Applets:Pulses & Spectra - Revision history

Javier at 09:12, 10 November 2021

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Javier: Text replacement - "Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation" to "Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation"

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Text replacement - "Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation" to "Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation"

Javier: Text replacement - "Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation" to "Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws"

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Text replacement - "Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation" to "Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws"

Javier: Text replacement - "Signal_Representation/Fouriertransformation_und_-rücktransformation" to "Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse"

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Text replacement - "Signal_Representation/Fouriertransformation_und_-rücktransformation" to "Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse"

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 ==Description of the Applet==
 <br>
-Dargestellt [[File:Selected radio button.png|x17px]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
+Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
 *Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),
 *Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),

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 ==Description of the Applet==
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-Dargestellt [[File:Selected radio button.png|x12px]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
+Dargestellt [[File:Selected radio button.png|x17px]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
 *Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),
 *Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),

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 ==Description of the Applet==
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-Dargestellt [[File:Selected radio button.png]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
+Dargestellt [[File:Selected radio button.png|x12px]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
 *Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),
 *Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),

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 ==Description of the Applet==
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-Dargestellt [[File:Selected radio button.png|thumb]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
+Dargestellt [[File:Selected radio button.png]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
 *Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),
 *Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),

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 ==Description of the Applet==
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-Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
+Dargestellt [[File:Selected radio button.png|thumb]] werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
 *Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),
 *Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),

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 ==Description of the Applet==
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-Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse&rdquo; $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
+Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale &nbsp; &rArr; &nbsp; "Impulse" $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich
 *Gaußimpuls (englisch: ''Gaussian pulse''),
 *Rechteckimpuls  (englisch: ''Rectangular pulse''),
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 :$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
 *$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in $\rm V$, $X(f)$ in $\rm V/Hz$.
-*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul "Impulse & Spektren&rdquo;  und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Frequenzgang & Impulsantwort]] basiert auf dem [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
+*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul "Impulse & Spektren"  und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Frequenzgang & Impulsantwort]] basiert auf dem [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
 *Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ die Spektralwerte $X(f)$ müssen noch mit der Normierungszeit $T$ multipliziert werden.
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 ==Vorschlag für die Versuchsdurchführung ????==
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-"Rot&rdquo; bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_1(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$ und "Blau&rdquo; den zweiten &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_2(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
+"Rot" bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_1(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$ und "Blau" den zweiten &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_2(t)  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
   {{BlaueBox|TEXT=
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-*Der  Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 0$ ist identsisch mit dem Rechteckimpuls und das "normierte Spektrum&rdquo; lautet: $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
+*Der  Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 0$ ist identsisch mit dem Rechteckimpuls und das "normierte Spektrum" lautet: $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
-*Der  Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 1$ ist identsisch mit dem Dreieckimpuls und das "normierte Spektrum&rdquo; lautet: $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
+*Der  Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 1$ ist identsisch mit dem Dreieckimpuls und das "normierte Spektrum" lautet: $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
 *In beiden Fällen besitzt $X_1(f)$ äquidistante Nulldurchgänge bei $\pm 1$, $\pm 2$, ... Sonst gibt es keine  Nulldurchgänge.
 Mit $0 < r_1 < 1$ gibt es dagegen zusätzliche Nulldurchgänge, deren Lagen von  $r_1$ abhängen.
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 ==About the authors==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).
+*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] und [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Klaus_Eichin_.28am_LNT_von_1972-2011.29|Klaus Eichin]]).
-*2017 wurde "Impulse & Spektren&rdquo;  von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  "HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
+*2017 wurde "Impulse & Spektren"  von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet.
 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster ???==
 {{LntAppletLinkEn|impulsesAndSpectra_en}}

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 *Das (normierte) Spektrum des Rechteckimpulses $x_1(t)$ mit den (normierte) Parametern  $A_1 = 1$ und  $\Delta t_1 = 1$  lautet $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
-* Faltet man den Rechteckimpuls $x_1(t)$ mit sich selbst, so kommt man zum  Dreieckimpuls $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$. Nach dem [[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt dann $X_2(f) = X_1(f) \cdot X_1(f) = X_1(f)^2 $.
+* Faltet man den Rechteckimpuls $x_1(t)$ mit sich selbst, so kommt man zum  Dreieckimpuls $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$. Nach dem [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt dann $X_2(f) = X_1(f) \cdot X_1(f) = X_1(f)^2 $.
 *Durch das Quadrieren der $\rm si$&ndash;förmigen Spektralfunktion $X_1(f)$ bleiben die Nullstellen in $X_2(f)$ erhalten. Es gilt aber nun $X_2(f) \ge 0$.

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 :$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$
 *$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in $\rm V$, $X(f)$ in $\rm V/Hz$.
-*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul &bdquo;Impulse & Spektren&rdquo;  und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Frequenzgang & Impulsantwort]] basiert auf dem [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
+*Der Zusammenhang zwischen diesem Modul &bdquo;Impulse & Spektren&rdquo;  und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Frequenzgang & Impulsantwort]] basiert auf dem [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]].
 *Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ die Spektralwerte $X(f)$ müssen noch mit der Normierungszeit $T$ multipliziert werden.
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 *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
 :$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$
-*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum &nbsp; &rArr; &nbsp;  [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
+*Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum &nbsp; &rArr; &nbsp;  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]].
 *Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
 *Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch  in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta t$ auf weniger als $0.1\% $ des Maximums abgefallen.
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-*Man erkennt das [[Signal_Representation/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. Je größer die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_2$ ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion $X_2(f)$.
+*Man erkennt das [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. Je größer die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_2$ ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion $X_2(f)$.
 *Da bei jeder Einstellung von $\Delta t_2$ die Zeitsignalwerte bei $t=0$ von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ sind auch die Integrale über $X_1(f)$ und $X_2(f)$ identisch.

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 ===Zusammenhang $x(t)\Leftrightarrow X(f)$===
-*Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das [[Signal_Representation/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]] gegeben:
+*Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_erste_Fourierintegral|erste Fourierintegral]] gegeben:
 :$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm}
 \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$
-*Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das [[Signal_Representation/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
+*Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_zweite_Fourierintegral|zweite Fourierintegral]]:
 :$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm}
 {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm  Inverse \ Fouriertransformation.$$