1, α, 1+α} entsprechend den beiden folgenden Operationstabellen, basierend auf der Nebenbedingung  p(α) = α2 + α + 1 = 0 (irreduzibles Ploynom):

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1+α
|| 1
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

Welche Bedeutung hat aber nun das neue Element α?
*Das Polynom p(α) = α2 + α + 1 hat keine Nullstelle in GF(2) = {0, 1}. Das bedeutet weiter, dass α weder 0 noch 1 sein kann. 

*Wäre α = 0 bzw. α = 1, so wären zudem zwei der vier Mengenelemente {0, 1, α, 1+α} jeweils identisch. Entweder &bdquo;0” und &bdquo;α” sowie &bdquo;1” und &bdquo;1+α” oder &bdquo;1” und &bdquo;α” sowie &bdquo;0” und &bdquo;1+α”. 

*Vielmehr erhält der eindimensionale Körper GF(2) durch die Einführung des Elementes α eine zweite Dimension. Er wird also zum Galoisfeld GF(22) erweitert, wie die folgende Grafik zeigt. 

:[[File:P ID2552 KC T 2 2 S1 v2.png|Übergang von GF(2) zu GF(22) |class=fit]] 

*Das Element α hat ähnliche Bedeutung wie die imaginäre Einheit j, durch die man die Menge der reellen Zahlen unter der Nebenbedingung j2 + 1 = 0 zur Menge der komplexen Zahlen erweitert. 

*Aufgrund der Identität α2 = 1 + α, die aus der Nebenbedingung p(α) = 0 folgt, kann man in gleicher Weise GF(22) = {0, 1, α, α2} schreiben, wobei nun folgende Operationstabellen gelten:

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! α2
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| α2
|-
! 1
| 1
| 0
| α2
|| α
|-
! α
| α
| α2
| 0
|| 1
|-
! α2
| α2
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! α2
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| α2
|-
! α
| 0
| α
| α2
|| 1
|-
! α2
| 0
| α2
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

== Polynome über einem endlichen Körper (1) ==
 
Ein Polynom in einem endlichen Körper GF(P), wobei P eine Primzahl angibt, hat folgende Form:

:<math>a(x) = \sum_{i = 0}^{m} a_i \cdot x^{i} = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}
\hspace{0.05cm}.</math>

 Anzumerken ist:
*Alle Koeffizienten sind Elemente des Körpers: ai ∈ GF(P). 

*Ist der führende Koeffizient am ≠ 0, so gibt m den Grad des Polynoms an. 

Betrachten wir ein dazu zweites Polynom mit Grad M,

:<math>b(x) = \sum_{i = 0}^{M} b_i \cdot x^{i} = b_0 + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + b_M \cdot x^{M}
\hspace{0.05cm},</math>

so erhält man für die Summe (bzw. Differenz) und das Produkt jeweils in GF(P):

:<math>a(x) \pm b(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{{\rm max}\hspace{0.05cm}(m, \hspace{0.05cm}M)} \hspace{0.15cm}(a_i \pm b_i) \cdot x^{i} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>a(x) \cdot b(x) = \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{m + M} \hspace{0.15cm}c_i \cdot x^{i}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
c_i = \sum_{j = 0}^{i}\hspace{0.15cm}a_j \cdot b_{i-j}
\hspace{0.05cm}.</math>

{{Beispiel}}''':''' Es gelte a(x) = x3 + x + 1 und b(x) = x2 + x + 1. Im binären Galoisfeld  ⇒  GF(2) ergibt sich nach den obigen Gleichungen für die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Polynome:

:<math>s(x) = a(x) + b(x) = x^3 + x^2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
d(x) = a(x) - b(x) = x^3 + x^2 = s(x)\hspace{0.05cm},</math>

:<math>c(x) = a(x) \cdot b(x) =\sum_{i = 0}^{3 + 2} \hspace{0.15cm}c_i \cdot x^{i}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
c_i = \sum_{j = 0}^{i}\hspace{0.15cm}a_j \cdot b_{i-j}
\hspace{0.05cm}.</math>

Mit a0 = a1 = a3 = b0 = b1 = b2 = 1 und a2 = a4 = a5 = b3 = b4 = b5 = 0 erhält man:

:<math>c_0 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 = 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_1 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_2 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_2 + a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_3 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_3 \cdot b_0
= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_4 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_4 + a_1 \cdot b_3 + \hspace{0.05cm}...+ \hspace{0.05cm}a_4 \cdot b_0
=1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_5 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_5 + a_1 \cdot b_4 + \hspace{0.05cm}...+ \hspace{0.05cm} a_5 \cdot b_0
=1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1= 1 </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} c(x) = x^5 + x^4 +1 \hspace{0.05cm}.</math>

Im Galoisfeld GF(3) erhält man aufgrund der Modulo–3–Operationen andere Ergebnisse:

:<math>s(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (x^3 + x + 1) + (x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + 2x + 2\hspace{0.05cm},</math>
:<math>d(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^3 + x + 1) - (x^2 + x + 1) = x^3 + 2x^2 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^3 + x + 1) \cdot (x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x +1\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Polynome über einem endlichen Körper (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Ein Polynom a(x) bezeichnet man als reduzibel (englisch: reducible), wenn es als Produkt zweier Polynome p(x) und q(x) mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:

:<math>a(x) = p(x) \cdot q(x)
\hspace{0.05cm}.</math>

Ist diese Faktorisierung nicht möglich, das heißt, wenn

:<math>a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r(x) \ne 0</math>

gilt, so spricht man von einem irreduziblen (englisch: irreducible oder prime) Polynom.{{end}} 

{{Beispiel}}''':''' Es gelte b(x) = x3 + x + 1,  p1(x) = x2 + x + 1 und  p2(x) = x2 + 1. Die Grafik verdeutlicht links die Modulo–2–Multiplikation a(x) = b(x) · p1(x). Das Ergebnis ist a(x) = x5 + x4 + 1. 

[[File:P ID2538 KC T 2 2 S2 v2.png|Beispiel für Polynom–Multiplikation und –Division|class=fit]] 

Im rechten Teil der obigen Grafik ist die Modulo–2–Division q(x) = a(x)/p2(x) mit dem Ergebnis q(x) = x3 + x2 + x + 1 dargestellt. Es verbleibt der Rest r(x) = x. Allein nach dieser Rechnung könnte a(x) = x5 + x4 + 1 durchaus ein irreduzibles Polynom sein. 

Der Nachweis, dass das Polynom a(x) = x5 + x4 + 1 tatsächlich irreduzibel ist, wäre allerdings erst dann erbracht, wenn a(x)/p(x) für alle

:<math>p(x) = \sum_{i = 0}^{m} a_i \cdot x^{i} = a_m \cdot x^{m} + a_{m-1} \cdot x^{m-1} + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \hspace{0.05cm}</math>

einen Rest r(x) ≠ 0 liefert. Dies würde im vorliegenden Beispiel (nahezu) 25 = 32 Divisionen erfordern. 

Aufgrund unserer linken Berechnung können wir hier sofort erkennen, dass a(x) mit Sicherheit kein irreduzibles Polynom ist, da zum Beispiel a(x) = x5 + x4 + 1 dividiert durch p1(x) = x2 + x + 1 das Polynom b(x) = x3 + x + 1 ohne Rest ergibt.{{end}} 

== Verallgemeinerte Definition eines Erweiterungskörpers ==
 
Wir gehen von folgenden Voraussetzungen aus:
*einem Galoisfeld GF(P), wobei P eine Primzahl angibt, 

*einem irreduziblen Polynom p(x) über GF(P) mit dem Grad m:

:<math>p(x) = a_m \cdot x^{m} + a_{m-1} \cdot x^{m-1} + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
a_i \in {\rm G}(P)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}a_m \ne 0\hspace{0.05cm}. </math>

Mit den genannten Voraussetzungen gilt allgemein:

{{Definition}}''':''' Es sei P eine Primzahl, m ganzzahlig, p(x) ein irreduzibles Polynom vom Grad m und es gelte p(α) = 0. Ein Erweiterungskörper lässt sich dann wie folgt beschreiben.

:<math>{\rm GF}(P^m)= \Big\{ k_{m-1} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.02cm}\alpha^{m-1} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}k_1 \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.02cm} \alpha \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k_0\hspace{0.05cm} \Big{|}\hspace{0.02cm} \ k_i\in{\rm GF}(P) = \{ 0, 1, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, P-1\}\Big \}</math>

Die Addition und Multiplikation in diesem Erweiterungskörper entspricht dann der Polynomaddition und Polynommultiplikation modulo p(α).{{end}} 

Ein Galoisfeld GF(q) mit q Elementen lässt sich also immer dann angeben, wenn die Elementenanzahl in der Form q = Pm geschrieben werden kann (P kennzeichnet eine Primzahl, m sei ganzzahlig). 

[[File:P ID2500 KC T 2 2 S3 v2.png|Mögliche Galoisfelder GF(q), q ≤ 64 |class=fit]] 

Die Grafik zeigt, für welche q–Werte sich jeweils ein Galoisfeld konstruieren lässt. Für die schraffiert eingezeichneten q–Werte ist kein endlicher Körper angebbar. Weiter ist anzumerken:
*Die gelb hinterlegten Positionen q = P  ⇒  m = 1 markieren Zahlenmengen {0, 1, ... , q – 1} mit Galoiseigenschaften, siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes Kapitel 2.1.] 

*Die anderen farblich hinterlegten Positionen markieren Erweiterungskörper mit q = Pm, m ≥ 2. Für q ≤ 64 basieren diese auf den Primzahlen 2, 3, 5 und 7. 

*Mit roter Schrift hervorgehoben sind binäre Körper  ⇒  q = 2m, m ≥ 1, die auf der nächsten Seite noch genauer betrachtet werden. Alle anderen Erweiterungskörper sind blau beschriftet. 

== Binäre Erweiterungskörper (1) ==
 
Im Folgenden betrachten wir binäre Erweiterungskörper mit

:<math>q = 2^m \hspace{0.15cm}(m \ge 2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} q = 4, 8, 16, 32, 64, ...</math>

Elementen. In der Tabelle sind für 2 ≤ m ≤ 6 alle irreduziblen Polynome des Galoisfeldes GF(2) angegeben. Die Polynome in Spalte 2 und 3 sind nicht nur irreduzibel, sondern auch primitiv. 

[[File:P ID2501 KC T 2 2 S4 v4.png|Irreduzible und primitive Polynome|class=fit]] 

Bevor wir uns der Definition eines primitiven Polynoms zuwenden, sollen zunächst die Besonderheiten primitiver Elemente am Beispiel von

:<math>{\rm GF}(q) = \{\hspace{0.05cm}z_0 = 0,\hspace{0.1cm} z_1 = 1,\hspace{0.1cm} ... , \hspace{0.05cm}z_{q-1}\}</math>

genannt werden. Das Element zi = β wird dann als primitiv bezeichnet,
*wenn die Potenz β i modulo q zum ersten Mal für i = q – 1 das Ergebnis &bdquo;1” liefert, 

*so dass β i für 1 ≤ i ≤ q – 1 genau die Elemente z1, ... , zq–1 liefert, also alle Elemente von GF(q) mit Ausnahme des Nullelementes z0 = 0. 

{{Beispiel}}''':''' Von der Zahlenmenge Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} sind &bdquo;2” und &bdquo;3” wegen

:<math>2^1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 2^2 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 2^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 2^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm},</math>
:<math>3^1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 3^2 = 9\hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 3^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 3^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1</math>

primitive Elemente. Dagegen ist &bdquo;4” kein primitives Element, weil bereits 42 = 1 ist:

:<math>4^1 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 4^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 4^3 = 64 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 4^4 = 256 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Binäre Erweiterungskörper (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Ein irreduzibles Polynom bezeichnet man gleichzeitig als ein primitives Polynom, wenn die Wurzel α bezüglich des Polynoms p(x) ein primitives Element von GF(q) ist. Dann gilt

:<math>{\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}\alpha^{-\infty} = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{0} = 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
\alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2},\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}\alpha^{q-2}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

Alle in Spalte 2 der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.281.29 obigen Tabelle] angegebenen Polynome sind sowohl irreduzibel als auch primitiv. Ist p1(x) ein primitives Polynom, so ist auch das dazu reziproke Polynom

:<math>p_2 (x) = x^m \cdot p_1(x^{-1})</math>

primitiv. Alle Polynome in Spalte 3 sind reziprok zum Polynom in Spalte 2. Beispielsweise gilt für m = 3:

:<math>p_1(x) = x^3 + x + 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}p_2(x) = x^3 \cdot [x^{-3} + x^{-1} + 1 ]= x^3 + x^2 + 1 \hspace{0.05cm}.</math>

Die irreduziblen Polynome der Spalte 4 sind dagegen nicht primitiv; sie spielen nur eine untergeordnete Rolle zur Beschreibung von Fehlerkorrekturverfahren. 

Hinweis: Primitive Polynome liefern auch die Grundlage für [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Realisierung_von_PN-Generatoren Pseudo–Noise–Generatoren.] 

{{Beispiel}}''':''' Zur Verdeutlichung dieser Aussagen betrachten wir beispielhaft
*das Galoisfeld GF(23) = GF(8), sowie 
*das Polynom p(x) = x3 + x + 1. 

Aus der Bedingung p(α) = 0 erhält man in GF(23) weiter:

:<math>\alpha^3 + \alpha + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha^3 = \alpha + 1 \hspace{0.05cm},</math>

und damit für die Potenzen αi der Wurzel für i ≥ 4:

:<math>\alpha^4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^2 \cdot \alpha^3 = \alpha^2 \cdot (\alpha + 1) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^6 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^3 \cdot \alpha^3 = (\alpha + 1) \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha + \alpha + 1= \alpha^2 + 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^4 \cdot \alpha^3 = (\alpha^2 + \alpha) \cdot (\alpha + 1) = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha^2 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1 = \alpha^0 \hspace{0.05cm}.</math>{{end}}

== Binäre Erweiterungskörper (3) ==
 
[[File:P ID2568 KC T 2 2 S4b.png|Elemente von GF(23) in drei verschiedenen Darstellungen |rechts|rahmenlos]]
Die Elemente z0, z1, ... , z7 des Galoisfeldes GF(23) lassen sich entsprechend der nebenstehenden Tabelle wie folgt darstellen:
*als Potenzen von α (Exponentendarstellung), 

*als Polynome der Form k2 · α2 + k1 · α + k0 mit binären Koeffizienten k2, k1, k0 (jeweils 0 oder 1) , 

*als Vektoren der Koeffizienten (k2, k1, k0). 

Für die Addition (oder Subtraktion) zweier Elemente eignen sich die Polynom– und die Vektordarstellung gleichermaßen, wobei die Komponenten modulo 2 zu addieren sind, zum Beispiel:

:<math>z_5 + z_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) + (\alpha^2 + 1) = \alpha + 1 = \alpha^3 = z_4 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\rm oder}\hspace{0.15cm} z_5 + z_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (110) + (101) = (011) = z_4 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.15cm} z_1 + z_2 + z_3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (001) + (010) + (100)= (111) = z_6 \hspace{0.05cm}.</math>

Für Multiplikationen ist die Exponentendarstellung besser geeignet, wie die folgenden Beispiele zeigen:

:<math>z_3 \cdot z_4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^2 \cdot \alpha^3 = \alpha^{2+3}= \alpha^{5} = z_6 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>z_0 \cdot z_5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^{-\infty} \cdot \alpha^4 = \alpha^{-\infty} = z_0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>z_5 \cdot z_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^4 \cdot \alpha^6 = \alpha^{10}= \alpha^{7} \cdot \alpha^{3}
= 1 \cdot \alpha^{3}= z_4 \hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt, dass sich hierbei die Exponenten modulo (q – 1) ergeben; im Beispiel modulo 7. 

[[File:P ID2577 KC T 2 2 S4c.png|GF(23) in 3D–Darstellung|rechts|rahmenlos]]
Die Grafik zeigt den endlichen Erweiterungskörper GF(23) in einer 3D–Darstellung, wobei die Achsen mit α0 = 1, α1 und α2 bezeichnet sind. Die 23 = 8 Punkte im dreidimensionalen Raum sind mit den Koeffizientenvektoren beschriftet, wobei die Zuordnung der einzelnen Koeffizienten k2, k1, k0 zu den Achsen farblich deutlich gemacht ist. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.3 Reduzible und irreduzible Polynome|A2.3 Reduzible und irreduzible Polynome]]

[[Zusatzaufgaben:2.3 Polynomdivision]]

[[Aufgaben:2.4 GF(2^2)–Darstellungsformen|A2.4 GF(2^2)–Darstellungsformen]]

[[Zusatzaufgaben:2.4 Endliche und unendliche Körper]]

[[Aufgaben:2.5 Drei Varianten von GF(2^4)|A2.5 Drei Varianten von GF(2^4)]]

[[Zusatzaufgaben:2.5 Einige Berechnungen über GF(2^3)]]

[[Aufgaben:2.6 GF(P^m). Welches P, welches m?|A2.6 GF(P^m). Welches P, welches m?]]

{{Display}}

Channel Coding/Extension Field

2017-01-23T20:23:52Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Einige Grundlagen der Algebra
|Nächste Seite=Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes
}}

== GF(22) – Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) ==
 
Im [http://en.lntwww.de/Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL#Motivation_f.C3.BCr_xDSL Kapitel 2.1] wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3}  ⇒  q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr ergeben sich für die Addition modulo 4 und die Multiplikation modulo 4 folgende Tabellen:

:<math>{\rm Operationen } \hspace{0.15cm}{\rm modulo}\hspace{0.15cm}{\it q} = 4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}</math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! 2
! 3
|-
! 0
| 0
| 1
| 2
|| 3
|-
! 1
| 1
| 2
| 3
|| 0
|-
! 2
| 2
| 3
| 0
|| 1
|-
! 3
| 3
| 0
| 1
|| 2
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! 2
! 3
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| 2
|| 3
|-
! 2
| 0
| 2
| 0
|| 2
|-
! 3
| 0
| 3
| 2
|| 1
|}
</td>
</table>

Für zi = 2 gibt es keine multiplikative Inverse InvM(zi). Dies erkennt man daran, dass kein einziges Element zj ∈ {0, 1, 2, 3} die Bedingung 2 · zj = 1 erfüllt. Geht man dagegen vom binären Galoisfeld GF(2) = {0, 1} aus und erweitert dieses entsprechend der Gleichung

:<math>{\rm GF}(2^2)= \big\{k_0+k_1\cdot \alpha \ | \ k_0, k_1\in{\rm GF}(2) = \{ 0, 1\} \big \}\hspace{0.05cm}, </math>

so ergibt sich die ebenfalls endliche Menge {0, 1, α, 1 + α}  ⇒  die Ordnung ist weiterhin q = 4. Führt man die Rechenoperationen modulo p(α) = α2 + α + 1 durch, so erhält man das folgende Ergebnis:

:<math>{\rm modulo} \hspace{0.15cm} {\it p} (\alpha) \hspace{0.25cm}\Rightarrow </math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1+α
|| 1
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

Hierzu ist anzumerken:
*Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation sind weiterhin NA = 0 und NM = 1.

*Da bei Modulo–Ausführung kein Unterschied zwischen Addition und Subtraktion besteht, ist α + α = α – α = 0. Für alle zi gilt somit: Die additive Inverse von zi ist das Element zi selbst.

*Die Einträge in der Multiplikationstabelle ergeben sich nach folgenden Berechnungen:

::<math>\big [ \alpha \cdot (1+\alpha) \big ] \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} p(\alpha) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha + 1)= 1\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\big [ \alpha \cdot \alpha \big ] \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} p(\alpha) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 ) \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha + 1)= 1+\alpha\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\big [ (1+\alpha) \cdot (1+\alpha) \big ] \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} p(\alpha) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 + 1) \hspace{0.15cm}{\rm mod} \hspace{0.15cm} (\alpha^2 + \alpha + 1)= \alpha\hspace{0.05cm}.</math>

*Damit existieren für alle Elemente mit Ausnahme des Nullelements die multiplikativen Inversen:

::<math>{\rm Inv_M}( 1) = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Inv_M}(\alpha) = 1+\alpha \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Inv_M}(1+\alpha) = \alpha \hspace{0.05cm}.</math>

'''Daraus folgt:''' Die Menge {0, 1, α, 1 + α} stellt zusammen mit den zwei Rechenoperationen Addition und Multiplikation modulo p(α) = α2 + α + 1 ein Galoisfeld der Ordnung q = 4 dar. Dieses mit GF(22) = GF(4) bezeichnete Galoisfeld erfüllt alle in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes Kapitel 2.1] genannten Eigenschaften. 

Im Gegensatz zum Zahlenkörper GF(3) = {0, 1, 2} mit der Eigenschaft, dass q = 3 eine Primzahl ist, nennt man GF(22) einen Erweiterungskörper (englisch: Extension Field). 

== GF(22) – Beispiel eines Erweiterungskörpers (2) ==
 
Das Polynom p(α) und damit die Bestimmungsgleichung p(α) = 0 darf nicht beliebig vorgegeben werden. Zum Beleg hierfür vergleichen wir die Verknüpfungstabellen für zwei verschiedene Polynome. 

Polynom entsprechend der letzten Seite  ⇒  p(α) = α2 + α + 1:

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1+α
|| 1
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

Neuer (allerdings ungeeigneter) Ansatz  ⇒  p(α) = α2 + 1:

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1
|| 1+α
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1+α
|| 0
|}
</td>
</table>

Die Additionstabelle ist in beiden Fällen identisch und auch die Multiplikationstabellen unterscheiden sich nur durch die vier Einträge in den beiden unteren Zeilen und den beiden hinteren Spalten:
*Aus p(α) = 0 folgt nun für das Produkt α · α = 1 und das Produkt (1+α) · (1+α) ergibt das Element 0. Das gemischte Produkt α · (1+α) ist nun 1+α. 

*In der letzten Zeile der Multipliaktionstabelle und auch in der letzten Spalte steht nun keine &bdquo;1” ⇒ Hinsichtlich der Bedingung p(α) = α2 + 1 = 0 existiert die multiplikative Inverse zu 1+α nicht. 

*Damit erfüllt aber die endliche Menge {0, 1, α, 1+α} zusammen mit Rechenoperationen modulo p(α) = α2 + 1 auch nicht die Voraussetzungen eines Erweiterungskörpers GF(22). 

Fassen wir zusammen: Aus dem binären Galoisfeld GF(2) = {0, 1} lässt sich unter Zuhilfenahme eines Polynoms vom Grad m = 2 mit binären Koeffizienten,

:<math>p(x) = x^2 + k_1 \cdot x + k_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}k_0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}k_1 \in \{0, 1\}
\hspace{0.05cm},</math>

ein Erweiterungskörper GF(22) formulieren. Im vorliegenden Fall gibt es nur ein geeignetes Polynom p1(x) = x2 + x + 1. Alle anderen möglichen Polynome vom Grad m = 2, nämlich

:<math>p_2(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^2 + 1 \hspace{0.06cm} = (x+1) \cdot (x+1)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_3(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^2 \hspace{0.76cm} = x \cdot x \hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_4(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^2 + x = (x+1) \cdot x </math>

lassen sich faktorisieren und ergeben keinen Erweiterungskörper. Man nennt die Polynome p2(x), p3(x) und p4(x) reduzibel. 

Anmerkung: Die Umbenennung der Funktionsvariablen α in x hat nur formale Bedeutung im Hinblick auf die folgenden Seiten. 

== GF(22) – Beispiel eines Erweiterungskörpers (3) ==
 
Wir betrachten weiterhin den Körper GF(22) = {0, 1, α, 1+α} entsprechend den beiden folgenden Operationstabellen, basierend auf der Nebenbedingung  p(α) = α2 + α + 1 = 0 (irreduzibles Ploynom):

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! 1
| 1
| 0
| 1+α
|| α
|-
! α
| α
| 1+α
| 0
|| 1
|-
! 1+α
| 1+α
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! 1+α
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| 1+α
|-
! α
| 0
| α
| 1+α
|| 1
|-
! 1+α
| 0
| 1+α
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

Welche Bedeutung hat aber nun das neue Element α?
*Das Polynom p(α) = α2 + α + 1 hat keine Nullstelle in GF(2) = {0, 1}. Das bedeutet weiter, dass α weder 0 noch 1 sein kann. 

*Wäre α = 0 bzw. α = 1, so wären zudem zwei der vier Mengenelemente {0, 1, α, 1+α} jeweils identisch. Entweder &bdquo;0” und &bdquo;α” sowie &bdquo;1” und &bdquo;1+α” oder &bdquo;1” und &bdquo;α” sowie &bdquo;0” und &bdquo;1+α”. 

*Vielmehr erhält der eindimensionale Körper GF(2) durch die Einführung des Elementes α eine zweite Dimension. Er wird also zum Galoisfeld GF(22) erweitert, wie die folgende Grafik zeigt. 

:[[File:P ID2552 KC T 2 2 S1 v2.png|Übergang von GF(2) zu GF(22) |class=fit]] 

*Das Element α hat ähnliche Bedeutung wie die imaginäre Einheit j, durch die man die Menge der reellen Zahlen unter der Nebenbedingung j2 + 1 = 0 zur Menge der komplexen Zahlen erweitert. 

*Aufgrund der Identität α2 = 1 + α, die aus der Nebenbedingung p(α) = 0 folgt, kann man in gleicher Weise GF(22) = {0, 1, α, α2} schreiben, wobei nun folgende Operationstabellen gelten:

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! α
! α2
|-
! 0
| 0
| 1
| α
|| α2
|-
! 1
| 1
| 0
| α2
|| α
|-
! α
| α
| α2
| 0
|| 1
|-
! α2
| α2
| α
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! α
! α2
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| α
|| α2
|-
! α
| 0
| α
| α2
|| 1
|-
! α2
| 0
| α2
| 1
|| α
|}
</td>
</table>

== Polynome über einem endlichen Körper (1) ==
 
Ein Polynom in einem endlichen Körper GF(P), wobei P eine Primzahl angibt, hat folgende Form:

:<math>a(x) = \sum_{i = 0}^{m} a_i \cdot x^{i} = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}
\hspace{0.05cm}.</math>

 Anzumerken ist:
*Alle Koeffizienten sind Elemente des Körpers: ai ∈ GF(P). 

*Ist der führende Koeffizient am ≠ 0, so gibt m den Grad des Polynoms an. 

Betrachten wir ein dazu zweites Polynom mit Grad M,

:<math>b(x) = \sum_{i = 0}^{M} b_i \cdot x^{i} = b_0 + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + b_M \cdot x^{M}
\hspace{0.05cm},</math>

so erhält man für die Summe (bzw. Differenz) und das Produkt jeweils in GF(P):

:<math>a(x) \pm b(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{{\rm max}\hspace{0.05cm}(m, \hspace{0.05cm}M)} \hspace{0.15cm}(a_i \pm b_i) \cdot x^{i} \hspace{0.05cm},</math>
:<math>a(x) \cdot b(x) = \hspace{-0.15cm} \sum_{i = 0}^{m + M} \hspace{0.15cm}c_i \cdot x^{i}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
c_i = \sum_{j = 0}^{i}\hspace{0.15cm}a_j \cdot b_{i-j}
\hspace{0.05cm}.</math>

{{Beispiel}}''':''' Es gelte a(x) = x3 + x + 1 und b(x) = x2 + x + 1. Im binären Galoisfeld  ⇒  GF(2) ergibt sich nach den obigen Gleichungen für die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Polynome:

:<math>s(x) = a(x) + b(x) = x^3 + x^2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
d(x) = a(x) - b(x) = x^3 + x^2 = s(x)\hspace{0.05cm},</math>

:<math>c(x) = a(x) \cdot b(x) =\sum_{i = 0}^{3 + 2} \hspace{0.15cm}c_i \cdot x^{i}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
c_i = \sum_{j = 0}^{i}\hspace{0.15cm}a_j \cdot b_{i-j}
\hspace{0.05cm}.</math>

Mit a0 = a1 = a3 = b0 = b1 = b2 = 1 und a2 = a4 = a5 = b3 = b4 = b5 = 0 erhält man:

:<math>c_0 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 = 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_1 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_2 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_2 + a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_3 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_3 \cdot b_0
= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_4 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_4 + a_1 \cdot b_3 + \hspace{0.05cm}...+ \hspace{0.05cm}a_4 \cdot b_0
=1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c_5 \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.15cm} a_0 \cdot b_5 + a_1 \cdot b_4 + \hspace{0.05cm}...+ \hspace{0.05cm} a_5 \cdot b_0
=1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1= 1 </math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} c(x) = x^5 + x^4 +1 \hspace{0.05cm}.</math>

Im Galoisfeld GF(3) erhält man aufgrund der Modulo–3–Operationen andere Ergebnisse:

:<math>s(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (x^3 + x + 1) + (x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + 2x + 2\hspace{0.05cm},</math>
:<math>d(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^3 + x + 1) - (x^2 + x + 1) = x^3 + 2x^2 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>c(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x^3 + x + 1) \cdot (x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x +1\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Polynome über einem endlichen Körper (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Ein Polynom a(x) bezeichnet man als reduzibel (englisch: reducible), wenn es als Produkt zweier Polynome p(x) und q(x) mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:

:<math>a(x) = p(x) \cdot q(x)
\hspace{0.05cm}.</math>

Ist diese Faktorisierung nicht möglich, das heißt, wenn

:<math>a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r(x) \ne 0</math>

gilt, so spricht man von einem irreduziblen (englisch: irreducible oder prime) Polynom.{{end}} 

{{Beispiel}}''':''' Es gelte b(x) = x3 + x + 1,  p1(x) = x2 + x + 1 und  p2(x) = x2 + 1. Die Grafik verdeutlicht links die Modulo–2–Multiplikation a(x) = b(x) · p1(x). Das Ergebnis ist a(x) = x5 + x4 + 1. 

[[File:P ID2538 KC T 2 2 S2 v2.png|Beispiel für Polynom–Multiplikation und –Division|class=fit]] 

Im rechten Teil der obigen Grafik ist die Modulo–2–Division q(x) = a(x)/p2(x) mit dem Ergebnis q(x) = x3 + x2 + x + 1 dargestellt. Es verbleibt der Rest r(x) = x. Allein nach dieser Rechnung könnte a(x) = x5 + x4 + 1 durchaus ein irreduzibles Polynom sein. 

Der Nachweis, dass das Polynom a(x) = x5 + x4 + 1 tatsächlich irreduzibel ist, wäre allerdings erst dann erbracht, wenn a(x)/p(x) für alle

:<math>p(x) = \sum_{i = 0}^{m} a_i \cdot x^{i} = a_m \cdot x^{m} + a_{m-1} \cdot x^{m-1} + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \hspace{0.05cm}</math>

einen Rest r(x) ≠ 0 liefert. Dies würde im vorliegenden Beispiel (nahezu) 25 = 32 Divisionen erfordern. 

Aufgrund unserer linken Berechnung können wir hier sofort erkennen, dass a(x) mit Sicherheit kein irreduzibles Polynom ist, da zum Beispiel a(x) = x5 + x4 + 1 dividiert durch p1(x) = x2 + x + 1 das Polynom b(x) = x3 + x + 1 ohne Rest ergibt.{{end}} 

== Verallgemeinerte Definition eines Erweiterungskörpers ==
 
Wir gehen von folgenden Voraussetzungen aus:
*einem Galoisfeld GF(P), wobei P eine Primzahl angibt, 

*einem irreduziblen Polynom p(x) über GF(P) mit dem Grad m:

:<math>p(x) = a_m \cdot x^{m} + a_{m-1} \cdot x^{m-1} + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
a_i \in {\rm G}(P)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}a_m \ne 0\hspace{0.05cm}. </math>

Mit den genannten Voraussetzungen gilt allgemein:

{{Definition}}''':''' Es sei P eine Primzahl, m ganzzahlig, p(x) ein irreduzibles Polynom vom Grad m und es gelte p(α) = 0. Ein Erweiterungskörper lässt sich dann wie folgt beschreiben.

:<math>{\rm GF}(P^m)= \Big\{ k_{m-1} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.02cm}\alpha^{m-1} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}k_1 \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.02cm} \alpha \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k_0\hspace{0.05cm} \Big{|}\hspace{0.02cm} \ k_i\in{\rm GF}(P) = \{ 0, 1, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, P-1\}\Big \}</math>

Die Addition und Multiplikation in diesem Erweiterungskörper entspricht dann der Polynomaddition und Polynommultiplikation modulo p(α).{{end}} 

Ein Galoisfeld GF(q) mit q Elementen lässt sich also immer dann angeben, wenn die Elementenanzahl in der Form q = Pm geschrieben werden kann (P kennzeichnet eine Primzahl, m sei ganzzahlig). 

[[File:P ID2500 KC T 2 2 S3 v2.png|Mögliche Galoisfelder GF(q), q ≤ 64 |class=fit]] 

Die Grafik zeigt, für welche q–Werte sich jeweils ein Galoisfeld konstruieren lässt. Für die schraffiert eingezeichneten q–Werte ist kein endlicher Körper angebbar. Weiter ist anzumerken:
*Die gelb hinterlegten Positionen q = P  ⇒  m = 1 markieren Zahlenmengen {0, 1, ... , q – 1} mit Galoiseigenschaften, siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes Kapitel 2.1.] 

*Die anderen farblich hinterlegten Positionen markieren Erweiterungskörper mit q = Pm, m ≥ 2. Für q ≤ 64 basieren diese auf den Primzahlen 2, 3, 5 und 7. 

*Mit roter Schrift hervorgehoben sind binäre Körper  ⇒  q = 2m, m ≥ 1, die auf der nächsten Seite noch genauer betrachtet werden. Alle anderen Erweiterungskörper sind blau beschriftet. 

== Binäre Erweiterungskörper (1) ==
 
Im Folgenden betrachten wir binäre Erweiterungskörper mit

:<math>q = 2^m \hspace{0.15cm}(m \ge 2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} q = 4, 8, 16, 32, 64, ...</math>

Elementen. In der Tabelle sind für 2 ≤ m ≤ 6 alle irreduziblen Polynome des Galoisfeldes GF(2) angegeben. Die Polynome in Spalte 2 und 3 sind nicht nur irreduzibel, sondern auch primitiv. 

[[File:P ID2501 KC T 2 2 S4 v4.png|Irreduzible und primitive Polynome|class=fit]] 

Bevor wir uns der Definition eines primitiven Polynoms zuwenden, sollen zunächst die Besonderheiten primitiver Elemente am Beispiel von

:<math>{\rm GF}(q) = \{\hspace{0.05cm}z_0 = 0,\hspace{0.1cm} z_1 = 1,\hspace{0.1cm} ... , \hspace{0.05cm}z_{q-1}\}</math>

genannt werden. Das Element zi = β wird dann als primitiv bezeichnet,
*wenn die Potenz β i modulo q zum ersten Mal für i = q – 1 das Ergebnis &bdquo;1” liefert, 

*so dass β i für 1 ≤ i ≤ q – 1 genau die Elemente z1, ... , zq–1 liefert, also alle Elemente von GF(q) mit Ausnahme des Nullelementes z0 = 0. 

