Aufgaben:Exercise 2.7: C Programs "z1" and "z2" - Revision history

Guenter at 13:33, 29 December 2021

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Guenter at 12:53, 29 December 2021

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Noah at 08:57, 21 December 2021

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Noah at 08:50, 21 December 2021

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; After the first iteration of the loop&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; the variable&nbsp; $\text{sum = 0.2}$, at the next iteration&nbsp; $(m = 1)$&nbsp; holds&nbsp; $\text{sum = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.
+'''(1)'''&nbsp; After the first iteration of the loop&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; the variable&nbsp; $\text{sum = 0.2}$,&nbsp; at the next iteration&nbsp; $(m = 1)$&nbsp; holds&nbsp; $\text{sum = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.
-*In both cases, therefore, the variable&nbsp; $\text{sum} < x = 0.75$.&nbsp;
+*In both cases:&nbsp;  $\text{sum}$&nbsp; is less than&nbsp; $x = 0.75$.&nbsp;
-*Only when&nbsp; $m = 2$&nbsp; is the return '''(bin hier nicht sicher)''' condition satisfied: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Thus&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
+*Only at&nbsp; $m = 2$&nbsp; the return  condition is satisfied: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Thus&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
-'''(2)'''&nbsp; The correct solutions are <u>solutions 2 and 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>solutions 2 and 3</u>:
-*Were we to dispense with the auxiliary variable&nbsp; $x$&nbsp; and write in line 8 instead&nbsp; $\text{sum > random()}$&nbsp; a new random value would be generated on each iteration of the loop, and&nbsp; $z1$&nbsp; would then not have the desired properties.
+*If one were to dispense with the auxiliary variable&nbsp; $x$&nbsp; and write in line 8 instead&nbsp; "$\text{sum > random()}$"&nbsp; a new random value would be generated on each iteration of the loop,&nbsp; and&nbsp; $z1$&nbsp; would then not have the desired properties.
-*$z1$&nbsp; works according to the diagram on the page "Generation of multistage random variables" in the theory section.&nbsp; There you find a much faster implementation for the case of equal probabilities&nbsp; $(1/M)$.
+*$z1$&nbsp; works according to the diagram on the page "Generation of multilevel random variables" in the theory section.&nbsp; There you find a faster implementation for the case of equal probabilities&nbsp; $(1/M)$.
-*In the first run&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; in this case the return condition is not satisfied due to the less/equal&ndash;query;&nbsp; the output value is actually&nbsp; $z1 = 1$.
+*In this case:&nbsp; In the first run&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; the return condition is not satisfied due to the&nbsp; "Lesser/Equal"&nbsp; query;&nbsp; the output value is actually&nbsp; $z1 = 1$.
-'''(3)'''&nbsp; The correct <u>solutions are 1, 3, and 4</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>solutions 1,&nbsp; 3,&nbsp; and&nbsp; 4</u>:
-*It results in a binomially distributed random variable, with the set of values&nbsp; $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
+*It results in a binomially distributed random variable,&nbsp; with&nbsp; $z2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
-*For the calculation of the probability ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; one needs the mathematical library.
+*For the calculation of the probability&nbsp; ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; one needs the mathematical library.
-*But exponentiation could also be realized by&nbsp; $I$&ndash;fold multiplication.
+*But exponentiation could also be realized by by multiplying &nbsp; $I$&nbsp; times.
-'''(4)'''&nbsp; Because of line 6, the field element&nbsp; $\text{p_array[0]}$&nbsp; before the program loop&nbsp; $(i = 0)$&nbsp; contains the value&nbsp; $(1 -p)^{I}$.&nbsp;
+'''(4)'''&nbsp; Because of line 6,&nbsp; before the program loop&nbsp; $(i = 0)$&nbsp;the field element&nbsp; $\text{p_array[0]}=(1 -p)^{I}$.&nbsp;
 *In the first iteration&nbsp; $(i = 1)$&nbsp; the following value is entered:
 :$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
-*In the second iteration&nbsp; $(i = 2)$&nbsp; the probability for the result "$z2=2$" is calculated:
+*In the second iteration&nbsp; $(i = 2)$&nbsp; the probability for the result&nbsp; "$z2=2$"&nbsp; is calculated:
 :$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$

