https://en.lntwww.de/api.php?action=feedcontributions&user=Mwiki-lnt&feedformat=atomLNTwww - User contributions [en]2024-03-29T08:32:14ZUser contributionsMediaWiki 1.34.1https://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.2:_Band_Spreading_and_Narrowband_Interferer&diff=25210Aufgaben:Exercise 5.2: Band Spreading and Narrowband Interferer2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/PN–Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1868__Mod_A_5_2.png|right|frame|Betrachtetes Modell der Bandspreizung]]<br />
Betrachtet wird ein ''Spread Spectrum System'' gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich: <br />
*Das Digitalsignal $q(t)$ besitze das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_q(f)$, das als rechteckförmig mit der Bandbreite $B = 1/T = 100\ \rm kHz$ angenähert werden soll:<br />
:$${\it \Phi}_{q}(f) =<br />
\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{q0} \\<br />
0 \\ \end{array} \right.<br />
\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}<br />
\\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}<br />
|f| <B/2 \hspace{0.05cm}, \\<br />
\\<br />
\end{array}$$<br />
*Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite (nur die Anteile bei positiven Frequenzen) gleich $B/2$ und die Bandbreite im Bandpassbereich ist $B$.<br />
*Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz $c(t)$ der Chipdauer $T_c = T/100$ (&bdquo;PN&rdquo; steht dabei für &bdquo;Pseudo Noise&rdquo;). Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:<br />
:$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - |\tau|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$<br />
*Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge $c(t)$ phasensynchron zugesetzt.<br />
*Das Interferenzsignal $i(t)$ soll zunächst vernachlässigt werden. In der Teilaufgabe (4) bezeichnet $i(t)$ einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$ mit der Leistung $P_{\rm I}$. <br />
*Der Einfluss des (stets vorhandenen) AWGN–Rauschens $n(t)$ wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation|PN–Modulation]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_c(f )$ des Spreizsignals $c(t)$? <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?<br />
|type="{}"}<br />
${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$<br />
<br />
{Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite $B_c$ des Spreizsignals als Breite des flächengleichen LDS–Rechtecks.<br />
|type="{}"}<br />
$B_c \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm MHz$<br />
<br />
{Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale $s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_s$ und $b(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $B_b$ zutreffend? <br>Die (zweiseitige) Bandbreite von $q(t)$ ist $B$.<br />
|type="[]"}<br />
- $B_s$ ist exakt gleich $B_c$.<br />
+ $B_s$ ist näherungsweise gleich $B_c + B$.<br />
- $B_b$ ist exakt gleich $B_s$.<br />
- $B_b$ ist gleich $B_s + B_c = 2B_c + B$.<br />
+ $B_b$ ist exakt gleich B.<br />
<br />
{Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz? Es gelte also $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.<br />
|type="[]"}<br />
+ Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.<br />
- Die Störleistung ist nur mehr halb so groß.<br />
- Die Störleistung wird durch die Bandspreizung nicht verändert.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtesprektrum ${\it \Phi}_c(f)$ ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF, die mit Rechteckfunktionen der Breite $T_c$ wie folgt dargestellt werden kann:<br />
:$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \left(\frac{\tau}{T_c} \right ) \star {\rm rect} \left(\frac{\tau}{T_c} \right ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Daraus folgt &nbsp; ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \left[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \right ] \cdot \left[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \right ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$ mit dem Maximalwert<br />
:$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Gemäß der vorgegebenen Definition gilt mit $T_c = T/100 = 0.1\ \rm μs$:<br />
:$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$<br />
Die Grafik verdeutlicht, dass $B_c$ durch die erste Nullstelle der $si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird, aber auch gleichzeitig die äquivalente (flächengleiche) Bandbreite im Bandpassbereich angibt.<br />
[[File:P_ID1869__Mod_A_5_2b.png|center|frame|Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals]]<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 5</u>:<br />
*Das LDS ${\it \Phi}_s(f)$ ergibt sich aus der Faltung von $Φ_q(f)$ und $Φ_c(f)$. Damit ergibt sich für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich $B_s = B_c + B$. <br />
*Da das Spreizsignal $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit sich selbst multipliziert immer den Wert $1$ ergibt, ist natürlich $b(t) ≡ q(t)$ und demzufolge $B_b = B$. <br />
*Offensichtlich ist, dass die Bandbreite $B_b$ des bandgestauchten Signals ungleich $2B_c + B$ ist, obwohl die Faltung ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$ dies suggeriert. <br />
*Dies hängt damit zusammen, dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen, sondern von den Spektralfunktionen (Amplitudenspektren) $S(f)$ und $C(f)$ unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist. Erst danach kann aus $B(f)$ das LDS ${\it \Phi}_b(f)$ bestimmt werden. Es gilt offensichtlich auch: $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$. <br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Die Lösung soll anhand einer Skizze verdeutlicht werden. Im oberen Diagramm ist das LDS ${\it \Phi}_i(f)$ des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$ mit Gewichten $P_{\rm I}/2$ angenähert. Eingezeichnet ist auch die Bandbreite $B = 0.1 \ \rm MHz$ (nicht ganz maßstäblich).<br />
[[File:P_ID1870__Mod_A_5_2c.png|center|frame|Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung]]<br />
*Die empfängerseitige Multiplikation mit $c(t)$ – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung, zumindest bezüglich des Nutzanteils von $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals $i(t)$ eine Bandspreizung. Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$. Daraus folgt:<br />
:$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Anzumerken ist, dass $n(t)$ hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$ ist das LDS ${\it \Phi}_n(f)$ nahezu konstant. Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:<br />
:$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$<br />
*Das bedeutet: Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor $J = T/T_c$ herabgesetzt, weshalb $J$ häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird. Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.<br />
<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.2 PN–Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.2Z:_About_PN_Modulation&diff=25211Aufgaben:Exercise 5.2Z: About PN Modulation2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/PN–Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1871__Mod_Z_5_2.png|right|frame|Modelle von PN–Modulation (oben) und BPSK (unten)]]<br />
Die Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation (''engl. Direct Sequence Spread Spectrum'', abgekürzt DS–SS) im äquivalenten Tiefpassbereich, wobei AWGN–Rauschen $n(t)$ zugrunde liegt. Darunter dargestellt ist das TP–Modell der binären Phasenmodulation (BPSK). <br />
<br />
Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt ist. Die Funktion des Integrators kann wie folgt beschrieben werden:<br />
:$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist. <br />
<br />
Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$<br />
auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/PN–Modulation|PN–Modulation]].<br />
*Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK (im rauschfreien Fall) möglich?<br />
|type="[]"}<br />
- $d(νT)$ kann gaußverteilt sein.<br />
- $d(νT)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.<br />
+ Es sind nur die Werte $d(νT) = +1$ und $d(νT) = -1$ möglich.<br />
<br />
{Welche Werte sind bei PN–Modulation (im rauschfreien) Fall möglich?<br />
|type="[]"}<br />
- $d(νT)$ kann gaußverteilt sein.<br />
- $d(νT)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.<br />
+ Es sind nur die Werte $d(νT) = +1$ und $d(νT) = -1$ möglich.<br />
<br />
{Welche Modifikation muss am BPSK–Modell vorgenommen werden, damit es auch für die PN–Modulation anwendbar ist?<br />
|type="[]"}<br />
+ Das Rauschen $n(t)$ muss durch $n'(t) = n(t) · c(t)$ ersetzt werden.<br />
- Die Integration muss nun über $J · T$ erfolgen.<br />
- Die Rauschleistung $σ_n^2$ muss um den Faktor $J$ vermindert werden.<br />
<br />
{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_B$ ergibt sich für $10 \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm dB$ bei PN–Modulation? <br />
<br>''Hinweis.'' Bei BPSK gilt in diesem Fall: &nbsp; $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.<br />
|type="[]"}<br />
- Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$.<br />
- Je größer $J$ gewählt wird, desto größer ist $p_{\rm B}$.<br />
+ Es ergibt sich unabhängig von $J$ stets der Wert $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger. <br />
*Ohne Rauschen ist Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$. Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator<br />
:$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$<br />
:folgt, dass $d(νT)$ nur die Werte $+1$ und $-1$ annehmen kann. <br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist wieder der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:<br />
* Im rausch&ndash; und störungsfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, –1\}$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:<br />
*Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) · c(t)$. <br />
*Die beiden anderen Lösungsvorschläge sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss weiterhin über $T = J · T_c$ erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten $±1$–Signal $c(t)$, so ist auch das Produkt gaußförmig und weiß.<br />
* Wegen ${\rm E}[c^2(t)] = 1$ wird auch die Rauschvarianz nicht verändert. <br />
*Die für BPSK gültige Gleichung $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$ ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge. <br />
*Ergo: &nbsp; Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert. <br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.2 PN–Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.3:_PACF_of_PN_Sequences&diff=25212Aufgaben:Exercise 5.3: PACF of PN Sequences2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1884__Mod_A_5_3.png|right|frame|M–Sequenz mit <i>P</i> = 15 und zyklische Vertauschungen]]<br />
Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad $G$ lässt sich eine Spreizfolge $〈c_ν〉$ mit der (maximalen) Periodenlänge $P = 2^G - 1$ erzeugen, wenn die Rückführungskoeffizienten (Anzapfungen) richtig gewählt sind. <br />
<br />
In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|Beispiel 1]] im Theorieteil dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung (31) betrachtet, der wegen $G = 4$ eine Folge mit der Periodenlänge $P = 15$ liefert.<br />
<br />
In der Grafik sind die unipolare Folge $〈u_ν〉$ mit $u_ν ∈ \{0, 1\}$ und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen $〈u_{ν+λ}〉$ dargestellt, wobei der Verschiebungsparameter $λ$ Werte zwischen $1$ und $15$ annimmt. Eine Verschiebung um $λ$ bedeutet dabei absolut einen Versatz um $λ · T_c$. Hierbei bezeichnet $T_c$ die Chipdauer.<br />
<br />
Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man allerdings die bipolare (antipodische) Folge $〈c_ν〉$ mit $c_ν ∈ \{+1, -1\}$, die ab der Teilaufgabe (5) untersucht werden soll. Gesucht ist deren periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF)<br />
:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
Zur Herleitung soll zunächst die PAKF<br />
:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]$$<br />
mit den unipolaren Koeffizienten $u_ν ∈ \{0, 1\}$ berechnet werden. Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch $c_ν = 1 – 2u_ν$ gegeben.<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist der Grad des PN–Generators?<br />
|type="{}"}<br />
$G \ = \ $ { 4 } <br />
<br />
{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten $u_ν ∈ \{0, 1\}$?<br />
|type="{}"}<br />
${\rm E}[u_ν^{\hspace{0.04cm}2}] \ = \ $ { 0.533 3% }<br />
<br />
{Wie groß ist der quadratische Erwartungswert der Koeffizienten $c_ν ∈ \{+1, –1\}$?<br />
|type="{}"}<br />
${\rm E}[c_ν^{\hspace{0.04cm}2}] \ = \ $ { 1 3% }<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für den Erwartungswert ${\rm E}[u_ν · u_{ν+λ}]$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es gilt ${\rm E}[u_ν · u_{ν+1}] = 4/15$.<br />
+ Es gilt ${\rm E}[u_ν · u_{ν+2}] = 4/15$.<br />
- Es gilt ${\rm E}[u_ν · u_{ν+15}] = 4/15$.<br />
+ Die PAKF–Werte $φ_u(λ = 1)$, ... , $φ_u(λ = 14)$ sind alle gleich.<br />
<br />
{Berechnen Sie die PAKF–Werte bei bipolarer Darstellung ($λ = 1, \text{...} \ , 14$):<br />
|type="{}"}<br />
$φ_c(λ) \ = \ $ { -0.069--0.065 } <br />
<br />
{Geben Sie folgende PAKF–Werte für den Fall $G = 6$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$φ_c(λ=0)\hspace{0.33cm} = \ $ { 1 3% } <br />
$φ_c(λ=1)\hspace{0.33cm} = \ $ { -0.0165--0.0155 }<br />
$φ_c(λ=63)\ = \ $ { 1 3% }<br />
$φ_c(λ=64)\ = \ $ { -0.0165--0.0155 }<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt $P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$ Daraus ergibt sich mit $P = 15$ der Grad $\underline{G = 4}$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Von den $P = 15$ Spreizbits sind $8 Einsen$ und $7$ Nullen. Damit gilt wegen $u_ν^{\hspace{0.04cm}2} = u_ν$:<br />
:$${\rm E}\left [ u_\nu \right ] = {\rm E}\left [ u_\nu^2 \right ] = {8}/{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \text{allgemein:}\,\, (P+1)/(2P)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; In bipolarer Darstellung ist stets $c_ν^{\hspace{0.04cm}2} = 1$. Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert:<br />
:$${\rm E}\left [ c_\nu^{\hspace{0.04cm}2} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:<br />
*Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit $λ = 1$, ... , $14$ gilt:<br />
:$${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]= {4}/{15} \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Multipliziert man nämlich 〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉, wobei für den Index λ wieder die Werte $1$, ... , $14$ einzusetzen sind, so treten im Produkt jeweils vier Einsen auf. <br />
*Dagegen gilt für $λ = P = 15$:<br />
:$${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \right ]= {8}/{15} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Die bipolaren Koeffizienten $c_ν$ ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten $u_ν$ gemäß der Gleichung<br />
:$$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0\text{:} \ c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1\text{:} \ c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:<br />
:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ]= {\rm E} \left [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_\nu ) \right ] = 1 + 4 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2)<br />
:$$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]={8}/{15} \hspace{0.05cm},$$<br />
und der Teilaufgabe (4)<br />
:$${\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] ={4}/{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, \text{...}$$<br />
kommt man somit zum Ergebnis (falls $λ$ kein Vielfaches von $P$):<br />
:$${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15} = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P}\hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
[[File:P_ID1885__Mod_A_5_3f.png|right|frame|PAKF einer PN–Sequenz maximaler Länge]]<br />
'''(6)'''&nbsp; Eine M–Sequenz mit Grad $G = 6$ hat die Periodenlänge $P = 63$. Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (5) erhält man somit:<br />
:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 63) = {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 64) = {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1)= - 1/63 \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.016} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.3Z:_Realization_of_a_PN_Sequence&diff=25213Aufgaben:Exercise 5.3Z: Realization of a PN Sequence2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1886__Mod_Z_5_3.png|right|frame|Zur Realisierung von PN–Generatoren]]<br />
Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung: $u_ν ∈ \{0, 1\}$. <br />
*Der obere Generator mit den Koeffizienten<br />
:$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
wird durch die Oktalkennung $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{\rm oktal} = (15)$ bezeichnet. <br />
*Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich (17).<br />
<br />
<br />
Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge $〈u_ν〉$ gilt: <br />
:$$P = 2^G – 1.$$ <br />
Hierbei bezeichnet $G$ den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].<br />
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen |Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. <br />
* Wir möchten Sie gerne auch auf das Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel]] hinweisen.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist der Grad $G$ der beiden hier betrachteten PN–Generatoren?<br />
|type="{}"}<br />
$G \ = \ $ { 3 } <br />
<br />
{Geben Sie die Periodenlänge $P$ des PN–Generators mit der Oktalkennung (15) an.<br />
|type="{}"}<br />
$P\ = \ $ { 7 } <br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?<br />
|type="[]"}<br />
- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.<br />
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.<br />
+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $G$.<br />
+ Die Folge &bdquo;1 0 1 0 1 0 ... &rdquo; ist nicht möglich.<br />
<br />
{Geben Sie die Periodenlänge $P$ des PN–Generators mit der Oktalkennung (17) an<br />
|type="{}"}<br />
$P\ = \ $ { 1 }<br />
<br />
{Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?<br />
|type="[]"}<br />
+ Der Generator mit der Oktalkennung (15).<br />
- Der Generator mit der Oktalkennung (17).<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Der Grad $\underline{G = 3}$ ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge $\underline{P = 7}$ ablesbar. Wegen $P = 2^G –1$ handelt es sich um eine M–Sequenz.<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:<br />
*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $G$ (nämlich immer dann, wenn in allen $G$ Speicherzellen eine Eins steht). <br />
*Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden). <br />
*Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.<br />
*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M–Sequenz gilt $P = 2^G –1$. Für keinen Wert von $G$ ist $P = 2$ möglich.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung (17) wieder eine $1$:<br />
:$$u_{\nu} \left [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \right ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils $1$ sein &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{P = 1}$.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>: <br />
*Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn $P = 2^G –1$ gilt. <br />
„M” steht hierbei für „Maximal”.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.4:_Walsh_Functions_(PCCF,_PACF)&diff=25214Aufgaben:Exercise 5.4: Walsh Functions (PCCF, PACF)2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1889__Mod_A_5_4.png|right|frame|Hadamard–Matrix <b>H</b><sub>8</sub>]]<br />
Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte ''Walsh–Funktionen'', die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix<br />
:$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$<br />
lassen sich durch folgende Rekursiont die weiteren Hadamard–Matrizen $ {\mathbf{H}_{4}}$, $ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten:<br />
:$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$<br />
Die Grafik zeigt die Matrix $ {\mathbf{H}_{8}}$ für den Spreizfaktor $J = 8$. Daraus lassen sich die Spreizfolgen<br />
:$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$...$$<br />
:$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.<br />
<br />
Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.<br />
<br />
Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:<br />
* Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]] (PKKF) zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$〉 und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt:<br />
:$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
* Ist die PKKF $φ_{ij} \equiv 0$ (das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ$), so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn zwei Teilnehmer unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.<br />
* Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb (keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer) zu keinen Interferenzen.<br />
* Die [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Autokorrelationsfunktion]] (PAKF) der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt:<br />
:$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]] im Theorieteil. <br />
* Wir möchten Sie gerne auch auf das Interaktionsmodul [[Walsh-Funktionen]] hinweisen.<br />
<br />
*Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie lauten die Spreizfolgen für $J = 4$?<br />
|type="[]"}<br />
+ $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$,<br />
+ $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$,<br />
+ $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1$.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten bezüglich der PKKF–Werte $φ_{ij}(λ = 0)$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Für $J = 4$ ist $φ_{12}(λ = 0) = 0$.<br />
+ Für $J = 4$ ist $φ_{13}(λ = 0) = 0$.<br />
+ Für $J = 4$ ist $φ_{23}(λ = 0) = 0$.<br />
- Für $J = 8$ kann durchaus $φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0$ gelten $(i ≠ j)$.<br />
+ Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für die PKKF–Werte mit $λ ≠ 0$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$.<br />
+ Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{13}(λ) = 0$.<br />
- Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{23}(λ) = 0$.<br />
- Bei asynchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für die PAKF–Kurven?<br />
|type="[]"}<br />
+ Alle $φ_{ii}(λ)$–Kurven sind periodisch.<br />
+ Es gilt $φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$ und $φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$.<br />
- Es gilt $φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$.<br />
+ Es gilt $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig:<br />
*Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$. <br />
*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein. <br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u>:<br />
*Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt:<br />
:$${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Auch für größere Werte von $J$ ist für $i ≠ j$ der PKKF–Wert stets $φ_{ij}(λ = 0)= 0$. <br />
*Daraus folgt: Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. <br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:<br />
*Für alle Werte von $λ$ ist dieie PKKF $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:<br />
:$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Das gleiche gilt für die PKKF $φ_{13}(λ)$. <br />
*Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:<br />
[[File:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png|right|frame|Verschiedene PKKF&ndash; und PAKF&ndash;Kurven]]<br />
:$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
*Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer 3 gegenüber Teilnehmer 2 um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit. <br />
*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:<br />
* Da die Walsh–Funktion Nr. 1 periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.<br />
*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):<br />
:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = +1\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \right ] = -1\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. 2 und 3 nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.<br />
*Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.4Z:_OVSF_Codes&diff=25215Aufgaben:Exercise 5.4Z: OVSF Codes2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1891__Mod_Z_5_4.png|right|frame|Baumstruktur zur Konstruktion eines OVSF–Codes]]<br />
Die Spreizcodes für [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|UMTS]] sollen <br />
* alle zueinander orthogonal sein, um eine gegenseitige Beeinflussung der Teilnehmer zu vermeiden,<br />
* zusätzlich eine flexible Realisierung unterschiedlicher Spreizfaktoren J ermöglichen.<br />
<br />
Ein Beispiel hierfür sind die so genannten [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Codes_mit_variablem_Spreizfaktor_.28OVSF.E2.80.93Code.29|Codes mit variablem Spreizfaktor]] (englisch: ''Orthogonal Variable Spreading'' Factor, OVSF), die Spreizcodes der Längen von $J = 4$ bis $J = 512$ bereitstellen. Diese können, wie in der Grafik zu sehen ist, mit Hilfe eines Codebaums erstellt werden. Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code $C$ zwei neue Codes $+C \ +C$ und $+C \ -C$.<br />
<br />
<br />
Die Grafik verdeutlicht das hier angegebene Prinzip am Beispiel $J = 4$. Nummeriert man die Spreizfolgen von $0$ bis $J -1$ durch, so ergeben sich hier die Spreizfolgen<br />
:$$\langle c_\nu^{(0)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\langle c_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Entsprechend dieser Nomenklatur gibt es für den Spreizfaktor $J = 8$ die Spreizfolgen $\langle c_\nu^{(0)}\rangle $, ... , $\langle c_\nu^{(7)}\rangle $.<br />
<br />
Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes für einen anderen Teilnehmer benutzt werden darf. Im Beispiel könnten also vier Spreizcodes mit Spreizfaktor $J = 4$ verwendet werden oder die drei gelb hinterlegten Codes – einmal mit $J = 2$ und zweimal mit $J = 4$.<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Codes_mit_variablem_Spreizfaktor_.28OVSF.E2.80.93Code.29 |Codes mit variablem Spreizfaktor]] im Theorieteil. <br />
* Wir möchten Sie gerne auch auf das Interaktionsmodul [[OVSF]] hinweisen.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Konstruieren Sie das Baumdiagramm für $J = 8$. Welche OVSF–Codes ergeben sich daraus?<br />
|type="[]"}<br />
+ '''Codewort 1:''' &nbsp; $ \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$<br />
- '''Codewort 3:''' &nbsp; $ \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}$ ,<br />
+ '''Codewort 5:''' &nbsp; $ \langle c_\nu^{(5)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$,<br />
+ '''Codewort 7:''' &nbsp; $ \langle c_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}$.<br />
<br />
<br />
{Wieviele UMTS–Teilnehmer $(K_{\rm max})$ können mit $J = 8$ maximal bedient werden?<br />
|type="{}"}<br />
$K_{\rm max} \ = \ $ { 8 }<br />
<br />
{Wieviele Teilnehmer $(K)$ können versorgt werden, wenn drei dieser Teilnehmer einen Spreizcode mit $J = 4$ verwenden sollen?<br />
|type="{}"}<br />
$K \ = \ $ { 5 } <br />
<br />
{Gehen Sie von einer Baumstruktur für $J = 32$ aus. <br />
<br>Ist die folgende Zuweisung machbar: Zweimal $J = 4$, einmal $J = 8$, zweimal $J = 16$ und achtmal $J = 32$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Ja.<br />
- Nein.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
[[File:P_ID1892__Mod_Z_5_4a.png|right|frame|OVSF–Baumstruktur für <i>J</i> = 8]]<br />
'''(1)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die OVSF–Baumstruktur für $J = 8$ Nutzer. Daraus ist ersichtlich, dass die<u> Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u> zutreffen, nicht jedoch der zweite.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Wird jedem Nutzer ein Spreizcode mit $J = 8$ zugewiesen, so können $K_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 8}$ Teilnehmer versorgt werden.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Wenn drei Teilnehmer mit $J = 4$ versorgt werden, können nur mehr zwei Teilnehmer durch eine Spreizfolge mit $J = 8$ bedient werden (siehe beispielhafte gelbe Hinterlegung in obiger Grafik) &nbsp; ⇒ &nbsp; $K\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit<br />
* $K_4 = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 4$,<br />
* $K_8 = 1$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 8$,<br />
* $K_{16} = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 16$,<br />
* $K_{32} = 8$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 32$.<br />
<br />
<br />
Dann muss folgende Bedingung erfüllt sein:<br />
:$$K_4 \cdot \frac{32}{4} + K_8 \cdot \frac{32}{8} +K_{16} \cdot \frac{32}{16} +K_{32} \cdot \frac{32}{32} \le 32 \hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_4 \cdot8 + K_8 \cdot 4 +K_{16} \cdot 2 +K_{32} \cdot1 \le 32 \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
*Wegen 2 · 8 + 1 · 4 + 2 · 2 + 8 = 32 ist die gewünschte Belegung gerade noch erlaubt &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort JA</u>. <br />
*Die zweimalige Bereitstellung des Spreizgrads $J = 4$ blockiert zum Beispiel die obere Hälfte des Baums.<br />
*Nach der Versorgung der einen Spreizung mit $J = 8$, bleiben auf der $J = 8$–Ebene noch drei der acht Äste zu belegen, usw. und so fort.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.5:_Multi-User_Interference&diff=25216Aufgaben:Exercise 5.5: Multi-User Interference2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/BER der PN–Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1887__Mod_A_5_5.png|right|frame|PAKF und PKKF von M–Sequenzen mit <i>P</i> = 31]]<br />
Wir betrachten die PN–Modulation mit folgenden Parametern:<br />
* Die Spreizung erfolgt mit der M–Sequenz mit der Oktalkennung (45), ausgehend vom Grad $G = 5$. Die Periodenlänge ist somit $P = 2^5 –1 = 31$.<br />
* Der AWGN–Parameter wird mit $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 5 \ \rm dB$ festgelegt &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}/N_0 = 3.162 = 1/0.316$.<br />
* Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit beträgt ohne interferierende Teilnehmer im gleichen Frequenzband:<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\right ) \approx {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \cdot 3.162}\right ) = {\rm Q} \left ( 2.515 \right ) \approx 6 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm}.$$<br />
* Da ohne interferierende Teilnehmer alle Nutzabtastwerte gleich $±s_0$ sind (Nyquistsystem), kann für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit dem Rauscheffektivwert $σ_d$ vor dem Entscheider, herrührend vom AWGN–Rauschen, auch geschrieben werden: &nbsp; $p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma_d}\right ) \hspace{0.05cm}.$<br />
<br />
<br />
In dieser Aufgabe soll untersucht werden, wie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit durch einen zusätzlichen Teilnehmer verändert wird. Die möglichen Spreizfolgen des interferierenden Teilnehmers seien ebenfalls durch $P = 31$ festgelegt. Zur Verfügung stehen die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen (45), (51), (57), (67), (73) und (75).<br />
<br />
In der Tabelle sind die PKKF–Werte für $λ = 0$ angegeben, desweiteren auch der jeweilige Maximalwert für eine andere Anfangsphase:<br />
:$$ {\rm Max}\,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}| = \max_{\lambda} \,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}(\lambda)| \hspace{0.05cm}.$$<br />
Der Sonderfall $φ_\text{45, 45}(λ = 0)$ gibt den PAKF–Wert der Spreizfolge mit der Oktalkennung (45) an.<br />
<br />
Im Verlauf dieser Aufgabe und in der Musterlösung werden folgende Signale erwähnt:<br />
* $q(t)$: &nbsp; binäres bipolares Quellensignal, Symboldauer $T$,<br />
* $c(t)$: &nbsp; $±1$–Spreizsignal, Chipdauer $T_c$,<br />
* $s(t)$: &nbsp; bandgespreiztes Sendesignal; es gilt $s(t) = q(t) · c(t)$, Amplitude $±s_0$, Chipdauer $T_c$,<br />
* $n(t)$: &nbsp; AWGN–Rauschen, gekennzeichnet durch den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$,<br />
* $i(t)$: &nbsp; Interferenzsignal des störenden Teilnehmers,<br />
* $r(t)$: &nbsp; Empfangssignal; es gilt $r(t) = s(t) + n(t) + i(t)$,<br />
* $b(t)$: &nbsp; bandgestauchtes Signal; es gilt $b(t)= r(t) · c(t)$,<br />
* $d(t)$: &nbsp; Detektionssignal nach Integration von $b(t)$ über die Symboldauer $T$,<br />
* $v(t)$: &nbsp; Sinkensignal, der Vergleich mit $q(t)$ liefert die Fehlerwahrscheinlichkeit.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Zwei_Teilnehmer_mit_M.E2.80.93Sequenz.E2.80.93Spreizung |Zwei Teilnehmer mit M&ndash;Sequenz&ndash;Spreizung]]. <br />
<br />
*Für die so genannte Q-Funktion kann von folgenden Näherungen ausgegangen werden:<br />
:$$ {\rm Q} (2) \approx 0.02275, \hspace{0.2cm}{\rm Q} (3) \approx 0.00135, \hspace{0.2cm}{\rm Q} (5) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist der (normierte) Rauscheffektivwert am Entscheider?<br />
|type="{}"}<br />
$σ_d/s_0 \ = \ $ { 0.4 3% } <br />
<br />
{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ erhält man, wenn der störende Teilnehmer $i(t)$ die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung (45) nutzt wie der betrachtete Teilnehmer?<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B}\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$<br />
<br />
{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich näherungsweise, wenn der störende Teilnehmer die M–Sequenz mit Oktalkennung (75) nutzt?<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B}\ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$<br />
<br />
{Welche Aussagen könnten unter Umständen für eine andere Spreizfolge des interferierenden Teilnehmers möglich sein?<br />
|type="[]"}<br />
- Mit der Oktalkennung (51) ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.001$ &nbsp; möglich.<br />
+ Mit der Oktalkennung (57) ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.007$ &nbsp; möglich.<br />
+ Mit der Oktalkennung (67) ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.012$ &nbsp; möglich.<br />
</quiz><br />
