Aufgaben:Exercise 1.4Z: Everything Rectangular - Revision history

Oezer at 17:49, 5 September 2021

2021-09-05T17:49:20Z

Oezer at 17:48, 5 September 2021

2021-09-05T17:48:36Z

Oezer at 17:31, 5 September 2021

2021-09-05T17:31:16Z

Oezer at 17:29, 5 September 2021

2021-09-05T17:29:34Z

Oezer at 17:28, 5 September 2021

2021-09-05T17:28:49Z

Oezer at 00:37, 19 July 2021

2021-07-19T00:37:45Z

Oezer at 00:36, 19 July 2021

2021-07-19T00:36:42Z

Oezer at 00:32, 19 July 2021

2021-07-19T00:32:27Z

Oezer at 00:23, 19 July 2021

2021-07-19T00:23:25Z

Oezer at 00:00, 19 July 2021

2021-07-19T00:00:47Z

@@ Line 84: / Line 84: @@
 Interpretation:
 *The spectral components of the rectangular signal at&nbsp; $f_0,&nbsp; 3f_0,$&nbsp; etc., although now no longer suppressed, are increasingly attenuated as the frequency increases, in such a way that the rectangular curve is converted into a periodic triangular signal. &nbsp; The direct component&nbsp; $(1 \hspace{0.05cm} \rm V)$&nbsp; remains unchanged here, too.
-*Thus, both filters provide the average value of the input signal. &nbsp; For the signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; at hand the filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; is more suitable than the filter&nbsp; $\rm B$for the determination of the mean value, because for the former the length of the impulse response is a multiple of the period&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp;.
+*Thus, both filters provide the average value of the input signal. &nbsp; For the signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; at hand the filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; is more suitable than the filter&nbsp; $\rm B$ for the determination of the mean value, because for the former the length of the impulse response is a multiple of the period&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp;.
 *If this condition – as with the filter&nbsp; $\rm B$ – is not fulfilled, an error signal (triangular in this example) is still superimposed on the mean value.

@@ Line 72: / Line 72: @@
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
 *This results in a triangular shape fluctuating around the mean&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; see bottom graph.
-*Da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen, gilt für&nbsp; $t = 0,&nbsp; t = 2T,$&nbsp; usw.:
+*Since two rectangles and three gaps each are covered by the integration interval, the following holds for&nbsp; $t = 0,&nbsp; t = 2T,$&nbsp; etc.:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V} =y_{\rm B}(t=0) }.$$
-*Bei&nbsp; $t = T,\ 3T, \ 5T, $&nbsp; usw. sind jeweils drei Rechtecke und zwei Lücken zu berücksichtigen: Man erhält:
+*For&nbsp; $t = T,\ 3T, \ 5T, $&nbsp; etc., there are three rectangles and two gaps each to be considered: One obtains:
 :$$y_{\rm B}(t)  \underline{\: = 1.2 \: {\rm V}=y_{\rm B}(t=T)}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die Betragsfunktion lautet nun allgemein bzw. bei den Frequenzen&nbsp; $f = f_0 = 1/(2T)$&nbsp; und&nbsp; $f = 3f_0$:
+'''(4)'''&nbsp;  The magnitude function is generally or at frequencies&nbsp; $f = f_0 = 1/(2T)$&nbsp; and&nbsp; $f = 3f_0$:
 :$$\begin{align*} |H_{\rm B}(f)| & = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 5T)|, \\ |H_{\rm B}(f = f_0)| & = |{\rm si}(\pi \frac{5T}{2T})| = |{\rm si}(2.5\pi )| = \frac{1}{2.5 \pi}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.127}, \\ |H_{\rm B}(f = 3f_0)| & =  |{\rm si}(7.5\pi )| = \frac{1}{7.5 \pi}  \hspace{0.15cm}\underline{=0.042}.\end{align*}$$
 Interpretation:
-*Die Spektralanteile des Rechtecksignals bei&nbsp; $f_0,&nbsp; 3f_0,$&nbsp; usw. werden zwar nun nicht mehr unterdrückt, aber mit steigender Frequenz immer mehr abgeschwächt und zwar in der Form, dass der Rechteckverlauf in ein periodisches Dreiecksignal gewandelt wird. &nbsp; Der Gleichanteil&nbsp; $(1 \hspace{0.05cm} \rm V)$&nbsp; bleibt auch hier unverändert.
+*The spectral components of the rectangular signal at&nbsp; $f_0,&nbsp; 3f_0,$&nbsp; etc., although now no longer suppressed, are increasingly attenuated as the frequency increases, in such a way that the rectangular curve is converted into a periodic triangular signal. &nbsp; The direct component&nbsp; $(1 \hspace{0.05cm} \rm V)$&nbsp; remains unchanged here, too.
-*Beide Filter liefern also den Mittelwert des Eingangssignals. &nbsp; Beim vorliegenden Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist für die Bestimmung des Mittelwertes das Filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; besser geeignet als das Filter&nbsp; $\rm B$, da bei Ersterem die Länge der Impulsantwort ein Vielfaches der Periodendauer&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp; ist.
+*Thus, both filters provide the average value of the input signal. &nbsp; For the signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; at hand the filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; is more suitable than the filter&nbsp; $\rm B$for the determination of the mean value, because for the former the length of the impulse response is a multiple of the period&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp;.
-*Ist diese Bedingung – wie beim Filter&nbsp; $\rm B$ – nicht erfüllt, so überlagert sich dem Mittelwert noch ein (in diesem Beispiel dreieckförmiges) Fehlersignal.
+*If this condition – as with the filter&nbsp; $\rm B$ – is not fulfilled, an error signal (triangular in this example) is still superimposed on the mean value.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 71: / Line 71: @@
 '''(3)'''&nbsp; Analogous to the subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; for the output signal the following can be recorded:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-*This results in a triangular shape&nbsp; &rArr; &nbsp; fluctuating around the mean&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp;, see bottom graph.
+*This results in a triangular shape fluctuating around the mean&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; see bottom graph.
 *Da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen, gilt für&nbsp; $t = 0,&nbsp; t = 2T,$&nbsp; usw.:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V} =y_{\rm B}(t=0) }.$$