{{Beispiel}}''':''' Von der Zahlenmenge Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} sind &bdquo;2” und &bdquo;3” wegen

:<math>2^1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 2^2 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 2^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 2^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm},</math>
:<math>3^1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 3^2 = 9\hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 3^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 3^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1</math>

primitive Elemente. Dagegen ist &bdquo;4” kein primitives Element, weil bereits 42 = 1 ist:

:<math>4^1 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 4^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 4^3 = 64 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 4^4 = 256 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Binäre Erweiterungskörper (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Ein irreduzibles Polynom bezeichnet man gleichzeitig als ein primitives Polynom, wenn die Wurzel α bezüglich des Polynoms p(x) ein primitives Element von GF(q) ist. Dann gilt

:<math>{\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}\alpha^{-\infty} = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{0} = 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
\alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2},\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}\alpha^{q-2}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

Alle in Spalte 2 der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.281.29 obigen Tabelle] angegebenen Polynome sind sowohl irreduzibel als auch primitiv. Ist p1(x) ein primitives Polynom, so ist auch das dazu reziproke Polynom

:<math>p_2 (x) = x^m \cdot p_1(x^{-1})</math>

primitiv. Alle Polynome in Spalte 3 sind reziprok zum Polynom in Spalte 2. Beispielsweise gilt für m = 3:

:<math>p_1(x) = x^3 + x + 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}p_2(x) = x^3 \cdot [x^{-3} + x^{-1} + 1 ]= x^3 + x^2 + 1 \hspace{0.05cm}.</math>

Die irreduziblen Polynome der Spalte 4 sind dagegen nicht primitiv; sie spielen nur eine untergeordnete Rolle zur Beschreibung von Fehlerkorrekturverfahren. 

Hinweis: Primitive Polynome liefern auch die Grundlage für [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Realisierung_von_PN-Generatoren Pseudo–Noise–Generatoren.] 

{{Beispiel}}''':''' Zur Verdeutlichung dieser Aussagen betrachten wir beispielhaft
*das Galoisfeld GF(23) = GF(8), sowie 
*das Polynom p(x) = x3 + x + 1. 

Aus der Bedingung p(α) = 0 erhält man in GF(23) weiter:

:<math>\alpha^3 + \alpha + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha^3 = \alpha + 1 \hspace{0.05cm},</math>

und damit für die Potenzen αi der Wurzel für i ≥ 4:

:<math>\alpha^4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^2 \cdot \alpha^3 = \alpha^2 \cdot (\alpha + 1) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1
\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^6 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^3 \cdot \alpha^3 = (\alpha + 1) \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha + \alpha + 1= \alpha^2 + 1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\alpha^7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^4 \cdot \alpha^3 = (\alpha^2 + \alpha) \cdot (\alpha + 1) = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha^2 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1 = \alpha^0 \hspace{0.05cm}.</math>{{end}}

== Binäre Erweiterungskörper (3) ==
 
[[File:P ID2568 KC T 2 2 S4b.png|Elemente von GF(23) in drei verschiedenen Darstellungen |rechts|rahmenlos]]
Die Elemente z0, z1, ... , z7 des Galoisfeldes GF(23) lassen sich entsprechend der nebenstehenden Tabelle wie folgt darstellen:
*als Potenzen von α (Exponentendarstellung), 

*als Polynome der Form k2 · α2 + k1 · α + k0 mit binären Koeffizienten k2, k1, k0 (jeweils 0 oder 1) , 

*als Vektoren der Koeffizienten (k2, k1, k0). 

Für die Addition (oder Subtraktion) zweier Elemente eignen sich die Polynom– und die Vektordarstellung gleichermaßen, wobei die Komponenten modulo 2 zu addieren sind, zum Beispiel:

:<math>z_5 + z_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (\alpha^2 + \alpha) + (\alpha^2 + 1) = \alpha + 1 = \alpha^3 = z_4 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\rm oder}\hspace{0.15cm} z_5 + z_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (110) + (101) = (011) = z_4 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\hspace{0.15cm} z_1 + z_2 + z_3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (001) + (010) + (100)= (111) = z_6 \hspace{0.05cm}.</math>

Für Multiplikationen ist die Exponentendarstellung besser geeignet, wie die folgenden Beispiele zeigen:

:<math>z_3 \cdot z_4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^2 \cdot \alpha^3 = \alpha^{2+3}= \alpha^{5} = z_6 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>z_0 \cdot z_5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^{-\infty} \cdot \alpha^4 = \alpha^{-\infty} = z_0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>z_5 \cdot z_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \alpha^4 \cdot \alpha^6 = \alpha^{10}= \alpha^{7} \cdot \alpha^{3}
= 1 \cdot \alpha^{3}= z_4 \hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt, dass sich hierbei die Exponenten modulo (q – 1) ergeben; im Beispiel modulo 7. 

[[File:P ID2577 KC T 2 2 S4c.png|GF(23) in 3D–Darstellung|rechts|rahmenlos]]
Die Grafik zeigt den endlichen Erweiterungskörper GF(23) in einer 3D–Darstellung, wobei die Achsen mit α0 = 1, α1 und α2 bezeichnet sind. Die 23 = 8 Punkte im dreidimensionalen Raum sind mit den Koeffizientenvektoren beschriftet, wobei die Zuordnung der einzelnen Koeffizienten k2, k1, k0 zu den Achsen farblich deutlich gemacht ist. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.3 Reduzible und irreduzible Polynome|A2.3 Reduzible und irreduzible Polynome]]

[[Zusatzaufgaben:2.3 Polynomdivision]]

[[Aufgaben:2.4 GF(2^2)–Darstellungsformen|A2.4 GF(2^2)–Darstellungsformen]]

[[Zusatzaufgaben:2.4 Endliche und unendliche Körper]]

[[Aufgaben:2.5 Drei Varianten von GF(2^4)|A2.5 Drei Varianten von GF(2^4)]]

[[Zusatzaufgaben:2.5 Einige Berechnungen über GF(2^3)]]

[[Aufgaben:2.6 GF(P^m). Welches P, welches m?|A2.6 GF(P^m). Welches P, welches m?]]

{{Display}}

Channel Coding/Some Basics of Algebra

2017-01-23T20:17:18Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Reed–Solomon–Codes und deren Decodierung
|Vorherige Seite=Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung
|Nächste Seite=Erweiterungskörper
}}

== Definition eines Galoisfeldes ==
 
Bevor wir uns der Beschreibung der Reed–Solomon–Codes zuwenden können, benötigen wir einige algebraische Grundbegriffe. Beginnen wir mit den Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(q), benannt nach dem Franzosen Évariste Galois, dessen Biografie für einen Mathematiker eher ungewöhnlich ist. 

{{Definition}}''':''' Ein Galoisfeld GF(q) ist ein [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele endlicher Körper] mit q Elementen z0, z1, ... , zq–1, wenn alle acht nachfolgend aufgeführten Aussagen hinsichtlich der Addition (&bdquo;+”) und der Multiplikation (&bdquo;·”) zutreffen. Addition und Multiplikation sind hierbei modulo q zu verstehen. 

(A)  GF(q) ist in sich abgeschlossen  ⇒  Closure:

:<math>\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q):
\hspace{0.25cm}(z_i + z_j)\in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm}(z_i \cdot z_j)\in {\rm GF}(q)
\hspace{0.05cm}. </math>

(B)  Es gibt ein hinsichtlich der Addition neutrales Element NA, das man oft auch als das Nullelement bezeichnet  ⇒  Identity for &bdquo;+”:

:<math>\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) :
\hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)}
\hspace{0.05cm}.</math>

(C)  Es gibt ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element NM, das oft auch als das Einselement bezeichnet wird  ⇒  Identity for &bdquo;·”:

:<math>\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) :
\hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)}
\hspace{0.05cm}. </math>

(D)  Für jedes zi existiert eine additive Inverse  ⇒  Inverse for &bdquo;+”:

:<math>\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q):
\hspace{0.25cm}z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"} </math>

:<math> \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm}
{\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}. </math>

(E)  Für jedes zi mit Ausnahme des Nullelements existiert die multiplikative Inverse ⇒ Inverse for &bdquo;·”:

:<math>\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A}, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q):
\hspace{0.25cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm}
{\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1}
\hspace{0.05cm}. </math>

(F)  Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das Kommutativgesetz  ⇒  Commutative Law:

:<math>\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q):
\hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_j + z_i ,\hspace{0.15cm}z_i \cdot z_j = z_j \cdot z_i
\hspace{0.05cm}.</math>

(G)  Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das Assoziativgesetz  ⇒  Associative Law:

:<math>\forall \hspace{0.15cm} z_i,\hspace{0.1cm} z_j ,\hspace{0.1cm} z_k \in {\rm GF}(q):
\hspace{0.25cm}(z_i + z_j) + z_k = z_i + (z_j + z_k ),\hspace{0.15cm}(z_i \cdot z_j) \cdot z_k = z_i \cdot (z_j \cdot z_k )
\hspace{0.05cm}.</math>

(H)  Für die Kombination &bdquo;Addition – Multiplikation” gilt das Distributivgesetz  ⇒  Distributive Law:

:<math>\forall \hspace{0.15cm} z_i,\hspace{0.15cm} z_j ,\hspace{0.15cm} z_k \in {\rm GF}(q):
\hspace{0.25cm}(z_i + z_j) \cdot z_k = z_i \cdot z_k + z_j \cdot z_k
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass Addition (&bdquo;+”) und Multiplikation (&bdquo;·”) modulo q zu verstehen sind. Hierbei bezeichnet die Ordnung q die Anzahl der Elemente des Galoisfeldes. 

== Beispiele und Eigenschaften von Galoisfeldern ==
 
Wir überprüfen zunächst, ob für die binäre Zahlenmenge Z2 = {0, 1}  ⇒  q = 2 (gültig für den einfachen Binärcode) die auf der letzten Seite genannten acht Kriterien tatsächlich erfüllt werden, so dass man tatsächlich von &bdquo;GF(2)” sprechen kann. Sie sehen nachfolgend die Additions– und Multiplikationstabelle:

:<math>Z_2 = {0, 1 } \hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm}</math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
|-
! 0
| 0
|| 1
|-
! 1
| 1
|| 0
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
|-
! 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
|| 1
|}
</td>
</table>

:<math>\hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm}{\rm GF}(2)
\hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Jedes Element der Additions– und der Multiplikationstabelle von Z2 ist wieder entweder z0 = 0 oder z1 = 1  ⇒  das Kriterium (A) ist erfüllt. 

*Die Zahlenmenge Z2 enthält das Nullelement (NA = z0 = 0) und das Einselement (NM = z1 = 1)  ⇒  die Kriterien (B) und (C) sind ebenfalls erfüllt. 

*Die additiven Inversen InvA(0) = 0 und InvA(1) = (–1) mod 2 = 1 existieren und gehören zu Z2. Ebenso gibt es die multiplikative Inverse InvM(1) = 1  ⇒  die Kriterien (D) und (E) sind erfüllt. 

*Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes (F) in der Menge Z2 erkennt man an der Symmetrie bezüglich der Tabellendiagonalen. Die Kriterien (G) und (H) werden hier ebenfalls erfüllt. 

Die Zahlenmenge Z3 = {0, 1, 2}  ⇒  q = 3 erfüllt alle acht Kriterien und ist somit ein Galoisfeld GF(3):

:<math>Z_3 = \{0, 1, 2 \} \hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm}</math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! 2
|-
! 0
| 0
| 1
|| 2
|-
! 1
| 1
| 2
|| 0
|-
! 2
| 2
| 0
|| 1
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! 2
|-
! 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
|| 2
|-
! 2
| 0
| 2
|| 1
|}
</td>
</table>

:<math>\hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm}{\rm GF}(3)
\hspace{0.05cm}. </math>

Dagegen ist die Zahlenmenge Z4 = {0, 1, 2, 3}  ⇒  q = 4 kein Galoisfeld. Der Grund hierfür ist, dass es hier zum Element z2 = 2 keine multiplikative Inverse gibt. Bei einem Galoisfeld müsste nämlich gelten: 2 · InvM(2) = 1. In nachfolgender Multiplikationstabelle gibt es aber in der dritten Zeile und in der dritten Spalte (jeweils gültig für den Multiplikanden z2 = 2) keinen Eintrag mit &bdquo;1”.

:<math>Z_4 = \{0, 1, 2, 3 \} \hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm}</math>

<html><style type="text/css">.paddingSpace td {padding:0 15px 0 15px;}</style></html>
<table class="paddingSpace">
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! +
! 0
! 1
! 2
! 3
|-
! 0
| 0
| 1
| 2
|| 3
|-
! 1
| 1
| 2
| 3
|| 0
|-
! 2
| 2
| 3
| 0
| 1
|-
! 3
| 3
| 0
| 1
| 2
|}
</td>
<td>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 50px; height: 50px;"
|-
! .
! 0
! 1
! 2
! 3
|-
! 0
| 0
| 0
| 0
|| 0
|-
! 1
| 0
| 1
| 2
|| 3
|-
! 2
| 0
| 2
| 0
|| 2
|-
! 3
| 0
| 3
| 2
| 1
|}
</td>
</table>

:<math>\hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm}{\rm kein \hspace{0.15cm}GF}(4)
\hspace{0.05cm}. </math>

Das Ergebnis dieser Seite soll hier ohne weiteren Beweis verallgemeinert werden:
*Ein Galoisfeld GF(q) kann in der hier beschriebenen Weise als [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele Ring] von Integergrößen modulo q nur dann gebildet werden, wenn q eine Primzahl ist: q = 2, q = 3, q = 5, q = 7, q = 11, ... 

*Kann man aber die Ordnung q in der Form q = Pm mit einer Primzahl P und ganzzahligem m ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld GF(q) über einen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers_.281.29 Erweiterungskörper] finden. 

== Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe ==
 
Auf den beiden ersten Seiten sind bereits einige algebraische Grundbegriffe gefallen, ohne dass deren Bedeutungen genauer erläutert wurden. Dies soll nun in aller Kürze aus Sicht eines Nachrichtentechnikers nachgeholt werden, wobei wir uns vorwiegend auf die Darstellung in [Fri96]<ref>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref> und [KM+08]<ref>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> beziehen. Zusammenfassend lässt sich sagen: 

{{Definition}}: Ein Galoisfeld GF(q) ist ein Körper (englisch: Field) mit einer begrenzten Anzahl (q) an Elementen  ⇒  endlicher Körper. Jeder Körper ist wieder ein Sonderfall eines Rings (gleichlautende englische Bezeichnung), der sich selbst wieder als Spezialfall einer abelschen Gruppe (englisch: Abelian Group) darstellen lässt.{{end}} 

Die folgende Grafik verdeutlicht schrittweise, wie sich aus einer Menge durch Definition von Additition, Multiplikation und Division innerhalb dieser Menge eine Gruppe, ein Ring und ein Körper ergibt. Weiter angegeben sind in der Grafik auch in der Literatur häufig verwendete Schriftzeichen für eine Menge, eine Gruppe, einen Ring, einen Körper und einen endlichen Körper. Aufgrund von Restriktionen durch den HTML–Zeichensatz benutzen wir in LNTwww die Zeichen M, G, R, K (bzw. F) sowie GF(q). 

[[File:P ID2488 KC T 2 1 S2 v1.png|Algebraische Zusammenhänge zwischen Gruppe, Ring und Körper|class=fit]] 

Auf den beiden nächsten Seiten werden die hier genannten algebraischen Begriffe noch etwas genauer behandelt. Zum Verstehen der Reed–Solomon–Codes sind diese Kenntnisse allerdings nicht unbedingt erforderlich. Sie könnten also auch direkt zum Kapitel [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers_.281.29 Erweiterungskörper] springen. 

== Algebraische Gruppe und Beispiele ==
 
Für die allgemeinen Definitionen von Gruppe (und später Ring) gehen wir von einer Menge mit unendlich vielen Elementen aus:

:<math>M = \{\hspace{0.1cm}z_1,\hspace{0.1cm} z_2,\hspace{0.1cm} z_3 ,\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. </math>

{{Definition}}''':''' Eine algebraische Gruppe (G, +) ist eine (beliebige) Teilmenge G ⊂ M zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;+”), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:
*Für alle zi, zj ∈ G gilt (zi + zj) ∈ G  ⇒  Closure–Kriterium für &bdquo;+”. 

*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element NA ∈ G, so dass für alle zi ∈ G gilt: zi + NA = zi. Bei einer Zahlengruppe ist NA = 0. 

*Für alle zi ∈ G gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element InvA(zi) ∈ G mit der Eigenschaft zi + InvA(zi) = NA. Bei einer Zahlengruppe ist InvA(zi) = –zi. 

*Für alle zi, zj, zk ∈ G gilt: zi + (zj + zk) = (zi + zj) + zk  ⇒  Assoziativgesetz für &bdquo;+”. 

Wird zusätzlich für alle zi, zj ∈ G das Kommutativgesetz zi + zj = zj + zi erfüllt, so spricht man von einer kommutativen oder einer abelschen Gruppe, benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel.{{end}} 

{{Beispiel}}''':''' Die Menge der rationalen Zahlen ist definiert als die Menge aller Quotienten I/J mit ganzen Zahlen I und J ≠ 0. Diese Menge ist eine Gruppe (G, &bdquo;+”) hinsichtlich der Addition, da
*für alle a ∈ G und b ∈ G auch die Summe a + b wieder zu G gehört, 

*das Assozitativgesetz gilt, 

*mit der 0 das neutrale Element der Addition in G enthalten ist, und 

*es für jedes a die additive Inverse b = – a existiert. 

Da zudem das Kommutativgesetz erfüllt ist, handelt es sich um eine abelsche Gruppe. 

Die Menge der natürlichen Zahlen, {0, 1, 2, ...} ist hinsichtlich Addition keine algebraische Gruppe, da es für kein einziges Element zi die additive Inverse (–zi) gibt. 

Die begrenzte natürliche Zahlenmenge {0, 1, 2, ... , q – 1} erfüllt dagegen dann die Bedingungen an eine Gruppe (G, +), wenn man die Addition modulo q definiert. Dagegen ist {1, 2, 3, ... , q}keine Gruppe, da das neutrale Element der Addition (&bdquo;0”) fehlt.{{end}} 

== Algebraischer Ring und Beispiele ==
 
Entsprechend der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe Übersichtsgrafik] kommt man von der Gruppe (G, +) durch Definition einer zweiten Rechenoperation – der Multiplikation (&bdquo;·”) – zum Ring (R, +, ·). Man benötigt hierfür also neben einer Additionstabelle auch eine Multiplikationstabelle. 

{{Definition}}''':''' Ein algebraischer Ring ist eine Teilmenge R ⊂ G ⊂ M zusammen mit zwei in dieser Menge definierten Rechenoperationen, der Addition (&bdquo;+”) und der Multiplikation (&bdquo;·”). Dabei müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:
*Hinsichtlich der Addition ist Ring (R, +, ·) eine [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraische_Gruppe_und_Beispiele abelsche Gruppe] (G, +). 

*Zusätzlich gilt für alle zi, zj ∈ R auch ( zi · zj) ∈ R  ⇒  Closure–Kriterium für &bdquo;·”. 

*Es gibt ein hinsichtlich Multiplikation neutrales Element NM ∈ R, so dass für alle zi ∈ R gilt: zi · NM = zi. Bei einem Zahlenring gilt NM = 1. 

*Für alle zi, zj, zk ∈ R gilt zi · (zj · zk) = (zi · zj) · zk  ⇒  Assoziativgesetz für &bdquo;·”. 

*Für alle zi, zj, zk ∈ R gilt zi · (zj + zk) = zi · zj + zi · zk  ⇒  Distributivgesetz für &bdquo;·”. {{end}} 

Ein Ring (R, +, ·) ist nicht notwendigerweise kommutativ. Gilt tatsächlich auch für alle Elemente zi, zj ∈ R das Kommutativgesetz zi · zj = zj · zi hinsichtlich der Multiplikation, so spricht man in der Fachliteratur von einem kommutativen Ring. Existiert für jedes Element zi ∈ R mit Ausnahme von NA (neutrales Element der Addition, Nullelement) ein hinsichtlich der Multiplikation inverses Element InvM(zi), so dass zi · InvM(zi) = 1 gilt, so liegt ein Divisionsring (englisch: Division Ring) vor. 

Weiter sollen die folgenden Voraussetzungen gelten:
*Der Ring ist nullteilerfrei (englisch: free of zero devisors), wenn aus zi · zj = 0 zwingend zi = 0 oder zj = 0 folgt. In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein vom Nullelement verschiedenes Element zi, falls es ein Element zj ≠ 0 gibt, so dass das Produkt zi · zj = 0 ist. 

*Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als Integritätsring oder Integritätsbereich (englisch: Integral Domain) bezeichnet. 

Vergleicht man die Definitionen von [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraische_Gruppe_und_Beispiele Gruppe], Ring (oben auf dieser Seite), Körper und [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes Galoisfeld], so erkennt man, dass ein Galoisfeld GF(q)
*ein endlicher Körper (englisch: Field) mit q Elementen ist, 

*gleichzeitig als Commutative Division Ring aufgefasst werden kann, und 

*einen Integritätsbereich (englisch: Integral Domain) beschreibt. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:2.1 Gruppe, Ring, Körper|A2.1 Gruppe, Ring, Körper]]

[[Zusatzaufgaben:2.1 Welche Tabellen beschreiben Gruppen?]]

[[Aufgaben:2.2 Eigenschaften von Galoisfeldern|A2.2 Eigenschaften von Galoisfeldern]]

[[Zusatzaufgaben:2.2 Galoisfeld GF(5)]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Information Theoretical Limits of Channel Coding

2017-01-23T20:06:00Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
|Nächste Seite=Einige Grundlagen der Algebra
}}

== Kanalcodierungstheorem und Kanalkapazität ==
 
Wir betrachten weiterhin einen binären Blockcode mit k Informationsbits pro Block und Codeworte der Länge n, woraus sich die Coderate R = k/n mit der Einheit Informationsbit/Codesymbol ergibt. 

Der geniale Informationstheoretiker Claude E. Shannon hat sich schon 1948 sehr intensiv mit der Korrekturfähigkeit solcher Codes beschäftigt und hierfür für jeden Kanal eine Grenze angegeben, die sich allein aus informationstheoretischen Überlegungen ergibt. Bis heute wurde noch kein Code gefunden, der diese Grenze übersteigt, und dies wird auch so bleiben. 

Shannons Kanalcodierungstheorem: Zu jedem Kanal mit der Kanalkapazität C > 0 existiert stets (mindestens) ein Code, dessen Fehlerwahrscheinlichkeit gegen Null geht, so lange die Coderate kleiner als die Kanalkapazität ist: R < C. Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass für die Blocklänge dieses Codes gilt: n → ∞. 

Die Umkehrung ist ebenfalls zutreffend und besagt: 

Umkehrschluss: Ist die Coderate größer als die Kanalkapazität  ⇒  R > C, so kann eine beliebig kleine Fehlerwahrscheinlichkeit auf keinen Fall erreicht werden. 

Zur Herleitung und Berechnung der Kanalkapazität gehen wir zunächst von einem digitalen Kanal mit Mx möglichen Eingangswerten xi und My möglichen Ausgangswerten yj aus. Dann gilt für den mittleren Transinformationsgehalt – kurz die Transinformation (englisch: Mutual Information) – zwischen der Zufallsgröße x am Kanaleingang und der Zufallsgröße y am Ausgang:

:<math>I(x; y) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{i= 1 }^{M_X} \hspace{0.15cm}\sum_{j= 1 }^{M_Y} \hspace{0.15cm}{\rm Pr}(x_i, y_j) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_i)}{{\rm Pr}(y_j)} = </math>
:<math>\hspace{1.2cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{i= 1 }^{M_X} \hspace{0.15cm}\sum_{j= 1 }^{M_Y}\hspace{0.15cm}{\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_i) \cdot {\rm Pr}(x_i) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_i)}{\sum_{k= 1}^{M_X} {\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_k) \cdot {\rm Pr}(x_k)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Beim Übergang von der ersten zur zweiten Gleichung wurden dabei der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 Satz von Bayes] sowie der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#R.C3.BCckschlusswahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit] berücksichtigt. Weiter ist anzumerken, dass hier der Logarithmus dualis mit &bdquo;log2” bezeichnet ist. Teilweise verwenden wir im LNTwww hierfür auch &bdquo;ld”. Im Gegensatz zum Buch Einführung in die Informationstheorie unterscheiden wir im Folgenden auch nicht zwischen der Zufallsgröße (Großbuchstaben, X bzw. Y) und Realisierungen (Kleinbuchstaben, x bzw. y). 

{{Definition}}''':''' Die von Shannon eingeführte Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation I(x; y) zwischen der Eingangsgröße x und der Ausgangsgröße y an:

:<math>C = \max_{{{\rm Pr}(x_i)}} \hspace{0.1cm} I(X; Y) \hspace{0.05cm}.</math>

Hinzugefügt werden muss die Pseudo–Einheit &bdquo;bit/Kanalzugriff”.{{end}} 

Da die Maximierung der Transinformation über alle möglichen (diskreten) Eingangsverteilungen Pr(xi) erfolgen muss, ist die Kanalkapazität unabhängig vom Eingang und damit eine reine Kanalkenngröße. 

== Kanalkapazität des BSC–Modells (1) ==
 
Wenden wir diese Definitionen auf das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] an:

:<math>I(x; y) \hspace{-0.15cm} = \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}
+ </math>
:<math>\hspace{1.2cm} + \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(Y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y = 1)}
+ </math>
:<math>\hspace{1.2cm} + \hspace{0.15cm}{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) \cdot {\rm Pr}(x = 1)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(Y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1)}{{\rm Pr}(y = 0)}
+ </math>
:<math>\hspace{1.2cm} + \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) \cdot {\rm Pr}(x = 1)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1)}{{\rm Pr}(y = 1)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Zur Kanalkapazität gelangt man durch folgende Überlegungen:
*Die Maximierung bezüglich der Eingangsverteilung führt auf gleichwahrscheinliche Symbole:

::<math>{\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2
\hspace{0.05cm}.</math>

*Aufgrund der aus dem Modell erkennbaren Symmetrie gilt dann gleichzeitig:

::<math>{\rm Pr}(y = 0) = {\rm Pr}(y = 1) = 1/2
\hspace{0.05cm}.</math>

*Berücksichtigt man weiter die BSC–Übergangswahrscheinlichkeiten

::<math>{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm},</math>

:so erhält man nach Zusammenfassen je zweier Terme:

::<math>C \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} 2 \cdot 1/2 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{\varepsilon}{1/2 }+
2 \cdot 1/2 \cdot (1- \varepsilon) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1- \varepsilon}{1/2 }
=</math>
::<math>\hspace{0.7cm} = \hspace{0.15cm} \varepsilon \cdot {\rm ld } \hspace{0.15cm}2 - \varepsilon \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm} \frac{1}{\varepsilon }+ (1- \varepsilon) \cdot {\rm ld } \hspace{0.15cm} 2 - (1- \varepsilon) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1}{1- \varepsilon} = 1 - H_{\rm bin}(\varepsilon) </math>

:mit

::<math>H_{\rm bin}(\varepsilon) = \varepsilon \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1}{\varepsilon}+
(1- \varepsilon) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1}{1- \varepsilon}\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ergebnis wird auf der nächsten Seite grafisch dargestellt. 

== Kanalkapazität des BSC–Modells (2) ==
 
Die rechte Grafik zeigt die BSC–Kanalkapazität abhängig von der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε. Links ist zum Vergleich die binäre Entropiefunktion dargestellt, die bereits im [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/Ged%C3%A4chtnislose_Nachrichtenquellen#Bin.C3.A4re_Entropiefunktion Kapitel 1.1] des Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie” definiert wurde. 

[[File:P ID2379 KC T 1 7 S2 v2.png|Kanalkapazität des BSC–Modells|class=fit]] 

Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit ε führt zur Kanalkapazität C(ε). Eine fehlerfreie Decodierung nach bestmöglicher Codierung ist nach dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t Kanalcodierungstheorem] nur dann möglich, wenn die Coderate R kleiner ist als C(ε).

*Mit ε = 10% ist wegen C(0.1) = 0.531 eine fehlerfreie Decodierung nicht möglich, wenn die Coderate R ≥ 0.531 beträgt. Bei 50–prozentiger Verfälschung ist eine fehlerfreie Decodierung auch bei beliebig kleiner Coderate unmöglich: C(0.5) = 0. 

*Aus informationstheoretischer Sicht ist ε = 1 (Invertierung aller Bits) gleich gut wie ε = 0 (fehlerfreie Übertragung). Ebenso ist ε = 0.9 äquivalent zu ε = 0.1. Eine fehlerfreie Decodierung erzielt man hier durch Vertauschen der Nullen und Einsen, also durch ein Mapping. 

== Kanalkapazität des AWGN–Modells (1) ==
 
[[File:P ID2372 KC T 1 7 S3a.png|AWGN–Kanalmodell|rechts|rahmenlos]] 

Wir betrachten den AWGN–Kanal (Additive White Gaussian Noise). Hier gilt für das Ausgangssignal y = x + n, wobei n eine gaußverteilte Zufallsgröße beschreibt, und es gilt E[n] = 0 und E[n2] = Pn. 

Damit ergibt sich unabhängig vom Eingangssignal x ein kontinuierliches Ausgangssignal y, und in der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t Gleichung] für die Transinformation ist My → ∞ einzusetzen. 

Die Berechnung der Kanalkapazität für den AWGN–Kanal wird hier nur in Stichworten angegeben. Die genaue Herleitung finden Sie im Kapitel 4 des Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie”:
*Die im Hinblick auf maximale Transinformation optimierte Eingangsgröße x wird mit Sicherheit wertkontinuierlich sein, das heißt, beim AWGN–Kanal gilt außer My → ∞ auch Mx → ∞.

*Während bei wertdiskretem Eingang über alle Pr(xi) zu optimieren ist, erfolgt nun die Optimierung anhand der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Gau%C3%9Fverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion WDF] fx(x) des Eingangssignals unter der Nebenbedingung [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung_.281.29 Leistungsbegrenzung:]

::<math>C = \max_{f_x(x)} \hspace{0.1cm} I(x; y)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm wobei \hspace{0.15cm} gelten \hspace{0.15cm} muss:}\hspace{0.15cm} {\rm E} \left [ x^2 \right ] \le P_x \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Optimierung liefert für die Eingangs–WDF ebenfalls eine Gaußverteilung ⇒ x, n und y sind gaußverteilt gemäß den Dichtefunktionen fx(x), fn(n), fy(y) und den Leistungen Px, Pn und Py. 

*Nach längerer Rechnung erhält man für die Kanalkapazität unter Verwendung des Logarithmus dualis log2(.) – wiederum mit der Pseudo–Einheit &bdquo;bit/Kanalzugriff”:

::<math>C = {\rm log_2 } \hspace{0.15cm} \sqrt{\frac{P_y}{P_n }} = {\rm log_2 } \hspace{0.15cm} \sqrt{\frac{P_x + P_n}{P_n }} = \frac{1}{2 } \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_x}{P_n } \right )\hspace{0.05cm}.</math>

*Beschreibt x ein zeitdiskretes Signal mit der Symbolrate 1/TS, so muss dieses auf B = 1/(2TS) bandbegrenzt sein, und die gleiche Bandbreite B muss man für das Rauschsignal n ansetzen:

::<math>P_X = \frac{E_{\rm S}}{T_{\rm S} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} P_N = \frac{N_0}{2T_{\rm S} }\hspace{0.05cm}. </math>

*Somit lässt sich die AWGN–Kanalkapazität auch durch die Sendeenergie pro Symbol (ES) und die Rauschleistungsdichte (N0) ausdrücken:

::<math>C \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2 } \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{2 E_{\rm S}}{N_0 } \right )\hspace{0.05cm}, \hspace{1.85cm}
{\rm Einheit:} \hspace{0.3cm} \frac{\rm bit}{\rm Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},</math>
::<math>C^{\star} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{C}{T_{\rm S} } = B \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{2 E_{\rm S}}{N_0 } \right )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
{\rm Einheit:} \hspace{0.3cm} \frac{\rm bit}{\rm Zeiteinheit}\hspace{0.05cm}.</math> 

{{Beispiel}}''':''' Für das Zahlenverhältnis ES/N0 = 7.5 ⇒ 10 · lg ES/N0 = 8.75 dB erhält man die Kanalkapazität C = 1/2 · log2 (16) = 2 bit/Kanalzugriff. Bei einem Kanal mit der (physikalischen) Bandbreite B = 4 kHz, was der Abtastrate fA = 8 kHz entspricht, gilt zudem C* = 16 kbit/s.{{end}} 

== Kanalkapazität des AWGN–Modells (2) ==
 
Ein Vergleich verschiedener Codierverfahren bei konstantem ES (Energie pro übertragenem Symbol) ist nicht fair. Vielmehr sollte man für diesen Vergleich die Energie EB pro Nutzbit fest vorgeben. Dabei gilt:

:<math>E_{\rm S} = R \cdot E_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
E_{\rm B} = E_{\rm S} / R \hspace{0.05cm}. </math>

Damit lautet das Kanalcodierungstheorem: Eine fehlerfreie Decodierung (bei unendlich langen Blöcken) ist möglich, falls die Coderate R kleiner ist als die Kanalkapazität C:

:<math>R < C = {1}/{2 } \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 +2 \cdot R\cdot E_{\rm B}/{N_0 } \right )\hspace{0.05cm}.</math>

Für jede Coderate R lässt sich damit das erforderliche EB/N0 des AWGN–Kanals ermitteln, damit eine fehlerfreie Decodierung möglich ist. Man erhält für den Grenzfall R = C:

:<math>{E_{\rm B}}/{N_0} > (2^{2R}-1)/(2R ) \hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik fasst das Ergebnis zusammen, wobei die Ordinate R im linearen Maßstab und die Abszisse EB/N0 logarithmisch aufgetragen ist. Außerhalb der blauen Fläche ist eine fehlerfreie Codierung nicht möglich. Die blaue Grenzkurve gibt die Kanalkapazität C des AWGN–Kanals an. 

[[File:P ID2373 KC T 1 7 S3b v3.png|Kanalkapazität des AWGN–Kanals|class=fit]] 

Aus dieser Grafik und obiger Gleichung lässt sich Folgendes ableiten:
*Die Kanalkapazität C steigt etwas weniger als linear mit 10 · lg EB/N0 an. In der Grafik sind einige ausgewählte Funktionswerte angegeben (blaue Kreuze). 

*Ist 10 · lg (EB/N0) kleiner als –1.59 dB, so ist eine fehlerfreie Decodierung prinzipiell unmöglich. Beträgt die Coderate R = 0.5, so muss 10 · lg (EB/N0) größer als 0 dB   ⇒   EB > N0 sein. 

*Für alle binären Codes gilt per se 0 ≤ R ≤ 1. Coderaten R > 1 sind nur mit nichtbinären Codes möglich. Beispielsweise beträgt die maximal mögliche Coderate eines quaternären Codes R = 2. 

*Alle eindimensionalen Modulationsarten – also solche Verfahren, die nur die Inphase– oder nur die Quadraturkomponente nutzen wie ASK, BPSK und FSK – müssen im blauen Bereich liegen. 

== AWGN–Kanalkapazität für binäre Eingangssignale ==
 
In diesem Buch beschränken wir uns meist auf binäre Codes, also auf das Galoisfeld GF(2n). Damit ist
*zum einen die Coderate auf den Bereich R ≤ 1 begrenzt, 

*zum zweiten auch für R ≤ 1 nicht die gesamte blaue Region (siehe letzte Seite) verfügbar. 

[[File:P ID2374 KC T 1 7 S4a.png|Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten des binären AWGN–Kanals|rechts|rahmenlos]]

Die nun gültige Region ergibt sich aus der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t allgemeinen Gleichung] der Transinformation durch
*die Parameter Mx = 2 und My → ∞, 

*bipolare Signalisierung  ⇒  x = 0 → x̃ = +1,  x = 1 → x̃ = –1, 

*den Übergang von bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(x̃i) zu bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, 

*Ersetzen der Summe durch eine Integration. 

