Applets:Verdeutlichung der grafischen Faltung - Revision history

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Dieses Applet verdeutlicht die Faltungsoperation im Zeitbereich *zwischen einem Eingangsimpuls …“

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{{LntAppletLink|faltung}}

==Programmbeschreibung==
 
Dieses Applet verdeutlicht die Faltungsoperation im Zeitbereich
*zwischen einem Eingangsimpuls  $x(t)$   ⇒   Rechteck, Dreieck, Gauß, Exponentialfunktion
*und der Impulsantwort  $h(t)$  eines LZI–Systems mit Tiefpass–Charakter  ⇒   Spalt–Tiefpass, Tiefpass erster bzw. zweiter Ordnung, Gauß–Tiefpass.

Für das Ausgangssignal  $y(t)$  entsprechend dem Blockschaltbild im  $\text{Beispiel 1}$  gilt dann, wie im Kapitel  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]  dargelegt:
:$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bei kausalen Systemen   ⇒    $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  (Beispiele: Spalt–Tiefpass sowie Tiefpass erster und zweiter Ordnung)   kann hierfür auch geschrieben werden:

:$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bitte beachten Sie:
*Alle Größen – auch die Zeit $t$ – sind normiert (dimensionslos) zu verstehen.
*Die Zeitfunktionen  $x(t)$,  $h(t)$  und  $y(t)$  können im Programm keine negativen Signalwerte annehmen.
*Die ''absolute Dauer''  eines Impulses  $y(t)$  ist der (zusammenhängende) Zeitbereich, für den  $y(t) > 0$  gilt.
*Die ''äquivalente Dauer''  eines Impulses ist über das flächengleiche Rechteck berechenbar.

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Faltung im Zeitbereich===

Der  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz]]  ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation. Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bekannt sind:

:$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$

Dann gilt für die Zeitfunktion des Produktes  $X_1(f) \cdot X_2(f)$:

:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Hierbei ist  $\tau$  eine formale Integrationsvariable mit der Dimension einer Zeit.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bezeichnet man als  '''Faltung'''  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

:$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:

:$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$

[[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Beweis_des_Faltungssatzes|$\text{Beweis}$]]}}

''Anmerkung'':   Die Faltung ist  '''kommutativ'''   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:   ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.

[[File:P_ID579__Sig_T_3_4_S1_neu.png|right|frame|Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI-) System kann sowohl durch den Frequenzgang  $H(f)$  als auch durch die Impulsantwort  $h(t)$  beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen diesen beiden Systemgrößen ebenfalls durch die Fouriertransformation gegeben ist.

Legt man an den Eingang ein Signal  $x(t)$  mit dem Spektrum  $X(f)$  an, so gilt für das Spektrum des Ausgangssignals:

:$$Y(f) = X(f) \cdot H(f)\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Faltungssatz ist es nun möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:

:$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$

Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation  ''kommutativ''  ist.}}

===Faltung im Frequenzbereich===

Die Dualität zwischen Zeit– und Frequenzbereich erlaubt auch Aussagen hinsichtlich des Spektrums eines Produktsignals:

:$$x_1 ( t ) \cdot x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 (f) * X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X_1 ( \nu )} \cdot X_2 ( {f - \nu })\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu.$$

Dieses Resultat lässt sich ähnlich wie der  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz im Zeitbereich]]  beweisen. Die Integrationsvariable  $\nu$  hat aber nun die Dimension einer Frequenz.

[[File:P_ID580__Sig_T_3_4_S2_neu.png|right|frame|Faltung im Frequenzbereich]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Die  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]  (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
*Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal  $s(t)$  als das Produkt aus dem Nachrichtensignal  $q(t)$  und dem (normierten) Trägersignal  $z(t)$.
*Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)$  und  $Z(f)$  ist.}}

===Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion===

Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine  [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]  ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.

Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion  $x_1(t)$  mit der Funktion

:$$x_2 ( t ) = \alpha \cdot \delta ( {t - T} ) \quad \circ\,\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad X_2 ( f )= \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T}.$$

Für die Spektralfunktion des Signals  $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$  gilt dann:

:$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T} .$$

Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um  $T$   ⇒   [[Signaldarstellung/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor  $\alpha$  zu einer Dämpfung  $(\alpha < 1)$  bzw. einer Verstärkung  $(\alpha > 1)$. Daraus folgt:

:$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha \cdot x_1 ( {t - T} ).$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{In Worten: }$  Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$  ergibt die um  $T$  nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor  $\alpha$  zu berücksichtigen ist.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$  Ein Rechtecksignal  $x(t)$  wird durch ein LZI-System um eine Laufzeit  $\tau = 3\,\text{ ms}$  verzögert und um den Faktor  $\alpha = 0.5$  gedämpft.

[[File:P_ID522__Sig_T_3_4_S3_neu.png|center|frame|Faltung eines Rechtecks mit einer Diracfunktion]]

Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal  $y(t)$  als auch an der Impulsantwort  $h(t)$.}}

===Grafische Faltung===

In diesem Applet wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:
[[File:P_ID2723__Sig_T_3_4_programm.png|right|frame|Bildschirmabzug des Programms „Grafische Faltung” (frühere Version)]]
:$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass  $x(t)$  und  $h(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.

Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:
#  Die  '''Zeitvariablen'''  der beiden Funktionen  '''ändern''':       $x(t) \to x(\tau)$,   $h(t) \to h(\tau)$.
#  Zweite '''Funktion spiegeln''':   $h(\tau) \to h(-\tau)$.
#  Gespiegelte '''Funktion''' um  $t$  '''verschieben''':   $h(-\tau) \to h(t-\tau)$.
#  '''Multiplikation''' der beiden Funktionen  $x(\tau)$  und  $h(t-\tau)$.
#  '''Integration'''  über das Produkt bezüglich  $\tau$  in den Grenzen von  $-\infty$  bis  $+\infty$.

Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von  $h(\tau)$  auch  $x(\tau)$  gespiegelt werden.

 
Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug einer älteren Version des vorliegenden Applets.
 

[[File:P_ID582__Sig_T_3_4_S4_neu.png|right|frame|Beispiel einer Faltungsoperation: Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$ 
Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:
*Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion  $x(t) = \gamma(t)$  an.
*Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei  $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$

Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort  $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal  $y(\tau)$.
Die Zeitachse ist bereits in  $\tau$  umbenannt.

Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:

:$$y(t) = h(t) * x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:
*Der Ausgangswert bei  $t = 0$  ergibt sich, indem man das Eingangssignal  $x(\tau)$  spiegelt, dieses gespiegelte Signal  $x(-\tau)$  mit der Impulsantwort  $h(\tau)$  multipliziert und darüber integriert.
*Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve  $h(\tau)$  und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung  $x(-\tau)$  ungleich Null ist, folgt daraus  $y(t=0)=0$.
*Für jeden anderen Zeitpunkt  $t$  muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für  $t=T$.
*Da in diesem Beispiel auch  $x(t-\tau)$  nur die Werte  $0$  oder  $1$  annehmen kann, wird die Integration  $($allgemein von  $\tau_1$  bis  $\tau_2)$  einfach und man erhält mit  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = t$ :
:$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

Die Skizze gilt für  $t=T$  und führt zum Ausgangswert  $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.}}

==Versuchsdurchführung==
 
[[File:Musterlösung_Faltung_3.png|right]]
*Wählen Sie die Aufgabennummer. Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Alle Parameter sind angepasst. Alle Grafiken und Ergebniswerte sind aktualisiert.
*Musterlösung nach Drücken des entsprechenden Buttons.
*Nummer &bdquo;0”:   Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''   Wählen Sie die Parameter gemäß Voreinstellung  $\text{(Gaußimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 1; \text{ Impulsantwort gemäß Tiefpass 2. Ordnung: }\Delta t_h= 1)$.
          Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken. Wie groß ist der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf? }}

::* Nach Umbenennung:  Eingangssignal  $x(\tau)$   ⇒   rote Kurve,  Impulsantwort  $h(\tau)$   ⇒   blaue Kurve, nach Spiegelung  $h(-\tau)$   ⇒   grüne Kurve.
::* Verschiebt man die grüne Kurve um  $t$  nach rechts, so erhält man $h(t-\tau)$. Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich durch Multiplikation und Integration bzgl. $\tau$:

