Aufgaben:Exercise 1.6Z: Ergodic Probabilities - Revision history

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; According to the instruction, &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$&nbsp; and&nbsp; $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$ holds.
+'''(1)'''&nbsp; According to the instruction, &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$&nbsp; and&nbsp; $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$&nbsp; holds.
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 :$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } =  \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }
 = {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
-''Reasoning:''
+Reasoning:
-*The probability&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$&nbsp; has already been calculated in subsection&nbsp; '''(3)'''&nbsp;.
+*The probability&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$&nbsp; has already been calculated in subsection&nbsp; '''(3)'''.
-*Due to stationarity,&nbsp; ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$&nbsp; and&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$ holds.
+*Due to stationarity,&nbsp; ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$&nbsp; and&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$&nbsp; holds.
-*Thus, the value of&nbsp; $5/9$ is obtained for the sought inference probability according to the above equation..
+*Thus,&nbsp; the value of&nbsp; $5/9$ is obtained for the sought inference probability according to the above equation.
-'''(5)'''&nbsp; According to subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp;, with&nbsp; ${p =1/2}$&nbsp; for the probability of&nbsp; $A$&nbsp; in general:
+'''(5)'''&nbsp; According to subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp; with&nbsp; ${p =1/2}$&nbsp; for the probability of&nbsp; $A$&nbsp; in general:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
 *Thus from&nbsp; $ {\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp;  follows&nbsp; $\underline{q =0}$.
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-'''(6)'''&nbsp; In the case of statistical independence, for example, it must hold:
+'''(6)'''&nbsp; In the case of statistical independence,&nbsp; for example,&nbsp; it must hold:
 :$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
 *From this follows &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp; and accordingly &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Markov_Chains}}
-[[File:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binary Markov chain with&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $B$]]
+[[File:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Markov chain with&nbsp; $A$,&nbsp; $B$]]
 We consider a homogeneous stationary first-order Markov chain with events&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $B$&nbsp; and transition probabilities corresponding to the adjacent Markov diagram:
-For subtasks&nbsp; '''(1)'''&nbsp; to&nbsp; '''(4)'''&nbsp;, assume:
+For subtasks&nbsp; '''(1)'''&nbsp; to&nbsp; '''(4)''',&nbsp; assume:
-*Event &nbsp; $A$&nbsp; is followed by&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $B$&nbsp; with equal probability.
+*Event&nbsp; $A$&nbsp; is followed by&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $B$&nbsp; with equal probability.
-*After&nbsp; $B$&nbsp;, event&nbsp; $A$&nbsp; is twice as likely as&nbsp; $B$.
+*After&nbsp; $B$:&nbsp; The event&nbsp; $A$&nbsp; is twice as likely as&nbsp; $B$.
-From subtask&nbsp; '''(5)'''&nbsp; on,&nbsp; $p$&nbsp; and&nbsp; $q$&nbsp; are free parameters, while the event probabilities&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; and&nbsp; ${\rm Pr}(B) = 1/3$&nbsp; are fixed.
+From subtask&nbsp; '''(5)'''&nbsp; on,&nbsp; $p$&nbsp; and&nbsp; $q$&nbsp; are free parameters,&nbsp; while the ergodic probabilities&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; and&nbsp; ${\rm Pr}(B) = 1/3$&nbsp; are fixed.
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 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markov_Chains|Markov Chains]].
-*You can check your results with the interactive applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Event probabilities of a 1st order Markov chain]]&nbsp;.
+*You can check your results with the &nbsp;  (German language)&nbsp; interactive SWF applet
@@ Line 40: / Line 41: @@
 ${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
-{What is the conditional probability that event&nbsp; $B$&nbsp; occurs if event&nbsp; $A$&nbsp; occurred two bars before?
+{What is the conditional probability that event&nbsp; $B$&nbsp; occurs if event&nbsp; $A$&nbsp; occurred two steps before?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
-{What is the inferential probability that event&nbsp; $A$&nbsp; occurred two bars before when event&nbsp; $B$&nbsp; currently occurs?
+{What is the inferential probability that event&nbsp; $A$&nbsp; occurred two steps before,&nbsp; when event&nbsp; $B$&nbsp; currently occurs?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
@@ Line 52: / Line 53: @@
 $q\ = \ $ { 0. }
-{How must the parameters be chosen so that the sequence elements of the Markov chain are statistically independent and additionally&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; gilt?
+{How must the parameters be chosen so that the sequence elements of the Markov chain are statistically independent and additionally&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $p \ = \ $ { 0.667 3% }

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	^]]		^]]

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	^]]		^]]

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markovketten|Markovketten]].
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]&nbsp; überprüfen.

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(No difference)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
+'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$&nbsp; und&nbsp; $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
 '''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
-Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
+*Damit ergibt sich&nbsp; ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
-'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
+'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt&nbsp; $\nu-1$&nbsp; ist keine Aussage getroffen.&nbsp;
 :$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
-= \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
+= {5}/{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
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 = {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
 ''Begründung:''
-*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt '''(3)''' berechnet.
+*Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$&nbsp; wurde bereits im Unterpunkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
-*Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
+*Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt&nbsp; ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
-*Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.
+*Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert&nbsp; $5/9$.
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
-Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.
+*Aus&nbsp; $ {\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; folgt somit&nbsp; $\underline{q =0}$.
 '''(6)'''&nbsp; Im Fall der statistischen Unabh&auml;ngigkeit muss beispielsweise gelten:
 :$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
-Daraus folgt &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp;  und dementsprechend &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
+*Daraus folgt &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp;  und dementsprechend &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
-[[File:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binäre Markovkette]]
+[[File:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binäre Markovkette mit&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$]]
-Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
+Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
-Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird vorausgesetzt:
+Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wird vorausgesetzt:
-*Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
+*Nach dem Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; folgen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
@@ Line 28: / Line 31: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?
+{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $q$?
 |type="{}"}
 $p \ = \ $  { 0.5 3% }
@@ Line 38: / Line 41: @@
 ${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
-{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?
+{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
-{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?
+{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist, wenn aktuell&nbsp; $B$&nbsp; auftritt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
-{Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?
+{Es gelte nun&nbsp; $p = 1/2$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $q$?
 |type="{}"}
 $q\ = \ $ { 0. }
-{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?
+{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $p \ = \ $ { 0.667 3% }