<br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus den beiden vorne angegebenen Gleichungen folgt direkt:<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}(2.515) = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \frac{\sigma_d}{s_0} = \frac{1}{2.515} = 0.398 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.4} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Man könnte diese Größe aber auch über die allgemeinere Gleichung<br />
:$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty} |H_{\rm I}(f) |^2 \,\,{\rm d} {\it f}\hspace{0.05cm} = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty}{\rm si}^2(\pi f T)\,\,{\rm d} {\it f} = \frac{N_0}{2T } \hspace{0.05cm}.$$<br />
berechnen. Hierbei beschreibt $H_I(f)$ den Integrator im Frequenzbereich. Mit $E_{\rm B}= s_0^2 · T$ erhält man das gleiche Ergebnis:<br />
:$$\frac{\sigma_d^2}{s_0^2} = \frac{N_0}{2 \cdot s_0^2 \cdot T } = \frac{N_0}{2 E_{\rm B} } = \frac{0.316}{2 } = 0.158\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\sigma_d}/{s_0} = 0.398 \approx 0.4 \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Benutzt der interferierende Teilnehmer die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung (45) wie der betrachtete Nutzer, so sind die (normierten) Detektionsnutzabtastwerte gleich $+2$ (zu 25%), $-2$ (zu 25%) und $0$ (zu 50%). <br />
*Bei $d(νT) = ±2$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit für den betrachteten Teilnehmer signifikant verkleinert. In diesem Fall übertragen beide Nutzer das gleiche Bit (&bdquo;$+1$&rdquo; oder &bdquo;$-1$&rdquo;) und der Abstand von der Schwelle wird verdoppelt:<br />
:$$ p_{\rm B}\,\,[{\rm falls}\,\, d (\nu T) = \pm 2s_0 ] = {\rm Q} \left ( 2 \cdot 2.515 \right ) = {\rm Q} \left ( 5.03 \right ) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Ist dagegen $d(νT) = 0$ (zum Beispiel, wenn $a_\text{1(s)} = +1$ und $a_\text{1(i)} = -1$ gilt oder umgekehrt), so löschen sich die Signale vollständig aus und man erhält<br />
:$$p_{\rm B}\,\,[{\rm falls}\,\, d (\nu T) = 0 ] = {\rm Q} \left ( 0 \right ) = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Durch Mittelung über diese beiden gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten ergibt sich so für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:<br />
:$$p_{\rm B}= 0.5 \cdot 2.45 \cdot 10^{-7}+ 0.5 \cdot 0.5 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 25\%} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Wir betrachten zunächst nur den Nutzanteil ⇒ $n(t) = 0$. Außerdem beschränken wir uns auf das erste Datensymbol und setzen den Amplitudenkoeffizienten $a_\text{1(s)} = +1$ voraus. Dann gilt innerhalb dieses Datenbits $s(t) = c_{45}(t)$. Ist der Koeffizient $a_\text{1(i)} $ des interferierenden Teilnehmers ebenfalls $+1$, so erhält man für die vorne spezifizierten Signale im Zeitintervall von $0$ bis $T$:<br />
:$$ r(t) = c_{45}(t) + c_{75}(t)\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$b(t) = r(t) \cdot c_{45}(t) = \left [c_{45}(t) + c_{75}(t) \right ] \cdot c_{45}(t) = 1+ c_{45}(t) \cdot c_{75}(t) \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ d (T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{0 }^{ T} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 + {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Hierbei bezeichnet $φ_\text{45, 75}(τ)$ die PKKF zwischen den Spreizfolgen mit den Oktalkennungen (45) und (75), die in der Tabelle auf der Angabenseite zu finden sind.<br />
<br />
Entsprechend gilt für den Detektionsnutzabtastwert unter der Voraussetzung $a_\text{1(s)} = +1$ und $a_\text{1(i)} =-1$:<br />
:$$d (T) = 1 - {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Aus Symmetriegründen liefern die Koeffizienten $a_\text{1(s)} = -1$, $a_\text{1(i)} = -1$ sowie $a_\text{1(s)} = -1$, $a_\text{1(i)} = +1$ die genau gleichen Beiträge für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie $a_\text{1(s)} = +1$, $a_\text{1(i)} = +1$ bzw. $a_{1(s)} = +1$, $a_{1(i)} = –1$, wenn man zudem das AWGN–Rauschen berücksichtigt.<br />
<br />
Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) und mit $φ_\text{45, 75}(λ = 0) = 7/31$ erhält man somit näherungsweise:<br />
:$$p_{\rm B} = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1+ 7/31}{0.4} \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1- 7/31}{0.4} \right ) = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1.225}{0.4} \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{0.775}{0.4} \right ) = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( 3.06 \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.94 \right )$$ <br />
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}\approx \frac{1}{2} \cdot \left [{\rm Q} \left ( 3 \right ) + {\rm Q} \left ( 2 \right ) \right ] = \frac{1}{2} \cdot \left [0.00135 + 0.02275 \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.012}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Möglich sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:<br />
* Der PKKF–Wert $φ_\text{45, 57}(λ = 0)$ ist betragsmäßig nur 1/31 und damit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nur geringfügig größer als $0.6\%$. <br />
*Die Folge mit den Oktalkennung (67) führt dagegen zur gleichen PKKF wie die Folge (75.<br />
*Ohne störenden Teilnehmer gilt entsprechend dem Angabenblatt: $p_{\rm B} = 0.6\%$. Mit Interferenz kann dieser Wert nicht unterschritten werden &nbsp; ⇒ &nbsp; Lösungsvorschlag 1 ist nicht möglich.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.4 BER der PN–Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.5Z:_About_the_Rake_Receiver&diff=25217Aufgaben:Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/BER der PN–Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1888__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal, RAKE–Empfänger]]<br />
Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:<br />
:$$ r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $τ = 1 \ \rm μs$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K$, $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$.<br />
<br />
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$<br />
angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = τ$ liegen.<br />
<br />
Die Konstante $K$ ist so zu wählen, dass die Amplitude des Hauptpfads $A_1 = 1$ ist:<br />
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$<br />
Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $s_0 = 1$ und der Breite $T = \ \rm 5 μs$ ist.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Prinzip_des_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4ngers |Prinzip des RAKE-Empfängers]]. <br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$?<br />
|type="[]"}<br />
+ $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen.<br />
- $h_{\rm K}(t)$ ist komplexwertig.<br />
- $h_{\rm K}(t)$ ist eine mit der Verzögerungszeit τ periodische Funktion.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$?<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.<br />
+ $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig.<br />
+ $|H_{\rm K}(f)|$ ist eine mit der Frequenz $1/τ$ periodische Funktion.<br />
<br />
{Setzen Sie $K = 1$, $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $τ_0$ und $τ_1$, damit die $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit $A_0 = A_2$ erfüllt wird.<br />
|type="{}"}<br />
$τ_0 \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm μs$<br />
$τ_1 \ = \ $ { 0. } $\ \rm μs$<br />
<br />
{Welcher Wert ist für die Konstante $K$ zu wählen?<br />
|type="{}"}<br />
$K \ = \ $ { 1.923 3% } <br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für die Signale $r(t)$ und $b(t)$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$.<br />
- Die Breite von $r(t)$ ist $7 \ \rm μs$.<br />
- Der Maximalwert von $b(t)$ ist $1$.<br />
+ Die Breite von $b(t)$ ist $7 \ \rm μs$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:<br />
*Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt &nbsp; ⇒ &nbsp; $s(t) = δ(t)$. Daraus folgt:<br />
:$$ h_(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:<br />
*Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}((f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}((t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:<br />
:$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: $H_{\rm K}((f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/τ$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:<br />
:$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$<br />
*Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/τ$ wiederholt sich dieser Wert.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort:<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $τ_1 = τ$ gewählt werden. Mit $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$ erhält man dann $A_0 ≠ A_2$:<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) +0.48 \cdot \delta (t - \tau) + 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$:<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:<br />
:$$ \underline{\tau_0 = \tau = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 =0} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Für den Normierungsfaktor muss gelten:<br />
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt 0.24/0.52 = 6/13):<br />
:$$ h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die folgende Grafik zeigt:<br />
*Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:<br />
:$$r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Die Überhöhung des Ausgangssignals &nbsp; ⇒ &nbsp; $b(t) > 1$ ist auf den Normierungsfaktor $K = 25/13$ zurückzuführen. <br />
*Mit $K = 1$ wäre der Maximalwert von $b(t)$ tatsächlich $1$.<br />
<br />
[[File:P_ID1902__Mod_Z_5_5e.png|center|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.4 BER der PN–Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.9:_Costas_Rule_Loop&diff=25207Aufgaben:Exercise 4.9: Costas Rule Loop2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:Mod_A_4_8_vers2.png|right|frame|Costas Regelschleife]]<br />
Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung. Eine Möglichkeit hierfür bietet die sog. ''Costas–Regelschleife'', die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.<br />
<br />
Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation (BPSK) als<br />
:$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$<br />
geschrieben werden. Die Phasendrehung ϕ auf dem Übertragungskanal muss dabei stets als unbekannt angenommen werden. „±” beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.<br />
<br />
Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal<br />
:$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$<br />
zu generieren, wobei der Phasenfehler $\phi - θ$ zwischen dem BPSK–Empfangssignal $r(t)$ und der am Empfänger generierten Schwingung $z(t)$ ausgeregelt werden muss. Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator (VCO, ''Voltage Controlled Oscillator'') eine Schwingung der Frequenz $f_{\rm T}$ erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase $θ$. Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis $θ = \phi$ erreicht.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].<br />
<br />
*In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden. <br />
*Das mit $π/2$ beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:<br />
:$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:<br />
:$$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \left [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\right]\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \left [ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)\right]\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie das Signal $y_1(t)$ nach dem Tiefpass im oberen Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?<br />
|type="[]"}<br />
- $y_1(t) = ± s_0/2 · [\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)],$<br />
+ $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$<br />
- $y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$<br />
<br />
{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ nach dem Tiefpass im unteren Zweig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?<br />
|type="[]"}<br />
- $y_2(t) = ± s_0/2 · [\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)],$<br />
- $y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$<br />
+ $y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$<br />
<br />
{Berechnen Sie das Regelsignal $x(t)$ und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung $\phi - θ$ an. Welche Gleichungen sind richtig?<br />
|type="[]"}<br />
- $x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,<br />
+ $x(t) = s_0^2/8 · \sin(2 \phi - 2θ),$<br />
+ $x(t) ≈ s_0^2/4 · (\phi - θ),$<br />
- $x(t) ≈ s_0^2/4 · (\phi - θ)^2.$<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:<br />
:$$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$ <br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist demnach hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Analog zu Teilaufgabe (1) ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:<br />
:$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$<br />
Dies führt zu folgendem Ausgangssignal: <br />
:$$ y_2(t) = \pm {s_0}/{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:<br />
*Durch Multiplikation von $y_1(t)$ und $y_2(t)$ erhält man:<br />
$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta) <br />
= \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(α) ≈ α$ folgt daraus:<br />
:$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Das Regelsignal $x(t)$ ist also proportional zum Phasenfehler $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird. Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal $z(t)$ unmittelbar dem Empfangssignal $r(t)$.<br />
*Um die erforderliche Startbedingung $θ ≈ \phi$ zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert. Dies auch, weil die Phase nur modulo $π$ ausgeregelt wird, so dass beispielsweise $\phi - θ = π$ fälschlicherweise zum Regelsignal $x(t) = 0$ führt.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.1:_FDMA,_TDMA_and_CDMA&diff=25208Aufgaben:Exercise 5.1: FDMA, TDMA and CDMA2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1862__Mod_A_5_1.png|right|frame|FDMA, TDMA und CDMA]]<br />
Das Schaubild verdeutlicht das Prinzip von<br />
* ''Frequency Division Multiple Access'' (FDMA),<br />
* ''Time Division Multiple Access'' (TDMA), und<br />
* ''Code Division Multiple Access'' (CDMA).<br />
<br />
<br />
Bei den hier aufgeführten ''Vielfachzugriffsverfahren'' geht man davon aus, dass es mehrere Sender–Empfänger–Paare gibt, die sich ein Übertragungsmedium selbständig aufteilen. Dagegen spricht man von ''Multiplexing'', wenn am Anfang eines Übertragungsweges ein Multiplexer (MUX) mehrere Signale bündelt und am Ende ein Demultiplexer (DEMUX) das gemeinsame Signal wieder auftrennt. Hierfüpr verwendet man abkürzend FDM, TDM und CDM – also ''Frequency (Time, Code) Division Multiplexing.''<br />
<br />
In der vorliegenden Aufgabe ist gefragt, welche dieser Verfahren (FDMA/FDM, TDMA/TDM, CDMA/CDM) einige der auch heute noch wichtigen Kommunikationssysteme (DSL,GSM, UMTS) nutzen.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung|Aufgaben und Klassifizierung]].<br />
<br />
*Informationen zu den betrachteten Kommunikationssystemen finden Sie unter folgenden Links:<br />
:[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|(1) Digital Subscriber Line]] (DSL),<br />
:[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|(2) Global System for Mobile Communications]] (GSM),<br />
:[[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|(3) Universal Mobile Communications Systems]] (UMTS).<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Was bezeichnen FDMA, TDMA und CDMA?<br />
|type="[]"}<br />
- Modulationsverfahren<br />
+ Vielfachzugriffsverfahren,<br />
- Entzerrungsverfahren.<br />
<br />
<br />
{Welche dieser Verfahren sind nur bei Digitalsystemen anwendbar?<br />
|type="[]"}<br />
- FDMA/FDM,<br />
+ TDMA/TDM,<br />
+ CDMA/CDM.<br />
<br />
{Welche Technik(en) nutzt der europäische 2G–Mobilfunkstandard GSM?<br />
|type="[]"}<br />
+ FDMA/FDM,<br />
+ TDMA/TDM,<br />
- CDMA/CDM.<br />
<br />
{Welche Technik(en) nutzt der 3G–Mobilfunkstandard UMTS?<br />
|type="[]"}<br />
+ FDMA/FDM,<br />
- TDMA/TDM,<br />
+ CDMA/CDM.<br />
<br />
{Welche Technik(en) nutzt das „schnelle Internet” (DSL)?<br />
|type="[]"}<br />
+ FDMA/FDM,<br />
- TDMA/TDM,<br />
- CDMA/CDM.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:<br />
*FDMA, TDMA und CDMA sind Vielfachzugriffsverfahren oder auch Multiplextechniken, die man dann allerdings mit FDM, TDM und CDM abkürzt: ''Frequency (Time, Code) Division Multiplexing.<br />
*Mit Modulation und Entzerrung haben diese Begriffe nichts zu tun.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antworten 2 und 3</u>:<br />
*FDMA wird auch bei Analogsystemen eingesetzt, wofür die klassische Rundfunkübertragung (seit den 1930er Jahren) ein Beispiel ist.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antworten 1 und 2</u>:<br />
*Bei GSM werden FDMA und TDMA genutzt. <br />
*Im so genannten D–Band (Uplink: 890 – 915 MHz, Downlink: 935 – 960 MHz) gibt es unter Berücksichtigung der Guard–Bänder von je 100 kHz am oberen und unteren Bereichsende in jeder Richtung 124 FDMA–Kanäle zu je 200 kHz. <br />
*Im E–Band (Uplink: 1710 – 1785 MHz, Downlink: 1805 – 1880 MHz) sind 374 FDMA–Kanäle nutzbar.<br />
*Mit Zeitmultiplex (TDMA) können in jedem Frequenzband zusätzlich acht Teilnehmer versorgt werden. Ein TDMA–Rahmen hat die Länge 4.62 ms, so dass für jeden Teilnehmer in diesem zeitlichen Abstand Zeitschlitze von 0.577 ms Dauer zur Verfügung stehen.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antworten 1 und 3</u>:<br />
*Die in Deutschland eingesetzte ''UMTS–Variante UMTS Terrestrial Radio Access–Frequency Division Duplex'' (UTRA–FDD) besteht aus je zwölf gepaarten Uplink– und Downlink–Frequenzbändern zu je 5 MHz Bandbreite zwischen 1920 MHz und 1980 MHz (Uplink) bzw. zwischen 2110 MHz und 2170 MHz (Downlink). <br />
*Es liegt somit stets auch eine FDMA–Komponente vor. In jedem der 5 MHz–Bänder wird zudem CDMA eingesetzt, so dass in jedem Frequenzband gleichzeitig bis zu 512 Teilnehmer aktiv sein können.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>Antwort 1</u>:<br />
*Für schnelle Internetanbindungen wird heutzutage üblicherweise DSL (''Digital Subscriber Line'') eingesetzt. Dieses basiert auf OFDM (''Orthogonal Frequency Division Multiplexing''), was eine FDM–Variante ist. <br />
*Die einzelnen Spektren sind dabei allerdings nicht getrennt, sondern überlappen sich. <br />
*Aufgrund der Orthogonalität kommt es trotzdem nicht zu gegenseitiger Beeinflussung.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.1 Vielfachzugriffsverfahren^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.1Z:_GSM_System/E%E2%80%93Band&diff=25209Aufgaben:Exercise 5.1Z: GSM System/E–Band2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1863__Mod_Z_5_1.png|right|frame|Multiplexen beim GSM–System]]<br />
Der seit ca. 1992 in Europa etablierte Mobilfunkstandard GSM (''Global System for Mobile Communications'') nutzt gleichzeitig Frequenz– und Zeitmultiplex, um mehreren Teilnehmern die Kommunikation in einer Zelle zu ermöglichen.<br />
<br />
Nachfolgend sind einige Charakteristika des GSM–Systems in etwas vereinfachter Form angegeben. Eine genaue Beschreibung finden Sie im dritten Kapitel des LNTwww–Fachbuches[[Beispiele von Nachrichtensystemen]]. Betrachtet wird hier der Download–Bereich des E–Netzes im Frequenzbereich um 1800 MHz.<br />
* Das Frequenzband des Downlinks (darunter versteht man die Verbindung von der Basis– zur Mobilstation) liegt im Frequenzbereich zwischen 1805 MHz und 1880 MHz. Unter Berücksichtigung der Guard–Bänder an den beiden Enden (je 100 kHz) steht somit für den Uplink eine Gesamtbandbreite von 74.8 MHz zur Verfügung.<br />
* Dieses Band wird von insgesamt $K_{\rm F}$ Teilkanälen (''Radio Frequency Channels'') genutzt, die mit einem jeweiligen Abstand von 200 kHz frequenzmäßig nebeneinander liegen. Die Nummerierung geschieht mit der Laufvariablen $k_{\rm F}$.<br />
* Der Frequenzbereich für den Uplink (die Verbindung von einer Mobilstation zur Basisstation) liegt um 95 MHz unterhalb des Downlinks und ist sonst genau gleich aufgebaut wie dieser.<br />
* Jeder dieser FDMA–Teilkanäle wird gleichzeitig von $K_{\rm T}$ Teilnehmern per TDMA (''Time Division Multiple Access'') genutzt.<br />
* Jedem Teilnehmer steht im Abstand von 4.62 Millisekunden ein Zeitschlitz der Dauer <i>T</i> ≈ 577 μs zur Verfügung. Während dieser Zeit müssen die (näherungsweise) 156 Bit übertragen werden, die das Sprachsignal unter Berücksichtigung von Datenreduktion und Kanalcodierung beschreiben.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung|Aufgaben und Klassifizierung]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]] sowie [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wieviele Teilkanäle ($K_{\rm F}$) entstehen durch Frequenzmultiplex?<br />
|type="{}"}<br />
$K_{\rm F} \ = \ $ { 374 1% } <br />
<br />
{Welche Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ hat der ''Radio Frequency Channel'' im Downlink mit der laufenden Nummer $k_{\rm F} = 100$?<br />
|type="{}"}<br />
$f_{\rm M} \ = \ $ { 1825 1% } $\ \rm MHz$<br />
<br />
{Welcher Uplink–Kanal (Nummer $k_{\rm F}$) benutzt die Mittenfrequenz $f_{\rm M} = 1750 \ \rm MHz$?<br />
|type="{}"}<br />
$k_{\rm F} \ = \ $ { 200 1% }<br />
<br />
{Wieviele Teilkanäle ($K_{\rm T}$) entstehen durch Zeitmultiplex?<br />
|type="{}"}<br />
$K_{\rm T} \ = \ $ { 8 } <br />
<br />
{Wieviele Teilnehmer ($K$) können bei GSM im Download des E–Netzes gleichzeitig aktiv sein?<br />
|type="{}"}<br />
$K\ = \ $ { 2992 1% }<br />
<br />
{Wie groß ist hierbei die Brutto–Bitrate?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm Brutto} \ = \ $ { 270 1% } $\ \rm kbit/s$<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus der Gesamtbandbreite 74.8 MHz und dem Kanalabstand 200 kHz folgt $K_{\rm F}\hspace{0.15cm}\underline { = 374}$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Die Mittenfrequenz des ersten Kanals liegt bei 1805.2 MHz. Der mit „RFCH100” bezeichnete Kanal liegt um 99 · 200 kHz = 19.8 MHz höher:<br />
:$$f_{\rm M} = 1805.2 \,\,{\rm MHz } + 19.8 \,\,{\rm MHz } \hspace{0.15cm}\underline {= 1825 \,\,{\rm MHz }}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Um die Überlegungen zur Teilaufgabe (2) nutzen zu können, transformieren wir die Aufgabenstellung in den Downlink. Der gleiche Kanal mit der Kennung $k_{\rm F}$, der im Uplink die Mittenfrequenz 1750 MHz nutzt, liegt im Downlink bei 1845 MHz. Damit gilt<br />
:$$k_{\rm F} = 1 + \frac {1845 \,\,{\rm MHz } - 1805.2 \,\,{\rm MHz } }{0.2 \,\,{\rm MHz }}\hspace{0.15cm}\underline { = 200}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; In einem TDMA–Rahmen der Dauer 4.62 Millisekunden können acht Zeitschlitze mit jeweiliger Dauer <i>T</i> = 577 μs untergebracht werden. $K_{\rm T} = 8$ wird bei GSM auch tatsächlich verwendet.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (4) erhält man:<br />
:$$K = K_{\rm F} \cdot K_{\rm T} = 374 \cdot 8 \hspace{0.15cm}\underline {= 2992} .$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Während der Zeit <i>T</i> = 577 μs müssen 156 Bit übertragen werden. Damit stehen für jedes Bit die Zeit $T_{\rm B} = 3.699 \ \rm μs$ zur Verfügung. Daraus ergibt sich die Bitrate<br />
:$$R_{\rm Brutto} = \frac {1 }{T_{\rm B}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 270 \,\,{\rm kbit/s }}.$$<br />
Diese Brutto–Bitrate beinhaltet neben den das Sprachsignal beschreibenden Datensymbolen auch die Trainigssequenz zur Kanalschätzung und die Redundanz zur Kanalcodierung. Die Netto–Bitrate beträgt beim GSM–System für jeden der acht Benutzer nur etwa $R_{\rm Netto} = 13 \ \rm kbit/s$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.1 Vielfachzugriffsverfahren^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.6:_OFDM_Spectrum&diff=25218Aufgaben:Exercise 5.6: OFDM Spectrum2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Allgemeine Beschreibung von OFDM<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real- und Imaginärteil des OFDM-Signals]]<br />
Wir betrachten hier ein OFDM–System mit $N = 4$ Trägern. Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall $T$ und gehen auch von der Rahmendauer $T_{\rm R} = T$ aus. Ein Guard–Intervall wird demnach nicht verwendet.<br />
<br />
Mit der Zusammenfassung von Impulsformung und Modulation durch die gemeinsame Funktion<br />
:$$ g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst} \\ \end{array} \right.$$<br />
ergibt sich das (komplexe) OFDM–Sendesignal im betrachteten Zeitintervall ($0 ≤ t < T$) zu:<br />
:$$ s (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu} \cdot g_\mu (t )}.$$<br />
Alle Trägerkoeffizienten $a_0$, $a_1$, $a_2$ und $a_3$ sind entweder $0$ oder $\pm 1$.. Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals $s(t)$ für eine gegebene Kombination von $a_0$, ... , $a_3$, die in der Teilaufgabe (3) ermittelt werden soll.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]] sowie [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist die Amplitude $s_0$ des Sendesignals?<br />
|type="{}"}<br />
$s_0 \ = \ $ { 5 3% } $\ \rm V$ <br />
<br />
{Wie groß ist die Symboldauer <i>T</i>?<br />
|type="{}"}<br />
$T \ = \ $ { 0.2 3% } $\ \rm ms$<br />
<br />
{Welche Amplitudenkoeffizienten liegen der Grafik zugrunde?<br />
|type="{}"}<br />
$a_0 \ = \ $ { 0. } <br />
$a_1 \ = \ $ { 0. } <br />
$a_2 \ = \ $ { 0. } <br />
$a_3 \ = \ ${ -1.01--0.99 }<br />
<br />
{Welche Aussagen sind bezüglich der OFDM&ndash;Betragsfunktion |<i>s</i>(<i>t</i>)| zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
- $|s(t)|$ ist konstant ohne Begrenzung.<br />
+ $|s(t)|$ ist konstant innerhalb von der Symboldauer $T$.<br />
- $|s(t)|$ besitzt einen cosinusförmigen Verlauf.<br />
- $|s(t)|$ besitzt einen sinusförmigen Verlauf.<br />
<br />
{Nun sei $a_0 = 0$, $a_1 = +1$, $a_2 = -1$ und $a_3 = +1$. Berechnen Sie das Spektrum S(f)$. <br />
<br>Welche Werte ergeben sich für die nachfolgend genannten Frequenzen?<br />
|type="{}"}<br />
$S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$<br />
$S(f = 5 \ \rm kHz) \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm mV/Hz$<br />
$S(f = 10\ \rm kHz) \ = \ ${ -1.01--0.99 } $\ \rm mV/Hz$<br />
$S(f = 15 \ \rm kHz) \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm mV/Hz$<br />
<br />
{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben (3) und (5). Welche Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ OFDM erfüllt das erste Nyquist–Kriterium im Zeitbereich.<br />
+ OFDM erfüllt das erste Nyquist–Kriterium im Frequenzbereich.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Das Sendesignal $s(t)$ ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz. Die Amplitude $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm V}$ kann direkt der Grafik entnommen werden.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm ms}$. Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu $f_0 = 1/T = 5\ \rm kHz$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz $3 · f_0$. Daraus folgt $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ sowie für den Bereich $0 ≤ t < T$:<br />
:$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$<br />
Der Vergleich mit der Skizze (Realteil: Minus–Cosinus, Imaginärteil: Minus–Sinus) liefert das folgende Ergebnis: $a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:<br />
* Die Betragsfunktion lautet: &nbsp; $ |s(t)| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$<br />
*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer $T$. Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf +$T$.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:<br />
:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$<br />
*Die si–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz. <br />
*Durch die Nulldurchgänge der si–Funktion im Abstand $f_0$ sowie ${\rm s}i(0) = 1$ erhält man $S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ$. <br />
*Mit $s_0 = 5 \ \rm V$ und $T = 0.2 \ \rm ms$ &nbsp;⇒ &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm mV/Hz$ gilt weiter:<br />
:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0 : S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$<br />
:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1 : S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$<br />
:$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1 : S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$<br />
:$$ \mu = 3, \hspace{0.1cm}a_3 = +1 : S (f = 15\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:<br />
* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe (5) gezeigt. <br />
*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer $T$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.5 Allgemeine Beschreibung von OFDM^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_5.6Z:_Single-Carrier_and_Multi-Carrier_System&diff=25219Aufgaben:Exercise 5.6Z: Single-Carrier and Multi-Carrier System2018-05-29T13:19:58Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Allgemeine Beschreibung von OFDM<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1660__Z_5_6.png|rightframe|frame|Vorgegebene Signalraumzuordnungen|]]<br />
In dieser Aufgabe soll ein Vergleich zwischen <br />
*einem Einträgersystem ($N = 1$) und <br />
*einem Mehrträgersystem mit $N = 32$ Trägern erfolgen. Für beide Übertragungssysteme wird jeweils eine Datenbitrate von $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$ gefordert.<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt die verwendeten Signalraumzuordnungen für den Fall von ''Single–Carrier'' (SC) bzw. ''Multi–Carrier'' (MC).<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].<br />
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur-Amplitudenmodulation]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welches Mapping verwendet das Einträgersystem?<br />
|type="[]"}<br />
- ASK,<br />
+ BPSK,<br />
- 4-QAM<br />
- 16-QAM<br />
<br />
{Welches Mapping verwendet das Mehrträgersystem?<br />
|type="[]"}<br />
- ASK,<br />
- BPSK,<br />
- 4-QAM,<br />
+ 16-QAM<br />
<br />
{Berechnen Sie die Symboldauer $T_{\rm SC}$ des Einträgersystems.<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm SC} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm μs$<br />
<br />
{Berechnen Sie die Symboldauer $T_{\rm MC}$ des Mehrträgersystems.<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm SC} \ = \ $ { 128 3% } $\ \rm μs$<br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
- Die Impulsinterferenzen sind unabhängig von der Symboldauer $T$.<br />
+ Die Impulsinterferenzen nehmen mit steigender Symboldauer $T$ ab.<br />
- Die Impulsinterferenzen nehmen mit steigender Symboldauer $T$zu.<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man sofort, dass das Einträgersystem auf binärer Phasenmodulation (BPSK) basiert &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Dagegen basiert das Mehrträgersystem auf 16–QAM &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt bei einem OFDM&ndash;System mit $N$ Trägern und $M$ Signalraumpunkten für die Symboldauer:<br />
:$$T = N \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.04cm}(M) \cdot T_{\rm{B}}.$$<br />
Wegen $R_{\rm{B}} = 1 \ \rm Mbit/s$ ist die Bitdauer bei der BPSK gleich $T_{\rm{B}} = 1 \ \rm μs$. Daraus ergibt sich für die Symboldauer des Einträgersystems mit $N = 1$ und $M = 2$:<br />
:$$ T_{\rm{SC}} = 1 \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.04cm}(2) \cdot T_{\rm{B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 1\,\,{\rm \mu s}}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise erhält man für das Mehrträgersystem mit $N = 32$ und $M = 16$:<br />
:$$T_{\rm{MC}} = 32 \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.04cm}(16) \cdot T_{\rm{B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 128\,\,{\rm \mu s}}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Bei großer Symboldauer ist der relative Anteil, der vom Vorgängersymbol ins betrachtete Symbol hineinreicht und damit Impulsinterferenzen (ISI) bewirkt, kleiner als bei kleiner Symboldauer. Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.5 Allgemeine Beschreibung von OFDM^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.4Z:_Signal-to-Noise_Ratio_with_PCM&diff=25196Aufgaben:Exercise 4.4Z: Signal-to-Noise Ratio with PCM2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1619__Mod_Z_4_4.png|right|frame|Störabstand von PCM 30/32 im Vergleich zur ZSB–Amplitudenmodulation]]<br />
Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand $10 · \lg \ ρ_v$ für die Pulscodemodulation (PCM) im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit ZSB–AM. Für letztere gilt $ρ_v = ξ$, wobei die Leistungskenngröße<br />
:$$\xi = \frac{\alpha^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
folgende Systemparameter zusammenfasst:<br />
:* den frequenzunabhängigen Dämpfungsfaktor $α$ des Übertragungskanals,<br />
:* die Leistung $P_{\rm S}$ des Sendsignals $s(t)$, auch kurz Sendeleistung genannt,<br />
:* die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ (Bandbreite) des cosinusförmigen Quellensignals $q(t)$,<br />
:* die Rauschleistungsdichte $N_0$ des AWGN–Rauschens.<br />
<br />
<br />
Für das PCM–System wurde auf der Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]] folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:<br />
:$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Hierbei bezeichnet $N$ die Anzahl der Bit pro Abtastwert und $p_{\rm B}$ die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Da $ξ$ bei digitaler Modulation auch als die ''Signalenergie pro Bit''&nbsp; bezogen auf die ''Rauschleistungsdichte'' ($E_{\rm B}/N_0$) interpretiert werden kann, gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal ${\rm Q}(x)$ näherungsweise:<br />
:$$ p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \xi }\right ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Einfluss_von_.C3.9Cbertragungsfehlern|Einfluss von Übertragungsfehlern]] und [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Absch.C3.A4tzung_der_SNR-Degradation_durch_.C3.9Cbertragungsfehler|Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler]].<br />
*Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die PCM 30/32, deren Systemparameter zum Beispiel in der [[Aufgaben:4.1_PCM–System_30/32 |Aufgabe 4.1]] angegeben sind.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wieviele Bit pro Abtastwert &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = N_1$ verwendet das betrachtete PCM–System?<br />
