Aufgaben:Exercise 1.6Z: Two Optimal Systems - Revision history

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2019-02-04T16:52:59Z

@@ Line 79: / Line 79: @@
 *Thus, for system&nbsp; $\rm A$,&nbsp; the impulse response&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; is rectangular and the frequency response&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; is sinc-shaped.
 *For system&nbsp; $\rm B$,&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; is rectangular like&nbsp; $G_{s}(f)$&nbsp; and thus the impulse response&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; is an sinc-function.
-*Statement 3 is false: &nbsp;  An in&nbsp; $\rm A$,&nbsp; '''B'''.
+*Statement 3 is false: &nbsp;  An integrator has a rectangular impulse response and would be suitable for the realization of system&nbsp; $\rm A$,&nbsp; but not for system&nbsp; $\rm B$.
-'''(4)'''&nbsp; For system '''B''' $G_{d}(f)$ nearly coincides with $G_{s}(f)$.
+'''(4)'''&nbsp; For system&nbsp; $\rm B$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $G_{d}(f)$&nbsp; nearly coincides with&nbsp; $G_{s}(f)$.
-*There is only a difference in the Nyquist frequency, but this does not affect the considerations here:
+*There is only a difference in the Nyquist frequency,&nbsp; but this does not affect the considerations here:
-*While $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$, $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
+*While&nbsp; $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$,&nbsp; $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
-*This results in a Nyquist system with rolloff factor $r = 0$.
+*This results in a Nyquist system with rolloff factor&nbsp; $r = 0$.
-*From this follows for the Nyquist frequency from the condition that the symbol duration should also be $T = 0.5\ \rm &micro; s$:
+*From this follows for the Nyquist frequency from the condition that the symbol duration should also be&nbsp; $T = 0.5\ \rm &micro; s$:
 :$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 95: / Line 95: @@
   \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f  = G_0^2
   \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
-*Using the results from '''(2)''' and '''(4)''', it follows:
+*Using the results from&nbsp; '''(2)'''&nbsp; and&nbsp; '''(4)''',&nbsp; it follows:
 :$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
   Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}
@@ Line 102: / Line 102: @@
-'''(6)'''&nbsp; <u>Solution 1</u> is correct:
+'''(6)'''&nbsp; <u>Solution 1</u>&nbsp; is correct:
-*System '''A''' represents the optimal system even with peak limitation.
+*System&nbsp; $\rm A$&nbsp; represents the optimal system even with peak limitation.
-*On the other hand, system '''B''' would be unsuitable due to the extremely unfavorable crest factor.
+*On the other hand,&nbsp; system&nbsp; $\rm B$&nbsp; would be unsuitable due to the extremely unfavorable crest factor.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 65: / Line 65: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Both systems operate according to the specification with the same bit rate.
-*The NRZ basic transmission pulse of system '''A''' has the symbol duration $T = 0.5\ \rm &micro; s$.
+*The NRZ basic transmission pulse of system&nbsp; $\rm A$&nbsp; has the symbol duration $T = 0.5\ \rm &micro; s$.
-*This results in the bit rate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
+*This results in the bit rate&nbsp; $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
-'''(2)'''&nbsp; The energy of the NRZ basic transmission pulse of system '''A''' is given by
+'''(2)'''&nbsp; The energy of the NRZ basic transmission pulse of system&nbsp; $\rm A$&nbsp; is given by
 :$$E_{\rm B} =
   \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t  =
@@ Line 75: / Line 75: @@
-'''(3)'''&nbsp; The <u>first two statements are true</u>:
+'''(3)'''&nbsp; The&nbsp; <u>first two statements are true</u>:
-*In both cases $h_{\rm E}(t)$ must be equal in form to $g_{s}(t)$ and $H_{\rm E}(f)$ must be equal in form to $G_{s}(f)$.
+*In both cases&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; must be equal in form to&nbsp; $g_{s}(t)$&nbsp; and&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; must be equal in form to&nbsp; $G_{s}(f)$.
-*Thus, for system '''A''', the impulse response $h_{\rm E}(t)$ is rectangular and the frequency response $H_{\rm E}(f)$ is si-shaped.
+*Thus, for system&nbsp; $\rm A$,&nbsp; the impulse response&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; is rectangular and the frequency response&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; is sinc-shaped.
-*For system '''B''', $H_{\rm E}(f)$ is rectangular like $G_{s}(f)$ and thus the impulse response $h_{\rm E}(t)$ is an si-function.
+*For system&nbsp; $\rm B$,&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; is rectangular like&nbsp; $G_{s}(f)$&nbsp; and thus the impulse response&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; is an sinc-function.
-*Statement 3 is false: &nbsp;  An integrator has a rectangular impulse response and would be suitable for the realization of system '''A''', but not for system '''B'''.
+*Statement 3 is false: &nbsp;  An in&nbsp; $\rm A$,&nbsp; '''B'''.

@@ Line 4: / Line 4: @@
-[[File:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimal systems in the <br>time and frequency domain]]
+[[File:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimal systems in time and frequency domain]]
-Consider two binary transmission systems &nbsp;$\rm A$&nbsp; and &nbsp;$\rm B$&nbsp;, which have the same error behavior for an AWGN channel with noise power density &nbsp;$N_{0}$.&nbsp; In both cases, the bit error probability is:
+Consider two binary transmission systems &nbsp;$\rm A$&nbsp; and &nbsp;$\rm B$,&nbsp; which have the same error behavior for an AWGN channel with noise power density &nbsp;$N_{0}$.&nbsp; In both cases,&nbsp; the bit error probability is:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
 *System &nbsp;$\rm A$&nbsp; uses the NRZ basic transmission pulse &nbsp;$g_{s}(t)$&nbsp; according to the upper sketch with amplitude &nbsp;$s_{0} = 1 \ \rm V$&nbsp; and duration &nbsp;$T = 0.5\ \rm &micro; s$.
-*In contrast, system &nbsp;$\rm B$&nbsp;, which is to operate at the same bit rate as system &nbsp;$\rm A$,&nbsp; has a rectangular basic transmission pulse spectrum:
+*In contrast,&nbsp; system &nbsp;$\rm B$,&nbsp; which is to operate at the same bit rate as system &nbsp;$\rm A$,&nbsp; has a rectangular basic transmission pulse spectrum:
 :$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} G_0   \\
 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Line 21: / Line 21: @@
 Notes:
-''Notes:''
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Optimization_of_Baseband_Transmission_Systems|"Optimization of Baseband Transmission Systems"]].
-*Note that here the pulse amplitude is given in "volts", so that the average energy per bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; has the unit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$.&nbsp;
+*Here,&nbsp; the pulse amplitude is given in&nbsp; "volts",&nbsp; so that the average energy per bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; has the unit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$.&nbsp;
@@ Line 43: / Line 42: @@
 {Which statements are true for the receiver filters of systems &nbsp;$\rm A$&nbsp; and &nbsp;$\rm B$?
 |type="[]"}
-+For system &nbsp;$\rm A$,&nbsp; &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; has a si-shaped curve.
++For system &nbsp;$\rm A$,&nbsp; &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; has a sinc-shaped curve.
-+For system &nbsp;$\rm B$,&nbsp; &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; is an ideal rectangular lowpass filter.
++For system &nbsp;$\rm B$,&nbsp; &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; is an ideal rectangular low-pass filter.
 -$H_{\rm E}(f)$&nbsp; can be realized by an integrator in system &nbsp;$\rm B$.&nbsp;
-{For which cutoff frequency &nbsp;$f_{0}$&nbsp; does system &nbsp;$\rm B$&nbsp; have symbol duration &nbsp;$T$?&nbsp;
+{For which cutoff frequency &nbsp;$f_{0}$&nbsp; does system &nbsp;$\rm B$&nbsp; have the symbol duration &nbsp;$T$?&nbsp;
 |type="{}"}
 $f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$
-{How large should the constant height &nbsp;$G_{0}$&nbsp; of the spectrum of &nbsp;$\rm B$&nbsp; be chosen so that the same energy per bit results as for system &nbsp;$\rm A$?
+{How large should the constant height &nbsp;$G_{0}$&nbsp; of the spectrum &nbsp;$\rm B$&nbsp; be chosen so that the same energy per bit results as for system &nbsp; $\rm A$?
 |type="{}"}
 $G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$

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−	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^1.4 ~~Optimierung der Basisbandsysteme~~^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^1.4 Optimization of Baseband Systems^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Digitalsignalübertragung~~\|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]

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(No difference)

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
 *Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$&nbsp; aufweist.