Die Optimierung der Quelle führt auf gleichwahrscheinliche Symbole:

:<math>{\rm Pr}(\tilde{x} = +1) = {\rm Pr}(\tilde{x} = -1) = 1/2 \hspace{0.05cm}. </math>

Damit erhält man bei binärem Eingang (±1) für die Kanalkapazität  ⇒  Maximum der Transinformation hinsichtlich Pr(x̃i):

:<math>C \hspace{-0.15cm} = {1}/{2} \cdot \int_{-\infty }^{+ \infty}
\left [ f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = +1}(y)\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac {f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = +1}(y)}{f_y(y)} +
f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = -1}(y)\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac {f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = -1}(y)}{f_y(y)}
\right ]\hspace{0.1cm}{\rm d}y
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Integral lässt sich nicht in mathematisch–geschlossener Form lösen, sondern kann nur numerisch ausgewertet werden. Die grüne Kurve zeigt das Ergebnis. Die blaue Kurve gibt zum Vergleich die auf der letzten Seite hergeleitete Kanalkapazität für gaußverteilte Eingangssignale an. Man erkennt:
*Für 10 · lg EB/N0 < 0 unterscheiden sich die beiden Kapazitätskurven nur geringfügig. So muss man bei binärem bipolaren Eingang gegenüber dem Optimum (Gaußscher Eingang) die Kenngröße 10 · lg EB/N0 nur etwa um 0.1 dB erhöhen, um ebenfalls die Coderate R = 0.5 zu ermöglichen. 

*Ab etwa 10 · lg EB/N0 = 6 dB ist die Kanalkapazität C = 1 bit/Kanalzugriff für binären Eingang (fast) erreicht. Dazwischen verläuft die grüne Grenzkurve annähernd exponentiell ansteigend.

:[[File:P ID2375 KC T 1 7 S4b v3.png|AWGN–Kanalkapazität für binäre Eingangssignale|class=fit]] 

== Gebräuchliche Kanalcodes im Vergleich zur Kanalkapazität (1) ==
 
Nun soll gezeigt werden, in wie weit sich etablierte Kanalcodes der BPSK–Kanalkapazität (grüne Kurve) annähern. In der Grafik ist als Ordinate die Rate R = k/n dieser Codes bzw. die Kapazität C (mit der zusätzlichen Pseudo–Einheit &bdquo;bit/Kanalzugriff”) aufgetragen. Weiter ist vorausgesetzt:
*der AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch 10 · lg EB/N0 in dB, und 

*für die durch Kreuze markierten Codes eine Bitfehlerrate (BER) von 10–5. 

Zu beachten ist, dass die Kanalkapazitätskurven stets für n → ∞ und BER = 0 gelten. Würde man diese strenge Forderung &bdquo;feherfrei” auch an die betrachteten Kanalcodes endlicher Codelänge n anlegen, so wäre hierfür stets 10 · EB/N0 → ∞ erforderlich. Dies ist aber ein akademisches Problem, das für die Praxis wenig Bedeutung hat. Für BER = 10–10 ergäbe sich eine qualitativ ähnliche Grafik. 

[[File:P ID2968 KC T 1 7 S5a v3.png|Raten und erforderliches EB/N0 verschiedener Kanalcodes|class=fit]] 

Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung [Liv10]<ref>Liva, G.: Channel Coding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref> entnommen wurden:
*Die Punkte A, B und C markieren Hamming–Codes unterschiedlicher Rate, die im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Kapitel 1.3] bereits ausführlich behandelt wurden. Sie alle benötigen 10 · lg EB/N0 > 8 dBfür BER = 10–5. 

*D kennzeichnet den binären Golay–Code mit der Rate 1/2 und E einen Reed–Muller–Code. Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der Raumsonde Mariner 9 zum Einsatz. 

*Die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29 Reed–Solomon–Codes] (RS–Codes) werden im Kapitel 2 noch ausführlich behandelt. Mit F markiert ist der RS–Code der Rate 223/255 > 0.9 und einem erforderlichen EB/N0 < 6 dB. 

*Die Markierungen G und H bezeichnen beispielhafte Faltungscodes (englisch: Convolutional Codes, CC) mittlerer Rate. Ersterer wurde schon 1972 bei der Pioneer10–Mission eingesetzt. 

*Die Kanalcodierung der Voyager–Mission Ende der 1970er Jahre ist mit I markiert. Es handelt sich um die Verkettung eines (2, 1, 7)–Faltungscodes mit einem Reed–Solomon–Code. 

Anzumerken ist, dass bei den Faltungscodes insbesondere der dritte Parameter der Kennung eine andere Bedeutung hat als bei den Blockcodes. (2, 1, 32) weist beispielsweise auf das Memory m = 32 hin. 

Auf der nächsten Seite folgen noch Kenndaten von Systemen mit iterativer Decodierung. 

== Gebräuchliche Kanalcodes im Vergleich zur Kanalkapazität (2) ==
 
Mit iterativer Decodierung lassen sich deutlich bessere Ergebnisse erzielen, wie die folgende Grafik zeigt. Das heißt: Die einzelnen Markierungspunkte liegen sehr viel näher an der Kapazitätskurve. 

[[File:P ID2377 KC T 1 7 S5b v4.png|Raten und erforderliches EB/N0 für iterative Codierverfahren |class=fit]] 

Die bisher mit &bdquo;Gauß–Kapazität” beschriftete durchgezogene blaue Kurve wird hier &bdquo;Gauß (reell)” genannt. Hier noch einige weitere Erläuterungen zu dieser Grafik:
* Rote Kreuze markieren sogenannte Turbocodes nach CCSDS (Consultative Committee for Space Data Systems) mit jeweils k = 6920 Informationsbits und unterschiedlichen Codelängen n. Diese von [http://perso.telecom-bretagne.eu/claudeberrou/ Claude Berrou] um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden. Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als 1 dB von der Shannon–Grenze entfernt. 

*Ähnliches Verhalten zeigen die durch weiße Rechtecke gekennzeichneten LDPC–Codes (Low Density Parity–check Codes), die seit 2006 bei DVB–S2 (Digital Video Broadcast over Satellite) eingesetzt werden. Diese eignen sich aufgrund der spärlichen Belegung der Prüfmatrix H (mit Einsen) sehr gut für die iterative Decodierung mittels Faktor–Graphen und [http://wwwmayr.in.tum.de/konferenzen/Jass05/courses/4/papers/prof_hagenauer.pdf Exit Charts.] 

*Die schwarzen Punkte markieren die von CCSDS spezifizierten LDPC–Codes, die alle von einer konstanten Anzahl von Informationsbits ausgehen (k = 16384). Dagegen ist bei allen weißen Rechtecken die Codelänge n = 64800 konstant, während sich die Anzahl k der Informationsbits entsprechend der Rate R = k/n ändert. 

*Um das Jahr 2000 hatten viele Forscher den Ehrgeiz, sich der Shannon–Grenze bis auf Bruchteile von einem dB anzunähern. Das gelbe Kreuz markiert ein solches Ergebnis aus [CFRU01] von 2001. Verwendet wurde ein irregulärer Rate–1/2–LDPC–Code der Codelänge n = 2 · 106. 

Festzuhalten ist, dass Shannon bereits 1948 erkannt und nachgewiesen hat, dass kein eindimensionales Modulationsverfahren links von der durchgehend eingezeichneten AWGN–Grenzkurve &bdquo;Gauß (reell)” liegen kann. Für zweidimensionale Verfahren wie QAM und mehrstufige PSK gilt dagegen die Grenzkurve &bdquo;Gauß (komplex)”, die hier gestrichelt gezeichnet ist und stets links von der durchgezogenen Kurve liegt. Näheres hierzu im [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/AWGN%E2%80%93Kanalkapazit%C3%A4t_bei_wertdiskretem_Eingang#Maximale_Coderate_f.C3.BCr_QAM.E2.80.93Strukturen Kapitel 4.3] des Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie”. 

Auch diese Grenzkurve wurde mit QAM und sehr langen Kanalcodes inzwischen nahezu erreicht, ohne dass sie jemals überschritten werden wird. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.17 Coderate vs. EB/N0|A1.17 Coderate vs. EB/N0]]

[[Zusatzaufgaben:1.17 BPSK–Kanalkapazität]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Information Theoretical Limits of Channel Coding

2017-01-23T20:04:40Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
|Nächste Seite=Einige Grundlagen der Algebra
}}

== Kanalcodierungstheorem und Kanalkapazität ==
 
Wir betrachten weiterhin einen binären Blockcode mit k Informationsbits pro Block und Codeworte der Länge n, woraus sich die Coderate R = k/n mit der Einheit Informationsbit/Codesymbol ergibt. 

Der geniale Informationstheoretiker Claude E. Shannon hat sich schon 1948 sehr intensiv mit der Korrekturfähigkeit solcher Codes beschäftigt und hierfür für jeden Kanal eine Grenze angegeben, die sich allein aus informationstheoretischen Überlegungen ergibt. Bis heute wurde noch kein Code gefunden, der diese Grenze übersteigt, und dies wird auch so bleiben. 

Shannons Kanalcodierungstheorem: Zu jedem Kanal mit der Kanalkapazität C > 0 existiert stets (mindestens) ein Code, dessen Fehlerwahrscheinlichkeit gegen Null geht, so lange die Coderate kleiner als die Kanalkapazität ist: R < C. Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass für die Blocklänge dieses Codes gilt: n → ∞. 

Die Umkehrung ist ebenfalls zutreffend und besagt: 

Umkehrschluss: Ist die Coderate größer als die Kanalkapazität  ⇒  R > C, so kann eine beliebig kleine Fehlerwahrscheinlichkeit auf keinen Fall erreicht werden. 

Zur Herleitung und Berechnung der Kanalkapazität gehen wir zunächst von einem digitalen Kanal mit Mx möglichen Eingangswerten xi und My möglichen Ausgangswerten yj aus. Dann gilt für den mittleren Transinformationsgehalt – kurz die Transinformation (englisch: Mutual Information) – zwischen der Zufallsgröße x am Kanaleingang und der Zufallsgröße y am Ausgang:

:<math>I(x; y) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{i= 1 }^{M_X} \hspace{0.15cm}\sum_{j= 1 }^{M_Y} \hspace{0.15cm}{\rm Pr}(x_i, y_j) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_i)}{{\rm Pr}(y_j)} = </math>
:<math>\hspace{1.2cm} = \hspace{-0.15cm} \sum_{i= 1 }^{M_X} \hspace{0.15cm}\sum_{j= 1 }^{M_Y}\hspace{0.15cm}{\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_i) \cdot {\rm Pr}(x_i) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_i)}{\sum_{k= 1}^{M_X} {\rm Pr}(y_j \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x_k) \cdot {\rm Pr}(x_k)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Beim Übergang von der ersten zur zweiten Gleichung wurden dabei der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 Satz von Bayes] sowie der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#R.C3.BCckschlusswahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit] berücksichtigt. Weiter ist anzumerken, dass hier der Logarithmus dualis mit &bdquo;log2” bezeichnet ist. Teilweise verwenden wir im LNTwww hierfür auch &bdquo;ld”. Im Gegensatz zum Buch Einführung in die Informationstheorie unterscheiden wir im Folgenden auch nicht zwischen der Zufallsgröße (Großbuchstaben, X bzw. Y) und Realisierungen (Kleinbuchstaben, x bzw. y). 

{{Definition}}''':''' Die von Shannon eingeführte Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation I(x; y) zwischen der Eingangsgröße x und der Ausgangsgröße y an:

:<math>C = \max_{{{\rm Pr}(x_i)}} \hspace{0.1cm} I(X; Y) \hspace{0.05cm}.</math>

Hinzugefügt werden muss die Pseudo–Einheit &bdquo;bit/Kanalzugriff”.{{end}} 

Da die Maximierung der Transinformation über alle möglichen (diskreten) Eingangsverteilungen Pr(xi) erfolgen muss, ist die Kanalkapazität unabhängig vom Eingang und damit eine reine Kanalkenngröße. 

== Kanalkapazität des BSC–Modells (1) ==
 
Wenden wir diese Definitionen auf das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] an:

:<math>I(x; y) \hspace{-0.15cm} = \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}
+ </math>
:<math>\hspace{1.2cm} + \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(Y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y = 1)}
+ </math>
:<math>\hspace{1.2cm} + \hspace{0.15cm}{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) \cdot {\rm Pr}(x = 1)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(Y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1)}{{\rm Pr}(y = 0)}
+ </math>
:<math>\hspace{1.2cm} + \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) \cdot {\rm Pr}(x = 1)
\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1)}{{\rm Pr}(y = 1)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Zur Kanalkapazität gelangt man durch folgende Überlegungen:
*Die Maximierung bezüglich der Eingangsverteilung führt auf gleichwahrscheinliche Symbole:

::<math>{\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2
\hspace{0.05cm}.</math>

*Aufgrund der aus dem Modell erkennbaren Symmetrie gilt dann gleichzeitig:

::<math>{\rm Pr}(y = 0) = {\rm Pr}(y = 1) = 1/2
\hspace{0.05cm}.</math>

*Berücksichtigt man weiter die BSC–Übergangswahrscheinlichkeiten

::<math>{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm},</math>

:so erhält man nach Zusammenfassen je zweier Terme:

::<math>C \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} 2 \cdot 1/2 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{\varepsilon}{1/2 }+
2 \cdot 1/2 \cdot (1- \varepsilon) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1- \varepsilon}{1/2 }
=</math>
::<math>\hspace{0.7cm} = \hspace{0.15cm} \varepsilon \cdot {\rm ld } \hspace{0.15cm}2 - \varepsilon \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm} \frac{1}{\varepsilon }+ (1- \varepsilon) \cdot {\rm ld } \hspace{0.15cm} 2 - (1- \varepsilon) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1}{1- \varepsilon} = 1 - H_{\rm bin}(\varepsilon) </math>

:mit

::<math>H_{\rm bin}(\varepsilon) = \varepsilon \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1}{\varepsilon}+
(1- \varepsilon) \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac{1}{1- \varepsilon}\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ergebnis wird auf der nächsten Seite grafisch dargestellt. 

== Kanalkapazität des BSC–Modells (2) ==
 
Die rechte Grafik zeigt die BSC–Kanalkapazität abhängig von der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε. Links ist zum Vergleich die binäre Entropiefunktion dargestellt, die bereits im [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/Ged%C3%A4chtnislose_Nachrichtenquellen#Bin.C3.A4re_Entropiefunktion Kapitel 1.1] des Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie” definiert wurde. 

[[File:P ID2379 KC T 1 7 S2 v2.png|Kanalkapazität des BSC–Modells|class=fit]] 

Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit ε führt zur Kanalkapazität C(ε). Eine fehlerfreie Decodierung nach bestmöglicher Codierung ist nach dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t Kanalcodierungstheorem] nur dann möglich, wenn die Coderate R kleiner ist als C(ε).

*Mit ε = 10% ist wegen C(0.1) = 0.531 eine fehlerfreie Decodierung nicht möglich, wenn die Coderate R ≥ 0.531 beträgt. Bei 50–prozentiger Verfälschung ist eine fehlerfreie Decodierung auch bei beliebig kleiner Coderate unmöglich: C(0.5) = 0. 

*Aus informationstheoretischer Sicht ist ε = 1 (Invertierung aller Bits) gleich gut wie ε = 0 (fehlerfreie Übertragung). Ebenso ist ε = 0.9 äquivalent zu ε = 0.1. Eine fehlerfreie Decodierung erzielt man hier durch Vertauschen der Nullen und Einsen, also durch ein Mapping. 

== Kanalkapazität des AWGN–Modells (1) ==
 
[[File:P ID2372 KC T 1 7 S3a.png|AWGN–Kanalmodell|rechts|rahmenlos]] 

Wir betrachten den AWGN–Kanal (Additive White Gaussian Noise). Hier gilt für das Ausgangssignal y = x + n, wobei n eine gaußverteilte Zufallsgröße beschreibt, und es gilt E[n] = 0 und E[n2] = Pn. 

Damit ergibt sich unabhängig vom Eingangssignal x ein kontinuierliches Ausgangssignal y, und in der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t Gleichung] für die Transinformation ist My → ∞ einzusetzen. 

Die Berechnung der Kanalkapazität für den AWGN–Kanal wird hier nur in Stichworten angegeben. Die genaue Herleitung finden Sie im Kapitel 4 des Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie”:
*Die im Hinblick auf maximale Transinformation optimierte Eingangsgröße x wird mit Sicherheit wertkontinuierlich sein, das heißt, beim AWGN–Kanal gilt außer My → ∞ auch Mx → ∞.

*Während bei wertdiskretem Eingang über alle Pr(xi) zu optimieren ist, erfolgt nun die Optimierung anhand der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Gau%C3%9Fverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fe#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion WDF] fx(x) des Eingangssignals unter der Nebenbedingung [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung_.281.29 Leistungsbegrenzung:]

::<math>C = \max_{f_x(x)} \hspace{0.1cm} I(x; y)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm wobei \hspace{0.15cm} gelten \hspace{0.15cm} muss:}\hspace{0.15cm} {\rm E} \left [ x^2 \right ] \le P_x \hspace{0.05cm}.</math>

*Die Optimierung liefert für die Eingangs–WDF ebenfalls eine Gaußverteilung ⇒ x, n und y sind gaußverteilt gemäß den Dichtefunktionen fx(x), fn(n), fy(y) und den Leistungen Px, Pn und Py. 

*Nach längerer Rechnung erhält man für die Kanalkapazität unter Verwendung des Logarithmus dualis log2(.) – wiederum mit der Pseudo–Einheit &bdquo;bit/Kanalzugriff”:

::<math>C = {\rm log_2 } \hspace{0.15cm} \sqrt{\frac{P_y}{P_n }} = {\rm log_2 } \hspace{0.15cm} \sqrt{\frac{P_x + P_n}{P_n }} = \frac{1}{2 } \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_x}{P_n } \right )\hspace{0.05cm}.</math>

*Beschreibt x ein zeitdiskretes Signal mit der Symbolrate 1/TS, so muss dieses auf B = 1/(2TS) bandbegrenzt sein, und die gleiche Bandbreite B muss man für das Rauschsignal n ansetzen:

::<math>P_X = \frac{E_{\rm S}}{T_{\rm S} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} P_N = \frac{N_0}{2T_{\rm S} }\hspace{0.05cm}. </math>

*Somit lässt sich die AWGN–Kanalkapazität auch durch die Sendeenergie pro Symbol (ES) und die Rauschleistungsdichte (N0) ausdrücken:

::<math>C \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2 } \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{2 E_{\rm S}}{N_0 } \right )\hspace{0.05cm}, \hspace{1.85cm}
{\rm Einheit:} \hspace{0.3cm} \frac{\rm bit}{\rm Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},</math>
::<math>C^{\star} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{C}{T_{\rm S} } = B \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{2 E_{\rm S}}{N_0 } \right )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
{\rm Einheit:} \hspace{0.3cm} \frac{\rm bit}{\rm Zeiteinheit}\hspace{0.05cm}.</math> 

{{Beispiel}}''':''' Für das Zahlenverhältnis ES/N0 = 7.5 ⇒ 10 · lg ES/N0 = 8.75 dB erhält man die Kanalkapazität C = 1/2 · log2 (16) = 2 bit/Kanalzugriff. Bei einem Kanal mit der (physikalischen) Bandbreite B = 4 kHz, was der Abtastrate fA = 8 kHz entspricht, gilt zudem C* = 16 kbit/s.{{end}} 

== Kanalkapazität des AWGN–Modells (2) ==
 
Ein Vergleich verschiedener Codierverfahren bei konstantem ES (Energie pro übertragenem Symbol) ist nicht fair. Vielmehr sollte man für diesen Vergleich die Energie EB pro Nutzbit fest vorgeben. Dabei gilt:

:<math>E_{\rm S} = R \cdot E_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
E_{\rm B} = E_{\rm S} / R \hspace{0.05cm}. </math>

Damit lautet das Kanalcodierungstheorem: Eine fehlerfreie Decodierung (bei unendlich langen Blöcken) ist möglich, falls die Coderate R kleiner ist als die Kanalkapazität C:

:<math>R < C = {1}/{2 } \cdot {\rm log_2 } \hspace{0.05cm}\left ( 1 +2 \cdot R\cdot E_{\rm B}/{N_0 } \right )\hspace{0.05cm}.</math>

Für jede Coderate R lässt sich damit das erforderliche EB/N0 des AWGN–Kanals ermitteln, damit eine fehlerfreie Decodierung möglich ist. Man erhält für den Grenzfall R = C:

:<math>{E_{\rm B}}/{N_0} > (2^{2R}-1)/(2R ) \hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik fasst das Ergebnis zusammen, wobei die Ordinate R im linearen Maßstab und die Abszisse EB/N0 logarithmisch aufgetragen ist. Außerhalb der blauen Fläche ist eine fehlerfreie Codierung nicht möglich. Die blaue Grenzkurve gibt die Kanalkapazität C des AWGN–Kanals an. 

[[File:P ID2373 KC T 1 7 S3b v3.png|Kanalkapazität des AWGN–Kanals|class=fit]] 

Aus dieser Grafik und obiger Gleichung lässt sich Folgendes ableiten:
*Die Kanalkapazität C steigt etwas weniger als linear mit 10 · lg EB/N0 an. In der Grafik sind einige ausgewählte Funktionswerte angegeben (blaue Kreuze). 

*Ist 10 · lg (EB/N0) kleiner als –1.59 dB, so ist eine fehlerfreie Decodierung prinzipiell unmöglich. Beträgt die Coderate R = 0.5, so muss 10 · lg (EB/N0) größer als 0 dB   ⇒   EB > N0 sein. 

*Für alle binären Codes gilt per se 0 ≤ R ≤ 1. Coderaten R > 1 sind nur mit nichtbinären Codes möglich. Beispielsweise beträgt die maximal mögliche Coderate eines quaternären Codes R = 2. 

*Alle eindimensionalen Modulationsarten – also solche Verfahren, die nur die Inphase– oder nur die Quadraturkomponente nutzen wie ASK, BPSK und FSK – müssen im blauen Bereich liegen. 

== AWGN–Kanalkapazität für binäre Eingangssignale ==
 
In diesem Buch beschränken wir uns meist auf binäre Codes, also auf das Galoisfeld GF(2n). Damit ist
*zum einen die Coderate auf den Bereich R ≤ 1 begrenzt, 

*zum zweiten auch für R ≤ 1 nicht die gesamte blaue Region (siehe letzte Seite) verfügbar. 

[[File:P ID2374 KC T 1 7 S4a.png|Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten des binären AWGN–Kanals|rechts|rahmenlos]]

Die nun gültige Region ergibt sich aus der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t allgemeinen Gleichung] der Transinformation durch
*die Parameter Mx = 2 und My → ∞, 

*bipolare Signalisierung  ⇒  x = 0 → x̃ = +1,  x = 1 → x̃ = –1, 

*den Übergang von bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(x̃i) zu bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, 

*Ersetzen der Summe durch eine Integration. 

Die Optimierung der Quelle führt auf gleichwahrscheinliche Symbole:

:<math>{\rm Pr}(\tilde{x} = +1) = {\rm Pr}(\tilde{x} = -1) = 1/2 \hspace{0.05cm}. </math>

Damit erhält man bei binärem Eingang (±1) für die Kanalkapazität  ⇒  Maximum der Transinformation hinsichtlich Pr(x̃i):

:<math>C \hspace{-0.15cm} = {1}/{2} \cdot \int_{-\infty }^{+ \infty}
\left [ f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = +1}(y)\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac {f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = +1}(y)}{f_y(y)} +
f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = -1}(y)\cdot {\rm log_2 } \hspace{0.15cm}\frac {f_{y\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}\tilde{x} = -1}(y)}{f_y(y)}
\right ]\hspace{0.1cm}{\rm d}y
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Integral lässt sich nicht in mathematisch–geschlossener Form lösen, sondern kann nur numerisch ausgewertet werden. Die grüne Kurve zeigt das Ergebnis. Die blaue Kurve gibt zum Vergleich die auf der letzten Seite hergeleitete Kanalkapazität für gaußverteilte Eingangssignale an. Man erkennt:
*Für 10 · lg EB/N0 < 0 unterscheiden sich die beiden Kapazitätskurven nur geringfügig. So muss man bei binärem bipolaren Eingang gegenüber dem Optimum (Gaußscher Eingang) die Kenngröße 10 · lg EB/N0 nur etwa um 0.1 dB erhöhen, um ebenfalls die Coderate R = 0.5 zu ermöglichen. 

*Ab etwa 10 · lg EB/N0 = 6 dB ist die Kanalkapazität C = 1 bit/Kanalzugriff für binären Eingang (fast) erreicht. Dazwischen verläuft die grüne Grenzkurve annähernd exponentiell ansteigend.

:[[File:P ID2375 KC T 1 7 S4b v3.png|AWGN–Kanalkapazität für binäre Eingangssignale|class=fit]] 

== Gebräuchliche Kanalcodes im Vergleich zur Kanalkapazität (1) ==
 
Nun soll gezeigt werden, in wie weit sich etablierte Kanalcodes der BPSK–Kanalkapazität (grüne Kurve) annähern. In der Grafik ist als Ordinate die Rate R = k/n dieser Codes bzw. die Kapazität C (mit der zusätzlichen Pseudo–Einheit &bdquo;bit/Kanalzugriff”) aufgetragen. Weiter ist vorausgesetzt:
*der AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch 10 · lg EB/N0 in dB, und 

*für die durch Kreuze markierten Codes eine Bitfehlerrate (BER) von 10–5. 

Zu beachten ist, dass die Kanalkapazitätskurven stets für n → ∞ und BER = 0 gelten. Würde man diese strenge Forderung &bdquo;feherfrei” auch an die betrachteten Kanalcodes endlicher Codelänge n anlegen, so wäre hierfür stets 10 · EB/N0 → ∞ erforderlich. Dies ist aber ein akademisches Problem, das für die Praxis wenig Bedeutung hat. Für BER = 10–10 ergäbe sich eine qualitativ ähnliche Grafik. 

[[File:P ID2968 KC T 1 7 S5a v3.png|Raten und erforderliches EB/N0 verschiedener Kanalcodes|class=fit]] 

Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung [Liv10]<ref>Liva, G.: Channel Coding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref> entnommen wurden:
*Die Punkte A, B und C markieren Hamming–Codes unterschiedlicher Rate, die im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Kapitel 1.3] bereits ausführlich behandelt wurden. Sie alle benötigen 10 · lg EB/N0 > 8 dBfür BER = 10–5. 

*D kennzeichnet den binären Golay–Code mit der Rate 1/2 und E einen Reed–Muller–Code. Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der Raumsonde Mariner 9 zum Einsatz. 

*Die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29 Reed–Solomon–Codes] (RS–Codes) werden im Kapitel 2 noch ausführlich behandelt. Mit F markiert ist der RS–Code der Rate 223/255 > 0.9 und einem erforderlichen EB/N0 < 6 dB. 

*Die Markierungen G und H bezeichnen beispielhafte Faltungscodes (englisch: Convolutional Codes, CC) mittlerer Rate. Ersterer wurde schon 1972 bei der Pioneer10–Mission eingesetzt. 

*Die Kanalcodierung der Voyager–Mission Ende der 1970er Jahre ist mit I markiert. Es handelt sich um die Verkettung eines (2, 1, 7)–Faltungscodes mit einem Reed–Solomon–Code. 

Anzumerken ist, dass bei den Faltungscodes insbesondere der dritte Parameter der Kennung eine andere Bedeutung hat als bei den Blockcodes. (2, 1, 32) weist beispielsweise auf das Memory m = 32 hin. 

Auf der nächsten Seite folgen noch Kenndaten von Systemen mit iterativer Decodierung. 

== Gebräuchliche Kanalcodes im Vergleich zur Kanalkapazität (2) ==
 
Mit iterativer Decodierung lassen sich deutlich bessere Ergebnisse erzielen, wie die folgende Grafik zeigt. Das heißt: Die einzelnen Markierungspunkte liegen sehr viel näher an der Kapazitätskurve. 

[[File:P ID2377 KC T 1 7 S5b v4.png|Raten und erforderliches EB/N0 für iterative Codierverfahren |class=fit]] 

Die bisher mit &bdquo;Gauß–Kapazität” beschriftete durchgezogene blaue Kurve wird hier &bdquo;Gauß (reell)” genannt. Hier noch einige weitere Erläuterungen zu dieser Grafik:
* Rote Kreuze markieren sogenannte Turbocodes nach CCSDS (Consultative Committee for Space Data Systems) mit jeweils k = 6920 Informationsbits und unterschiedlichen Codelängen n. Diese von [[http://perso.telecom-bretagne.eu/claudeberrou/ Claude Berrou]] um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden. Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als 1 dB von der Shannon–Grenze entfernt. 

*Ähnliches Verhalten zeigen die durch weiße Rechtecke gekennzeichneten LDPC–Codes (Low Density Parity–check Codes), die seit 2006 bei DVB–S2 (Digital Video Broadcast over Satellite) eingesetzt werden. Diese eignen sich aufgrund der spärlichen Belegung der Prüfmatrix H (mit Einsen) sehr gut für die iterative Decodierung mittels Faktor–Graphen und [[http://wwwmayr.in.tum.de/konferenzen/Jass05/courses/4/papers/prof_hagenauer.pdf Exit Charts.]] 

*Die schwarzen Punkte markieren die von CCSDS spezifizierten LDPC–Codes, die alle von einer konstanten Anzahl von Informationsbits ausgehen (k = 16384). Dagegen ist bei allen weißen Rechtecken die Codelänge n = 64800 konstant, während sich die Anzahl k der Informationsbits entsprechend der Rate R = k/n ändert. 

*Um das Jahr 2000 hatten viele Forscher den Ehrgeiz, sich der Shannon–Grenze bis auf Bruchteile von einem dB anzunähern. Das gelbe Kreuz markiert ein solches Ergebnis aus [CFRU01] von 2001. Verwendet wurde ein irregulärer Rate–1/2–LDPC–Code der Codelänge n = 2 · 106. 

Festzuhalten ist, dass Shannon bereits 1948 erkannt und nachgewiesen hat, dass kein eindimensionales Modulationsverfahren links von der durchgehend eingezeichneten AWGN–Grenzkurve &bdquo;Gauß (reell)” liegen kann. Für zweidimensionale Verfahren wie QAM und mehrstufige PSK gilt dagegen die Grenzkurve &bdquo;Gauß (komplex)”, die hier gestrichelt gezeichnet ist und stets links von der durchgezogenen Kurve liegt. Näheres hierzu im [http://en.lntwww.de/Informationstheorie/AWGN%E2%80%93Kanalkapazit%C3%A4t_bei_wertdiskretem_Eingang#Maximale_Coderate_f.C3.BCr_QAM.E2.80.93Strukturen Kapitel 4.3] des Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie”. 

Auch diese Grenzkurve wurde mit QAM und sehr langen Kanalcodes inzwischen nahezu erreicht, ohne dass sie jemals überschritten werden wird. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.17 Coderate vs. EB/N0|A1.17 Coderate vs. EB/N0]]

[[Zusatzaufgaben:1.17 BPSK–Kanalkapazität]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Bounds for Block Error Probability

2017-01-23T19:48:58Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Decodierung linearer Blockcodes
|Nächste Seite=Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung
}}

== Distanzspektrum eines linearen Codes (1) ==
 
Wir gehen weiterhin von einem linearen und binären (n, k)–Blockcode C aus. Ein wesentliches Ziel des Codedesigns ist es, die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Blockfehlerwahrscheinlichkeit] Pr(υ ≠ u) = Pr(z ≠ x) möglichst gering zu halten. Dies erreicht man unter anderem dadurch, dass

*die minimale Distanz dmin zwischen zwei Codeworten x und x' möglichst groß ist, so dass man bis zu t = &lfloor;(dmin–1)/2&rfloor; Bitfehler richtig korrigieren kann; 

*gleichzeitig die minimale Distanz dmin ⇒ worst–case möglichst selten auftritt, wenn man alle zulässigen Codeworte berücksichtigt. 

{{Definition}}''':''' Wir benennen die Anzahl der Codeworte x' ∈ C mit der Hamming–Distanz i vom betrachteten Codewort x des gleichen Codes C mit Wi(x), wobei gilt:

:<math>W_i(\underline{x}) = \left | \hspace{0.05cm} \left \{
\underline{x} \hspace{0.05cm}, \underline{x}{\hspace{0.03cm}' \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}'
) = i \right \} \hspace{0.05cm} \right |\hspace{0.05cm}.</math>

Man bezeichnet diesen Wert auch als Vielfachheit (englisch: Multiplicity).{{end}} 

Die Betragsstriche kennzeichnen hierbei die Anzahl der Codeworte x', die die Bedingung { ... } erfüllen. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten den (5, 2)–Blockcode C mit der Generatormatrix

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 &0 \\
0 &1 &0 &1 &1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.</math>

Die nachfolgende Tabelle zeigt die Hamming–Distanzen zwischen allen Codeworten x mit den vier möglichen Bezugsworten x0, ... , x3.

[[File:P ID2365 KC T 1 6 S1 neu.png|Hamming–Distanzen zwischen allen Codeworten|class=fit]] 

Man erkennt, dass unabhängig vom Bezugswort xi gilt:

:<math>W_0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} W_1 = W_2 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}W_3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} d_{\rm min} = 3\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Distanzspektrum eines linearen Codes (2) ==
 
Nicht nur im letzten Beispiel, sondern bei jedem linearen Code ergeben sich für jedes Codewort die gleichen Vielfachheiten Wi. Da zudem das Nullwort 0 = (0, 0, ..., 0) Bestandteil eines jeden linearen Binärcodes ist, lässt sich die Definition der letzten Seite auch wie folgt formulieren: 

{{Definition}}''':''' Das Distanzspektrum eines linearen binären (n, k)–Blockcodes ist die Menge {Wi} mit i = 0, 1, ... , n. Hierbei gibt Wi die Anzahl der Codeworte x ∈ C mit Hamming–Gewicht wH(x) = i an. Oft beschreibt man die Menge {Wi} auch als Polynom mit einer Pseudovariablen X:

:<math>\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm}
W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot Xi^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.</math>

Man bezeichnet W(X) auch als Gewichtsfunktion (englisch: Weight Enumerator Function, WEF).{{end}} 

Beispielsweise lautet die Gewichtsfunktion des (5, 2)–Codes

:<math>\mathcal{C} = \left \{ \hspace{0.05cm}(0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} (0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm} \right \}</math>

vom Beispiel auf der letzten Seite

:<math>W(X) = 1 + 2 \cdot X^{3} + X^{4}\hspace{0.05cm}.</math>

Wie aus der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes Tabelle seiner Codeworte] hervorgeht, erhält man für den (7, 4, 3)–Hamming–Code:

:<math>W(X) = 1 + 7 \cdot X^{3} + 7 \cdot X^{4} + X^{7}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Überführung des Distanzspektrums {Wi} in die Gewichtsfunktion W(X) bietet zudem bei manchen Aufgabenstellungen große numerische Vorteile. Ist beispielsweise die Weight Enumerator Function W(X) eines (n, k)–Blockcodes bekannt, so gilt für die WEF des hierzu dualen (n, n–k)–Codes CDual:

:<math>W_{\rm Dual}(X) = \frac{(1+X)^n}{2^k} \cdot W \left ( \frac{1-X}{1+X} \right )\hspace{0.05cm}.</math>

{{Beispiel}}''':''' Gesucht ist die Gewichtsfunktion W(X) des [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity–check Codes] mit n = 6, k = 5 ⇒  SPC (6, 5). Man erhält diese durch Vergleich aller 25 = 32 Codeworte mit dem Nullwort:

:<math>W_{\rm SPC(6,\hspace{0.08cm}5)}(X) = 1 + 15 \cdot X^{2} + 15 \cdot X^{4} + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>

Unter Berücksichtigung obiger Gleichung kommt man sehr viel schneller zum gleichen Ergebnis:
*Der zu SPC (6, 5) duale Code ist der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Repetition Code] RC (6, 1) mit nur zwei Codeworten (0, 0, 0, 0, 0, 0) und (1, 1, 1, 1, 1, 1), die sich in keiner bzw. allen Bitpositionen unterscheiden:

::<math>W_{\rm RC(6,\hspace{0.08cm}1)}(X) = 1 + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>

*Daraus folgt für die Gewichtsfunktion des SPC (6, 5) nach obiger Gleichung mit k = 1:

::<math>W_{\rm SPC(6,\hspace{0.08cm}5)}(X) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{(1+X)^6}{2^1} \cdot W \left [1 + \left ( (1-X)/(1+X)\right )^6 \right ] = </math>
::<math>\hspace{2.5cm} = \hspace{-0.15cm} 1/2 \cdot \left [( 1+X) ^6 + ( 1-X) ^6 \right ]
= 1 + 15 \cdot X^{2} + 15 \cdot X^{4} + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Union Bound der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ==
 
Wir betrachten wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 Beispiel zum Distanzspektrum] den (5, 2)–Blockcode C = {x0, x1, x2, x3} und setzen voraus, dass das Codewort x0 gesendet wurde. Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt). 