@@ Line 71: / Line 71: @@
 '''(3)'''&nbsp; Analogous to the subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; for the output signal the following can be recorded:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-*Es ergibt sich ein um den Mittelwert This results in a triangular shape&nbsp; &rArr; &nbsp; fluctuating around the mean&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp;, see bottom graph.
+*This results in a triangular shape&nbsp; &rArr; &nbsp; fluctuating around the mean&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp;, see bottom graph.
 *Da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen, gilt für&nbsp; $t = 0,&nbsp; t = 2T,$&nbsp; usw.:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V} =y_{\rm B}(t=0) }.$$

@@ Line 61: / Line 61: @@
-'''(2)'''&nbsp; Der Betragsfrequenzgang lautet&nbsp; $|H_{\rm A}(f)| = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 6T)|.$ &nbsp; Dieser weist Nullstellen im Abstand&nbsp; $1/(6T)$&nbsp; auf.
+'''(2)'''&nbsp; The magnitude of the frequency response is&nbsp; $|H_{\rm A}(f)| = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 6T)|.$ &nbsp; This has zeros at an interval of&nbsp; $1/(6T)$&nbsp;.
-*Somit liegen auch bei&nbsp; $f_0$,&nbsp; $3f_0$,&nbsp; $5f_0$&nbsp; usw. jeweils Nullstellen vor.
+*So, there are also zeros at&nbsp; $f_0$,&nbsp; $3f_0$,&nbsp; $5f_0$&nbsp; etc., respectively.
-*Insbesondere gilt auch&nbsp; $|H_{\rm A}(f = f_0)| \underline{\: = 0}$.
+*In particular,&nbsp; $|H_{\rm A}(f = f_0)| \underline{\: = 0}$ holds, too.
-*Vom Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; bleibt somit nur der Gleichanteil&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; unverändert erhalten.
+*From the spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; only the direct component&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; remains unchanged.
-*Dagegen sind alle anderen Spektrallinien in&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; nicht mehr enthalten.
+*In contrast to this, all other spectral lines in&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; are no longer included.
-  [[File:P_ID836__LZI_Z_1_4_c.png | Grafische Verdeutlichung der Faltungsoperation| rechts|frame]]
+  [[File:P_ID836__LZI_Z_1_4_c.png | Graphical illustration of the convolution operation| rechts|frame]]
-'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; kann man hier für das Ausgangssignal schreiben:
+'''(3)'''&nbsp; Analogous to the subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; for the output signal the following can be recorded:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-*Es ergibt sich ein um den Mittelwert&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp; schwankender dreieckförmiger Verlauf &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe untere Grafik.
+*Es ergibt sich ein um den Mittelwert This results in a triangular shape&nbsp; &rArr; &nbsp; fluctuating around the mean&nbsp; $1 \ \rm V$&nbsp;, see bottom graph.
 *Da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen, gilt für&nbsp; $t = 0,&nbsp; t = 2T,$&nbsp; usw.:
 :$$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V} =y_{\rm B}(t=0) }.$$

@@ Line 57: / Line 57: @@
 *Because of the rectangular function and the duration&nbsp; $6T$&nbsp; this can also be written as follows:
 :$$y_{\rm A}(t) = \frac{1}{6T}\cdot \int_{t-6T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-*It can be seen that this equation gives the same result&nbsp; $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$&nbsp; for allnbsp; $t$&nbsp;.
+*It can be seen that this equation gives the same result&nbsp; $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$&nbsp; for all&nbsp; $t$&nbsp;.