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 *A second function&nbsp; $z2$&nbsp; (source code see below)&nbsp; returns a special probability distribution specified by the two parameters&nbsp; $I$&nbsp; and&nbsp; $p$.&nbsp; This is done using the function&nbsp; $z1$.
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 Hints:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables|Generation of Discrete Random Variables]].
-*In particular, reference is made to the page&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables#Generation_of_multistage.28.3F.29_random_variables|Generation of multistage random variables]]&nbsp;.
+*In particular, reference is made to the page&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables#Generation_of_multilevel_random_variables|Generation of multilevel random variables]].
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 <quiz display=simple>
-{It is valid&nbsp; $M=4$&nbsp; and&nbsp; $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
+{It is valid:&nbsp; $M=4$,&nbsp; &nbsp; $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
-<br>What result does the function&nbsp; $z1$ return if the random function returns the&nbsp; value $x = 0.75$&nbsp; ?
+<br>What result does the function&nbsp; $z1$&nbsp; return if the random function returns the&nbsp; value&nbsp; $x = 0.75$&nbsp; ?
 |type="{}"}
 $z1 \ = \ $ { 2 }
@@ Line 34: / Line 31: @@
 |type="[]"}
 - You could omit the assignment&nbsp; $\text{x = random()}$&nbsp; in line 5 and compare directly with&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; in line 8.
-+ If all passed probabilities are equal, there would be faster program realizations than&nbsp; $z1$.
++ If all probabilities passed  to the function are equal,&nbsp; there would be faster program realizations than&nbsp; $z1$.
 + The return value&nbsp; $\text{random() = 0.2}$&nbsp; leads to the result&nbsp; $z1= 1$.
-{Which of the following statements are true regarding $z2?
+{Which of the following statements are true regarding&nbsp; $z2$&nbsp;?
 |type="[]"}
-+ The program generates a <i>binomially distributed</i>&nbsp; random variable.
++ The program generates a&nbsp;  "binomially distributed random variable".
-- The program generates a <i>poisson distributed</i>&nbsp; random variable.
+- The program generates a&nbsp; "Poisson distributed random variable".
-+ With&nbsp; $I = 4$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $z2$&nbsp; the values&nbsp; $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$&nbsp; are possible.
++ With&nbsp; $I = 4$&nbsp;  the values&nbsp; $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$&nbsp; are possible for&nbsp; $z2$.
-+ The inclusion of the mathematical library "'''math.h'''" is required because in&nbsp; $z2$&nbsp; the function "'''pow'''"  (exponentiate) is used.
++ The inclusion of the mathematical library&nbsp; "'''math.h'''"&nbsp; is required because in&nbsp; $z2$&nbsp; the function&nbsp; "'''pow'''"&nbsp;  ("exponentiate")&nbsp; is used  in&nbsp; $z2$.
-{What value is in &nbsp;$\text{p_array[2]}$&nbsp; when called with&nbsp; $I = 4$&nbsp; and&nbsp; $p = 0.25$?
+{What value has &nbsp;$\text{p_array[2]}$&nbsp; when the function&nbsp; $z2$&nbsp; is called with the parameters &nbsp; $I = 4$&nbsp; and&nbsp; $p = 0.25$?
 |type="{}"}
 $\text{p_array[2]} \ = \ $ { 0.211 3% }

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 The two C programs given here are suitable for generating discrete random variables:
-* The function&nbsp; $z1$&nbsp; generates an&nbsp; $M$&ndash;stepped random variable with the value set&nbsp; $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.&nbsp; The associated probabilities are passed in the array&nbsp; $\text{p_array}$&nbsp; with property "Float"&nbsp; The function&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; returns equally distributed float&ndash;random variables&nbsp; between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $1$.
+* The function&nbsp; $z1$&nbsp; generates an&nbsp; $M$&ndash;level random variable with the value set&nbsp; $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.&nbsp; The associated probabilities are passed in the array&nbsp; $\text{p_array}$&nbsp; with property&nbsp; "Float"&nbsp; The function&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; returns equally distributed float&ndash;random variables&nbsp; between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $1$.
 *A second function&nbsp; $z2$&nbsp; (source code see below)&nbsp; returns a special probability distribution specified by the two parameters&nbsp; $I$&nbsp; and&nbsp; $p$.&nbsp; This is done using the function&nbsp; $z1$.