|type="{}"}<br />
$N_1 \ = \ $ { 8 3% } <br />
<br />
{Wieviele Bit pro Abtastwert &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = N_2$ müsste man verwenden, damit $10 · \lg \ ρ_v > 64 \ \rm dB$ (Musikqualität) erreicht wird?<br />
|type="{}"}<br />
$N_2 \ = \ $ { 11 3% } <br />
<br />
{Welche (logarithmierte) Leistungskenngröße $ξ_{40\ \rm dB}$ ist erforderlich, damit bei 8–Bit–PCM der Sinkenstörabstand gleich $40\ \rm dB$ ist?<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB} \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
{Um welchen Faktor könnte man bei PCM die Sendeleistung gegenüber der ZSB–AM reduzieren, um trotzdem $10 · \lg \ ρ_v = 40\ \rm dB$ zu erreichen?<br />
|type="{}"}<br />
$K_\text{AM → PCM} \ = \ $ { 1000 3% } <br />
<br />
{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich für $10 · \lg \ ξ = 6\ \rm dB$ und $N = N_1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Ergebnis zu (1)?<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \%$<br />
<br />
{Welches SNR würde sich bei gleichem $ξ$ mit einer 3–Bit–PCM &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = 3$ ergeben?<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg \ ρ_v \ = \ $ { 15.9 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt. Hier gilt mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$:<br />
:$$ \rho_{v} (\xi \rightarrow \infty) = \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v} \approx 6\,{\rm dB} \cdot N\hspace{0.05cm}.$$<br />
Aus dem ablesbaren Störabstand $10 · \lg \ ρ_v ≈ 48 \ \rm dB$ folgt daraus $N_1\hspace{0.15cm}\underline { = 8}$ Bit pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl $M = 256$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aus der obigen Näherung erhält man für $N_2\hspace{0.15cm}\underline { = 11}$ Bit pro Abtastwert &nbsp; ⇒ &nbsp; $M = 2048$ den Störabstand $66 \ \rm dB$. <br />
*Mit $N = 10$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $M = 1024$ erreicht man nur ca. $60 \ \rm dB$. <br />
*Bei der Compact Disc (CD) werden die PCM–Parameter $N = 16$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $M = 65536$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg \ ρ_v > 96 \ \rm dB$ verwendet.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation wären hierfür $10 · \lg \ ξ = 40\ \rm dB$ erforderlich. Wie aus der Grafik auf der Angabenseite hervorgeht, ist dieser Abszissenwert für die vorgegebene PCM um $30 dB$ geringer ⇒ $10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm dB}$. <br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Der logarithmische Wert $30 \ \rm dB$ entspricht einer um den $Faktor 10^3\hspace{0.15cm}\underline { = 1000}$ reduzierten Leistung.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm dB$ den Störabstand $20 \ \rm dB$ zur Folge hat. Aus $10 · \lg \ ρ_v = 20 \ \rm dB$ folgt $ρ_v = 100$ und damit weiter (mit $N = N_1 = 8$):<br />
:$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100 \hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.5\%} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Bei gleichem $ξ$ ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit weiterhin $p_{\rm B} = 0.025$ gerechnet werden. Damit erhält man mit $N = 3$ (Bit pro Abtastwert):<br />
:$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Weiter ist anzumerken:<br />
*Bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung ($P_{\rm Q} = 0.015625$) schon größer als die Fehlerrauschleistung ($P_{\rm F} = 0.01$). <br />
*Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$ betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen ($P_{\rm F} = 0$).<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.5:_Non-Linear_Quantization&diff=25197Aufgaben:Exercise 4.5: Non-Linear Quantization2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1620__Mod_A_4_5.png|right|frame|PCM-System mit Kompandierung]]<br />
Zur Untersuchung der ''nichtlinearen Quantisierung'' gehen wir vom skizzierten Systemmodell aus, wobei wir den Einfluss des Kanals und der PCM–Codierung bzw. –Decodierung außer Acht lassen. Somit gilt stets $v_{\rm Q}(ν · T_{\rm A}) = q_{\rm Q}(ν · T_{\rm A})$, wobei im Weiteren auf die Zeitangabe $ν · T_{\rm A}$ verzichtet wird.<br />
<br />
Durch den Vergleich von jeweils einer Ausgangsgröße mit einer Eingangsgröße kann man den Einfluss<br />
* des Kompressors &nbsp; ⇒ &nbsp; $q_{\rm K}(q_{\rm A})$,<br />
* des linearen Quantisierers &nbsp; ⇒ &nbsp; $q_{\rm Q}(q_{\rm K})$,<br />
* des nichtlinearen Quantisierers &nbsp; ⇒ &nbsp; $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$,<br />
* des Expanders &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_{\rm E}(v_Q)$ sowie<br />
* des Gesamtsystems &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_{\rm E}(q_{\rm A})$<br />
<br />
<br />
analysieren. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:<br />
<br />
* Alle Abtastwerte $q_{\rm A}$ liegen im Wertebereich $±1$ vor.<br />
* Der (lineare) Quantisierer arbeitet mit $M = 256$ Quantisierungsstufen, die mit $μ = 0$ bis $μ = 255$ gekennzeichnet werden.<br />
* Zur Kompression wird die sogenannte 13–Segment–Kennlinie verwendet.<br />
<br />
<br />
Das bedeutet:<br />
*Im Bereich $|q_{\rm A}| ≤ 1/64$ gilt $q_{\rm K} = q_{\rm A}$. <br />
*Für $q_{\rm A} > 1/64$ ergeben sich mit $k = 1$, ... , $6$ folgende sechs weitere Bereiche der Kompressorkennlinie:<br />
:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}\hspace{0.9cm} {\rm im\,\,Bereich}\hspace{0.9cm}2^{k-7}< q_{\rm A} \le 2^{k-6} \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Weitere sechs Bereiche gibt es für die negativen $q_{\rm A}$–Werte mit $k = -1$, ... , $-6$, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Diese werden in dieser Aufgabe jedoch nicht weiter betrachtet.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|Kompression und Expandierung]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Es gelte $q_{\rm A} = 0.4$. Welchen Ausgangswert $q_{\rm K}$ liefert der Kompressor?<br />
|type="{}"}<br />
$q_{\rm K} \ = \ $ { 0.825 3% } <br />
<br />
<br />
{Zu welchem Quantisierungsintervall $μ$ gehört $q_{\rm A} = 0.4$?<br />
|type="{}"}<br />
$\mu \ = \ $ { 233 }<br />
<br />
{Welcher Quantisierungswert $q_{\rm Q}$ gehört zu $q_{\rm A} = 0.4$?<br />
|type="{}"}<br />
$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.824 3% } <br />
<br />
{Welcher Quantisierungswert $q_{\rm Q}$ gehört dagegen zu $q_{\rm A} = 0.04$?<br />
|type="{}"}<br />
$q_{\rm Q} \ = \ $ { 0.41 3% } <br />
<br />
{Beim Empfänger liegt der Eingangswert $v_{\rm Q} = 211/256 ≈ 0.824$ an. Welchen Wert $v_{\rm E}$ liefert der Expander?<br />
|type="{}"}<br />
$v_{\rm E} \ = \ $ { 0.398 3% } <br />
<br />
{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ auf?<br />
|type="[]"}<br />
+ Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.<br />
- Die Kennlinie $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.<br />
- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß.<br />
+ Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß. <br />
<br />
{Welche Eigenschaften weist die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ auf?<br />
|type="[]"}<br />
- Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Kompressorkennlinie in Stufen.<br />
+ Die Kennlinie $v_{\rm E}(q_{\rm A})$ approximiert die Winkelhalbierende in Stufen.<br />
- Die Stufenbreite ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß.<br />
- Die Stufenhöhe ist in allen Segmenten (außer für $k = 0$) gleich groß. <br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Der Abtastwert $q_{\rm A} = 0.4$ gehört zum Segment $k = 5$, das den Bereich $1/4 < q_{\rm A} ≤ 1/2$ abdeckt. Aus der angegebenen Gleichung folgt daraus mit $k = 5$:<br />
:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = 2^{4-k} \cdot q_{\rm A} + {k}/{8}={1}/{2}\cdot 0.4 + {5}/{8} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.825}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Der Eingangswert des linearen Quantisierers ist nun $q_{\rm K} = 0.825$, so dass folgende Rechnung zutrifft:<br />
:$${105}/{128} < q_{\rm K} = 0.825 \le {106}/{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 105 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 105\hspace{0.15cm}\underline { = 233} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Angabenseite wird das Quantisierungsintervall $μ = 128 + m$ durch den Wert<br />
$q_{\rm Q} = 1/256 + m/128$ repräsentiert. Mit $m = 105$ folgt daraus:<br />
:$$q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{105}{128} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.824} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe (3) gilt mit dem Eingangswert $q_{\rm A} = 0.04$:<br />
:$$ \frac{1}{32} < q_{\rm A} \le \frac{1}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} q_{\rm K} = 2^2 \cdot 0.04 + \frac{2}{8}= 0.41$$<br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{52}{128} < q_{\rm K} = 0.41 \le \frac{53}{128}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \mu = 128 + 52 = 180\hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}q_{\rm Q} = \frac{1}{256} + \frac{52}{128} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.41} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
[[File:Mod_A_4_5_ML_S2a_version2.png|right|frame|Kennlinien von Kompressor (blau) und Expander (grün)]]<br />
'''(5)'''&nbsp; Wir suchen die Lösung in mehreren Schritten:<br />
*Beim Kompressor hat $q_{\rm A} = 0.4$ zum Ausgangswert $q_{\rm K} = 0.825$ geführt und nach der Quantisierung zum Wert $q_{\rm Q} = 0.824$ &ndash; siehe Teilaufgaben (1) und (3). Beachten Sie die roten Markierungen in der Grafik. <br />
*Die Grafik zeigt, dass sich damit empfängerseitig aus $v_{\rm Q} = 0.824$ näherungsweise wieder der Wert $υ_{\rm E} ≈ 0.4$ ergibt&nbsp; &rArr; &nbsp; braune Markierungen in der Grafik.<br />
<br />
<br />
Aufgrund der Quantisierung ist dies jedoch nur eine Näherung. Exakt gilt:<br />
:$$ v_{\rm E} = 0.25 + \frac{0.824-0.750}{0.875-0.750} \cdot 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.398} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Dieser Rechengang ist anhand der Grafik nachvollziehbar. Obwohl die Expanderkennlinie $υ_E(υ_Q)$ gleich der Umkehrfunktion der Kompressorkennlinie $q_K(q_A)$ ist, ergibt sich ein Fehler, da die Eingangsgröße $υ_Q$ des Expanders wertdiskret ist (Einfluss der Quantisierung).<br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie anhand der folgenden linken Grafik nachgeprüft werden kann:<br />
[[File:P_ID1622__Mod_A_4_5f.png|right|frame|13–Segment–Kennlinien: links: $q_{\rm Q}(q_{\rm A})$, &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; rechts: $v_{\rm E}(q_{\rm A})$]]<br />
*Die Breite der einzelnen Stufen ist in jedem Segment unterschiedlich. <br />
*Im äußersten Segment ($k = 6$) beträgt die Stufenbreite $0.5/16 = 1/32$, im nächsten Segment ($k = 5$) nur mehr $0.25/16 = 1/64$.<br />
* Die Stufenbreiten in den weiteren Segmenten sind $1/128 \ (k = 4)$, $1/256 \ (k = 3)$, $1/512\ (k = 2)$ und $1/1024 \ (k = 1)$. <br />
*Der innerste Bereich von $-1/64$ bis $+1/64$ wird in $64$ Stufen unterteilt, woraus sich die Stufenbreite $1/2048$ ergibt.<br />
*Die Stufenhöhe ist dagegen in den Segmenten $k ≠ 0$ konstant gleich $1/8$ geteilt durch $16 = 1/128$ und im mittleren Segment gleich $1/256$.<br />
<br />
<br />
<br />
'''(7)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>nur die zweite Aussage</u>:<br />
* Durch den Expander verläuft die Quantisierung nun entlang der Winkelhalbierenden. <br />
*In jedem Segment sind Stufenbreite und Stufenhöhe konstant. <br />
*Wie die rechte Grafik zeigt, sind aber im nächstinneren Segment die Breite und die Höhe nur mehr halb so groß.<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.5Z:_About_Spread_Spectrum_with_UMTS&diff=25198Aufgaben:Exercise 4.5Z: About Spread Spectrum with UMTS2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS<br />
<br />
<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1974__Bei_Z_4_5.png|right|frame|Quellensignal und Spreizsignal]]<br />
Bei UMTS/CDMA wird die so genannte &bdquo;Pseudo Noise&rdquo;–Modulation (englisch: ''Direct Sequence Spread Spectrum'', abgekürzt '''DS–SS''') angewandt:<br />
*Das rechteckförmige Digitalsignal $q(t)$ wird dabei mit dem Spreizsignal $c(t)$ multipliziert und ergibt das Sendesignal $s(t)$. <br />
*Dieses ist um den Spreizfaktor $J$ höherfrequenter als $q(t)$, und man spricht von ''Bandspreizung''. <br />
*Beim Empfänger wird das gleiche Spreizsignal $c(t)$ phasensynchron zugesetzt und damit die Bandspreizung rückgängig gemacht &nbsp; &rArr; &nbsp; ''Bandstauchung''.<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt beispielhafte Signalverläufe von $q(t)$ und $c(t)$. In Teilaufgabe (5) wird nach Sendechips gefragt. Zum Beispiel bezeichnet das „Sendechip” $s_{3}$ den konstanten Signalwert von $s(t)$ im Zeitintervall $2 T_{\rm C} ... 3 T_{\rm C}$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:''<br />
<br />
*Die Aufgabe bezieht sich meist auf [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]]. <br />
*Zur Berechnung der Chipdauer $T_{\rm C}$ wird auf die Theorieseite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/UMTS–Netzarchitektur#Physikalische_Kan.C3.A4le|Physikalische Kanäle]] im Kapitel &bdquo;UMTS–Netzarchitektur&rdquo; verwiesen. <br />
*Dort findet man unter anderem die Information, dass auf dem so genannten ''Dedicated Physical Channel'' ('''DPCH''' ) in zehn Millisekunden genau $15 \cdot 2560$ Chips übertragen werden.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Welche Aussagen sind richtig?<br />
|type="[]"}<br />
- Bei UMTS ist die Bitdauer $T_{\rm B}$ fest vorgegeben.<br />
+ Bei UMTS ist die Chipdauer $T_{\rm C}$ fest vorgegeben.<br />
- Beide Größen hängen von den Kanalbedingungen ab.<br />
<br />
{Geben Sie die Chipdauer $T_{\rm C}$ und die Chiprate $R_{\rm C}$ im Downlink an.<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm C} \hspace{0.28cm} = \ $ { 0.26 3% } $ \ \rm &micro; s$<br />
$R_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \ $ { 3.84 3% } $ \ \rm Mchip/s$<br />
<br />
{Welcher Spreizfaktor ist aus der Grafik auf der Angabenseite ablesbar?<br />
|type="{}"}<br />
$J \ = \ ${ 4 } <br />
<br />
{Welche Bitrate ergibt sich bei diesem Spreizfaktor?<br />
|type="{}"}<br />
$ R_{\rm B} \ = \ $ { 960 3% } $ \ \rm kbit/s$<br />
<br />
{Welche Werte $(\pm 1)$ haben die „Chips” des Sendesignals $s(t)$?<br />
|type="{}"}<br />
$s_{3} \ = \ $ { -1.03--0.97 }<br />
$s_{4} \ = \ $ { 1 3% }<br />
$s_{5} \ = \ $ { -1.03--0.97 }<br />
$s_{6} \ = \ $ { 1 3% }<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:<br />
*Fest vorgegeben ist bei UMTS die Chipdauer $T_{\rm C}$, die in der Teilaufgabe (2) noch berechnet werden soll. <br />
Je größer der Spreizgrad $J$ ist, desto größer ist die Bitdauer.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Laut dem Hinweis auf der Angabenseite werden in zehn Millisekunden genau $15 \cdot 2560 = 38400$ Chips übertragen. <br />
*Damit beträgt die Chiprate $R_{\rm C} = 100 \cdot 38400 \ {\rm Chips/s} \hspace{0.15cm}\underline{= 3.84 \ \rm Mchip/s}$. <br />
*Die Chipdauer ist der Kehrwert hierzu: $T_{\rm C} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.26 \ \rm \mu s}$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Jedes Datenbit besteht aus vier Spreizchips &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{J = 4}$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Die Bitrate ergibt sich mit $J = 4$ zu $R_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline{= 960 \ \rm kbit/s}$. Mit dem für UMTS maximalen Spreizfaktor $J = 512$ beträgt die Bitrate dagegen nur mehr $7.5 \ \rm kbit/s$.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Für das Sendesignal gilt $s(t) = q(t) \cdot c(t)$. Die Chips $s_{3}$ und $s_{4}$ des Sendesignals gehören zum ersten Datenbit $(q_{1} = +1)$:<br />
:$$s_3 = c_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.4cm}s_4 = c_4 \hspace{0.15cm}\underline {= +1}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Dagegen sind die beiden weiteren gesuchten Sendechips dem zweiten Datenbit $(q_{2} = -1)$ zuzuordnen:<br />
:$$s_5 = -c_5= -c_1 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.4cm}s_6 = -c_6= -c_2 \hspace{0.15cm}\underline {= +1}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^4.3 Nachrichtentechnische Aspekte<br />
<br />
<br />
^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.6:_OVSF_Codes&diff=25199Aufgaben:Exercise 4.6: OVSF Codes2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS<br />
<br />
<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1975__Mod_Z_5_4.png|right|frame|Baumstruktur zur Konstruktion eines OVSF–Codes]]<br />
Die Spreizcodes für UMTS sollen<br />
*alle zueinander orthogonal sein, um gegenseitige Beeinflussung der Teilnehmer zu vermeiden,<br />
*möglichst flexibel sein, um unterschiedliche $J \Rightarrow$ Spreizfaktoren zu realisieren.<br />
<br />
<br />
Ein Beispiel hierfür sind die so genannten '''Codes mit variablem Spreizfaktor''' (englisch: ''Orthogonal Variable Spreading Factor'', OVSF), die Spreizcodes der Längen von $J = 4$ bis $J = 512$ bereitstellen. Diese können, wie in der Grafik zu sehen ist, mit Hilfe eines Codebaums erstellt werden. Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code $\mathcal{C}$ zwei neue Codes<br />
*$(+\mathcal{C} \ +\hspace{-0.05cm}\mathcal{C})$,<br />
*$(+\mathcal{C}\ -\hspace{-0.05cm}\mathcal{C})$.<br />
<br />
<br />
Die Grafik verdeutlicht das hier angegebene Prinzip am Beispiel $J = 4$. Nummeriert man die Spreizfolgen von $0$ bis $J –1$ durch, so ergeben sich hier die Spreizfolgen<br />
:$$ \langle c_\nu^{(0)}\rangle \ = \ {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$\langle c_\nu^{(2)}\rangle \ = \ {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Nach dieser Nomenklatur gibt es für den Spreizfaktor $J = 8$ die Spreizfolgen $\langle c_{\nu}^{(0)} \rangle, \ \text{...} \ ,\langle c_{\nu}^{(7)} \rangle$.<br />
<br />
Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes von anderen Teilnehmern benutzt werden darf. Im Beispiel könnten also vier Spreizcodes mit Spreizfaktor $J = 4$ verwendet werden oder die drei gelb hinterlegten Codes – einmal mit $J = 2$ und zweimal mit $J = 4$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS#Spreizcodes_und_Verw.C3.BCrfelung_bei_UMTS|Spreizcodes und Verwürfelung bei UMTS]].<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Konstruieren Sie das Baumdiagramm für $J = 8$. Welche OVSF–Codes ergeben sich daraus?<br />
|type="[]"}<br />
+ $\langle c_{\nu}^{(1)} \rangle = +1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1$,<br />
- $\langle c_{\nu}^{(3)} \rangle = +1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1$,<br />
+ $\langle c_{\nu}^{(5)} \rangle = +1 –1 +1 –1 –1 +1 –1 +1$,<br />
+ $\langle c_{\nu}^{(7)} \rangle = +1 –1 –1 +1 –1 +1 +1 –1$.<br />
<br />
{Wieviele UMTS–Teilnehmer können mit $J = 8$ maximal bedient werden?<br />
|type="{}"}<br />
$K_{\rm max} \ = \ ${ 8 3% }<br />
<br />
{Wieviele Teilnehmer können versorgt werden, wenn drei von ihnen einen Spreizcode mit $J = 4$ verwenden sollen?<br />
|type="{}"}<br />
$K \ = \ $ { 5 3% }<br />
<br />
{Gehen Sie von einer Baumstruktur für $J = 32$ aus. Ist folgende Zuweisung machbar: <br>Zweimal $J = 4$, einmal $J = 8$, zweimal $J = 16$, achtmal $J = 32$?<br />
|type="()"}<br />
+ Ja.<br />
- Nein.<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
[[File:P_ID1979__Bei_A_4_6a.png|right|frame|OVSF–Baumstruktur für $J = 8$]]<br />
'''(1)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die OVSF–Baumstruktur für $J = 8$ Nutzer. Daraus ist ersichtlich, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u> zutreffen, nicht jedoch der zweite.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Wird jedem Nutzer ein Spreizcode mit $J = 8$ zugewiesen, so können $\underline{K_{\rm max} = 8}$ Teilnehmer versorgt werden.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Wenn drei Teilnehmer mit $J = 4$ versorgt werden, können nur mehr zwei Teilnehmer durch eine Spreizfolge mit $J = 8$ bedient werden (siehe beispielhafte gelbe Hinterlegung in obiger Grafik) &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{K = 5}$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit<br />
*$K_{4} = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 4$,<br />
*$K_{8} = 1$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 8$,<br />
*$K_{16} = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 16$,<br />
*$K_{32} = 8$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 32$.<br />
<br />
<br />
Dann muss folgende Bedingung erfüllt sein:<br />
:$$ K_4 \cdot \frac{32}{4} + K_8 \cdot \frac{32}{8} +K_{16} \cdot \frac{32}{16} +K_{32} \cdot \frac{32}{32} \le 32 \hspace{0.3cm} <br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_4 \cdot8 + K_8 \cdot 4 +K_{16} \cdot 2 +K_{32} \cdot1 \le 32 \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Wegen $2 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 8 = 32$ ist die gewünschte Belegung gerade noch erlaubt &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort JA</u>. <br />
*Die zweimalige Bereitstellung des Spreizgrads $J = 4$ blockiert zum Beispiel die obere Hälfte des Baums, nach der Versorgung der einen Spreizung mit $J = 8$, bleiben auf der $J = 8$–Ebene noch $3$ der $8$ Äste zu belegen, usw. und so fort.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^4.3 Nachrichtentechnische Aspekte<br />
^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.6:_Quantization_Characteristics&diff=25200Aufgaben:Exercise 4.6: Quantization Characteristics2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1623__Mod_Z_4_5.png|right|frame|Nichtlineare Quantisierungskennlinien]]<br />
Es wird die nichtlineare Quantisierung betrachtet und es gilt weiterhin das Systemmodell gemäß [[Aufgaben:4.5_Nichtlineare_Quantisierung| Aufgabe 4.5]]. Die Grafik zeigt zwei Kompressorkennlinien $q_{\rm K}(q_{\rm A})$:<br />
* Rot eingezeichnet ist die sogenannte '''A–Kennlinie''', die vom CCITT (''Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique'') für das Standardsystem PCM 30/32 empfohlen wurde. Für $0 ≤ q_{\rm A} ≤ 1$ gilt hier:<br />
:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A})} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \\ \frac{A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A}} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\frac{1}{A} \le q_{\rm A} \le 1} \hspace{0.05cm}, \\ \\ {q_{\rm A} < \frac{1}{A}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
* Der blau–gestrichelte Kurvenzug gilt für die sog. '''13–Segment–Kennlinie'''. Diese ergibt sich aus der A–Kennlinie durch stückweise Linearisierung; sie wird in der [[Aufgaben:4.5_Nichtlineare_Quantisierung| Aufgabe 4.5]] ausführlich behandelt.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|Kompression und Expandierung]].<br />
<br />
*Für die durchgehend rot gezeichnete A-Kennlinie ist der Quantisierungsparameter $A = 100$ gewählt. Mit dem vom CCITT vorgeschlagenen Wert $A = 87.56$ ergibt sich näherungsweise der gleiche Verlauf. <br />
*Für die beiden weiteren Kurven gilt $A = A_1$ (strich&ndash;punktierte Kurve) bzw. $A = A_2$ (punktierte Kurve), wobei für $A_1$ bzw. $A_2$ die beiden möglichen Zahlenwerte $50$ und $200$ vorgegeben sind. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie entscheiden, welche Kurve zu welchem Zahlenwert gehört.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Argumente sprechen für die nichtlineare Quantisierung?<br />
|type="[]"}<br />
- Das größere SNR – auch bei gleichwahrscheinlichen Amplituden. <br />
+ Bei Audio sind kleine Amplituden wahrscheinlicher als große.<br />
+ Die Verfälschung kleiner Amplituden ist subjektiv störender.<br />
<br />
{Welche Unterschiede gibt es zwischen der A––Kennlinie und der 13–Segment–Kennlinie?<br />
|type="[]"}<br />
+ Die A–Kennlinie beschreibt einen kontinuierlichen Verlauf.<br />
+ Die 13–Segment–Kurve nähert die A–Kennlinie stückweise linear an.<br />
- Bei der Realisierung zeigt die A–Kennlinie wesentliche Vorteile.<br />
<br />
{Lässt sich allein aus $q_{\rm A} = 1 &nbsp; ⇒ &nbsp; q_{\rm K} = 1$ der Parameter $A$ ableiten?<br />
|type="[]"}<br />
- Ja. <br />
+ Nein. <br />
<br />
{Lässt sich $A$ bestimmen, wenn man vorgibt, dass der Übergang zwischen den beiden Bereichen kontinuierlich sein soll? <br />
|type="[]"} <br />
- Ja. <br />
+ Nein. <br />
<br />
{Bestimmen Sie $A$ aus der Bedingung $q_{\rm K}(q_{\rm K} = 1/2) = 0.8756$.<br />
|type="{}"}<br />
$A \ = \ $ { 94 3% } <br />
<br />
{Welche Parameterwerte wurden für die weiteren Kurven verwendet?<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $A_1 = 50$ und $A_2 = 200$.<br />
+ Es gilt $A_1 = 200$ und $A_2 = 50$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>: <br />
*Eine Signalverfälschung von leisen Tönen oder in Sprachpausen wird subjektiv als störender empfunden als zum Beispiel ein zusätzliches Geräusch bei Heavy Metal. <br />
*Bezüglich des Quantisierungsrauschens bzw. des SNR gibt es durch eine nichtlineare Quantisierung allerdings keine Verbesserung, wenn von einer Gleichverteilung der Amplitudenwerte ausgegangen wird. <br />
*Berücksichtigt man aber, dass bei Sprach– und Musiksignalen kleinere Amplituden sehr viel häufiger auftreten als große &nbsp; &Rarr; &nbsp; ''Laplaceverteilung'', so ergibt sich durch die nichtlineare Quantisierung auch ein besseres SNR.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>: <br />
*Durch die Linearisierung in den einzelnen Segmenten ist in diesen bei der 13–Segment–Kennlinie die Intervallbreite der verschiedenen Quantisierungsstufen konstant, was sich bei der Realisierung günstig auswirkt. <br />
*Dagegen gibt es bei der nichtlinearen Quantisierung gemäß der A–Kennlinie keine Quantisierungsintervalle gleicher Breite. Das bedeutet: Die Aussage 3 ist falsch.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>NEIN</u>:<br />
*Für $q_{\rm A} = 1$ erhält man unabhängig von $A$ den Wert $q_{\rm A} = 1$. <br />
*Allein mit dieser Vorgabe kann $A$ also nicht ermittelt werden. <br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig is twiederum <u>NEIN</u>:<br />
*Für $q_{\rm A} = 1/A$ liefern beide Bereichsgleichungen den gleichen Wert $q_{\rm K}= 1/[1 + \ln(A)]$. <br />
*Auch damit kann $A$ nicht bestimmt werden. <br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Mit dieser Forderung ist $A$ nun berechenbar:<br />
:$$0.875 = \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A/2)} {1<br />
\hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} =<br />
\frac{1\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} {\rm ln}(2)<br />
\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+<br />
\hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\approx \frac{1-0.693<br />
\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+<br />
\hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm ln}(A) = \frac{0.875 - 0.307 } {1<br />
-0.875 }= 4.544 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A \hspace{0.15cm}\underline {\approx<br />
94} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 2</u>:<br />
*Die Kurve für $A_1 = 200$ liegt oberhalb der Kurve mit $A = 100$, die Kurve mit $A_2 = 50$ unterhalb. <br />
*Dies zeigt die folgende Rechnung für $q_{\rm A} = 0.5$:<br />
:$$A= 100\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1 + \ln(100) - \ln(2)}{1 + \ln(100)}=<br />
\frac{1+4.605- 0.693} {1 +4.605}\approx<br />
0.876 \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$A= 200\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1+5.298- 0.693} {1 +5.298}\approx<br />
0.890 \hspace{0.05cm},$$<br />
:$$A= 50\text{:}\hspace{0.4cm} q_{\rm K}= \frac{1+3.912- 0.693} {1 +3.912}\approx<br />
0.859 \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.7:_Spectra_of_ASK_and_BPSK&diff=25201Aufgaben:Exercise 4.7: Spectra of ASK and BPSK2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1701__Mod_A_4_6.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von $q(t)$ und $s(t)$ &ndash; gültig für ASK und BPSK]]<br />
Die Sendesignale von ASK (''Amplitude Shift Keying'') und BPSK (''Binary Phase Shift Keying'') können beide in der Form $s(t) = q(t) · z(t)$ dargestellt werden, wobei $z(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_{\rm T}$ und der Amplitude $1$ darstellt. Die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.<br />
<br />
*Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole $±1$ gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.<br />
*Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ \{0, 1\}$ – des Quellensignals<br />
:$$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$<br />
anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν ∈ \{-1, +1\}$ zu berücksichtigen ist. <br />
<br />
In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_q(f)$ und ${\it Φ}_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 \ \rm V$ und der Dauer $T = 1 \ \rm μs$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion:<br />
:$$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$<br />
Zu bestimmen sind die Konstanten $A$, $B$, $C$ und $D$ für die Modulationsverfahren ''ASK'' und ''BPSK''.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]] im Buch „Digitalsignalübertragung”.<br />
*Die Leistungen sind in $\rm V^2$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Werte ergeben sich bei ASK für die Parameter $A = {\it Φ}_q(f = 0)$ und $B$ (Diracgewicht bei $f = 0$)?<br />
|type="{}"}<br />
$A \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$<br />
$B \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$ <br />
<br />
<br />
{Bestimmen Sie für das ASK–Sendesignal die Parameter $C = {\it Φ}_s(f = f_{\rm T})$ und $D$ (Diracgewicht bei $f = f_{\rm T}$) .<br />
|type="{}"}<br />
$C \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$<br />
$D \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \rm V^2$ <br />
<br />
{Welche Werte ergeben sich bei BPSK für die Parameter $A$ und $B$?<br />
|type="{}"}<br />
$A \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$<br />
$B \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ <br />
<br />
{Welche Werte ergeben sich bei BPSK für die Parameter $C$ und $D$?<br />
|type="{}"}<br />
$C \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$ <br />
$D \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen immer zu, also auch dann, wenn $g_q(t)$ kein NRZ–Rechteckimpuls ist?<br />
|type="[]"}<br />
+ Der kontinuierliche Anteil von $ {\it Φ}_q(f)$ ist formgleich mit $|G_q(f)|^2$.<br />
- ${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei ASK eine einzige Diraclinie (bei $f = 0$).<br />
- ${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei BPSK eine einzige Diraclinie (bei $f = 0$).<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V^2}$. <br />
<br />
Ohne diesen Gleichanteil ergäbe sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) – m_q ∈ \{+s_0/2, –s_0/2\}$. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · {\rm si}^2(πfT)$, woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz $f = 0$ ermittelt werden kann:<br />
:$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot<br />
10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $\pm f_{\rm T}$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$.<br />
*Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht $1/4$. <br />
*Die Faltung ${\it Φ}_q(f) ∗ {\it Φ}_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt: <br />
:$$C = {A}/{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm<br />
V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = {B}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$<br />
<br />
''Anmerkung:'' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über ${\it Φ}_s(f)$:<br />
:$$P_{\rm S} = \int_{ - \infty }^\infty \hspace{-0.3cm} {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f<br />
= 2 \cdot \int_{ 0 }^\infty \hspace{-0.3cm} {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm<br />
d}f= 2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] =<br />
2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm<br />
V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1<br />
\,{\rm V^{2}}}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ $\underline{B = 0}$ und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK:<br />
:$$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:<br />
:$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D =<br />
\frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>:<br />
* Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet ${\it Φ}_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. <br />
*Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von $1/T$. <br />
<br />
Weitere Informationen hierzu finden Sie auf der Seite „AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen” im Buch „Digitalsignalübertragung”.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.7:_About_the_Rake_Receiver&diff=25202Aufgaben:Exercise 4.7: About the Rake Receiver2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS}}<br />
<br />
[[File:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE]]<br />
<br />
Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:<br />
<br />
:$$r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $\tau = 1 \ \rm &micro; s$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K, h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$ und $\tau_{1}$.<br />
<br />
Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form<br />
<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$<br />
<br />
angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_{0}, h_{1}, \tau_{0}$ und $\tau_{1}$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{\rm KR}(t)$ soll bei $t = \tau$ liegen.<br />
<br />
Die Konstante $K$ ist aus Normierungsgründen notwendig. Um den Einfluss von AWGN–Rauschen nicht zu verfälschen, muss folgende Bedingung erfüllt sein:<br />
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$<br />
<br />
Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe $1$ und der Breite $T = 5 \ \rm &micro; s$ ist.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].<br />
*Bezug genommen wird auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$?<br />
|type="[]"}<br />
+ $h_{\rm K}(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen.<br />
- $h_{\rm K}(t)$ ist komplexwertig.<br />
- $h_{\rm K}(t)$ ist eine mit der Verzögerungszeit $\tau$ periodische Funktion.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$?<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $H_{\rm K}(f = 0) = 2$.<br />
+ $H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig.<br />
