Applets:Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen (Applet) - Revision history

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Guenter at 09:34, 26 August 2019

2019-08-26T09:34:48Z

Guenter at 15:04, 23 August 2019

2019-08-23T15:04:11Z

Tasnad at 13:01, 20 August 2019

2019-08-20T13:01:58Z

Guenter at 15:50, 19 August 2019

2019-08-19T15:50:12Z

Guenter at 09:37, 18 August 2019

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Guenter at 09:16, 18 August 2019

2019-08-18T09:16:54Z

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 Das Applet verwendet das Framework &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]
-'''Einige Versuche, dass das "lambda&rdquo; kursiv dargestellt wird: &nbsp; &nbsp; '''''&lambda;'''''   ${\it &lambda;_X}$ $&#120582;$ &#120582;
+'''Einige Versuche, dass das "lambda" kursiv dargestellt wird: &nbsp; &nbsp; '''''&lambda;'''''   ${\it &lambda;_X}$ $&#120582;$ &#120582;
 ==Theoretischer Hintergrund==
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-Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine "zweiseitige Exponentialverteilung&rdquo;. Daraus folgt:
+Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine "zweiseitige Exponentialverteilung". Daraus folgt:
 * Für ungeradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets&nbsp; $m_k= 0$. Unter Anderem:&nbsp; Linearer Mittelwert&nbsp; $m_1 = 0$.
 * Für geradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:&nbsp; Quadratischer Mittelwert&nbsp; $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
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 *$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
 *Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
-*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit&rdquo; ist das Maximum der 2D&ndash;WDF wie folgt gegeben:
+*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit" ist das Maximum der 2D&ndash;WDF wie folgt gegeben:
 :$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
 *Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis&nbsp; $V$&nbsp; der entsprechenden&nbsp;$f_{XY}(x, y)$&ndash;Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
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 :$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ]  .$$
-Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF&rdquo; und der" 2D-VTF&rdquo;:
+Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF" und der" 2D-VTF":
-*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D&ndash;WDF&rdquo; und "2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
+*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D&ndash;WDF" und "2D&ndash;VTF" ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
 :$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta   .$$
 *Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
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 :$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
 F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
-*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die "2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
+*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$
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 *Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
-*Lösung nach Drücken von "Musterlösung&rdquo;.
+*Lösung nach Drücken von "Musterlösung".
-Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset&rdquo;:
+Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset":
 *Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
-*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
+*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes" mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
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 &nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen oder "1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen oder "1D-WDF"
-&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "2D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "2D-WDF"
 &nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "Höhenlinien&rdquo; bzw. "1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "Höhenlinien" bzw. "1D-WDF"
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF&rdquo;)
+&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF")
 &nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl
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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 Das Applet verwendet das Framework &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]
-'''Einige Versuche, dass das &bdquo;lambda&rdquo; kursiv dargestellt wird: &nbsp; &nbsp; '''''&lambda;'''''   ${\it &lambda;_X}$ $&#120582;$ &#120582;
+'''Einige Versuche, dass das "lambda&rdquo; kursiv dargestellt wird: &nbsp; &nbsp; '''''&lambda;'''''   ${\it &lambda;_X}$ $&#120582;$ &#120582;
 ==Theoretischer Hintergrund==
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-Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine &bdquo;zweiseitige Exponentialverteilung&rdquo;. Daraus folgt:
+Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine "zweiseitige Exponentialverteilung&rdquo;. Daraus folgt:
 * Für ungeradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets&nbsp; $m_k= 0$. Unter Anderem:&nbsp; Linearer Mittelwert&nbsp; $m_1 = 0$.
 * Für geradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; stimmen die Momente von Exponentialverteilung und Laplaceverteilung überein. Unter Anderem:&nbsp; Quadratischer Mittelwert&nbsp; $m_2 = 2/{\lambda}^2$.
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 *$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
 *Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
-*Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit&rdquo; ist das Maximum der 2D&ndash;WDF wie folgt gegeben:
+*Im hier betrachteten Fall "Statistische Unabhängigkeit&rdquo; ist das Maximum der 2D&ndash;WDF wie folgt gegeben:
 :$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
 *Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden. Beschriftet man die Höhenlinien mit dem Verhältnis&nbsp; $V$&nbsp; der entsprechenden&nbsp;$f_{XY}(x, y)$&ndash;Werte auf das Maximum, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
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 :$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ]  .$$
-Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF&rdquo; und der&bdquo; 2D-VTF&rdquo;:
+Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF&rdquo; und der" 2D-VTF&rdquo;:
-*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D&ndash;WDF&rdquo; und &bdquo;2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
+*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D&ndash;WDF&rdquo; und "2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
 :$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta   .$$
 *Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
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 :$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
 F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
-*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
+*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die "2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$
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 *Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
-*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
+*Lösung nach Drücken von "Musterlösung&rdquo;.
-Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:
+Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset&rdquo;:
 *Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
-*Ausgabe eines &bdquo;Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
+*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
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 &nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen oder &bdquo;1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen oder "1D-WDF&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "2D-WDF&rdquo;
 &nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;Höhenlinien&rdquo; bzw. &bdquo;1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "Höhenlinien&rdquo; bzw. "1D-WDF&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)
+&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF&rdquo;)
 &nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl
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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 *$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
-*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
+*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].
 *Im hier betrachteten Fall &bdquo;Statistische Unabhängigkeit&rdquo; ist das Maximum der 2D&ndash;WDF wie folgt gegeben:
 :$$f_{XY}(x, \ y)=\frac{\lambda_X \cdot \lambda_Y} {4}.$$
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 ===Zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; 2D&ndash;VTF===
-Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp;  (VTF):
+Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp;  (VTF):
 :$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ]  .$$