@@ Line 53: / Line 53: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Ausgangssignal ist das Ergebnis der Faltungsoperation zwischen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $h_{\rm A}(t)$:
+'''(1)'''&nbsp; The output signal is the result of the convolution operation between&nbsp; $x(t)$&nbsp; and&nbsp; $h_{\rm A}(t)$:
 :$$y_{\rm A}(t) = x (t) * h_{\rm A} (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau  )}  \cdot h_{\rm A} ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-*Aufgrund der Rechteckfunktion und der Dauer&nbsp; $6T$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Because of the rectangular function and the duration&nbsp; $6T$&nbsp; this can also be written as follows:
 :$$y_{\rm A}(t) = \frac{1}{6T}\cdot \int_{t-6T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-*Man erkennt, dass diese Gleichung für alle&nbsp; $t$&nbsp; das gleiche Ergebnis&nbsp; $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$&nbsp; liefert.
+*It can be seen that this equation gives the same result&nbsp; $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$&nbsp; for allnbsp; $t$&nbsp;.

@@ Line 27: / Line 27: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; von Filter&nbsp; $\rm A$, insbesondere die Werte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = T$.
+{Compute the output signal&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; of the filter&nbsp; $\rm A$, in particular the values at&nbsp; $t = 0$&nbsp; and&nbsp; $t = T$.
 |type="{}"}
 $y_{\rm A}(t = 0) \ =\ $ { 1 3% } &nbsp;$\rm V$
@@ Line 33: / Line 33: @@
-{Geben Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|H_{\rm A}(f)|$&nbsp; an. &nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$? <br>Interpretieren Sie das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
+{Give the absolute value function&nbsp; $|H_{\rm A}(f)|$&nbsp;. &nbsp; What value is obtained at frequency&nbsp; $f = f_0$? <br>Interpret the result of the subtask&nbsp; '''(1)'''.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm A}(f = f_0)| \ =\ $ { 0. }
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_{\rm B}(t)$&nbsp; von Filter&nbsp; $\rm B$, insbesondere die Werte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = T$.
+{Compute the output signal&nbsp; $y_{\rm B}(t)$&nbsp; of the filter&nbsp; $\rm B$, in particular the values at&nbsp; $t = 0$&nbsp; and&nbsp; $t = T$.
 |type="{}"}
 $y_{\rm B}(t = 0) \ =\ $ { 0.8 3% } &nbsp;$\rm V$
@@ Line 44: / Line 44: @@
-{Wie lautet die Betragsfunktion&nbsp; $|H_{\rm B}(f)|$, insbesondere bei den Frequenzen&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 3 · f_0$? <br>Interpretieren Sie damit das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''.
+{What is the absolute value function&nbsp; $|H_{\rm B}(f)|$, especially at frequencies&nbsp; $f = f_0$&nbsp; and&nbsp; $f = 3 · f_0$? <br>Use this to interpret the result of the subtask&nbsp; '''(3)'''.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm B}(f = f_0)| \ =\ $ { 0.127 5%  }

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain}}
-[[File:P_ID834__LZI_Z_1_4.png |right|frame|Periodisches Rechtecksignal und <br>Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort]]
+[[File:P_ID834__LZI_Z_1_4.png |right|frame|Periodic rectangular signal and <br>filter with rectangular impulse response]]
-Wir betrachten das periodische Rechtecksignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gemäß obiger Skizze, dessen Periodendauer&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp; ist.
+We consider the periodic rectangular signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;, whose periodic duration is&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp;, according to the sketch above.
-*Dieses Signal besitzt Spektralanteile bei der Grundfrequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0 = 1/(2T)$&nbsp; und allen ungeradzahligen Vielfachen davon, das heißt bei&nbsp; $3f_0$,&nbsp; $5f_0,$&nbsp; usw. Zusätzlich gibt es einen Gleichanteil.
+*This signal has spectral components at the fundamental frequency&nbsp; $f_0 = 1/T_0 = 1/(2T)$&nbsp; and at all odd multiples thereof, that is, at&nbsp; $3f_0$,&nbsp; $5f_0,$&nbsp; and so on. In addition, there is a direct component.
-*Dazu betrachten wir zwei Filter&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp; mit jeweils rechteckförmiger Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm A}(t)$&nbsp; mit der Dauer&nbsp; $6T$&nbsp; bzw.&nbsp; $h_{\rm B}(t)$&nbsp; mit der Dauer&nbsp; $5T$.
+*For this purpose, we consider two filters&nbsp; $\rm A$&nbsp; and&nbsp; $\rm B$&nbsp; each with rectangular impulse response&nbsp; $h_{\rm A}(t)$&nbsp; with duration&nbsp; $6T$&nbsp; and&nbsp; $h_{\rm B}(t)$&nbsp; with duration&nbsp; $5T$, respectively.
-*Die Höhen der beiden Impulsantworten sind so gewählt, dass die Flächen der Rechtecke jeweils&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
+*The heights of the two impulse responses are such that the areas of the rectangles each add up to&nbsp; $1$&nbsp;.
@@ Line 18: / Line 18: @@
 ''Please note:''
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain|System Description in Time Domain]].
-* Informationen zur Faltung finden Sie im Kapitel&nbsp;  [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|Faltungssatz und Faltungsoperation]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”.
+*For information on convolution, see the chapter&nbsp;  [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|convolution theorem and operation]]&nbsp; in the book "Signal Representation”.
-*Wir verweisen Sie auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der graphischen Faltung]].
+*We also refer you to the interactive applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der graphischen Faltung]].