[[File:P ID2366 KC T 1 6 S2b v2.png|Zur Herleitung der Union Bound |class=fit]] 

Im fehlerfreien Fall würde dann der Codewortschätzer z = x0 liefern. Andernfalls käme es zu einem Blockfehler (das heißt z ≠ x und dementsprechend υ ≠ u) mit der Wahrscheinlichkeit

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}\left ([\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ereignis &bdquo;Verfälschung von x0 nach x1” tritt für ein gegebenes Empfangswort y entsprechend der ML–Entscheidungsregel genau dann ein, wenn für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt:

:<math>[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.3cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.3cm}
f(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0}\hspace{0.02cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) < f(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}\hspace{0.02cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y})
\hspace{0.05cm}.</math>

Da [x0 → x1], [x0 → x2], [x0 → x3] nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse sind (die sich somit gegenseitig ausschließen würden), ist die [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vereinigungsmenge Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge] kleiner oder gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}]
\hspace{0.05cm}.</math>

Man nennt diese obere Schranke für die (Block–)Fehlerwahrscheinlichkeit die Union Bound. Diese wurde bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit_.281.29 Kapitel 4.3] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” verwendet. 

Verallgemeinern und formalisieren wir diese Ergebnisse (sowohl x als auch x' gehören zum Code C): 

Blockfehlerwahrscheinlichkeit
 

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr} \left ( \bigcup_{\underline{x}' \ne \underline{x}} \hspace{0.15cm} [\underline{x} \mapsto \underline{x}'] \right )\hspace{0.05cm},</math>

Obere Schranke nach der Union Bound:

:<math>{\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \le \sum_{\underline{x}' \ne \underline{x}} \hspace{0.15cm} {\rm Pr}[\underline{x} \mapsto \underline{x}'] \hspace{0.05cm},</math>

Paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit (nach dem MAP– bzw. ML–Kriterium):

:<math>{\rm Pr}\hspace{0.02cm}[\underline{x} \mapsto \underline{x}'] = {\rm Pr} \left [
f(\underline{x}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \le f(\underline{x}'\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Auf den nächsten Seiten werden diese Ergebnisse auf verschiedene Kanäle angewendet. 

== Union Bound für das BSC–Modell ==
 
Wir betrachten weiterhin den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 beispielhaften (5, 2)–Code:] 

:[[File:P ID2406 KC T 1 6 S2 v2.png|BSC–Modell und ML–Detektion|class=fit]] 

Für den digitalen Kanal verwenden wir das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] (Binary Symmetric Channel):

:<math>{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 0 ) \hspace{-0.15cm} = {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 1 ) = {\rm Pr}(e = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 0 ) \hspace{-0.15cm} = {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 1 ) = {\rm Pr}(e = 0) = 1 -\varepsilon \hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden Codeworte x0 = (0, 0, 0, 0, 0) und x1 = (0, 1, 0, 1, 1) unterscheiden sich in genau d = 3 Bitpositionen, wobei d die Hamming–Distanz zwischen x0 und x1 angibt. Ein falsches Decodierergebnis [x0 → x1] erhält man immer dann, wenn mindestens zwei der drei Bit an den Bitpositionen 2, 4 und 5 verfälscht werden. Die Bitpositionen 1 und 3 spielen hier dagegen keine Rolle, da diese für x0 und x1 gleich sind. Da der betrachtete Code t  = &lfloor;(d–1)/2&rfloor; = 1 Fehler korrigieren kann, gilt:

:<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i=t+1 }^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i} = {3 \choose 2} \cdot \varepsilon^{2} \cdot (1 - \varepsilon) +
{3 \choose 3} \cdot \varepsilon^{3} =</math>
:<math>\hspace{2.5cm} = \hspace{-0.1cm} 3 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon) + \varepsilon^3 = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}]\hspace{0.05cm}.</math>

Die Codeworte x0 und x3 unterscheiden sich in vier Bitpositionen. Zu einer falschen Decodierung des Blocks kommt es deshalb mit Sicherheit, wenn vier oder drei Bit verfälscht werden. Eine Verfälschung von zwei Bit hat mit 50–prozentiger Wahrscheinlichkeit ebenfalls einen Blockfehler zur Folge, wenn man hierfür eine Zufallsentscheidung voraussetzt:

:<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = \varepsilon^4 + 4 \cdot \varepsilon^3 \cdot (1 - \varepsilon) + {1}/{2} \cdot 6 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon)^2 \hspace{0.05cm}.</math>

Daraus ergibt sich für die &bdquo;Union Bound”:

:<math>{\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \ge {\rm Pr(Blockfehler)}
.</math>

In der Tabelle sind die Ergebnisse für verschiedene Werte des BSC–Parameters ε zusammengefasst: 

[[File:P ID2367 KC T 1 6 S3 neu.png|Zahlenmäßige Union Bound für den (5, 2)–Code|class=fit]] 

Zu erwähnen ist, dass die völlig unterschiedlich zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten Pr(x0 → x1) und Pr(x0 → x3) genau das gleiche Ergebnis liefern. 

== Die obere Schranke nach Bhattacharyya (1) ==
 
Eine weitere obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit wurde von Bhattacharyya angegeben:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1 = {\rm Pr(Bhattacharyya)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierzu ist anzumerken:
*W(X) ist die zu Beginn dieses Kapitels 1.6 definierte [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Gewichtsfunktion,] die den verwendeten Kanalcode charakterisiert. 

*Der Bhattacharyya–Parameter β kennzeichnet den digitalen Kanal. Beispielsweise gilt:

::<math>\beta = \left\{ \begin{array}{c} \lambda \\ \sqrt{4 \cdot \varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}\\
{\rm exp}[- R \cdot E_{\rm B}/N_0] \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm} das \hspace{0.15cm}BEC-Modell},\\
{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm} das \hspace{0.15cm}BSC-Modell}, \\ {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm} das \hspace{0.15cm}AWGN-Modell}. \end{array}</math>

*Die Bhattacharyya–Schranke liegt stets (und meist deutlich) oberhalb der Kurve für die &bdquo;Union Bound”. Mit dem Ziel, eine für alle Kanäle einheitliche Schranke zu finden, müssen hier sehr viel gröbere Abschätzungen vorgenommen werden als für die Herleitung der Union Bound. 

Bhattacharyya–Schranke für das BSC–Modell 

Für die paarweise Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC–Modells wurde vorne hergeleitet:

:<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] = \sum_{i= \left\lfloor (d-1)/2 \right\rfloor}^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i} = \sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i}\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei kennzeichnet ε = Pr(y = 1| x = 0) = Pr(y = 0| x = 1) < 0.5 das BSC–Modell und d = dH(x0, x1) gibt die Hamming–Distanz der betrachteten Codeworte an. 

Um zur Bhattacharyya–Schranke zu kommen, müssen folgende Abschätzungen getroffen werden:
*Für alle i < d gilt εi · (1 – ε)d – i ≤ [ε · (1 – ε)]d/2:

::<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \le [\varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)]^{d/2} \cdot \sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \hspace{0.05cm}.</math>

*Änderung bezüglich der unteren Grenze der Laufvariablen i:

::<math>\sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \hspace{0.15cm} < \hspace{0.15cm} \sum_{i= 0 }^{d} {d \choose i} = 2^d\hspace{0.05cm},
\hspace{0.2cm}\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] = \beta^{d}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Umsortierung gemäß den Hamming–Gewichten Wi (Hamming–Distanz d = i kommt Wi mal vor):

::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.1cm} \le \hspace{0.1cm} \sum_{i= 1 }^{n} W_i \cdot \beta^{i} = 1 + W_1 \cdot \beta + W_2 \cdot \beta^2 + ... \hspace{0.05cm}+ W_n \cdot \beta^n
\hspace{0.05cm}.</math>

*Mit der Gewichtsfunktion W(X) = 1 + W1 · X + W2 · X 2 + ... + Wn · X n:

::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1= {\rm Pr(Bhattacharyya)}
\hspace{0.05cm}.</math>

== Die obere Schranke nach Bhattacharyya (2) ==
 
In der Tabelle ist die Bhattacharyya–Schranke für verschiedene BSC–Parameter ε abgegeben, gültig für den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 beispielhaften (5, 2)–Code.] Für diesen gilt:

:<math>W_0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} W_1 = W_2 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}W_3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} W(X) = 1 + 2 \cdot X^3 + X^4</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \le W(\beta) -1 = 2 \cdot \beta^3 + \beta^4
= {\rm Pr(Bhattacharyya)}
\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2370 KC T 1 6 S4.png|Vergleich von Union Bound und Bhattacharyya–Schranke beim BSC–Modell|class=fit]] 

Basierend auf diesem Beispiel für den einfachen (5, 2)–Code, der allerdings wenig praxisrelevant ist, sowie dem Beispiel auf der nächsten Seite für den (7, 4, 3)–Hamming–Code kann man zusammenfassen:
*Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Codiersystems ist oft analytisch nicht angebbar und muss per Simulation ermittelt werden. Gleiches gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. 

*Die Union Bound liefert eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. Bei vielen Anwendungen (insbesondere bei kurzen Codes) liegt sie nur geringfügig über dieser. 

*Die Bhattacharyya–Schranke liegt beim BEC–Kanal etwa um den Faktor 2 oberhalb der Union Bound – siehe Aufgabe A1.14. Beim BSC– und beim AWGN–Kanal ist der Abstand zwischen beiden Schranken deutlich größer. Der Faktor 10 (oder mehr) ist keine Seltenheit. 

*Die Bhattacharyya–Schranke W(β) – 1 wirkt auf den ersten Blick sehr einfach. Es sind einige Vereinfachungsschritte erforderlich, um auf diese Form zu kommen. Trotzdem benötigt man auch hier Kenntnis über die genaue Gewichtsfunktion W(ξ) des Codes. 

*Bei Kenntnis des Übertragungskanals (BEC, BSC, AWGN oder Abwandlungen hiervon) und dessen Parameter spricht vom Aufwand her nichts dagegen, die Union Bound als obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit zu verwenden. 

== Schranken für den (7, 4, 3)–Hamming–Code beim AWGN–Kanal ==
 
Abschließend betrachten wir die Blockfehlerwahrscheinlichkeit und deren Schranken (Union Bound und Bhattacharyya–Schranke) für die folgende Konfiguration:
*AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch den Quotienten EB/N0, 

*Hamming–Code (7, 4)   ⇒   R = 4/7,   W(X) – 1 = 7 · X3 + 7 · X4 + X7, 

*Soft–Decision nach dem ML–Kriterium. 

Die Ergebnisse sind in der folgenden Grafik zusammengefasst. Im Gegensatz zur Grafik im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN Kapitel 1.5] ist hier die Blockfehlerrate angegeben und nicht die Bitfehlerrate. Näherungsweise ist Letztere um den Faktor dmin/k kleiner, falls wie hier dmin < k ist. Im vorliegenden Beispiel gilt dmin/k = 0.75. 

[[File:P ID2369 KC T 1 6 S5 v3.png|Blockfehlerwahrscheinlichkeit und Schranken des HC (7, 4, 3)|class=fit]] 

Die folgenden Zahlenwerte gelten für 10 · lg EB/N0 = 8 dB   ⇒   EB/N0 = 6.31 (blaue Markierungen):
*Die grünen Kreuze markieren die Union Bound. Nach dieser gilt:

::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \le \hspace{-0.15cm} \sum_{i= d_{\rm min} }^{n} W_i \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{i \cdot {2R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \right ) =</math>
::<math>\hspace{3cm} = \hspace{-0.15cm}
7 \cdot {\rm Q} (4.65) + 7 \cdot {\rm Q} (5.37) + {\rm Q} (7.10) = </math>
::<math>\hspace{3cm} \approx \hspace{-0.15cm}
7 \cdot 1.66 \cdot 10^{-6} + 7 \cdot 3.93 \cdot 10^{-8}+ 10^{-9} = 1.2 \cdot 10^{-5}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Zahlenwerte machen deutlich, dass die Union Bound durch den ersten Term bestimmt wird:

::<math>{\rm Pr(Union\hspace{0.15cm} Bound)} \approx W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{d_{\rm min} \cdot {2R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \right ) = 1.16 \cdot 10^{-5}
\hspace{0.05cm}.</math>

:Allerdings ist diese sog. Truncated Union Bound nicht mehr bei allen Anwendungen eine echte Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit, sondern ist eher als Näherung zu verstehen. 

*Die Bhattacharyya–Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert. Diese Schranke liegt aufgrund der stark vereinfachten Chernoff–Rubin Bound Q(x) ≤ exp(– x2/2) deutlich über der Union Bound. Für 10 · lg EB/N0 = 8 dB erhält man mit β = exp[–R · EB/N0] ≈ 0.027:

::<math>{\rm Pr(Bhattacharyya)} = W(\beta) -1 = 7 \cdot \beta^3 + 7 \cdot \beta^4 + \beta^7 \approx 1.44 \cdot 10^{-4}
\hspace{0.05cm}.</math>

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.14 Bhattacharyya–Schranke für BEC|A1.14 Bhattacharyya–Schranke für BEC]]

[[Aufgaben:1.15 Distanzspektren|A1.15 Distanzspektren]]

[[Aufgaben:1.16 Schranken für AWGN|A1.16 Schranken für AWGN]]

[[Zusatzaufgaben:1.16 Schranken für Q(x)]]

{{Display}}

Channel Coding/Bounds for Block Error Probability

2017-01-23T19:47:50Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Decodierung linearer Blockcodes
|Nächste Seite=Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung
}}

== Distanzspektrum eines linearen Codes (1) ==
 
Wir gehen weiterhin von einem linearen und binären (n, k)–Blockcode C aus. Ein wesentliches Ziel des Codedesigns ist es, die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Blockfehlerwahrscheinlichkeit] Pr(υ ≠ u) = Pr(z ≠ x) möglichst gering zu halten. Dies erreicht man unter anderem dadurch, dass

*die minimale Distanz dmin zwischen zwei Codeworten x und x' möglichst groß ist, so dass man bis zu t = &lfloor;(dmin–1)/2&rfloor; Bitfehler richtig korrigieren kann; 

*gleichzeitig die minimale Distanz dmin ⇒ worst–case möglichst selten auftritt, wenn man alle zulässigen Codeworte berücksichtigt. 

{{Definition}}''':''' Wir benennen die Anzahl der Codeworte x' ∈ C mit der Hamming–Distanz i vom betrachteten Codewort x des gleichen Codes C mit Wi(x), wobei gilt:

:<math>W_i(\underline{x}) = \left | \hspace{0.05cm} \left \{
\underline{x} \hspace{0.05cm}, \underline{x}{\hspace{0.03cm}' \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}'
) = i \right \} \hspace{0.05cm} \right |\hspace{0.05cm}.</math>

Man bezeichnet diesen Wert auch als Vielfachheit (englisch: Multiplicity).{{end}} 

Die Betragsstriche kennzeichnen hierbei die Anzahl der Codeworte x', die die Bedingung { ... } erfüllen. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten den (5, 2)–Blockcode C mit der Generatormatrix

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 &0 \\
0 &1 &0 &1 &1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.</math>

Die nachfolgende Tabelle zeigt die Hamming–Distanzen zwischen allen Codeworten x mit den vier möglichen Bezugsworten x0, ... , x3.

[[File:P ID2365 KC T 1 6 S1 neu.png|Hamming–Distanzen zwischen allen Codeworten|class=fit]] 

Man erkennt, dass unabhängig vom Bezugswort xi gilt:

:<math>W_0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} W_1 = W_2 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}W_3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} d_{\rm min} = 3\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Distanzspektrum eines linearen Codes (2) ==
 
Nicht nur im letzten Beispiel, sondern bei jedem linearen Code ergeben sich für jedes Codewort die gleichen Vielfachheiten Wi. Da zudem das Nullwort 0 = (0, 0, ..., 0) Bestandteil eines jeden linearen Binärcodes ist, lässt sich die Definition der letzten Seite auch wie folgt formulieren: 

{{Definition}}''':''' Das Distanzspektrum eines linearen binären (n, k)–Blockcodes ist die Menge {Wi} mit i = 0, 1, ... , n. Hierbei gibt Wi die Anzahl der Codeworte x ∈ C mit Hamming–Gewicht wH(x) = i an. Oft beschreibt man die Menge {Wi} auch als Polynom mit einer Pseudovariablen X:

:<math>\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm}
W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot Xi^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.</math>

Man bezeichnet W(X) auch als Gewichtsfunktion (englisch: Weight Enumerator Function, WEF).{{end}} 

Beispielsweise lautet die Gewichtsfunktion des (5, 2)–Codes

:<math>\mathcal{C} = \left \{ \hspace{0.05cm}(0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} (0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm} \right \}</math>

vom Beispiel auf der letzten Seite

:<math>W(X) = 1 + 2 \cdot X^{3} + X^{4}\hspace{0.05cm}.</math>

Wie aus der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes Tabelle seiner Codeworte] hervorgeht, erhält man für den (7, 4, 3)–Hamming–Code:

:<math>W(X) = 1 + 7 \cdot X^{3} + 7 \cdot X^{4} + X^{7}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Überführung des Distanzspektrums {Wi} in die Gewichtsfunktion W(X) bietet zudem bei manchen Aufgabenstellungen große numerische Vorteile. Ist beispielsweise die Weight Enumerator Function W(X) eines (n, k)–Blockcodes bekannt, so gilt für die WEF des hierzu dualen (n, n–k)–Codes CDual:

:<math>W_{\rm Dual}(X) = \frac{(1+X)^n}{2^k} \cdot W \left ( \frac{1-X}{1+X} \right )\hspace{0.05cm}.</math>

{{Beispiel}}''':''' Gesucht ist die Gewichtsfunktion W(X) des [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity–check Codes] mit n = 6, k = 5 ⇒  SPC (6, 5). Man erhält diese durch Vergleich aller 25 = 32 Codeworte mit dem Nullwort:

:<math>W_{\rm SPC(6,\hspace{0.08cm}5)}(X) = 1 + 15 \cdot X^{2} + 15 \cdot X^{4} + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>

Unter Berücksichtigung obiger Gleichung kommt man sehr viel schneller zum gleichen Ergebnis:
*Der zu SPC (6, 5) duale Code ist der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Repetition Code] RC (6, 1) mit nur zwei Codeworten (0, 0, 0, 0, 0, 0) und (1, 1, 1, 1, 1, 1), die sich in keiner bzw. allen Bitpositionen unterscheiden:

::<math>W_{\rm RC(6,\hspace{0.08cm}1)}(X) = 1 + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>

*Daraus folgt für die Gewichtsfunktion des SPC (6, 5) nach obiger Gleichung mit k = 1:

::<math>W_{\rm SPC(6,\hspace{0.08cm}5)}(X) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{(1+X)^6}{2^1} \cdot W \left [1 + \left ( (1-X)/(1+X)\right )^6 \right ] = </math>
::<math>\hspace{2.5cm} = \hspace{-0.15cm} 1/2 \cdot \left [( 1+X) ^6 + ( 1-X) ^6 \right ]
= 1 + 15 \cdot X^{2} + 15 \cdot X^{4} + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Union Bound der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ==
 
Wir betrachten wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 Beispiel zum Distanzspektrum] den (5, 2)–Blockcode C = {x0, x1, x2, x3} und setzen voraus, dass das Codewort x0 gesendet wurde. Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt). 

[[File:P ID2366 KC T 1 6 S2b v2.png|Zur Herleitung der Union Bound |class=fit]] 

Im fehlerfreien Fall würde dann der Codewortschätzer z = x0 liefern. Andernfalls käme es zu einem Blockfehler (das heißt z ≠ x und dementsprechend υ ≠ u) mit der Wahrscheinlichkeit

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}\left ([\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ereignis &bdquo;Verfälschung von x0 nach x1” tritt für ein gegebenes Empfangswort y entsprechend der ML–Entscheidungsregel genau dann ein, wenn für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt:

:<math>[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.3cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.3cm}
f(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0}\hspace{0.02cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) < f(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}\hspace{0.02cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y})
\hspace{0.05cm}.</math>

Da [x0 → x1], [x0 → x2], [x0 → x3] nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse sind (die sich somit gegenseitig ausschließen würden), ist die [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vereinigungsmenge Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge] kleiner oder gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}]
\hspace{0.05cm}.</math>

Man nennt diese obere Schranke für die (Block–)Fehlerwahrscheinlichkeit die Union Bound. Diese wurde bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit_.281.29 Kapitel 4.3] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” verwendet. 

Verallgemeinern und formalisieren wir diese Ergebnisse (sowohl x als auch x' gehören zum Code C): 

Blockfehlerwahrscheinlichkeit
 

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr} \left ( \bigcup_{\underline{x}' \ne \underline{x}} \hspace{0.15cm} [\underline{x} \mapsto \underline{x}'] \right )\hspace{0.05cm},</math>

Obere Schranke nach der Union Bound:

:<math>{\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \le \sum_{\underline{x}' \ne \underline{x}} \hspace{0.15cm} {\rm Pr}[\underline{x} \mapsto \underline{x}'] \hspace{0.05cm},</math>

Paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit (nach dem MAP– bzw. ML–Kriterium):

:<math>{\rm Pr}\hspace{0.02cm}[\underline{x} \mapsto \underline{x}'] = {\rm Pr} \left [
f(\underline{x}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \le f(\underline{x}'\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y}) \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Auf den nächsten Seiten werden diese Ergebnisse auf verschiedene Kanäle angewendet. 

== Union Bound für das BSC–Modell ==
 
Wir betrachten weiterhin den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 beispielhaften (5, 2)–Code:] 

:[[File:P ID2406 KC T 1 6 S2 v2.png|BSC–Modell und ML–Detektion|class=fit]] 

Für den digitalen Kanal verwenden wir das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modell] (Binary Symmetric Channel):

:<math>{\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 0 ) \hspace{-0.15cm} = {\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 1 ) = {\rm Pr}(e = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},</math>
:<math>{\rm Pr}(y = 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 0 ) \hspace{-0.15cm} = {\rm Pr}(y = 1 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}x = 1 ) = {\rm Pr}(e = 0) = 1 -\varepsilon \hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden Codeworte x0 = (0, 0, 0, 0, 0) und x1 = (0, 1, 0, 1, 1) unterscheiden sich in genau d = 3 Bitpositionen, wobei d die Hamming–Distanz zwischen x0 und x1 angibt. Ein falsches Decodierergebnis [x0 → x1] erhält man immer dann, wenn mindestens zwei der drei Bit an den Bitpositionen 2, 4 und 5 verfälscht werden. Die Bitpositionen 1 und 3 spielen hier dagegen keine Rolle, da diese für x0 und x1 gleich sind. Da der betrachtete Code t  = &lfloor;(d–1)/2&rfloor; = 1 Fehler korrigieren kann, gilt:

:<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i=t+1 }^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i} = {3 \choose 2} \cdot \varepsilon^{2} \cdot (1 - \varepsilon) +
{3 \choose 3} \cdot \varepsilon^{3} =</math>
:<math>\hspace{2.5cm} = \hspace{-0.1cm} 3 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon) + \varepsilon^3 = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}]\hspace{0.05cm}.</math>

Die Codeworte x0 und x3 unterscheiden sich in vier Bitpositionen. Zu einer falschen Decodierung des Blocks kommt es deshalb mit Sicherheit, wenn vier oder drei Bit verfälscht werden. Eine Verfälschung von zwei Bit hat mit 50–prozentiger Wahrscheinlichkeit ebenfalls einen Blockfehler zur Folge, wenn man hierfür eine Zufallsentscheidung voraussetzt:

:<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = \varepsilon^4 + 4 \cdot \varepsilon^3 \cdot (1 - \varepsilon) + {1}/{2} \cdot 6 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon)^2 \hspace{0.05cm}.</math>

Daraus ergibt sich für die &bdquo;Union Bound”:

:<math>{\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \ge {\rm Pr(Blockfehler)}
.</math>

In der Tabelle sind die Ergebnisse für verschiedene Werte des BSC–Parameters ε zusammengefasst: 

[[File:P ID2367 KC T 1 6 S3 neu.png|Zahlenmäßige Union Bound für den (5, 2)–Code|class=fit]] 

Zu erwähnen ist, dass die völlig unterschiedlich zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten Pr(x0 → x1) und Pr(x0 → x3) genau das gleiche Ergebnis liefern. 

== Die obere Schranke nach Bhattacharyya (1) ==
 
Eine weitere obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit wurde von Bhattacharyya angegeben:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1 = {\rm Pr(Bhattacharyya)}
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierzu ist anzumerken:
*W(X) ist die zu Beginn dieses Kapitels 1.6 definierte [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29 Gewichtsfunktion,] die den verwendeten Kanalcode charakterisiert. 

*Der Bhattacharyya–Parameter β kennzeichnet den digitalen Kanal. Beispielsweise gilt:

::<math>\beta = \left\{ \begin{array}{c} \lambda \\ \sqrt{4 \cdot \varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}\\
{\rm exp}[- R \cdot E_{\rm B}/N_0] \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm} das \hspace{0.15cm}BEC-Modell},\\
{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm} das \hspace{0.15cm}BSC-Modell}, \\ {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm} das \hspace{0.15cm}AWGN-Modell}. \end{array}</math>

*Die Bhattacharyya–Schranke liegt stets (und meist deutlich) oberhalb der Kurve für die &bdquo;Union Bound”. Mit dem Ziel, eine für alle Kanäle einheitliche Schranke zu finden, müssen hier sehr viel gröbere Abschätzungen vorgenommen werden als für die Herleitung der Union Bound. 

Bhattacharyya–Schranke für das BSC–Modell 

Für die paarweise Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC–Modells wurde vorne hergeleitet:

:<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] = \sum_{i= \left\lfloor (d-1)/2 \right\rfloor}^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i} = \sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i}\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei kennzeichnet ε = Pr(y = 1| x = 0) = Pr(y = 0| x = 1) < 0.5 das BSC–Modell und d = dH(x0, x1) gibt die Hamming–Distanz der betrachteten Codeworte an. 

Um zur Bhattacharyya–Schranke zu kommen, müssen folgende Abschätzungen getroffen werden:
*Für alle i < d gilt εi · (1 – ε)d – i ≤ [ε · (1 – ε)]d/2:

::<math>{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \le [\varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)]^{d/2} \cdot \sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \hspace{0.05cm}.</math>

*Änderung bezüglich der unteren Grenze der Laufvariablen i:

::<math>\sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \hspace{0.15cm} < \hspace{0.15cm} \sum_{i= 0 }^{d} {d \choose i} = 2^d\hspace{0.05cm},
\hspace{0.2cm}\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] = \beta^{d}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Umsortierung gemäß den Hamming–Gewichten Wi (Hamming–Distanz d = i kommt Wi mal vor):

::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.1cm} \le \hspace{0.1cm} \sum_{i= 1 }^{n} W_i \cdot \beta^{i} = 1 + W_1 \cdot \beta + W_2 \cdot \beta^2 + ... \hspace{0.05cm}+ W_n \cdot \beta^n
\hspace{0.05cm}.</math>

*Mit der Gewichtsfunktion W(X) = 1 + W1 · X + W2 · X 2 + ... + Wn · X n:

::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1= {\rm Pr(Bhattacharyya)}
\hspace{0.05cm}.</math>

== Die obere Schranke nach Bhattacharyya (2) ==
 
In der Tabelle ist die Bhattacharyya–Schranke für verschiedene BSC–Parameter ε abgegeben, gültig für den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.281.29 beispielhaften (5, 2)–Code.] Für diesen gilt:

:<math>W_0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} W_1 = W_2 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}W_3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} W(X) = 1 + 2 \cdot X^3 + X^4</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \le W(\beta) -1 = 2 \cdot \beta^3 + \beta^4
= {\rm Pr(Bhattacharyya)}
\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID2370 KC T 1 6 S4.png|Vergleich von Union Bound und Bhattacharyya–Schranke beim BSC–Modell|class=fit]] 

Basierend auf diesem Beispiel für den einfachen (5, 2)–Code, der allerdings wenig praxisrelevant ist, sowie dem Beispiel auf der nächsten Seite für den (7, 4, 3)–Hamming–Code kann man zusammenfassen:
*Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Codiersystems ist oft analytisch nicht angebbar und muss per Simulation ermittelt werden. Gleiches gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. 

*Die Union Bound liefert eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. Bei vielen Anwendungen (insbesondere bei kurzen Codes) liegt sie nur geringfügig über dieser. 

*Die Bhattacharyya–Schranke liegt beim BEC–Kanal etwa um den Faktor 2 oberhalb der Union Bound – siehe Aufgabe A1.14. Beim BSC– und beim AWGN–Kanal ist der Abstand zwischen beiden Schranken deutlich größer. Der Faktor 10 (oder mehr) ist keine Seltenheit. 

*Die Bhattacharyya–Schranke W(β) – 1 wirkt auf den ersten Blick sehr einfach. Es sind einige Vereinfachungsschritte erforderlich, um auf diese Form zu kommen. Trotzdem benötigt man auch hier Kenntnis über die genaue Gewichtsfunktion W(ξ) des Codes. 

*Bei Kenntnis des Übertragungskanals (BEC, BSC, AWGN oder Abwandlungen hiervon) und dessen Parameter spricht vom Aufwand her nichts dagegen, die Union Bound als obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit zu verwenden. 

== Schranken für den (7, 4, 3)–Hamming–Code beim AWGN–Kanal ==
 
Abschließend betrachten wir die Blockfehlerwahrscheinlichkeit und deren Schranken (Union Bound und Bhattacharyya–Schranke) für die folgende Konfiguration:
*AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch den Quotienten EB/N0, 

*Hamming–Code (7, 4)   ⇒   R = 4/7,   W(X) – 1 = 7 · X3 + 7 · X4 + X7, 

*Soft–Decision nach dem ML–Kriterium. 

Die Ergebnisse sind in der folgenden Grafik zusammengefasst. Im Gegensatz zur Grafik im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN Kapitel 1.5] ist hier die Blockfehlerrate angegeben und nicht die Bitfehlerrate. Näherungsweise ist Letztere um den Faktor dmin/k kleiner, falls wie hier dmin < k ist. Im vorliegenden Beispiel gilt dmin/k = 0.75. 

[[File:P ID2369 KC T 1 6 S5 v3.png|Blockfehlerwahrscheinlichkeit und Schranken des HC (7, 4, 3)|class=fit]] 

Die folgenden Zahlenwerte gelten für 10 · lg EB/N0 = 8 dB   ⇒   EB/N0 = 6.31 (blaue Markierungen):
*Die grünen Kreuze markieren die Union Bound. Nach dieser gilt:

::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \le \hspace{-0.15cm} \sum_{i= d_{\rm min} }^{n} W_i \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{i \cdot {2R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \right ) =</math>
::<math>\hspace{3cm} = \hspace{-0.15cm}
7 \cdot {\rm Q} (4.65) + 7 \cdot {\rm Q} (5.37) + {\rm Q} (7.10) = </math>
::<math>\hspace{3cm} \approx \hspace{-0.15cm}
7 \cdot 1.66 \cdot 10^{-6} + 7 \cdot 3.93 \cdot 10^{-8}+ 10^{-9} = 1.2 \cdot 10^{-5}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Zahlenwerte machen deutlich, dass die Union Bound durch den ersten Term bestimmt wird:

::<math>{\rm Pr(Union\hspace{0.15cm} Bound)} \approx W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{d_{\rm min} \cdot {2R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \right ) = 1.16 \cdot 10^{-5}
\hspace{0.05cm}.</math>

:Allerdings ist diese sog. Truncated Union Bound nicht mehr bei allen Anwendungen eine echte Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit, sondern ist eher als Näherung zu verstehen. 

*Die Bhattacharyya–Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert. Diese Schranke liegt aufgrund der stark vereinfachten Chernoff–Rubin Bound Q(x) ≤ exp(– x2/2) deutlich über der Union Bound. Für 10 · lg EB/N0 = 8 dB erhält man mit β = exp[–R · EB/N0] ≈ 0.027:

::<math>{\rm Pr(Bhattacharyya)} = W(\beta) -1 = 7 \cdot \beta^3 + 7 \cdot \beta^4 + \beta^7 \approx 1.44 \cdot 10^{-4}
\hspace{0.05cm}.</math>

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.14 Bhattacharyya–Schranke für BEC|A1.14 Bhattacharyya–Schranke für BEC]]

[[Aufgaben:1.15 Distanzspektren|A1.15 Distanzspektren]]

[[Aufgaben:1.16 Schranken für AWGN|A1.16 Schranken für AWGN]]

[[Zusatzaufgaben:1.16 Schranken für Q(x)]]

{{Display}}

Channel Coding/Decoding of Linear Block Codes

2017-01-23T19:34:46Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes
|Nächste Seite=Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
}}

== Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 
Wir gehen von dem bereits im Kapitel 1.2 gezeigten Blockschaltbild aus, wobei als Kanalmodell meist der Binary Symmetric Channel (BSC) verwendet wird. Zur Codewortschätzung verwenden wir den Maximum–Likelihood–Entscheider (ML), der für binäre Codes ⇒ x ∈ GF(2n) das gleiche Ergebnis liefert wie der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#MAP.E2.80.93_und_ML.E2.80.93Kriterium_.281.29 MAP–Empfänger.] 