@@ Line 26: / Line 26: @@
 <quiz display=simple>
-{Es gelte&nbsp; $M=4$&nbsp; und&nbsp; $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
+{It is valid&nbsp; $M=4$&nbsp; and&nbsp; $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
-<br>Welches Ergebnis liefert die Funktion&nbsp; $z1$, wenn die Randomfunktion den&nbsp; Wert $x = 0.75$&nbsp; zur&uuml;ckgibt?
+<br>What result does the function&nbsp; $z1$ return if the random function returns the&nbsp; value $x = 0.75$&nbsp; ?
 |type="{}"}
-$z1 \ = \ $  { 2 }
+$z1 \ = \ $ { 2 }
-{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich&nbsp; $z1$&nbsp; zutreffend?
+{Which of the following statements are true regarding&nbsp; $z1$&nbsp;?
 |type="[]"}
-- Man könnte auf die Zuweisung&nbsp; $\text{x = random()}$&nbsp;  in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit&nbsp;  $\text{random()}$&nbsp; vergleichen.
+- You could omit the assignment&nbsp; $\text{x = random()}$&nbsp; in line 5 and compare directly with&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; in line 8.
-+ Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich, so g&auml;be es schnellere Programmrealisierungen als&nbsp; $z1$.
++ If all passed probabilities are equal, there would be faster program realizations than&nbsp; $z1$.
-+ Der R&uuml;ckgabewert&nbsp; $\text{random() = 0.2}$&nbsp; f&uuml;hrt zum Ergebnis&nbsp; $z1= 1$.
++ The return value&nbsp; $\text{random() = 0.2}$&nbsp; leads to the result&nbsp; $z1= 1$.
-{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich&nbsp; $z2$&nbsp; zutreffend?
+{Which of the following statements are true regarding $z2?
 |type="[]"}
-+ Das Programm erzeugt eine <i>binomialverteilte</i>&nbsp; Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
++ The program generates a <i>binomially distributed</i>&nbsp; random variable.
--  Das Programm erzeugt eine <i>poissonverteilte</i>&nbsp; Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+- The program generates a <i>poisson distributed</i>&nbsp; random variable.
-+ Mit&nbsp; $I = 4$&nbsp; sind f&uuml;r&nbsp; $z2$&nbsp; die Werte&nbsp; $0, \ 1, \ 2, \ 3,  \ 4$&nbsp; m&ouml;glich.
++ With&nbsp; $I = 4$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $z2$&nbsp; the values&nbsp; $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$&nbsp; are possible.
-+ Das Einbinden der mathematischen Bibliothek "'''math.h'''" ist erforderlich, da in&nbsp; $z2$&nbsp; die Funktion "'''pow'''"  (Potenzieren) verwendet wird.
++ The inclusion of the mathematical library "'''math.h'''" is required because in&nbsp; $z2$&nbsp; the function "'''pow'''"  (exponentiate) is used.
-{Welcher Wert steht  in &nbsp;$\text{p_array[2]}$&nbsp; beim Aufruf mit&nbsp; $I = 4$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.25$?
+{What value is in &nbsp;$\text{p_array[2]}$&nbsp; when called with&nbsp; $I = 4$&nbsp; and&nbsp; $p = 0.25$?
 |type="{}"}
-$\text{p_array[2]} \ =  \ $  { 0.211 3% }
+$\text{p_array[2]} \ = \ $ { 0.211 3% }
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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Nach dem ersten Schleifendurchlauf&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; ist die Variable&nbsp; $\text{summe = 0.2}$, beim n&auml;chsten&nbsp; $(m = 1)$&nbsp; gilt&nbsp; $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.
+'''(1)'''&nbsp; After the first iteration of the loop&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; the variable&nbsp; $\text{sum = 0.2}$, at the next iteration&nbsp; $(m = 1)$&nbsp; holds&nbsp; $\text{sum = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.
-*In beiden F&auml;llen ist somit die Variable&nbsp; $\text{summe} < x = 0.75$.&nbsp;
+*In both cases, therefore, the variable&nbsp; $\text{sum} < x = 0.75$.&nbsp;
-*Erst bei&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die R&uuml;cksprungbedingung erf&uuml;llt: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Somit ist&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
+*Only when&nbsp; $m = 2$&nbsp; is the return '''(bin hier nicht sicher)''' condition satisfied: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Thus&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; The correct solutions are <u>solutions 2 and 3</u>:
-*W&uuml;rde man auf die Hilfsvariable&nbsp; $x$&nbsp; verzichten und in Zeile 8 dafür&nbsp; $\text{summe > random()}$&nbsp; schreiben, so w&uuml;rde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und&nbsp; $z1$&nbsp; h&auml;tte dann nicht die gew&uuml;nschten Eigenschaften.
+*Were we to dispense with the auxiliary variable&nbsp; $x$&nbsp; and write in line 8 instead&nbsp; $\text{sum > random()}$&nbsp; a new random value would be generated on each iteration of the loop, and&nbsp; $z1$&nbsp; would then not have the desired properties.
-*$z1$&nbsp; arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.&nbsp; Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung f&uuml;r den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $(1/M)$.
+*$z1$&nbsp; works according to the diagram on the page "Generation of multistage random variables" in the theory section.&nbsp; There you find a much faster implementation for the case of equal probabilities&nbsp; $(1/M)$.
-*Im ersten Durchlauf&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; ist in diesem Fall die R&uuml;cksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich&ndash;Abfrage nicht erf&uuml;llt;&nbsp; der Ausgabewert ist tatsächlich&nbsp; $z1 = 1$.
+*In the first run&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; in this case the return condition is not satisfied due to the less/equal&ndash;query;&nbsp; the output value is actually&nbsp; $z1 = 1$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
+'''(3)'''&nbsp; The correct <u>solutions are 1, 3, and 4</u>:
-*Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e, und zwar mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
+*It results in a binomially distributed random variable, with the set of values&nbsp; $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
-*F&uuml;r die Berechnung der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; ben&ouml;tigt man hier die mathematische Bibliothek.
+*For the calculation of the probability ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; one needs the mathematical library.
-*Das Potenzieren k&ouml;nnte aber auch durch&nbsp; $I$&ndash;fache Multiplikation realisiert werden.
+*But exponentiation could also be realized by&nbsp; $I$&ndash;fold multiplication.
-'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement&nbsp; $\text{p_array[0]}$&nbsp; vor der Programmschleife&nbsp;  $(i = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $(1 -p)^{I}$.&nbsp;
+'''(4)'''&nbsp; Because of line 6, the field element&nbsp; $\text{p_array[0]}$&nbsp; before the program loop&nbsp; $(i = 0)$&nbsp; contains the value&nbsp; $(1 -p)^{I}$.&nbsp;
-*Im ersten Schleifendurchlauf&nbsp; $(i = 1)$&nbsp; wird folgender Wert eingetragen:
+*In the first iteration&nbsp; $(i = 1)$&nbsp; the following value is entered:
-:$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}=   I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
+:$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
-*Im zweiten Schleifendurchlauf&nbsp;  $(i = 2)$&nbsp; wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis  "$z2=2$" berechnet:
+*In the second iteration&nbsp; $(i = 2)$&nbsp; the probability for the result "$z2=2$" is calculated:
-:$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}=  \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot  p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
+:$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
-*Für&nbsp; $I= 4$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man folgenden Zahlenwert &nbsp; &rArr; &nbsp; "$4$&nbsp; über &nbsp;$2$" &nbsp; $=6$:
+*For&nbsp; $I= 4$&nbsp; and&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; we get the following numerical value &nbsp; &rArr; &nbsp; "$4$&nbsp; over &nbsp;$2$" &nbsp; $=6$:
 :$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16}
 \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$