:::$$y (t) = \int_{ - \infty }^{ +\infty } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ t } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
::* Der Ausgangsimpuls  $y_(t)$  ist im vorliegenden Fall unsymmetrisch; der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}\approx 0.67$  tritt bei  $t_{\rm max}\approx 1.5$  auf.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''   Was ändert sich, wenn man die äquivalente Impulsdauer von  $h(t)$  auf  $\Delta t_h= 1.5$  erhöht? }}

::* $y_{\rm max}\approx 0.53$  tritt nun bei  $t_{\rm max}\approx 1.75$  auf. Durch die ungünstigere (breitere) Impulsantwort wird der Eingangsimpuls stärker verformt.
::* Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen (&bdquo;Intersymbol Interference”) zur Folge.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''   Wählen Sie nun den symetrischen  $\text{Rechteckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$  und die  $\text{Impulsantwort gemäß Spalt–Tiefpass: }\Delta t_h= 1$.
          Interpretieren Sie das Faltungsergebnis. Wie groß ist der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welchen Zeiten ist  $y(t)>0$? Beschreibt  $h(t)$  ein kausales System? }}

::* Die Faltung zweier Rechtecke mit jeweiliger Dauer  $1$  ergibt ein Dreieck mit absoluter Dauer  $2$  ⇒   äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y= 1$.
::* $y(t)$  ist im Bereich von  $-0.5$  bis  $+1.5$  von Null verschieden. Impulsmaximum  $y_{\rm max} = 1$  bei  $t_{\rm max} = +0.5$.
::* $h(t)$  beschreibt ein kausales System, da  $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  ⇒   die &bdquo;Wirkung”  $y(t)$  kommt nicht vor der &bdquo;Ursache”  $x(t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''   Was ändert sich, wenn man die äquivalente Impulsdauer von  $h(t)$  auf  $\Delta t_h= 2$  erhöht? }}

::* Die Faltung zweier unterschiedlich breiten Rechtecke ergibt ein Trapez, hier zwischen  $-0.5$  und  $+2.5$ ⇒   äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y= 2$.
::* Das Maximum  $y_{\rm max} = 0.5$  tritt im Bereich  $0.5 \le t \le 1.5$ auf. Bezüglich der Kausalität ändert sich nichts.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''   Wählen Sie nun den (unsymetrischen)  $\text{Rechteckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0.5$  und die  $\text{ Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung: }\Delta t_h= 1$.
          Interpretieren Sie die Ergebnisse. Wie groß ist  $y_{\rm max}$? Zu welchen Zeiten ist  $y(t)>0$ ? Beschreibt  $h(t)$  ein kausales System? }}

::* $h(t)$  hat für  $t > 0$  einen exponentiell abfallenden Verlauf. Für  $t > 0$  gilt stets  $y(t) > 0$, aber die Signalwerte können sehr klein werden.
::* $y_{\rm max} = 0.63$  tritt bei  $t_{\rm max} = +1$ auf. Für  $ t < t_{\rm max}$ ist der Verlauf exponentiell ansteigend, für  $ t > t_{\rm max}$  exponentiell abfallend.
::* Der Tiefpass 1. Ordnung kann mit einem Widerstand und einer Kapazität realisiert werden. Jedes realisierbare System ist per se kausal.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''   Wählen Sie wie in  '''(3)'''  die rechteckförmige Impulsantwort  $\text{(Spalt–Tiefpass; }\Delta t_h= 1)$. Mit welchem  $x(t)$  ergibt sich das gleiche  $y(t)$  wie bei  '''(5)'''?}}

::* Das Signal  $y(t)$  in  '''(5)'''  ergab sich als Faltung zwischen dem rechteckigen Eingang  $x(t)$  und der Exponentialfunktion  $h(t)$.
::* Da die Faltungsoperation kommutativ ist, ergibt sich das gleiche Ergebnis mit der Exponentialfunktion  $x(t)$ und der Rechteckfunktion  $h(t)$.
::* Die richtige Einstellung für das Eingangssignal  $x(t)$  ist somit  $\text{Exponentialimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$ .

