Aufgaben:Exercise 3.10: Maximum Likelihood Tree Diagram - Revision history

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; The left graph shows the tree diagram (without noise) with all final values. Highlighted in green is the curve $i_0(t)/E_{\rm B}$ with the final result $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, which first rises linearly to $+1$ &ndash; the first bit of $s_0(t)$ and $s_3(t)$ in each case coincide &ndash; and then falls off over two bit durations.
+'''(1)'''&nbsp; The left graph shows the tree diagram&nbsp; (without noise)&nbsp; with all final values.&nbsp; Highlighted in green is the curve&nbsp; $i_0(t)/E_{\rm B}$&nbsp; with the final result&nbsp; $I_0/E_{\rm B} = \ -1$,&nbsp; which first rises linearly to&nbsp; $+1$&nbsp; $($the first bit of&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; and&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; in each case coincide$)$&nbsp; and then falls off over two bit durations.
 [[File:EN_Dig_A_3_10_ML.png|right|frame|Tree diagram of the correlation receiver]]
 The correct results are thus:
 :$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$
 :$$I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, $$
@@ Line 74: / Line 75: @@
 :$$I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Only the <u>second statement</u> is true:
+'''(2)'''&nbsp; Only the&nbsp; <u>second solution</u>&nbsp; is correct:
-*Since now the possible transmitted signals $s_i(t)$ can no longer be composed of isolated  horizontal sections, also the tree diagram without noise does not consist of straight line segments.
+*In the presence of noises,&nbsp; the functions&nbsp; $i_i(t)$&nbsp; no longer increase or decrease linearly,&nbsp; but have a curve as shown in the right graph.
-*Since the energies $E_i$ are different &ndash; this can be seen, for example, by comparing the (red) signals $s_0(t)$ and $s_2(t)$ &ndash; it is essential to use the corrected quantities $W_i$ for the decision.
+*As long as&nbsp; $I_3 > I_{\it i&ne;3}$,&nbsp; the correlation receiver decides correctly.
-*The use of the pure correlation values $I_i$ can already lead to wrong decisions without noise disturbances.
+*In the presence of noise,&nbsp; $I_0 &ne; I_6$&nbsp; always holds,&nbsp; in contrast to the noise-free tree diagram.
-'''(4)'''&nbsp; <u>Answer 1</u> is correct:
+'''(4)'''&nbsp; <u>Answer 1</u>&nbsp; is correct:
-*In the case <u>without intersymbol interference</u> (blue rectangular signals), all signals are limited to the range $0 \ ... \ 3T$.
+*In the case&nbsp; <u>without intersymbol interference</u>&nbsp; (blue rectangular signals),&nbsp; all signals are limited to the range&nbsp; $0 \ ... \ 3T$.
-*Outside this range the received signal $r(t)$ is pure noise.
+*Outside this range the received signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; is pure noise.&nbsp; Therefore in this case also the integration over the range&nbsp; $0 \ \text{...} \ 3T$.
-*Therefore in this case also the integration over the range $0 \ \text{...} \ 3T$.
+*In contrast,&nbsp; when intersymbol interference&nbsp; (red signals)&nbsp; is taken into account,&nbsp; the integrands&nbsp; $s_3(t) \cdot s_i(t)$&nbsp; also differ outside this range.
-*In contrast, when intersymbol interference (red signals) is taken into account, the integrands $s_3(t) \cdot s_i(t)$ also differ outside this range.
+*Therefore,&nbsp; if&nbsp; $t_1 = \ -T$&nbsp; and&nbsp; $t_2 = +4T$&nbsp; are chosen,&nbsp; the error probability of the correlation receiver is further reduced compared to the integration range&nbsp; $0 \ \text{...} \ 3T$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[File:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signals and tree diagram]]
-As in &nbsp;[[Aufgaben:Exercise_3.09:_Correlation_Receiver_for_Unipolar_Signaling|"Exercise 3.9"]]&nbsp; we consider the joint decision of three binary symbols (bits) by means of the correlation receiver.
+As in &nbsp;[[Aufgaben:Exercise_3.09:_Correlation_Receiver_for_Unipolar_Signaling|"Exercise 3.9"]]&nbsp; we consider the joint decision of three binary symbols&nbsp; ("bits")&nbsp; by means of the correlation receiver.
 *The possible transmitted signals &nbsp;$s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$&nbsp; are bipolar.
 *In the graphic the functions &nbsp;$s_0(t)$, &nbsp;$s_1(t)$, &nbsp;$s_2(t)$&nbsp; and &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; are shown.
 *The blue curves are valid for rectangular NRZ transmission pulses.
-Below is drawn the so-called tree diagram for this constellation under the condition that the signal &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; was transmitted. Shown here in the range from &nbsp;$0$&nbsp; to &nbsp;$3T$&nbsp; are the functions
+Below is drawn the so-called&nbsp; "tree diagram"&nbsp; for this constellation under the condition that the signal &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; was sent.&nbsp; Shown here in the range from &nbsp;$0$&nbsp; to &nbsp;$3T$&nbsp; are the functions
 :$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \  , 7)\hspace{0.05cm}.$$
 *The correlation receiver compares the final values &nbsp;$I_i = i_i(3T)$&nbsp; with each other and searches for the largest possible value &nbsp;$I_j$.
 *The corresponding signal &nbsp;$s_j(t)$&nbsp; is then the one most likely to have been sent according to the maximum likelihood criterion.
-Note that the correlation receiver generally makes the decision based on the corrected quantities &nbsp;$W_i = I_i \ - E_i/2$.&nbsp; But since for bipolar rectangles all transmitted signals &nbsp;$(i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7)$&nbsp; have exactly the same energy
+:the integrals &nbsp;$I_i$&nbsp; provide exactly the same maximum likelihood information as the corrected quantities &nbsp;$W_i$.
 The red signal waveforms &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; are obtained from the blue ones by convolution with the impulse response &nbsp;$h_{\rm G}(t)$&nbsp; of a Gaussian low-pass filter with cutoff frequency &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
 *Each individual rectangular pulse is broadened.
-''Note:''
+Note:&nbsp; The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Optimal_Receiver_Strategies|"Optimal Receiver Strategies"]].
@@ Line 39: / Line 39: @@
 ===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Give the following normalized final values &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; for rectangular signals (without noise).
+{Give the following normalized final values &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; for rectangular signals&nbsp; $($without noise$)$.
 |type="{}"}
 $I_0/E_{\rm B} \ = \ $  { -1.03--0.97 }
@@ Line 49: / Line 49: @@
 |type="[]"}
 - The tree diagram can be further described by straight line segments.
-+ If &nbsp;$I_3$&nbsp; is the maximum $I_i$ value, the receiver decides correctly.
++ If &nbsp;$I_3$&nbsp; is the maximum&nbsp; $I_i$&nbsp; value,&nbsp; the receiver decides correctly.
-- &nbsp;$I_0 = I_6$ is valid independent of the strength of the noise.
+- &nbsp;$I_0 = I_6$&nbsp; is valid independent of the strength of the noise.
-{Which statements are valid for the red signal waveforms (with intersymbol interference)?
+{Which statements are valid for the red signal waveforms&nbsp; $($with intersymbol interference$)$?
 |type="[]"}
 - The tree diagram can be further described by straight line segments.

@@ Line 67: / Line 67: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; The left graph shows the tree diagram (without noise) with all final values. Highlighted in green is the curve $i_0(t)/E_{\rm B}$ with the final result $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, which first rises linearly to $+1$ &ndash; the first bit of $s_0(t)$ and $s_3(t)$ in each case coincide &ndash; and then falls off over two bit durations.
-[[File:P_ID1466__Dig_A_3_10.png|right|frame|Tree diagram of the correlation receiver]]
+[[File:EN_Dig_A_3_10_ML.png|right|frame|Tree diagram of the correlation receiver]]
 The correct results are thus:
 :$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$

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 '''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend:
 *Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.
-*Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
+*Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der (roten) Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
 *Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
-Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
+*Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
 *Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar.
 *Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ \text{...} \ 3T$.

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 [[File:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
-Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
+Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:Aufgabe_3.09:_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
 *Die möglichen Sendesignale &nbsp;$s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$&nbsp; seien bipolar.
 *In der Grafik sind die Funktionen &nbsp;$s_0(t)$, &nbsp;$s_1(t)$, &nbsp;$s_2(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; dargestellt.

@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[File:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
-Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe 3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse.
+Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
 Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
 :$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \  , 7)\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$.
+*Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte &nbsp;$I_i = i_i(3T)$&nbsp; miteinander und sucht den größtmöglichen Wert &nbsp;$I_j$.
-*Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
+*Das zugehörige Signal &nbsp;$s_j(t)$&nbsp; ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
-Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ &ndash; E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7$) die genau gleiche Energie
+Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen &nbsp;$W_i = I_i \ - E_i/2$&nbsp; trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale &nbsp;$(i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7)$&nbsp; die genau gleiche Energie
 :$$E_i  =  \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$
-aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.
+aufweisen, liefern die Integrale &nbsp;$I_i$&nbsp; genau die gleichen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen &nbsp;$W_i$.
-Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
+Die roten Signalverläufe &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm G}(t)$&nbsp; eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
 *Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.
 *Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu  Impulsinterferenzen.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].
@@ Line 31: / Line 39: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
+{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
 |type="{}"}
 $I_0/E_{\rm B} \ = \ $  { -1.03--0.97 }
@@ Line 41: / Line 49: @@
 |type="[]"}
 - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
-+ Ist $I_3$ der maximale $I_i$&ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
++ Ist &nbsp;$I_3$&nbsp; der maximale $I_i$&ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
-- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.
+- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen &nbsp;$I_0 = I_6$.
 {Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
 |type="[]"}
 - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
-+ Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ \text{...} \ ,  7$) sind unterschiedlich.
++ Die Signalenergien &nbsp;$E_i(i = 0, \ \text{...} \ ,  7$)&nbsp; sind unterschiedlich.
-- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.
+- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen &nbsp;$I_i$&nbsp; als auch &nbsp;$W_i$&nbsp; geeignet.
-{Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1 \ \text{...} \ t_2$) gewählt werden?
+{Wie sollte der Intergrationsbereich &nbsp;$(t_1 \ \text{...} \ t_2)$&nbsp; gewählt werden?
 |type="[]"}
-+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
++ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
-- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
+- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
 </quiz>