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 $(4)$&nbsp; Für die &nbsp; '''Momente'''&nbsp; $m_k = {\rm E}\big [X^k \big ]$&nbsp; mit '''geradzahligem'''&nbsp; $k$&nbsp; gilt:
-:$$m_k =  \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\lambda^2}.$$
+:$$m_k =  \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} m_2 = \sigma^2 = \frac{2}{\lambda_X^2}.$$
 [[File:Exponential_Laplace_neu.png|right|frame|WDF von Exponentialverteilung  und Laplaceverteilung]]

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 ==Zur Handhabung des Applets==
 <br>
-[[File:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
+[[File:Anleitung_Laplace_markiert.png|left|600px]]
-&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider:&nbsp; $\sigma_X$, &nbsp;$\sigma_Y$ und&nbsp; $\rho$
+&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider:&nbsp; $\lambda_X$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_Y$
 &nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl:&nbsp; Darstellung von WDF oder VTF
@@ Line 177: / Line 177: @@
 &nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen oder &bdquo;1D-WDF&rdquo;
 &nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;
@@ Line 183: / Line 183: @@
 &nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF&rdquo; bzw. &bdquo;Höhenlinien&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;Höhenlinien&rdquo; bzw. &bdquo;1D-WDF&rdquo;
 &nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)
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 &nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung
-&nbsp; &nbsp; '''( L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
+&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden
 <br><br><br><br><br><br><br><br>
 Werte&ndash;Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

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-{{LntAppletLink|verteilungen}}
+{{LntAppletLink|laplace}}
 ==Programmbeschreibung==
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 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
-{{LntAppletLink|verteilungen}}
+{{LntAppletLink|laplace}}

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 '''(7)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die 2D&ndash;VTF&nbsp; für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;? Wie lauten die 2D&ndash;VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_{XY}(0, 0)$,&nbsp;$F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp;?}}
-::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit &nbsp; ${\rm Pr}\big [(\vert X \vert \le 0) \cap (\vert Y \vert \le 0) \big ] = 0.5^2.$
+::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $F_{XY}(0, \ 0) = 0.25$. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit &nbsp; ${\rm Pr}\big [( X  \le 0) \cap ( Y  \le 0) \big ] = 0.5^2.$
 ::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$ &nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Im Gegensatz zur 1D&ndash;VTF gilt hier <u>nicht</u>:&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 -  F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.

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 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(7)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die 2D&ndash;VTF&nbsp; für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;? Wie lauten die 2D&ndash;VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp;?}}
+'''(7)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die 2D&ndash;VTF&nbsp; für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;? Wie lauten die 2D&ndash;VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_{XY}(0, 0)$,&nbsp;$F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp;?}}
 ::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$ &nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Im Gegensatz zur 1D&ndash;VTF gilt hier <u>nicht</u>:&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 -  F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.

