Applets:Abtastung analoger Signale und Signalrekonstruktion - Revision history

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Tasnad at 12:24, 20 August 2020

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 ==Programmbeschreibung==
 <br>
-Das Applet behandelt die Systemkomponenten&nbsp; &bdquo;Abtastung"&nbsp; und&nbsp; &bdquo;Signalrekonstruktion", zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der&nbsp; [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; von großer Wichtigkeit sind.&nbsp; Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.&nbsp; Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
+Das Applet behandelt die Systemkomponenten&nbsp; "Abtastung"&nbsp; und&nbsp; "Signalrekonstruktion", zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der&nbsp; [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; von großer Wichtigkeit sind.&nbsp; Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.&nbsp; Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
 [[File:Abtastung_1_version4.png|center|frame|Oben: &nbsp;&nbsp; Zugrundeliegendes Modell für Abtastung und Signalrekonstruktion<br>Unten: &nbsp; Beispiel zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$]]
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-Das Applet berücksichtigt nicht die PCM&ndash;Blöcke&nbsp; &bdquo;Quantisierung", &nbsp;&bdquo;Codierung / Decodierung" und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.&nbsp;
+Das Applet berücksichtigt nicht die PCM&ndash;Blöcke&nbsp; "Quantisierung", &nbsp;"Codierung / Decodierung" und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.&nbsp;
 [[File:Abtastung_2_neu.png|right|frame|Empfänger&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$]]
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 ===Signalrekonstruktion===
-[[File:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung" und &bdquo;Signalrekonstruktion"]]
+[[File:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von "Signalabtastung" und "Signalrekonstruktion"]]
 Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden.&nbsp; Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
 *Das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; wird wie oben beschrieben abgetastet.
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 *Die Frage ist nun, wie der Block &nbsp; '''Signalrekonstruktion''' &nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.
-[[File:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion"]]
+[[File:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der "Signalrekonstruktion"]]
 <br>Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp;
@@ Line 213: / Line 213: @@
 *Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ('''1''', ... , '''10''')&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
-*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung".
+*Lösung nach Drücken von "Musterlösung".
-*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset":&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
+*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem "Reset":&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 *Alle Signalwerte sind normiert auf&nbsp; $\pm 1$&nbsp; zu verstehen.&nbsp; Auch die ausgegebenen Leistungen sind normierte Größen.
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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 ==Programmbeschreibung==
 <br>
-Das Applet behandelt die Systemkomponenten&nbsp; &bdquo;Abtastung&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der&nbsp; [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; von großer Wichtigkeit sind.&nbsp; Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.&nbsp; Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
+Das Applet behandelt die Systemkomponenten&nbsp; &bdquo;Abtastung"&nbsp; und&nbsp; &bdquo;Signalrekonstruktion", zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der&nbsp; [[Modulation_Methods/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; von großer Wichtigkeit sind.&nbsp; Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell.&nbsp; Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
 [[File:Abtastung_1_version4.png|center|frame|Oben: &nbsp;&nbsp; Zugrundeliegendes Modell für Abtastung und Signalrekonstruktion<br>Unten: &nbsp; Beispiel zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$]]
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-Das Applet berücksichtigt nicht die PCM&ndash;Blöcke&nbsp; &bdquo;Quantisierung&rdquo;, &nbsp;&bdquo;Codierung / Decodierung&rdquo; und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.&nbsp;
+Das Applet berücksichtigt nicht die PCM&ndash;Blöcke&nbsp; &bdquo;Quantisierung", &nbsp;&bdquo;Codierung / Decodierung" und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.&nbsp;
 [[File:Abtastung_2_neu.png|right|frame|Empfänger&ndash;Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$]]
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 ===Signalrekonstruktion===
-[[File:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung&rdquo; und &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;]]
+[[File:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung" und &bdquo;Signalrekonstruktion"]]
 Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden.&nbsp; Betrachten wir zum Beispiel das folgende System:
 *Das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; wird wie oben beschrieben abgetastet.
@@ Line 157: / Line 157: @@
 *Die Frage ist nun, wie der Block &nbsp; '''Signalrekonstruktion''' &nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.
-[[File:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;]]
+[[File:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion"]]
 <br>Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp;
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 *Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ('''1''', ... , '''10''')&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
-*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
+*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung".
-*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
+*Die Nummer&nbsp; '''0'''&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset":&nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 *Alle Signalwerte sind normiert auf&nbsp; $\pm 1$&nbsp; zu verstehen.&nbsp; Auch die ausgegebenen Leistungen sind normierte Größen.
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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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   X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$
-Entwickelt man den&nbsp; Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$ &nbsp; (im Zeitbereich) &nbsp; in eine&nbsp; [[Signal_Representation/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich  folgende Korrespondenz &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:
+Entwickelt man den&nbsp; Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$ &nbsp; (im Zeitbereich) &nbsp; in eine&nbsp; [[Signal_Representation/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich  folgende Korrespondenz &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Time_Discrete_Signal_Representation#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:
 :$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot

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 ===Beschreibung der Abtastung im Frequenzbereich===
-Zum Spektrum des abgetasteten Signals&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; kommt man durch Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
+Zum Spektrum des abgetasteten Signals&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; kommt man durch Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
 :$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}

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   X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$
-Entwickelt man den&nbsp; Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$ &nbsp; (im Zeitbereich) &nbsp; in eine&nbsp; [[Signal_Representation/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich  folgende Korrespondenz &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:
+Entwickelt man den&nbsp; Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$ &nbsp; (im Zeitbereich) &nbsp; in eine&nbsp; [[Signal_Representation/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich  folgende Korrespondenz &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:
 :$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
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 *Die Fouriertransformierte von&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp;  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich  &nbsp; ⇒  &nbsp; $P_{\delta}(f)$.
 *Auch&nbsp; $P_{\delta}(f)$&nbsp; besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun im jeweiligen Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit dem Impulsgewicht&nbsp; $1$.
-*Die Abstände der Diraclinien in Zeit– und Frequenzbereich folgen demnach dem&nbsp; [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]: &nbsp; $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$
+*Die Abstände der Diraclinien in Zeit– und Frequenzbereich folgen demnach dem&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]: &nbsp; $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{LntAppletLink|abtastung}}
+{{LntAppletLink|sampling}}
 ==Programmbeschreibung==
@@ Line 331: / Line 331: @@
 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
-{{LntAppletLink|abtastung}}
+{{LntAppletLink|sampling}}

@@ Line 160: / Line 160: @@
 <br>Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp;
-Man erhält aus&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Y(f) = X(f)$&nbsp; durch ein Tiefpass&nbsp;Filter mit dem&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]&nbsp; $H_{\rm E}(f)$, der&nbsp;
+Man erhält aus&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Y(f) = X(f)$&nbsp; durch ein Tiefpass&nbsp;Filter mit dem&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]&nbsp; $H_{\rm E}(f)$, der&nbsp;
 *die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt: