Aufgaben:Exercise 1.1: A Special Dice Game - Revision history

Guenter at 16:47, 18 November 2021

2021-11-18T16:47:53Z

Guenter at 16:24, 18 November 2021

2021-11-18T16:24:26Z

Guenter at 16:07, 18 November 2021

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Guenter at 16:03, 18 November 2021

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Noah at 10:24, 15 November 2021

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Noah at 10:23, 15 November 2021

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Show changes

Javier: /* A1.1 Würfelspiel Mäxchen */

2021-11-08T16:22:34Z

A1.1 Würfelspiel Mäxchen

Guenter at 15:33, 12 October 2021

2021-10-12T15:33:49Z

Guenter: Guenter moved page Aufgaben:Aufgabe 1.1: Würfelspiel Mäxchen to Aufgaben:Exercise 1.1: A Special Dice Game

2021-10-12T15:30:36Z

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Javier: Text replacement - "”" to """

2021-05-28T14:26:27Z

Text replacement - "”" to """

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 '''(4)'''&nbsp; This probability can be stated with&nbsp; $K = 6$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$&nbsp; as follows:
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 '''(5)'''&nbsp; Analogously,&nbsp; the probability for the&nbsp; "Max"&nbsp; can be calculated with&nbsp; $K = 2$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$:
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-'''(6)'''&nbsp; The probability that&nbsp; $Y$&nbsp; wins if&nbsp; $X$&nbsp; got „53” is&nbsp; $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>The sample solution of this subtask is summarized in a&nbsp;   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|$\rm short\:video$]]&nbsp;.
+The sample solution of this subtask is summarized in a short (German language)&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|learning video]].
-'''(7)'''&nbsp; To solve the last sub-task, we again assume a two-dimensional representation and rank the matrix elements according to their values (see graph). From this we can see:
+'''(7)'''&nbsp; To solve the last sub-task, we again assume a two-dimensional representation and rank the matrix elements according to their values&nbsp; (see graph).&nbsp; From this we can see:
-*With the default value of&nbsp; „$65$”&nbsp;, the opponent has only a chance of winning of&nbsp; $8/36 = 0.222$.
+*With the default value of&nbsp; $65$,&nbsp; the opponent has only a chance of winning of&nbsp; $8/36 = 0.222$.
 *This means that your own chance of winning is about&nbsp; $77.8\%$.
-*With&nbsp; „$64$”&nbsp;, on the other hand, player&nbsp; $X$'s&nbsp; chance of winning would be only about&nbsp; $72.2\%$.
+*With&nbsp; $64$,&nbsp; on the other hand,&nbsp; player&nbsp; $X$'s&nbsp; chance of winning would be only about&nbsp; $72.2\%$.
 *The correct solution is therefore&nbsp; $R_\min\; \underline{ = 65}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 58: / Line 58: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; <u>Player &nbsp; $X$&nbsp; has an advantage</u>, because player&nbsp; $Y$&nbsp; has to trump him.&nbsp; The game would be fair, for example, if it were scored as a "draw" when the rolls were exactly equal.&nbsp; However, over a longer period of time, even if&nbsp; $X$&nbsp; and&nbsp; $Y$&nbsp; start alternating, there will be equal chances of winning.
+'''(1)'''&nbsp; <u>Player &nbsp; $X$&nbsp; has an advantage</u>,&nbsp; because player&nbsp; $Y$&nbsp; has to trump him.&nbsp;
 '''(2)'''&nbsp;&nbsp; $\underline{I = 21}$&nbsp; different outcomes are possible.&nbsp; These are (starting with the lowest):
 :$$31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.$$
-'''(3)'''&nbsp; However, the&nbsp; $21$&nbsp; possible results of this dice game are not equally probable, therefore the probabilities cannot be determined according to the classical definition&nbsp; $($the result would be&nbsp; $1/21)$&nbsp;.
+'''(3)'''&nbsp; However,&nbsp; the&nbsp; $21$&nbsp; possible results of this dice game are not equally probable,&nbsp; therefore the probabilities cannot be determined according to the classical definition&nbsp; $($the result would be&nbsp; $1/21)$.
-*If one at least mentally makes a distinction between the dice, for example by a blue &nbsp;$(B)$&nbsp; and a red &nbsp;$(R)$&nbsp; there are&nbsp; $6^{2} = 36$&nbsp; equally probable events, among others the event&nbsp; ${\rm Pr\big[double six\big]} = (B = 6) \cap (R = 6)$.
+*If one at least mentally makes a distinction between the dice,&nbsp; for example by a blue &nbsp;$(B)$&nbsp; and a red &nbsp;$(R)$&nbsp; one&nbsp; there are&nbsp; $6^{2} = 36$&nbsp; equally probable events,&nbsp; among others the event&nbsp; ${\rm Pr\big[\text{"double six"}\big]} = Pr\big[(B = 6) \cap (R = 6)\big]$.
-*For both dice, the probability of a „6“ is equal to&nbsp; $1/6$. Since the numbers of the two dice are, of course, statistically independent, the following is true
+*For both dice,&nbsp; the probability of a &nbsp; "6"&nbsp; is equal to&nbsp; $1/6$.&nbsp; Since the numbers of the two dice are,&nbsp; of course,&nbsp; statistically independent,&nbsp; the following is true:
-:$${\rm Pr\big[double six\big] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
+:$$Pr\big[\text{"double six"}\big] = {\rm Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
-"Note": &nbsp; from the naming "result", one might incorrectly conclude that this is an outcome. However, according to the definitions in this chapter, the result is to be considered as an event (summary of outcomes).
+"Note": &nbsp; From the naming&nbsp; "result",&nbsp; one might incorrectly conclude that this is an outcome.&nbsp; However,&nbsp; according to the definitions in this chapter,&nbsp; the result is to be considered as an event&nbsp; (summary of outcomes).
 '''(4)'''&nbsp; This probability can be stated with&nbsp; $K = 6$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$&nbsp; as follows:
-:$${\rm Pr\big[any \ double\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
+:$${\rm Pr\big[\text{"any double"}\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
 [[File:EN_Sto_A1_1_g.png|right|400px|Sum of two dice]]
-'''(5)'''&nbsp; Analogously, the probability for the Mäxchen can be calculated with&nbsp; $K = 2$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$&nbsp;:
+'''(5)'''&nbsp; Analogously,&nbsp; the probability for the&nbsp; "Max"&nbsp; can be calculated with&nbsp; $K = 2$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$:
-:$${\rm Pr\big[Max\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$
+:$${\rm Pr\big[\text{"Max"}\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(B = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$

