Applets:Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen (Applet) - Revision history

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	{{LntAppletLink\|laplace}}		{{LntAppletLink\|laplace}}
			[[de:Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)]]

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Javier: Text replacement - "[[Biografien_und_Bibliografien" to "[[Biographies_and_Bibliographies"

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von  [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

Javier: Text replacement - "[[Stochastische_Signaltheorie/" to "[[Theory_of_Stochastic_Signals/"

2020-07-09T09:52:08Z

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	*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.		*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
	*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[~~Stochastische_Signaltheorie~~/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].		*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].
	*Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:		*Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
	:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$		:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
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	===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===		===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

	Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[~~Stochastische_Signaltheorie~~/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29\|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):		Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29\|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
	:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$		:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Guenter at 09:34, 26 August 2019

2019-08-26T09:34:48Z

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	$(4)$  Für die   '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''geradzahligem'''  $k$  gilt:		$(4)$  Für die   '''Momente'''  $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$  mit '''geradzahligem'''  $k$  gilt:

	:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\~~lambda~~^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\~~lambda~~^2}.$$		:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\lambda_X^2}.$$

	[[File:Exponential_Laplace_neu.png\|right\|frame\|WDF von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung]]		[[File:Exponential_Laplace_neu.png\|right\|frame\|WDF von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung]]

Guenter at 15:04, 23 August 2019

2019-08-23T15:04:11Z

Tasnad at 13:01, 20 August 2019

2019-08-20T13:01:58Z

← Older revision		Revision as of 15:01, 20 August 2019
Line 1:		Line 1:
	{{LntAppletLink\|~~verteilungen~~}}		{{LntAppletLink\|laplace}}

	==Programmbeschreibung==		==Programmbeschreibung==
Line 208:		Line 208:
	==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==		==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

	{{LntAppletLink\|~~verteilungen~~}}		{{LntAppletLink\|laplace}}

Guenter at 15:50, 19 August 2019

2019-08-19T15:50:12Z

← Older revision		Revision as of 17:50, 19 August 2019
Line 154:		Line 154:
	'''(7)'''  Betrachten Sie nun die 2D–VTF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(0, 0)$, $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$  und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$ ?}}		'''(7)'''  Betrachten Sie nun die 2D–VTF  für  $\lambda_X=1$  und  $\lambda_Y=1$ ? Wie lauten die 2D–VTF–Werte  $F_{XY}(0, 0)$, $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$  und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$ ?}}

	::* Es gilt  $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit   ${\rm Pr}\big [(~~\vert~~ X ~~\vert~~ \le 0) \cap (~~\vert~~ Y ~~\vert~~ \le 0) \big ] = 0.5^2.$		::* Es gilt  $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit   ${\rm Pr}\big [( X \le 0) \cap ( Y \le 0) \big ] = 0.5^2.$
	::* Es gilt  $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$   und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$   ⇒   Im Gegensatz zur 1D–VTF gilt hier <u>nicht</u>:  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 - F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.		::* Es gilt  $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$   und  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$   ⇒   Im Gegensatz zur 1D–VTF gilt hier <u>nicht</u>:  $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 - F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.

← Older revision		Revision as of 15:49, 16 March 2026
Line 65:		Line 65:

	*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.		*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
	*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/~~Zweidimensionale_Zufallsgrößen~~#~~Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion~~\|Theorieteil]].		*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Random_Variables#Joint_probability_density_function\|Theorieteil]].
	*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit" ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:		*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit" ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
	:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$		:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
Line 88:		Line 88:
	:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg\|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$		:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg\|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
	*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:		*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
	:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}		:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$
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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten~~#Prof._Dr.-Ing._habil.~~_G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29~~\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Prof._Dr.-Ing._habil._Günter_Söder_(at_LNT_from_1974-2024)\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

← Older revision		Revision as of 16:47, 28 May 2021
Line 16:		Line 16:
	Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]		Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

	'''Einige Versuche, dass das "lambda~~”~~ kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆		'''Einige Versuche, dass das "lambda" kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

	==Theoretischer Hintergrund==		==Theoretischer Hintergrund==
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	Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine "zweiseitige Exponentialverteilung~~”~~. Daraus folgt:		Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine "zweiseitige Exponentialverteilung". Daraus folgt:
	* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.		* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.
	* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.		* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
Line 66:		Line 66:
	*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.		*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
	*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].		*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].
	*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit~~”~~ ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:		*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit" ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
	:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$		:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
	*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:		*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
Line 82:		Line 82:
	:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$		:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

	Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF~~”~~ und der" 2D-VTF~~”~~:		Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF" und der" 2D-VTF":
	*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF~~”~~ und "2D–VTF~~”~~ ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:		*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF" und "2D–VTF" ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
	:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$		:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
	*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:		*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
Line 90:		Line 90:
	:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}		:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
	F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$		F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF~~”~~ der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

Line 105:		Line 105:
	*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.		*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
	*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.		*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
	*Lösung nach Drücken von "Musterlösung~~”~~.		*Lösung nach Drücken von "Musterlösung".


	Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset~~”~~:		Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset":
	*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.		*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
	*Ausgabe eines "Reset–Textes~~”~~ mit weiteren Erläuterungen zum Applet.		*Ausgabe eines "Reset–Textes" mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


Line 177:		Line 177:
	'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart		'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

	'''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder "1D-WDF~~”~~		'''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder "1D-WDF"

	'''(E)'''     Darstellungsbereich für "2D-WDF~~”~~		'''(E)'''     Darstellungsbereich für "2D-WDF"

	'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)		'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

	'''(G)'''     Darstellungsbereich für "Höhenlinien~~”~~ bzw. "1D-WDF~~”~~		'''(G)'''     Darstellungsbereich für "Höhenlinien" bzw. "1D-WDF"

	'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF~~”~~)		'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF")

	'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl		'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl
Line 199:		Line 199:
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript~~”~~ erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5~~”~~ umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]		Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

	'''Einige Versuche, dass das ~~&bdquo;~~lambda” kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆		'''Einige Versuche, dass das "lambda” kursiv dargestellt wird:     '''''λ''''' ${\it λ_X}$ $𝜆$ 𝜆

	==Theoretischer Hintergrund==		==Theoretischer Hintergrund==
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	Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine ~~&bdquo;~~zweiseitige Exponentialverteilung”. Daraus folgt:		Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine "zweiseitige Exponentialverteilung”. Daraus folgt:
	* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.		* Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_1 = 0$.
	* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.		* Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:  Quadratischer Mittelwert  $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
Line 66:		Line 66:
	*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.		*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
	*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].		*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].
	*Im hier betrachteten Fall ~~&bdquo;~~Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:		*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit” ist das Maximum der 2D–WDF wie folgt gegeben:
	:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$		:$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
	*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:		*Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis  $V$  der entsprechenden $f_{XY}(x, y)$–Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
Line 82:		Line 82:
	:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$		:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

	Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der ~~&bdquo;~~1D-VTF” und der~~&bdquo;~~ 2D-VTF”:		Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF” und der" 2D-VTF”:
	*Der Funktionalzusammenhang zwischen ~~&bdquo;~~2D–WDF” und ~~&bdquo;~~2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:		*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF” und "2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
	:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$		:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
	*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:		*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
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	:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}		:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
	F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$		F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die ~~&bdquo;~~2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

Line 105:		Line 105:
	*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.		*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
	*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.		*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
	*Lösung nach Drücken von ~~&bdquo;~~Musterlösung”.		*Lösung nach Drücken von "Musterlösung”.


	Die Nummer '''0''' entspricht einem ~~&bdquo;~~Reset”:		Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset”:
	*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.		*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
	*Ausgabe eines ~~&bdquo;~~Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.		*Ausgabe eines "Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


Line 177:		Line 177:
	'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart		'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

	'''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder ~~&bdquo;~~1D-WDF”		'''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder "1D-WDF”

	'''(E)'''     Darstellungsbereich für ~~&bdquo;~~2D-WDF”		'''(E)'''     Darstellungsbereich für "2D-WDF”

	'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)		'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

	'''(G)'''     Darstellungsbereich für ~~&bdquo;~~Höhenlinien” bzw. ~~&bdquo;~~1D-WDF”		'''(G)'''     Darstellungsbereich für "Höhenlinien” bzw. "1D-WDF”

	'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (~~&bdquo;~~1D-WDF”)		'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF”)

	'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl		'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl
Line 199:		Line 199:
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]  der  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]  konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit ~~&bdquo;~~FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von  [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]]  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf ~~&bdquo;~~HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	==Zur Handhabung des Applets==		==Zur Handhabung des Applets==
	<br>		<br>
	[[File:~~Anleitung_2D-Gauss~~.png\|left\|600px]]		[[File:Anleitung_Laplace_markiert.png\|left\|600px]]
	'''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\~~sigma_X~~$,  ~~$\sigma_Y$~~ und  $\~~rho~~$		'''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\lambda_X$  und  $\lambda_Y$

	'''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF		'''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF
Line 177:		Line 177:
	'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart		'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

	'''(D)'''     Höhenlinien darstellen ~~anstelle von~~ &bdquo;1D-WDF”		'''(D)'''     Höhenlinien darstellen oder &bdquo;1D-WDF”

	'''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”		'''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”
Line 183:		Line 183:
	'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)		'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

	'''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;~~1D-WDF~~” bzw. &bdquo;~~Höhenlinien~~”		'''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;Höhenlinien” bzw. &bdquo;1D-WDF”

	'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)		'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)
Line 191:		Line 191:
	'''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung		'''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

	'''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung		'''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
	<br><br><br><br><br><br><br><br>		<br><br><br><br><br><br><br><br>
	Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)		Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)