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-{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen
+{{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables
 }}
-[[File:P_ID122__Sto_A_2_7.png|right|frame|C-Programme zur Erzeugung <br>diskreter Zufallsgrößen]]
+[[File:P_ID122__Sto_A_2_7.png|right|frame|C programs for generating <br>discrete random variables]]
-Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgr&ouml;&szlig;en:
+The two C programs given here are suitable for generating discrete random variables:
-* Die Funktion&nbsp; $z1$&nbsp; erzeugt eine&nbsp; $M$&ndash;stufige Zufallsgr&ouml;&szlig;e mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.&nbsp; Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array&nbsp; $\text{p_array}$&nbsp; mit der Eigenschaft "Float" &uuml;bergeben.&nbsp; Die Funktion&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; liefert gleichverteilte Float&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;en zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
+* The function&nbsp; $z1$&nbsp; generates an&nbsp; $M$&ndash;stepped random variable with the value set&nbsp; $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.&nbsp; The associated probabilities are passed in the array&nbsp; $\text{p_array}$&nbsp; with property "Float"&nbsp; The function&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; returns equally distributed float&ndash;random variables&nbsp; between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $1$.
-*Eine zweite Funktion&nbsp; $z2$&nbsp; (Quelltext siehe unten)&nbsp; liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; festgelegt ist.&nbsp; Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion&nbsp; $z1$.
+*A second function&nbsp; $z2$&nbsp; (source code see below)&nbsp; returns a special probability distribution specified by the two parameters&nbsp; $I$&nbsp; and&nbsp; $p$.&nbsp; This is done using the function&nbsp; $z1$.
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-''Hinweise:''
+Hints:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables|Generation of Discrete Random Variables]].
-*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen#Erzeugung_mehrstufiger_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen]] Bezug&nbsp; genommen.
+*In particular, reference is made to the page&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generation_of_Discrete_Random_Variables#Generation_of_multistage.28.3F.29_random_variables|Generation of multistage random variables]]&nbsp;.
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>