+ $|H_{\rm K}(f)$| ist eine mit der Frequenz $1/ \tau$ periodische Funktion.<br />
<br />
{Setzen Sie $K = 1, h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $\tau_{0}$ und $\tau_{1}$, damit die $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung mit $A_{0} = A_{2}$ erfüllt wird.<br />
|type="{}"}<br />
$\tau_{0} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$<br />
$\tau_{1} \ = \ $ { 0 3% } $\ \rm&micro; s$<br />
<br />
{Welcher Wert ist für die Konstante $K$ zu wählen?<br />
|type="{}"}<br />
$K \ = \ $ { 1.923 3% }<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für die Signale $r(t)$ und $b(t)$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Der Maximalwert von $r(t)$ ist $1$.<br />
- Die Breite von $r(t)$ ist $7 \ \rm &micro; s$.<br />
- Der Maximalwert von $b(t)$ ist $1 \ \rm &micro; s$.<br />
+ Die Breite von $b(t)$ ist $7 \ \rm &micro; s$.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:<br />
*Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.<br />
* Daraus folgt<br />
:$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:<br />
*Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:<br />
:$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:<br />
<br />
*$H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:<br />
:$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$<br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort:<br />
:$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$:<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$<br />
Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$:<br />
:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)] \hspace{0.05cm}.$$ <br />
Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:<br />
:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung<br />
:$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$<br />
Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$):<br />
:$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:<br />
:$$ r(t) \ = \ 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$ b(t) \ = \ \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$<br />
[[File:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]<br />
Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt. <br />
<br />
Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^4.3 Nachrichtentechnische Aspekte<br />
^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.7Z:_Signal_Shapes_for_ASK,_BPSK_and_DPSK&diff=25203Aufgaben:Exercise 4.7Z: Signal Shapes for ASK, BPSK and DPSK2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1702__Mod_Z_4_6.png|right|frame|Vorgegebene Sendesignale nach Modulation]]<br />
Die Abbildung zeigt jeweils ausgehend vom gleichen Quellensignal $q(t)$ die Sendesignale bei<br />
<br />
* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying| Amplitude Shift Keying]] (ASK), <br />
* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying| Binary Phase Shift Keying ]] (BPSK),<br />
* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#DPSK_.E2.80.93_Differential_Phase_Shift_Keying| Differential Phase Shift Keying ]] (DPSK).<br />
<br />
Die Sendesignale sind hier allgemein mit $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ bezeichnet. Die Zuordnung zu den vorgegebenen Modulationsverfahren soll von Ihnen vorgenommen werden.<br />
<br />
Außerdem soll für alle Signale die jeweilige mittlere Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm }B$ in &bdquo;Ws&rdquo; angegeben werden, wobei folgende Annahmen getroffen werden können: <br />
* Die (maximale) Hüllkurve aller trägerfrequenzmodulierten Signale ist $s_0 = 2\ \rm V$.<br />
* Die Bitrate des redundanzfreien Quellensignals beträgt $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$.<br />
* Die Modulatoren arbeiten mit einem Arbeitswiderstand von $R = 50 \ \rm Ω$.<br />
<br />
Beispielsweise würde bei (bipolarer) Basisbandübertragung mit der Symboldauer $T_{\rm } = 1/R_{\rm }$ gelten:<br />
:$$ E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{R} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{50 \,{\rm V/A}}= 8 \cdot 10^{-8} \,{\rm Ws}= 0.08 \,\,{\rm \mu Ws}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]] im Buch „Digitalsignalübertragung”.<br />
*Die Leistungen sind in $\rm V^2$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Signalverlauf beschreibt die ASK?<br />
|type="[]"}<br />
- $s_1(t)$,<br />
- $s_2(t)$,<br />
+ $s_3(t)$.<br />
<br />
{Welche mittlere Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ ergibt sich bei der ASK?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B} \ = \ $ { 0.02 3% } $\ \rm μWs$<br />
<br />
{Welcher Signalverlauf beschreibt die BPSK?<br />
type="[]"}<br />
+ $s_1(t),$<br />
- $s_2(t),$<br />
- $s_3(t).$<br />
<br />
{Welche mittlere Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ ergibt sich bei der BPSK?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B} \ = \ $ { 0.04 3% } $\ \rm μWs$<br />
<br />
{Welcher Signalverlauf beschreibt die DPSK?<br />
type="[]"}<br />
- $s_1(t),$<br />
+ $s_2(t),$<br />
- $s_3(t)$.<br />
<br />
{Welche mittlere Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ ergibt sich bei der DPSK?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B} \ = \ $ { 0.04 3% } $\ \rm μWs$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:<br />
*Das ASK–Signal ergibt sich aus der Multiplikation des hier sinusförmigen Trägersignals $z(t)$ mit dem unipolaren Quellensignal $q(t)$. <br />
*Es ist offensichtlich, dass $s_3(t)$ ein solches ASK–Signal beschreibt.<br />
*Die unipolaren Amplitudenkoeffizienten des Quellensignals lauten $1, 1, 0, 1, 0, 1, 1$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Gegenüber der bipolaren Basisbandübertragung sind bei der ASK folgende Änderungen zu erkennen:<br />
* Die Energie wird wegen der Multiplikation mit dem Sinussignal halbiert.<br />
* Da $q(t)$ als redundanzfrei vorausgesetzt wird, gilt in der Hälfte der Zeit $s_3(t) = 0$, wodurch die Energie nochmals halbiert wird.<br />
<br />
<br />
Damit ergibt sich:<br />
:$$E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{4 \cdot R} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4 \cdot 50 \,{\rm V/A}}= 2 \cdot 10^{-8} \,{\rm Ws}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.02 \,\,{\rm \mu Ws}}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:<br />
*Typisch für die BPSK sind Phasensprünge. <br />
*Da stets das gleiche Quellensignal vorausgesetzt wurde, treten diese Phasensprünge genau dann auf, wenn im ASK–Signal $s_3(t)$ ein Symbolwechsel zu erkennen ist. <br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Von der unter (2) genannten Veränderung gegenüber der Basisbandübertragung ist bei BPSK nur die erste zutreffend. Damit gilt:<br />
:$$E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot R} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.04 \,\,{\rm \mu Ws}}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Wie bereits zu vermuten ist, lautet die richtige Antwort $s_2(t)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>: <br />
<br />
Der DPSK–Modulator arbeitet wie folgt, wobei $m_0 = -1$ vorausgesetzt wird:<br />
:$$ m_0 = -1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_1 = -1,$$<br />
:$$m_1 = -1, \hspace{0.1cm}a_2 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_2 = -1,$$ <br />
:$$m_2 = -1, \hspace{0.1cm}a_3 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_3 = +1,$$ <br />
:$$m_3 = +1, \hspace{0.1cm}a_4 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_4 = +1,$$<br />
:$$m_4 = +1, \hspace{0.1cm}a_5 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_5 = -1,$$ <br />
:$$m_5 = -1, \hspace{0.1cm}a_6 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_6 = -1, \,\,{\rm usw.}$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Ein Vergleich der beiden Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigt, dass sich hinsichtlich der Signalenergie nichts ändert ⇒ Die DPSK weist die genau gleiche Signalenergie auf wie die BPSK:<br />
:$$E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot R} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.04 \,\,{\rm \mu Ws}}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.8:_Different_Error_Probabilities&diff=25204Aufgaben:Exercise 4.8: Different Error Probabilities2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1703__Mod_A_4_7.png|right|frame|AWGN&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeitskurven von ASK, BPSK und DPSK]]<br />
Hier werden die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm B}$ der digitalen Modulationsverfahren ASK und BPSK ohne weitere Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der so genannten Q–Funktion<br />
:$$ \rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$<br />
für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)<br />
* für ''Amplitude Shift Keying'' (ASK):<br />
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$<br />
* für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK):<br />
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Die entsprechende Gleichung für ''Differential Phase Shift Keying'' (DPSK) mit differentiell–kohärenter Demodulation lautet:<br />
:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{N_0 }}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Aber auch die ASK könnte nichtkohärent demoduliert werden. In diesem Fall würde gelten:<br />
:$$ p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/(2{N_0 })}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Die drei ersten Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Beispielsweise erhält man für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ entsprechend den exakten Funktionen:<br />
:$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$<br />
Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ zu erreichen bzw. zu unterschreiten, muss $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$ sein.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].<br />
*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] desBuches „Digitalsignalübertragung”. <br />
<br />
*Für die numerischen Auswertungen können Sie die folgende obere Schranke verwenden:<br />
:$$ \rm Q_{\rm S} (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge \rm Q (\it x)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie die ASK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke ${\rm Q_S}(x)$.<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B} \ = \ $ { 85 3% } $\ \cdot 10^{-5}$<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die BPSK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke ${\rm Q_S}(x)$.<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B} \ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{-5}$<br />
<br />
{Geben Sie für die ASK den minimalen Wert für $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ erreicht wird.<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
{Berechnen Sie die DPSK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \cdot 10^{-5}$<br />
<br />
{Geben Sie für DPSK den minimalen Wert für $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ erreicht wird<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 10.4 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
{Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) benötigt man dagegen bei inkohärenter ASK, um wieder $p_{\rm B} = 10^{–5}$ zu erreichen?<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% } $\ \rm dB$<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $ und damit<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{10} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 }\hspace{0.15cm}\underline {= 85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 · 10^{–4}$. Die angegebene Gleichung ${\rm Q_S}(x)$ ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. Der relative Fehler bei Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ anstelle von ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:<br />
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ nur noch $\5\%$. <br />
*Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6\ \rm dB$ erforderlich. Bei der ASK muss der logarithmierte Wert um etwa $3\ \rm dB$ erhöht werden &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 12.6 \ \rm dB}$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen DPSK–Gleichung gilt mit $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation (BPSK) und der binären Amplitudenmodulation (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:<br />
:$$ \frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Die inkohärente ASK ist entsprechend den angegebenen Gleichungen wieder um $3\ \rm dB$ schlechter als die differentiell–kohärente DPSK. Daraus folgt für den gesuchten dB–Wert: &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 13.4 \ \rm dB}$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.8:_HSDPA_and_HSUPA&diff=25205Aufgaben:Exercise 4.8: HSDPA and HSUPA2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen von UMTS<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1983__Bei_A_4_8.png|right|frame|Übersicht zu HSDPA und HSUPA]]<br />
Um eine bessere Dienstgüte zu erreichen, wurde der UMTS–Standard Release $99$ weiter entwickelt. Die wichtigsten Weiterentwicklungen waren:<br />
*UMTS Release $5$ mit ''HSDPA'' (2002),<br />
*UMTS Release $6$ mit ''HSUPA'' (2004).<br />
<br />
<br />
Zusammengefasst werden diese Entwicklungen als ''High–Speed Packet Access'' (HSPA).<br />
<br />
Das Schaubild zeigt einige Eigenschaften von HSDPA und HSUPA, die besonders zur Steigerung der Leistungsfähigkeit beitragen:<br />
*Beide nutzen ''Hybrid Automatic Repeat Request'' (HARQ) und ''Node B Scheduling''.<br />
*Mit HSDPA wurde der Hochgeschwindigkeits–Transportkanal '''HS–PDSCH''' (''High–Speed Physical Downlink Shared Channel'') neu eingeführt, der von mehreren Nutzern gemeinsam belegt wird und die simultane Übertragung gleicher Daten an viele Teilnehmer ermöglicht.<br />
*Beim HSUPA–Standard gibt es den zusätzlichen Transportkanal ''Enhanced Dedicated Channel'' ('''E–DCH'''). Dieser minimiert unter anderem den negativen Einfluss von Anwendungen mit sehr intensivem bzw. stark unterschiedlichem Datenaufkommen.<br />
*Bei HSPA wird eine adaptive Modulation und Codierung verwendet; die Übertragungsrate wird entsprechend angepasst. Bei guten Bedingungen wird eine $\rm 16–QAM$ ($4$ bit pro Symbol) bzw. $64$–QAM ($6$ bit pro Symbol) verwendet, bei schlechteren Bedingungen nur $\rm 4–QAM\ (QPSK)$.<br />
*Die maximal erreichbare Bitrate hängt von der Leistungsfähigkeit des Empfängers ab, aber auch vom ''Transportformat und den Ressourcenkombinationen'' (TFRC).<br />
<br />
<br />
Von den zehn spezifizierten TFRC–Klassen seien hier willkürlich nur einige aufgeführt:<br />
*TFRC2: &nbsp; $\rm 4–QAM\ (QPSK)$ mit Coderate $R_{\rm C} =1/2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Bitrate $240 \ \rm kbit/s$,<br />
*TFRC4: &nbsp; $\rm 16–QAM$, mit Coderate $R_{\rm C} =1/2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Bitrate $480 \ \rm kbit/s$,<br />
*TFRC8: &nbsp; $\rm 64–QAM$, Coderate $R_{\rm C} =3/4$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Bitrate $1080 \ \rm kbit/s$.<br />
<br />
<br />
Auf andere TFRC–Klassen wird in den Teilaufgaben (4) und (5) eingegangen.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS|Weiterentwicklungen von UMTS]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welcher Standard erlaubt die höchsten Datenraten?<br />
|type="[]"}<br />
- UMTS (Release $99$),<br />
+ HSDPA, <br />
- HSUPA.<br />
<br />
{Was versteht man unter $\rm HARQ$ und was wird damit erreicht?<br />
|type="[]"}<br />
+ Die Übertragung eines Rahmens startet erst nach Auswertung der gesendeten Kontrolldaten durch den Empfänger.<br />
+ Bei fehlerfreier Übertragung wird eine positive Quittung versendet, ansonsten ein NACK (''Non Acknowledgement'').<br />
- Die erreichbare Datenrate wird durch HARQ herabgesetzt, wenn man vom AWGN–Kanal und gleichem $E_{\rm B}/N_{0}$ ausgeht.<br />
<br />
{Was versteht man unter $\rm Node \ B \ Scheduling$ ? Was erreicht man damit?<br />
|type="[]"}<br />
+ Zuweisung von Prioritäten an die einzelnen Datenrahmen.<br />
+ Der Nutzer mit höchster Priorität bekommt den besten Kanal.<br />
+ Durch Scheduling wird die Zellenkapazität signifikant größer.<br />
<br />
{Wie groß ist die Bitrate von $\rm TFRC3$ (QPSK, Coderate $R_{\rm C} =3/4$)?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm B} \ = \ $ { 360 3% } $\ \rm kbit/s$<br />
<br />
{Wie groß ist die Bitrate von $\rm TFRC10$ (64–QAM, Coderate $R_{\rm C} =1$)?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm B} \ = \ $ { 1440 3% } $\ \rm kbit/s$<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.:<br />
*Die Datenübertragungsrate beträgt beim herkömmlichen UMTS zwischen $144 \ \rm kbit/s$ und $2 \ \rm Mbit/s$. <br />
*Für den HSDPA (die Abkürzung steht für ''High–Speed Downlink Packet Access'') werden Datenraten zwischen $500 \ \rm kbit/s$ und $3.6 \ \rm Mbit/s$ angegeben, und als Grenzwert sogar $14.4 \ \rm Mbit/s$.<br />
*HSUPA (''High–Speed Uplink Packet Access'') bezieht sich dagegen auf den Aufwärtskanal, der stets eine kleinere Datenrate als der Downlink aufweist. In der Praxis werden Datenraten bis $800 \ \rm kbit/s$ erreicht, der theoretische Grenzwert liegt bei $5.8 \ \rm Mbit/s$. <br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Die <u>beiden ersten Aussagen</u> sind richtig: <br />
*Eine detaillierte Beschreibung des HARQ–Verfahrens finden Sie im [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#HARQ.E2.80.93Verfahren_und_Node_B_Scheduling|Theorieteil]]. <br />
*Nicht richtig ist dagegen die Aussage 3. Das [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#HARQ.E2.80.93Verfahren_und_Node_B_Scheduling|Diagramm]] im Theorieteil zeigt vielmehr, dass für $10 \cdot {\rm lg} E_{\rm B}/N_{0} = 0 \ \rm dB$ (AWGN–Kanal) die Datenrate von $600 \ \rm kbit/s$ auf nahezu $800 \ \rm kbit/s$ vergrößert werden kann. <br />
*Unterhalb von $-2 \ \rm dB$ ist ausschließlich mit HARQ eine brauchbare Übertragung möglich. Bei guten Kanälen $(E_{\rm B}/N_{0} > 2 \ \rm dB)$ ist HARQ dagegen nicht erforderlich.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen sind richtig</u>. Weitere Hinweise zum ''Node B Scheduling'' finden Sie im [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_von_UMTS#HARQ.E2.80.93Verfahren_und_Node_B_Scheduling|Theorieteil]].<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Die Bitrate $R_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline{= 360 \ \rm kbit/s}$ ist wegen der größeren Coderate um den Faktor (3/4)/(1/2) = $1.5$ größer als die Bitrate von TFRC2.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Mit der Coderate $R_{\rm C} =1$ würde sich bei QPSK $(2 \ \rm bit \ pro \ Symbol)$ die Bitrate $480 \ \rm kbit/s$ ergeben. <br />
<br />
Bei $64$–QAM ($6 \ \rm bit$ pro Symbol) ist der Wert dreimal so groß: $R_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline{= 1440 \ \rm kbit/s}$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^4.4 Weiterentwicklungen von UMTS<br />
^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.8Z:_BPSK_Error_Probability&diff=25206Aufgaben:Exercise 4.8Z: BPSK Error Probability2018-05-29T13:19:57Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion Q(<i>x</i>)]]<br />
Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit <br />
* bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,<br />
* rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $±s_0$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$,<br />
* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,<br />
* Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,<br />
* Entscheider mit optimalem Schwellenwert $E = 0$.<br />
<br />
<br />
Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:<br />
:$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert $σ_d$ am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Tabelle:<br />
:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$<br />
Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form<br />
:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$<br />
geschrieben werden, wobei $E_{\rm B}$ die „Signalenergie pro Bit” angibt. <br />
<br />
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit ''Binary Phase Shift Keying (BPSK)'' lautet:<br />
:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].<br />
*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] des Buches „Digitalsignalübertragung”. <br />
*Die Angabe einer Leistung in $\rm V^2$ bzw. einer Energie in $\rm V^2 s$ bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand $1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$ Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ des Basisbandsystems?<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$<br />
<br />
<br />
{Wie groß ist für diesen Parametersatz die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ beim Basisbandsystem?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8} \ \rm V^2 s$<br />
<br />
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei halber Sendeamplitude &nbsp; &rArr; &nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}$?<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$<br />
<br />
{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ an. Welches Ergebnis stimmt?<br />
|type="[]"} <br />
- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}],$<br />
+ $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}],$<br />
- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}[(4E_{\rm B}/N_0)^{1/2}].$<br />
<br />
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten ergeben sich bei der BPSK für $E_{\rm B}/N_0 = 8$ und $E_{\rm B}/N_0 = 2$?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B}/N_0 = 8\text{:} \ \ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$<br />
$E_{\rm B}/N_0 = 2\text{:} \ \ p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert ergibt sich hier zu<br />
:$$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}<br />
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Beim Basisbandsystem gilt:<br />
:$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$<br />
Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit<br />
:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:<br />
:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$<br />
:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:<br />
*Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man<br />
:$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$<br />
*Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem. <br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben (1) und (3):<br />
:$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$<br />
:$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.14:_Phase_Progression_of_the_MSK&diff=25183Aufgaben:Exercise 4.14: Phase Progression of the MSK2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale in den beiden Zweigen der MSK]]<br />
Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil hervorgeht. <br />
*Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k ∈ \{+1, –1\}$ in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k ∈ \{+1, –1\}$ vorzunehmen. <br />
*Diese Umcodierung wird in der [[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Zusatzaufgabe 4.14Z]] eingehend behandelt.<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls<br />
:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
Dieser ist ebenso wie die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ auf $1$ normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] im Buch „Signaldarstellung”:<br />
:$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$<br />
mit dem Betrag<br />
:$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$<br />
und der Phase<br />
:$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu<br />
:$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].<br />
<br />
*Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve $|s_{TP}(t)|$ der MSK?<br />
|type="[]"}<br />
- Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.<br />
+ Die Hüllkurve ist konstant.<br />
+ Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.<br />
<br />
{Es gelte $T = 1 \ \rm μs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall $0 ≤ t ≤ T$. <br />
<br>Welche Phasenwerte ergeben sich für $t = T/2$ und $t = T$?<br />
|type="{}"}<br />
$ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$ <br />
$ϕ(t = T) \hspace{0.63cm} = \ ${ 90 3% } $\ \rm Grad$<br />
<br />
{Bestimmen Sie die Phasenwerte bei $t = 2T$, $t = 3T$ und $t = 4T$.<br />
|type="{}"}<br />
$ϕ(t = 2T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$<br />
$ϕ(t = 3T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$<br />
$ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$<br />
<br />
{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von $0$ bis $8T$. Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?<br />
|type="{}"}<br />
$ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$<br />
$ϕ(t = 6T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$<br />
$ϕ(t = 7T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$<br />
$ϕ(t = 8T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: <br />
*Beispielsweise gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt, dass $a_0^2 = a_1^2 = 1$ ist:<br />
:$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.<br />
*Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0$ ∈ {+1, –1} und $a_1 ∈ {+1, –1}$.<br />
*Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung gilt:<br />
:$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
Der Quotient $a_1/a_0$ ist stets $+1$ oder $-1$. Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:<br />
:$$\phi(t) = \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [<br />
\tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ]= \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$:<br />
:$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm \mu s}) = {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm \mu s}) = {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ}<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:<br />
:$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$<br />
:$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$ <br />
:$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$<br />
Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist.<br />
<br />
<br />
[[File:P_ID1741__Mod_A_4_13_d.png|right|frame|Quellensignal und Phasenverlauf bei MSK]]<br />
'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$. Man erkennt:<br />
* Beim Quellensymbol $a_\nu =+1$ steigt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ an.<br />
* Beim Quellensymbol $a_\nu =-1$ fällt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ ab.<br />
<br />
Die weiteren Phasenwerte sind somit:<br />
:$$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$<br />
:$$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.14Z:_Offset_QPSK_vs._MSK&diff=25184Aufgaben:Exercise 4.14Z: Offset QPSK vs. MSK2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1742__Mod_Z_4_13.png|right|frame|Koeffizientenzuordnung bei O-QPSK und MSK]]<br />
Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK (kurz: O–QPSK), wie aus den [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbildern]] im Theorieteil hervorgeht.<br />
<br />
Beim normalen Offset–QPSK–Betrieb werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge $〈q_k〉$ einem Bit $a_{{\rm I}ν}$ im Inphasezweig und sowie einem Bit $a_{{\rm Q}ν}$ im Quadraturzweig zugeordnet.<br />
<br />
Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals $q(t)$. Dabei ist zu beachten:<br />
* Die Darstellung der Offset–QPSK gilt für einen rechteckigförmigen Grundimpuls. Die Koeffizienten $a_{{\rm I}ν}$ und $a_{{\rm Q}ν}$ können die Werte $±1$ annehmen.<br />
* Durchläuft der Zeitindex der Quellensymbole die Werte $k =1,$ ... $, 8$, so nimmt die Zeitvariable $ν$ nur die Werte $1,$ ... $, 4$ an.<br />
* Die Skizze berücksichtigt auch den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.<br />
<br />
<br />
Bei der MSK–Realisierung mittels Offset–QPSK ist eine Umcodierung erforderlich. Hierbei gilt mit $q_k ∈ \{+1, –1\}$ und $a_k ∈ \{+1, –1\}$:<br />
:$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$<br />
Beispielsweise erhält man unter der Annahme $a_0 = +1$:<br />
:$$a_1 = a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.2cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,$$<br />
:$$a_3 = a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.2cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Weiter ist zu berücksichtigen:<br />
* Die Koeffizienten $a_0 = +1$, $a_2 = +1$, $a_4 = -1$ sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten $a_6$ und $a_8$ werden dem Signal $s_{\rm I}(t)$ zugeordnet.<br />
* Dagegen werden die Koeffizienten $a_1 = +1$ und $a_3 = -1$ sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal $s_{\rm Q}(t)$ beaufschlagt.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].<br />
<br />
*In [[Aufgaben:4.14_Phasenverlauf_der_MSK |Aufgabe 4.14]] wird die zugehörige Phasenfunktion $ϕ(t)$ ermittelt, wobei ebenfalls der (normierte) MSK–Grundimpuls zugrunde liegt:<br />
:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f:\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist die Bitdauer $T_{\rm B}$ des Quellensignals?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm B} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm μs$<br />
<br />
<br />
{Wie groß ist die Symboldauer $T$ der Offset–QPSK?<br />
|type="{}"}<br />
$T \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm μs$<br />
<br />
{Geben Sie die genannten Amplitudenkoeffizienten der Offset–QPSK an.<br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm I3} \hspace{0.25cm} = \ $ { 1 3% } <br />
$a_{\rm Q3} \ = \ $ { 1 3% }<br />
$a_{\rm I4} \hspace{0.25cm} = \ $ { -1.03--0.97 }<br />
$a_{\rm Q4} \ = \ $ { 1 3% }<br />
<br />
{Wie groß ist die Symboldauer $T$ der MSK?<br />
|type="{}"}<br />
$T \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm μs$<br />
<br />
{Geben Sie die genannten Amplitudenkoeffizienten der MSK an.<br />
|type="{}"}<br />
$a_5 \ = \ $ { -1.03--0.97 }<br />
$a_6 \ = \ $ { 1 3% } <br />
$a_7 \ = \ $ { -1.03--0.97 } <br />
$a_8 \ = \ $ { 1 3% } <br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus der oberen Skizze kann man $T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm μs}$ ablesen.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer $T$ doppelt so groß wie die Bitdauer $T_{\rm B}$:<br />
:$$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt:<br />
:$$ a_{\rm I3} = q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$<br />
:$$a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ <br />
:$$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$<br />
:$$a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Bei der MSK ist die Symboldauer $T$ gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$:<br />
:$$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$:<br />
:$$q_5 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$ <br />
:$$q_6 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$<br />
:$$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$ <br />
:$$q_8 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.15:_MSK_Compared_with_BPSK_and_QPSK&diff=25185Aufgaben:Exercise 4.15: MSK Compared with BPSK and QPSK2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1745__Mod_A_4_14.png|right|frame|Leistungsdichtespektren: BPSK, QPSK, MSK]]<br />
Verglichen werden die Leistungsdichtespektren (im äquivalenten Tiefpassbereich) von<br />
* ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK),<br />
* ''Quaternary Phase Shift Keying'' (QPSK),<br />
* ''Minimum Shift Keying'' (MSK).<br />
<br />
<br />
Diese sind in der Grafik logarithmisch dargestellt, wobei die Frequenz auf den Kehrwert der Bitdauer $T_{\rm B}$ normiert ist. <br />
<br />
<br />
Für die BPSK und die QPSK ist jeweils ein rechteckförmiger Grundimpuls der Höhe $s_0$ und der Symboldauer T vorausgesetzt. Damit gilt für die BPSK und die QPSK (bzw. die 4–QAM und die Offset–QPSK) gleichermaßen:<br />
:$${\it \Phi}_{s}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{4} \cdot \left [ {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f- f_{\rm T}) ) + {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f+ f_{\rm T}) ) \right ]\hspace{0.05cm},$$<br />
und in den äquivalenten Tiefpassbereich transformiert:<br />
:$$ {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{2} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Trotz gleicher Formel weisen die BPSK und die QPSK unterschiedliche Leistungsdichtespektren auf:<br />
*Bei der BPSK (graue Kurve) ist die Symboldauer $T$ gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ und es gilt mit der Energie pro Bit ($E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$):<br />
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Dagegen ist bei der QPSK (blaue Kurve) bei gleichem $E_{\rm B}$ die Symboldauer $T$ doppelt so groß:<br />
$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = 2 \cdot E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( 2\pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Bei der Berechnung des MSK–Spektrums (rote Kurve) kann berücksichtigt werden, dass die MSK als Offset–QPSK entsprechend dem [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29|Blockschaltbild]] im Theorieteil realisiert werden kann, wenn der folgende Grundimpuls verwendet wird:<br />
:$$g(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
In der [[Aufgaben:4.15Z_MSK–Grundimpuls_und_MSK-Spektrum|Zusatzaufgabe 4.14Z]] wird die zugehörige Spektralfunktion berechnet:<br />
:$$G(f) = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Berücksichtigen Sie weiterhin:<br />
* Die beiden Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ sind trotz der Vorcodierung unkorreliert.<br />
* Bei MSK ist entgegen der QPSK wie bei der BPSK $T = T_{\rm B}$ zu setzen.<br />
* Auch bei MSK ist die Energie pro Bit wie folgt gegeben: &nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 · T/2$.<br />
* Der Betrag des Tiefpass–Signals $|s_{\rm TP}(t)| = s_0$ ist gleich dem Maximalwert $g_0$ des Grundimpulses $g(t)$. <br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].<br />
<br />
*Das Leistungsdichtespektrums im äquivalenten Tiefpassbereich eines Zweiges – zum Beispiel: Inphasekomponente – lautet:<br />
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = \frac{1}{2 T} \cdot {\rm E} \left [ a_\nu ^2 \right ] \cdot |G(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Bei welcher Frequenz $f_1$ hat das BPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle? Der Bezugswert ist die Bitrate $1/T_{\rm B}$.<br />