[[File:P ID2360 KC T 1 5 S1 v2.png|Blockschaltbild zu Kapitel 1.5 und 1.6|class=fit]] 

Die Aufgabe des Kanaldecoders kann wie folgt beschrieben werden:
*Der Vektor υ nach der Decodierung (an der Sinke) soll möglichst gut mit dem Informationswort u übereinstimmen. Das heißt: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit soll möglichst klein sein:

::<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{v} \ne \underline{u}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

*Aufgrund der deterministischen Zuweisungen x = enc(u) bzw. υ = enc–1(z) gilt aber auch:

::<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{x}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>

*Gesucht ist somit das zum gegebenen Empfangswort y = x + e am wahrscheinlichsten gesendete Codewort xi, das als Ergebnis z weiter gegeben wird:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>

*Beim BSC–Kanal gilt sowohl xi ∈ GF(2n) als auch y ∈ GF(2n), so dass die ML–Regel auch mit der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] dH(y, xi) geschrieben werden kann:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.</math>

== Prinzip der Syndromdecodierung ==
 
Vorausgesetzt wird hier ein (n, k)–Blockcode mit der Prüfmatrix H und den systematischen Codeworten

::<math>\underline{x}\hspace{0.05cm} = (x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_i, ... \hspace{0.05cm}, x_n)
= (u_1, u_2, ... \hspace{0.05cm}, u_k, p_1, ... \hspace{0.05cm}, p_{n-k})\hspace{0.05cm}. </math>

Mit dem Fehlervektor e gilt dann für das Empfangswort:

::<math>\underline{y} = \underline{x} + \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} \underline{y} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm} \underline{x} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm} \underline{e} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n)
\hspace{0.05cm}.</math>

Ein Bitfehler an der Position i, das heißt yi ≠ xi, wird ausgedrückt durch den Fehlerkoeffizienten ei = 1. 

{{Definition}}''':''' Das Syndrom s = (s0, s1, ... , sm–1) berechnet sich (als Zeilen– bzw. Spaltenvektor) aus dem Empfangswort y und der Prüfmatrix H in folgender Weise:

:<math>\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}\hspace{0.3cm}{\rm bzw.}\hspace{0.3cm}
\underline{s}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{y}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Vektorlänge von s ist gleich m = n – k (Zeilenzahl von H).{{end}} 

Das Syndrom s zeigt folgende Charakteristika:
*Wegen x · HT = 0 hängt s nicht vom Codewort x ab, sondern allein vom Fehlervektor e:

::<math>\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}
= \hspace{0.05cm} \underline{x} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} + \hspace{0.05cm} \underline{e} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}
= \hspace{0.05cm} \underline{e} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Bei hinreichend wenig Bitfehlern liefert s einen eindeutigen Hinweis auf die Fehlerpositionen und ermöglicht so eine vollständige Fehlerkorrektur. 

{{Beispiel}}''':''' Ausgehend vom systematischen [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes (7, 4, 3)–Hamming–Code] erhält man beispielsweise für den Empfangsvektor y = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1) das folgende Ergebnis:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{y}^{\rm T}
= \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &0 &1 &0 &0\\
0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\
1 &1 &0 &1 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = \underline{s}^{\rm T} \hspace{0.05cm}.</math>

Vergleicht man das Syndrom mit den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix Prüfgleichungen] des Hamming–Codes, so erkennt man, dass
*am wahrscheinlichsten das vierte Symbol (x4 = u4) des Codewortes verfälscht wurde, 

*der Codewortschätzer somit das Ergebnis z = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1) liefern wird. 

*die Entscheidung nur dann richtig ist, wenn bei der Übertragung nur ein Bit verfälscht wurde. 

Nachfolgend sind die erforderlichen Korrekturen für den (7, 4, 3)–Hamming–Code angegeben, die sich aus dem errechneten Syndrom s entsprechend den Spalten der Prüfmatrix ergeben:

:<math>\underline{s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 0) \hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm}{\rm keine\hspace{0.15cm} Korrektur}\hspace{0.05cm};\hspace{0.4cm}\underline{s} = (1, 0, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm}p_1{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
:<math>\underline{s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(0, 0, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} p_3{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{0.82cm}\underline{s} = (1, 0, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_1{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
:<math>\underline{s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(0, 1, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} p_2{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{0.82cm}\underline{s} = (1, 1, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_3{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
:<math>\underline{s} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(0, 1, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_4{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{0.82cm}\underline{s} = (1, 1, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_2{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

== Verallgemeinerung der Syndromdecodierung (1) ==
 
Wir fassen die Ergebnisse der letzten Seiten zusammen, wobei wir weiterhin vom BSC–Kanalmodell ausgehen. Das bedeutet: y und e sind Elemente von GF(2n), während die möglichen Codeworte xi zum Code C gehören, der einen (n – k)–dimensionalen Untervektorraum von GF(2n) darstellt. Dann gilt:

*Die Syndromdecodierung ist eine Realisierungsmöglichkeit der Maximum–Likelihood–Detektion von Blockcodes. Man entscheidet sich für das Codewort mit der geringsten Hamming–Distanz zum Empfangswort:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Syndromdecodierung ist aber auch die Suche nach dem wahrscheinlichsten Fehlervektor e, der die Bedingung e · HT = s erfüllt. Das Syndrom liegt dabei durch s = y · HT fest.

*Mit dem [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Gewicht] wH(e) kann die zweite Interpretation auch wie folgt mathematisch formuliert werden:

::<math>\underline{z} = \underline{y} + {\rm arg} \min_{\underline{e}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} {\rm GF}(2^n)} \hspace{0.1cm}
w_{\rm H}(\underline{e}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.</math>

Zu beachten ist, dass der Fehlervektor e ebenso wie der Empfangsvektor y ein Element von GF(2n) ist im Gegensatz zum Syndrom s ∈ GF(2m) mit der Anzahl m = n – k der Prüfgleichungen. Das bedeutet,
*dass die Zuordnung zwischen Syndrom s und Fehlervektor e nicht eindeutig ist, sondern 

*dass jeweils 2k Fehlervektoren zum gleichen Syndrom s führen, die man zu einer Nebenklasse (englisch: Coset) zusammenfasst. 
:[[File:P ID2361 KC T 1 5 S3 v2.png|Aufteilung der 2k Fehlervektoren in Cosets|class=fit]] 

Die Grafik verdeutlicht diesen Sachverhalt am Beispiel n = 5 und k = 2 ⇒ m = n – k = 3.
*Die insgesamt 2n = 32 möglichen Fehlervektoren e werden in 2m = 8 Nebenklassen Ψ0, ... , Ψ7 aufgeteilt, auch &bdquo;Cosets” genannt. Explizit gezeichnet sind hier nur die Cosets Ψ0 und Ψ5. 

*Alle 2k = 4 Fehlervektoren des Cosets Ψμ führen zum gleichen Syndrom sμ. Zudem hat jede Nebenklasse einen Anführer eμ, nämlich denjenigen mit dem minimalen Hamming–Gewicht. 

Die Vorgehensweise bei der Syndromdecodierung wird auf den nächsten Seiten nochmals ausführlich an einem Beispiel erläutert. 

== Verallgemeinerung der Syndromdecodierung (2) ==
 
Die Syndromdecodierung wird hier am Beispiel eines systematischen (5, 2, 3)–Codes beschrieben:

:<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>

Generatormatrix und Prüfmatrix lauten:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 &0 \\
0 &1 &0 &1 &1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} { \boldsymbol{\rm H}}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &0 &0 \\
1 &1 &0 &1 &0 \\
0 &1 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.</math>

Die Tabelle fasst das Endergebnis zusammen. 

[[File:P ID2362 KC T 1 5 S3b v2.png|Beispielhafte (5, 2, 3)–Syndromtabelle mit Nebenklassen|class=fit]] 

Zur Herleitung dieser Tabelle ist anzumerken:
*Die Zeile 1 bezieht sich auf das Syndrom s0 = (0, 0, 0) und die dazugehörige Nebenklasse Ψ0. Am wahrscheinlichsten ist hier die Fehlerfolge (0, 0, 0, 0, 0) ⇒ kein Bitfehler, die wir als Nebenklassenanführer e0 bezeichnen. Auch die weiteren Einträge in der ersten Zeile, nämlich (1, 0, 1, 1, 0 ), (0, 1, 0, 1, 1) und (1, 1, 1, 0, 1 ), liefern jeweils das Syndrom s0 = (0, 0, 0), ergeben sich aber nur mit mindestens drei Bitfehlern und sind entsprechend unwahrscheinlich. 

*In den Zeilen 2 bis 6 beinhaltet der jeweilige Nebenklassenanführer eμ genau eine einzige Eins. Dementsprechend ist eμ stets das wahrscheinlichste Fehlermuster der Klasse Ψμ (μ = 1, ... , 5). Die &bdquo;Mitläufer” ergeben sich erst bei mindestens zwei Übertragungsfehlern. 

*Das Syndrom s6 = (1, 0, 1) ist mit nur einem Bitfehler nicht möglich. Bei der Erstellung obiger Tabelle wurden daraufhin alle &bdquo;5 über 2” = 10 Fehlermuster e mit Gewicht wH(e) = 2 betrachtet. Die zuerst gefundene Folge mit Syndrom s6 = (1, 0, 1) wurde als e6 = (1, 1, 0, 0, 0) ausgewählt. Bei anderer Probierreihenfolge hätte sich auch die Folge (0, 0, 1, 0, 1) aus Ψ6 ergeben können. 

*Ähnlich wurde bei der Bestimmung des Anführers e7 = (0, 1, 1, 0, 0) der Nebenklasse Ψ7 vorgegangen, die durch das einheitliche Syndrom s7 = (1, 1, 1) gekennzeichnet ist. Auch in der Klasse Ψ7 gibt es eine weitere Folge mit Hamming–Gewicht wH(e) = 2, nämlich (1, 0, 0, 0, 1). 

Die Beschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Verallgemeinerung der Syndromdecodierung (3) ==
 
Das Beispiel der letzten Seite wird fortgesetzt. Beachten Sie bitte bei der Tabelle, dass der Index μ nicht identisch ist mit dem Binärwert von sμ. Die Reihenfolge ergibt sich vielmehr durch die Anzahl der Einsen im Nebenklassenanführer eμ. So ergibt sich beispielsweise das Syndrom s5 zu (1, 1, 0) und das Syndrom s6 = (1, 0, 1). 

[[File:P ID2363 KC T 1 5 S3b v2.png|Beispielhafte (5, 2, 3)–Syndromtabelle mit Nebenklassen|class=fit]] 

Die obige Tabelle muss nur einmal erstellt und kann beliebig oft genutzt werden. Lautet beispielsweise der Empfangsvektor y = (0, 1, 0, 0, 1), so muss zunächst das Syndrom ermittelt werden:

:<math>\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T} = \begin{pmatrix}
0 &1 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 \\
0 &1 &1 \\
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 &1 &0
\end{pmatrix}= \underline{s}_2
\hspace{0.05cm}.</math>

Mit dem Nebenklassenanführer e2 = (0, 0, 0, 1, 0) aus obiger Tabelle (roter Eintrag für Index 2) gelangt man schließlich zum Decodierergebnis:

:<math>\underline{z} = \underline{y} + \underline{e}_2 = (0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1) + (0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0) = (0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1)
\hspace{0.05cm}.</math>

Aus dieser Kurzzusammenfassung geht schon hervor, dass die Syndromdecodierung mit einem enormen Aufwand verbunden ist, wenn man nicht wie bei zyklischen Codes gewisse Eigenschaften nutzen kann. Bei großen Blockcodelängen versagt diese Methode vollständig. So müsste man zur Decodierung eines BCH–Codes – die Abkürzung steht für deren Erfinder Bose, Chaudhuri und Hocquenghem – mit den Codeparametern n = 511, k = 259 und dmin = 61 genau 2511–259 ≈ 1076 Fehlermuster der Länge 511 auswerten und abspeichern. Für diese Codes und auch für andere Codes großer Blocklänge gibt es aber spezielle Decodieralgorithmen, die mit weniger Aufwand zum Erfolg führen.

== Codiergewinn – Bitfehlerrate bei AWGN ==
 
Wir betrachten nun die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Definition_der_Bitfehlerquote_.281.29 Bitfehlerrate] (englisch: Bit Error Rate, BER) für folgende Konstellationen:
*Hamming–Code (7, 4, 3), 

*AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch den Quotienten EB/N0 (in dB), 

*Maximum–Likelihood–Detektion (ML) mit Hard Decision bzw. Soft Decision. 

:[[File:P ID2364 KC T 1 5 S4 v2.png|Bitfehlerrate bei (7, 4, 3)–Hamming–Codierung|class=fit]] 

Zu dieser Grafik ist anzumerken:
*Die schwarze Vergleichskurve gilt beispielsweise für die binäre Phasenmodulation (BPSK) ohne Codierung. Hierfür benötigt man für die Bitfehlerrate 10–5 etwa 10 · lg EB/N0 ≈ 9.6 dB. 

*Die roten Kreise gelten für den (7, 4, 3)–Code und harte Entscheidungen des ML–Decoders (ML–HD). Die Syndromdecodierung ist hierfür eine mögliche Realisierungsform. 

*Diese Systemkonfiguration bringt erst für 10 · lg EB/N0 > 6 dB eine Verbesserung gegenüber dem Vergleichssystem. Für BER = 10–5 benötigt man nur noch 10 · lg EB/N0 ≈ 9.2 dB. 

*Die grünen Kreuze für den Hamming–Code mit [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal Soft–Decision] (ML–SD) liegen im gesamten Bereich unterhalb der Vergleichskurve. Für BER = 10–5 ergibt sich 10 · lg (EB/N0) ≈ 7.8 dB. 

{{Definition}}''':''' Als Codiergewinn einer Systemkonfiguration (gekennzeichnet durch seinen Code und die Art der Decodierung) bezeichnen wir das gegenüber dem Vergleichssystem (ohne Codierung) kleinere 10 · lg (EB/N0), das für eine vorgegebene Bitfehlerrate (BER) erforderlich ist:

:<math>G_{\rm Code} (\hspace{0.05cm}{\rm System}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm BER}\hspace{0.05cm}) =</math>

:<math> = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E}_{\rm B}/N_0
\hspace{0.15cm}(\hspace{0.05cm}{\rm ohne\hspace{0.1cm} Codierung}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm BER}\hspace{0.05cm})-
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E}_{\rm B}/N_0
\hspace{0.15cm}(\hspace{0.05cm}{\rm System}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm BER}\hspace{0.05cm})
\hspace{0.05cm}. </math>{{end}} 

Angewendet auf obige Grafik erhält man:

:<math>G_{\rm Code} (\hspace{0.05cm}{\rm Hamming \hspace{0.1cm}(7,\hspace{0.02cm}4,\hspace{0.02cm}3), ML-HD}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm BER} = 10^{-5}\hspace{0.05cm}) = 0.4\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},</math>

:<math>G_{\rm Code} (\hspace{0.05cm}{\rm Hamming \hspace{0.1cm}(7,\hspace{0.02cm}4,\hspace{0.02cm}3), ML-SD}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm BER} = 10^{-5}\hspace{0.05cm}) = 1.8\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.</math> 

== Decodierung beim Binary Erasure Channel (1) ==
 
Abschließend soll noch gezeigt werden, in wie weit der Decoder zu modifizieren ist, wenn anstelle des [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Modells] (Binary Symmetrie Channel) das [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC BEC–Kanalmodell] (Binary Erasure Channel) zum Einsatz kommt, der keine Fehler produziert, sondern unsichere Bit als Auslöschungen markiert. 

{{Beispiel}}''':''' [[File:P ID2537 KC T 1 5 S5.png|Zur Fehlerkorrektur bei BSC und BEC|rechts|rahmenlos]] Nebenstehende Grafik zeigt das Systemmodell und gibt beispielhafte Werte für die einzelnen Vektoren wider. Der linke Bildteil (blau hinterlegt) gilt für das BSC–Modell (ein Bitfehler 0 → 1) und der rechte (grün hinterlegt) für das BEC–Modell (zwei Erasures 1 → E).

 Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit betrachten wir wie im Beispiel auf Seite 3c dieses Kapitels wieder den systematischen (5, 2, 3)–Blockcode mit den vier Codeworten

:<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt:
*Bei BSC kann wegen dmin = 3 nur ein Bitfehler (t = 1) korrigiert werden (rot markiert). Beschränkt man sich auf Fehlererkennung, so funktioniert diese bis zu e = dmin – 1 = 2 Bitfehler. 

*Bei BEC macht Fehlererkennung keinen Sinn, denn bereits der Kanal lokalisiert ein unsicheres Bit als Erasure E (Auslöschung). Die Nullen und Einsen im BEC–Empfangswort y sind sicher. Deshalb funktioniert hier die Fehlerkorrektur bis zu e = 2 Auslöschungen mit Sicherheit. 

*Auch e = 3 Auslöschungen sind manchmal noch korrigierbar. So kann y = (E, E, E, 1, 1) zu z = (0, 1, 0, 1, 1) korrigiert werden, da kein zweites Codewort mit zwei Einsen endet. Dagegen ist y = (0, E, 0, E, E) aufgrund des im Code erlaubten Nullwortes nicht korrigierbar. 

*Wird sichergestellt, dass in keinem Empfangswort mehr als zwei Auslöschungen vorkommen, so ist die BEC–Blockfehlerwahrscheinlichkeit Pr(z ≠ x) = Pr(υ ≠ u) identisch 0. Dagegen ist die entsprechende Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim BSC–Modell stets größer als 0.{{end}} 

Da nach dem BEC ein jedes Empfangswort entweder richtig oder gar nicht decodiert wird, nennen wir hier den Block y → z zukünftig &bdquo;Codewortfinder”. Eine &bdquo;Schätzung” findet nur beim BSC–Modell statt. 

== Decodierung beim Binary Erasure Channel (2) ==
 
Wie funktioniert aber nun die Decodierung eines Empfangswortes y mit Auslöschungen algorithmisch? Ausgehend vom Empfangswort y = (0, E, 0, E, 1) des letzten Beispiels setzen wir den Ausgang des Codewortfinders formal zu z = (0, z2, 0, z4, 1), wobei die Symbole z2 und z4 (jeweils 0 oder 1) entsprechend der folgenden Gleichung zu bestimmen sind:

:<math>\underline{z} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}= \underline{0}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{z}^{\rm T}= \underline{0}^{\rm T} \hspace{0.05cm}.</math>

Es geht nun darum, diese Bestimmungsgleichung möglichst effizient umzusetzen. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten wieder den auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel_.281.29 letzten Seite] skizzierten Fall mit dem Empfangsvektor y = (0, E, 0, E, 1). Damit ergeben sich folgende Rechenschritte:
*Mit der Prüfmatrix H des (5, 2, 3)–Blockcodes und dem Vektor z = (0, z2, 0, z4, 1) lautet die obige Bestimmungsgleichung:

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{z}^{\rm T}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &0 &0\\
1 &1 &0 &1 &0\\
0 &1 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 \\
z_2 \\
0 \\
z_4 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Wir fassen die sicheren (korrekten) Bit zum Vektor zK zusammen und die ausgelöschten Bit zum Vektor zE. Dann teilen wir die Prüfmatrix H in die entsprechenden Teilmatrizen HK und HE auf:

::<math>\underline{z}_{\rm K} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K}=
\begin{pmatrix}
1 &1 &0\\
1 &0 &0\\
0 &0 &1
\end{pmatrix}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
{\rm Spalten\hspace{0.15cm} 1,\hspace{0.15cm}3 \hspace{0.15cm}und \hspace{0.15cm}5 \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Pr\ddot{u}fmatrix}
\hspace{0.05cm},</math>
::<math>\underline{z}_{\rm E} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (z_2, z_4)\hspace{0.05cm},\hspace{0.35cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E}=
\begin{pmatrix}
0 &0\\
1 &1\\
1 &0
\end{pmatrix}
\hspace{0.9cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
{\rm Spalten\hspace{0.15cm} 2 \hspace{0.15cm}und \hspace{0.15cm}4 \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Pr\ddot{u}fmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass in GF(2) die Subtraktion gleich der Addition ist, lässt sich die obige Gleichung wie folgt darstellen:

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}
+
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= \underline{0}^{\rm T}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}=
{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T} </math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix}
0 &0\\
1 &1\\
1 &0
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
z_2 \\
z_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 &1 &0\\
1 &0 &0\\
0 &0 &1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die beiden unbekannten z2 und z4 (jeweils 0 oder 1). Aus der letzten Zeile erhält man z2 = 1 und aus der zweiten Zeile folgt somit z2 + z4 = 0  ⇒  z4 = 1. Damit ergibt sich das zulässige Codewort z = (0, 1, 0, 1, 1).{{end}} 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.11 Syndromdecodierung|A1.11 Syndromdecodierung]]

[[Zusatzaufgaben:1.11 Nochmals Syndromdecodierung]]

[[Aufgaben:1.12 Hard / Soft Decision|A1.12 Hard / Soft Decision]]

[[Zusatzaufgaben:1.12 Vergleich (7, 4, 3) und (8, 4, 4)]]

[[Aufgaben:1.13 BEC–Decodierung|A1.13 BEC–Decodierung]]

[[Zusatzaufgaben:1.13 Nochmals BEC–Decodierung]]

{{Display}}

Channel Coding/General Description of Linear Block Codes

2017-01-23T19:25:11Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Beispiele binärer Blockcodes
|Nächste Seite=Decodierung linearer Blockcodes
}}

== Lineare Codes und zyklische Codes ==
 
Alle bisher behandelten Codes – Single Parity–check Code, Repetition Code und Hamming–Code – sind linear. Nun wird die für binäre Blockcodes gültige Definition von Linearität nachgereicht. 

{{Definition}}''':''' Ein linearer Blockcode C ist ein Satz von 2k Codeworten x = (x1, x2, ... , xn), wobei die (Modulo–2)–Summe zweier beliebiger Codeworte x und x' wiederum ein gültiges Codewort ergibt:

:<math>\underline{x}, \underline{x}\hspace{0.05cm}' \in {\rm GF}(2^n),\hspace{0.3cm} \underline{x}, \underline{x}\hspace{0.05cm}' \in \mathcal{C}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} + \underline{x}\hspace{0.05cm}' \in \mathcal{C}
\hspace{0.05cm}.</math>

Diese Bedingung muss auch für x = x' erfüllt sein.{{end}} 

Hinweis: Die Modulo–Addition wird nun nicht mehr durch das Modulo–Additionszeichen ausgedrückt, sondern mit dem herkömmlichen Pluszeichen. Diese Vereinfachung der Schreibweise wird für den Rest dieses Buches beibehalten. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten zwei (3, 2)–Blockcodes:

:<math>\mathcal{C}_1 = \{ (0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 1, 1) \hspace{0.05cm},(1, 0, 1) \hspace{0.05cm},(1, 1, 0) \}\hspace{0.05cm},</math>

:<math>\mathcal{C}_2 = \{ (0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 1, 1) \hspace{0.05cm},(1, 1, 0) \hspace{0.05cm},(1, 1, 1) \hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt:
*Der Code C1 ist linear, da die Modulo–2–Addition zweier beliebiger Codeworte stets auch ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel (0, 1, 1) + (1, 0, 1) = (1, 1, 0). 

*Die obige Definition gilt auch für die Modulo–2–Addition eines Codewortes mit sich selbst, zum Beispiel (0, 1, 1) + (0, 1, 1) = (0, 0, 0)   ⇒   Jeder lineare Code beinhaltet das Nullwort. 

*Obwohl die letzte Voraussetzung erfüllt wird, ist C2 kein linearer Code. Für diesen Code gilt nämlich beispielsweise: (0, 1, 1) + (1, 1, 0) = (1, 0, 1). Dies ist kein gültiges Codewort von C2.{{end}} 

Im Folgenden beschränken wir uns ausschließlich auf lineare Codes, da nichtlineare Codes für die Praxis von untergeordneter Bedeutung sind. 

{{Definition}}''':''' Ein linearer Blockcode C heißt zyklisch, wenn eine jede zyklische Verschiebung eines Codewortes x (nach links oder rechts) wieder ein gültiges Codewort ergibt:

:<math>\underline{x}= (x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_n) \in \mathcal{C}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x}\hspace{0.05cm}'= (x_n, x_1, ... \hspace{0.05cm}, x_{n-1}) \in \mathcal{C}
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

[[File:P ID2354 KC T 1 3 S3c.png|rahmenlos|rechts|Codetabelle des systematischen (7, 4, 3)–Hamming–Codes ]]

Man erkennt aus der Tabelle für den HC (7, 4, 3), dass dieser linear und zyklisch ist (schwarz: 4 Informationsbit, rot: n – k = 3 Prüfbit).

 Außerdem ergibt sich auch dann ein gültiges Codewort, wenn man alle Bit invertiert: 0 ↔ 1. Auch das 0–Wort (n mal eine &bdquo;0”) und das 1–Wort (n mal eine &bdquo;1”) sind bei diesem Code zulässig. 

== Codefestlegung durch die Prüfmatrix ==
 
Wir betrachten den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.282.29 (7, 4, 3)–Hamming–Code] mit Codeworten x der Länge n = 7, nämlich
[[File:P ID2355 KC T 1 3 S3.png|rahmenlos|rechts|(7, 4, 3)–Hamming–Code]]

*den k = 4 Informationsbits x1, x2, x3, x4 , und 

*den m = 3 Prüfbits x5, x6, x7. 

Die Paritätsgleichungen lauten somit:

:<math>x_1 + x_2 + x_3 + x_5 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_2 + x_3 + x_4 + x_6 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_1 + x_2 + x_4 + x_7 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm}. </math>

In der Matrixschreibweise lautet dieser Gleichungssatz:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{x}^{\rm T}= \underline{0}^{\rm T}
\hspace{0.05cm}. </math>

In dieser Gleichung werden verwendet:
*die Prüfmatrix H mit m = n – k = 3 Zeilen und n = 7 Spalten:

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &0 &1 & 0 & 0\\
0 &1 &1 &1 &0 & 1 & 0\\
1 &1 &0 &1 &0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},</math>

*das Codewort x = (x1, x2, ... , x7) der Länge n = 7, 

*das Nullvektor 0 = (0, 0, 0) der Länge m = 3. 

Durch Transponieren werden aus x und 0 die entsprechenden Spaltenvektoren xT und 0T. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID2356 KC T 1 4 S2.png|rahmenlos|rechts|(6, 3, 3)–Blockcode]]

Die Grafik illustriert die m = 3 Paritätsgleichungen eines Codes C mit den Codeparametern n = 6 und k = 3 in der Reihenfolge rot, grün und blau. Entsprechend H · xT = 0T lautet die Prüfmatrix:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix}
1 &1 &0 &1 &0 & 0\\
1 &0 &1 &0 &1 & 0\\
0 &1 &1 &0 &0 & 1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Die 2k = 8 Worte einer systematischen Realisierung dieses Codes lauten (mit den Prüfbits rechts vom kleinen Pfeil):

:<math>\underline{x}_0 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0_{\hspace{0.01cm} \rightarrow} 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 0, 1_{\hspace{0.01cm} \rightarrow}0, 1, 1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\underline{x}_2 = (0, 1, 0_{\hspace{0.01cm} \rightarrow}1, 0, 1)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{x}_3 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (0, 1, 1_{\hspace{0.01cm} \rightarrow}1, 1, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\underline{x}_4 = (1, 0, 0_{\hspace{0.01cm} \rightarrow} 1, 1, 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_5 = (1, 0, 1_{\hspace{0.01cm} \rightarrow}1, 0, 1)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{x}_6 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0_{\hspace{0.01cm} \rightarrow}0, 1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_7 = (1, 1, 1_{\hspace{0.01cm} \rightarrow}0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt aus diesen Angaben:
*Die Anzahl der Spalten von H ist gleich der Codelänge n. 

*Die Anzahl der Zeilen von H ist gleich der Anzahl m = n – k der Prüfgleichungen. 

*Aus H · xT = 0 folgt nicht, dass alle Codeworte eine gerade Anzahl von Einsen beinhalten.{{end}} 

== Codefestlegung durch die Generatormatrix ==
 
Die Prüfmatrix H eines (n, k)–Blockcodes C hat m = n – k Zeilen und n Spalten. Den gleichen Code kann man aber auch durch die Generatormatrix G mit ebenfalls n Spalten, aber k Zeilen beschreiben: 

{{Definition}}''':''' Ein linearer Blockcode C kann durch die Prüfmatrix H bzw. mit der Generatormatrix G wie folgt charakterisiert werden:

:<math>\mathcal{C} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n): \hspace{0.2cm}{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{x}^{\rm T}= \underline{0}^{\rm T} \}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\mathcal{C} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{u} \in {\rm GF}(2^k)
: \hspace{0.2cm}\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Bevor wir uns den Eigenschaften der Generatormatrix zuwenden, beschreiben wir an einem Beispiel die Erzeugung der Codeworte. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten einen linearen (5, 3)–Blockcode mit der Generatormatrix

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix}
1 &1 &0 &1 &1\\
0 &1 &0 &1 &0\\
0 &1 &1 &1 &0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\underline{g}_1\\
\underline{g}_2\\
\underline{g}_3\\
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Damit werden die Informationsworte u = (u1, u2, u3) den Codeworten x = (x1, x2, x3, x4, x5) gemäß der folgenden Tabelle mit 8 Einträgen zugeordnet. Es gilt x = u · G.

:<math>\underline{u}_0 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_1 = (0, 1, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm}\underline{g}_3\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 1, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_2 = (0, 1, 0, 1, 0)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{g}_2\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_3 = (0, 0, 1, 0, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{g}_2+\underline{g}_3\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1, 0, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{g}_1 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(1, 0, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_5 = (1, 0, 1, 0, 1)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{g}_1+\underline{g}_3\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_6 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1, 1, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_6 = (1, 0, 0, 0, 1)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{g}_1+\underline{g}_2\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1, 1, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_7 = (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{g}_1+ \underline{g}_2+\underline{g}_3\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Die hier zur Berechnung herangezogenen Basisvektoren g1, g2, g3 – jeweils mit der Länge n = 5 – entsprechen den k = 3 Zeilen der Generatormatrix G. Anzumerken ist ferner, dass dieser Code wegen dmin = 1 weder zur Fehlerkorrektur noch zur Fehlererkennung geeignet ist. Trotzdem wird er auch auf den nächsten Seiten beispielhaft weiter betrachtet. 

Hinweis: An dieser Stelle möchten wir Sie auf ein Interaktionsmodul zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung” aufmerksam machen, das die Bedeutung und Berechnung von Basisfunktionen vermittelt, wenn auch in völlig anderem Zusammenhang als in diesem Buch: 

[[Gram–Schmidt–Verfahren Please add link and do not upload flash files.]]

== Systematische Codes (1) ==
 
Die im Beispiel auf der letzten Seite verwendeten Vektoren g1, g2, ... , gk sind die [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Orthonormale_Basisfunktionen_.281.29 Basisvektoren] des linearen Blockcodes C. Der Code selbst kann als k–dimensionaler Untervektorraum von GF(2n) angesehen werden. Die Basisvektoren g1, g2, ... , gk sind linear unabhängig. 

Der Untervektorraum C wird aber nicht nur durch die Basisvektoren

:<math>\underline{g}_1 = (1, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
\underline{g}_2 = (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
\underline{g}_3 = (0, 1, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}</math>

aufgespannt, sondern andere Basisvektoren g'1, g'2 und g'3 sind ebenso geeignet, so lange zwischen diesen die lineare Unabhängigkeit gewährleistet ist. 

{{Beispiel}}''':''' Wir vergleichen die beiden Codes C und C ' mit den Generatormatrizen

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix}
\underline{g}_1\\
\underline{g}_2\\
\underline{g}_3\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &1 &1\\
0 &1 &0 &1 &0\\
0 &1 &1 &1 &0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G}\hspace{0.05cm}'} = \begin{pmatrix}
\underline{g}\hspace{0.05cm}'_1\\
\underline{g}\hspace{0.05cm}'_2\\
\underline{g}\hspace{0.05cm}'_3\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden Codes sind identisch: Sie beinhalten die genau gleichen Codeworte; es gilt nur eine andere Zuordnung. Bei dem Übergang von G auf G' wurden folgende erlaubte Operationen ausgeführt:

:<math>\underline{g}\hspace{0.05cm}'_1 = \underline{g}_1 + \underline{g}_2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
\underline{g}\hspace{0.05cm}'_2 = \underline{g}_2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
\underline{g}\hspace{0.05cm}'_3 = \underline{g}_2 + \underline{g}_3 \hspace{0.05cm}.</math>

Zum entsprechenden Code C ' kommt man mit der Gleichung x ' = u · G.

:<math>\underline{u}_0 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_0 =
(0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_1 =
(0, 0, 1, 0, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm}\underline{x}_3\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 1, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_2 =
(0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_2\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_3 =
(0, 1, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_1\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1, 0, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_4 =
(1, 0, 0, 0, 1)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_6 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}(1, 0, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_5 =
(1, 0, 1, 0, 1)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_5\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_6 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1, 1, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_6 =
(1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_4\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_7 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (1, 1, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_7 =
(1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_7\hspace{0.05cm}.</math>

Die Codeworte xi; beziehen sich auf die Generatormatrix G. Sie finden diese auf der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix letzten Seite.]{{end}} 

Diese Codetabelle macht nochmals deutlich:
*C und C ' beinhalten die genau gleichen Codeworte. Sie sind damit identische Codes und besitzen beide die gleiche Korrekturfähigkeit (siehe nächste Seite). 

*C ' ist aber nun ein systematischer Code, da die ersten k Binärstellen eines jeden Codewortes x' mit den Binärstellen des Informationswortes u übereinstimmen. 

== Systematische Codes (2) ==
 
Die Eigenschaft &bdquo;systematisch” soll nun noch in mathematischer Form angegeben werden. 

{{Definition}}''':''' Bei einem systematischen (n, k)–Blockcode Csys beinhaltet jedes Codewort x explizit das Informationswort u, das heißt es gilt

:<math>\underline{u} = (u_1, u_2, ... \hspace{0.05cm}, u_k) \hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm} =
(u_1, u_2, ... \hspace{0.05cm}, u_k, x_{k+1}, ... \hspace{0.05cm}, x_n)\hspace{0.05cm},</math>

und die Generatormatrix hat die spezifische Form

:<math>{ \boldsymbol{\rm G_{sys}}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)</math>

mit der k×k–Einheitsmatrix Ik und einer geeignet zu wählenden (n – k)×k–Matrix P.{{end}} 

Für das Beispiel auf der letzten Seite kann also auch geschrieben werden:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G_{sys}}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_3 \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm I_{3}}} = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.3cm}{\rm und}\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm P}} = \begin{pmatrix}
0 &1 \\
1 &0 \\
0 &0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Erfreulich aus Sicht der Kanalcodierung ist, dass für jeden Code C ein systematischer (identischer oder zumindest äquivalenter) Code Csys gefunden werden kann. 

Zum identischen Code (das heißt x und xsys haben die gleichen Codeworte, nur die Zuordnung u → x ist unterschiedlich) kommt man durch folgende Manipulationen bezüglich G:
*Vertauschen oder Permutieren der Zeilen, 

*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich 0, 

*Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen. 

