Aufgaben:4.1:WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit - Revision history

Maintenance script: Join split $$ formula lines for correct rendering

2026-03-16T13:47:19Z

Join split $$ formula lines for correct rendering

← Older revision		Revision as of 15:47, 16 March 2026
Line 15:		Line 15:

	Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion		Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
	$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\		$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
	y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
	einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße Y, die auf den Bereich \|''Y''\| ≤ 2 begrenzt ist.		einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße Y, die auf den Bereich \|''Y''\| ≤ 2 begrenzt ist.

	Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'' der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen. Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'' in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:		Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'' der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen. Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'' in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:
	$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)		$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}$$.
	\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}$$.

	'''Hinweis''': Die Aufgabe dient zur Vorbereitung der in [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Informationstheorie/Differentielle_Entropie '''Kapitel 4.1'''] dargelegten Thematik. Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Stochastische_Signaltheorie '''Kapitel 3'''] des Buches „Stochastische Signaltheorie”.		'''Hinweis''': Die Aufgabe dient zur Vorbereitung der in [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Informationstheorie/Differentielle_Entropie '''Kapitel 4.1'''] dargelegten Thematik. Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Stochastische_Signaltheorie '''Kapitel 3'''] des Buches „Stochastische Signaltheorie”.
Line 69:		Line 67:
	<b>a)</b>  Die Verteilungsfunktion (VTF) <i>F<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von –∞ bis <i>x</i>. Die Umkehrung lautet: Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.		<b>a)</b>  Die Verteilungsfunktion (VTF) <i>F<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von –∞ bis <i>x</i>. Die Umkehrung lautet: Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
	Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:		Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
	$$f_X(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)		$$f_X(x) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)+ 0.2 \cdot {\rm \delta}( x+1) $$ $$\+ \hspace{-0.15cm} 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1) $$ $$\+\hspace{-0.15cm} 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
	+ 0.2 \cdot {\rm \delta}( x+1) $$ $$\
	+ \hspace{-0.15cm} 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1) $$ $$\
	+\hspace{-0.15cm} 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
	Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße <i>X</i> = {–2, –1, 0, +1, +2} an, zum Beispiel:		Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße <i>X</i> = {–2, –1, 0, +1, +2} an, zum Beispiel:
	$${\rm Pr}(X = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})$$ $$=\		$${\rm Pr}(X = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})$$ $$=\\hspace{-0.15cm} 0.7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{-0.15cm} 0.7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$
	Dementsprechend lauten die weiteren Wahrscheinlichkeiten:		Dementsprechend lauten die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
	$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.		Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.

	<b>b)</b>  Aus der eben berechneten WDF erhält man:		<b>b)</b>  Aus der eben berechneten WDF erhält man:
	$${\rm Pr}(X >0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(X = +1) + {\rm Pr}(X = +2)		$${\rm Pr}(X >0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(X = +1) + {\rm Pr}(X = +2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$ $$\{\rm Pr}(\|X\| \le 1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}{\rm Pr}(X = -1) + {\rm Pr}(X = 0) + {\rm Pr}(X = +1) = 0.2 + 0.4 +0.2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$ $$\
	{\rm Pr}(\|X\| \le 1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}
	{\rm Pr}(X = -1) + {\rm Pr}(X = 0) + {\rm Pr}(X = +1) = 0.2 + 0.4 +0.2
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$

	Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion. Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:		Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion. Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:
Line 109:		Line 98:

	Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> das "<"–Zeichen ohne Verfälschung durch das "≤"–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang <i>ε</i> → 0 ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:		Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> das "<"–Zeichen ohne Verfälschung durch das "≤"–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang <i>ε</i> → 0 ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
	$${\rm Pr}(Y = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \ lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =		$${\rm Pr}(Y = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \ lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon)$$ $$=\\hspace{-0.15cm} F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$
	\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon)$$ $$=\
	\hspace{-0.15cm} F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$

	Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt <u>Pr(<i>Y</i> = 0) = 0</u>.		Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt <u>Pr(<i>Y</i> = 0) = 0</u>.
Line 121:		Line 108:

	<b>f)</b>  Wir gehen wieder von der Gleichung Pr(<i>A</i> ≤ <i>Y</i> ≤ <i>B</i>) = <i>F<sub>Y</sub></i>(<i>B</i>) – <i>F<sub>Y</Sub></i>(<i>A</i>) aus. Mit <i>A</i> = 0 und <i>B</i> → ∞ (bzw. <i>B</i> = 2) erhält man:		<b>f)</b>  Wir gehen wieder von der Gleichung Pr(<i>A</i> ≤ <i>Y</i> ≤ <i>B</i>) = <i>F<sub>Y</sub></i>(<i>B</i>) – <i>F<sub>Y</Sub></i>(<i>A</i>) aus. Mit <i>A</i> = 0 und <i>B</i> → ∞ (bzw. <i>B</i> = 2) erhält man:
	$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)		$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
	= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$

	Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> ist erwartungsgemäß Pr(<i>Y</i> > 0) = 1/2. Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße <i>X</i> symmetrisch um <i>x</i> = 0 ist, wurde dagegen oben Pr(<i>X</i> > 0) = 0.3 ermittelt. Weiter erhält man mit <i>A</i> = –1 und <i>B</i> = +1 wegen <i>F<sub>Y</Sub></i>(–1) = 1 –		Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> ist erwartungsgemäß Pr(<i>Y</i> > 0) = 1/2. Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße <i>X</i> symmetrisch um <i>x</i> = 0 ist, wurde dagegen oben Pr(<i>X</i> > 0) = 0.3 ermittelt. Weiter erhält man mit <i>A</i> = –1 und <i>B</i> = +1 wegen <i>F<sub>Y</Sub></i>(–1) = 1 –
	<i>F<sub>Y</sub></i>(+1):		<i>F<sub>Y</sub></i>(+1):

	$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)		$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)= F_Y(+1) - F_Y(-1) $$ $$\= 2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$
	= F_Y(+1) - F_Y(-1) $$ $$\
	= 2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$

Maintenance script: Add German interlanguage link

2026-03-16T12:33:18Z

Add German interlanguage link

← Older revision		Revision as of 14:33, 16 March 2026
Line 138:		Line 138:

	[[Category:Aufgaben zuInformationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]		[[Category:Aufgaben zuInformationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]
			[[de:Aufgaben:4.1:WDF,_VTF_und_Wahrscheinlichkeit]]

Maintenance script: Update domain links: en.lntwww.de → en.lntwww.lnt.ei.tum.de, www.lntwww.de → lntwww.lnt.ei.tum.de

2026-03-16T11:09:49Z

Update domain links: en.lntwww.de → en.lntwww.lnt.ei.tum.de, www.lntwww.de → lntwww.lnt.ei.tum.de

← Older revision		Revision as of 13:09, 16 March 2026
Line 4:		Line 4:

	[[File:P_ID2862__Inf_A_4_1_neu.png\|right\|]]		[[File:P_ID2862__Inf_A_4_1_neu.png\|right\|]]
	Zur Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen aus dem Buch [~~http~~://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie '''stochastischen Signaltheorie''']		Zur Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen aus dem Buch [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Stochastische_Signaltheorie '''stochastischen Signaltheorie''']
	beschäftigen wir uns mit		beschäftigen wir uns mit
	:* der [~~http~~://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion '''] (WDF),		:* der [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion '''] (WDF),
	:* der [~~http~~://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion ''' Verteilungsfunktion '''] (VTF).		:* der [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion ''' Verteilungsfunktion '''] (VTF).
	Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße ''X''. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe (a) zu bestimmen. Die Gleichung		Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße ''X''. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe (a) zu bestimmen. Die Gleichung
	$$ {\rm Pr}(A < X \le B) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} F_X(B) - F_X(A) = $$		$$ {\rm Pr}(A < X \le B) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} F_X(B) - F_X(A) = $$
Line 23:		Line 23:
	\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}$$.		\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}$$.

	'''Hinweis''': Die Aufgabe dient zur Vorbereitung der in [~~http~~://en.lntwww.de/Informationstheorie/Differentielle_Entropie '''Kapitel 4.1'''] dargelegten Thematik. Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im [~~http~~://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie '''Kapitel 3'''] des Buches „Stochastische Signaltheorie”.		'''Hinweis''': Die Aufgabe dient zur Vorbereitung der in [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Informationstheorie/Differentielle_Entropie '''Kapitel 4.1'''] dargelegten Thematik. Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im [https://en.lntwww.lnt.ei.tum.de/Stochastische_Signaltheorie '''Kapitel 3'''] des Buches „Stochastische Signaltheorie”.
	Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:		Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
	$$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A \eta)$$.		$$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A \eta)$$.