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''   Für den Rest dieser Versuchsdurchführung betrachten wir stets den Gauß–Tiefpass. Die äquivalente Dauer der Impulsantwort  $h(t)$  sei zunächst  $\Delta t_h= 0.8$.
          Analsyieren und interpretieren Sie dieses &bdquo;System” im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal. }}

::* Der Tiefpass ist nicht kausal (realisierbar): für  $t < 0$  gilt nicht  $h(t) \equiv 0$  gilt. Geeignetes Modell, wenn man die unendliche Laufzeit außer Acht lässt.
::* Je größer  $\Delta t_h$  ist, desto breiter wird der Ausgangsimpuls und um so stärker die Degradation eines Digitalsystems durch Impulsinterferenzen.
::* Der Tiefpass–Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$. Je größer  $\Delta t_h$  ist, desto kleiner ist  $\Delta f_h = 1/\Delta t_h$   ⇒   System schmalbandiger.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''   Wählen Sie nun den  $\text{Gaußimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  und den  $\text{Gauß–Tiefpass: }\Delta t_h= 2$. Welche Form hat der Ausgangsimpuls  $y(t)$?
          Wie groß ist die äquivalente Dauer  $\Delta t_y$  des Ausgangsimpulses und der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf? }}

::* $y(t)$  ist ebenfalls (exakt) gaußförmig. Merksatz:  '''Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß'''.
::* Äquivalente Dauer:  $\Delta t_y =\sqrt{\Delta t_x^2+ \Delta t_h^2} = 2.5$. Impulsmaximum $($bei $t=0)$:  $y_{\rm max} = A_x \cdot \Delta t_x/\Delta t_y = 1 \cdot 1.5/2.5 = 0.6$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''   Wählen Sie nun den  $\text{Dreieckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  und den  $\text{Gauß–Tiefpass: }\Delta t_h= 2$. Welche Form hat der Ausgangsimpuls  $y(t)$?
          Wie groß ist die äquivalente Dauer  $\Delta t_y$  des Ausgangsimpulses und der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf? }}

::* $y(t)$  ist gaußähnlich, aber nicht exakt gaußförmig. Merksatz:  '''Gauß gefaltet mit Nicht–Gauß ergibt niemals exakt Gauß'''.
::* Die abgefragten Kenngrößen des Ausgangsimpules  $y(t)$  unterscheiden sich nur geringfügig gegenüber  '''(8)''':  $\Delta t_y \approx 2.551$,  $y_{\rm max} \approx 0.588$.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[File:Anleitung_Faltung_2.png|right]]

    '''(A)'''     Auswahl:   Form des Eingangsimpulses  $x(t)$

    '''(B)'''     Parametereingabe für den Eingangsimpuls  $x(t)$

    '''(C)'''     Auswahl:   Form der Impulsantwort  $h(t)$  des Tiefpass–Systems

    '''(D)'''     Parametereingabe für die Impulsantwort  $h(t)$

    '''(E)'''     Bedienfeld (Start;   Pause/Weiter   ;  Step >   ;  Step <  ;  Reset)

    '''(F)'''     Ausgabe des Ausgangswertes  $y(t)$  zur fortlaufenden Zeit  $t$

    '''(G)'''     Maximalwert  $y_{\rm max} = y(t_{\rm max})$  und äquivalente Breite $\Delta\hspace{0.03cm} t_y$

               Nach Umbenennung der Abszisse:   $t \ \to \ \tau$:

    '''(H)'''     Darstellung von  $x(\tau)$  ⇒   rote statische Kurve

    '''(I)'''       Darstellung von  $h(\tau)$  ⇒  blaue Kurve  und   $h(t-\tau)$  ⇒   grüne Kurve                 (diese wird mit dem Bewegungsparameter   $t$  nach rechts verschoben)

    '''(J)'''       Darstellung von  $x(\tau) \cdot h(t - \tau)$  ⇒   violette Kurve, dynamisch mit  $t$

    '''(K)'''      Sukzessive Darstellung des Ausgangssignals  $y(t)$  ⇒   braune Kurve

    '''(L)'''      Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    '''(M)'''     Versuchsdurchführung:   Bereich für die Aufgabenstellung