|type="{}"}<br />
$f_1 \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 1/T_{\rm B}$ <br />
<br />
{Bei welcher Frequenz $f_1$ hat das QPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle?<br />
|type="{}"}<br />
$f_1 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 1/T_{\rm B}$ <br />
<br />
{Wie lautet das MSK–Leistungsdichtespektrum im äquivalenten TP–Bereich? Welcher LDS–Wert (normiert auf $E_{\rm B}$) tritt bei $f = 0$ auf?<br />
|type="{}"}<br />
${\itΦ}_\text{s, TP}(f = 0) \ = \ $ { 3.243 3% } $\ \cdot E_{\rm B}$<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen hinsichtlich des asymptotischen Spektralverhaltens zu?<br />
|type="[]"}<br />
- Die erste LDS–Nullstelle kommt bei MSK früher als bei QPSK.<br />
+ Das MSK–Leistungsdichtespektrum klingt schneller ab.<br />
- Bei MSK ist das Integral über ${\itΦ}_\text{s, TP}(f)$ (nicht logarithmiert) größer als bei QPSK.<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus der angegebenen Gleichung und der Grafik erkennt man, dass bei ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) die erste Nullstelle des Leistungsdichtespektrums bei $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =1} \cdot 1/T_{\rm B}$ liegt.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der niedrigeren Symbolrate $1/T$ ist bei ''Quaternary Phase Shift Keying'' (QPSK) &ndash; und bei allen verwandten quaternären Modulationsverfahren &ndash; das Spektrum nur halb so breit wie bei der BPSK &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5} \cdot 1/T_{\rm B}$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Für das Leistungsdichtespektren (LDS) des Gesamtsignals gilt im äquivalenten Tiefpassbereich:<br />
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) + {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm Q},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= 2 \cdot {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {1}/{ T} \cdot |G(f)|^2\hspace{0.05cm}.$$<br />
Hierbei ist berücksichtigt, dass<br />
* die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ unkorreliert sind, so dass man die LDS–Anteile addieren kann,<br />
* wegen der binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten der Erwartungswert $E[a_ν^2] = 1$ ist.<br />
<br />
Damit erhält man:<br />
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{1}{ T} \cdot \left ( \frac {4}{\pi} \right ) ^2 \cdot g_0^2 \cdot T^2 \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi f T )}{ \left [1 - (4 f T)^2 \right ] ^2} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Mit $s_0 = g_0$, $T = T_{\rm B}$ und $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ gilt weiter:<br />
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi \cdot f \cdot T_{\rm B} )}{ \left [1 - (4 \cdot f \cdot T_{\rm B})^2 \right ] ^2}\hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f = 0 )= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.243 \cdot E_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der Lösungsvorschlag 1</u>:<br />
*Bereits aus der Grafik ist zu ersehen, dass die erste Aussage falsch und die zweite richtig ist. <br />
*Der Lösungsvorschlag 3 stimmt ebenfalls nicht. Das Integral über die Leistungsdichtespektren ergibt die Leistung ($E_{\rm B}/T_{\rm B}$). <br />
*Die Signalverläufe von BPSK, QPSK und MSK machen deutlich, dass die Leistung bei konstanter Hüllkurve ($s_0$) für alle betrachteten Modulationsverfahren gleich ist.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.15Z:_MSK_Basic_Pulse_and_MSK_Spectrum&diff=25186Aufgaben:Exercise 4.15Z: MSK Basic Pulse and MSK Spectrum2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK&ndash;Grundimpuls und &ndash;Spektrum]]<br />
Der zur Realisierung der [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29|MSK mittels Offset–QPSK]] stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:<br />
:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion $G(f)$, also die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]] von $g(t)$. Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:<br />
:$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$<br />
Hierbei sind folgende Abkürzungen verweendet:<br />
* $c(t)$ ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude $1$ und (noch zu bestimmender) Frequenz $f_0$.<br />
* $r(t)$ ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude $g_0$ und der Dauer $2T$.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].<br />
<br />
*Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der [[Aufgaben:4.15_MSK_im_Vergleich_mit_BPSK_und_QPSK|Aufgabe 4.15]] verwendet.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie ist die Frequenz $f_0$ der Cosinusschwingung $c(t)$ zu wählen, damit $g(t) = c(t) · r(t)$ gilt?<br />
|type="{}"}<br />
$f_0 \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 1/T$<br />
<br />
{Wie lautet das Spektrum $R(f)$ der Rechteckfunktion $r(t)$? Welcher Spektralwert tritt bei $f = 0$ auf?<br />
|type="{}"}<br />
$R(f=0) \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot g_0 \cdot T$ <br />
<br />
{Berechnen Sie das Spektrum $G(f)$ des MSK&ndash;Impuses $g(t)$, insbesondere den Spektralwert bei $f = 0$.<br />
|type="{}"}<br />
$G(f=0) \ = \ $ { 1.273 3% } $\ \cdot g_0 \cdot T$<br />
<br />
{Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe (3) in einem Term zusammen. Bei welcher Frequenz $f_1$ besitzt $G(f)$ seine erste Nullstelle?<br />
|type="{}"}<br />
$f_1 \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \cdot 1/T$<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer des Cosinussignals muss $T_0 = 4T$ sein. Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe $g_0$ und der Dauer 2T lautet:<br />
:$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz: &nbsp; $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$ Die Spektralfunktion<br />
$C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$. Daraus folgt:<br />
:$$ G(f) = 2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac {1}{2} \cdot \delta (f - f_0 ) + \frac {1}{2} \cdot \delta (f + f_0 )\right ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )= g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ der Teilaufgabe (1) gilt weiter:<br />
:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \right ]$$<br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0) = g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \left [ {\rm si} ( - \frac{\pi}{2} ) + {\rm si} ( +\frac{\pi}{2} ) \right ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \frac{\pi}{2} ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Schreibt man die si–Funktion aus, so erhält man mit $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:<br />
:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]= g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$ <br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f) = g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$ <br />
<br />
*Die Nullstellen von $G(f)$ werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen $f · T = 0.25, 0.75, 1.25,$ ... liegen. <br />
*Allerdings wird die erste Nullstelle bei $f · T = 0.25$ durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben. Deshalb gilt:<br />
:$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.16:_Comparison_between_Binary_PSK_and_Binary_FSK&diff=25187Aufgaben:Exercise 4.16: Comparison between Binary PSK and Binary FSK2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1746__Mod_A_4_15.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven von binärer PSK und binärer FSK]]<br />
Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für eine binäre [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#FSK_.E2.80.93_Frequency_Shift_Keying| FSK–Modulation]] bei<br />
*[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK|kohärenter Demodulation]] bzw. <br />
*[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeit_der_orthogonalen_FSK|inkohärenter Demodulation]]<br />
<br />
im Vergleich zur [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binären Phasenmodulation]] (BPSK). <br />
<br />
Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein.<br />
<br />
Diesem Systemvergleich liegt wieder der [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]] zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei<br />
* ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK):<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$<br />
* ''Binary Frequency Shift Keying'' (BFSK) mit ''kohärenter'' Demodulation:<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$<br />
* ''Binary Frequency Shift Keying'' (BFSK) mit ''inkohärenter'' Demodulation:<br />
:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
In [[Aufgaben:4.8_Fehlerwahrscheinlichkeiten|Aufgabe 4.8]] wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht überschreitet.<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].<br />
<br />
*Verwenden Sie die Näherung $\lg(2) ≈ 0.3$.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei MSK und kohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist?<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
<br />
{Sind die folgenden Aussagen richtig: Das gleiche Ergebnis erhält man bei<br />
|type="[]"}<br />
- einer FSK mit Modulationsindex $h = 0.7$,<br />
+ einer FSK mit Modulationsindex $h = 1$?<br />
<br />
{Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) ist bei FSK mit $h = 1$ und inkohärenter Demodulation erforderlich, damit $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu erfüllen ist?<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich bei inkohärenter FSK&ndash;Demodulation für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$?<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B} \ = \ $ { 1.12 3% } $\ \cdot 10^{-4}$<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Ein Vergleich der beiden ersten Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei der MSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird. <br />
<br />
In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten:<br />
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:<br />
*Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$), sondern für jede Form von orthogonaler FSK. <br />
*Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$. <br />
*Mit $h = 0.7$ ergibt sich keine orthogonale FSK. Es kann aber gezeigt werden, dass sich für $h = 0.7$ sogar eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt. <br />
*Mit $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ erreicht man hier sogar $p_{\rm B} ≈ 10^{–6}$, also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz. <br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:<br />
:$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:<br />
:$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.1:_PCM_System_30/32&diff=25188Aufgaben:Exercise 4.1: PCM System 30/322018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1607__Mod_A_4_1.png|right|frame|Binärdarstellung mit dem Dualcode]]<br />
Über viele Jahre wurde in Deutschland das PCM–System 30/32 eingesetzt, das folgende Spezifikationen aufweist:<br />
* Es erlaubt die digitale Übertragung von 30 Sprachkanälen im Zeitmultiplex zusammen mit je einem Sychronisations– und Wählzeichenkanal &nbsp; ⇒ &nbsp; die Gesamtkanalzahl ist $Z = 32$.<br />
* Jeder einzelne Sprachkanal ist auf den Frequenzbereich von $300 \ \rm Hz$ bis $3400 \ \rm Hz$ bandbegrenzt.<br />
* Jeder einzelne Abtastwert wird durch $N = 8$ Bit dargestellt, wobei vom so genannten Dualcode ausgegangen wird.<br />
* Die Gesamtbitrate beträgt $R_{\rm B} = 2.048 \ \rm Mbit/s$.<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt die Binärdarstellung zweier willkürlich ausgewählter Abtastwerte.<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#PCM.E2.80.93Codierung_und_.E2.80.93Decodierung|PCM-Codierung und -Decodierung]].<br />
<br />
*Für die Lösung der Teilaufgabe (2) ist vorauszusetzen, dass alle Sprachsignale normiert und auf den Bereich $±1$ amplitudenbegrenzt sind.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist die Quantisierungsstufenzahl $M$?<br />
|type="{}"}<br />
$M \ = \ $ { 256 } <br />
<br />
<br />
{Wie wird der Abtastwert $-0.182$ dargestellt? Mit<br />
|type="[]"}<br />
- der Bitfolge 1,<br />
+ der Bitfolge 2,<br />
- keiner von beiden.<br />
<br />
{Wie groß ist die Bitdauer $T_{\rm B}$?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm B} \ = \ $ { 0.488 3% } $\ \rm μs$ <br />
<br />
{In welchem Abstand $T_{\rm A}$ werden die Sprachsignale abgetastet?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm A} \ = \ $ { 125 3% } $\ \rm μs$<br />
<br />
{Wie groß ist die Abtastrate $f_{\rm A}$?<br />
|type="{}"}<br />
$f_{\rm A} \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm kHz$ <br />
<br />
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?<br />
|type="[]"}<br />
- Das Abtasttheorem wird nicht erfüllt.<br />
- Das Abtasttheorem wird gerade noch erfüllt.<br />
+ Die Abtastfrequenz ist größer als der kleinstmögliche Wert.<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Mit $N = 8$ Bit können insgesamt $2^8$ Quantisierungsintervalle dargestellt werden &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{M = 256}$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Nummeriert man die Quantisierungsintervalle von $0$ bis $255$, so steht die &bdquo;Bitfolge 1&rdquo; für<br />
:$$ \mu_1 = 2^7 + 2^5 +2^4 +2^2 +2^1 +2^0 = 255 -2^6 -2^3 = 183\hspace{0.05cm},$$<br />
und die &bdquo;Bitfolge 2&rdquo; für<br />
:$$\mu_2 = 2^6 + 2^5 +2^3 = 104\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Mit dem Wertebereich $±1$ hat jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 1/128$. <br />
*Der Index $μ = 183$ steht somit für das Intervall von $183/128 - 1 = 0.4297$ bis $184/128 - 1 = 0.4375$, während $μ = 104$ das Intervall von $-0.1875$ bis $-0.1797$ kennzeichnet. <br />
*Der Abtastwert $–0.182$ wird somit durch die <u>Bitfolge 2</u> dargestellt.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Die Bitdauer $T_{\rm B}$ ist der Kehrwert der Bitrate $R_{\rm B}$:<br />
:$$T_{\rm B} = \frac{1}{R_{\rm B} }= \frac{1}{2.048 \cdot 10^6\,{\rm 1/s} } \hspace{0.15cm}\underline {= 0.488\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Während der Zeitdauer $T_{\rm A}$ werden $Z · N$ Binärsymbole übertragen:<br />
:$$T_{\rm A} = Z \cdot N \cdot {T_{\rm B} } = 32 \cdot 8 \cdot 0.488\,{\rm \mu s} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Den Kehrwert von $T_{\rm A}$ bezeichnet man als die Abtastrate:<br />
:$$f_{\rm A} = \frac{1}{T_{\rm A} } \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Das Abtasttheorem wäre bereits erfüllt, wenn $f_{\rm A} ≥ 2 · f_\text{N,max} = 6.8 \ \rm kHz$ gelten würde. Richtig ist somit der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.1:_Different_Duplex_Methods_for_UMTS&diff=25189Aufgaben:Exercise 4.1: Different Duplex Methods for UMTS2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Allgemeine Beschreibung von UMTS<br />
<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1930__Bei_A_4_1.png|right|frame|UTRA–FDD und UTRA–TDD]]<br />
Das Anfang der 1990er Jahre geplante und seit 2004 in Europa verfügbare $\rm UMTS$ (''Universal Mobile Telecommunications System'') ist ein so genanntes Mobilfunksystem der 3. Generation. <br />
<br />
Es verwendet in beiden Richtungen – ''Uplink'' und ''Downlink'' – das Vielfachzugriffsverfahren [[Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung#FDMA.2C_TDMA_und_CDMA|CDMA]] (''Code Division Multiple Access'').<br />
<br />
Die Standardisierung sieht im Wesentlichen zwei verschiedene Modi vor:<br />
*${\rm UTRA–FDD}$ (''UMTS Terrestrial Radio Access Frequency Division Duplex'') mit zwölf gepaarten Frequenzbändern für den Uplink ($1920 - 1980 \ \rm MHz$) und den Downlink ($2110 - 2170 \ \rm MHz$).<br />
*${\rm UTRA–TDD}$ (''UMTS Terrestrial Radio Access Time Division Duplex'') stellt vier Kanäle im Frequenzband von $1900 - 1920 \ \rm MHz$ bereit und einen weiteren bei $2020 – 2025 \ \rm MHz$.<br />
<br />
<br />
Für das Frequenzband zwischen $2010$ und $2020 \ \rm MHz$ gibt es derzeit noch keine Lizenz. Dieses ist aber ebenfalls für UTRA–TDD} reserviert.<br />
<br />
Die Grafik zeigt schematisch die Frequenzbandbelegungen von UTRA–FDD (oben) und UTRA–TDD (unten). Man erkennt, dass sich die beiden Verfahren sowohl hinsichtlich des Vielfachzugriffs als auch bezüglich der Duplexrealisierung durchaus unterscheiden.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:''<br />
<br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|Allgemeine Beschreibung von UMTS]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Vollduplexverfahren|Vollduplexverfahren]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
- UMTS ist ein Mobilfunksystem der zweiten Generation.<br />
+ UMTS ist ein Mobilfunksystem der dritten Generation.<br />
- UMTS ist ein Mobilfunksystem der vierten Generation.<br />
<br />
{Wie werden „Uplink” und „Downlink” bei $\rm UTRA–FDD$ getrennt?<br />
|type="[]"}<br />
- Die Daten werden zeitlich getrennt übertragen.<br />
- Die Daten werden im gleichen Frequenzband übertragen.<br />
+ Die Daten werden in gepaarten Frequenzbändern übertragen.<br />
<br />
{Wie werden „Uplink” und „Downlink” bei $\rm UTRA–TDD$ getrennt?<br />
|type="[]"}<br />
+ Die Daten werden zeitlich getrennt übertragen.<br />
+ Die Daten werden im gleichen Frequenzband übertragen.<br />
- Die Daten werden in gepaarten Frequenzbändern übertragen.<br />
<br />
{Wie groß ist die für $\rm UTRA–FDD$ insgesamt zugewiesene Bandbreite?<br />
|type="{}"}<br />
$B_{\rm ges} \ = \ $ { 120 3% } $\ \rm MHz $<br />
<br />
{Welche Bandbreite belegt bei $\rm UTRA–FDD$ jeder Nutzer nach der Bandspreizung sowohl im Uplink als auch im Downlink? <br />
|type="{}"}<br />
$B_{\rm user} \ = \ $ { 5 3% } $ \ \rm MHz $<br />
<br />
{Wie groß ist die Bandbreite eines jeden Nutzers bei $\rm UTRA–TDD$?<br />
|type="{}"}<br />
$B_{\rm user} \ = \ ${ 5 3% } $ \ \rm MHz $<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ In Europa wird ausschließlich der $\rm FDD$–Modus verwendet.<br />
+ Der $\rm TDD$–Modus eignet sich vorwiegend für asymmetrische Dienste.<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 2</u>: <br />
*Ein Vertreter der zweiten Mobilfunkgeneration ist [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM]] (''Global System for Mobile Communications''), das bereits seit Anfang der 1990er Jahre verfügbar ist und auf dem Modulationsverfahren [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying|GMSK]] (''Gaussian Minimum Shift Keying'') basiert. <br />
*Dagegen verwendet UMTS als Vielfachzugriffsverfahren [[Modulationsverfahren/Aufgaben_und_Klassifizierung#FDMA.2C_TDMA_und_CDMA|CDMA]] (''Code Division Multiple Access'').<br />
*Das Mobilfunksystem der vierten Generation ist [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE|LTE]] (''Long Term Evolution''), das auf dem [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|OFDM–Verfahren]] (''Orthogonal Frequency Division Multiplex'') beruht. Die LTE–Einführung begann Anfang der 2010er Jahre.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass für $\rm UTRA–FDD$ die <u>letzte Aussage</u> zutrifft.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>: <br />
*Gemäß der unteren Grafik erfolgt bei $\rm UTRA–FDD$ die Übertragung von Uplink und Downlink im gleichen Frequenzband. <br />
*Die Trennung geschieht per Zeitmultiplex.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Laut Angabe belegen Uplink und Downlink jeweils $60 \ {\rm MHz} \ \Rightarrow \ B_{\rm ges}\hspace{0.15cm}\underline{ = 120 \ \rm MHz}$.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Es gilt jeweils $B_{\rm user} \hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \ \rm MHz}$, sowohl im Uplink als auch im Downlink. Dieser Wert ergibt sich, wenn man die jeweilige gesamte Bandbreite für Uplink und Downlink $(60 \ \rm MHz)$ durch die Anzahl der Kanäle $(12)$ dividiert.<br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp;Hier gilt wiederum $B_{\rm user} \hspace{0.15cm} \underline{= 5 \ \rm MHz}$, wobei aber nun diese Bandbreite per TDMA zwischen Uplink und Downlink aufgeteilt werden muss.<br />
<br />
<br />
'''(7)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen sind richtig</u>: <br />
*Es ist nicht geplant, den C–Modus in Europa anzubieten.<br />
*Bei asymmetrischem Dienst ist das Datenvolumen im Downlink deutlich größer als im Uplink. Beispiele: Surfen und Downloads im Internet.<br />
*Hier würde $\rm FDD$–Modus Sinn machen.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^4.1 Allgemeine Beschreibung von UMTS<br />
^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.2:_UMTS_Radio_Channel_Basics&diff=25190Aufgaben:Exercise 4.2: UMTS Radio Channel Basics2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Allgemeine Beschreibung von UMTS<br />
<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1931__Bei_A_4_2.png|right|frame|Pfadverlust, frequenz&ndash; und zeitselektives Fading]]<br />
Auch bei UMTS gibt es etliche zu Degradationen führende Effekte, die man bei der Systemplanung berücksichtigen muss:<br />
*${\rm Interferenzen}$: Da alle Nutzer gleichzeitig im gleichen Frequenzband versorgt werden, wird jeder Nutzer durch andere Nutzer gestört.<br />
*${\rm Pfadverlust}$: Die Empfangsleistung $P_{\rm E}$ eines Funksignals nimmt mit der Entfernung $d$ um den Faktor $d^{– \gamma}$ ab.<br />
*${\rm Mehrwegeempfang}$: Das Signal erreicht den mobilen Empfänger nicht nur über den direkten Pfad, sondern auf mehreren Wegen &ndash; unterschiedlich gedämpft und verschieden verzögert.<br />
*${\rm Dopplereffekt}$: Bewegen sich der Sender und/oder der Empfänger, so kann es zu Verschiebungen der Frequenz kommen abhängig von Geschwindigkeit und Richtung: Welcher Winkel? Aufeinander zu? Voneinander weg? <br />
<br />
<br />
Im Buch [[Mobile Kommunikation]] wurden diese Effekte bereits im Detail behandelt. Die Diagramme vermitteln nur einige wenige Informationen bezüglich<br />
*Pfadverlust: Der Pfadverlust gibt die Verminderung der Empfangsleistung mit der Entfernung $d$ vom Sender an. Oberhalb des so genannten ''Break Points'' gilt für die Empfangsleistung näherungsweise:<br />
:$$\frac{P(d)}{P(d_0)} = \alpha_0 \cdot \left ( {d}/{d_0}\right )^{-4}.$$<br />
:Nach der oberen Grafik gilt $\alpha_{0} = 10^{–5}$ (entsprechend $50 \ \rm dB$) und $d_{0} = 100 \ \rm m$.<br />
*Frequenzselektives Fading: Die Leistungsübertragungsfunktion $|H_{\rm K}(f)|^{2}$ zu einem gegebenen Zeitpunkt gemäß der mittleren Grafik verdeutlicht frequenzselektives Fading. Die blau–gestrichelt eingezeichnete Horizontale kennzeichnet nicht frequenzselektives Fading.<br />
:Frequenzselektives Fading entsteht, wenn die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ sehr viel kleiner als die Signalbandbreite $B_{\rm S}$ ist. Dabei gilt mit der Mehrwegeverbreiterung (englisch: ''Delay Spread'') $T_{\rm V}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Differenz zwischen der maximalen und der minimalen Verzögerungszeit:<br />
:$$B_{\rm K}\approx \frac{1}{T_{V}}= \frac{1}{\tau_{\rm max}- \tau_{\rm min}}.$$<br />
*Zeitselektives Fading: Die untere Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion $|H_{\rm K}(t)|^{2}$ für eine feste Frequenz $f_{0}$. Die Skizze ist als &bdquo;schematisch&rdquo; zu verstehen, weil für das hier betrachtete zeitselektive Fading genau der gleiche Verlauf gewählt wurde wie in der mittleren Grafik für das frequenzselektive Fading (reine Bequemlichkeit des Autors).<br />
:Hier entsteht eine so genannte Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$, definiert als Differenz zwischen der maximalen und der minimalen Dopplerfrequenz. Der Kehrwert $T_{\rm D} = 1/B_{\rm D}$ wird als ''Kohärenzzeit'' oder auch als ''Korrelationsdauer'' bezeichnet. Bei UMTS tritt immer dann zeitselektives Fading auf, wenn $T_{\rm D} \ll T_{\rm C}$ (Chipdauer) ist.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
<br />
*Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|Allgemeine Beschreibung von UMTS]]. <br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Eigenschaften_des_UMTS-Funkkanals|Eigenschaften des UMTS-Funkkanals]] sowie [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Frequenz.E2.80.93_und_zeitselektives_Fading|Frequenz&ndash; und zeitselektives Fading]].<br />
*Die Bandbreite beträgt bei UMTS $B_{\rm S} = 5 \ \rm MHz$ und die Chipdauer ist $T_{\rm C} \approx 0.26 \ \rm &micro; s$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Berechnen Sie – ausgehend von der oberen Grafik auf der Angabenseite – den Pfadverlust (in $\rm dB$) für $d = \rm 5 \ km$.<br />
|type="{}"}<br />
${\rm Pfadverlust} \ = \ $ { 118 3% } $\ \rm dB $<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten bezüglich des frequenzselektiven Fadings?<br />
|type="[]"}<br />
+ Dieses entsteht durch Mehrwegeempfang.<br />
- Es entsteht durch Bewegung von Sender und/oder Empfänger.<br />
+ Verschiedene Frequenzen werden unterschiedlich gedämpft.<br />
+ Ein Echo im Abstand $1\ \rm &micro; s$ führt zu frequenzselektivem Fading.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten bezüglich des zeitselektiven Fadings?<br />
|type="[]"}<br />
- Dieses entsteht durch Mehrwegeempfang.<br />
+ Es entsteht durch Bewegung von Sender und/oder Empfänger.<br />
- Verschiedene Frequenzen werden unterschiedlich gedämpft.<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der Skizze liegt der Breakpoint bei $d_{0} = 100 \ \rm m$. <br />
*Für $d ≤ d_{0}$ ist der Pfadverlust gleich $\alpha_{0} \cdot (d/d_{0})^{–2}$. Für $d = d_{0} = 100 \ \rm m$ gilt:<br />
:$${\rm Pfadverlust} = \alpha_0 = 10^{-5}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{50\,{\rm dB}}.$$<br />
*Oberhalb von $d_{0}$ ist der Pfadverlust gleich $\alpha_{0} \cdot (d/d_{0})^{–4}$. Somit erhält man in $5 \ \rm km$ Entfernung:<br />
:$${\rm Pfadverlust} = 10^{-5}\cdot 50^{-4} = 1.6 \cdot 10^{-12}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\underline{118\,{\rm dB}}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>: <br />
*Das frequenzselektive Fading ist auf Mehrwegeempfang zurückzuführen: <br />
*Unterschiedliche Frequenzanteile werden durch den Kanal unterschiedlich verzögert und gedämpft.<br />
*Dadurch entstehen Dämpfungs– und Phasenverzerrungen. <br />
*Wegen $\tau_{\rm max} = 1 \ \rm &micro; s$ (vereinfachend wird $\tau_{\rm min} = 0$ gesetzt) ergibt sich weiter<br />
:$$B_{\rm K} = \frac{1}{\tau_{\rm max}- \tau_{\rm min}} = 1\,{\rm MHz}\ \ll \ B_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 5\,{\rm MHz}}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>Aussage 2</u>. Die Aussagen 1 und 3 gelten dagegen für frequenzselektives Fading &ndash; siehe Teilaufgabe (2).<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^4.1 Allgemeine Beschreibung von UMTS<br />
^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.2:_Low-Pass_for_Signal_Reconstruction&diff=25191Aufgaben:Exercise 4.2: Low-Pass for Signal Reconstruction2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliches und diskretes Spektrum]]<br />
Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betrags-Spektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.<br />
* Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:<br />
:$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$<br />
* Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1 \ \rm kHz$, $±2 \ \rm kHz$, $±3 \ \rm kHz$ und $±4 \ \rm kHz$. Somit gilt:<br />
:$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i)$$<br />
:mit $C_1 = 1.0 \ \rm V$, $C_2 = 1.8 \ \rm V$, $C_3 = 0.8 \ \rm V$, $C_4 = 0.4 \ \rm V$. Die Phasenwerte $φ_1$,$φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.<br />
<br />
<br />
Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_{\rm A}$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für<br />
* die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und<br />
* die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl $M$.<br />
<br />
<br />
Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = v(t) - q(t)$. Dieses ist nur dann von $0$ verschieden, wenn die Parameter der Abtastung (Abtastfrequenz $f_{\rm A}$) und/oder der Signalrekonstruktion (Grenzfrequenz $f_{\rm G}$) nicht bestmöglich dimensioniert sind.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$ und für $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ Das Signal $q_{\rm kon}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm kon}(t) = 0$.<br />
- Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ und $f_{\rm G} = 5\ \rm kHz$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.<br />
- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \ \rm kHz$.<br />
- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \ \rm kHz$.<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ und $f_{\rm G} = 3.5\ \rm kHz$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.<br />
+ $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \ \rm kHz$.<br />
- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \ \rm kHz$.<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ und $f_{\rm G} = 6.5\ \rm kHz$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
- Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.<br />
- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \ \rm kHz$.<br />
+ $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \ \rm kHz$.<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>: <br />
*Die Abtastung von $q_{\rm dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da $Q_{\rm dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei $f_4 = 4\ \rm kHz$ beinhaltet und der Phasenwert $φ_4 ≠ 0$ ist. <br />
*Mit dem hier angegebenen Phasenwert $φ_4 = 90^\circ$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm V · \sin(2π · f_4 · t)$. Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z. <br />
*Dagegen kann das Signal $q_{\rm kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz$) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt. <br />
*Der Anteil der $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei $f_4$ keine Diraclinie aufweist.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:<br />
*Mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.<br />
* Mit $f_{\rm G} = f_{\rm A} /2$ sind beide Fehlersignale $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.<br />
*Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_{\rm G} > 4 \ \rm kHz$ und $f_{\rm G} < 6 \ \rm kHz$ gilt.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:<br />
*Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4 kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:<br />
:$$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
[[File:P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|right|frame|Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz]]<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:<br />
*Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum:<br />
*Der Tiefpass entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm kHz$, nicht aber den $6\ \rm kHz$–Anteil. <br />
<br />
Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) – q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit<br />
* der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} – f_4 = 6\ \rm kHz$,<br />
* der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,<br />
* der Phase $φ_{-4} = -φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = -f_4$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.2Z:_About_the_Sampling_Theorem&diff=25192Aufgaben:Exercise 4.2Z: About the Sampling Theorem2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1610__Mod_Z_4_2.png|right|frame|Harmonische Schwingungen unterschiedlicher Phase]]<br />
Das [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]] besagt, dass die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal $q(t)$ enthaltene Frequenz $f_\text {N, max}$:<br />
:$$f_{\rm A} \ge 2 \cdot f_{\rm N,\hspace{0.05cm}max}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm A} \le \frac{1}{2 \cdot f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Wird diese Bedingung erfüllt, so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen (idealen) Tiefpass mit dem Frequenzgang<br />
:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| = f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm G}} \\ \end{array}$$<br />
vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann $v(t) = q(t)$. Die Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen. Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum $Q(f)$ keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz $f_\text {N, max}$ beinhaltet.<br />
<br />
In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet, die sich jeweils als harmonische Schwingung<br />
:$$q(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t - \varphi)$$<br />
mit der Amplitude $A = 1\ \rm V$ und der Frequenz $f_{\rm N}= 5 \ \rm kHz$ darstellen lassen. Für die Spektralfunktion $Q(f)$ aller dargestellten Zeitsignale gilt allgemein:<br />
:$$Q(f) = \frac{A}{2} \cdot \delta (f- f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}+ \frac{A}{2} \cdot \delta (f+ f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Die in der Grafik skizzierten Schwingungen unterscheiden sich allein durch die Phase $φ$:<br />
* $φ_1 = 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Cosinussignal $q_1(t)$,<br />
* $φ_2 = π/2 \ (= 90^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Sinussignal $q_2(t)$,<br />
* $φ_3 = π/4 \ (= 45^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Signal $q_3(t)$.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].<br />
*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Aussagen gelten mit $f_{\rm A} = 11\ \rm kHz$?<br />
|type="[]"}<br />
+ Das Abtasttheorem wird stets erfüllt.<br />
+ Alle Signale können durch einen Tiefpass rekonstruiert werden.<br />
+ Es gilt stets $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q(f = 5 \ \rm kHz)$.<br />
<br />
<br />
{Welcher Abtastabstand ergibt sich mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm A} \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \rm ms$ <br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für das Signal $q_1(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$? <br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q_1(f = 5 \ \rm kHz)$.<br />
+ Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$.<br />
- Das rekonstruierte Signal ist $v_1(t) \equiv 0$.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für das Signal $q_2(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q_2(f = 5 \ \rm kHz)$.<br />
- Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_2(t) = q_2(t)$.<br />
+ Das rekonstruierte Signal ist $v_2(t) \equiv 0$.<br />
<br />
{Welche Aussagen gelten für das Signal $q_3(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$?<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm kHz) = Q_3(f = 5 \ \rm kHz)$.<br />
- Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_3(t) = q_3(t)$.<br />
- Das rekonstruierte Signal ist $v_3(t) \equiv 0$.<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> sind zutreffend:<br />
* Das Abtasttheorem wird mit $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz > 2 · 5 \ \rm kHz$ erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist. <br />
*Das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ ergibt sich aus $Q(f)$ durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand $f_{\rm A}$, was in der ersten Grafik am Beispiel der Spektralfunktion $Q_3(f)$ allgemein verdeutlicht wird.<br />
*Durch einen rechteckförmigen Tiefpass mit Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm kHz$ erhält man das ursprüngliche Spektrum $Q(f)$.<br />
<br />
[[File:P_ID1611__Mod_Z_4_2a.png|P_ID1611__Mod_Z_4_2a.png|center|frame|Spektralfunktion des abgetasteten Signals]]<br />
<br />
Die Verschiebung um<br />
* $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $+6 \ \rm kHz$ und $+16 \ \rm kHz$,<br />
* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $-6 \ \rm kHz$ und $-16 \ \rm kHz$,<br />
* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $+17 \ \rm kHz$ und $+27 \ \rm kHz$,<br />
* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm kHz$ liefert Spektrallinien bei $-17 \ \rm kHz$ und $-27 \ \rm kHz$.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Der Abtastabstand ist gleich dem Kehrwert der Abtastfrequenz:<br />
:$$ T_{\rm A} = {1}/{f_{\rm A} }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:<br />
*Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$ das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$: Alle Spektrallinien sind reell. <br />
*Die Periodifizierung von $Q(f)$ mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$ führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei $±f_{\rm N}$, $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$, $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ... <br />
*Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht $A$, während die beiden Spektrallinien von $Q(f)$ nur jeweils mit $A/2$ gewichtet sind.<br />
*Wegen $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$ ist das Spektrum $V_1(f)$ nach dem Tiefpass identisch mit $Q_1(f)$ und dementsprechend gilt auch $v_1(t) = q_1(t)$.<br />
*Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: Die Abtastwerte von $q_1(t)$ liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase. <br />
<br />
[[File:P_ID1612__Mod_Z_4_2c.png|P_ID1612__Mod_Z_4_2c.png|center|frame|Spektralfunktion des abgetasteten Cosinussignals]]<br />
<br />
[[File:P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|right|frame|Abgetastetes Sinussignal]]<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:<br />
*Alle Abtastwerte von $q_2(t)$ liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier $q_{\rm A}(t) \equiv 0$ gilt. <br />
*Damit ergibt sich aber natürlich auch $v_2(t) \equiv 0$. <br />
*Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe (1) herleiten. $Q(f)$ ist rein imaginär und die Imaginärteile bei $±f_{\rm N}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf ⇒ $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $V_2(f) \equiv 0$.<br />
<br />
[[File:P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|right|frame|Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase $φ_3 = π/4$]]<br />
'''(5)'''&nbsp; <u>Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen</u> ist richtig:<br />
*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe (1) die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 11 \ \rm kHz$ durch $f_{\rm A} = 10 \ \rm kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus. <br />
*Das heißt, dass nun $Q_{\rm A}(f)$ und $V_3(f)$ reelle Spektren sind. Das heißt weiter: Die Phaseninformation geht verloren ($φ = 0$) und das Ausgangssignal $v_3(t)$ ist ein Cosinussignal. <br />
*Die Signale $q_3(t)$ und $v_3(t)$ unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase. Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.<br />
<br />
<br />
Die Grafik zeigt türkisfarben das Signal $q_3(t)$, dessen Abtastwerte (Kreise) sowie rot gestrichelt das Ausgangssignal $v_3(t)$ des Tiefpasses. Man erkennt, dass der Tiefpass genau das Ergebnis liefert, für das wahrscheinlich auch Sie sich entscheiden würden, wenn Sie durch die (roten) Abtastwerte einen Kurvenzug einzeichnen sollten. <br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.3:_Natural_and_Discrete_Sampling&diff=25193Aufgaben:Exercise 4.3: Natural and Discrete Sampling2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1615__Mod_A_4_3.png|right|frame|PCM-Signale bei natürlicher und diskreter Abtastung]]<br />
Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals $q(t)$ mit einem [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]] $p_δ(t)$ beschreiben:<br />
:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$<br />
Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls $p_δ(t)$ lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:<br />
:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}<br />
g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
Die Dauer $T_R$ eines Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der sog. ''natürlichen Abtastung'' und der sog. ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:<br />
* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal $q_A(t)$ gleich dem Produkt aus Rechteckpuls $p_R(t)$ und analogem Quellensignal $q(t)$:<br />
:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$<br />
* Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung:<br />
:$$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.<br />
<br />
Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm T}$ im Durchlassbereich eingesetzt:<br />
:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung|Natürliche und diskrete Abtastung]].<br />
*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Es gelte $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$. Geben Sie hierfür das normierte Spektrum $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$ an. Welcher Spektralwert tritt bei $f = 0$ auf?<br />
|type="{}"}<br />
$G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% } <br />
<br />
{Wie lautet das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ bei natürlicher Abtastung? Vorschläge:<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.<br />
+ Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})] ∗ Q(f)$.<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.<br />
<br />
{ Eignet sich bei natürlicher Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?<br />
|type="[]"}<br />
+ Ja. <br />
- Nein. <br />
<br />
{ Wie lautet das Spektrum $Q_A(f)$ bei diskreter Abtastung? Vorschläge:<br />
|type="[]"}<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.<br />
- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})] ∗ Q(f)$.<br />
+ Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.<br />
<br />
{Eignet sich bei diskreter Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?<br />
|type="[]"}<br />
- Ja. <br />
+ Nein. <br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Das Spektrum des Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ mit Amplitude $1$ und Dauer $T_{\rm R}$ lautet:<br />
:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} <br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>: <br />
*Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:<br />
:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>JA</u>:<br />
* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses<br />
:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$<br />
*Ist das Abtasttheorem erfüllt und der Tiefpass richtig dimensioniert, so liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich. <br />
*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:<br />
:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>. <br />
*Verlagert man den Faktor $1/T_A$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:<br />
$$ q_{\rm A}(t) = \left [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \right ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}<br />
\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \left [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \right ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Die Antwort ist <u>NEIN</u>:<br />
* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern ($μ = 0$) des Faltungsproduktes. <br />
*Alle anderen Terme ($μ ≠ 0$) werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$:<br />
:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der si–Funktion gedämpft. <br />
*Die höchste Signalfrequenz ($f = f_{\rm A}/2$) wird hierbei am stärksten abgesenkt:<br />
:$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2}) = Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=<br />
Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.4:_About_the_Quantization_Noise&diff=25194Aufgaben:Exercise 4.4: About the Quantization Noise2018-05-29T13:19:56Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang]]<br />
Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{\rm max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.<br />
*Im mittleren Zeitbereich $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt: &nbsp; $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$<br />
*Die Leistung des Signals $q(t)$ bezeichnen wir hier als die Sendeleistung $P_{\rm S}$ .<br />
<br />
<br />
$q(t)$ wird entsprechend der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert: <br />
*Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{\rm max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$ aufweist. <br />
*Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe (5) ausgegangen werden.<br />
<br />
Die so genannte '''Quantisierungsrauschleistung''' ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_{\rm Q}(t) – q(t)$ definiert. Es gilt<br />
:$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$<br />
wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist. <br />
<br />
Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis &nbsp; $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$ das meist logarithmisch (in dB) angegeben wird.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Quantisierung_und_Quantisierungsrauschen|Quantisierung und Quantisierungsrauschen]].<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie die Signalleistung $P_{\rm S}$ (auf den Widerstand $1 \ \rm Ω$ bezogen).<br />
|type="{}"}<br />
$P_{\rm S} \ = \ $ { 12 3% } $\ \rm V^2$ <br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal $ε(t)$ zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ $ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.<br />
- $ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.<br />
+ $ε(t)$ ist auf den Bereich $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$ beschränkt.<br />
+ $ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.<br />
<br />
{Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ für $M=6$?<br />
|type="{}"}<br />
$P_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3% } $\ \rm V^2$ <br />
<br />
{Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für $M = 6$.<br />
|type="{}"}<br />
$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 15.56 3% } $\ \rm dB$ <br />
<br />
{Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit $N = 8$ bzw. $N = 16$ Bit? <br />
|type="{}"}<br />
$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $ { 48.16 3% } $\ \rm dB$<br />
$N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ ${ 96.32 3% } $\ \rm dB$<br />
<br />
{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für $ρ_{\rm Q}$ angewandt werden kann?<br />
|type="[]"}<br />
+ Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.<br />
+ Es liegt ein linearer Quantisierer vor.<br />
+ Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst ($Q_{\rm max} = q_{\rm max}$).<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Die Signalleistung $P_{\rm S} $ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand $1 \ \rm Ω$ verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit $\ \rm V^2$ in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich $T_0/2$:<br />
:$$P_{\rm S} = \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t= \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ erhält man $P_\rm S = 12 \ V^2$.<br />
<br />
<br />
[[File:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|frame|Fehlersignal für <i>Q</i><sub>max</sub> = <i>q</i><sub>max</sub>]]<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:<br />
*Wir gehen hier von $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ aus. <br />
*Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal $ε(t)$ zwischen $±1\ \rm V$. <br />
*Die Periodendauer ist $T_0' = T_0/6$.<br />
<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe (1). Zu beachten ist allerdings die um den Faktor $M$ kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:<br />
:$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgaben (1) und (3) führen zum Quantisierungs–SNR:<br />
:$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Mit $M = 2^N$ erhält man allgemein:<br />
:$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.02\,{\rm dB}} \cdot N .$$<br />
Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:<br />
:$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$<br />
:$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; <u>Alle genannten Voraussetzungen</u> müssen erfüllt sein:<br />
*Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang $ρ_{\rm Q} = M^2$ nicht. <br />
*Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist $ρ_{\rm Q} = M^2$ ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird. <br />
*Ist $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem unzulässigen Abschneiden der Spitzen, während mit $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.<br />
<br />
[[File:P_ID1618__Mod_A_4_4f.png|center|frame|Quantisierung mit <i>Q</i><sub>max</sub> ≠ <i>q</i><sub>max</sub>]]<br />
<br />
Die Grafik zeigt die Fehlersignale $ε(t)$ für $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ (links) und $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$ (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt (3) berechnet.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.1 Pulscodemodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.4Z:_Continuous_Phase_Frequency_Shift_Keying&diff=25171Aufgaben:Exercise 3.4Z: Continuous Phase Frequency Shift Keying2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle<br />
}} <br />
<br />
[[File:P_ID1231__Bei_Z_3_4.png|right|frame|Signale zu $\rm CP&ndash; FSK$]]<br />
Die Grafik zeigt drei FSK–Sendesignale, die sich hinsichtlich des Frequenzhubs $\Delta f_{\rm A}$ und somit auch durch ihren Modulationsindex<br />
:$$h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T$$<br />
unterscheiden. <br />
<br />
Das digitale Quellensignal $q(t)$, das den Signalen $s_{\rm A}(t), s_{\rm B}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ zugrundeliegt, ist oben dargestellt. Alle betrachteten Signale sind auf die Amplitude $1$ und die Zeitdauer $T$ normiert und basieren auf einem Cosinusträger mit der Frequenz $f_{\rm T}$.<br />
<br />
Bei binärer FSK (''Binary Frequency Shift Keying'') treten nur zwei verschiedene Frequenzen<br />
*$f_{1}$ (falls $a_{\nu} = +1$),<br />
*$f_{2}$ (falls $a_{\nu} = -1$)<br />
<br />
<br />
auf, die jeweils über eine Bitdauer konstant bleiben. <br />
<br />
Ist der Modulationsindex kein Vielfaches von $2$, so ist eine kontinuierliche Phasenanpassung erforderlich, um Phasensprünge zu vermeiden. Man spricht dann von ''Continuous Phase Frequency Shift Keying $ (\rm CP&ndash; FSK)$.<br />
<br />
Ein wichtiger Sonderfall stellt die binäre FSK mit dem Modulationsindex $h = 0.5$ dar, die auch als ''Minimum Shift Keying'' $(\rm MSK)$ bezeichnet wird. Diese wird in dieser Aufgabe behandelt.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Kontinuierliche_Phasenanpassung_bei_FSK|Kontinuierliche Phasenanpassung bei FSK]].<br />
<br />
*Das interaktive Applet [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation|Frequency Shift Keying und Continuous Phase Modulation]] verdeutlicht die hier behandelte Thematik.<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für die FSK und speziell für die MSK zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ Die FSK ist im allgemeinen ein nichtlineares Modulationsverfahren.<br />
+ Die MSK ist als Offset–QPSK realisierbar und damit linear.<br />
- Es ergibt sich die gleiche Bitfehlerrate wie für die QPSK.<br />
+ Eine Bandbegrenzung ist weniger störend als bei QPSK<br />
+ Die MSK–Hüllkurve ist auch bei Spektralformumg konstant.<br />
<br />
{Welche Frequenzen $f_{1}$ (für Amplitudenkoeffizient $a_{\nu} = +1$) und $f_{2}$ (für $a_{\nu} = -1$) beinhaltet das Signal $s_{\rm A}(t)$?<br />
|type="{}"}<br />
$f_{1} \cdot T \ = \ $ { 5 3% }<br />
$f_{2} \cdot T \ = \ $ { 3 3% }<br />
<br />
{Wie groß sind beim Signal $s_{\rm A}(t)$ die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, der Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ und der Modulationsindex $h$?<br />
|type="{}"}<br />
$f_{\rm T} \cdot T \ = \ $ { 4 3% }<br />
$\Delta f_{\rm A} \cdot T \ = \ $ { 1 3% }<br />
$h \ = \ $ { 2 3% }<br />
<br />
{Wie groß ist der Modulationsindex beim Signal $s_{\rm B}(t)$?<br />
|type="{}"}<br />
$h \ = \ $ { 2 3% }<br />
<br />
{Wie groß ist der Modulationsindex beim Signal $s_{\rm C}(t)$?<br />
|type="{}"}<br />
$h \ = \ $ { 0.5 3% }<br />
<br />
{Bei welchen Signalen war eine kontinuierliche Phasenanpassung erforderlich?<br />
|type="[]"}<br />
- $s_{\rm A}(t)$,<br />
+ $s_{\rm B}(t)$,<br />
+ $s_{\rm C}(t)$.<br />
<br />
{Welches Signal beschreibt ''Minimum Shift Keying'' (MSK)?<br />
|type="[]"}<br />
- $s_{\rm A}(t)$,<br />
- $s_{\rm B}(t)$,<br />
+ $s_{\rm C}(t)$.<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen mit Ausnahme der dritten treffen zu</u>: <br />
*Die im allgemeinen nichtlineare FSK kann nur kohärent demoduliert werden, während bei MSK auch ein nichtkohärentes Demodulationsverfahren angewendet werden kann. <br />
*Gegenüber der QPSK mit kohärenter Demodulation muss bei der MSK für die gleiche Bitfehlerrate ein um $3 \ \rm dB$ größeres $E_{\rm B}/N_{0}$ (Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte) aufgewendet werden.<br />
*Die erste Nullstelle im Leistungsdichtespektrum tritt zwar bei MSK später auf als bei der QSPK, aber es zeigt sich ein schnellerer asymptotischer Abfall als bei QSPK. <br />
*Die konstante Hüllkurve der MSK führt dazu, dass Nichtlinearitäten in der Übertragungsstrecke keine Rolle spielen. Dies ermöglicht den Einsatz einfacher und kostengünstiger Leistungsverstärker mit geringerem Leistungsverbrauch und damit auch längere Betriebsdauern akkubetriebener Geräte.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Man erkennt aus der Grafik fünf bzw. drei Schwingungen pro Symboldauer:<br />
:$$f_{\rm 1} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline {= 5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm 2} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline { = 3}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Bei FSK mit rechteckförmiger Impulsform treten nur die zwei Augenblicksfrequenzen $f_{1} = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}$ und $f_{2} = f_{\rm T} – \Delta f_{\rm A}$ auf. Mit dem Ergebnis aus (2) erhält man somit:<br />
:$$f_{\rm T} \ = \ \frac{f_{\rm 1}+f_{\rm 2}}{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm T} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ \Delta f_{\rm A} \ = \ \frac{f_{\rm 1}-f_{\rm 2}}{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline { = 1}\hspace{0.05cm},$$ <br />
:$$h \ = \ 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik erkennt man die Frequenzen $f_{1} \cdot T = 4.5$ und $f_{2} \cdot T = 3.5$. Daraus ergibt sich der Frequenzhub $\Delta f_{\rm A} \cdot T = 0.5$ und der Modulationsindex $\underline{h = 1}$.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Hier treten die beiden (normierten) Frequenzen $f_{1} \cdot T = 4.25$ und $f_{2} \cdot T = 3.75$ auf, womit sich der Frequenzhub $\Delta f_{\rm A} \cdot T = 0.25$ und der Modulationsindex $\underline{h = 0.5}$ berechnen lassen.<br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:<br />
*Lediglich bei $s_{\rm A}(t)$ wurde keine Phasenanpassung vorgenommen. <br />
*Hier sind die beiden Signalverläufe im Bereich des ersten und zweiten Bit ($a_{1} = a_{2} = +1$) jeweils cosinusförmig wie das Trägersignal (jeweils bezogen auf die Symbolgrenze). <br />
*Dagegen ist im zweiten Symbol von $s_{\rm B}(t)$ ein minus–cosinusförmiger Verlauf (Anfangsphase $\phi_{0} = π$ entsprechend $180^\circ$) zu erkennen und im zweiten Symbol von $s_{\rm C}(t)$ ein minus–sinusförmiger Verlauf ($\phi_{0} = π /2$ bzw. $90^\circ$). <br />
*Bei $s_{\rm A}(t)$ ist die Anfangsphase stets $0$, bei $s_{\rm B}(t)$ entweder $0$ oder $π$, während beim Signal $s_{\rm C}(t)$ mit Modulationsindex $h = 0.5$ insgesamt vier Anfangsphasen möglich sind: $0^\circ, \ 90^\circ, \ 180^\circ$ und $270^\circ$.<br />
<br />
<br />
'''(7)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>, da für dieses Signal $h = 0.5$ gilt. <br />
*Dies ist der kleinstmögliche Modulationsindex, für den Orthogonalität zwischen $f_{1}$ und $f_{2}$ innerhalb der Symboldauer $T$ besteht.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^3.2 Funkschnittstelle^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.5:_GSM_Full_Rate_Vocoder&diff=25172Aufgaben:Exercise 3.5: GSM Full Rate Vocoder2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Sprachcodierung<br />
}} <br />
<br />
[[File:P_ID1232__Bei_A_3_5.png|right|frame|LPC&ndash;, LTP&ndash; und RPE&ndash;Parameter beim GSM&ndash;Vollraten&ndash;Codec]]<br />
Dieser 1991 für das GSM–System standardisierte Codec – dieses Kunstwort steht für eine gemeinsame Realisierung von Coder und Decoder – mit der englischen Bezeichnung $\text{GSM Fullrate Vocoder}$ kombiniert drei verschiedene Methoden der Sprachsignalkompression:<br />
*Linear Predictive Coding (LPC),<br />
*Long Term Prediction (LTP) und<br />
*Regular Pulse Excitation (RPE).<br />
<br />
<br />
Die in der Grafik angegebenen Zahlen geben die Anzahl der Bits an, die von den drei Einheiten dieses Sprachcodecs pro Rahmen von $20 \ \rm ms$ Dauer generiert werden. Anzumerken ist dabei, dass LTP und RPE nicht rahmenweise, sondern mit Unterblöcken von $5 \ \rm ms$ arbeiten. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Lösung der Aufgabe.<br />
<br />
Das Eingangssignal in obiger Grafik ist das digitalisierte Sprachsignal $s_{\rm R}(n)$. Dieses entsteht aus dem analogen Sprachsignal $s(t)$ durch<br />
*eine geeignete Begrenzung auf die Bandbreite $B$,<br />
*Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$,<br />
*Quantisierung mit $13 \ \rm Bit$ und<br />
*anschließender Segmentierung in Blöcke zu je $20 \ \rm ms$.<br />
<br />
<br />
Auf die weiteren Aufgaben der Vorverarbeitung soll hier nicht näher eingegangen werden.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
<br />
*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Sprachcodierung|Sprachcodierung]].<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Auf welche Bandbreite muss das Sprachsignal begrenzt werden?<br />
|type="{}"}<br />
$B \ = \ $ { 4 3% } $ \ \rm kHz$<br />
<br />
{Aus wievielen Abtastwerten $(N_{\rm R})$ besteht ein Sprachrahmen? Wie groß ist die Eingangsdatenrate $R_{\rm In}$?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{\rm R} \hspace{0.25cm} = \ $ { 160 3% } <br />
$R_{\rm In} \hspace{0.22cm} = \ $ { 104 3% } $\ \rm kbit/s$<br />
<br />
{Wie groß ist die Ausgangsdatenrate $R_{\rm Out}$ des GSM-Vollraten-Codecs?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm Out} \hspace{0.09cm} = \ $ { 13 3% } $ \ \rm kbit/s$<br />
<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen hinsichtlich des Blocks „LPC” zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ LPC macht eine Kurzzeitprädiktion über eine Millisekunde.<br />
+ Die $36$ LPC–Bits sind Filterkoeffizienten, die beim Empfänger genutzt werden, um die LPC–Filterung rückgängig zu machen.<br />
- Das Filter zur Langzeitprädiktion ist rekursiv.<br />
- Der LPC–Ausgang ist identisch mit seinem Eingang $s_{\rm R}(t)$.<br />
<br />
{Welche Aussagen sind hinsichtlich des Blocks „LTP” zutreffend?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es werden periodische Strukturen des Sprachsignals entfernt.<br />
- Die Langzeitprädiktion wird pro Rahmen einmal durchgeführt.<br />
+ Das Gedächtnis des LTP–Prädiktors beträgt bis zu $15 \ \rm ms$.<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für den Block „RPE” zu?<br />
|type="[]"}<br />
- RPE liefert weniger Informationen als LPC und LTP.<br />
+ RPE entfernt für den subjektiven Eindruck unwichtige Anteile.<br />
+ RPE unterteilt jeden Subblock nochmals in vier Teilfolgen.<br />
- RPE wählt davon die Teilfolge mit der minimalen Energie aus.<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Um das Abtasttheorem zu erfüllen, darf die Bandbreite nicht größer als $f_{\rm A}/2 \hspace{0.15cm} \underline{= 4 \ \rm kHz}$ sein.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aus der gegebenen Abtastrate $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ ergibt sich ein Abstand zwischen einzelnen Samples von $T_{\rm A} = 0.125 \ \rm ms$. Somit besteht ein Sprachrahmen $(20 \ \rm ms)$ aus $N_{\rm R} = 20/0.125\hspace{0.15cm} \underline{= 160 \ \rm Abtastwerten}$, jeweils quantisiert mit $13 \ \rm Bit$. Die Datenrate beträgt somit<br />
:$$R_{\rm In} = \frac{160 \cdot 13}{20 \,{\rm ms}} \hspace{0.15cm} \underline {= 104\,{\rm kbit/s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Aus der Grafik ist ersichtlich, dass pro Sprachrahmen $36$ (LPC) $+ 36$ (LTP) $+ 188$ (RPE) $= 260 \ \rm Bit$ ausgegeben werden. Daraus berechnet sich die Ausgangsdatenrate zu<br />
:$$R_{\rm Out} = \frac{260}{20 \,{\rm ms}} \hspace{0.15cm} \underline {= 13\,{\rm kbit/s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Der vom Vollraten–Sprachcodec erzielte Kompressionsfaktor ist somit $104/13 = 8$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>: <br />
*Die $36$ LPC–Bits beschreiben insgesamt acht Filterkoeffizienten eines nichtrekursiven Filters, wobei aus der Kurzzeitanalyse acht AKF–Werte ermittelt und diese nach der so genannten Schur-Rekursion in Reflexionsfaktoren $r_{k}$ umgerechnet werden. <br />
*Aus diesen werden die acht LAR–Koeffizienten entsprechend der Funktion ${\rm ln}[(1 – r_{k})/(1 + r_{k})]$ berechnet, mit einer unterschiedlichen Anzahl von Bits quantisiert und an den Empfänger weitergereicht.<br />
*Das LPC–Ausgangssignal besitzt gegenüber seinem Eingang $s_{\rm R}(n)$ eine deutlich kleinere Amplitude, hat einen deutlich reduzierten Dynamikumfang und ein flacheres Spektrum.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>, nicht jedoch die zweite: <br />
*Die LTP–Analyse und –Filterung erfolgt blockweise alle $5 \ rm ms \ (40 \ \rm Abtastwerte)$, also viermal pro Sprachrahmen. <br />
*Man bildet hierzu die KKF zwischen dem aktuellen und den drei vorangegangenen Subblöcken. <br />
*Für jeden Subblock werden dabei eine LTP–Verzögerung und eine LTP–Verstärkung ermittelt, die am besten zum Subblock passen. <br />
*Berücksichtigt wird hierbei auch ein Korrektursignal der anschließenden Komponente „RPE”. <br />
*Bei der Langzeitprädiktion ist wie bei der LPC der Ausgang gegenüber dem Eingang redundanzvermindert. <br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>: <br />
*Dass die Aussage 1 falsch ist, erkennt man schon aus der Grafik auf der Angabenseite, da $188$ der $260$ Ausgabebits von der RPE stammen. <br />
*Zur letzten Aussage: Die RPE sucht die Teilfolge mit der maximalen Energie. <br />
*Dieser Parameter „RPE–Pulse” belegt allein $156$ der $260$ Ausgabebits. <br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^3.3 Sprachcodierung^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.6:_Adaptive_Multi_Rate_Codec&diff=25173Aufgaben:Exercise 3.6: Adaptive Multi Rate Codec2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Sprachcodierung<br />
}} <br />
<br />
[[File:P_ID1233__Bei_A_3_6.png|right|frame|Spuren des AMR&ndash;Codecs]]<br />
Ende der 1990er Jahre wurde mit dem AMR–Codec ein sehr flexibler, adaptiver Sprachcodec entwickelt und standardisiert. Dieser stellt insgesamt acht verschiedene Modi mit Datenraten zwischen $4.75 \ \rm kbit/s$ und $12.2 \ \rm kbit/s$ zur Verfügung.<br />
<br />
Der AMR-Codec beinhaltet wie der in [[Aufgaben:Aufgabe_3.5:_GSM–Vollraten–Sprachcodec|Aufgabe 3.5]] behandelte Vollraten–Codec (FRC) sowohl eine Kurzzeitprädiktion (LPC) als auch eine Langzeitprädiktion (LTP). Allerdings sind diese beiden Komponenten anders realisiert als beim FRC.<br />
<br />
Der wesentliche Unterschied von AMR gegenüber FRC stellt die Codierung des Restsignals (nach LPC und LTP) dar: <br />
*Anstelle von „Regular Pulse Excitation” (RPE) wird beim AMR–Code das Verfahren „Algebraic Code Excitation Linear Prediction” (ACELP) angewendet. <br />
*Aus dem festen Codebuch (FCB) wird für jeden Unterrahmen von $5 \ \rm ms$ Dauer derjenige FCB–Puls und diejenige FCB–Verstärkung ausgewählt, die am besten zum Restsignal passen, das heißt, für die der mittlere quadratische Fehler des Differenzsignals minimal wird.<br />
<br />
<br />
Jeder Eintrag im festen Codebuch kennzeichnet einen Puls, bei dem genau $10$ der $40$ Positionen mit $\pm1$ belegt sind. Hierzu ist anzumerken:<br />
*Der Puls ist in fünf Spuren mit jeweils acht möglichen Positionen aufgeteilt, wobei die Spur $1$ die Positionen $1, 6, 11$, ... , $36$ des Unterrahmens und Spur $5$ die Positionen $5, 10, 15$, ... , $40$ beschreibt.<br />
*In jeder Spur sind genau zwei Werte $\pm1$, während alle anderen sechs Werte $0$ sind. Die beiden $±1$–Positionen werden mit je drei Bit – also mit $000$, ... , $111$ – codiert.<br />
*Für das Vorzeichen des erstgenannten Pulses wird ein weiteres Bit verwendet, wobei eine $1$ ein positives Vorzeichen und eine $0$ ein negatives Vorzeichen kennzeichnet.<br />
*Ist die Pulsposition des zweiten Impulses größer als die des ersten Impulses, so hat der zweite Impuls das gleiche Vorzeichen wie der erste, ansonsten das umgekehrte.<br />
*Zum Empfänger werden somit pro Spur sieben Bit übertragen, außerdem noch fünf Bit für die so genannte ''FCB–Verstärkung''.<br />
<br />
<br />
In der Grafik sind die $35$ Bit zur Beschreibung eines FCB–Pulses beispielhaft angegeben.<br />
<br />
'''Spur 1''' beinhaltet<br />
*einen positiven Impuls (${\rm VZ} = 1$) bei $1$ (erste mögliche Position für Spur 1) $\hspace{0.2cm}\text{plus}\hspace{0.2cm}0$ (Bitangabe für &bdquo; 000&rdquo;) $= 1$,<br />
*einen weiteren positiven Impuls (da $110 > 000$) bei der Position $1 \hspace{0.2cm}\text{plus}\hspace{0.2cm}5$ (Pulsabstand in jeder Spur) $\hspace{0.2cm}\text{mal}\hspace{0.2cm}6$ (Bitangabe für &bdquo; 110&rdquo;) = $31\hspace{0.05cm}.$<br />
<br />
<br />
'''Spur 2''' beinhaltet<br />
*einen negativen Impuls (${\rm VZ} = 0$) bei $2$ (erste mögliche Position für Spur 2) $\hspace{0.2cm}\text{plus}\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}\text{mal}\hspace{0.2cm}4$ (Bitangabe für &bdquo; 100&rdquo;) = $22\hspace{0.05cm},$<br />
*einen positiven Impuls (Vorzeichenumkehr wegen $011 > 100$) bei der Position $2 \hspace{0.2cm}\text{plus}\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}\text{mal}\hspace{0.2cm}3$ (Bitangabe für &bdquo; 011&rdquo;) = $17\hspace{0.05cm}.$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
<br />
*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Sprachcodierung|Sprachcodierung]].<br />
<br />
*Bei der Eingabe der Pulspositionen bezeichnet $N_{1}$ das erste Bit–Tripel und $N_{2}$ das zweite.<br />
*Man müsste zum Beispiel für Spur $2$ die Werte $N_{1}=-22$ und $N_{2}=+17$ eintragen. <br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Wie viele Bit beschreiben einen Sprachrahmen (der Dauer $20 \ \rm ms$) im $12.2 \ \rm kbit/s$–Modus?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{12.2} \ = \ $ { 244 3% } $ \ \rm Bit$<br />
<br />
{Wie viele Bit werden für FCB–Puls und –Verstärkung pro Rahmen benötigt?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{\rm FCB} \ = \ $ { 160 3% } $ \ \rm Bit$<br />
<br />
{Wie viele Bit verbleiben somit für LPC und LTP?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{\rm LPC/LTP} \ = \ $ { 84 3% } $ \ \rm Bit$<br />
<br />
{Welche Impulspositionen des Unterrahmens und Vorzeichen beschreibt die Spur $3$? Beachten Sie die Hinweise zur Eingabe auf der Angabenseite.<br />
|type="{}"}<br />
$N_{1} \ = \ $ { -8.24--7.76 } <br />
$N_{2} \ = \ $ { -18.54--17.46 } <br />
<br />
{Welche Impulspositionen inklusive Vorzeichen beschreiben die Spur $4$?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{1} \ = \ $ { 39 3% } <br />
$N_{2} \ = \ $ { -14.42--13.58 } <br />
<br />
{Welche Impulspositionen inklusive Vorzeichen beschreiben die Spur $5$?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{1} \ = \ $ { -30.9--29.1 } <br />
$N_{2} \ = \ $ { 5 3% }<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
<br />
'''(1)'''&nbsp; Mit der Datenrate $12.2 \ \rm kbit/s$ ergeben sich innerhalb von $20 \ \rm ms$ genau $\underline{244 \ \rm Bit}$, während zum Beispiel im $4.75 \ \rm kbit/s$–Modus nur $95 \ \rm Bit$ übertragen werden.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; In jedem Unterrahmen benötigt der FCB–Puls $35 \ \rm Bit$ (fünf Spuren zu je sieben Bit) und die FCB–Verstärkung fünf Bit. Bei vier Unterrahmen kommt man so auf $N_{\rm FCB} \underline{= 160 \ \rm Bit}$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Hierfür verbleiben die Differenz aus (1) und (2), also $N_{\rm LPC/LTP}\underline{ = 84 \ \rm Bit}$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Das Vorzeichenbit $0$ deutet auf einen negativen ersten Impuls hin. Wegen $001 < 011$ hat der zweite Impuls das gleiche Vorzeichen. Die beiden Beträge ergeben sich zu<br />
:$$|N_1| \ = \ 3 \hspace{0.1cm}{\rm(da \hspace{0.1cm} Spur \hspace{0.1cm}3)} + 5\cdot 1 \hspace{0.1cm} {\rm(Bitangabe \hspace{0.1cm} 001)} = 8\hspace{0.05cm}, $$<br />