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−	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^2.5 ~~Erzeugung diskreter Zufallsgrößen~~^]]	+	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^2.5 Generation of Discrete Random Variables^]]

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 Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgr&ouml;&szlig;en:
-* Die Funktion&nbsp; $z1$&nbsp; erzeugt eine&nbsp; $M$&ndash;stufige Zufallsgr&ouml;&szlig;e mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.&nbsp; Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array&nbsp; $\text{p_array}$&nbsp; mit der Eigenschaft &bdquo;Float&rdquo; &uuml;bergeben.&nbsp; Die Funktion&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; liefert gleichverteilte Float&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;en zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
+* Die Funktion&nbsp; $z1$&nbsp; erzeugt eine&nbsp; $M$&ndash;stufige Zufallsgr&ouml;&szlig;e mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.&nbsp; Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array&nbsp; $\text{p_array}$&nbsp; mit der Eigenschaft &bdquo;Float" &uuml;bergeben.&nbsp; Die Funktion&nbsp; $\text{random()}$&nbsp; liefert gleichverteilte Float&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;en zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
 *Eine zweite Funktion&nbsp; $z2$&nbsp; (Quelltext siehe unten)&nbsp; liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; festgelegt ist.&nbsp; Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion&nbsp; $z1$.
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 -  Das Programm erzeugt eine <i>poissonverteilte</i>&nbsp; Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
 + Mit&nbsp; $I = 4$&nbsp; sind f&uuml;r&nbsp; $z2$&nbsp; die Werte&nbsp; $0, \ 1, \ 2, \ 3,  \ 4$&nbsp; m&ouml;glich.
-+ Das Einbinden der mathematischen Bibliothek &bdquo;'''math.h'''&rdquo; ist erforderlich, da in&nbsp; $z2$&nbsp; die Funktion &bdquo;'''pow'''&rdquo;  (Potenzieren) verwendet wird.
++ Das Einbinden der mathematischen Bibliothek &bdquo;'''math.h'''" ist erforderlich, da in&nbsp; $z2$&nbsp; die Funktion &bdquo;'''pow'''"  (Potenzieren) verwendet wird.
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 :$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}=   I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
-*Im zweiten Schleifendurchlauf&nbsp;  $(i = 2)$&nbsp; wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis  &bdquo;$z2=2$&rdquo; berechnet:
+*Im zweiten Schleifendurchlauf&nbsp;  $(i = 2)$&nbsp; wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis  &bdquo;$z2=2$" berechnet:
 :$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}=  \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot  p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
-*Für&nbsp; $I= 4$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man folgenden Zahlenwert &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;$4$&nbsp; über &nbsp;$2$&rdquo; &nbsp; $=6$:
+*Für&nbsp; $I= 4$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man folgenden Zahlenwert &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;$4$&nbsp; über &nbsp;$2$" &nbsp; $=6$:
 :$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16}
 \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$

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