Applets:Bessel functions of the first kind - Revision history

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2026-03-16T13:48:57Z

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	Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:		Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und grafische Darstellung der Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung entsprechend der Reihendarstellung:

	:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2		:$${\rm J}_n (x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (x/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Funktionen ${\rm J}_n (x)$ können für die Ordnung $n=0$ bis $n=9$ in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.		*Die Funktionen ${\rm J}_n (x)$ können für die Ordnung $n=0$ bis $n=9$ in verschiedenen Farben grafisch dargestellt werden.
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	Besselfunktionen (oder auch Zylinderfunktionen) sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form		Besselfunktionen (oder auch Zylinderfunktionen) sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung der Form

	:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2)		:$$x^2 \cdot \frac{ {\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\ {\rm J}_n (x) \ + \ x \cdot \frac{ {\rm d}}{{\rm d}x}\ {\rm J}_n (x) \ + \ (x^2 - n^2)\cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$
	\cdot {\rm J}_n (x)= 0. $$

	Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Der Parameter $n$ ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm. Diese bereits 1844 von [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel] eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:		Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Der Parameter $n$ ist meistens ganzzahlig, so auch in diesem Programm. Diese bereits 1844 von [https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel Friedrich Wilhelm Bessel] eingeführten mathematischen Funktionen können auch in geschlossener Form als Integrale dargestellt werden:

	:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha		:$${\rm J}_n (x) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[\hspace{0.05cm}x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha \hspace{0.05cm}]}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Funktionen ${\rm J}_n (x)$ gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art (englisch:   ''Bessel Functions of the First Kind'' ). Den Parameter $n$ nennt man die ''Ordnung''.		Die Funktionen ${\rm J}_n (x)$ gehören zur Klasse der Besselfunktionen erster Art (englisch:   ''Bessel Functions of the First Kind'' ). Den Parameter $n$ nennt man die ''Ordnung''.
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel (B):}$   Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei [[Modulation_Methods/~~Phasenmodulation_~~(PM)#~~Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals~~\|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:		$\text{Beispiel (B):}$   Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Spectral_function_of_a_phase-modulated_sine_signal\|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:
	[[File:Mod_T_3_1_S4_version2.png\|right\|frame\|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]		[[File:Mod_T_3_1_S4_version2.png\|right\|frame\|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]
	:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$		:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$
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	$$\hspace{0.2cm}x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$		$$\hspace{0.2cm}x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},$$

	$$\hspace{0.2cm}z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		$$\hspace{0.2cm}z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$
	z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$

	Die Grafik zeigt dieses [[Mobile_Communications/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente\|Rice–Fading–Kanalmodell]]. Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:		Die Grafik zeigt dieses [[Mobile_Communications/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente\|Rice–Fading–Kanalmodell]]. Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:
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	*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$.		*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$.
	*Für $a \ge 0$ gilt folgende Gleichung, wobei ${\rm I_0}(x)$ die <i>modifizierte Besselfunktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:		*Für $a \ge 0$ gilt folgende Gleichung, wobei ${\rm I_0}(x)$ die <i>modifizierte Besselfunktion</i> nullter Ordnung bezeichnet:
	:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =		:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ - (a^2 + \vert z_0 \vert ^2)/(2\sigma^2)} \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot \vert z_0 \vert}{\sigma^2} \right ] \hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}\hspace{0.05cm}.$$
	\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k} }{k! \cdot \Gamma (k+1)}
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion ${\rm I_0}(x)$ – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}		*Zwischen der modifizierten Besselfunktion und der herkömmlichen Besselfunktion ${\rm I_0}(x)$ – jeweils erster Art – besteht also der Zusammenhang ${\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u)$.}}

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten~~#Prof._Dr.-Ing._habil.~~_G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29~~\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Prof._Dr.-Ing._habil._Günter_Söder_(at_LNT_from_1974-2024)\|Günter Söder]]).
	*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf "HTML5" umgesetzt.		*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf "HTML5" umgesetzt.

	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

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	{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}
			[[de:Applets:Besselfunktionen_erster_Art]]

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	:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$		:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
	Auf der Seite [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:		Auf der Seite [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:
	*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen~~”~~ und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler~~”~~.		*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen" und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler".
	*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite~~”~~ schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust~~”~~ allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}		*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite" schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust" allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}


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	*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>		*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>

	*Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $\vert z(t)\vert$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice–Fading</i>~~”~~ herrührt.		*Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $\vert z(t)\vert$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung &bdquo;<i>Rice–Fading</i>" herrührt.