:$$ |N_2| \ = \ 3 \hspace{0.1cm}{\rm(da \hspace{0.1cm} Spur \hspace{0.1cm}3)} + 5\cdot 3 \hspace{0.1cm} {\rm(Bitangabe \hspace{0.1cm} 011)} = 18\hspace{0.05cm}.$$<br />
Einzugeben sind deshalb für die dritte Spur $N_{1} \underline{ = -8}$ und $N_{2} \underline{ = -18}.$<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; In analoger Weise erhält man für die Spur $4$ die Werte $N_{1} \underline{ = +39}$ und $N_{2} \underline{ = -14}$.<br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Die fünfte Spur liefert $N_{1} \underline{ =-30}$ und $N_{1} \underline{ = +5}$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^3.3 Sprachcodierung^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.7Z:_Partial_Fraction_Decomposition&diff=25174Aufgaben:Exercise 3.7Z: Partial Fraction Decomposition2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Rücktransformation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|frame|Einige Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]<br />
In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.<br />
<br />
Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend<br />
:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)<br />
\hspace{0.05cm}$$<br />
vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann<br />
:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)<br />
\hspace{0.05cm},$$<br />
wobei $h\hspace{0.03cm}'(t)$ die Laplace&ndash;Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$ erfüllt ist.<br />
<br />
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''. <br />
*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; $a(f) = 0$ erfüllt. <br />
*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.<br />
<br />
<br />
Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$&ndash;Übertragungsfunktion<br />
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}<br />
\hspace{0.05cm}$$<br />
&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?<br />
|type="[]"}<br />
+ Konfiguration $(1)$,<br />
+ Konfiguration $(2)$,<br />
- Konfiguration $(3)$,<br />
- Konfiguration $(4)$.<br />
<br />
<br />
{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?<br />
|type="[]"}<br />
- Konfiguration $(1)$,<br />
- Konfiguration $(2)$,<br />
- Konfiguration $(3)$,<br />
+ Konfiguration $(4)$.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie die Funktion $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. Geben Sie den Funktionswert für $p = 0$ ein.<br />
|type="{}"}<br />
$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $ { 2 3% }<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.<br />
+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.<br />
+ Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.<br />
+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.<br />
- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.<br />
<br />
<br />
{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?<br />
|type="[]"}<br />
- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.<br />
+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.<br />
- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:<br />
*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt. <br />
*$K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$. <br />
<br />
Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden ersten Konfigurationen genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:<br />
*Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:<br />
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}<br />
=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}<br />
= \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2<br />
}= H_{\rm L}^{(4)}(p)<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Für die Konfiguration $(1)$ gilt:<br />
:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)<br />
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}<br />
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)<br />
=2}<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:<br />
:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=<br />
\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=<br />
\hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p<br />
+8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$<br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8<br />
\cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:<br />
* Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist, <br />
*besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.<br />
<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Für die Konfiguration $(3)$ gilt:<br />
:$$H_{\rm L}(p) =<br />
\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}<br />
= 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$<br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4<br />
\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.<br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:<br />
:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}<br />
= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}<br />
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4<br />
\cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}<br />
\hspace{0.05cm}.$$<br />
Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen: <br />
*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert. <br />
*Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.8:_General_Packet_Radio_Service&diff=25175Aufgaben:Exercise 3.8: General Packet Radio Service2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen des GSM<br />
}} <br />
<br />
[[File:P_ID1241__Bei_A_3_8.png|right|frame|Schaubild ''General Packet Radio Service'']]<br />
In der $\rm GSM–Phase \ 2+$ wurde zur Verbesserung der Datendienste die GSM–Erweiterung $\rm GPRS$ (''General Packet Radio Service'') entwickelt und standardisiert. Diese<br />
*unterstützt mehrere Übertragungsprotokolle,<br />
*bietet paketorientierte Datenübertragung an,<br />
*erlaubt es Nutzer, mit fremden Datennetzen (zum Beispiel: dem ''Internet'') zu kommunizieren.<br />
<br />
<br />
Ein GPRS–Mobilfunkteilnehmer profitiert von kürzeren Zugriffszeiten und der höheren Datenrate gegenüber der Datenübertragung im herkömmlichen GSM oder bei HSCSD, das ebenfalls in der Phase $2+$ entstanden ist.<br />
<br />
Vor der Einführung von GPRS waren einige Modifikationen und Ergänzungen im GSM–Netz notwendig:<br />
*Um GPRS–Anwendungen in die bestehende GSM–Systemarchitektur integrieren zu können, mussten ''Serving GPRS Support Nodes'' (SGSN) und ''Gateway GPRS Support Nodes'' (GGSN) implementiert werden (siehe Grafik).<br />
*Bei GPRS können bis zu acht Zeitschlitze miteinander kombiniert werden („Multislot Capability”). Außerdem sind vier Codierschemata mit unterschiedlichen Datenraten definiert, die als $\rm CS–1$ (mit $9.05 \ \rm kbit/s$), ... , $\rm CS–4$ (mit $21.4 \ \rm kbit/s$) bezeichnet werden.<br />
*Zur Faltungscodierung wird ein Code der Rate $1/2$ benutzt, der die $294$ Bits auf $588$ Bits verdoppelt. Durch die Punktierung von $132$ Bits kommt man schließlich zu Bursts der Länge $456$ Bit. Unter Berücksichtigung der Rahmendauer von $20 \ \rm ms$ resultiert daraus die Bitrate $22.8 \ \rm kbit/s$.<br />
*Ein GPRS–Handy führt beim Einschalten als erstes eine so genannte „Cell Selection” durch. Wird dabei ein Frequenzkanal mit GPRS–Daten gefunden, dann kann auf die GPRS–Dienste je nach Handyklasse zugegriffen werden.<br />
*Man unterscheidet zwischen drei Klassen von Endgeräten. Ein Handy der Klasse '''C''' muss manuell auf GPRS-Dienste umgestellt werden. Dagegen geschieht die Umschaltung zwischen GPRS und GSM bei Klasse '''A''' und '''B''' automatisch und dynamisch.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
<br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Weiterentwicklungen_des_GSM|Weiterentwicklungen des GSM<br />
]]. <br />
<br />
*Die obige Grafik ist dem nachfolgend genannten Artikel entnommen. Wir bedanken uns bei den Autoren für die Freigabe:<br />
::Bettstetter, C.; Vögel, H.J.; Eberspächer, J.: ''GSM Phase 2+ General Packet Radio Service GPRS: Architecture, Protocols, and Air Interface''. <br>In: IEEE Communications Surveys & Tutorials, Vol. 2 (1999) No. 3, S. 2-14. <br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie kann die GPRS–Datenübertragung charakterisiert werden?<br />
|type="()"}<br />
- leitungsvermittelt,<br />
+ paketvermittelt,<br />
- durchschaltevermittelt.<br />
<br />
{Welche Netzknoten waren zur Integration von GPRS in die bestehende GSM–Systemarchitektur erforderlich?<br />
|type="[]"}<br />
+ GGSN,<br />
- GMSC,<br />
+ SGSN,<br />
- SMSS.<br />
<br />
{Wie können die GPRS–Dienste eingestellt werden?<br />
|type="[]"}<br />
+ Durch Durchführung der Prozedur „Cell Selection”.<br />
+ Die Umschaltung hängt von der Handy-Klasse ab.<br />
- Alle Handys schalten dynamisch zwischen GSM und GPRS um.<br />
<br />
{Welche Vorteile bietet GPRS gegenüber GSM?<br />
|type="[]"}<br />
+ Bei GPRS kann man bis zu $8$ Zeitschlitze kombinieren.<br />
- Der physikalische Kanal bleibt für die Rufdauer reserviert.<br />
+ Uplink und Downlink werden separat zugewiesen.<br />
<br />
{Wie groß ist theoretisch die maximale GPRS–Bitrate?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm Brutto} \ = \ $ { 171.2 3% } $ \ \rm kbit/s$<br />
<br />
{Wie groß ist die resultierende GPRS–Coderate (Faltungscode + Punktierung)?<br />
|type="{}"}<br />
$R\hspace{0.05cm}'_{\rm C} \ = \ $ { 0.644 3% } <br />
<br />
{Wie groß ist die Netto-Datenrate eines einzelnen GPRS–Benutzers?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm Netto} \ = \ $ { 22.8 3% } $ \ \rm kbit/s$<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlage 2</u>:<br />
:Mit „GPRS” wurde erstmals eine paketorientierte Datenübertragung realisiert.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:<br />
*Zur Integration von GPRS musste die bestehende GSM–Systemarchitektur um GPRS ''Support Nodes'' (GSN) erweitert werden. <br />
*Man unterscheidet zwischen ''Gateway GSN'' (GGSN) und ''Serving GSN'' (SGSN), die miteinander über ein IP–basiertes GPRS–Backbone–Netz kommunizieren. <br />
*SGSN ist für das Mobilitätsmanagement zuständig und übernimmt für die Paketdatendienste eine ähnliche Funktion wie das ''Mobile Switching Center'' (MSC) für die verbindungsorientierte Sprachübertragung. <br />
*GGSN ist dagegen die Schnittstelle zu den unterstützten fremden paketorientierten Datennetzen.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:<br />
*Ein GPRS–Handy führt beim Einschalten als erstes eine „Cell Selection” durch, indem es nach einem Frequenzkanal mit GPRS–Daten sucht. <br />
*Ein Handy der Klasse '''C''' muss man danach manuell auf GPRS–Dienste umstellen. Eine automatische und dynamische Umschaltung zwischen GPRS und GSM ist nur bei einem Handy der Klasse '''A''' oder '''B''' möglich. <br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:<br />
*Bei GPRS können bis zu acht Zeitschlitze miteinander kombiniert werden (''Multislot Capability''). <br />
*Der Uplink und der Downlink werden separat zugewiesen und die physikalischen Kanäle werden nur für die Dauer der Übertragung von Datenpaketen reserviert und anschließend wieder freigegeben. <br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Bei GPRS können bis zu acht Zeitschlitze kombiniert werden. Mit dem Codierschema $\rm CS–4$, das allerdings nur bei sehr gutem Kanal angewendet wird, beträgt die Datenrate pro Zeitschlitz $21.4 \ \rm kbit/s$. Damit kann man eine maximale Bruttodatenrate von $21.4 \ {\rm kbit/s} \cdot 8 \hspace{0.15cm}\underline{ = 171.2 \ \rm kbit/s}$ erreichen.<br />
<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Zur Faltungscodierung wird ein Code mit der Coderate $R_{\rm C} = 1/2$ benutzt. Dieser verdoppelt $294$ Bit auf $588$ Bit. Danach werden $132$ Bits punktiert, so dass schließlich ein Codewort der Länge $456$ Bit. Damit ergibt sich eine resultierende Coderate von Faltungscode inklusive Punktierung von etwa $R\hspace{0.05cm}'_{\rm C} = 294/456 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.644} \approx 2/3$.<br />
<br />
<br />
'''(7)'''&nbsp; Die Netto–Datenrate eines GPRS–Benutzers ist genau die gleiche wie die Netto–Datenrate eines GSM–Benutzers, nämlich $456 \ {\rm Bit}/20 \ \rm ms$ pro Sprachrahmen &nbsp; &rArr; &nbsp; $R_{\rm Netto} \underline{= 22.8 \ \rm kbit/s}$.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^3.5 Weiterentwicklungen des GSM^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.10:_Signal_Waveforms_of_the_16-QAM&diff=25176Aufgaben:Exercise 4.10: Signal Waveforms of the 16-QAM2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation<br />
<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1718__Mod_A_4_9.png|right|frame|Signalverläufe der 16–QAM für vier beispielhafte Symbole]]<br />
Wir betrachten das 16–QAM–Verfahren gemäß dem [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung_.281.2|Blockschaltbild]] im Theorieteil. In aller Kürze lässt sich dieses wie folgt beschreiben: <br />
* Jeweils vier Bit des binären redundanzfreien Quellensignals $q(t)$ am Eingang ergeben nach Seriell–Parallell–Wandlung und der folgenden Signalraumzuordnung einen komplexwertigen Amplitudenkoeffizienten $a = a_{\rm I} +{\rm j} · a_{\rm Q}$.<br />
* Mit dem rechteckförmigen Sendegrundimpuls $g_s(t)$ im Bereich von $0$ bis $T$ und der Höhe $g_0$ erhält man nach den Multiplikationen mit der Cosinus–Funktion bzw. Minus–Sinus–Funktion im betrachteten Zeitintervall:<br />
:$$s_{\rm cos}(t) = a_{\rm I}\cdot g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ s_{\rm -sin}(t) = -a_{\rm Q} \cdot g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$<br />
* Das 16–QAM–Sendesignal ergibt sich dann als Summe dieser beiden Komponentensignale:<br />
:$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Die Grafik zeigt für vier ausgewählte Symbole die Signale $s_{cos}(t)$, $s{–sin}(t)$ und $s(t)$. Daraus sollen die Amplitudenkoeffizienten ermittelt werden.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].<br />
*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufe der 4-QAM]] hilfreich. <br />
*Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur [[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]] zu sehen. <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen. <br />
*Verwenden Sie ab der Teilaufgabe (6) die Parameterwerte $g_0 = 1 \ \rm V$ und $T = 1 \ \rm μs$.<br />
*Energien sind in $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie lauten Real- und Imaginärteil dea Amplitudenkoeffizienten $a$ im roten Zeitintervall ($0 < t < T$)?<br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm I} \ = \ $ { 1 3% } <br />
$a_{\rm Q} \ = \ $ { 1 3% } <br />
<br />
<br />
{Welches Verhältnis besteht zwischen $s_0$ (maximale Hüllkurve des Sendesignals) und $g_0$ (maximale Hüllkurve der Teilsignale) ?<br />
|type="{}"}<br />
$s_0/g_0 \ = \ $ { 1.414 3% }<br />
<br />
{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient im blauen Zeitintervall ($T < t < 2T$)?<br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm I} \ = \ $ { 0.333 3% } <br />
$a_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3% } <br />
<br />
{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient im grünen Zeitintervall ($2T < t < 3T$)? Ermitteln Sie auch dessen Betrag und die Phasenlage.<br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm I} \ = \ $ { -1.03--0.97 } <br />
$a_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3% } <br />
<br />
{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient im violetten Zeitintervall ($3T < t < 4T$)?<br />
|type="{}"}<br />
$a_{\rm I} \ = \ $ { -1.03--0.97 } <br />
$a_{\rm Q} \ = \ $ { -0.343--0.323 } <br />
<br />
{Welche maximale Energie $E_\text{S, max}$ wird pro Symbol aufgewendet? <br />
<br>Unter welcher Voraussetzung ist die mittlere Energie pro Symbol gleich $E_\text{S, max}$?<br />
|type="{}"}<br />
$E_\text{S, max} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$<br />
<br />
{Wie groß ist die maximale Energie $E_\text{B, max}$ pro Bit?<br />
|type="{}"}<br />
$E_\text{B, max} \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$<br />
<br />
{Wie groß ist die minimale Energie $E_\text{B, min}$ pro Bit?<br />
|type="{}"}<br />
$E_\text{B, min} \ = \ $ { 0.028 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus dem (roten) Inphasesignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Realteil folgt (links entsprechend Definition, rechts gemäß Skizze):<br />
:$$ s_{\rm cos}(t)= a_{\rm I}\cdot g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)= g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm I}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Entsprechend erkennt man aus dem Quadratursignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Imaginärteilteil :<br />
:$$ s_{\rm -sin}(t)= -a_{\rm Q}\cdot g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)= -g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die (maximale) Hüllkurve $g_0$, während $s_0$ das Sendesignal $s(t)$ charakterisiert. Wie aus der Signalraumzuordnung (siehe Aufgabe 4.10Z) hervorgeht, gilt:<br />
:$${s_0}/{ g_0 }= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Die Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ haben die gleichen Vorzeichen wie bei der Teilaufgabe (1), aber mit kleinerem Betrag: <br />
:$$a_{\rm I} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Im dritten (grünen) Intervall erkennt man ein Minus–Cosinus–Signal mit der Amplitude $g_0$ und ein Minus–Sinus–Signal mit Amplitude $g_0/3$:<br />
:$$a_{\rm I} = \hspace{0.15cm}\underline {= -1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Wie in der Teilaufgabe (4) der Zusatzaufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll, ist hier der Betrag gleich $|a| =1.054$ und der Phasenwinkel ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Das violette Signal unterscheidet sich vom grünen Intervall nicht in der Inphasekomponente, sondern nur im Vorzeichen der Quadraturkomponente:<br />
:$$a_{\rm I} = \hspace{0.15cm}\underline {= -1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = - 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= -0.333} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Die maximale Signalenergie tritt auf, wenn einer der vier äußeren Eckpunkte belegt ist. Dann gilt:<br />
:$$ E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T = {1}/{2}\cdot \left (\sqrt{2} \cdot g_0 \right )^2 \cdot T = g_0^2 \cdot T = (1\,{\rm V})^2 \cdot (1\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Die mittlere Signalenergie ist gleich dem Maximalwert, wenn nur die Eckpunkte der Signalraumzuordnung belegt sind und „innere Symbole” von der Codierung ausgeschlossen werden.<br />
<br />
<br />
'''(7)'''&nbsp; Pro Symbol werden vier Bit übertragen. Daraus folgt:<br />
:$$ E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max} = {E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(8)'''&nbsp; Die minimale Signalenergie ergibt sich bei einem der inneren Signalraumpunkte und ist um den Faktor $9$ kleiner als bei Teilaufgabe (7) :<br />
:$$E_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = \frac{E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max}}{9} = \frac{g_0^2 \cdot T}{36} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.028 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei der 16–QAM für die mittlere Signalenergie pro Bit unter der Voraussetzung, dass alle Symbole gleichwahrscheinlich sind, näherungsweise gilt: &nbsp; $E_{\rm B} \approx 0.139 · g_0^2 \cdot T = 0.035 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}$.<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.10Z:_Signal_Space_Constellation_of_the_16-QAM&diff=25177Aufgaben:Exercise 4.10Z: Signal Space Constellation of the 16-QAM2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1719__Mod_Z_4_9.png|right|frame|Signalraumkonstellation]]<br />
Wir betrachten weiter das 16–QAM–Verfahren entsprechend dem im Theorieteil angegebenen Blockschaltbild. Die Grafik zeigt die möglichen komplexen Amplitudenkoeffizienten $a = a_{\rm I} + {\rm j} · a_{\rm Q}$.<br />
<br />
Für diese Aufgabe soll ebenso wie für die [[Aufgaben:4.10_Signalverläufe_der_16–QAM|Aufgabe 4.10]] vorausgesetzt werden:<br />
* Die möglichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ der beiden Komponentensignale sind $ ±1$ und $±1/3$.<br />
* Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ist rechteckförmig mit Amplitude $g_0 = 1\ \rm V$ und Dauer $T = 1 \ \rm μs$.<br />
* Das Quellensignal $q(t)$ vor dem Seriell–Parallel–Wandler ist binär und redundanzfrei.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].<br />
*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen|QAM&ndash;Signalraumkonstellationen]] hilfreich. <br />
*Die zu den farbigen Punkten gehörigen Signale sind in der [[Aufgaben:4.10_Signalverläufe_der_16–QAM|Aufgabe 4.10]] in gleicher Farbe dargestellt.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist die Bitrate $R_{\rm B}$ des binären Quellensymbols $q(t)$?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm B}\ = \ $ { 4 3% } $\ \rm Mbit/s$<br />
<br />
<br />
{Geben Sie den Betrag und die Phase (zwischen ±180°) für das rote Symbol an &nbsp; &rArr; &nbsp; $a = 1 +{\rm j}$.<br />
|type="{}"}<br />
$|a| \ = \ $ { 1.414 3% }<br />
${\rm arc} \ a \ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$<br />
<br />
{Geben Sie den Betrag und die Phase für das blaue Symbol an &nbsp; &rArr; &nbsp; $a = 1/3 +{\rm j}/3$.<br />
|type="{}"}<br />
$|a| \ = \ $ { 0.471 3% } <br />
${\rm arc} \ a \ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$<br />
<br />
{Geben Sie den Betrag und die Phase für das grüne Symbol an &nbsp; &rArr; &nbsp; $a = -1 +{\rm j}/3$.<br />
|type="{}"}<br />
$|a| \ = \ $ { 1.054 3% } <br />
${\rm arc} \ a \ = \ $ { -166.57--156.57 } $\ \rm Grad$<br />
<br />
{Geben Sie den Betrag und die Phase für das violette Symbol an &nbsp; &rArr; &nbsp; $a = -1 +{\rm j}/3$.<br />
|type="{}"}<br />
$|a| \ = \ $ { 1.054 3% } <br />
${\rm arc} \ a \ = \ ${ -166.57--156.57 } $\ \rm Grad$<br />
<br />
{Wieviele unterschiedliche Beträge &nbsp; &rArr; &nbsp; $N_{|a|}$ und Phasenlagen &nbsp; &rArr; &nbsp; $N_{arc}$ sind möglich?<br />
|type="{}"}<br />
$N_{|a|}\ = \ $ { 3 } <br />
$N_{\rm arc}\ = \ $ { 12 } <br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Durch ein Symbol werden jeweils $\log_2 \ 16 = 4$ Bit des Quellensignals dargestellt, zwei Bit durch den vierstufigen Koeffizienten $a_{\rm I}$ und zwei weitere durch $a_{\rm Q}$. Die Bitdauer beträgt somit $T_{\rm B} = T/4 = 0.25 \ \rm μs$. Damit ist die Bitrate $R_{\rm B} = 1/T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \ \rm Mbit/s}$.<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aus der Geometrie folgt für $a = 1 + {\rm j}$:<br />
:$$a| = \sqrt{1^2 + 1^2}= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { =1.414}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm arc}\hspace{0.15cm} a = \arctan \left ({1}/{1} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 45^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Der Winkel ergibt sich wie bei der Teilaufgabe (2), der Betrag ist um den Faktor $3$ kleiner: |a| = 0.471.<br />
:$$a| = \sqrt{(1/3)^2 + (1/3)^2}= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { =0.471}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm arc}\hspace{0.15cm} a \hspace{0.15cm}\underline {= 45^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Für den komplexen Amplitudenkoeffizienten $a = -1 + {\rm j}/3$ erhält man aus der Geometrie:<br />
:$$|a| = \sqrt{1^2 + (1/3)^2}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.054}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}<br />
{\rm arc}\hspace{0.15cm} a = 180^{\circ} - \arctan \left ( {1}/{3} \right ) = 180^{\circ} - 18.43^{\circ} \hspace{0.15cm}\underline {= 161.57^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Das violette Symbol $a = -1 - {\rm j}/3$ hat den gleichen Betrag wie das grüne Symbol nach Teilaufgabe (4), während der Phasenwinkel das Vorzeichen ändert:<br />
:$$|a| \hspace{0.15cm}\underline {= 1.054}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}<br />
{\rm arc}\hspace{0.15cm} a \hspace{0.15cm}\underline {= -161.57^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Für den Betrag sind $N_{|a|}\hspace{0.15cm}\underline { = 3}$ verschiedene Ergebnisse möglich: $1.414$, $1.054$ und $0.471$.<br />
<br />
Dagegen gibt es $N_{arc}\hspace{0.15cm}\underline { = 12}$ mögliche Phasenlagen, nämlich:<br />
:$$ \pm \arctan (1/3) = \pm 18.43^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm \arctan (1) = \pm 45^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm \arctan (3) = \pm 71.57^{\circ}\hspace{0.05cm},$$<br />
:$$\pm (180^{\circ}-71.57^{\circ}) = \pm 108.43^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm (180^{\circ}-45^{\circ}) = \pm 135^{\circ}, \hspace{0.2cm}\pm 161.57^{\circ} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.11:_Frequency_Domain_Consideration_of_the_4-QAM&diff=25178Aufgaben:Exercise 4.11: Frequency Domain Consideration of the 4-QAM2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:Mod_A_4_10_vers2.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von BPSK und 4-QAM]]<br />
Ausgehend von der [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]] (binäre Phasenmodulation) mit rechteckförmigem Grundimpuls $g_s(t)$ der Breite $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$ und der Amplitude $s_0 = 2 \ \rm V$ soll in dieser Aufgabe das Leistungsdichtespektrum (LDS) der [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|4–QAM]] schrittweise ermittelt werden.<br />
<br />
In der [[Aufgaben:4.7_Spektren_von_ASK_und_BPSK| Aufgabe 4.7]] wurde das Leistungdichtespektrum ${\it Φ}_s(f)$ der BPSK für genau diese Parameterwerte ermittelt. Mit<br />
:$$A = s_0^2 \cdot T_{\rm B} = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}$$<br />
erhält man für das tatsächliche Leistungsdichtespektrum (im Bandpassbereich):<br />
:$${{\it \Phi}_s(f)} = {A}/{4} \cdot {\left [ {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f - f_{\rm T})) + {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f + f_{\rm T}))\right ]}\hspace{0.05cm}.$$<br />
In der oberen Grafik ist allerdings das Leistungsdichtespektrum ${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}$ des äquivalenten Tiefpass–Signals dargestellt. Dieses ergibt sich aus ${\it Φ}_s(f)$ durch <br />
*Abschneiden aller Anteile bei negativen Frequenzen, <br />
*Vervierfachen der Anteile bei positiven Frequenzen (beachten Sie: ein Spektrum muss verdoppelt werden, ein Leistungsdichtespektrum vervierfacht) und <br />
*Verschieben um $f_{\rm T}$ nach links:<br />
:$${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)} = A \cdot {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B}). \hspace{0.2cm}$$<br />
<br />
Die 4–QAM unterscheidet sich von der BPSK in folgenden Details:<br />
* Aufspaltung des binären Quellensignals in zwei Teilsignale mit jeweils halber Bitrate, das heißt mit der Symboldauer $T = 2 · T_{\rm B}$.<br />
* Multiplikation der Teilsignale mit Cosinus und Minus–Sinus, deren Amplituden $g_0$ jeweils um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner sind als $s_0$. <br />
* Summation der beiden Teilsignale, die mit $s_{\cos}(t)$ und $s_{–\sin}(t)$ bezeichnet werden:<br />
:$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].<br />
*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK &ndash; Binary Phase Shift Keying]] im vorherigen Kapitel.<br />
* Das Leistungsdichtespektrum (LDS) einer QAM-Komponente ist identisch mit dem vergleichbaren BPSK&ndash;LDS. <br />
*Energien sind in $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ bei der ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK)?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$<br />
<br />
{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des 4–QAM–Teilsignals $s_{\cos}(t)$ in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert $B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $ ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?<br />
|type="{}"}<br />
$B_0 \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$<br />
<br />
{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des gesamten 4–QAM–Signals $s(t)$? <br />
Welcher Wert $Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $ ergibt sich hier bei der Frequenz $f = 0$?<br />
|type="{}"}<br />
$Q_0 \ = \ $ { 8 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$<br />
<br />
{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ bei der ''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation'' (4–QAM)?<br />
|type="{}"}<br />
$E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Die Leistung des BPSK–Sendesignals ist gleich dem Intergral über das Leistungsdichtespektrum. Integriert man über das äquivalente Tiefpass–LDS, so ist noch der Faktor 1/2 zu berücksichtigen:<br />
:$$P_{\rm BPSK} = \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{A}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{A}{2T_{\rm B}} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x =\frac{A}{2T_{\rm B}}$$<br />
:$$\text{Mit} \ \ A = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} T_{\rm B}= 10^{-6}\,{\rm s} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm BPSK} = 2\,{\rm V^2} ( = {s_0^2 }/{2})\hspace{0.05cm}.$$<br />
Die Energie pro Bit ist dementsprechend bei der BPSK:<br />
:$$E_{\rm B} = {P_{\rm BPSK} \cdot T_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Hierbei ist wieder der Bezugswiderstand $1\ \rm Ω$ zugrunde gelegt.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer der 4–QAM ($T = 2 · T_{\rm B}$) ist die Spektralfunktion gegenüber der BPSK nur halb so breit, aber doppelt so hoch, und anstelle von $s_0$ ist nun der kleinere Wert $g_0$ zu berücksichtigen. Der LDS–Wert bei der Frequenz $f = 0$ lautet damit:<br />
:$${\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = \left ({s_0}/{\sqrt{2}} \right )^2 \cdot 2 \cdot T_{\rm B} ={s_0^2 \cdot T_{\rm B}} = B_0 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Es ergibt sich somit genau der gleiche Wert wie bei der BPSK:<br />
:$$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}$$<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Das zweite Teilsignal $s_{–\sin}(t)$ liefert den genau gleichen Beitrag wie das gerade betrachtete Signal $s_{\cos}(t)$. Aufgrund der Orthogonalität zwischen der Cosinus– und der Minus–Sinusfunktion können die Leistungen addiert werden und man erhält:<br />
$$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = 2 \cdot B_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (1) erhält man für die Energie pro Bit:<br />
:$$E_{\rm B} = \frac{1}{2} \cdot T_{\rm B} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f = <br />
\frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} = \frac{8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz} \cdot 1\,{\rm \mu s}}{ 2 \cdot 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Man erkennt, dass bei den hier getroffenen Voraussetzungen die „Energie pro Bit” von BPSK und 4–QAM übereinstimmen.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.11Z:_Error_Probability_with_QAM&diff=25179Aufgaben:Exercise 4.11Z: Error Probability with QAM2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1721__Mod_Z_4_10.png|right|frame|Tabelle zweier unterschiedlicher Gaußschen Fehlerfunktionen]]<br />
Wir gehen von den folgenden Voraussetzungen aus:<br />
* binäre bipolare Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{±1\}$,<br />
* rechteckförmiger Sendegrundimpuls mit Amplitude $s_0$ und Bitdauer $T_{\rm B}$,<br />
* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,<br />
* Empfänger gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,<br />
* bestmögliche Demodulation und Detektion.<br />
<br />
<br />
Wie schon mehrfach gezeigt wurde, kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der binären Phasenmodulation (BPSK) bei diesen Randbedingungen mit den folgenden Gleichungen berechnen:<br />
:$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}BPSK} = {\rm Q}\left ({s_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm} E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/{T_{\rm B} }$$<br />
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B, \hspace{0.05cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$<br />
<br />
Die entsprechenden Gleichungen der 4–QAM lauten:<br />
:$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/({2 \cdot T_{\rm B} }).$$<br />
<br />
Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude $g_0$ der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor $\sqrt{2}$ herabsetzen muss. Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich $s_0$.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].<br />
*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten &ndash; ein kurzer Überblick]] im vorherigen Kapitel.<br />
* Gehen Sie stets von den folgenden Zahlenwerten aus: &nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}, \hspace{0.05cm} N_0 = 0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}.$<br />
*Die Bitdauer beträgt $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$ (Teilaufgabe 1) bzw. $T_{\rm B} = 2 \ \rm μs$ (ab Teilaufgabe 2). <br />
*In der Tabelle sind die beiden gebräuchlichen Gaußschen Fehlerfunktionen ${\rm Q}(x)$ und $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$ angegeben.<br />
*Energien sind in $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, BPSK}$ ergibt sich für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) mit $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$?<br />
|type="{}"}<br />
$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \rm 10^{-4}$ <br />
<br />
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, BPSK}$ ergibt sich für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) mit $T_{\rm B} = 2 \ \rm μs$?<br />
|type="{}"}<br />
$p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$<br />
<br />
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, 4-QAM}$ erhält man für die 4–QAM mit $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm V^2s$?<br />
|type="{}"}<br />
$p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$<br />
<br />
{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig (I oder Q) der 4–QAM betrachtet?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es ergibt sich das gleiche Ergebnis wie für die gesamte 4–QAM.<br />
- Der Abstand der Nutzabtastwerte ist wie bei der BPSK gleich $s_0$.<br />
- Es ergibt sich die gleiche Rauschleistung wie bei der BPSK.<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Werten erhält man für''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK):<br />