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 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(2)'''&nbsp; Welche 1D&ndash;VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_X(x=1)$&nbsp; bzw.&nbsp; $F_Y(y=1)$&nbsp; ergeben sich für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=2$&nbsp;? Wie lauten die WDF&ndash;Werte&nbsp; $F_X(x=-1)$&nbsp; bzw.&nbsp; $F_Y(y=-1)$&nbsp;?}}
+'''(2)'''&nbsp; Welche 1D&ndash;VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_X(x=1)$&nbsp; bzw.&nbsp; $F_Y(y=1)$&nbsp; ergeben sich für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=2$&nbsp;? Wie lauten die VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_X(x=-1)$&nbsp; bzw.&nbsp; $F_Y(y=-1)$&nbsp;?}}
 ::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $F_{X}(x= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 1}\big] = 0.8161$&nbsp; und&nbsp;$F_{Y}(y= 1)=0.5 + 0.5 \cdot\big [1-{\rm e}^ { - 2}\big] = 0.9323.$
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 '''(3)'''&nbsp; Es gelte &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten &nbsp;${\rm Pr}(X< 1)$, &nbsp;${\rm Pr}(X\le 1)$,&nbsp;${\rm Pr}(X\le -1)$&nbsp; und&nbsp;${\rm Pr}(-1\le X\le +1)$&nbsp;?}}
-::*&nbsp;Es gilt&nbsp;  &nbsp;${\rm Pr}(X< 1)=F_{X}(x= 1)=0.8161$. Bei einer wertdiskreten Zufalldgröße ist &nbsp;${\rm Pr}(X\equiv 1)=0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;${\rm Pr}(X\le 1)={\rm Pr}(X< 1)=0.8161$.
+::*&nbsp;Es gilt&nbsp;  &nbsp;${\rm Pr}(X< 1)=F_{X}(x= 1)=0.8161$. Bei einer wertdiskreten Zufallsgröße ist &nbsp;${\rm Pr}(X\equiv 1)=0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;${\rm Pr}(X\le 1)={\rm Pr}(X< 1)=0.8161$.
 ::*&nbsp;Weiter gilt &nbsp;${\rm Pr}(X< -1)=F_{X}(x= -1)=0.1839$&nbsp; sowie&nbsp;   ${\rm Pr}(-1\le X\le +1)=F_{X}(x= +1) - F_{X}(x= -1)= 0.8161-0.1839 = 0.6322$.
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 '''(4)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die 2D&ndash;WDF&nbsp; für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;? Wie lauten die 2D&ndash;WDF&ndash;Werte&nbsp; $f_{XY}(0, \ 0)$&nbsp; und&nbsp; $f_{XY}(2.3, \ 0)$&nbsp;?}}
-::*&nbsp;Mit diesen Parametern ist das Maximum&nbsp; $f_{XY}(0, \ 0)=0.25$&nbsp; und der 2D&ndash;WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_{XY}(2.3, \ 0)=0.25064 \approx f_{XY}(0, \ 0)/10$.
+::*&nbsp;Mit diesen Parametern ist das Maximum&nbsp; $f_{XY}(0, \ 0)=0.25$&nbsp; und der 2D&ndash;WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_{XY}(2.3, \ 0)=0.025064 \approx f_{XY}(0, \ 0)/10$.
 ::*&nbsp;Der Punkt&nbsp; $(2.3, \ 0)$&nbsp; liegt somit (näherungsweise) auf der&nbsp; $10\%$&ndash;Höhenlinie, die hier ein um &nbsp;$45^\circ$&nbsp; gedrehtes Quadrat ergibt.
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 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(7)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die 2D&ndash;VTF&nbsp; für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;? Wie lauten die 2D&ndash;WDF&ndash;Werte&nbsp; $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp;?}}
+'''(7)'''&nbsp; Betrachten Sie nun die 2D&ndash;VTF&nbsp; für &nbsp;$\lambda_X=1$&nbsp; und &nbsp;$\lambda_Y=1$&nbsp;? Wie lauten die 2D&ndash;VTF&ndash;Werte&nbsp; $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3)$&nbsp;?}}
 ::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3) \approx 0$ &nbsp; und&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) \approx 0.9508$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Im Gegensatz zur 1D&ndash;VTF gilt hier <u>nicht</u>:&nbsp; $F_{XY}(+3, \ +\hspace{-0.1cm}3) = 1 -  F_{XY}(-3, \ -\hspace{-0.1cm}3)$.