    '''(N)'''     Versuchsdurchführung:   Bereich für die Musterlösung
 
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Applet wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2006 von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]  im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2019 wurde das Programm von  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|faltung}}

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 *Alle Parameter sind angepasst. Alle Grafiken und Ergebniswerte sind aktualisiert.
 *Musterlösung nach Drücken des entsprechenden Buttons.
-*Nummer &bdquo;0": &nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
+*Nummer "0": &nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
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 {{BlaueBox|TEXT=
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 ::*&nbsp;$y_{\rm max}\approx 0.53$&nbsp; tritt nun bei &nbsp;$t_{\rm max}\approx 1.75$&nbsp; auf. Durch die ungünstigere (breitere)  Impulsantwort wird der Eingangsimpuls stärker verformt.
-::*&nbsp;Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen (&bdquo;Intersymbol Interference") zur Folge.
+::*&nbsp;Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen ("Intersymbol Interference") zur Folge.
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Line 187: / Line 187: @@
 ::*&nbsp;Die Faltung zweier Rechtecke mit jeweiliger Dauer &nbsp;$1$&nbsp; ergibt ein Dreieck mit absoluter Dauer &nbsp;$2$&nbsp; &rArr; &nbsp; äquivalente Impulsdauer &nbsp;$\Delta t_y= 1$.
 ::*&nbsp;$y(t)$&nbsp; ist im Bereich von &nbsp;$-0.5$&nbsp; bis &nbsp;$+1.5$&nbsp; von Null verschieden. Impulsmaximum &nbsp;$y_{\rm max} = 1$&nbsp; bei &nbsp;$t_{\rm max} = +0.5$.
-::*&nbsp;$h(t)$&nbsp; beschreibt ein kausales System, da &nbsp;$h(t) \equiv 0$&nbsp; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; die &bdquo;Wirkung" &nbsp;$y(t)$&nbsp; kommt nicht vor der &bdquo;Ursache" &nbsp;$x(t)$.
+::*&nbsp;$h(t)$&nbsp; beschreibt ein kausales System, da &nbsp;$h(t) \equiv 0$&nbsp; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; die "Wirkung" &nbsp;$y(t)$&nbsp; kommt nicht vor der "Ursache" &nbsp;$x(t)$.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 {{BlaueBox|TEXT=
 '''(7)''' &nbsp; Für den Rest dieser Versuchsdurchführung betrachten wir stets den Gauß&ndash;Tiefpass. Die äquivalente Dauer der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sei zunächst  &nbsp;$\Delta t_h= 0.8$.
-<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;  Analsyieren und interpretieren Sie dieses &bdquo;System" im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal. }}
+<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;  Analsyieren und interpretieren Sie dieses "System" im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal. }}
 ::*&nbsp;Der Tiefpass ist nicht kausal (realisierbar): für &nbsp;$t < 0$&nbsp; gilt nicht &nbsp;$h(t) \equiv 0$&nbsp; gilt. Geeignetes Modell, wenn man die unendliche Laufzeit außer Acht lässt.
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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Applet  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2019 wurde das Programm  von&nbsp;  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+*2019 wurde das Programm  von&nbsp;  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 *Alle Parameter sind angepasst. Alle Grafiken und Ergebniswerte sind aktualisiert.
 *Musterlösung nach Drücken des entsprechenden Buttons.
-*Nummer &bdquo;0&rdquo;: &nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
+*Nummer &bdquo;0": &nbsp; Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
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 ::*&nbsp;$y_{\rm max}\approx 0.53$&nbsp; tritt nun bei &nbsp;$t_{\rm max}\approx 1.75$&nbsp; auf. Durch die ungünstigere (breitere)  Impulsantwort wird der Eingangsimpuls stärker verformt.
-::*&nbsp;Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen (&bdquo;Intersymbol Interference&rdquo;) zur Folge.
+::*&nbsp;Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen (&bdquo;Intersymbol Interference") zur Folge.
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Line 187: / Line 187: @@
 ::*&nbsp;Die Faltung zweier Rechtecke mit jeweiliger Dauer &nbsp;$1$&nbsp; ergibt ein Dreieck mit absoluter Dauer &nbsp;$2$&nbsp; &rArr; &nbsp; äquivalente Impulsdauer &nbsp;$\Delta t_y= 1$.
 ::*&nbsp;$y(t)$&nbsp; ist im Bereich von &nbsp;$-0.5$&nbsp; bis &nbsp;$+1.5$&nbsp; von Null verschieden. Impulsmaximum &nbsp;$y_{\rm max} = 1$&nbsp; bei &nbsp;$t_{\rm max} = +0.5$.
-::*&nbsp;$h(t)$&nbsp; beschreibt ein kausales System, da &nbsp;$h(t) \equiv 0$&nbsp; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; die &bdquo;Wirkung&rdquo; &nbsp;$y(t)$&nbsp; kommt nicht vor der &bdquo;Ursache&rdquo; &nbsp;$x(t)$.
+::*&nbsp;$h(t)$&nbsp; beschreibt ein kausales System, da &nbsp;$h(t) \equiv 0$&nbsp; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; die &bdquo;Wirkung" &nbsp;$y(t)$&nbsp; kommt nicht vor der &bdquo;Ursache" &nbsp;$x(t)$.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 {{BlaueBox|TEXT=
 '''(7)''' &nbsp; Für den Rest dieser Versuchsdurchführung betrachten wir stets den Gauß&ndash;Tiefpass. Die äquivalente Dauer der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; sei zunächst  &nbsp;$\Delta t_h= 0.8$.
-<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;  Analsyieren und interpretieren Sie dieses &bdquo;System&rdquo; im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal. }}
+<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp;  Analsyieren und interpretieren Sie dieses &bdquo;System" im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal. }}
 ::*&nbsp;Der Tiefpass ist nicht kausal (realisierbar): für &nbsp;$t < 0$&nbsp; gilt nicht &nbsp;$h(t) \equiv 0$&nbsp; gilt. Geeignetes Modell, wenn man die unendliche Laufzeit außer Acht lässt.
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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Applet  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2019 wurde das Programm  von&nbsp;  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+*2019 wurde das Programm  von&nbsp;  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 ===Faltung im Zeitbereich===
-Der&nbsp; [[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz]]&nbsp; ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation. Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; bekannt sind:
+Der&nbsp; [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|Faltungssatz]]&nbsp; ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation. Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; bekannt sind:
 :$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$
@@ Line 44: / Line 44: @@
 :$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$
-[[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Beweis_des_Faltungssatzes|$\text{Beweis}$]]}}
+[[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation#Beweis_des_Faltungssatzes|$\text{Beweis}$]]}}