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 {What is the probability of a&nbsp; "double six"?
 |type="{}"}
-$\rm Pr\big[double six\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
+$\rm Pr\big[\text{"double six"}\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
 {What is the probability of rolling&nbsp; "any double"?
 |type="{}"}
-$\rm Pr\big[any \;double\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
+$\rm Pr\big[\text{"any double"}\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
 {What is the probability that a player rolls a&nbsp; "Max"?
 |type="{}"}
-$\rm Pr\big[Max\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
+$\rm Pr\big[\text{"Max"}\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
-{Player&nbsp; $X$&nbsp; has rolled a&nbsp; "3"&nbsp; and a&nbsp; "5".&nbsp; Under this assumption,&nbsp; "4"&nbsp; what is player&nbsp; $Y$'s chance of winning??
+{Player&nbsp; $X$&nbsp; has rolled a&nbsp; "3"&nbsp; and a&nbsp; "5".&nbsp; Under this assumption,&nbsp; what is player&nbsp; $Y$'s chance of winning??
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[Y\;  {\rm wins}\big]\ =\ $ { 0.5556 3% }

@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[File:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|About the dice game "Max"]]
-In the dice game "Max" two dice are thrown. The higher number of points of the two dice is multiplied by&nbsp; $10$&nbsp;and then the lower number of points is added to it. For example, a „2“ and a „4“ gives the game result&nbsp; $42$&nbsp; and a „5“ and a „6“ gives the result&nbsp; $65$. The smallest possible result of a roll is therefore&nbsp; $31$.  The following rules also apply:
+In the dice game&nbsp; "Max"&nbsp; two dice are thrown.&nbsp; The higher number of points of the two dice is multiplied by&nbsp; $10$&nbsp; and then the lower number of points is added to it.&nbsp; For example,&nbsp; a&nbsp; "2"&nbsp; and a&nbsp; "4"&nbsp; gives the game result&nbsp; $42$&nbsp; and a&nbsp; "5"&nbsp; and a&nbsp; "6"&nbsp; gives the result&nbsp; $65$.&nbsp; The smallest possible result of a roll is therefore&nbsp; $31$.&nbsp;  The following rules also apply:
-*A "double"&nbsp; (the same number twice)&nbsp; is generally valued higher than two unequal dice.
+*A&nbsp; "double"&nbsp; (the same number twice)&nbsp; is generally valued higher than two unequal dice.
-*Thus, a "double one" is higher than&nbsp; $65$, but lower than any other double.
+*Thus,&nbsp; a&nbsp; "double one"&nbsp; is higher than&nbsp; $65$,&nbsp; but lower than any other double.
-*A special position in this game is occupied by the "Max"&nbsp; (a „1” and a „2”)&nbsp;. This combination, shown in the picture, is higher than the double six.
+*A special position in this game is occupied by the&nbsp; "Max"&nbsp; (a&nbsp; "1"&nbsp; and a&nbsp; "2").&nbsp; This combination,&nbsp; shown in the picture,&nbsp; is higher than the&nbsp;  "double six".
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 Hints:
-*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Einige_grundlegende_Definitionen | Some basic definitions of probability theory]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Some_Basic_Definitions | Some basic definitions of probability theory]].
-*The sample solution is summarized in a&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|short\:video]]&nbsp;.
+*The sample solution is summarized in a short (German language)&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|learning video]].
 ===Questions===
@@ Line 34: / Line 34: @@
 $I \ =\ $  { 21 }
-{What is the probability of a double six?
+{What is the probability of a&nbsp; "double six"?
 |type="{}"}
 $\rm Pr\big[double six\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
-{What is the probability of rolling "any" double?
+{What is the probability of rolling&nbsp; "any double"?
 |type="{}"}
 $\rm Pr\big[any \;double\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
-{What is the probability that a player rolls a "Max"?
+{What is the probability that a player rolls a&nbsp; "Max"?
 |type="{}"}
 $\rm Pr\big[Max\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
-{Player&nbsp; $X$&nbsp; has rolled a „3” and a „5”. Under this assumption, what is player&nbsp; $Y$'s chance of winning??
+{Player&nbsp; $X$&nbsp; has rolled a&nbsp; "3"&nbsp; and a&nbsp; "5".&nbsp; Under this assumption,&nbsp; "4"&nbsp; what is player&nbsp; $Y$'s chance of winning??
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[Y\;  {\rm wins}\big]\ =\ $ { 0.5556 3% }
-{What is the minimum score&nbsp; $R_{\rm \min}$&nbsp; that player&nbsp; $X$&nbsp; must achieve to have a greater chance of winning than&nbsp; $75\%$&nbsp;?
+{What is the minimum score&nbsp; $R_{\rm \min}$&nbsp; that player&nbsp; $X$&nbsp; must achieve to have a greater chance of winning than&nbsp; $75\%$?
 |type="{}"}
 $R_{\rm \min}\ =\ $ { 65 }

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 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Einige_grundlegende_Definitionen | Some basic definitions of probability theory]].
-*The sample solution is summarized in a&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|short video]]&nbsp;.
+*The sample solution is summarized in a&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|short\:video]]&nbsp;.
 ===Questions===
@@ Line 87: / Line 87: @@
-'''(6)'''&nbsp; The probability that&nbsp; $Y$&nbsp; wins if&nbsp; $X$&nbsp; got „53” is&nbsp; $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>The sample solution of this subtask is summarized in a&nbsp;   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|$\rm short video$]]&nbsp;.
+'''(6)'''&nbsp; The probability that&nbsp; $Y$&nbsp; wins if&nbsp; $X$&nbsp; got „53” is&nbsp; $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>The sample solution of this subtask is summarized in a&nbsp;   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|$\rm short\:video$]]&nbsp;.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Some_Basic_Definitions}}
-==A1.1 Würfelspiel Mäxchen==
 [[File:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|Zum Würfelspiel "Mäxchen"]]
 Beim Würfelspiel "Mäxchen" wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit&nbsp; $10$&nbsp; multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat&nbsp; $42$&nbsp; und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis&nbsp; $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit&nbsp; $31$.  Weiter gelten folgende Regeln:

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 {{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Some_Basic_Definitions}}
 ==A1.1 Würfelspiel Mäxchen==
-[[File:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|Zum Würfelspiel "Mäxchen&rdquo;]]
+[[File:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|Zum Würfelspiel "Mäxchen"]]
-Beim Würfelspiel "Mäxchen&rdquo; wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit&nbsp; $10$&nbsp; multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat&nbsp; $42$&nbsp; und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis&nbsp; $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit&nbsp; $31$.  Weiter gelten folgende Regeln:
+Beim Würfelspiel "Mäxchen" wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit&nbsp; $10$&nbsp; multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat&nbsp; $42$&nbsp; und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis&nbsp; $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit&nbsp; $31$.  Weiter gelten folgende Regeln:
-*Ein "Pasch&rdquo;&nbsp; (zweimal die gleiche Augenzahl)&nbsp; wird im Allgemeinen höher bewertet als zwei ungleiche Würfel.
+*Ein "Pasch"&nbsp; (zweimal die gleiche Augenzahl)&nbsp; wird im Allgemeinen höher bewertet als zwei ungleiche Würfel.
-*So ist ein "Einser-Pasch&rdquo; höher als&nbsp; $65$, aber niedriger als jeder andere Pasch.
+*So ist ein "Einser-Pasch" höher als&nbsp; $65$, aber niedriger als jeder andere Pasch.
-*Eine Sonderstellung nimmt bei diesem Spiel das "Mäxchen&rdquo;&nbsp; (eine „1” und eine „2”)&nbsp; ein. Diese im Bild dargestellte Kombination steht noch über dem Sechser-Pasch.
+*Eine Sonderstellung nimmt bei diesem Spiel das "Mäxchen"&nbsp; (eine „1” und eine „2”)&nbsp; ein. Diese im Bild dargestellte Kombination steht noch über dem Sechser-Pasch.
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 $\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man "irgendeinen&rdquo; Pasch würfelt?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man "irgendeinen" Pasch würfelt?
 |type="{}"}
 $\rm Pr\big[irgendein \;Pasch\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt ein Spieler ein "Mäxchen&rdquo;?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt ein Spieler ein "Mäxchen"?
 |type="{}"}
 $\rm Pr\big[Mäxchen\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
@@ Line 60: / Line 60: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; <u>Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; ist im Vorteil</u>, da ihn der Spieler&nbsp; $Y$&nbsp; überbieten muss.&nbsp; Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als "Unentschieden&rdquo; gewertet würde.&nbsp; Über einen längeren Zeitraum werden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; abwechselnd beginnen.
+'''(1)'''&nbsp; <u>Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; ist im Vorteil</u>, da ihn der Spieler&nbsp; $Y$&nbsp; überbieten muss.&nbsp; Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als "Unentschieden" gewertet würde.&nbsp; Über einen längeren Zeitraum werden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; abwechselnd beginnen.
@@ Line 74: / Line 74: @@
 :$${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
-"Anmerkung": &nbsp; Aus der Namensgebung "Resultat&rdquo; könnte man fälschlicherweise schließen, dass es sich hierbei um ein Ergebnis handelt. Entsprechend den Definitionen in diesem Kapitel ist das Resultat aber als ein Ereignis (Zusammenfassung von Ergebnissen) zu betrachten.
+"Anmerkung": &nbsp; Aus der Namensgebung "Resultat" könnte man fälschlicherweise schließen, dass es sich hierbei um ein Ergebnis handelt. Entsprechend den Definitionen in diesem Kapitel ist das Resultat aber als ein Ereignis (Zusammenfassung von Ergebnissen) zu betrachten.