	*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$.		*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$.
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	'''(D)'''     Variation der grafischen Darstellung		'''(D)'''     Variation der grafischen Darstellung

	$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$~~”~~ (Vergrößern),		$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$" (Vergrößern),

	$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$~~”~~ (Verkleinern)		$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$" (Verkleinern)

	$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$~~”~~ (Zurücksetzen)		$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$" (Zurücksetzen)

	$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$~~”~~ (Verschieben nach links), usw.		$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$" (Verschieben nach links), usw.

	'''(E)'''     Auswahl des Abszissenwertes $x_1$ für die linke Numerikausgabe		'''(E)'''     Auswahl des Abszissenwertes $x_1$ für die linke Numerikausgabe
Line 181:		Line 181:
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript~~”~~ erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5~~”~~ umgesetzt.		*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5" umgesetzt.

	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}

Javier: Text replacement - "Signal_Representation/Spektralanalyse" to "Signal_Representation/Spectrum_Analysis"

2020-09-01T13:33:38Z

Text replacement - "Signal_Representation/Spektralanalyse" to "Signal_Representation/Spectrum_Analysis"

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	Aufgabe der [[Signal_Representation/~~Spektralanalyse~~\|Spektralanalyse]] ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes'' zu begrenzen.		Aufgabe der [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis\|Spektralanalyse]] ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes'' zu begrenzen.

	Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster   ⇒   siehe Abschnitt [[Signal_Representation/~~Spektralanalyse~~#Spezielle_Fensterfunktionen\|Spezielle Fensterfunktionen]]. Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung   ⇒   ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter $\alpha=3.5$ und der Fensterlänge $N$:		Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster   ⇒   siehe Abschnitt [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis#Spezielle_Fensterfunktionen\|Spezielle Fensterfunktionen]]. Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung   ⇒   ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter $\alpha=3.5$ und der Fensterlänge $N$:
	:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$		:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
	Auf der Seite [[Signal_Representation/~~Spektralanalyse~~#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:		Auf der Seite [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:
	*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler”.		*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler”.
	*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust” allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}		*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust” allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}

Javier: Text replacement - "[[Biografien_und_Bibliografien" to "[[Biographies_and_Bibliographies"

2020-07-09T12:54:54Z

Text replacement - "[[Biografien_und_Bibliografien" to "[[Biographies_and_Bibliographies"

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2006 von [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	*2018 wurde das Programm von [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.		*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf &bdquo;HTML5” umgesetzt.

	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}

Javier: Text replacement - "[[Modulationsverfahren" to "[[Modulation_Methods"

2020-07-09T12:52:36Z

Text replacement - "[[Modulationsverfahren" to "[[Modulation_Methods"

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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel (B):}$   Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei [[~~Modulationsverfahren~~/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals\|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:		$\text{Beispiel (B):}$   Für das Spektrum des analytischen Signals gilt bei [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals\|Phasenmodulation eines Sinussignals]]:
	[[File:Mod_T_3_1_S4_version2.png\|right\|frame\|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]		[[File:Mod_T_3_1_S4_version2.png\|right\|frame\|Spektrum des analytischen Signals bei Phasenmodulation]]
	:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$		:$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

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2020-07-09T09:37:16Z

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	Aufgabe der [[~~Signaldarstellung~~/Spektralanalyse\|Spektralanalyse]] ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes'' zu begrenzen.		Aufgabe der [[Signal_Representation/Spektralanalyse\|Spektralanalyse]] ist es, durch die Bereitstellung geeigneter Fensterfunktionen den Einfluss des ''spektralen Leckeffektes'' zu begrenzen.

	Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster   ⇒   siehe Abschnitt [[~~Signaldarstellung~~/Spektralanalyse#Spezielle_Fensterfunktionen\|Spezielle Fensterfunktionen]]. Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung   ⇒   ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter $\alpha=3.5$ und der Fensterlänge $N$:		Eine solche Fensterfunktion liefert zum Beispiel das Kaiser–Bessel–Fenster   ⇒   siehe Abschnitt [[Signal_Representation/Spektralanalyse#Spezielle_Fensterfunktionen\|Spezielle Fensterfunktionen]]. Dessen zeitdiskrete Fensterfunktion lautet mit der Besselfunktion nullter Ordnung   ⇒   ${\rm J}_0(x)$, dem Parameter $\alpha=3.5$ und der Fensterlänge $N$:
	:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$		:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
	Auf der Seite [[~~Signaldarstellung~~/Spektralanalyse#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:		Auf der Seite [[Signal_Representation/Spektralanalyse#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:
	*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler”.		*Günstig sind der große &bdquo;Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen” und der gewünschte kleine &bdquo;Maximale Skalierungsfehler”.
	*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust” allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}		*Aufgrund der sehr großen &bdquo;Äquivalenten Rauschbreite” schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium &bdquo;Maximaler Prozessverlust” allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}

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2020-07-09T09:13:16Z

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	$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$		$\text{Beispiel (D):} \hspace{0.5cm} \text{Rice-Fading-Kanalmodell}$

	Die [[~~Mobile_Kommunikation~~/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals\| Rayleigh–Verteilung]] beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.		Die [[Mobile_Communications/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Allgemeine_Beschreibung_des_Mobilfunkkanals\| Rayleigh–Verteilung]] beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt.

	Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: <i>Line of Sight</i>, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten $x_0$ und/oder $y_0$ hinzufügen:		Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: <i>Line of Sight</i>, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen $x(t)$ und $y(t)$ noch Gleichkomponenten $x_0$ und/oder $y_0$ hinzufügen:
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	z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$		z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.$$

	Die Grafik zeigt dieses [[~~Mobile_Kommunikation~~/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente\|Rice–Fading–Kanalmodell]]. Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:		Die Grafik zeigt dieses [[Mobile_Communications/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente\|Rice–Fading–Kanalmodell]]. Es lässt sich wie folgt zusammenfassen:
	*Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $x_0$ und Varianz $\sigma ^2$.		*Der Realteil $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $x_0$ und Varianz $\sigma ^2$.
	*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>		*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>

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	:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$		:$$w_\nu = \frac{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - (2\nu/N)^2}\big)}{ {\rm J}_0\big(\pi \cdot \alpha \big)}.$$
	Auf der Seite [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:		Auf der Seite [[Signal_Representation/Spectrum_Analysis#G.C3.BCtekriterien_von_Fensterfunktionen\|Gütekriterien von Fensterfunktionen]] sind unter anderem die Kenngrößen des Kaiser–Bessel–Fensters angegeben:
	*Günstig sind der große ~~&bdquo;~~Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen" und der gewünschte kleine ~~&bdquo;~~Maximale Skalierungsfehler".		*Günstig sind der große "Minimale Abstand zwischen Hauptkeule und Seitenkeulen" und der gewünschte kleine "Maximale Skalierungsfehler".
	*Aufgrund der sehr großen ~~&bdquo;~~Äquivalenten Rauschbreite" schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium ~~&bdquo;~~Maximaler Prozessverlust" allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}		*Aufgrund der sehr großen "Äquivalenten Rauschbreite" schneidet das Kaiser–Bessel–Fenster im wichtigsten Vergleichskriterium "Maximaler Prozessverlust" allerdings schlechter ab als die etablierten Hamming– und Hanning–Fenster.}}


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	*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>		*Der Imaginärteil $y(t)$ ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert $y_0$, gleiche Varianz $\sigma ^2$) sowie unabhängig von $x(t)$.<br>

	*Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $\vert z(t)\vert$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung ~~&bdquo;~~<i>Rice–Fading</i>" herrührt.		*Für $z_0 \ne 0$ ist der Betrag $\vert z(t)\vert$ riceverteilt, woraus die Bezeichnung "<i>Rice–Fading</i>" herrührt.

	*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$.		*Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $\vert z(t)\vert = a(t)$. Für $a < 0$ ist die Betrags–WDF $f_a(a) \equiv 0$.
Line 161:		Line 161:
	'''(D)'''     Variation der grafischen Darstellung		'''(D)'''     Variation der grafischen Darstellung

	$\hspace{1.5cm}$~~&bdquo;~~$+$" (Vergrößern),		$\hspace{1.5cm}$"$+$" (Vergrößern),

	$\hspace{1.5cm}$ ~~&bdquo;~~$-$" (Verkleinern)		$\hspace{1.5cm}$ "$-$" (Verkleinern)

	$\hspace{1.5cm}$ ~~&bdquo;~~$\rm o$" (Zurücksetzen)		$\hspace{1.5cm}$ "$\rm o$" (Zurücksetzen)

	$\hspace{1.5cm}$ ~~&bdquo;~~$\leftarrow$" (Verschieben nach links), usw.		$\hspace{1.5cm}$ "$\leftarrow$" (Verschieben nach links), usw.

	'''(E)'''     Auswahl des Abszissenwertes $x_1$ für die linke Numerikausgabe		'''(E)'''     Auswahl des Abszissenwertes $x_1$ für die linke Numerikausgabe
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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit ~~&bdquo;~~FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2006 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29\|Markus Elsberger]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29\|Slim Lamine]] im Rahmen von Abschlussarbeiten mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf ~~&bdquo;~~HTML5" umgesetzt.		*2018 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29\|Xiaohan Liu]] (Bachelorarbeit, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]] ) auf "HTML5" umgesetzt.

	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}		{{LntAppletLink\|besselFuns_en}}