@@ Line 92: / Line 92: @@
 :$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot  \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T} .$$
-Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um&nbsp; $T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor&nbsp; $\alpha$&nbsp; zu einer Dämpfung&nbsp; $(\alpha < 1)$&nbsp; bzw. einer Verstärkung &nbsp;$(\alpha > 1)$. Daraus folgt:
+Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um&nbsp; $T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]], der Faktor&nbsp; $\alpha$&nbsp; zu einer Dämpfung&nbsp; $(\alpha < 1)$&nbsp; bzw. einer Verstärkung &nbsp;$(\alpha > 1)$. Daraus folgt:
 :$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha  \cdot x_1 ( {t - T} ).$$

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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Applet  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2006 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Markus_Elsberger_.28Diplomarbeit_LB_2006.29|Markus Elsberger]]&nbsp; im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2019 wurde das Programm  von&nbsp;  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+*2019 wurde das Programm  von&nbsp;  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{LntAppletLink|faltung}}
+{{LntAppletLink|convolution}}
 ==Programmbeschreibung==
@@ Line 276: / Line 276: @@
 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
-{{LntAppletLink|faltung}}
+{{LntAppletLink|convolution}}

@@ Line 75: / Line 75: @@
 [[File:P_ID580__Sig_T_3_4_S2_neu.png|right|frame|Faltung im Frequenzbereich]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die&nbsp; [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]&nbsp; (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.
 *Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; als das Produkt aus dem Nachrichtensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; und dem (normierten) Trägersignal&nbsp; $z(t)$.
 *Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; gleich dem Faltungsprodukt aus&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$&nbsp; ist.}}