@@ Line 65: / Line 65: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate. Der NRZ–Sendegrundimpuls von System '''A''' hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm \mu s$. Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
+'''(1)'''&nbsp; Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.
 '''(2)'''&nbsp; Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System '''A''' ergibt sich zu
@@ Line 71: / Line 74: @@
   \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t  =
   s_0^2 \cdot T =  {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
 *In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
-*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. *Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
+*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
-*Die letzte Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckförmige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.
+*Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
-'''(4)'''&nbsp; Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
+'''(4)'''&nbsp; Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
-Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm \mu s$ sein soll:
+*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$.
 :$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-−
 '''(5)'''&nbsp; Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
 :$$E_{\rm B} =
   \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f  = G_0^2
   \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
-Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) folgt daraus:
+*Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' folgt daraus:
 :$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
   Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}

@@ Line 4: / Line 4: @@
-[[File:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich]]
+[[File:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimalsysteme im <br>Zeit- und Frequenzbereich]]
-Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme '''A''' und '''B''', die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte $N_{0}$ das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
+Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$&nbsp;, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_{0}$&nbsp; das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-*Das System '''A''' verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude $s_{0} = 1 \ \rm V$ und der Dauer $T = 0.5\ \mu s$.
+*Das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls &nbsp;$g_{s}(t)$&nbsp; gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude &nbsp;$s_{0} = 1 \ \rm V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$T = 0.5\ \rm &micro; s$.
-*Dagegen besitzt das System '''B''', das mit der gleichen Bitrate wie das System A arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
+*Dagegen besitzt das System &nbsp;$\rm B$&nbsp;, das mit der gleichen Bitrate wie das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
 :$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} G_0   \\
 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Line 16: / Line 16: @@
   |f| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\
 \end{array}$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
-*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.
+*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$&nbsp; aufweist.
@@ Line 33: / Line 37: @@
 $R \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm Mbit/s$
-{Berechnen Sie die Energie pro Bit für das System '''A'''.
+{Berechnen Sie die Energie pro Bit für das System &nbsp;$\rm A$.
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^{2}/Hz$
-{Welche Aussagen gelten für die Empfangsfilter der Systeme '''A''' und '''B'''?
+{Welche Aussagen gelten für die Empfangsfilter der Systeme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$?
 |type="[]"}
-+Bei System '''A''' hat $H_{\rm E}(f)$ einen si–förmigen Verlauf.
++Bei System &nbsp;$\rm A$&nbsp; hat &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; einen si–förmigen Verlauf.
-+Bei System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
++Bei System &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
--$H_{\rm E}(f)$ lässt sich bei System '''B''' durch einen Integrator realisieren.
+-$H_{\rm E}(f)$&nbsp; lässt sich bei System &nbsp;$\rm B$&nbsp; durch einen Integrator realisieren.
-{Für welche Grenzfrequenz $f_{0}$ weist das System '''B''' die Symboldauer $T$ auf?
+{Für welche Grenzfrequenz &nbsp;$f_{0}$&nbsp; weist das System &nbsp;$\rm B$&nbsp; die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$
-{Wie groß ist die konstante Höhe $G_{0}$ des Spektrums von '''B''' zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System '''A'''?
+{Wie groß ist die konstante Höhe &nbsp;$G_{0}$&nbsp; des Spektrums von &nbsp;$\rm B$&nbsp; zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System &nbsp;$\rm A$?
 |type="{}"}
 $G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$
@@ Line 53: / Line 57: @@
 {Wäre eines der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?
 |type="[]"}
-+System '''A''',
++System &nbsp;$\rm A$,
-- System '''B'''.
+- System &nbsp;$\rm B$.