Ein identischer systematischer Code kann immer dann gefunden werden, wenn zu einer Generatormatrix G eine Matrix A existiert, so dass Gsys = A · G gilt. Ist dies nicht möglich, so findet man zumindest durch Vertauschen oder Permutieren der Spalten von G einen äquivalenten systematischen Code:

:<math>\mathcal{C}_{\rm sys} = {\rm \pi} (\mathcal{C})\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\rm \pi}():\hspace{0.15cm}{\rm Permutationsoperator}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Codes C und Csys beinhalten dann zwar andere Codeworte, aber sie zeigen gleiche Eigenschaften. Beispielsweise weist Csys die gleiche minimale Hamming–Distanz dmin auf wie der Code C. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten die Generatormatrizen

:<math>{ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0 \\
0 &0 &1 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.3cm}{\rm und}\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm G_{sys}}} = \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &0 \\
0 &1 &0 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Gsys ergibt sich aus G durch Vertauschen der zweiten und dritten Spalte. Die zugehörigen Codes beinhalten unterschiedliche Codeworte und sind somit auch nicht identisch. Aber sie sind äquivalent: Es handelt sich in beiden Fällen um einen (4, 2, 2)–Blockcode   ⇒   dmin = 2:

:<math>\mathcal{C} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \{ (0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},(1, 1, 0, 0) \hspace{0.05cm},(1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>cal{C}_{\rm sys} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \{ (0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},(1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},(1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix (1) ==
 
Zur Definition dieser beiden Beschreibungsmatrizen gehen wir von folgenden Definitionsgleichungen aus:

:<math>\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline{x}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} \cdot \underline{u}^{\rm T} \hspace{0.05cm},</math>

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline{x}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm 0}}\hspace{0.05cm}.</math>

Verknüpft man diese zwei Gleichungen, so erhält man:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} \cdot \underline{u}^{\rm T} = \underline{0}\hspace{0.5cm}
\forall \hspace{0.15cm}\underline{u} \in {\rm GF}(2^k)\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm 0}} \hspace{0.05cm}.</math>

Anzumerken ist, dass in diesen Gleichungen 0 einen Zeilenvektor mit k Elementen bezeichnet und 0 eine Matrix mit m Zeilen und k Spalten. Alle Elemente von 0 und 0 sind identisch 0. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten wie im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix Beispiel] auf der dritten Seite dieses Kapitels den (5, 3)–Blockcode

:<math>\mathcal{C} = \{ \hspace{0.35cm} ( \hspace{0.05cm} 0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}( \hspace{0.05cm} 0, 1, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}( \hspace{0.05cm}0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}( \hspace{0.05cm}0, 0, 1, 0, 0) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}( \hspace{0.05cm} 1, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}( \hspace{0.05cm}1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}( \hspace{0.05cm}1, 0, 0, 0, 1) \hspace{0.05cm},</math>
::<math> \hspace{0.8cm}(\hspace{0.05cm}1, 1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>

Aus n = 5 und k = 3 folgt für die Anzahl der Prüfgleichungen m = 2. Durch Analyse der möglichen Codeworte erhält man folgende Ergebnisse:

:<math>x_1 \oplus x_5 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_2 \oplus x_4 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &1 &0
\end{pmatrix}</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} =
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &1 &0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
1 &1 &1 \\
0 &0 &1 \\
1 &1 &1 \\
1 &0 &0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &0 &0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Die Nullmatrix besteht hier aus m = 2 Zeilen und k = 3 Spalten. Beispielsweise gilt für das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte:

:<math>1 \cdot 1 \hspace{0.05cm}\oplus \hspace{0.05cm}
0 \cdot 1 \hspace{0.05cm}\oplus \hspace{0.05cm}
0 \cdot 0 \hspace{0.05cm}\oplus \hspace{0.05cm}
0 \cdot 1 \hspace{0.05cm}\oplus \hspace{0.05cm}
1 \cdot 1 = 0
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Im allgemeinen Fall können H und G nicht direkt ineinander umgerechnet werden, schon allein aufgrund der unterschiedlichen Dimensionen von Prüfmatrix (m x n) und Generatormatrix (k x n). 

== Zusammenhang zwischen Generator– und Prüfmatrix (2) ==
 
Der Rechengang vereinfacht sich, wenn die k&timesn–Generatormatrix in systematischer Form vorliegt:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G_{sys}}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)\hspace{0.05cm}.</math>

Dann folgt aus H · GT = 0 für die m&timesn–Prüfmatrix mit m = n – k:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =\left(-{ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_m \right)
= \left [ \left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_m \right)\right ]_{{\rm bin\ddot{a}r}} \hspace{0.05cm}.</math>

Die erste der beiden Gleichungen gilt allgemein. Da wir uns im gesamten Kapitel 1 auf binäre Codes beschränken ⇒ C  ∈  GF(2n), gilt –P = +P, und man erhält die Form, die wir im Weiteren verwenden. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten weiterhin den beispielhaften (5, 3)–Blockcode, gehen aber nun von der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes_.282.29 systematischen Generatormatrix] Gsys aus:

:<math>{ \boldsymbol{\rm G_{sys}}} = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &0
\end{pmatrix} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_3 \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)</math>

:<math>\Rightarrow
\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm I_3}}= \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0\\
0 &0 &1
\end{pmatrix},
\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm P}}= \begin{pmatrix}
0 &1 \\
1 &0\\
0 &0
\end{pmatrix}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
{ \boldsymbol{\rm P}^{\rm T}} = \begin{pmatrix}
0 &1 &0\\
1 &0 &0
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>

Damit erhält man für die Prüfmatrix

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_2 \right)
= \begin{pmatrix}
0 &1 &0 &1 &0\\
1 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm},</math>

und es ergibt sich folgende Codetabelle:

:<math>\underline{u}_0 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 0)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_0 =
(0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}\underline{u}_4 = (1, 0, 0)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_4 =
(1, 0, 0, 0, 1) \hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_1 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 0, 1)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_1 =
(0, 0, 1, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}\underline{u}_5 =(1, 0, 1)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_5 =
(1, 0, 1, 0, 1)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 1, 0)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_2 =
(0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}\underline{u}_6 =(1, 1, 0)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_6 =
(1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{u}_3 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (0, 1, 1)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_3 =
(0, 1, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}\underline{u}_7 = (1, 1, 1)\hspace{0.2cm} \rightarrow\hspace{0.2cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}_7 =
(1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm}.</math>

Zusammen mit dem Vektor x = (u1, u2, u3, p1, p2) = (x1, x2, x3, x4, x5) lauten dann die Prüfbits

:<math>p_1 = u_2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_2 = u_1 \hspace{0.05cm},</math>

und die entsprechenden Prüfgleichungen des Decoders:

:<math>x_2 + x_4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_1 + x_5 = 0 \hspace{0.05cm}.</math>

Man erkennt aus diesen Gleichungen und auch aus obiger Codetabelle, dass dieser Code gegenüber einem Übertragungsfehler hinsichtlich des dritten Bits (x3 = u3) keinen Schutz bieten. Damit ist natürlich weder eine Fehlererkennung und noch weniger Fehlerkorrektur möglich. Gleiches gilt aber auch für den nichtsystematischen Code auf der letzten Seite.{{end}} 

== Darstellung von SPC und RC als duale Codes ==
 
Nun sollen für die bereits in [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Kapitel 1.3] behandelten Codes noch jeweils die Generatormatrix G und die Prüfmatrix H angegeben werden. Die Codelänge sei für die folgenden Beispiele stets n = 5, doch lassen sich die Ergebnisse auch für andere Codelängen in gleicher Weise interpretieren. Es gilt für
*den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single–Parity–check Code] ⇒ SPC (5, 4):

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}}
= \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 &1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm G}}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &0 &1\\
0 &0 &1 &0 &1\\
0 &0 &0 &1 &1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

*den [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Wiederholungscode] (Repetition Code) ⇒ RC (5,1):

::<math>{ \boldsymbol{\rm G}}
= \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 &1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}
= \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &0 &1\\
0 &0 &1 &0 &1\\
0 &0 &0 &1 &1
\end{pmatrix}
\hspace{0.05cm}.</math>

Die jeweils erste Gleichung lässt sich einfach aus der jeweiligen Definition herleiten und die abgeleitete Gleichung folgt aus der Beziehung H · GT = 0. Aus den obigen Matrizen kann verallgemeinert werden:
*Die Generatormatrix des RC (5, 1) ist identisch mit der Prüfmatrix des SPC (5, 4). Es handelt sich jeweils um (5, 1)–Matrizen. 

*Die Prüfmatrix des RC (5, 1) ist identisch mit der Generatormatrix des SPC (5, 4). Die beiden Matrizen haben jeweils 5 Spalten und 4 Zeilen. 

*Dieser Sachverhalt ergibt sich, weil es sich bei den hier betrachteten Beispielen um duale Codes handelt. Zur Erklärung benötigen wir noch zwei Definitionen: 

{{Definition}} '''1:''' Zwei lineare Codes C und C ', beide aus GF(2n), sind orthogonal, wenn alle Codeworte x ∈ C zu allen Codeworten x' ∈ C ' orthogonal sind. Man bezeichnet C und C ' als duale Codes.{{end}} 

{{Definition}} '''2:''' Zwei Codeworte x ∈ GF(2n) und x' ∈ GF(2n) sind immer dann zueinander orthogonal, wenn das innere Produkt verschwindet:

::<math>\left \langle \underline{x} \cdot \underline{x}' \right \rangle = \sum_{i=1 }^{n} x_i \cdot x_i' = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
\left \langle \underline{x} \cdot \underline{x}' \right \rangle \in {\rm GF}(2^n)
\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Wegen der Produktbildung in GF(2n) sind auch folgende Codewort–Paare zueinander orthogonal:

:<math>\left \langle \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} (1, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm} \right \rangle = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
\left \langle \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} (0, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm}\right \rangle = 0\hspace{0.05cm}.</math>

Der Code C spannt einen k–dimensionalen Untervektorraum in GF(2n) auf. Der Untervektorraum des dualen Codes C ' ist zu diesem orthogonal und weist die Dimension n – k auf. Damit gilt:

:<math>{\rm dim} \{ \mathcal{C} \} + {\rm dim} \{ \mathcal{C}' \} = n\hspace{0.05cm}.</math> 

== Einige Eigenschaften des (7, 4, 3)–Hamming–Codes ==
 
Fassen wir die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels am Beispiel des systematischen Hamming–Codes nochmals zusammen, der bereits im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.282.29 Kapitel 1.3] ausführlich beschrieben wurde. Dieser (7, 4, 3)–Code ist gekennzeichnet durch
*die Anzahl der Prüfgleichungen: m = 3, 

*die Codelänge: n = 2m – 1 = 7, 

*die Informationswortlänge: k = n – m = 4, 

*die Anzahl der Codeworte (Dimension): 2k = 16, 

*die Rate R = k/n = 4/7, 

*die minimale Distanz dmin = 3 (unabhängig von m, n und k). 
:
[[File:P ID2359 KC T 1 4 S7.png|Codeworte des (7, 4, 3)–Hamming–Codes|class=fit]] 

In der obigen Tabelle sind die 2k = 16 Codeworte angegeben (Informationsbit schwarz, Prüfbit rot). Man erkennt daraus, dass
*der Code sowohl das 0–Wort (0000000) als auch das 1–Wort (1111111) beinhaltet,

*es sieben Codeworte gibt, die sich aus (0001011) jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben (alle gelb hinterlegt),

*es sieben Codeworte gibt, die sich aus (0011101) jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben (alle grün hinterlegt),

*zu jedem Codewort auch das &bdquo;negierte” Codewort existiert, zum Beispiel neben (0001011) auch das Codewort (1110100),

*die Prüfmatrix wie folgt geschrieben werden kann:

::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &0 &1 &0 &0\\
0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\
1 &1 &0 &1 &0 &0 &1
\end{pmatrix}=\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_3 \right)</math>

::<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} = \begin{pmatrix}
1 &1 &1 &0 \\
0 &1 &1 &1 \\
1 &1 &0 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \boldsymbol{\rm I}}_3
= \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},</math>

*dementsprechend für die Generatormatrix gilt:

::<math>{ \boldsymbol{\rm G}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_4 \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)
= \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\
0 &1 &0 &0 &1 &1 &1\\
0 &0 &1 &0 &1 &1 &0\\
0 &0 &0 &1 &0 &1 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math> 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.7 H und G des (7, 4)–Hamming–Codes|A1.7 H und G des (7, 4)–Hamming–Codes]]

[[Zusatzaufgaben:1.7 Klassifizierung von Blockcodes]]

[[Aufgaben:1.8 Identische Codes|A1.8 Identische Codes]]

[[Zusatzaufgaben:1.8 Äquivalente Codes]]

[[Aufgaben:1.9 Erweiterter Hamming–Code|A1.9 Erweiterter Hamming–Code]]

[[Zusatzaufgaben:1.9 Erweiterung – Punktierung]]

[[Aufgaben:1.10 Einige Generatormatrizen|A1.10 Einige Generatormatrizen]]

{{Display}}

Channel Coding/Examples of Binary Block Codes

2017-01-23T19:16:27Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen
|Nächste Seite=Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes
}}

== Single Parity–check Codes (1) ==
 
Der Single Parity–check Code (SPC) fügt zu dem Informationsblock u = (u1, u2, ... , uk) ein Prüfbit (englisch: Parity) p hinzu:

:<math>\underline{u} = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} , u_k) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
\underline{x} = (x_1, x_2,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} , x_n) = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} , u_k, p)
\hspace{0.05cm}.</math>

Die Grafik zeigt drei Beispiele solcher Codes mit |C| = 4 (k = 2), |C| = 8 (k = 3) und |C| = 16 (k = 4). 

[[File:P ID2346 KC T 1 3 S1 v2.png|Single Parity–check Code (n = k + 1)|class=fit]] 

Dieser sehr einfache Code ist wie folgt charakterisiert:
*Aus n = k + 1 folgt für die Coderate R = k/n = (n – 1)/n und für die Redundanz 1 – R = 1/n. Für k = 2 ergibt sich zum Beispiel die Coderate 2/3 und die relative Redundanz beträgt 33.3%.

*Das Prüfbit erhält man durch die Modulo–2–Addition. Darunter versteht man die Addition im Galoisfeld zur Basis 2  ⇒  GF(2), sodass 1&oplus;1 = 0 ergibt:

::<math>p = u_1 \oplus u_2 \oplus ... \hspace{0.05cm} \oplus u_k
\hspace{0.05cm}.</math>

*Damit enthält jedes gültige Codewort x eine gerade Anzahl von Einsen. Ausgedrückt mit &oplus; bzw. in vereinfachter Schreibweise entsprechend der zweiten Gleichung lautet diese Bedingung:

::<math> x_1 \oplus x_2 \oplus ... \hspace{0.05cm} \oplus x_n = 0
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm oder:}\hspace{0.15cm}
\sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} x_i = 0\hspace{0.05cm}
, \hspace{0.3cm} {\rm Addition\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} GF(2)}
\hspace{0.05cm}. </math>

*Für k = 2 ⇒ n = 3 ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei in der ersten Zeile das Prüfbit jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist:

::<math>\underline{x}_0 = (0, 0_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 1_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline{x}_2 = (1, 0 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_3 = (1, 1 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)</math>

*Es handelt sich um einen linearen Code, da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel x1 &oplus; x2 = x3. 

*Für beliebiges k  ⇒  n = k + 1 unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen. Bei diesem Code ist die minimale Distanz dmin = 2. 

Mit der allgemeinen Codebezeichnung (n, k, dmin) lässt sich jeder Single Parity–check Code auch mit (n, n – 1, 2) benennen. Die Grafik zeigt den SPC (3, 2, 2), den SPC (4, 3, 2) und den SPC (5, 4, 2).

{{Definition}}''':''' Jeder Single Parity–check Code (SPC) lässt sich formal wie folgt beschreiben:

:<math>\mathcal{C} = \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}{\rm mit \hspace{0.15cm}geradzahliger\hspace{0.15cm} Anzahl\hspace{0.15cm} von\hspace{0.15cm} Einsen\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm}} \underline{x} \}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

== Single Parity–check Codes (2) ==
 
Der digitale Kanal ändert möglicherweise das Codewort x = (x1, x2, ... , xn) in das Empfangswort y = (y1, y2, ... , yn), wobei mit dem Fehlervektor e = (e1, e2, ... , en) gilt: y = x &oplus; e. Zur Decodierung des Single Parity–check Codes bildet man das sogenannte Syndrom:

:<math>s = y_1 \oplus y_2 \oplus ... \hspace{0.05cm} \oplus y_n = \sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} y_i \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1 \}
\hspace{0.05cm}.</math>

Das Ergebnis &bdquo;s = 1” weist dann auf (mindestens) einen Bitfehler innerhalb des Codewortes hin, während &bdquo;s = 0” wie folgt zu interpretieren ist:
*Die Übertragung war fehlerfrei, oder: 

*Die Anzahl der Bitfehler ist geradzahlig. 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten den SPC (4, 3, 2) und gehen davon aus, dass das Nullwort gesendet wurde. Die Tabelle zeigt alle Möglichkeiten, dass f Bit verfälscht werden und gibt das jeweilige Syndrom s (entweder 0 oder 1) an. 

[[File:P ID2382 KC T 1 3 S1c.png|Mögliche Empfangswerte beim SPC (4, 3, 2) |class=fit]] 

Für das BSC–Modell mit ε = 1% ergeben sich dann folgende Wahrscheinlichkeiten:
*Das Informationswort wird richtig decodiert (blaue Hinterlegung):

::<math>{\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) = {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \varepsilon)^n = 0.99^4 \approx 96\,\%\hspace{0.05cm}.</math>

*Der Decoder erkennt, dass Übertragungsfehler aufgetreten sind (grüne Hinterlegung):

::<math>{\rm Pr}(s=1) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{f=1 \atop f \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} }^{n} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} = </math>
::<math>\hspace{1.8cm} = \hspace{-0.1cm} {4 \choose 1} \cdot 0.01 \cdot 0.99^3 + {4 \choose 3} \cdot 0.01^3 \cdot 0.99 \approx 3.9\,\%\hspace{0.05cm}.</math>

*Das Informationswort wird falsch decodiert (rote Hinterlegung):

::<math>{\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{f=2 \atop f \hspace{0.1cm}{\rm gerade} }^{n} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} = </math>
::<math>\hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) - {\rm Pr}(s=1)\approx 0.1\,\%\hspace{0.05cm}.</math>

Wir verweisen hier auf das Modul [[Ereigniswahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung. Please add link and do not upload flash videos.]]{{end}} 

In der Aufgabe A1.5 werden die hier gewonnenen Ergebnisse noch ausführlich diskutiert. 

== Single Parity–check Codes (3) ==
 
Eine Fehlerkorrektur des Single Parity–check Codes ist beim BSC–Modell nicht möglich im Unterschied zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC BEC–Kanal] (Binary Erasure Channel). Bei diesem werden Bitfehler ausgeschlossen. Ist nur ein Bit ausgelöscht (englisch: Erasure, E), so ist aufgrund der Tatsache &bdquo;die Anzahl der Einsen im Codewort ist gerade” auch eine Fehlerkorrektur möglich, zum Beispiel für den SPC (5, 4):

:<math>\underline{y} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (1, 0, {\rm E}, 1, 1) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} = (1, 0, 1, 1, 1)
\hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}
\underline{v} = (1, 0, 1, 1) = \underline{u}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{y} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (0, 1, 1, {\rm E}, 0) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} = (0, 1, 1, 0, 0)
\hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}
\underline{v} = (0, 1, 1, 0) = \underline{u}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\underline{y} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, {\rm E}) \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} = (0, 1, 0, 1, 0)
\hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}
\underline{v} = (0, 1, 0, 1) = \underline{u}\hspace{0.05cm}.</math>

Auch beim [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal] ist Fehlerkorrektur möglich, wenn man Soft Decision anwendet. Für das Folgende gehen wir von bipolarer Signalisierung aus: x = 0 → x̃ = +1,    x = 1 → x̃ = –1. 

[[File:P ID2387 KC T 1 3 S1d v2.png|Zur Verdeutlichung von Soft Decision bei AWGN|class=fit]] 

Die Grafik verdeutlicht den hier dargelegten Sachverhalt:
*Beispielsweise lautet der Empfangsvektor (rote Punkte):

::<math>\underline{y} = (+0.8, -1.2, -0.1, +0.5, -0.6) \hspace{0.05cm}.</math>

*Bei harter Entscheidung (Schwelle G = 0, nur die Vorzeichen werden ausgewertet) würde man zu folgendem binären Ergebnis kommen (grüne Quadrate Yi = yi / |yi|):

::<math>\underline{Y} = (+1, -1, -1, +1, -1) \hspace{0.05cm}.</math>

*In Symbolschreibweise ergibt sich daraus (0, 1, 1, 0, 1), was kein gültiges Codewort ist  ⇒  Syndrom s = 1. Also müssen ein, drei oder fünf Bit verfälscht worden sein. 

*Die Wahrscheinlichkeit für drei oder fünf Bitfehler ist allerdings um Größenordnungen kleiner als diejenige für einen einzigen Fehler. Die Annahme &bdquo;ein Bitfehler” ist deshalb nicht abwegig. 

*Da der Empfangswert y3 sehr nahe an der Schwelle G = 0 liegt, geht man davon aus, dass genau dieses Bit verfälscht wurde. Damit fällt bei Soft Decision die Entscheidung für z = (0, 1, 0, 0, 1)  ⇒  υ = (0, 1, 0, 0). Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit Pr(υ ≠ u) ist so am geringsten. 

== Wiederholungscodes (1) ==
 
{{Definition}}''':''' Man bezeichnet einen linearen binären (n, k)–Blockcode

:<math>\mathcal{C} = \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n): x_i = x_j \hspace{0.15cm}{\rm f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}alle\hspace{0.25cm}} i, j = 1, ... \hspace{0.1cm}, n \}</math>

als Wiederholungscode (englisch: Repetition Code, RC) der Länge n. Es gilt also stets k = 1. Entsprechend existieren nur zwei Codeworte (0, 0, ... , 0) und (1, 1, ... , 1), die sich in n Binärstellen unterscheiden. Daraus folgt für die minimale Distanz dmin = n.{{end}} 

Ein solcher (n, 1, n)–Blockcode besitzt nur die sehr kleine Coderate R = 1/n, ist aber auch sehr robust. Insbesondere beim BEC–Kanal genügt ein einziges richtig übertragenes Bit an beliebiger Position (alle anderen Bit können ausgelöscht sein), um das Informationswort richtig zu decodieren. 

[[File:P ID2347 KC T 1 3 S2 v2.png|Wiederholungscode (Repetition Code)|class=fit]] 

Betrachten wir zunächst die Decodierung und Fehlerwahrscheinlichkeiten beim BSC–Kanal. 

{{Beispiel}}''':''' Es gelte der [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC BSC–Kanal] mit ε = 10%. Die Decodierung basiere auf dem Majoritätsprinzip. Bei ungeradem n können e = n – 1 Fehler erkannt und t = (n – 1)/2 Bitfehler korrigiert werden. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der korrekten Decodierung der Informationsbits u:

:<math>{\rm Pr}(v = u) = \sum_{f=0 }^{(n-1)/2} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} \hspace{0.05cm}.</math>

Die nachfolgenden Zahlenwerte gelten für n = 5. Das heißt: Es sind t = 2 Bitfehler korrigierbar:

:<math>{\rm Pr}(v = u) = (1 - \varepsilon)^5 + 5 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^4 + 10 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon)^3 \approx 99.15\,\%</math>

:<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(v \ne u) = 1- {\rm Pr}(v = u) \approx 0.85\,\%\hspace{0.05cm}.</math>

Bei geradem n können dagegen nur n/2 – 1 Fehler korrigiert werden. Erhöht man n von 5 auf 6, so sind weiterhin auch nur zwei Bitfehler innerhalb eines Codewortes korrigierbar. Einen dritten Bitfehler kann man zwar nicht korrigieren, aber zumindest erkennen:

:<math>{\rm Pr}({\rm nicht\hspace{0.15cm} korrigierbarer\hspace{0.15cm} Fehler})
= {6 \choose 3} \cdot \varepsilon^{3} \cdot (1 - \varepsilon)^{3}= 20 \cdot 0.1^{3} \cdot 0.9^{3}\approx
1.46\,\%\hspace{0.05cm}. </math>

Ein (unerkannter) Decodierfehler (υ ≠ u) ergibt sich erst, wenn innerhalb des 6 Bit–Wortes vier oder mehr Bit verfälscht wurden. Als Näherung unter der Annahme, dass fünf oder sechs Bitfehler sehr viel unwahrscheinlicher sind als vier, gilt:

:<math>{\rm Pr}(v \ne u) \approx {6 \choose 4} \cdot \varepsilon^{4} \cdot (1 - \varepsilon)^{2}=
0.122\,\%\hspace{0.05cm}.</math>

Interessant ist, dass beim RC(6, 1, 6) die Wahrscheinlichkeit Pr(υ = u) für eine mögliche und richtige Decodierung mit 98.42% kleiner ist als beim RC(5, 1, 5).{{end}} 

== Wiederholungscodes (2) ==
 
Nun interessieren wir uns für die Leistungsfähigkeit des Wiederholungscodes beim [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanal.] Bei uncodierter Übertragung (oder dem Wiederholungscode mit n = 1) ist der Empfangswert y = x̃ + η, wobei x̃ ∈ {+1, –1} das Informationsbit bei bipolarer Signalisierung bezeichnet und η den Rauschterm. Um Verwechslungen mit dem Codeparameter n zu vermeiden, wurde das Rauschen umbenannt: n → η. 

Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit dem [[komplementären Gaußschen Fehlerintegral Please add link and do not upload flash videos.]] Q(x)

:<math>{\rm Pr}(v \ne u) = {\rm Q}(\sqrt{\rho})
\hspace{0.05cm},</math>

wobei folgende physikalische Größen zu verwenden sind:
*das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis ρ = 1/σ2 = 2 ES/N0, 

*die Energie ES pro Codesymbol  ⇒  Symbolenergie, 

*die normierte Streuung σ des Rauschens, gültig für das Nutzsignal x̃ ∈ {+1, –1}, und 

*die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte N0 des AWGN–Rauschens. 

Bei einem (n, 1, n)–Wiederholungscode ergibt sich dagegen für den Eingangswert des ML–Decoders y ' = x̃ ' + η ' mit folgenden Eigenschaften:

:<math>\tilde{x} \hspace{0.04cm}' \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i=1 }^{n} \tilde{x}_i \in \{ +n, -n \}\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}
n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Amplitude}
\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}n^2{\rm -fache \hspace{0.15cm}Leistung}\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\eta\hspace{0.04cm}' \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i=1 }^{n} \eta_i\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}
n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Varianz:\hspace{0.15cm}} \sigma^2 \rightarrow n \cdot \sigma^2\hspace{0.05cm},</math>
:<math>\rho\hspace{0.04cm}' \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{n^2}{n \cdot \sigma^2} = n \cdot \rho
\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(v \ne u) = {\rm Q}(\sqrt{n \cdot \frac{2E_{\rm S}}{N_0}})\hspace{0.05cm}.</math>

Die linke Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeit in doppelt logarithmischer Darstellung. Als Abszisse ist 10 · lg (ES/N0) aufgetragen. Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite. 

[[File:P ID2348 KC T 1 3 S2b v2.png|Fehlerwahrscheinlichkeit des Wiederholungscodes beim AWGN–Kanal|class=fit]] 

== Wiederholungscodes (3) ==
 
Es folgt nun die Interpretation der angegebenen Grafiken. 

[[File:P ID2349 KC T 1 3 S2b v2.png|Fehlerwahrscheinlichkeit des Wiederholungscodes beim AWGN–Kanal|class=fit]] 

Die linke Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
*Trägt man die Fehlerwahrscheinlichkeit über der Abszisse 10 · lg (ES/N0) auf, so ergibt sich durch n–fache Wiederholung gegenüber uncodierter Übertragung (n = 1) eine signifikante Verbesserung. 

*Die Kurve für den Wiederholungsfaktor n erhält man durch Linksverschiebung um 10 · lg n (in dB) gegenüber der Vergleichskurve. Der Gewinn beträgt 4.77 dB (n = 3) bzw. ca. 7 dB (n = 5). 

*Allerdings ist ein Vergleich bei konstantem ES nicht fair, da man mit einem (5, 1) Repetition Code für die Übertragung eines Informationsbits eine um den Faktor n größere Energie aufwendet:

::<math>E_{\rm B} = \frac{E_{\rm S}}{R} = n \cdot E_{\rm S}
\hspace{0.05cm}.</math>

Aus der rechten Grafik erkennt man, dass alle Kurven genau übereinander liegen, wenn auf der Abszisse 10 · lg (EB/N0) aufgetragen wird. Daraus folgt: 

'''Zusammenfassung der Ergebnisse für den Wiederholungscode bei AWGN'''
*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist bei fairem Vergleich unabhängig vom Wiederholungsfaktor n:

::<math>{\rm Pr}(v \ne u) = {\rm Q}\left (\sqrt{\frac{2E_{\rm B}}{N_0}} \right )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Beim AWGN–Kanal ist durch einen Wiederholungscode kein [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN Codiergewinn] zu erzielen. 

== Hamming–Codes (1) ==
 
Richard Wesley Hamming hat 1962 eine Klasse binärer Blockcodes angegeben, die sich durch die Anzahl m = 2, 3, ... der zugesetzten Parity Bits unterscheiden. Für diese Codeklasse gilt:
*Die Codelänge ergibt sich zu n = 2m – 1. Möglich sind demzufolge beim Hamming–Code nur die Längen n = 3, n = 7, n = 15, n = 31, n = 63, n = 127, n = 255, usw. 

*Ein Informationswort besteht aus k = n – m Bit. Die Coderate ist somit gleich

::<math>R = \frac{k}{n} = \frac{2^m - 1 - m}{2^m - 1} \in \{1/3, \hspace{0.1cm}4/7,\hspace{0.1cm}11/15,\hspace{0.1cm}26/31,\hspace{0.1cm}57/63,
\hspace{0.1cm}120/127,\hspace{0.1cm}247/255, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}
\}\hspace{0.05cm}.</math>

*Alle Hamming–Codes weisen die minimale Distanz dmin = 3 auf. Bei größerer Codelänge n erreicht man die minimale Distanz 3 schon mit weniger Redundanz, also bei größerer Coderate R. 

*Aus der Angabe dmin = 3 folgt weiter, dass hier e = dmin – 1 = 2 Fehler erkannt werden können und t = (dmin – 1)/2 = 1 Fehler korrigiert werden kann. 

*Der Hamming–Code (3, 1, 3) ist identisch mit dem Wiederholungscode (3, 1, 3):

::<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}. </math>

*Bei systematischer Codierung sind die ersten k Stellen eines jeden Codewortes identisch mit dem Informationswort. Anschließend folgen bei einem Hamming–Code die m = n – k Paritätsbit:

::<math>\underline{x} = ( x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_n) = ( u_1, u_2, ... \hspace{0.05cm}, u_k, p_1, p_2, ... \hspace{0.05cm}, p_{n-k})
\hspace{0.05cm}.</math>

Im Folgenden betrachten wir stets den (7, 4, 3)–Hamming–Code, der durch das folgende Schaubild verdeutlicht wird. Daraus lassen sich die drei Bedingungen ableiten:

[[File:P ID2353 KC T 1 3 S3 v2.png|rahmenlos|rechts|Verdeutlichung des (7, 4, 3)–Hamming–Codes ]]
:<math>x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_5 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_6 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>x_1 \oplus x_2 \oplus x_4 \oplus x_7 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm}. </math>

Im Schaubild kennzeichnet der rote Kreis die erste Prüfgleichung, der grüne die zweite und der blaue die letzte. In jedem Kreis muss die Anzahl der Einsen geradzahlig sein. 

== Hamming–Codes (2) ==
 
[[File:P ID2350 KC T 1 3 S3b v2.png|rahmenlos|rechts|Systematischer (7, 4, 3)–Hamming–Code]]

Bei systematischer Codierung des (7, 4, 3)–Hamming–Codes

:<math>x_1 \hspace{-0.2cm} = \hspace{-0.2cm} u_1 ,\hspace{0.2cm}
x_2 = u_2 ,\hspace{0.2cm}
x_3 = u_3 ,\hspace{0.2cm}
x_4 = u_4 ,\hspace{0.2cm}</math>
:<math>x_5 \hspace{-0.2cm} = \hspace{-0.2cm} p_1 ,\hspace{0.2cm}
x_6 = p_2 ,\hspace{0.2cm}
x_7 = p_3 </math>

lauten die Bestimmungsgleichungen der drei Prüfbit, wie aus dem Schaubild rechts hervorgeht:

:<math>p_1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_2 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \hspace{0.05cm},</math>
:<math>p_3 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \hspace{0.05cm}.</math>

 Die nachfolgende Tabelle zeigt die 2k = 16 zulässigen Codeworte x = (u1, u2, u3, u4, p1, p2, p3) des systematischen (7, 4, 3)–Codes. Das Informationswort u = (u1, u2, u3, u4) ist schwarz dargestellt und die Prüfbits p1, p2, p3 rot. Man erkennt anhand dieser Tabelle, dass sich jeweils zwei der 16 möglichen Codeworte in mindestens dmin = 3 Binärwerten unterscheiden. 

[[File:P ID2351 KC T 1 3 S3c v2.png|Zuordnung u → x des systematischen (7, 4, 3)–Hamming–Codes|class=fit]] 

Die Decodierung linearer Blockcodes wird im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.5] ausführlich behandelt. Das nun folgende Beispiel soll die Decodierung des Hamming–Codes eher intuitiv erklären. 

{{Beispiel}}''':''' Wir gehen vom systematischen (7, 4, 3)–Code aus und betrachten das Empfangswort y = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7). Zur Decodierung bilden wir die drei Paritätsgleichungen

:<math> y_1 \oplus y_2 \oplus y_3 \oplus y_5 \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm (I)} </math>
:<math>y_2 \oplus y_3 \oplus y_4 \oplus y_6 \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm}0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm (II)} </math>
:<math>y_1 \oplus y_2 \oplus y_4 \oplus y_7 \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0\hspace{0.05cm}. \hspace{0.5cm}{\rm (III)}</math>

Unter der Voraussetzung, dass in jedem Codewort höchstens ein Bit verfälscht wird, gelten dann die folgenden Aussagen. υ bezeichnet das Decodierergebnis und sollte mit u = (1, 0, 1, 0) übereinstimmen:
*Das Empfangswort y = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1) erfüllt alle drei Paritätsgleichungen. Das heißt, dass kein einziger Übertragungsfehler aufgetreten ist   ⇒   y = x  ⇒  u = (1, 0, 1, 0). 

*Werden zwei der drei Paritätsgleichungen erfüllt wie zum Beispiel für das empfangene Wort y = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0), so wurde ein Paritätsbit verfälscht und es gilt auch hier υ = (1, 0, 1, 0). 

*Mit y = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1) wird nur die Gleichung (I) erfüllt und die beiden anderen nicht. Somit kann man die Verfälschung des vierten Binärsymbols korrigieren, und es gilt auch hier υ = u. 

*Ein Übertragungsfehler des zweiten Bits   ⇒   y = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1) führt dazu, dass alle drei Paritätsgleichungen nicht erfüllt werden. Auch dieser Fehler lässt sich eindeutig korrigieren.{{end}} 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.5 SPC (5, 4) und BEC–Modell|A1.5 SPC (5, 4) und BEC–Modell]]

[[Zusatzaufgaben:1.5 SPC (5, 4) vs. RC (5, 1)]]

[[Aufgaben:1.6 Zum (7, 4)–Hamming–Code|A1.6 Zum (7, 4)–Hamming–Code]]

{{Display}}

Channel Coding/Channel Models and Decision Structures

2017-01-23T19:08:19Z

Ayush:

Channel Coding/Channel Models and Decision Structures

2017-01-23T19:07:10Z

Ayush:

{{Header
|Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Zielsetzung der Kanalcodierung
|Nächste Seite=Beispiele binärer Blockcodes
}}

== AWGN–Kanal bei binärem Eingang ==
 
Wir betrachten das bekannte zeitdiskrete [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell AWGN–Kanalmodell] gemäß der unteren Grafik (links):
*Das binäre und zeitdiskrete Nachrichtensignal x nimmt mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 1 an, das heißt, es ist Pr(x = 0) = Pr(x̃ = +1) = 1/2 sowie Pr(x = 1) = Pr(x̃ = –1) = 1/2. 