:$$E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} = \frac{1}{2}\cdot (2\,{\rm V})^2 \cdot 1\,{\rm \mu s} = 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}<br />
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{N_0} = \frac {2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}} = 8$$<br />
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{16} \right ) = {\rm Q}\left ( 4 \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{8}\right )\hspace{0.05cm}.$$<br />
Aufgrund der gegebenen x–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise die erste Gleichung anzuwenden:<br />
:$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( 4 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4} }\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Bei doppelter Bitdauer ist auch die Energie doppelt so groß: $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm V^2s$ ⇒ $E_B/N_0 = 16$. Daraus folgt:<br />
:$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{16}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
Aus pragmatischen Gründen wurde hier die letzte Spalte der Tabelle benutzt.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Setzt man die für die 4–QAM gegebenen Gleichungen ineinander ein, so kommt man zum gleichen Ergebnis wie bei der BPSK:<br />
:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \equiv p_\text{B, BPSK}.$$<br />
Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe b) nicht geändert hat, wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:<br />
:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM}= {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich in den beiden Zweigen gleich groß. Warum auch nicht? Das würde allerdings bei einem Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger nicht mehr gelten.<br />
*Der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle ist hier allerdings $g_0$ und damit um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner als die Hüllkurve $s_0$ der gesamten 4–QAM.<br />
*Betrachtet man den Inphase–Zweig (oder den Quadratur–Zweig) als eine eigenständige BPSK, so ist aber auch die Rauschleistung wegen der geringeren Symbolrate nur halb so groß wie bei der BPSK. Deshalb bleibt die Fehlerwahrscheinlichkeit gleich.<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.12:_Root-Nyquist_Systems&diff=25180Aufgaben:Exercise 4.12: Root-Nyquist Systems2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1722__Mod_A_4_11.png|right|frame|Spektren von Sendegrundimpuls und Detektionsgrundimpuls]]<br />
Bei den Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckigen Sendegrundimpulses die ''Wurzel–Nyquist–Variante'' gewählt, wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist. Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.<br />
<br />
In diesem Fall erfüllt der Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$ die[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|erste Nyquistbedingung]], da $G_d(f)$ punktsymmetrisch um die so genannte Nyquistfrequenz $f_{Nyq} = 1/T$ ist. $G_d(f)$ ist ein [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus–Rolloff–Spektrum]], wobei der Rolloff–Faktor $r$ Werte zwischen $0$ und $1$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann.<br />
<br />
Weiterhin gilt für den Nyquist–Frequenzgang:<br />
* Für $|f| < f_1 = f_{Nyq} · (1 – r)$ ist $G_d(f)$ konstant gleich $g_0 · T$.<br />
* Bei Frequenzen größer als $f_2 = f_{Nyq} · (1 + r)$ hat $G_d(f)$ keine Anteile.<br />
* Dazwischen verläuft die Flanke cosinusförmig.<br />
<br />
Die Optimierung digitaler Nachrichtenübertragungssysteme ergibt, dass der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit dem Sendespektrum $G_s(f)$ sein sollte. Um dimensionsrichtige Spektralfunktionen zu erhalten, wird für diese Aufgabe und die Grafik vorausgesetzt:<br />
:$$G_s(f) = \sqrt{g_0 \cdot T \cdot G_d(f)},\hspace{0.4cm} H_{\rm E}(f) = \frac{1}{g_0 \cdot T}\cdot G_s(f)\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Die obere Grafik zeigt das Sendespektrum $G_s(f)$ für die Rolloff–Faktoren <br />
*$r = 0$ (grün punktiertes Rechteck), <br />
*$r = 0.5$ (blaue durchgezogene Linie), <br />
*$r = 1$ (rotes gestricheltes Trapez).<br />
<br />
<br />
Unten ist das Spektrum $G_d(f)$ vor dem Entscheider in gleichen Farben dargestellt. Der dazugehörige Impuls $g_d(t)$ ist für alle gültigen Rolloff–Faktoren ($0 ≤ r ≤ 1$) ein [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|Nyquistimpuls]] im Gegensatz zum Sendegrundimpuls $g_s(t)$. Für diesen wird in der Literatur – zum Beispiel in '''[Kam04]''' – folgende Gleichung angegeben:<br />
:$$g_s(t) = g_0 \cdot \frac{4 r t/T \cdot \cos \left [\pi \cdot (1+r) \cdot t/T \right ]+ \sin \left [\pi \cdot (1-r) \cdot t/T \right ]}{\left [1- (4 r t/T)^2 \right ] \cdot \pi \cdot t/T}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Nyquist.E2.80.93_und_Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93QAM.E2.80.93Systeme|Nyquist- und Wurzel-Nyquist-Systeme]] in diesem Kapitel.<br />
*Weitere hilfreiche Informationen erfahren Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.<br />
* '''[Kam04]''' verweist auf das empfehlenswert Fachbuch &bdquo;Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004&rdquo;.<br />
*Energien sind in $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie lautet der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ für den Rolloff–Faktor $r = 0$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt $t = 0$?<br />
|type="{}"}<br />
$g_s(t = 0) \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0$<br />
<br />
{Wie lautet der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ für den Rolloff–Faktor $r = 1$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt $t = 0$?<br />
|type="{}"}<br />
$g_s(t = 0) \ = \ $ { 1.273 3% } $\ \cdot g_0$<br />
<br />
{Es gelte weiter $r = 1$. Zu welchen Zeiten hat $g_s(t)$ Nulldurchgänge?<br />
|type="[]"}<br />
- Bei allen Vielfachen der Symboldauer $T$.<br />
- Bei $t = ±0.25 T, ±0.75 T, ±1.25 T, ±1.75 T$, ...<br />
+ Bei $t = ±0.75 T, ±1.25 T, ±1.75 T$, ...<br />
<br />
{Wie lautet der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ für den Rolloff–Faktor $r = 0.5$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt $t = 0$?<br />
|type="{}"}<br />
$g_s(t = 0) \ = \ $ { 1.137 3% } $\ \cdot g_0$<br />
<br />
{Welche Aussagen sind für die Signalamplitude unabhängig von $r$ gültig? Lösen Sie diese Teilaufgabe im Frequenzbereich.<br />
|type="[]"}<br />
- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich $0 ≤ g_s(t = 0) ≤ g_0$ annehmen.<br />
- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich $g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 2 g_0$ annehmen.<br />
+ Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich $g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 4 g_0/π$ annehmen.<br />
<br />
{Wie groß ist die Energie $E_{g_s}$ des Sendegrundimpulses $g_s(t)$ für $r = 0$ und $r = 1$? <br />
|type="{}"}<br />
$r = 0\text{:} \ \ E_{g_s} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0^2 \cdot T$<br />
$r = 1\text{:} \ \ E_{g_s} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0^2 \cdot T$<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebene Gleichung $r = 0$ ein, so verschwinden im Zähler und Nenner die jeweils ersten Terme und man erhält:<br />
: $$g_s(t) = g_0 \cdot \frac{\sin \left (\pi \cdot t/T \right )}{\pi \cdot t/T} = g_0 \cdot {\rm si} \left (\pi \cdot {t}/{T} \right )\hspace{0.05cm}.$$<br />
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der si–Impuls gleich $g_0$: &nbsp; $ g_s(t) \hspace{0.15cm}\underline { = 1.0 } \cdot g_0 \hspace{0.05cm}.$<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Für $r = 1$ lässt sich die angegebene Gleichung wie folgt vereinfachen:<br />
:$$g_s(t) = \frac{4 \cdot g_0}{\pi} \cdot \frac{ \cos \left (2 \pi \cdot t/T \right )}{\left [1- (4 t/T)^2 \right ] }\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_s(t = 0) = \frac{4 \cdot g_0}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.273 }\cdot g_0 \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:<br />
*Nulldurchgänge sind für $r = 1$ nur möglich, wenn die Cosinusfunktion im Zähler Null ist, also für alle ganzzahligen Werte von $k$:<br />
:$$2 \pi \cdot t/T = {\pi}/{2} + k \cdot \pi \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} t = \pm 0.25T, \hspace{0.15cm} \pm 0.75T, \hspace{0.15cm}\pm 1.25T, \hspace{0.15cm} ...$$<br />
*Richtig ist aber nur der letzte Lösungsvorschlag, da die Nullstellen bei $±0.25T$ durch die Nullstelle im Nenner aufgehoben werden. <br />
*Die Anwendung der Regel von de l'Hospital liefert $g_s(t = ± 0.25T) = g_0$.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Mit $r = 0.5$ und der Abkürzung $x = t/T$ erhält man:<br />
:$$g_s(x) = \frac{g_0}{\pi} \cdot \frac{2 \cdot x \cdot \cos \left (1.5\pi \cdot x \right )+ \sin \left (0.5\pi \cdot x \right )}{\left (1- 4 \cdot x^2 \right ) \cdot x}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Für die Berechnung zum Zeitpunkt $t = 0$ muss die Regel von de l'Hospital angewandt werden. Die Ableitungen von Zähler und Nenner ergeben: <br />
:$$Z'(x) = 2 \cdot \cos \left (1.5\pi \cdot x \right ) - 3 \pi \cdot x \cdot \sin \left (1.5\pi \cdot x \right ) + 0.5 \pi \cdot \cos \left (0.5\pi \cdot x \right ),$$ <br />
:$$N'(x) = \left (1- 4 \cdot x^2 \right ) - 8 \cdot x^2 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Die beiden Grenzübergänge für $x → 0$ liefern:<br />
:$$\lim_{x \rightarrow 0} Z'(x) = 2 +{\pi }/{2},\hspace{0.2cm} \lim_{x \rightarrow 0} N'(x) = 1 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Damit gilt für die Signalamplitude zum Zeitpunkt $t = 0$:<br />
:$$g_s(t=0) = \frac{g_0}{\pi} \cdot \left ( 2 +{\pi }/{2} \right ) = {g_0} \cdot \left ( 0.5 + {2}/{\pi } \right )\hspace{0.15cm}\underline {= 1.137} \cdot g_0 \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
[[File:P_ID1723__Mod_A_4_11b.png|center|frame|Sendegrundimpuls (Wurzel–Nyquist) und Detektionsgrundimpuls (Nyquist)]]<br />
<br />
Die Grafik verdeutlicht nochmals die hier berechneten Ergebnisse: <br />
*Der Impuls $g_d(t)$ ist ein Nyquistimpuls, das heißt, dass er besitzt zumindest bei allen Vielfachen der Symboldauer $T$ Nulldurchgänge (je nach Rolloff–Faktor noch andere Nullstellen). <br />
*Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ erfüllt dagegen die Nyquistbedingung nicht. <br />
*Außerdem erkennt man aus dieser Darstellung nochmals, dass für $r ≠ 0$ die Impulsamplitude $g_s(t = 0)$ stets größer als $g_0$ ist.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>. Der erste Lösungsvorschlag scheidet bereits nach den Ergebnissen der Teilaufgaben (2) und (4) aus. Die Gültigkeit der unteren Schranke $g_0$ und der oberen Schranke $4g_0/π$ lässt sich wie folgt nachweisen:<br />
* Die Impulsamplitude $g_s(t = 0)$ ist grundsätzlich gleich der Fläche unter der Spektralfunktion $G_s(f)$.<br />
* Die kleinste Fläche ergibt sich für $r = 0$. Hier ist $G_s(f) = g_0 · T$ im Bereich $|f| < ±1/(2T)$. Die Fläche ist somit gleich $g_0$.<br />
* Die größtmögliche Fläche ergibt sich für $r = 1$. Hier ist $G_s(f)$ auf den Bereich $±1/T$ ausgedehnt und hat einen cosinusförmigen Verlauf. <br />
*Das Ergebnis $g_s(t = 0) = 4g_0/π$ wurde bereits in Teilaufgabe (3) berechnet. Es gilt aber auch:<br />
:$$g_s(t=0) = 2 \cdot {g_0} \cdot \int_{ 0 }^{1/T} {\cos\left(\frac{\pi }{2}\cdot f \cdot T \right)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{4 g_0}{\pi} \cdot \int_{ 0 }^{\pi/2} {\cos\left(x \right)}\hspace{0.1cm} {\rm d}x = {4 g_0}/{\pi} \cdot \left[\sin(\pi/2) - \sin(0) \right] = {4 g_0}/{\pi}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Die Energie des Sendegrundimpulses $g_s(t)$ kann nach dem Satz von Parseval sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich ermittelt werden:<br />
:$$E_{g_s} = \int_{ -\infty }^{+\infty} {[g_s(t)]^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}t = \int_{ -\infty }^{+\infty} {|G_s(f)|^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}f \hspace{0.05cm}.$$<br />
Aus den Gleichungen und der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass $|G_s(f)|^2$ formgleich mit $G_d(f)$ ist, mit dem Unterschied, dass die Höhe nun ($g_0 · T)^2$ anstelle von $g_0 · T$ ist:<br />
:$$E_{g_s} = \int_{ -\infty }^{+\infty} {|G_s(f)|^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{g_0^2 \cdot T^2}{g_0 \cdot T} \cdot \int_{ -\infty }^{+\infty} {G_d(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f \hspace{0.05cm}.$$<br />
Aufgrund der Nyquistform von $G_d(f)$ gilt aber unabhängig von $r$:<br />
:$$\int_{ -\infty }^{+\infty} {G_d(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = g_0 \hspace{0.05cm}.$$<br />
Damit ist auch die Impulsenergie unabhängig von $r$, also auch gültig für $r = 0$ und $r = 1$. In <u>beiden Fällen</u> ist <br />
:$$E_ {g_s}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.0} · g_0^2 · T.$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.12Z:_4-QAM_Systems_again&diff=25181Aufgaben:Exercise 4.12Z: 4-QAM Systems again2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1724__Mod_Z_4_11.png|right|frame|Phasendiagramme bei 4–QAM, ideal und mit Degradationen]]<br />
<br />
Die Grafik '''(A)''' zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter, wobei eine bei AWGN–Rauschen optimale Realisierungsform gewählt wurde:<br />
* rechteckförmiger Sendegrundimpuls der Symboldauer $T$,<br />
* rechteckförmige Impulsantwort des Matched-Filters gleicher Breite $T$.<br />
<br />
Alle hier dargestellten Phasendiagramme &ndash; sowohl '''(A)''' als auch '''(B)''' und '''(C)''' &ndash; beziehen sich ausschließlich auf die Detektionszeitpunkte. Die Übergänge zwischen den einzelnen zeitdiskreten Punkten sind in diesem Phasendiagrammen dagegen nicht eingezeichnet.<br />
<br />
Es liegt hier ein AWGN–Kanal mit $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ vor. Entsprechend gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des zunächst betrachteten Systems '''(A)''':<br />
:$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
Die Phasendiagramme '''(B)''' und '''(C)''' gehören zu zwei Systemen, bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde. Auch bei diesen ist jeweils AWGN–Rauschen mit $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ vorausgesetzt.<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]] im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo;.<br />
*Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|gleichnamigen Abschnitt]] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; erläutert.<br />
*Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.<br />
*Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint etwas kleiner, da &bdquo;Rot&rdquo; auf &bdquo;Schwarz&rdquo; schlechter zu erkennen ist. <br />
<br />
*Als eine hinreichend gute Näherung für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie verwenden:<br />
:$${\rm erfc}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2}.$$<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Berechnen Sie mit der angegebenen Näherung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von System '''(A)'''.<br />
|type="{}"}<br />
$p_{\rm B} \ = \ $ { 3.3 3% } $\ \cdot 10^{-5}$ <br />
<br />
<br />
<br />
{Welche Eigenschaften weist das System '''(B)''' auf?<br />
|type="[]"}<br />
+ Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.<br />
- Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.<br />
- Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System '''(A)'''.<br />
<br />
{ Welche Eigenschaften weist das System '''(C)''' auf?<br />
|type="[]"}<br />
- Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.<br />
+ Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.<br />
- Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System '''(A)'''.<br />
<br />
{ Welche Aussagen sind bezüglich den Fehlerwahrscheinlichkeiten richtig?<br />
|type="[]"}<br />
- Alle drei Systeme weisen die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.<br />
+ Die Fehlerwahrscheinlichkeit von System '''(A)''' ist am kleinsten.<br />
+ Das System '''(B)''' besitzt eine größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als das System '''(C)'''.<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus der Angabe $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ folgt &nbsp; ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$ Mit der angegebenen Näherung gilt weiter:<br />
:$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \approx \frac{1}{2 \cdot\sqrt{\pi \cdot{E_{\rm B}}/{N_0}} } \cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{N_0}} = {1}/{2 \cdot\sqrt{7.95 \cdot \pi }} \cdot {\rm e}^{-7.95}\approx \hspace{0.15cm}\underline {3.5 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}}.$$<br />
Der exakte Wert $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$ ist nur geringfügig kleiner.<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: <br />
*Aufgrund eines Phasenversatzes um $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.<br />
*Die beiden Komponenten I und Q beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei System '''(C)'''. <br />
*Ein &bdquo;Nyquistsystem&rdquo; führt niemals zu Impulsinterferenzen.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:<br />
*Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des Phasendiagramms '''(C)''', die den rauschfreien Fall markieren, erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen. <br />
*Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls $g_s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ wurde hier ein [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Gau.C3.9Fimpuls|Gaußtiefpass]] mit der (normierten) Grenzfrequenz $f_{\rm G} · T = 0.6$ verwendet. <br />
*Dieser bewirkt Impulsinterferenzen. Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor&ndash; und Nachläufer pro Komponente hinweisen.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:<br />
*Die Systeme '''(B)''' und '''(C)''' sind nicht optimal. Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.<br />
* Dagegen ist die Aussage 2 richtig. Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt,<br />
besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit<br />
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$<br />
*Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System '''(A)''' und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm. Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.<br />
*Auch die dritte Aussage ist zutreffend. Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System '''(B)''' Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen. <br />
<br />
<br />
Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von System '''(B)''' und System '''(C)''' werden im Buch „Digitalsignalübertragung” hergeleitet. Die Ergebnisse einer Systemsimulation bestätigen die obigen Aussagen:<br />
* System '''(A)''': &nbsp; &nbsp; $p_{\rm B} ≈ 3.3 · 10^{–5}$ (siehe Teilaufgabe 1),<br />
* System '''(B)''': &nbsp; &nbsp; $p_{\rm B} ≈ 3.5 · 10^{–2}$,<br />
* System '''(C)''': &nbsp; &nbsp; $p_{\rm B} ≈ 2.4 · 10^{–4}$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_4.13:_FSK_Demodulation&diff=25182Aufgaben:Exercise 4.13: FSK Demodulation2018-05-29T13:19:55Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div>{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation<br />
}}<br />
<br />
[[File:P_ID1739__Mod_A_4_12.png|right|frame|Signalverläufe der FSK–Demodulation]]<br />
Im Theorieteil wurde bereits das [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK| Blockschaltbild]] des kohärenten FSK–Demodulators angegeben, wobei wir in dieser Aufgabe von der unteren Systemvariante ausgehen. Rauschanteile werden hier nicht betrachtet.<br />
<br />
Die rechts angegebene Grafik zeigt die Signalverläufe an verschiedenen Stellen des Blockschaltbildes, wobei jeweils drei Symbole gezeichnet sind, im Bild getrennt durch gestrichelte Linien:<br />
* Oben ist das Empfangssignal $r(t)$ dargestellt, das identisch mit dem FSK–Sendesignal ist. Die höhere Frequenz $f_{+1}$ gehört zum Amplitudenkoeffizienten $a_ν = +1$, während $a_ν = –1$ mit der Frequenz $f_{–1}$ dargestellt ist. Bezogen auf die Symbolmitten $T$, $2T$, $3T$, ... liegt jeweils ein sinusförmiger Verlauf vor. Der konstante Betrag der Hüllkurve ist $s_0$.<br />
* Das mittlere Diagramm zeigt die Signale nach der Multiplikation mit den jeweiligen Sinussignalen:<br />
:$$b_{\rm +1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$<br />
:$$ b_{\rm -1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$<br />
:Das Signal $b_{+1}(t)$ im oberen Demodulatorzweig ist gelb und das Signal $b_{–1}(t)$ im unteren Zweig blau dargestellt. Der grüne Verlauf gilt entsprechend der Farbenlehre für beide Kurven. Die Signale sind gegenüber $r(t)$ niedriger als dargestellt.<br />
* Der untere Signalverlauf zeigt das Differenzsignal $b(t) = b_{+1}(t) – b_{–1}(t)$. Das folgende Matched–Filter kann auch als Integrator realisiert werden. Damit ist der (normierte) Entscheidungswert für das $ν$–te Symbol wie folgt gegeben:<br />
:$$E_{\nu}= \frac{1}{s_0} \cdot d (\nu \cdot T + T/2) = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{(\nu - 1/2) T }^{(\nu + 1/2) T }\hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK|Kohärente Demodulation der FSK]].<br />
<br />
*Gegeben ist die trigonometrische Beziehung<br />
:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
{Wie lauten die Amplitudenkoeffizienten?<br />
|type="{}"}<br />
$a_1 \ = \ $ { 1 } <br />
$a_2 \ = \ $ { -1.03--0.97 }<br />
$a_3 \ = \ $ { 1 }<br />
<br />
{Geben Sie die beiden Frequenzen $f_{+1}$ und $f_{–1}$ an.<br />
|type="{}"}<br />
$ f_{+1} \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot 1/T$<br />
$f_{–1} \hspace{0.18cm} = \ $ { 3 3% } $\ \cdot 1/T$<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für das Signal $b_{+1}(t)$ im ersten Zeitintervall zu?<br />
|type="[]"}<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $2/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $4/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $6/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $8/T$.<br />
+ Das Signal beinhaltet die Frequenz $10/T$.<br />
+ Das Signal beinhaltet einen Gleichanteil.<br />
<br />
{Welche Aussagen treffen für das Signal $b_{–1}(t)$ im ersten Zeitintervall zu?<br />
|type="[]"}<br />
+ Das Signal beinhaltet die Frequenz $2/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $4/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $6/T$.<br />
+ Das Signal beinhaltet die Frequenz $8/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet die Frequenz $10/T$.<br />
- Das Signal beinhaltet einen Gleichanteil.<br />
<br />
{Welche normierten Entscheidungswerte ergeben sich für die einzelnen Symbole?<br />
|type="{}"}<br />
$E_1 \hspace{0.2cm} = \ $ { 1 }<br />
$E_2 \hspace{0.2cm} = \ $ { -1.03--0.97 }<br />
$E_3 \hspace{0.2cm} = \ $ { 1 }<br />
<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:<br />
:$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:<br />
:$$f_{\rm +1} \hspace{0.15cm}\underline {= 5 \cdot 1/T},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \cdot 1/T} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Die Trägerfrequenz ist somit $f_{\rm T} = 4/T$ und der Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 1/T$.<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal $r(t)$ beschreibt und der zweite Term die im Modulator zugesetzte Schwingung:<br />
:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=<br />
s_0 \cdot \left [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}.$$<br />
Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Für das untere Signal $b_{-1}(t)$ gilt im gleichen Zeitintervall entsprechend:<br />
:$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )= s_0 \cdot \left [ \cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t ) - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$<br />
Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.<br />
<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Für den ersten Entscheidungswert gilt mit $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$:<br />
:$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$<br />
*Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (4) erkennt man, dass das zweite Integral $0$ ergibt (Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen). Das erste Integral ist gleich $s_0 · T$. Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall:<br> $E_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$. Ebenso ist $E_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$. <br />
*Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral 0 und das zweite hat den Wert $s_0 · T$. Somit erhält man hierfür den Wert $E_2\hspace{0.15cm}\underline { = -1}$.<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.3:_GSM_Frame_Structure&diff=25168Aufgaben:Exercise 3.3: GSM Frame Structure2018-05-29T13:19:54Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
<hr />
<div><br />
{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle<br />
}} <br />
<br />
[[File:P_ID1224__Bei_A_3_3.png|right|frame|Zur GSM-Rahmenstruktur]]<br />
Beim 2G&ndash;Mobilfunkstandard $\rm GSM$ ist folgende Rahmenstruktur spezifiziert:<br />
*Ein Superframe besteht aus $51$ Multiframes und hat die Zeitdauer $T_{\rm SF}$.<br />
*Jeder Multiframe hat $26$ TDMA–Rahmen und dauert insgesamt $T_{\rm MF} = 120 \ \rm ms$.<br />
*Jeder TDMA–Rahmen hat die Dauer $T_{\rm R}$ und ist eine Abfolge von acht Zeitschlitzen mit Dauer $T_{\rm Z}$.<br />
*In einem solchen Zeitschlitz wird zum Beispiel ein ''Normal Burst'' mit $156.25$ Bit übertragen.<br />
*Davon sind jedoch nur $114$ Datenbits. Weitere Bits werden benötigt für die so genannte ''Guard Period'', Signalisierung, Synchronisation und Kanalschätzung.<br />
*Weiter ist bei der Berechnung der Netto–Datenrate zu berücksichtigen, dass die logischen Kanäle SACCH und IDLE insgesamt $1.9 \ \rm kbit/s$ benötigen.<br />
<br />
<br />
Anzumerken ist, dass es neben der beschriebenen Multiframe–Struktur mit $26$ TDMA–Rahmen auch Multiframes mit jeweils $51$ TDMA–Rahmen gibt, die jedoch fast ausschließlich zur Übertragung von Signalisierungsinformation benutzt werden.<br />
<br />
<br />
<br />
''Hinweise:'' <br />
<br />
*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#GSM.E2.80.93Rahmenstruktur|GSM&ndash;Rahmenstruktur]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Fragebogen===<br />
<br />
<quiz display=simple><br />
<br />
{Wie lange dauert ein Superframe?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm SF} \ = \ ${ 6.12 3% } $ \ \rm s$<br />
<br />
{Welche Dauer hat ein TDMA–Rahmen?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm R} \ = \ ${ 4.615 3% } $ \ \rm ms$<br />
<br />
{Wie lange dauert ein Zeitschlitz?<br />
|type="{}"}<br />
$ T_{\rm Z} \ = \ ${ 576.9 3% } $ \ \rm &micro; s$<br />
<br />
{In welchen Zeitabständen $\Delta T_{\rm Z}$ bekommt ein Benutzer Zeitschlitze zugewiesen?<br />
|type="{}"}<br />
$\Delta T_{\rm Z} \ = \ ${ 4.615 3% } $ \ \rm ms$<br />
<br />
{Wie groß ist die Bitdauer?<br />
|type="{}"}<br />
$T_{\rm B} \ = \ ${ 3.692 3% } $ \ \rm &micro; s$<br />
<br />
{Wie groß ist die Gesamtbitrate des GSM?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm B} \ = \ ${ 270.833 3% } $ \ \rm kbit/s $<br />
<br />
{Wie groß ist die Brutto–Datenrate eines Benutzers?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm Brutto} \ = \ ${ 33.854 3% } $ \ \rm kbit/s$<br />
<br />
{Wie groß ist die Netto–Datenrate eines Benutzers?<br />
|type="{}"}<br />
$R_{\rm Netto} \ = \ ${ 22.8 3% } $ \ \rm kbti/s$<br />
<br />
<br />
</quiz><br />
<br />
===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Ein Superframe besteht aus 51 Multiframes mit jeweiliger Zeitdauer $T_{\rm MF} = 120 \ \rm ms$. Daraus folgt:<br />
:$$T_{\rm SF} = 51 \cdot T_{\rm MF} \hspace{0.15cm} \underline {= 6.12\,{\rm s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Jeder Multiframe ist entsprechend der Angabe in $26$ TDMA–Rahmen unterteilt. Deshalb gilt:<br />
:$$T_{\rm R} = \frac{ T_{\rm MF}}{26} = \frac{ 120\,{\rm ms}}{26} \hspace{0.15cm} \underline {= 4.615\,{\rm ms}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Ein TDMA–Rahmen besteht aus $8$ Zeitschlitzen. Deshalb ist<br />
:$$T_{\rm Z} = \frac{ T_{\rm R}}{8} = \frac{ 4.615\,{\rm ms}}{8} \hspace{0.15cm} \underline {= 576.9\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Der Abstand der für einen Benutzer zugewiesenen Zeitschlitze ist <br />
:$$\Delta T_{\rm Z} = T_{\rm R} \underline{= 4.615 \ \rm ms}.$$<br />
<br />
'''(5)'''&nbsp; Ein jeder Burst besteht – unter Berücksichtigung der Guard Period – aus $156.25 \ \rm Bit$, die innerhalb der Zeitdauer $T_{\rm Z} = 576.9 \ \rm \mu s$ übertragen werden müssen. Daraus ergibt sich:<br />
:$$T_{\rm B} = \frac{ T_{\rm Z}}{156.25} = \frac{ 576.9\,{\rm \mu s}}{156.25} \hspace{0.15cm} \underline {= 3.69216\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(6)'''&nbsp; Die Bitrate kann beispielsweise als Kehrwert der Bitdauer berechnet werden:<br />
:$$R_{\rm B} = \frac{ 1}{T_{\rm B}} = \frac{ 1}{3.69216\,{\rm \mu s}} \hspace{0.15cm} \underline {= 270.833\,{\rm kbit/s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(7)'''&nbsp; In jedem Zeitschlitz beträgt die Datenrate $R_{\rm B} \approx 271 \ \rm kbit/s$. Da jedem Benutzer jedoch nur einer von acht Zeitschlitzen zugewiesen wird, beträgt die Brutto–Datenrate eines Benutzers<br />
:$$R_{\rm Brutto} = \frac{ R_{\rm B}}{8} = \frac{ 270.833\,{\rm kbit/s}}{8} \hspace{0.15cm} \underline {= 33.854\,{\rm kbit/s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
'''(8)'''&nbsp; Für die Netto–Datenrate gilt entsprechend den Angaben:<br />
:$$R_{\rm Netto} = \frac{ 114}{156.25} \cdot R_{\rm Brutto} - 1.9\,{\rm kbit/s} \hspace{0.15cm} \underline {= 22.8\,{\rm kbit/s}}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen|^3.2 Funkschnittstelle^]]</div>Mwiki-lnthttps://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.3Z:_GSM_900_and_GSM_1800&diff=25169Aufgaben:Exercise 3.3Z: GSM 900 and GSM 18002018-05-29T13:19:54Z<p>Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “</p>
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{{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle<br />
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[[File:P_ID1225__Bei_Z_3_3.png|right|frame|$\rm GSM \ 900$ und \rm $GSM \ 1800$]]<br />
Der seit $1992$ in Europa etablierte Mobilfunkstandard $\rm GSM$ (''Global System for Mobile Communications'') nutzt Frequenz– und Zeitmultiplex, um mehreren Nutzern die Kommunikation in einer Zelle zu ermöglichen.<br />
<br />
Im Folgenden sind wichtige Kenngrößen des in der Grafik dargestellten Systems $\rm GSM \ 900$ in etwas vereinfachter Form angegeben.<br />
*Das Frequenzband des Uplinks (die Verbindung von der Mobil– zur Basisstation) liegt zwischen $890\ \rm MHz$ und $915 \ \rm MHz$.<br />
*Unter Berücksichtigung der Guard–Bänder an den beiden Enden steht somit für den Uplink eine Gesamtbandbreite von $24.8 \ \rm MHz$ zur Verfügung.<br />
*Dieses Band wird von insgesamt $K_{\rm F}$ Teilkanälen (''Radio Frequency Channels'') genutzt, die mit jeweiligem Frequenzabstand $200 \ \rm kHz$ nebeneinander liegen. Die Nummerierung geschieht mit der Laufvariablen $k_{\rm F}$.<br />
*Der Frequenzbereich für den Downlink (die Verbindung von der Basis– zur Mobilstation) liegt um den Duplexabstand $45 \ \rm MHz$ oberhalb des Uplinks und ist ansonsten in gleicher Weise wie dieser aufgebaut.<br />
*Jeder dieser FDMA–Teilkanäle wird gleichzeitig von $K_{\rm T} = 8$ Teilnehmern im Zeitmultiplex (''Time Division Multiple Access'', TDMA) genutzt.<br />
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Das System GSM $1800$ ist in ähnlicher Weise aufgebaut, jedoch mit folgenden Unterschieden:<br />
*Der Frequenzbereich des Uplinks liegt zwischen $1710 \ \rm MHz$ und $1785 \ \rm MHz$.<br />
*Der Duplexabstand beträgt $95 \ \rm MHz$.<br />
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''Hinweise:'' <br />
<br />
*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].<br />
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Realisierung_von_FDMA_und_TDMA|Realisierung von FDMA und TDMA]]<br />
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===Fragebogen===<br />
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<quiz display=simple><br />
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{Wieviele Teilkanäle entstehen beim $\rm GSM \ 900$ durch Frequenzmultiplex?<br />
|type="{}"}<br />
$K_{\rm F} \ = \ $ { 124 3% }<br />
<br />
{Wieviele Frequenzkanäle gibt es beim $\rm GSM \ 1800$?<br />
|type="{}"}<br />
$K_{\rm F} \ = \ $ { 374 3% }<br />
<br />
{Welche Mittenfrequenz benutzt der Frequenzkanal mit der Nummer $k_{\rm F} = 200$ im Downlink des $\rm GSM \ 1800$?<br />
|type="{}"}<br />
$f_{\rm M} \ = \ $ { 1845 3% } $ \ \rm MHz$<br />
<br />
{Wieviele Teilnehmer $K$ können beim $\rm GSM \ 1800$ gleichzeitig aktiv sein?<br />
|type="{}"}<br />
$K \ = \ $ { 2992 3% }<br />
<br />
</quiz><br />
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===Musterlösung===<br />
{{ML-Kopf}}<br />
'''(1)'''&nbsp; Aus der Gesamtbandbreite von $25 \ {\rm MHz}\ (800 \text{...} 915 \ \rm MHz)$, den beiden Schutzbereichen von je $100 \ \rm kHz$ an den Rändern und dem Kanalabstand $200 \ \rm kHz$ ergibt sich für das $\rm GSM \ 900$:<br />
:$$K_{\rm F} = \frac{ 914.9 \,{\rm MHz}- 890.1 \,{\rm MHz}}{0.2 \,{\rm MHz}} \hspace{0.15cm} \underline {= 124}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(2)'''&nbsp; Beim $\rm GSM \ 1800$ steht nun in jeder Richtung eine Bandbreite von $75 \ \rm MHz$ zur Verfügung. Unter Berücksichtigung der beiden Schutzbänder und des gleichen Kanalabstandes $200 \ \rm kHz$ erhält man hier:<br />
:$$K_{\rm F} = \frac{ 75 \,{\rm MHz}- 0.2 \,{\rm MHz}}{0.2 \,{\rm MHz}} \hspace{0.15cm} \underline {= 374}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(3)'''&nbsp; Beim $\rm GSM \ 1800$ beginnt der Uplink bei $1710 \ \rm MHz$ und der Downlink bei<br />
:$$1710 \,{\rm MHz}\,\,({\rm Uplink})+ 95 \,{\rm MHz}\,\,({\rm Duplexabstand}) ={1805 \,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
Der erste Downlink–Kanal $(k_{\rm F} = 1)$ liegt um die Mittenfrequenz $f_{\rm M} = 1805.2 \ \rm MHz$, der Kanal mit der Nummer $k_{\rm F} = 200$ um den Frequenzabstand $199 \cdot 0.2 \ \rm MHz$ höher:<br />
:$$f_{\rm M} (k_{\rm F} = 200) \hspace{0.15cm} \underline { = {1845 \,{\rm MHz}}} \hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) und $K_{\rm T} = 8$ erhält man:<br />
:$$K ({\rm GSM \hspace{0.15cm}1800}) = 374 \cdot 8 \hspace{0.15cm} \underline { = 2992}\hspace{0.05cm}.$$<br />
<br />
<br />
{{ML-Fuß}}<br />
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