Javier: Text replacement - "”" to """

2021-05-28T14:27:42Z

Text replacement - "”" to """

← Older revision		Revision as of 16:27, 28 May 2021
Line 108:		Line 108:
	$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$		$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$

	Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> das "<~~”~~–Zeichen ohne Verfälschung durch das "≤~~”~~–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang <i>ε</i> → 0 ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:		Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> das "<"–Zeichen ohne Verfälschung durch das "≤"–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang <i>ε</i> → 0 ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
	$${\rm Pr}(Y = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \ lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =		$${\rm Pr}(Y = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \ lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =
	\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon)$$ $$=\		\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon)$$ $$=\

Javier: Text replacement - "„" to """

2021-05-28T14:21:04Z

Text replacement - "„" to """

← Older revision		Revision as of 16:21, 28 May 2021
Line 108:		Line 108:
	$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$		$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$

	Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> das ~~&bdquo;~~<”–Zeichen ohne Verfälschung durch das ~~&bdquo;~~≤”–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang <i>ε</i> → 0 ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:		Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i> das "<”–Zeichen ohne Verfälschung durch das "≤”–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang <i>ε</i> → 0 ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
	$${\rm Pr}(Y = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \ lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =		$${\rm Pr}(Y = 0) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \ lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =
	\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon)$$ $$=\		\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon)$$ $$=\

Tasnad: Text replacement - "[File:" to "[File:"

2020-05-26T14:09:46Z

Text replacement - "[File:" to "[File:"

← Older revision		Revision as of 16:09, 26 May 2020
(No difference)

Khalil at 17:14, 24 March 2017

2017-03-24T17:14:07Z

← Older revision		Revision as of 19:14, 24 March 2017
Line 137:		Line 137:


	[[Category:Aufgaben ~~zu Informationstheorie~~\|^4.1 Differentielle Entropie^]]		[[Category:Aufgaben zuInformationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]

Khalil at 18:45, 19 March 2017

2017-03-19T18:45:10Z

@@ Line 66: / Line 66: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+[[File:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png|right|]]
-'''2.'''
+<b>a)</b>&nbsp;&nbsp;Die Verteilungsfunktion (VTF) <i>F<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von &ndash;&#8734; bis <i>x</i>. Die Umkehrung lautet: Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
-'''3.'''
+Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
-'''4.'''
+$$f_X(x) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}  0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)
-'''5.'''
++ 0.2 \cdot {\rm \delta}( x+1)  $$ $$\
-'''6.'''
+ + \hspace{-0.15cm} 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1) $$ $$\
-'''7.'''
+  +\hspace{-0.15cm} 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

Khalil at 17:07, 19 March 2017

2017-03-19T17:07:37Z

← Older revision		Revision as of 19:07, 19 March 2017
Line 26:		Line 26:
	Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:		Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
	$$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A \eta)$$.		$$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A \eta)$$.

	===Fragebogen===		===Fragebogen===

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{~~Multiple-Choice Frage~~		{Bestimmen Sie die WDF <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) der wertdiskreten Zufallsgröße <i>X</i>. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- ~~Falsch~~		+ Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.
	~~+ Richtig~~		+ Es gilt Pr(<i>X</i> = 0) = 0.4 und Pr(<i>X</i> = 1) = 0.2.
			- Es gilt Pr(<i>X</i> = 2) = 0.4.


			{Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
			\|type="{}"}
			$Pr(X > 0)$ = { 0.3 3% }
			$Pr(\|X\| ≤ 1)$ = { 0.8 3% }

	{~~Input-Box Frage~~		{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion <i>F<sub>Y</sub></i>(<i>y</i>) = Pr(<i>Y</i> ≤ <i>y</i>) der wertkontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i>, insbesondere:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\alpha~~$ = { 0.3 }		$F_Y(y = 0)$ = { 0.5 3% }
			$F_Y(y = 1)$ = { 1 3% }
			$F_Y(y = 2)$ = { 0.909 3% }

			{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <i>Y</i> = 0 ist?
			\|type="{}"}
			$Pr(Y = 0)$ = { 0 3% }

			{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
			\|type="[]"}
			- Das Ergebnis <i>Y</i> = 0 ist unmöglich.
			+ Das Ergebnis <i>Y</i> = 3 ist unmöglich.

			{Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?
			\|type="{}"}
			$Pr(Y > 0)$ = { 0.5 3% }
			$Pr(\|Y\| ≤ 1)$ = { 0.818 3% }

	</quiz>		</quiz>

Khalil at 15:51, 19 March 2017

2017-03-19T15:51:53Z

@@ Line 8: / Line 8: @@
 :* der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion '''] (WDF),
 :* der [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion ''' Verteilungsfunktion '''] (VTF).
 ===Fragebogen===