*Die Übertragung wird durch [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Systemkomponenten_eines_Basisband%C3%BCbertragungssystems#.C3.9Cbertragungskanal_und_St.C3.B6rungen_.282.29 additives weißes gaußverteiltes Rauschen] (AWGN) n mit der (normierten) Rauschleistung σ2 = N0/(2ES) beeinträchtigt. Die Streuung der Gauß–WDF ist σ. 

*Aufgrund der Gaußschen WDF kann das Ausgangssignal y = x̃ + n alle reellen Werte annehmen. Der Signalwert y ist zwar wie x̃ zeitdiskret, im Gegensatz zu diesem aber wertkontinuierlich. 

[[File:P ID2340 KC T 1 2 S1 v2.png|Modell und WDF des AWGN–Kanals|class=fit]] 

Die rechte Grafik zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (in blau bzw. rot):

:<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y-1)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm},</math>
:<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y+1)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Nicht dargestellt ist die gesamte (unbedingte) WDF, für die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen gilt:

:<math>f_y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 ) +
f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.</math>

Die beiden schraffierten Flächen (jeweils ε) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung x = 0  ⇒  x̃ = +1 (blau)   bzw.   x = 1  ⇒  x̃ = –1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:

:<math>z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\
1 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y > 0\hspace{0.05cm},\\
{\rm falls} \hspace{0.15cm}y < 0\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>

Bei gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen ist dann die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pr(z ≠ x) ebenfalls gleich ε. Mit dem [[komplementären Gaußschen Fehlerintergral Please add link and do not upload flash videos.]] Q(x) gilt dabei:

:<math>\varepsilon = {\rm Q}(1/\sigma) = {\rm Q}(\sqrt{\rho}) =
\frac {1}{\sqrt{2\pi} } \cdot \int_{\sqrt{\rho}}^{\infty}{\rm e}^{- \alpha^2/2} \hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha
\hspace{0.05cm}.</math>

Hierbei bezeichnet ρ = 1/σ2 = 2 · ES/N0 das Signal–zu–Rauschverhältnis (SNR) vor dem Entscheider, wobei folgende Systemgrößen verwendet werden:
*ES ist die Signalenergie pro Symbol (ohne Codierung gleich EB, also der Signalenergie pro Bit), 

*N0 bezeichnet die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte des AWGN–Kanals. 

Wir verweisen hier auf das interaktive Flash–Modul [[Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash videos.]]

== Binary Symmetric Channel – BSC ==
 
Das AWGN–Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.1] zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell Binary Symmetric Channel (BSC): 

[[File:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]] 

Wählt man die Verfälschungswahrscheinlichkeiten Pr(y = 1 | x = 0) bzw. Pr(y = 0 | x = 1) jeweils zu

:<math>\varepsilon = {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>

so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN–Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei G = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch” begründet ist. 

Hinweis: Beim AWGN–Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit z ∈ {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit y. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN –Modells nun yA. Für das analoge Empfangssignal gilt yA = x̃ + n. 

Das BSC–Modell liefert eine statistisch unabhängige Fehlerfolge und eignet sich somit zur Modellierung gedächtnisloser rückkopplungsfreier Kanäle, die in diesem Buch ausnahmslos betrachtet werden. 

[[File:P ID2342 KC T 1 2 S2b.png|Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts) |class=fit]] 

Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
*dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert–Elliott–Modell,] 

*dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_McCullough_.281.29 McCullough–Kanalmodell.] 

Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC–Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert–Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird. 

== Binary Erasure Channel – BEC ==
 
Das BSC–Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig” und &bdquo;falsch”. Manche Empfänger – so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft–in Soft–out Decoder] – können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher. 

[[File:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]] 

Der Binary Erasure Channel (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:
*Das Eingangsalphabet des BEC–Kanalmodells ist binär ⇒ x ∈ {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär ⇒ y ∈ {0, 1, E}. Ein &bdquo;E” kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue &bdquo;Symbol” steht für Erasure, zu deutsch: Auslöschung.

*Bitfehler werden durch das BEC–Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung (E) wird mit der Wahrscheinlichkeit λ getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung 1 – λ beträgt.

*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC– und AWGN–Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure–Entscheidungsgebiet (&bdquo;E”) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC–Modell (G = 0) nun zwei Entscheidungsgrenzen G0 = G und G1 = –G gibt, und es gilt:

::<math>\lambda = {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)]\hspace{0.05cm}.</math>

Wir weisen hier nochmals auf zwei interaktive Flash–Module hin:
*[[Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash files.]] 

*[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion Please add link and do not upload flash files.]] 

== Binary Symmetric Error & Erasure Channel – BSEC ==
 
Das BEC–Modell ist aufgrund der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (kurz SNR) ρ. Stärkere Störungen ⇒ ein kleineres ρ sollten besser durch den Binary Symmetric Error & Erasure Channel (BSEC) mit den zwei Parametern
*Verfälschungswahrscheinlichkeit ε = Pr (y = 1 | x = 0) = Pr (y = 0 | x = 1), 

*Erasure–Wahrscheinlichkeit λ = Pr(y = E | x = 0) = Pr(y = E | x = 1) 

modelliert werden. Es gilt auch hier x ∈ {0, 1} und y ∈ {0, 1, E}. 

[[File:P ID2344 KC T 1 2 S4 v2.png|Binary Error & Erasure Channel (BEEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]] 

{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten das BSEC–Modell mit den beiden Entscheidungsgeraden G0 = G = 0.5 und G1 = –G, dessen Parameter ε und λ durch das SNR ρ = 1/σ2 des vergleichbaren AWGN–Kanals festgelegt sind. Dann gilt
*für σ = 0.5  ⇒  ρ = 4:
::<math>\varepsilon \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 + G)] = {\rm Q}(3) \approx 0.14\%\hspace{0.05cm},</math>
::<math>{\it \lambda} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)] - \varepsilon = {\rm Q}(1) - {\rm Q}(3) \approx 15.87\% - 0.14\% = 15.73\%\hspace{0.05cm},</math>

*für σ = 0.25  ⇒  ρ = 16:

::<math>\varepsilon = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\it \lambda} = {\rm Q}(2) \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.</math>

Für die rechts dargestellte WDF wurde ρ = 4 vorausgesetzt. Für ρ = 16 könnte das BSEC–Modell durch die BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu einer gravierenden Verfälschung kommt.{{end}} 

== MAP– und ML–Kriterium (1) ==
 
Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an. 

[[File:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung|class=fit]] 

Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor υ so zu bestimmen, dass er &bdquo;möglichst gut” mit dem Informationswort u übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) </math>

bezogen auf die Vektoren u und υ der Länge k soll möglichst gering sein. Aufgrund der eindeutigen Zuordnung x = enc(u) durch den Kanalcoder bzw. empfängerseitig υ = enc–1(z) gilt in gleicher Weise:

:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{x})\hspace{0.05cm}. </math>

Der Kanaldecoder in obigem Modell besteht aus zwei Teilen:
*Der Codewortschätzer ermittelt aus dem Empfangsvektor y einen Schätzwert z ∈ C gemäß einem vorgegebenen Kriterium. 

*Anschließend wird aus dem (empfangenen) Codewort z das (empfangene) Informationswort υ durch einfaches Mapping ermittelt, das möglichst mit u übereinstimmen sollte. 

Für den Codewortschätzer gibt es insgesamt vier unterschiedliche Varianten, nämlich
*den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für das gesamte Codewort x, 

*den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für die einzelnen Codebits xi, 

*den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für das gesamte Codewort x, 

*den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für die einzelnen Codebits xi. 

Deren Definitionen folgen auf der nächsten Seite. Vorab aber gleich die wichtige Information:
*Ein MAP–Empfängerberücksichtigt im Gegensatz zum ML–Empfänger auch unterschiedliche Auftrittswahrscheinlichkeiten für das gesamte Codewort bzw. für deren einzelne Bits. 

*Sind alle Codeworte bzw. alle Codebits xi der Codeworte gleichwahrscheinlich, so ist der einfachere ML–Empfänger zum entsprechenden MAP–Empfänger äquivalent. 

== MAP– und ML–Kriterium (2) ==
 
{{Definition}}''':''' Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise MAP – entscheidet sich unter den 2k zulässigen Codeworten xi ∈ C für das Codewort mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit (englisch: a–posteriori probability, APP):

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>

Pr(xi | y) ist die [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 bedingte Wahrscheinlichkeit,] dass xi gesendet wurde, wenn y empfangen wird.{{end}} 

Nach dem [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 Satz von Bayes] kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:

:<math>{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) =
\frac{{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.08cm} |\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \cdot {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )}{{\rm Pr}( \underline{y} )} \hspace{0.05cm}.</math>

Die Wahrscheinlichkeit Pr(y) ist unabhängig von xi und muss bei der Maximierung nicht berücksichtigt werden. Sind zudem alle 2k Informationsworte ui gleichwahrscheinlich, dann kann bei der Maximierung auch auf den Beitrag Pr(xi) = 2–k im Zähler verzichtet werden. 

{{Definition}}''':''' Der Maximum–Likelihood–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise ML – entscheidet sich unter den 2k zulässigen Codeworten xi ∈ C für das Codewort mit der größten Übergangswahrscheinlichkeit:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.</math>

Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr(y | xi) ist nun in Vorwärtsrichtung zu verstehen, nämlich, dass der Vektor y empfangen wird, wenn das Codewort xi gesendet wurde.{{end}} 

Im Folgenden verwenden wir auf Blockebene stets den ML–Empfänger. Aufgrund der vorausgesetzten gleichwahrscheinlichen Informationsworte liefert auch dieser stets die bestmögliche Entscheidung. 

Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits xi ∈ {0, 1} Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP–Empfänger. 

{{Definition}}''':''' Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Bitebene (kurz: bit–wise MAP) wählt für jedes Codebit xi den Wert ( 0 oder 1) mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(xi | y):

:<math>\underline{z} = {\rm arg}\hspace{-0.1cm}{ \max_{{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \{0, 1\}} \hspace{0.03cm} {\rm Pr}( {x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}}.</math>
{{end}} 

== ML–Entscheidung beim BSC–Kanal ==
 
Wenden wir nun das ML–Kriterium auf den gedächtnislosen BSC–Kanal an. Dann gilt:

:<math>{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) =
\prod\limits_{l=1}^{n} {\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
{\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) =
\left\{ \begin{array}{c} 1 - \varepsilon\\
\varepsilon \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y_l = x_l \hspace{0.05cm},\\
{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_l \ne x_l\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}
\hspace{0.05cm}.</math>

:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) =
\varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot
(1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})}
\hspace{0.05cm}.</math>

Dies lässt sich wie folgt begründen:
*Die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming–Distanz] dH(y, xi) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte y und xi mit jeweils n binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming–Distanz zwischen y = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und xi = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2. 

*In n – dH(y, xi) Positionen unterscheiden sich demnach die beiden Vektoren y und xi nicht. Im obigen Beispiel sind 5 der n = 7 Bit identisch. Zu obiger Gleichung kommt man schließlich durch Einsetzen der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε bzw. deren Ergänzung 1 – ε. 

Die Vorgehensweise bei der Maximum–Likelihood–Detektion ist, dasjenige Codewort xi zu finden, das die Übergangswahrscheinlichkeit Pr(y | xi) maximiert:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
\left [
\varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot
(1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})}
\right ] \hspace{0.05cm}.</math>

Da der Logarithmus eine monoton steigende Funktion ist, erhält man das gleiche Ergebnis nach folgender Maximierung:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) </math>

:<math>{\rm mit}\hspace{0.15cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \ln \left [
\varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot
(1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})}
\right ] =</math>
:<math> \hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \cdot \ln
\hspace{0.05cm} \varepsilon + [n -d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})] \cdot \ln
\hspace{0.05cm} (1- \varepsilon) = </math>
:<math>\hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} \ln \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon} \cdot d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) + n \cdot \ln
\hspace{0.05cm} (1- \varepsilon)
\hspace{0.05cm}.</math>

Der zweite Term dieser Gleichung ist unabhängig von xi und muss für die Maximierung nicht weiter betrachtet werden. Auch der Faktor vor der Hamming–Distanz ist für alle xi gleich. Da aber ln ε/(1 – ε) negativ ist (zumindest für ε < 0.5, was ohne große Einschränkung vorausgestzt werden kann), wird aus der Maximierung eine Minimierung, und man erhält folgendes Endergebnis: 

ML–Entscheidung beim BSC–Kanal: Wähle von den 2k zulässigen Codeworten dasjenige mit der geringsten Hamming–Distanz dH(y, xi) zum Empfangsvektor y aus:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline{y} \in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

Anwendungen der ML/BSC–Entscheidung finden Sie auf den folgenden Seiten:
*[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity–check Code] (SPC) 

*[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Wiederholungscode] (englisch: Repetition Code, RC). 

== ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
 
Das AWGN–Modell für einen (n, k)–Blockcode unterscheidet sich vom [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang Modell] auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für x, x̃ und y nun die entsprechenden Vektoren x, x̃ und y verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus n Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML–Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
*Der AWGN–Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das White im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:

::<math>f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
\prod\limits_{l=1}^{n} f( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \tilde{x}_l )
\hspace{0.05cm}.</math>

*Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement (l = 1, ... , n) gaußisch. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:

::<math>f({y_l \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) =
\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y_l - \tilde{x}_l)^2}{2\sigma^2} \right ]</math>

::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
\frac {1}{(2\pi)^{n/2} \cdot \sigma^n } \cdot \exp \left [ - \frac {1}{2\sigma^2} \cdot
\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2
\right ] \hspace{0.05cm}.</math>

*Da y nun nicht mehr wie beim BSC–Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt entsprechend der ML–Entscheidungsregel Wahrscheinlichkeitsdichten untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}}_i )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

*In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte y und x̃ im n–dimensionalen Raum als die Euklidische Distanz, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:

::<math>d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) =
\sqrt{\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in \mathcal{C}
\hspace{0.05cm}.</math>

*Damit lautet die ML–Entscheidungsregel beim AWGN–Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF f(y | x̃i) konstant ist:

::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
\exp \left [ - \frac {d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}_i)}{2\sigma^2}
\right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis: 

ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal: Wähle von den 2k zulässigen Codeworten xi dasjenige mit der kleinsten Euklidischen Distanz zum Empfangsvektor y aus:

:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

==Aufgaben==
 
[[Aufgaben:1.3 BSC–BEC–BSEC–AWGN|A1.3 BSC–BEC–BSEC–AWGN]]

[[Aufgaben:1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung|A1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung]]

{{Display}}

Channel Coding/Objective of Channel Coding

2017-01-23T18:53:01Z

Ayush:

{{FirstPage}}
{{Header|
Untermenü=Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
|Vorherige Seite=Signaldarstellung
|Nächste Seite=Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen
}}

== Fehlererkennung und Fehlerkorrektur ==
 
Bei einem jeden Nachrichtenübertragungssystem kommt es zu Übertragungsfehlern. Man kann zwar die Wahrscheinlichkeit pS für einen solchen Symbolfehler sehr klein halten, zum Beispiel durch eine sehr große Signalenergie. Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS = 0 ist aber wegen der Gaußschen WDF des stets vorhandenen thermischen Rauschens nie erreichbar. 

Insbesondere bei stark gestörten Kanälen und auch für sicherheitskritische Anwendungen ist es deshalb unumgänglich, die zu übertragenden Daten angepasst an Anwendung und Kanal besonders zu schützen. Dazu fügt man beim Sender Redundanz hinzu und nutzt diese Redundanz beim Empfänger, um die Anzahl der Decodierfehler zu verringern. Dabei unterscheidet man:

*Fehlererkennung (englisch: Error Detection): Der Decoder prüft die Integrität der empfangenen Blöcke und markiert gefundene Fehler. Eventuell informiert der Empfänger den Sender über fehlerhafte Blöcke via Rückkanal, so dass dieser den entsprechenden Block noch einmal sendet. 

*Fehlerkorrektur (englisch: Error Correction): Der Decoder erkennt einen (oder mehrere) Bitfehler und liefert für diese weitere Informationen, z.B. deren Positionen im übertragenen Block. Damit können unter Umständen die entstandenen Fehler vollständig korrigiert werden. 

Die Kanalcodierung (englisch: Channel Coding oder auch Error–Control Coding) umfasst sowohl Verfahren zur Fehlererkennung als auch solche zur Fehlerkorrektur. 

Alle ARQ–Verfahren (englisch: Automatic Repeat Request) nutzen ausschließlich Fehlererkennung. Für die Fehlererkennung ist weniger Redundanz erforderlich als für eine Fehlerkorrektur. Ein Nachteil der ARQ ist der geringe Durchsatz bei schlechter Kanalqualität, also dann, wenn häufig ganze Datenblöcke vom Empfänger neu angefordert werden müssen. 

In diesem Buch behandeln wir größtenteils die Vorwärtsfehlerkorrektur (englisch: Forward Error Correction, FEC), die bei einem ausreichend guten Kanal (großes SNR) zu sehr kleinen Fehlerraten führt. Bei schlechteren Kanalbedingungen ändert sich am Durchsatz nichts, das heißt, es wird die gleiche Informationsmenge übertragen. Allerdings kann dann die Fehlerrate sehr große Werte annehmen. 

Oft werden FEC– und ARQ–Verfahren kombiniert, und zwischen diesen die Redundanz so aufgeteilt,
*dass eine kleine Anzahl von Fehlern noch korrigierbar ist,
*bei vielen Fehlern aber eine Wiederholung des Blocks angefordert wird.

== Einige einführende Beispiele (1) ==
 
Es folgen zunächst einige Beispiele zur Fehlererkennung. Auf der nächsten Seite werden dann ein paar Einsatzgebiete von Fehlerkorrektur genannt. 

Single Parity Check Code (SPC) 

Ergänzt man k = 4 Bit um ein sog. Prüfbit (englisch: Parity Bit) derart, dass die Summe aller Einsen geradzahlig ist, zum Beispiel (mit rotem Prüfbit) 

0000'''0''', 0001'''1''', ... , 1111'''0''', ... 

so kann man einen Einzelfehler sehr einfach erkennen. Zwei Fehler innerhalb eines Codewortes bleiben dagegen unerkannt. Die deutsche Bezeichnung ist Paritätsprüfcode. 

International Standard Book Number (ISBN) 

Seit den 1960er Jahren werden alle Bücher mit 10–stelligen Kennzahlen (ISBN–10) versehen. Seit 2007 ist zusätzlich noch die Angabe entsprechend ISBN–13 verpflichtend. Beispielsweise lauten diese für das Fachbuch [Söd93]<ref>Söder, G.: ''Modellierung, Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen''. Berlin – Heidelberg: Springer, 1993.</ref>: 

3–540–57215–5 (ISBN–10) bzw. 978–3–54057215–2 (ISBN–13). 

Die letzte Ziffer z10 (rot markiert) ergibt sich bei ISBN–10 aus den vorherigen Ziffern z1 = 3, z2 = 5, ... , z9 = 5 nach folgender Rechenregel:

:<math>z_{10} = \left ( \sum_{i=1}^{9} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.3cm} \mod 11 =
(1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + ... + 9 \cdot 5 ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 = 5
\hspace{0.05cm}. </math>

Zu beachten ist, dass z10 = 10 als z10 = &bdquo;X” geschrieben werden muss (römische Zahlendarstellung von &bdquo;10”), da sich die Zahl 10 im Zehnersystem nicht als Ziffer darstellen lässt. 

Entsprechend gilt für die Prüfziffer bei ISBN–13:

:<math>z_{13} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 10 - \left ( \sum_{i=1}^{12} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1) \hspace{-0.2cm} \mod 2} \right ) \hspace{-0.3cm} \mod 10 = </math>
:<math>\hspace{0.6cm} = \hspace{-0.1cm} 10 - [(9+8+5+0+7+1) \cdot 1 + (7+3+4+5+2+5) \cdot 3] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = </math>
:<math>\hspace{0.6cm} = \hspace{-0.1cm} 10 - (108 \hspace{-0.2cm} \mod 10) = 10 - 8 = 2
\hspace{0.05cm}. </math>

Bei beiden Varianten werden im Gegensatz zum obigen Paritätsprüfcode (SPC) auch Zahlendreher wie 57 ⇒ 75 erkannt, da hier unterschiedliche Positionen verschieden gewichtet werden. 

[[File:P ID2330 KC T 1 1 S2.png|rahmenlos|rechts|Beispiel eines Strichcodes]] 

'''Strichcode (eindimensionaler Barcode)'''
 
Der am weitesten verbreitete fehlererkennende Code weltweit ist der Strichcode oder Balkencode (englisch: Bar Code) zur Kennzeichnung von Produkten, zum Beispiel EAN–13 (European Article Number) mit 13 Ziffern. Diese werden durch verschieden breite Balken und Lücken dargestellt und können mit einem opto–elektronischen Lesegerät leicht entschlüsselt werden. Die ersten drei Ziffern kennzeichnen das Land (beispielsweise Deutschland: 400 – 440), die nächsten vier bzw. fünf Stellen den Hersteller und das Produkt. Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer z13, die sich genau so berechnet wie bei ISBN–13. 

== Einige einführende Beispiele (2) ==
 
Es folgen noch einige Beispiele zur Fehlerkorrektur. Genauere Details hierzu finden Sie in [KM+09]<ref>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: ''Channel Coding''. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref>.

 2D–Barcodes für Online–Tickets 

Wenn Sie eine Fahrkarte der Deutschen Bahn online buchen und ausdrucken, finden Sie ein Beispiel eines zweidimensionalen Barcodes, nämlich den 1995 von Andy Longacre bei der Firma Welch Allyn in den USA entwickelten Aztec–Code, mit dem Datenmengen bis zu 3000 Zeichen codiert werden können. Aufgrund der Reed–Solomon–Fehlerkorrektur ist die Rekonstruktion des Dateninhalts auch dann noch möglich, wenn bis zu 40% des Codes zerstört wurden, zum Beispiel durch Knicken der Fahrkarte oder durch Kaffeeflecken. 

[[File:P ID2332 KC T 1 1 S2a.png|2D–Barcodes: Aztec– und QR–Code|class=fit]] 

Rechts ist ein QR–Code (Quick Response) mit zugehörigem Inhalt dargestellt. Der QR–Code wurde 1994 für die Autoindustrie in Japan zur Kennzeichnung von Bauteilen entwickelt und erlaubt ebenfalls eine Fehlerkorrektur. Inzwischen ist der Einsatz des QR–Codes sehr vielfältig. In Japan findet man ihn auf nahezu jedem Werbeplakat und auf jeder Visitenkarte. Auch in Deutschland setzt er sich mehr und mehr durch. 

Bei allen 2D–Barcodes gibt es quadratische Markierungen zur Kalibrierung des Lesegerätes. 

 Codes für die Satelliten– und Weltraumkommunikation 
Eines der ersten Einsatzgebiete von Fehlerkorrekturverfahren war die Kommunikation von/zu Satelliten und Raumfähren, also Übertragungsstrecken, die durch niedrige Sendeleistungen und große Pfadverluste gekennzeichnet sind. Schon 1977 wurde bei der Raum–Mission Voyager 1 zu Neptun und Uranus eine Kanalcodierung eingesetzt, und zwar in Form der seriellen Verkettung eines Reed–Solomon–Codes und eines Faltungscodes. 

Damit genügte schon der Leistungskennwert 10 · lg EB/N0 ≈ 2 dB, um die geforderte Fehlerrate 5 · 10–5 (bezogen auf die komprimierten Daten nach der Quellencodierung) zu erreichen. Ohne Kanalcodierung sind dagegen für die gleiche Fehlerrate fast 9 dB erforderlich, also eine um den Faktor 100.7 ≈ 5 größere Sendeleistung. 

Auch das geplante Marsprojekt (die Datenübertragung vom Mars zur Erde mit 5W–Lasern) wird nur mit einem ausgeklügelten Codierschema erfolgreich sein. 

Die Aufzählung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. 

== Einige einführende Beispiele (3) ==
 
'''Kanalcodes für die Mobilkommunikation''' 

Ein weiteres umsatzstarkes Anwendungsgebiet, das ohne Kanalcodierung nicht funktionieren würde, ist die Mobilkommunikation. Hier ergäben sich bei ungünstigen Bedingungen ohne Codierung Fehlerraten im Prozentbereich und aufgrund von Abschattungen und Mehrwegeausbreitung (Echos) treten die Fehler oft gebündelt auf. Die Fehlerbündellänge beträgt dabei manchmal einige hundert Bit.
*Bei der Sprachübertragung im GSM–System werden die 182 wichtigsten (Klasse 1a und 1b) der insgesamt 260 Bit eines Sprachrahmens (20 ms) zusammen mit einigen wenigen Paritäts– und Tailbits faltungscodiert (mit Memory m = 4 und Rate R = 1/2) und verwürfelt. Zusammen mit den 78 weniger wichtigen und deshalb uncodierten Bits der Klasse 2 führt dies dazu, dass die Bitrate von 13 kbit/s auf 22.4 kbit/s ansteigt. 

*Man nutzt die (relative) Redundanz von r = (22.4 – 13)/22.4 ≈ 0.42 zur Fehlerkorrektur. Anzumerken ist, dass &bdquo;r = 0.42” aufgrund der hier verwendeten Definition aussagt, das 42% der codierten Bits redundant sind. Mit dem Bezugswert &bdquo;Bitrate der uncodierten Folge” ergäbe sich r = 9.4/13 = 0.72 mit der Aussage: Zu den Informationsbits werden 72% Prüfbits hinzugefügt. 

*Bei UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) werden Faltungscodes mit den Raten R = 1/2 bzw. R = 1/3 eingesetzt. Bei den UMTS–Modi für höhere Datenraten und entsprechend geringeren Spreizfaktoren verwendet man dagegen Turbo–Codes der Rate R = 1/3 und iterative Decodierung. Abhängig von der Anzahl der Iterationen erzielt man hier gegenüber der Faltungscodierung Gewinne von bis zu 3 dB. 

'''Fehlerschutz der Compact Disc''' 

Bei einer CD (Compact Disc) verwendet man einen cross–interleaved Reed–Solomon–Code (RS) und anschließend eine sogenannte Eight–to–Fourteen–Modulation. Die Redundanz nutzt man zur Fehlererkennung und –korrektur. Dieses Codierschema zeigt folgende Charakteristika:
*Die gemeinsame Coderate der zwei RS–Komponentencodes beträgt RRS = 24/28 · 28/32 = 3/4. Durch die 8–to–14–Modulation und einiger Kontrollbits kommt man zur Gesamtcoderate R ≈ 1/3. 

*Bei statistisch unabhängigen Fehlern gemäß dem BSC–Modell (Binary Symmetric Channel) ist eine vollständige Korrektur möglich, so lange die Bitfehlerrate den Wert 10–3 nicht überschreitet. 

*Der CD–spezifische Cross Interleaver verwürfelt 108 Blöcke miteinander, so dass die 588 Bit eines Blockes (jedes Bit entspricht ca. 0.28 μm) auf etwa 1.75 cm verteilt werden. 

*Mit der Coderate R ≈ 33% kann man ca. 10% Erasures korrigieren und die verloren gegangenen Werte lassen sich durch Interpolation (näherungsweise) rekonstruieren  ⇒ Fehlerverschleierung. 

Zusammenfassend lässt sich sagen: Weist eine CD einen Kratzer von 1.75 mm Länge in Abspielrichtung auf (also mehr als 6000 aufeinanderfolgende Erasures), so sind immer noch 90% aller Bit eines Blockes fehlerfrei, so dass sich auch die fehlenden 10% rekonstruieren lassen, oder dass die Auslöschungen zumindest so verschleiert werden können, dass sie nicht hörbar sind. 

Auf der nächsten Seite folgt eine Demonstration zur Korrekturfähigkeit der CD. 

== Die „Geschlitzte CD” – eine Demonstration des LNT der TUM ==
 
Ende der 1990er Jahre haben Mitarbeiter des Lehrstuhls für Nachrichtentechnik der TU München unter Leitung von Professor Joachim Hagenauer eine Musik–CD gezielt beschädigt, indem insgesamt drei Schlitze von jeweils mehr als einem Millimeter Breite eingefräst wurden. Damit fehlen bei jedem Defekt fast 4000 fortlaufende Bit der Audiocodierung. 

[[File:P ID2333 KC T 1 1 S2b.png|rahmenlos|rechts|„Geschlitzte CD” des LNT/TUM]] 

 Die Grafik zeigt die &bdquo;geschlitzte CD”. Sowohl in der Spur 3 als auch in der Spur 14 gibt es bei jeder Umdrehung zwei solcher fehlerhafter Bereiche. Sie können sich die Musikqualität mit Hilfe der beiden Audioplayer (Abspielzeit jeweils ca. 15 Sekunden) verdeutlichen. Die Theorie zu dieser Audio–Demo finden Sie auf der [http://en.lntwww.de/index.php?title=Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_einf.C3.BChrende_Beispiele_.283.29 vorherigen Seite.] 

[[Audio File Please add link and do not upload flash videos. ]] 

[[Audio File Please add link and do not upload flash videos.]] 

 Resumee dieser Audiodemo:
*Die Fehlerkorrektur der CD basiert auf zwei seriell–verketteten Reed–Solomon–Codes sowie Eight–to–Fourteen Modulation. Die Gesamtcoderate zur RS–Fehlerkorrektur beträgt R = 3/4. 

*Ebenso wichtig für die Funktionsfähigkeit der CD wie die Codes ist der dazwischen geschaltete Interleaver, der die ausgelöschten Bits (&bdquo;Erasures”) über eine Länge von fast 2 cm verteilt. 

*Bei der Spur 14 liegen die beiden defekten Bereiche genügend weit auseinander. Deshalb ist der Reed–Solomon–Decoder in der Lage, die fehlenden Daten zu rekonstruieren. 

*Bei der Spur 3 folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander, so dass der Korrekturalgorithmus versagt. Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch. 

Wir bedanken uns bei Rainer Bauer, Thomas Hindelang und Manfred Jürgens herzlich dafür, diese Audio–Demo verwenden zu dürfen. 

== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung (1) ==
 
Die Nachrichtenübertragung natürlicher Quellen wie Sprache, Musik, Bilder, Videos, usw. geschieht meist entsprechend dem nachfolgend skizzierten zeitdiskreten Modell. 

[[File:P ID2334 KC T 1 1 S3a v2.png|Bildübertragung mit Quellen– und Kanalcodierung|class=fit]] 

Zu dieser aus [Liv10]<ref>Liva, G.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref> entnommenen Grafik ist Folgendes anzumerken:
*Quelle und Sinke sind digitalisiert und werden durch (gleich viele) Nullen und Einsen repräsentiert. 

*Der Quellencodierer komprimiert die binären Daten – im betrachteten Beispiel ein Digitalfoto – und reduziert somit die Redundanz der Quelle. 

*Der Kanalcodierer fügt wieder Redundanz hinzu und zwar gezielt, so dass die auf dem Kanal entstandenen Fehler im Kanaldecoder größtenteils korrigiert werden können. 

*Für den Kanal wird hier ein zeitdiskretes Modell mit binärem Eingang und Ausgang verwendet, das auch die Komponenten der technischen Sende– und Empfangseinrichtungen (Modulator, Entscheider, Taktwiedergewinnung) geeignet berücksichtigen sollte. 

Bei richtiger Dimensionierung von Quellen– und Kanalcodierung ist die Qualität des empfangenen Fotos hinreichend gut, auch wenn die Sinkensymbolfolge aufgrund nichtkorrigierter Fehlermuster nicht exakt mit der Quellensymbolfolge übereinstimmen wird. Im Beispiel erkennt man einen Bitfehler. 

Für obige Grafik wurde beispielhaft angenommen, dass der Quellencoder die Daten um den Faktor 40/16 = 2.5 komprimiert und der Kanalcoder 50% Redundanz hinzufügt. Übertragen werden müssen also nur 60% aller Quellensymbole, zum Beispiel 24 statt 40. 

Würde man auf die Quellencodierung verzichten, in dem man das ursprüngliche Foto im BMP–Format übertragen würde und nicht das komprimierte JPG–Bild, so wäre die Qualität vergleichbar, aber eine um den Faktor 2.5 höhere Bitrate und damit sehr viel mehr Aufwand erforderlich. 

== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung (2) ==
 
Würde man sowohl auf die Quellen– als auch auf die Kanalcodierung verzichten, also direkt die BMP–Daten ohne Fehlerschutz übertragen, so wäre das Ergebnis trotz (um den Faktor 40/24) größerer Bitrate äußerst dürftig. 

[[File:P ID2335 KC T 1 1 S3b v2.png|Bildübertragung ohne Quellen– und Kanalcodierung |class=fit]] 

Die untere Grafik zeigt das Ergebnis für den Fall, dass man die komprimierten Daten (zum Beispiel JPG) ohne Fehlersicherungsmaßnahmen direkt überträgt. Dieses Codierschema (Quellencodierung, aber keine Kanalcodierung) sollte auf jeden Fall vermieden werden. 

[[File:P ID2336 KC T 1 1 S3c v2.png|Bildübertragung mit Quellencodierung, ohne Kanalcodierung |class=fit]] 

Da die komprimierte Quelle nur noch wenig Redundanz besitzt, führt jeder einzelne Übertragungsfehler dazu, dass ganze Bildblöcke falsch decodiert werden. 

== Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 
Im weiteren Verlauf gehen wir von folgendem Blockschaltbild aus: 

[[File:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung|class=fit]] 

Dabei gelten folgende Voraussetzungen:
*Der Vektor u = (u1, u2, ... , uk) kennzeichnet einen Informationsblock mit k Symbolen. Meist beschränken wir uns auf Binärsymbole (Bits)  ⇒  ui ∈ {0, 1} für i = 1 , 2, ... , k mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten für Nullen und Einsen. 

*Jeder Informationsblock u wird durch ein Codewort (oder Codeblock) x = (x1, x2, ... , xn) mit n > k, xi ∈ {0, 1} dargestellt. Man spricht dann von einem binären (n, k)–Blockcode C. Die Zuordnung bezeichnen wir mit x = enc(u), wobei &bdquo;enc” für &bdquo;Encoder–Funktion” steht. 

*Das Empfangswort y ergibt sich aus dem Codewort x durch Modulo–2–Addition mit dem ebenfalls binären Fehlervektor e = (e1, e2, ... , en), wobei &bdquo;ei = 1” für einen Übertragungfehler steht und &bdquo;ei = 0” anzeigt, dass das i–te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde. Es gilt also:

::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_i \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, ... \hspace{0.05cm} , n\hspace{0.05cm},</math>
::<math>x_i \hspace{-0.15cm} \in \hspace{-0.15cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}e_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>

*Die Beschreibung durch das digitale Kanalmodell – also mit binärem Eingang und Ausgang – ist allerdings nur dann anwendbar, wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft – siehe [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang Kapitel 1.2.] Systeme mit Soft Decision sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar. 

*Der Vektor υ nach der Kanaldecodierung hat die gleiche Länge k wie der Informationsblock u. Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der &bdquo;Decoder–Funktion” als υ = dec(y). Im fehlerfreien Fall gilt analog zu x = enc(u) auch υ = enc–1(y). 

*Ist der Fehlervektor e ≠ 0, so ist y meist kein gültiges Element des verwendeten Blockcodes, und der Decodiervorgang ist dann keine reine Zuordnung y → υ, sondern bezeichnet dann eine auf maximale Übereinstimmung (mimimale Fehlerwahrscheinlichkeit) basierende Schätzung von υ. 

== Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung ==
 
Wir betrachten nun den beispielhaften binären Blockcode

:<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},(1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},(1, 1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>

Dieser Code wäre zum Zwecke der Fehlererkennung oder –korrektur weniger gut geeignet. Aber er ist so konstruiert, dass er die Berechnung wichtiger Beschreibungsgrößen anschaulich verdeutlicht:
*Jedes einzelne Codewort x wird durch fünf Bit beschrieben. Im gesamten Buch drücken wir diesen Sachverhalt durch die Codelänge (englisch: Code Length) n = 5 aus.

*Der obige Code beinhaltet vier Elemente. Damit ist der Codeumfang (englisch: Size) |C| = 4. Entsprechend gibt es auch vier eindeutige Zuordnungen (englisch: Mappings) zwischen u und x.

*Die Informationsblocklänge u wird mit k bezeichnet. Da bei allen binären Codes |C| = 2k gilt, folgt aus |C| = 4 der Wert k = 2. Die Zuordnungen zwischen u und x lauten bei obigem Code C:

::<math>\underline{u_0} = (0, 0) \leftrightarrow (0, 0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline{u_1} = (0, 1) \leftrightarrow (0, 1, 0, 1, 0) = \underline{x_1}\hspace{0.05cm}, </math>

::<math>\underline{u_2} = (1, 0) \leftrightarrow (1, 0, 1, 0, 1) = \underline{x_2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
\underline{u_3} = (1, 1) \leftrightarrow (1, 1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.</math>

*Der Code weist die Coderate R = k/n = 2/5 auf. Dementsprechend beträgt seine Redundanz 1 – R, also 60%. Ohne Fehlerschutz – also für den Fall n = k – wäre die Coderate R = 1. 

*Eine kleine Coderate zeigt an, dass von den n Bits eines Codewortes nur sehr wenige tatsächlich Information tragen. Beispielsweise gilt für einen Wiederholungscode (k = 1) mit n = 10: R = 0.1. 

*Das Hamming–Gewicht wH(x) des Codewortes x gibt die Zahl der Codewortelemente xi ≠ 0 an. Bei einem binären Code ⇒ xi  ∈  {0, 1} ist wH(x) gleich der Summe x1 + x2 + ... + xn:

::<math>w_{\rm H}(\underline{x}_0) = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) = 5\hspace{0.05cm}.
</math>

*Die Hamming–Distanz dH(x, x') zwischen den beiden Codeworten x und x' bezeichnet die Anzahl der Bitpositionen, in denen sich x und x' unterscheiden:

::<math>d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 5\hspace{0.05cm},</math>

::<math>d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 5\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.</math>

*Eine wichtige Eigenschaft eines Codes C, die seine Korrekturfähigkeit wesentlich beeinflusst, ist die minimale Distanz zwischen zwei beliebigen Codeworten:

::<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =
\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.</math>

*Manchmal fügt man den Parameter dmin noch an die Kurzbezeichnung an und spricht dann von einem (n, k, dmin)–Blockcode. Nach dieser Nomenklatur handelt es sich im hier betrachteten Beispiel um einen (5, 2, 2)–Blockcode. 

== Beispiele für Fehlererkennung und Fehlerkorrektur ==
 
Beispiel A: Wir betrachten zunächst einen (4, 2, 2)–Blockcode mit den Zuordnungen

:<math>\underline{u_0} = (0, 0) \leftrightarrow (0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{u_1} = (0, 1) \leftrightarrow (0, 1, 0, 1) = \underline{x_1}\hspace{0.05cm},</math>

:<math>\underline{u_2} = (1, 0) \leftrightarrow (1, 0, 1, 0) = \underline{x_2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
\underline{u_3} = (1, 1) \leftrightarrow (1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.</math>

Die nach rechts bzw. links zeigenden Pfeile verdeutlichen den Codiervorgang bzw. die Decodierung. 

[[File:P ID2532 KC T 1 1 S5a v2.png|(4, 2, 2)–Blockcode zur Fehlererkennung|class=fit]] 

Rechts sind alle 24 = 16 möglichen Empfangsworte y dargestellt. Von diesen können 2n – 2k = 12 nur durch Bitfehler entstanden sein. Empfängt der Decoder ein &bdquo;weißes” Codewort, so erkennt er zwar einen Fehler, er kann diesen aber wegen dmin = 2 nicht korrigieren. Empfängt er y = (0, 0, 0, 1), so kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit das Codewort x0 = (0, 0, 0, 0) oder x1 = (0, 1, 0, 1) gesendet worden sein. 

Im Beispiel B betrachten wir den (5, 2, 3)–Blockcode gemäß der zweiten Grafik mit den (gültigen) Codeworten (0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 0) und (1, 1, 1, 0, 1). Dargestellt ist die Empfängerseite. Von den 2n – 2k = 28 unzulässigen Codeworten lassen sich nun 20 einem gültigen Codewort (rot, grün, blau oder ocker) zuordnen, wenn man davon ausgeht, dass ein einziger Bitfehler wahrscheinlicher ist als deren zwei. In der Grafik erkennt man verfälschte Bit an der Kursivschrift. 

[[File:P ID2533 KC T 1 1 S5b v2.png|(5, 2, 3)–Blockcode zur Fehlerkorrektur|class=fit]] 

Die Fehlerkorrektur ist aufgrund der minimalen Distanz dmin = 3 zwischen den Codeworten möglich. Allerdings sind acht Empfangsworte nicht decodierbar. Beispielsweise könnte das Empfangswort y = (0, 0, 1, 0, 1) sowohl aus dem Codewort x = (0, 0, 0, 0, 0) durch zwei Bitfehler entstanden sein oder auch aus x = (1, 1, 1, 0, 1). Auch in diesem Fall wären zwei Bitfehler aufgetreten. 

== Zur Nomenklatur in diesem Buch ==
 
Eine Zielvorgabe unseres Lerntutorials LNTwww war, das gesamte Fachgebiet der Nachrichtentechnik und der zugehörigen Grundlagenfächer mit einheitlicher Nomenklatur zu beschreiben. In diesem zuletzt in Angriff genommenen LNTwww–Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung” müssen nun doch einige Änderungen hinsichtlich der Nomenklatur vorgenommen werden. Die Gründe hierfür sind:
*Die Codierungstheorie ist ein weitgehend in sich abgeschlossenes Fachgebiet und nur wenige Autoren von einschlägigen Fachbüchern zu diesem Gebiet versuchen, einen Zusammenhang mit anderen Aspekten der Digitalsignalübertragung herzustellen. 

*Die Autoren der wichtigsten Bücher zur Kanalcodierung – englischsprachige und auch deutsche – verwenden eine in weiten Bereichen einheitliche Nomenklatur. Deshalb erlauben wir uns nicht, die Bezeichnungen zur Kanalcodierung in unser Übertragungstechnik–Schema zu pressen. 

Die wichtigsten Änderungen gegenüber den anderen LNTwww–Büchern sind:
*Alle Signale werden durch die entsprechenden Symbolfolgen in Vektorschreibweise dargestellt. Beispielsweise kennzeichnet u = (u1, u2, ... , uk) die Quellensymbolfolge und υ = (υ1, υ2, ... , υk) die Sinkensymbolfolge. Bisher wurden diese Symbolfolgen mit 〈qν〉 bzw. 〈υν〉 bezeichnet. 

*Das zeitdiskrete Äquivalent zum Sendesignal s(t) bzw. zum Empfangssignal r(t) in anderen Büchern sind die Vektoren x = (x1, x2, ... , xn) und y = (y1, y2, ... , yn). Die Coderate ergibt sich zu R = k/n (Werte zwischen 0 und 1  ⇒  n ≥ k), und m = n – k gibt die Anzahl der Prüfbits an.

*Im Kapitel 1 sind die Elemente ui und υi (jeweils i = 1, ... , k) der Vektoren u und υ stets binär (0 oder 1), ebenso wie die n Elemente xi des Codewortes x. Bei digitalem Kanalmodell (BSC, BEC, BSEC ⇒ Kapitel 1.2) gilt auch für die n Empfangswerte yi ∈ {0, 1}.

*Das AWGN–Kanalmodell (erste Seite von Kapitel 1.2) ist durch reellwertige Ausgangswerte yi gekennzeichnet. Der Codewortschätzer gewinnt daraus den binären Vektor z = (z1, z2, ... , zn), der mit dem Codewort x zu vergleichen ist.

*Der Übergang von y auf z erfolgt entweder durch Schwellenwertentscheidung ⇒ Hard Decision oder nach dem MAP–Kriterium ⇒ Soft Decision. Die Schätzung gemäß &bdquo;Maximum Likelihood” führt bei gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen ebenfalls zur minimalen Fehlerrate.

*Im Zusammenhang mit dem AWGN–Modell macht es Sinn, die binären Codesymbole xi bipolar (also als +1 oder –1) darzustellen. An den statistischen Eigenschaften ändert sich dadurch nichts. Wir kennzeichnen im Folgenden die bipolare Signalisierung durch eine Tilde. Dann gilt:

::<math>\tilde{x}_i = 1 - 2 x_i = \left\{ \begin{array}{c} +1\\
-1 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} x_i = 0\hspace{0.05cm},\\
{\rm falls} \hspace{0.15cm}x_i = 1\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:1.1 Zur Kennzeichnung aller Bücher|A1.1 Zur Kennzeichnung aller Bücher]]

[[Aufgaben:1.2 Einfacher binärer Kanalcode|A1.2 Einfacher binärer Kanalcode]]

[[Zusatzaufgaben:1.2 3D–Darstellung von Codes]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>

{{Display}}

Channel Coding/Objective of Channel Coding

2017-01-23T18:52:20Z

Ayush:

Channel Coding/The Basics of Low-Density Parity Check Codes

2017-01-17T19:33:22Z

Ayush:

{{LastPage}}
{{Header
|Untermenü=Iterative Decodierverfahren
|Vorherige Seite=Grundlegendes zu den Turbocodes
|Nächste Seite=
}}

== Einige Charakteristika der LDPC–Codes (1) ==
 
Die Low–density Parity–check Codes – kurz LDPC–Codes – wurden bereits Anfang der 1960er Jahre erfunden und gehen auf die Dissertation [Gal63]<ref>Gallager, R. G.: ''Low–density Parity–check Codes.'' MIT Press, Cambridge, MA, 1963.</ref> von Robert G. Gallager zurück. 

Die Idee kam allerdings aufgrund der damaligen Prozessorentechnologie um einige Jahrzehnte zu früh. Schon drei Jahre nach Berrou's Erfindung der Turbocodes 1993 erkannten dann allerdings David J. C. MacKay und Radford M. Neal das riesige Potential der LDPC–Codes, wenn man diese ebenso wie die Turbocodes iterativ symbolweise decodiert. Sie erfanden die LDPC–Codes quasi neu. 

Wie aus dem Namensbestandteil &bdquo;Parity–check” bereits hervorgeht, handelt es sich bei diesen Codes um lineare Blockcodes entsprechend den Ausführungen in Kapitel 1. Deshalb gilt auch hier:
*Das Codewort ergibt sich aus dem Informationswort u (dargestellt mit k Binärsymbolen) und der Generatormatrix G der Dimension k×n zu x = u · G  ⇒  Codewortlänge n. 

*Die Prüfgleichungen ergeben sich aus der Identität x · HT &equiv; 0, wobei H die Prüfmatrix bezeichnet. Diese besteht aus m Zeilen und n Spalten. Während im ersten Kapitel grundsätzlich m = n – k gegolten hat, fordern wir für die LPDC–Codes lediglich noch m ≥ n – k. 

Ein gravierender Unterschied zwischen einem LDPC–Code und einem herkömmlichen Blockcode nach der Beschreibung im ersten Kapitel ist, dass die Prüfmatrix H nur spärlich mit Einsen besetzt ist. 

{{Beispiel}}''':''' Die Grafik zeigt beispielhaft die Prüfmatrizen H für
*den Hamming–Code mit Codelänge n = 15, m = 4  ⇒  k = 11 Informationsbits, 

*den LDPC–Code aus [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref> der Länge n = 12 und mit m = 9 Prüfgleichungen  ⇒  k ≥ 3. 

[[File:P ID3065 KC T 4 4 S1a v3 einfacher Rahmen.png|Prüfmatrizen eines Hamming–Codes und eines LDPC–Codes|class=fit]] 

In der linken Grafik beträgt der Anteil der Einsen 32/60 ≈ 53.3%, wohingegen in der rechten Grafik der Einsen–Anteil mit 36/108 = 33.3% geringer ist. Bei den für die Praxis relevanten LDPC–Codes (großer Länge) ist der Einsen–Anteil noch deutlich niedriger. 

Hinweis: Auf der nächsten Seite wird auf diese Grafik noch mehrmals Bezug genommen.{{end}} 

== Einige Charakteristika der LDPC–Codes (2) ==
 
Wir analysieren nun die beiden Prüfmatrizen anhand der Rate und des Hamming–Gewichts. 

[[File:P ID3066 KC T 4 4 S1a v2.png|Prüfmatrizen eines Hamming–Codes und eines LDPC–Codes|class=fit]] 

*Die Rate des betrachteten Hamming–Codes (linke Grafik) ist R = k/n = 11/15 ≈ 0.733. Das Hamming–Gewicht einer jeden der vier Zeilen ist wZ = 8, während die Hamming–Gewichte wS(i) der Spalten zwischen 1 und 4 variieren. Für die Spalten–Laufvariable gilt hier: 1 ≤ i ≤ 15.

*Beim betrachteten LDPC–Code gibt es in allen Zeilen vier Einsen  ⇒  wZ = 4 und in allen Spalten drei Einsen ⇒ wS = 3. Die Codebezeichnung (wZ, wS) LDPC–Code verwendet genau diese Parameter. Beachten Sie die unterschiedliche Nomenklatur zum &bdquo;(n, k, m) Hamming–Code”.

*Man spricht hier von einem regulären LDPC–Code, da alle Zeilengewichte wZ(j) für 1 ≤ j ≤ m konstant gleich wZ sind und auch alle Spaltengewichte (mit den Indizes 1 ≤ i ≤ n) gleich sind: wS(i) = wS = const. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so liegt ein irregulärer LDPC–Code vor.

*Für die Coderate kann man allgemein (also, wenn k nicht bekannt ist) nur eine Schranke angeben: R ≥ 1 – wS/wZ. Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn alle Zeilen von H linear unabhängig sind  ⇒  m = n – k. Dann ergibt sich die herkömmliche Gleichung: R = 1 – wS/wZ = 1 – m/n = k/n.

*Dagegen gilt für die Coderate eines irregulären LDPC–Codes und auch für den links skizzierten (15, 11, 4) Hammingcode:

::<math>R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
{\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i)
\hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm}
{\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j)
\hspace{0.05cm}.</math>

:Da beim Hamming–Code die m = n – k Prüfgleichungen linear voneinander unabhängig sind, kann das &bdquo;≥”–Zeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden, was gleichzeitig R = k/n bedeutet. 

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie in Aufgabe A4.11 und in Aufgabe Z4.11

== Zweiteilige LDPC–Graphenrepräsentation – Tanner–Graph (1) ==
 
Alle wesentlichen Merkmale eines LDPC–Codes sind in der Prüfmatrix H = (hj,i) enthalten und lassen sich durch einen so genannten Tanner–Graphen darstellen. Es handelt sich um eine Bipartite Graph Representation, wobei die deutsche Übersetzung von &bdquo;bipartite” in etwa &bdquo;zweiteilig” lautet. Bevor wir beispielhafte Tanner–Graphen genauer betrachten und analysieren, müssen zuerst noch einige geeignete Beschreibungsgrößen definiert werden:
*Die n Spalten der Prüfmatrix H stehen jeweils für ein Codewortbit. Da jedes Codewortbit sowohl ein Informationsbit als auch ein Prüfbit sein kann, hat sich hierfür die neutrale Bezeichnung Varibale Node (VN) durchgesetzt. Das i–te Codewortbit wird Vi genannt und die Menge aller Variable Nodes (VNs) ist {V1, ..., Vi, ..., Vn}. 

*Die m Zeilen von H beschreiben jeweils eine Prüfgleichung (englisch: Parity–check Equation). Wir bezeichnen im folgenden eine solche Prüfgleichung als Check Node (CN). Die Menge aller Check Nodes (CNs) ist {C1, ..., Cj, ..., Cm}, wobei Cj die Prüfgleichung der j–ten Zeile angibt. 

*Im Tanner–Graphen werden die n Variable Nodes Vi als Kreise und die m Check Nodes Cj als Quadrate dargestellt. Ist das Matrixelement in Zeile j und Spalte i ⇒ hj,i = 1, so gibt es eine Verbindungslinie (englisch: Edge) zwischen dem Variable Node Vi und dem Check Node Cj. 

{{Beispiel}}''':'''
[[File:P ID3069 KC T 4 4 S2a v3.png|rahmenlos|rechts|Einfaches Beispiel für einen Tanner–Graphen|class=fit]] Sie sehen rechts einen beispielhaften Tannergraphen zur Verdeutlichung obiger Begriffe mit
*den Variable Nodes (kurz: VNs) V1 bis V4, und 

*den Check Nodes (kurz: CNs) C1 bis C3. 

Der zugehörige Code hat allerdings keinerlei praktische Bedeutung. Man erkennt aus der Grafik:
*Die Codelänge ist n = 4 und es gibt m = 3 Prüfgleichungen. Damit hat die Prüfmatrix H die Dimension 3×4. 

*Es gibt insgesamt sechs Verbindungslinien (englisch: Edges). Damit sind sechs der zwölf Elemente hj,i von H Einsen. 

*Bei jedem Check Node kommen zwei Linien an. Das bedeutet, dass die Hamming–Gewichte aller Zeilen gleich sind: wS(j) = 2 = wS. 

*Von den Knoten V1 und V4 gibt es jeweils nur einen Übergang zu einem Check Node, von V2 und V3 dagegen zwei. Aus diesem Grund handelt es sich um einen irregulären Code. 

Die Prüfmatrix lautet demnach:

:<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =
\begin{pmatrix}
1 &1 &0 &0\\
0 &1 &1 &0\\
0 &0 &1 &1
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>{{end}} 

Auf der nächsten Seite folgt ein praxisrelevanteres Beispiel. 

== Zweiteilige LDPC–Graphenrepräsentation – Tanner–Graph (2) ==
 
{{Beispiel}}''':''' In Aufgabe A4.11 wurden zwei Prüfmatrizen analysiert:
*Der Coder entsprechend der Matrix H1 ist systematisch. Die Codeparameter sind n = 8, k = 4 und m = 4 ⇒ Rate 1/2. Der Code ist irregulär, da die Hamming–Gewichte nicht für alle Spalten gleich sind. In der folgenden Grafik ist diese &bdquo;irreguläre H–Matrix” oben angegeben. 

*Unten angegeben ist die &bdquo;reguläre H–Matrix” entsprechend der Matrix H3 in Aufgabe A4.11. Die Zeilen sind Linearkombinationen der oberen Matrix. Für diesen nicht systematischen Coder gilt mit wS = 2 und wZ = 4 ebenfalls:

::<math>R \ge 1 - \frac{w_{\rm S}}{w_{\rm Z}}
= 1 - \frac{2}{4} = 1/2
\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID3071 KC T 4 4 S2b v4.png|Tanner–Graph eines regulären und eines irregelären Codes|class=fit]] 

Die Grafik zeigt die zugehörigen Tanner–Graphen:
*Der linke Graph bezieht sich auf die irreguläre Matrix. Die acht Variable Nodes (abgekürzt VNs) Vi sind mit den vier Check Nodes (abgekürzt CNs) Cj verbunden, falls das Element in Zeile j und Spalte i  ⇒  hj,i gleich 1 ist. Andernfalls (falls hj,i = 0) besteht keine Verbindung. 

*Der links dargestellte Graph ist für die iterative symbolweise Decodierung nicht sonderlich gut geeignet. Die VNs V5, ...., V8 sind jeweils nur mit einem CN verbunden, was für die Decodierung keinerlei Information liefert. 

*Im rechten Tanner–Graph für den regulären Code erkennt man, dass hier von jedem VN Vi zwei Verbindungslinien (englisch: Edges) abgehen und von jedem CN Cj deren vier. Damit ist bei der Decodierung in jeder Iterationsschleife ein Informationsgewinn möglich. 

*Man erkennt zudem, dass hier beim Übergang vom irregulären zum äquivalenten regulären Code der Einsen–Anteil zunimmt, im Beispiel von 37.5% auf 50%. Diese Aussage kann allerdings nicht verallgemeinert werden.{{end}} 

== Iterative Decodierung von LDPC–Codes (1) ==
 
Als Beispiel für die iterative LDPC–Decodierung wird nun der sog. Message–passing Algorithm beschrieben. Wir verdeutlichen diesen anhand des rechten Tanner–Graphen auf der vorherigen Seite und damit für die dort angegebene reguläre Prüfmatrix. 

Bei diesem Decodieralgorithmus erfolgt abwechselnd (oder iterativ) ein Informationsaustausch zwischen den Variable Nodes (VNs) V1, ... , Vn und den Check Nodes (CNs) C1, ... , Cm. 

[[File:P ID3075 KC T 4 4 S3a v1.png|Iterative Decodierung von LDPC–Codes|class=fit]] 

Für das betrachtete Beispiel gilt:
*Es gibt n = 8 VNs und m = 4 CNs. Da ein regulärer LDPC–Code vorliegt, gehen von jedem VN dV = 2 Verbindungslinien zu einem CN und jeder CN ist mit dC = 4 VNs verbunden.

*Der Variable Node Degree dV ist gleich dem Hamming–Gewicht einer jeden Spalte (wS) und für den Check Node Degree gilt: dC = wZ (Hamming–Gewicht einer jeden Zeile).

*In der folgenden Beschreibung verwenden wir auch die Begriffe Nachbarn eines VN  ⇒  N(Vi) sowie Nachbarn eines CN  ⇒  N(Cj), wobei wir uns hier auf implizite Definitionen beschränken:

::<math>N(V_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \{ C_1, C_2\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(V_1) = \{ C_3, C_4\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm},\hspace{0.3cm}N(V_8) = \{ C_1, C_4\}\hspace{0.05cm},</math>
::<math>N(C_1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \{ V_1, V_4, V_5, V_8\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(C_4) = \{ V_2, V_3, V_6, V_8\}\hspace{0.05cm}.</math>

[[File:P ID3085 KC T 4 4 S3c v2.png|rahmenlos|rechts|Informationsaustausch zwischen VNs und CNs]]

Die Skizze aus [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref> zeigt den Austausch von Information zwischen dem Variable Node Vi und dem Check Node Cj – ausgedrückt durch Log–Likelihood Ratios (kurz: L–Werte). Der Informationsaustausch geschieht in zwei Richtungen:
*L(Vi → Cj): Extrinsische Information aus Sicht von Vi, Apriori–Information aus Sicht von Cj. 

*L(Cj → Vi): Extrinsische Information aus Sicht von Cj, Apriori–Information aus Sicht von Vi. 

== Iterative Decodierung von LDPC–Codes (2) ==
 
Die Beschreibung des Decodieralgorithmus wird fortgesetzt: 

Initialisierung: Zu Beginn der Decodierung erhalten die Variable Nodes (VNs) keine Apriori–Information von den Check Nodes (CNs), und es gilt für 1 ≤ i ≤ n: L(Vi → Cj) = LK(Vi). Wie aus der letzten Grafik ersichtlich, ergeben sich diese Kanal–L–Werte LK(Vi) aus den Empfangswerten yi. 

Check Node Decoder: Jeder Knoten Cj repräsentiert eine Prüfgleichung. So steht C1 für &bdquo;V1 + V4 + V5 + V8 = 0”. Man erkennt den Zusammenhang zur extrinsischen Information bei der symbolweisen Decodierung des Single Parity–check Codes. In Analogie zu Kapitel 4.1 und Aufgabe A4.4 gilt somit für den extrinsischen L–Wert von Cj und gleichzeitig für die Apriori–Information bezüglich Vi:

:<math>L(C_j \rightarrow V_i) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}\left [ \prod\limits_{V \in N(C_j)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} V \ne V_i} \hspace{-0.35cm}{\rm tanh}\left [L(V \rightarrow C_j \right ] /2) \right ]
\hspace{0.05cm}.</math>

Variable Node Decoder: Im Gegensatz zum Check Node Decoder (CND) besteht beim Variable Node Decoder (VND) eine Verwandtschaft zur Decodierung eines Repetition Codes, weil alle mit Vi verbundenen Check Nodes Cj demselben Bit entsprechen  ⇒  dieses Bit wird quasi dV mal wiederholt. 

In Analogie zu Kapitel 4.1 gilt für den extrinsischen L–Wert von Vi und gleichzeitig für die Apriori–Information bezüglich Cj:

:<math>L(V_i \rightarrow C_j) = L_{\rm K}(V_i) + \hspace{-0.55cm} \sum\limits_{C \hspace{0.05cm}\in\hspace{0.05cm} N(V_i)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} C \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} C_j} \hspace{-0.55cm}L(C \rightarrow V_i)
\hspace{0.05cm}.</math>

Das folgende Schaubild des beschriebenen Decodieralgorithmus' für LDPC–Codes zeigt Ähnlichkeiten mit der Vorgehensweise bei seriell verketteten Turbocodes. Um eine vollständige Analogie zwischen der LDPC– und der Turbodecodierung herzustellen, ist auch hier zwischen dem Variable Node Decoder (VND) und dem Check Node Decoder (CND) ein Interleaver sowie ein De–Interleaver eingezeichnet. Da es sich hierbei nicht um reale Systemkomponenten handelt, sondern nur um Analogien, haben wir diese Begriffe in Hochkommata gesetzt. 

[[File:P ID3078 KC T 4 4 S3b v3.png|Zusammenhang zwischen LDPC– und serieller Turbo–Decodierung|class=fit]] 

== Leistungsfähigkeit der LDPC–Codes (1) ==
 
Wir betrachten nun wie in [Str14] fünf reguläre LDPC–Codes mit den folgenden Eigenschaften:
*Die Prüfmatrizen H weisen jeweils n Spalten und m = n/2 linear voneinander unabhängige Zeilen auf. In jeder Zeile gibt es wZ = 6 Einsen und in jeder Spalte wS = 3 Einsen. 

*Der Einsen–Anteil beträgt wZ/n = wS/m, so dass bei großer Codewortlänge n die Klassifizierung &bdquo;Low–density” gerechtfertigt ist. Für die rote Kurve (n = 210) ist der Einsen–Anteil 0.6%. 

*Die Rate aller Codes beträgt R = 1 – wS/wZ = 1/2. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Matrixzeilen gilt aber auch R = k/n mit der Informationswortlänge k = n – m = n/2. 

[[File:P ID3079 KC T 4 4 S4a v5.png|rahmenlos|rechts|Bitfehlerrate von LDPC–Codes]]

Die Grafik zeigt die Bitfehlerrate (BER) abhängig vom AWGN–Parameter 10 · lg EB/N0. Zum Vergleich ist die Kurve für uncodierte Übertragung eingezeichnet. 

Man erkennt:
*Die Bitfehlerrate ist um so kleiner, je länger der Code ist. Für 10 · lg EB/N0 = 2 dB und n = 28 = 256 ergibt sich BER ≈ 10–2. Für n = 212 = 4096 dagegen nur BER ≈ 2 · 10–7. 

*Mit n = 215 = 32768 (violette Kurve) benötigt man 10 · lg EB/N0 ≈ 1.35 dB für BER = 10–5. Der Abstand von der Shannon–Grenze (0.18 dB für R = 1/2 und BPSK) beträgt ca. 1.2 dB. 

[[File:P ID3080 KC T 4 4 S4b v4.png|rahmenlos|links| „Waterfall Region” und „Error Floor”]]

 
Die Kurven für n = 28 bis n = 210 weisen zudem auf einen Effekt hin, den wir schon bei den Turbocodes festgestellt haben: Zuerst fällt die BER–Kurve steil ab  ⇒  &bdquo;Waterfall Region”, danach folgt ein Knick und ein Verlauf mit deutlich geringerer Steigung  ⇒  &bdquo;Error Floor”. Die qualitative Grafik links verdeutlicht den Effekt, der natürlich nicht abrupt einsetzt (Übergang nicht eingezeichnet). 

Ein (LDPC–)Code ist immer dann als gut zu bezeichnen, wenn
*die BER–Kurve nahe der Shannon–Grenze steil abfällt, 

*der &bdquo;Error Floor” (Ursachen hierfür siehe nächste Seite) bei sehr niedrigen BER–Werten liegt, 

*die Anzahl der erforderlichen Iterationen handhabbar ist, und 

*diese Eigenschaften nicht erst bei nicht mehr praktikablen Blocklängen erreicht werden. 

== Leistungsfähigkeit der LDPC–Codes (2) ==
 
[[File:P ID3087 KC T 4 4 S5a v3.png|rahmenlos|rechts|LDPC–Codes im Vergleich zur Shannon–Grenze]] In diesem Kapitel wurden vorwiegend reguläre LDPC–Codes behandelt, auch im BER–Diagramm auf der letzten Seite. 

Die Ignoranz der irregulären LDPC–Codes ist nur der Kürze dieses Kapitels geschuldet, nicht deren Leistungsfähigkeit. 

Im Gegenteil: Irreguläre LDPC–Codes gehören zu den besten Kanalcodes überhaupt. Das gelbe Kreuz in der Grafik liegt praktisch auf der informationstheoretischen Grenzkurve für binäre Eingangssignale (grüne Kurve, mit BPSK beschriftet). Die Codewortlänge dieses irregulären Rate–1/2–Codes von [CFRU01]<ref>Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: ''On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit.'' – In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref> beträgt 2 · 106. Daraus ist schon ersichtlich, dass dieser Code nicht für den praktischen Einsatz gedacht war, sondern für einen Rekordversuch getunt wurde. 

Bei der LDPC–Codekonstruktion geht man ja stets von der Prüfmatrix H aus. Für den gerade genannten Code hat diese die Dimension 1000000×2000000, beinhaltet also 2 · 1012 Matrixelemente. 

Füllt man die Matrix per Zufallsgenerator mit (wenigen) Einsen  ⇒  &bdquo;Low–density”. So spricht man von unstrukturiertem Code–Design. Dies kann bei langen Codes zu folgenden Problemen führen:
*Die Komplexität des Coders kann zunehmen, da trotz Modifikation der Prüfmatrix H sichergestellt werden muss, dass die Generatormatrix G systematisch sein muss. 

*Aufwändige Hardware–Realisierung des iterativen Decoders. 

*&bdquo;Error Floor” durch einzelne Einsen in einer Spalte (oder Zeile) sowie kurze Schleifen. 

{{Beispiel}}''':''' Im linken Teil der Grafik ist der Tanner–Graph für einen regulären LDPC–Code mit der Prüfmatrix H1 dargestellt. Grün eingezeichnet ist ein Beispiel für die minimale Schleifenlänge (englisch: Girth). Diese Kenngröße gibt an, wieviele Kanten man mindestens durchläuft, bis man von einem Check Node Cj wieder bei diesem landet (oder von Vi zu Vi). Im linken Beispiel ergibt sich die minimale Kantenlänge 6, zum Beispiel der Weg C1 → V1 → C3 → V5 → C2 → V2 → C1. 

[[File:P ID3088 KC T 4 4 S4c v3.png|Zur Definition eines „Girth”|class=fit]] 

Vertauscht man in der Prüfmatrix nur zwei Einsen  ⇒  Matrix H2, so ist die minimale Schleifenlänge 4, von C1 → V4 → C4 → V6 → C1. Ein kleiner Girth führt zu einem &bdquo;Error Floor” im BER–Verlauf.{{end}} 

== Einige Anwendungsgebiete für LDPC–Codes ==
 
[[File:P ID3081 KC T 4 4 S5a v3.png|rahmenlos|rechts|Einige standardisierte LDPC–Codes im Vergleich zur Shannon–Grenze]] In dem Schaubild sind zwei Kommunikations–Standards, die auf strukturierten LDPC–Codes basieren, im Vergleich zur AWGN–Kanalkapazität eingetragen. 

Anzumerken ist, dass für die eingezeichneten standardisierten Codes die Bitfehlerrate 10–5 zugrunde liegt, während die Kapazitätskurven (entsprechend der Informationstheorie) für die Fehlerwahrscheinlichkeit 0 gelten.
*Rote Kreuze zeigen die LDPC–Codes nach CCSDS (Consultative Comittee for Space Data Systems), entwickelt für ferne Weltraummissionen. Diese Klasse stellt Codes der Rate 1/3, 1/2, 2/3 und 4/5 bereit. Alle Punkte liegen ca. 1 dB rechts von der Kapazitätskurve für binären Eingang (grüne Kurve &bdquo;BPSK”). 

*Die blauen Rechtecke markieren die LDPC–Codes für DVB–T2/S2. Die
Abkürzungen stehen für &bdquo;Digital Video Broadcasting – Satellite” bzw. &bdquo;Digital Video Broadcasting – Terrestrial”, und die &bdquo;2” macht deutlich, dass es sich jeweils um die zweite Generation (von 2005 bzw. 2009) handelt. Der Standard ist durch 22 Prüfmatrizen definiert, die Raten von etwa 0.2 bis zu 19/20 zur Verfügung stellen. Je elf Varianten gelten für die Codelänge 64800 Bit (Normal FECFRAME) bzw. 16200 Bit (Short FECFRAME). Kombiniert mit Modulationsverfahren hoher Ordnung (8PSK, 16–ASK/PSK, ...) zeichnen sich die Codes durch große spektrale Effizienz aus. 

[[File:P ID3082 KC T 4 4 S6a v3.png|IRA–Coder bei DVB–S2/T2|class=fit]] 

DVB–Codes gehören zu den Irregular Repeat Accumulate (IRA) Codes die erstmals im Jahr 2000 in [JKE00]<ref>Jin, H.; Khandekar, A.; McEliece, R.: ''Irregular Repeat–Accumulate Codes.'' Proc. of the 2nd Int. Symp. on Turbo Codes and Related Topics, Best, France, S. 1–8., Sept. 2000.</ref> vorgestellt wurden. Die Grafik zeigt die Grundstruktur des Coders. Der grün hinterlegte Teil – mit Repetition Code (RC), Interleaver, Single Parity–Code (SPC) sowie Akkumulator – entspricht exakt einem seriell–verketteten Turbocode  ⇒  siehe RA–Coder. Die Beschreibung des IRA–Codes basiert aber allein auf der Prüfmatrix H, die sich durch den irregulären Repetition Code in eine für die Decodierung günstige Form bringen lässt. Als äußerer Code wird zudem ein hochratiger BCH–Code (von Bose–Chaudhuri–Hocquenghem) verwendet, der den Error Floor herabsetzen soll. 

In der oberen Grafik nicht eingetragen sind die LDPC–Codes für den Standard DVB Return Channel Terrestrial (RCS), für den WiMax–Standard (IEEE 802.16) sowie für das 10GBASE–T–Ethernet, die gewisse Ähnlichkeiten mit den IRA–Codes aufweisen. 

== Aufgaben ==
 
[[Aufgaben:4.11 Analyse von Prüfmatrizen|A4.11 Analyse von Prüfmatrizen]]

[[Zusatzaufgaben:4.11 Coderate aus der Prüfmatrix]]

[[Aufgaben:4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph|A4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph]]

[[Aufgaben:4.13 Decodierung von LDPC–Codes|A4.13 Decodierung von LDPC–Codes]]

==Quellenverzeichnis==
<references/>

{{Display}}