Aufgaben:Exercise 1.5: Drawing Cards - Revision history

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Guenter at 16:29, 9 November 2019

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; For each card, the probability of an ace is exactly equal&nbsp; $(1/8)$:
+'''(1)'''&nbsp; For each card,&nbsp; the probability of an ace is exactly equal&nbsp; $1/8$:
 :$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Now,&nbsp; using the general multiplication theorem,&nbsp; we obtain:
 :$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
-*The conditional probabilities are computable according to the classical definition.&nbsp;  For this, one obtains&nbsp; $k/m$&nbsp; (with&nbsp; $m$&nbsp; cards, there are still&nbsp; $k$&nbsp; aces in the deck):
+*The conditional probabilities are computable according to the classical definition.&nbsp;  For this,&nbsp; one obtains&nbsp; $k/m$&nbsp; (with&nbsp; $m$&nbsp; cards, there are still&nbsp; $k$&nbsp; aces in the deck):
 :$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
-*We can see: &nbsp;  $p_2$&nbsp; is smaller than&nbsp; $p_1$,, since now the second and third aces are less probable than before.
+*We can see: &nbsp;  $p_2$&nbsp; is smaller than&nbsp; $p_1$,&nbsp; since now the second and third aces are less probable than before.
-'''(3)'''&nbsp; Analogous to subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp;, we obtain here:
+'''(3)'''&nbsp; Analogous to subtask&nbsp; '''(2)''',&nbsp; we obtain here:
 :$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
-'''(4)'''&nbsp; This probability can be expressed as the sum of three probabilities, since the associated events are disjoint:
+'''(4)'''&nbsp; This probability can be expressed as the sum of three probabilities,&nbsp; since the associated events are disjoint:
-:$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
+:$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}with\hspace{-0.1cm}:$$
 ::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 ::$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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 *These probabilities are all the same &ndash; why should it be any different?
-*If you draw exactly one ace from three cards, it is just as likely whether you draw it first, second, or third.
+*If you draw exactly one ace from three cards,&nbsp; it is just as likely whether you draw it first,&nbsp; second, or third.
-*This gives&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$ for the sum.
+*This gives &nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$&nbsp; for the sum.
-'''(5)'''&nbsp; If we define the events&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Exactly $i$ aces are drawn on three cards" with index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; then&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; and&nbsp; $E_3$&nbsp; describe a complete system. Therefore:
+'''(5)'''&nbsp; If we define the events&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Exactly&nbsp; $i$&nbsp; aces are drawn on three cards"&nbsp; with index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; then&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; and&nbsp; $E_3$&nbsp; describe a complete system.&nbsp; Therefore:
 :$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wish result "Three aces"]]
+[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wish result&nbsp;  "Three aces"]]
-From a deck of&nbsp; $32$&nbsp; cards, including four aces, three cards are drawn in succession.
+From a deck of&nbsp; $32$&nbsp; cards,&nbsp; including four aces,&nbsp; three cards are drawn in succession.
-*For subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; it is assumed that after drawing a card it is put back into the deck, then the deck is reshuffled and the next card is drawn.
+*For subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; it is assumed that after drawing a card it is put back into the deck,&nbsp; then the deck is reshuffled and the next card is drawn.
-*In contrast, for the other subtasks starting with&nbsp; '''(2)'''&nbsp; , you are supposed to assume that the three cards are drawn at once ("draw without putting back").
+*In contrast,&nbsp; for the other subtasks starting with&nbsp; '''(2)''',&nbsp;  you are supposed to assume that the three cards are drawn at once&nbsp; ("draw without putting back").
-In the following, we denote by&nbsp; $A_i$&nbsp; the event that the card drawn at time&nbsp; $i$&nbsp; is an ace. Here&nbsp; $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. The complementary event then states that some card other than an ace is drawn at time&nbsp; $i$&nbsp;.
+In the following,&nbsp; we denote by&nbsp; $A_i$&nbsp; the event that the card drawn at time&nbsp; $i$&nbsp; is an ace.&nbsp; Here&nbsp; $i \in \{ 1, 2, 3 \}$.&nbsp; The complementary event then states that some card other than an ace is drawn at time&nbsp; $i$.
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 *The topic of this chapter is illustrated with examples in the&nbsp;  (German language)&nbsp;  learning video
-:[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp; "Statistical dependence and independence".
+::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] &nbsp; $\Rightarrow$ &nbsp; "Statistical dependence and independence".
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 <quiz display=simple>
-{First, consider the case of "drawing with putting back". What is the probability&nbsp; $p_1$, that three aces are drawn?
+{First,&nbsp; consider the case of&nbsp; "drawing with putting back".&nbsp; What is the probability&nbsp; $p_1$,&nbsp; that three aces are drawn?
 |type="{}"}
 $p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
@@ Line 36: / Line 36: @@
 $p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
-{BConsider further the case "drawing without putting back". What is the probability&nbsp; $p_3$ that not a single ace is drawn?
+{Consider further the case&nbsp; "drawing without putting back".&nbsp; What is the probability&nbsp; $p_3$&nbsp; that not a single ace is drawn?
 |type="{}"}
 $p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
-{What is the probability&nbsp; $p_4$ that exactly one ace is drawn
+{What is the probability&nbsp; $p_4$&nbsp; that exactly one ace is drawn
 |type="{}"}
 $p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
-{What is the probability&nbsp; $p_5$ that two of the drawn cards are aces?&nbsp; <br>''Hint'':&nbsp; Consider that the four events „exactly&nbsp; $i$&nbsp; aces are drawn” with&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; describe a complete system.
+{What is the probability&nbsp; $p_5$&nbsp; that two of the drawn cards are aces?&nbsp; <br>Hint:&nbsp; Consider that the four events&nbsp; [exactly&nbsp; $i$&nbsp; aces are drawn]&nbsp; with&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; describe a complete system.
 |type="{}"}
 $p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }

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−	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^1.3 ~~Statistische (Un-)Abhängigkeit~~^]]	+	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^1.3 Statistical Dependence/Independence^]]

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 }}
-[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis "Drei Asse&rdquo;]]
+[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis "Drei Asse"]]
 Aus einem Kartenspiel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
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-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen" mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
 :$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis &bdquo;Drei Asse&rdquo;]]
+[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis "Drei Asse&rdquo;]]
 Aus einem Kartenspiel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
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-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
 :$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie~~\|^1.3 Statistische (Un-)Abhängigkeit^]]	+	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^1.3 Statistische (Un-)Abhängigkeit^]]

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
 *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp;

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig; $(1/8)$:
+'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig;&nbsp; $(1/8)$:
 :$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Nun erh&auml;lt man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
 :$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
-Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar. Man erhält hierfür $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
+*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.&nbsp; Man erhält hierfür&nbsp; $k/m$&nbsp; (bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse im Stapel):
 :$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
-Man erkennt: &nbsp;  $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
+*Man erkennt: &nbsp;  $p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
-'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erh&auml;lt man hier:
+'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erh&auml;lt man hier:
 :$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
 :$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
-:$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
+::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
-:$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
+::$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
-:$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =   Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
+::$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =   Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
-Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?
+*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?
 *Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
-Damit erh&auml;lt man für die Summe $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
+*Damit erh&auml;lt man für die Summe&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse $E_i :=$ &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit den Index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
 :$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}