Aufgaben:Exercise 1.2Z: Three-dimensional Representation of Codes - Revision history

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@@ Line 41: / Line 41: @@
 -The minimum distance between two code words is&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
-{Which statements are true for a&nbsp; $(3, 2, 2)$&ndash;block code?
+{Which statements are true for a&nbsp; $(3, 2, 2)$&nbsp; block code?
 |type="[]"}
 + Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 1),\ (1, 1, 0)\}$&nbsp; is possible.
@@ Line 64: / Line 64: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Correct <u>statements 1 and 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Correct&nbsp; <u>statements 1 and 3</u>:
-*In this assignment, $k = 3$ information bits are mapped to $n = 3$ code bits &nbsp; ⇒ &nbsp; $R = k/n = 1$.
+*In this assignment,&nbsp; $k = 3$&nbsp; information bits are mapped to&nbsp; $n = 3$&nbsp; code bits &nbsp; ⇒ &nbsp; $R = k/n = 1$.
-*The statement $\underline{x} = \underline{u} $ would only hold in the case of systematic coding.
+*The statement&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} $&nbsp; would only hold in the case of systematic coding.
-*For example, in principle, $(0, 0, 0)$ &nbsp; → &nbsp; $(0, 1, 1)$ would also be possible.
+*For example,&nbsp; in principle.&nbsp; $(0, 0, 0)$ &nbsp; → &nbsp; $(0, 1, 1)$&nbsp; would also be possible.
-*The last statement is certainly false: from the graph one can see the minimum distance $d_{\rm min} = 1$.
+*The last statement is certainly false:&nbsp; From the graph one can see the minimum distance&nbsp; $d_{\rm min} = 1$.
-[[File:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png|right|frame|Two (3, 2, 2) block codes]]
+[[File:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png|right|frame|Two&nbsp; $(3, 2, 2)$&nbsp; block codes]]
-'''(2)'''&nbsp; Correct <u>statements 1 and 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Correct&nbsp; <u>statements 1 and 2</u>:
-*$\mathcal{C}_{1}$ and $\mathcal{C}_{2}$ actually describe codes with rate $R = 2/3$ and minimum distance $d_{\rm min} = 2$.
+*$\mathcal{C}_{1}$&nbsp; and&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$ actually&nbsp; describe codes with rate&nbsp; $R = 2/3$&nbsp; and minimum distance&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
-*In the graph, the green dots mark the code $\mathcal{C}_{1}$ and the blue dots mark the code $\mathcal{C}_{2}$.
+*In the graph,&nbsp; the green dots mark the code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; and the blue dots mark the code&nbsp; $\mathcal{C}_{2}$.
-*For the code $\mathcal{C}_{3}$ - also with rate $R = 2/3$ - the minimum distance between two codewords is $d_{\rm min} = 1$, for example between $(0, 0, 0)$ and $(1, 0, 0)$ or between $(0, 1, 1)$ and $(1, 1, 1)$.
+*For the code&nbsp; $\mathcal{C}_{3}$&nbsp; &ndash; also with rate&nbsp; $R = 2/3$&nbsp; &ndash; the minimum distance between two code words is&nbsp; $d_{\rm min} = 1$,&nbsp; <br>for example between&nbsp; $(0, 0, 0)$&nbsp; and&nbsp; $(1, 0, 0)$&nbsp; or between&nbsp; $(0, 1, 1)$&nbsp; and&nbsp; $(1, 1, 1)$.
-'''(3)'''&nbsp; Correct is only <u>statement 1</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Correct is only&nbsp; <u>statement 1</u>:
-*Only a bit error can be detected with the minimum distance $d_{\rm min} = 2$.
+*Only a bit error can be detected with the minimum distance&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
-*In the upper graph, the green dots indicate allowed codewords of $\mathcal{C}_{1}$. If a blue dot is received, this indicates a transmission error.
+*In the upper graph,&nbsp; the green dots indicate allowed code words of&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$.&nbsp; <br>If a blue dot is received,&nbsp; this indicates a transmission error.
-*On the other hand, error correction is not possible with $d_{\rm min} = 2$.
+*On the other hand,&nbsp; error correction is not possible with&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
-*The code $\mathcal{C}_{1}$ corresponds to the [[Channel_Coding/Examples_of_Binary_Block_Codes#Single_Parity_Check_Codes|Single Parity-check Code (3, 2, 2)]].
+*The code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; corresponds to the&nbsp; [[Channel_Coding/Examples_of_Binary_Block_Codes#Single_Parity_Check_Codes|single parity-check code&nbsp; $(3, 2, 2)$]].
-[[File:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png|right|frame|(3, 1, 3) block code]]
+[[File:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png|right|frame|$(3, 1, 3)$&nbsp; block code]]
-'''(4)'''&nbsp; Correct <u>answers 2, 3, and 4</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Correct&nbsp; <u>answers 2, 3, and 4</u>:
-*$C_{4}$ describes the [[Channel_Coding/Examples_of_Binary_Block_Codes#Repetition_Codes|(3, 1, 3) repetition code]].
+*$C_{4}$&nbsp; describes the&nbsp; [[Channel_Coding/Examples_of_Binary_Block_Codes#Repetition_Codes|$(3, 1, 3)$ repetition code]].&nbsp; In this code,&nbsp; two of the total eight possible points are occupied,&nbsp; from which one could incorrectly conclude the code rate $R = 1/4$.
-*In this code, two of the total eight possible points are occupied, from which one could incorrectly conclude the code rate $R = 1/4$. However, the code rate is calculated according to $R = k/n = 1/3$.
+*However,&nbsp; the code rate is calculated according to $R = k/n = 1/3$.
-*From the lower diagram one recognizes that because of $d_{\rm min} = 3$ now also a bit error can be corrected.
+*From the lower diagram one recognizes that because of&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; now also one bit error can be corrected.
-*During decoding, all light green points (with black outline) are transferred to the green point $(0, 0, 0)$ and all light blue points are transferred to the blue point $(1, 1, 1)$.
+*During decoding,&nbsp; all light green points&nbsp; (with black outline)&nbsp; are transferred to the green point&nbsp; $(0, 0, 0)$&nbsp; and all light blue points are transferred to the blue point&nbsp; $(1, 1, 1)$.
-*Up to two bit errors can be detected at the same time (one of course).
+*Up to two bit errors can be detected at the same time&nbsp; (one of course).
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 }}
-[[File:P_ID2400__KC_Z_1_2.png|right|frame|Space $\rm GF(2^3)$ and <br>Code of length $n = 3$]]
+[[File:P_ID2400__KC_Z_1_2.png|right|frame|Space&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; and&nbsp; <br>code of length&nbsp; $n = 3$]]
-Codes for error detection or error correction can be represented very clearly in&nbsp; $n$-dimensional space. We restrict ourselves here to binary codes of length&nbsp; $n = 3$:
+Codes for error detection or error correction can be represented very clearly in an&nbsp; $n$-dimensional space.&nbsp; We restrict ourselves here to binary codes of length&nbsp; $n = 3$:
-:$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\underline{x} = (x_{1},\ x_{2},\ x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0,\ 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$
 *The code rate is&nbsp; $R = k/n$.
-*The Hamming distance&nbsp; $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$&nbsp; between two codewords&nbsp; $x ∈ \mathcal{C}$&nbsp; and&nbsp; $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$&nbsp; indicates the number of bit positions in which&nbsp; $x$&nbsp; and&nbsp; $x\hspace{0.05cm}'$&nbsp; differ.
 *The minimum distance&nbsp; $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$&nbsp; is a measure of the correctability of a code.
-Hints:
+*In addition,&nbsp; some simple questions about the chapter&nbsp; [[Channel_Coding/Examples_of_Binary_Block_Codes|"Examples of binary block codes"]]&nbsp; are anticipated.
@@ Line 32: / Line 36: @@
 {Which statements hold if all points in&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; are occupied?
 |type="[]"}
-+ The assignment&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ &nbsp; → &nbsp; $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$ holds.
++ The assignment&nbsp; $\underline{u} = (u_{1},\ u_{2},\ u_{3})$ &nbsp; → &nbsp; $\underline{x} = (x_{1},\ x_{2},\ x_{3})$&nbsp; holds.
-- The identity&nbsp; $\underline{x} = \underline{u}$ holds.
+- The identity&nbsp; $\underline{x} = \underline{u}$&nbsp; holds.
 + The code rate is&nbsp; $R = 1$.
--The minimum distance between two codewords is&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
+-The minimum distance between two code words is&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
-{Which statements are true for a (3, 2, 2)-block code?
+{Which statements are true for a&nbsp; $(3, 2, 2)$&ndash;block code?
 |type="[]"}
-+ code&nbsp; $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$&nbsp; is possible.
++ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 1),\ (1, 1, 0)\}$&nbsp; is possible.
-+ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; is possible.
++ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1),\ (0, 1, 0),\ (1, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$&nbsp; is possible.
-- Code&nbsp; $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; is possible.
+- Code&nbsp; $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$&nbsp; is possible.
-{What properties does the code defined in subtask '''(2)''' show&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$?
+{What properties does the code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$&nbsp; defined in subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp; show?
 |type="[]"}
 + A bit error can be detected.
 - A bit error can be corrected.
-{What properties does the code show&nbsp; $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?
+{What properties does the code&nbsp; $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$&nbsp;  show?
 |type="[]"}
 - The code rate is&nbsp; $R = 1/4$.

@@ Line 67: / Line 67: @@
-[[File:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png|right|frame|Two (3, 2, 2)-block codes]]
+[[File:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png|right|frame|Two (3, 2, 2) block codes]]
 '''(2)'''&nbsp; Correct <u>statements 1 and 3</u>:
 *$\mathcal{C}_{1}$ and $\mathcal{C}_{2}$ actually describe codes with rate $R = 2/3$ and minimum distance $d_{\rm min} = 2$.

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−	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^1.1 ~~Zielsetzung der Kanalcodierung~~^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^1.1 Objective of Channel Coding^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Kanalcodierung~~\|^1.1 Zielsetzung der Kanalcodierung^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^1.1 Zielsetzung der Kanalcodierung^]]

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(No difference)

@@ Line 20: / Line 20: @@
 ''Hinweise'':
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
-*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; vorweg genommen.
+*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; vorweg genommen.
@@ Line 79: / Line 79: @@
 *In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $\mathcal{C}_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.
 *Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min} = 2$ dagegen nicht möglich.
-*Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code (3, 2, 2)]].
+*Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem [[Channel_Coding/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code (3, 2, 2)]].
 [[File:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png|right|frame|(3, 1, 3)–Blockcode]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 2, 3 und 4</u>:
-*$C_{4}$ beschreibt den [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|(3, 1, 3)–Wiederholungscode]].
+*$C_{4}$ beschreibt den [[Channel_Coding/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes|(3, 1, 3)–Wiederholungscode]].
 *Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate $R = 1/4$ schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.
 *Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen $d_{\rm min} = 3$ nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.

@@ Line 40: / Line 40: @@
 |type="[]"}
 + Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$&nbsp; ist möglich.
-- Code&nbsp; $\mathcal{C}_{2}  = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; ist möglich.
++ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{2}  = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; ist möglich.
-+ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{3}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; ist möglich.
+- Code&nbsp; $\mathcal{C}_{3}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; ist möglich.
 {Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe '''(2)''' definierte Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$?

@@ Line 2: / Line 2: @@
 }}
-[[File:P_ID2400__KC_Z_1_2.png|right|frame|Raum $\rm GF(2^3)$ und Code der Länge $n = 3$]]
+[[File:P_ID2400__KC_Z_1_2.png|right|frame|Raum $\rm GF(2^3)$ und <br>Code der Länge $n = 3$]]
-Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge $n = 3$:
+Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im&nbsp; $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge&nbsp; $n = 3$:
 :$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$
 Allgemein gilt bei der Blockcodierung:
-*Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.
+*Das Informationswort&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$&nbsp; wird eindeutig in das Codewort&nbsp; $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$&nbsp; überführt.
-*Die Coderate beträgt $R = k/n$.
+*Die Coderate beträgt&nbsp; $R = k/n$.
-*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{C}$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.
+*Die Hamming–Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$&nbsp; zwischen zwei Codeworten&nbsp; $x ∈ \mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$&nbsp; gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $x\hspace{0.05cm}'$&nbsp; unterscheiden.
-*Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
+*Die Minimaldistanz&nbsp; $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$&nbsp; ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
-*Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.
+*Es können&nbsp; $e =d_{\rm min} – 1$&nbsp; Fehler erkannt und&nbsp; $t =(d_{\rm min} – 1)/2$&nbsp; Fehler korrigiert werden.
 ''Hinweise'':
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
-*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]] vorweg genommen.
+*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; vorweg genommen.
@@ Line 26: / Line 30: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in $\rm GF(2^3)$ belegt sind?
+{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; belegt sind?
 |type="[]"}
-+ Es gilt die Zuordnung $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$  → $\underline{u} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
++ Es gilt die Zuordnung&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ &nbsp;  → &nbsp; $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
-- Es gilt die Identität $\underline{x} =  \underline{u}$.
+- Es gilt die Identität&nbsp; $\underline{x} =  \underline{u}$.
-+ Die Coderate ist $R = 1$.
++ Die Coderate ist&nbsp; $R = 1$.
--Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min} = 2$.
+-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.
 {Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?
 |type="[]"}
-+ Code $\mathcal{C}_{1}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$ ist möglich.
++ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$&nbsp; ist möglich.
-- Code $\mathcal{C}_{2}  = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.
+- Code&nbsp; $\mathcal{C}_{2}  = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; ist möglich.
-+ Code $\mathcal{C}_{3}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.
++ Code&nbsp; $\mathcal{C}_{3}  = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$&nbsp; ist möglich.
-{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe (2) definierte Code $\mathcal{C}_{1}$?
+{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe '''(2)''' definierte Code&nbsp; $\mathcal{C}_{1}$?
 |type="[]"}
 + Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
 - Ein Bitfehler kann korrigiert werden.
-{Welche Eigenschaften zeigt der Code $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?
+{Welche Eigenschaften zeigt der Code&nbsp; $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?
 |type="[]"}
-- Die Coderate beträgt $R = 1/4$.
+- Die Coderate beträgt&nbsp; $R = 1/4$.
-+ Die Coderate beträgt $R = 1/3$.
++ Die Coderate beträgt&nbsp; $R = 1/3$.
 + Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
 + Ein Bitfehler kann korrigiert werden.