Aufgaben:Exercise 3.10: Noise Power Calculation - Revision history

Reed at 17:00, 17 March 2022

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Reed: /* Solution */

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Solution

Reed at 16:43, 17 March 2022

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Reed: /* Questions */

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Questions

Reed at 16:39, 17 March 2022

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Reed at 16:37, 17 March 2022

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Guenter at 13:38, 16 March 2022

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 }}
-[[File:P_ID1115__Mod_A_3_9.png|right|frame|Rauschleistungsdichten von PM und FM]]
+[[File:P_ID1115__Mod_A_3_9.png|right|frame|Noise power densities of PM and FM]]
 Consider the phase and frequency modulation of a cosine oscillation with frequency &nbsp; $f_{\rm N}$.&nbsp; .  First, let the message frequency be &nbsp;$f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; and the modulation index (phase deviation) be &nbsp;$η = 5$.

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis&nbsp; (Sinken–SNR)&nbsp; $ \rho_{v }$&nbsp; ist der Quotient aus Nutzleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; und Rauschleistung&nbsp; $P_{\rm R}$.&nbsp; Für die  Phasenmodulation gilt:
+'''(1)'''&nbsp; The signal-to-noise power ratio (sink SNR)  $ \rho_{v }$&nbsp; is the quotient of useful power&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; and noise power&nbsp; $P_{\rm R}$.&nbsp; For phase modulation, it is:
 :$$ \rho_{v } = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm R}} = \frac{P_{\rm S}}{{\it \Phi}_0 \cdot 2 f_{\rm N} } =\frac{\eta^2}{2} \cdot \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} }\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Messung mit&nbsp; $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; hat das SNR&nbsp; $ \rho_{v } = 10^5$&nbsp; $($entsprechend&nbsp; $10 · \lg ρ_v  =50\ \rm dB)$&nbsp; ergeben.
+*The measurement with&nbsp; $f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; gives the SNR&nbsp; $ \rho_{v } = 10^5$&nbsp; $($corresponding to &nbsp; $10 · \lg ρ_v  =50\ \rm dB)$&nbsp;.
-*Die doppelte Nachrichtenfrequenz führt zum halben SNR, da nun die doppelte Rauschleistung wirksam ist:
+*Doubling the message frequency results in half the SNR, since twice the noise power is now effective:
 :$$ \rho_{v }= 0.5 \cdot 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 46.99\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Ergebnis lässt sich auch über die Beziehung &nbsp;$ρ_v = η^2/2 · ξ$&nbsp; herleiten.
+This result can also be derived using the relationship &nbsp;$ρ_v = η^2/2 · ξ$&nbsp;.
-*Bei Phasenmodulation ist&nbsp; $η$&nbsp; unabhängig von der Nachrichtenfrequenz.
+*For phase modulation, &nbsp; $η$&nbsp; is independent of the message frequency.
-*Der SNR–Verlust geht darauf zurück, dass nun die Leistungskenngröße &nbsp;$ξ = P_{\rm S}/(N_0 · f_{\rm N})$&nbsp; halbiert wird.
+*DThe SNR loss is due to the fact that now the performance parameter &nbsp;$ξ = P_{\rm S}/(N_0 · f_{\rm N})$&nbsp; is halved.
-'''(2)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation und der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man für die Rauschleistung:
+'''(2)'''&nbsp; For frequency modulation and a message frequency&nbsp; $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; the noise power is given by:
 :$$P_{\rm R} = \int_{-f_{\rm N}}^{ + f_{\rm N}} {\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0}{\Delta f_{\rm A}^{\hspace{0.1cm}2}} \cdot \int_{0}^{ f_{\rm N}} f^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}^{\hspace{0.1cm}3}}{3 \cdot \Delta f_{\rm A}^2} \hspace{0.05cm}.$$
-*Unter Berücksichtigung des Frequenzhubs&nbsp;  $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N}$&nbsp; ergibt sich somit:
+*Thus, considering the frequency deviation&nbsp;  $Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N}$&nbsp;, we get:
 :$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}}{3 \cdot \eta^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v }= \frac{3 \cdot \eta^2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}} = 3 \cdot \rho_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Das heißt:&nbsp; Die Frequenzmodulation ist um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; $($oder $4.77 \ \rm dB)$&nbsp; besser als die Phasenmodulation:
+*This means:&nbsp; frequency modulation is better than phase modulation by a factor of&nbsp; $3$&nbsp; $($or $4.77 \ \rm dB)$&nbsp;:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 54.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man mit&nbsp; $f_{10} = 10 \ \rm kHz$:
+'''(3)'''&nbsp; According to the answer to question&nbsp; '''(2)'''&nbsp;, together with &nbsp; $f_{10} = 10 \ \rm kHz$, we get:
 :$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 10}}{3 \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}} = \frac{ f_{\rm 10} \cdot \eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}}{ 3 \cdot f_{\rm 5} \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}}\cdot \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 5}}{\eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Der zweite Term gibt die Rauschleistung des Vergleichssystems&nbsp; $($PM, $f_{\rm N} = f_5)$&nbsp; an,&nbsp; die zum Ergebnis&nbsp; $10 · \lg ρ_v = 50\ \rm  dB$&nbsp; geführt hat.
+*the second term gives the noise power of the comparison system&nbsp; $($PM, $f_{\rm N} = f_5)$&nbsp;,&nbsp; which led to the result of &nbsp; $10 · \lg ρ_v = 50\ \rm  dB$&nbsp;.
-*Bei Frequenzmodulation ist nun jedoch der Modulationsindex&nbsp; $η$&nbsp; umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz, so dass der Quotient&nbsp; $η_5^2/η_{10}^2 = 4$&nbsp; ist.
+*However, in frequency modulation, the modulation index &nbsp; $η$&nbsp; is now inversely proportional to the message frequency, so the quotient is &nbsp; $η_5^2/η_{10}^2 = 4$&nbsp;.
-*Somit ergibt sich für den Vorfaktor&nbsp; $8/3$.&nbsp; Aufgrund der größeren Rauschleistung ist das SNR kleiner:
+*Thus, the pre-factor is &nbsp; $8/3$. Due to the larger noise power, the SNR is smaller:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}({8}/{3})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 45.74\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei gleicher Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; ist nun die FM um&nbsp; $1.25 \ \rm dB$&nbsp; schlechter als die PM, da sich nun die Halbierung von&nbsp; $η$&nbsp; – nach Quadrierung der Faktor&nbsp; $4$&nbsp; –&nbsp; stärker auswirkt als der systembedingte Faktor&nbsp; $3$, um den die FM gegenüber der PM überlegen ist.
+At the same message frequency&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp;, FM is now&nbsp; $1.25 \ \rm dB$&nbsp; worse than PM, since the halving of&nbsp; $η$&nbsp; – a factor of &nbsp; $4$&nbsp;after squaring–&nbsp; snow has a greater effect than the system-dependent factor of&nbsp; $3$ by which FM was superior to PM.
-*Der Vergleich der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; zeigt einen Unterschied um den Faktor&nbsp; $8$&nbsp; bzw.&nbsp; $9.03 \ \rm dB$.
+*The comparison of subtasks&nbsp; '''(2)'''&nbsp; and&nbsp; '''(3)'''&nbsp; shows a difference by a factor of&nbsp; $8$&nbsp; and&nbsp; $9.03 \ \rm dB$, respectively.
-*Der ungünstigere Wert für die größere Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; ergibt sich durch den nur halb so großen Modulationsindex – nach Quadrierung Faktor&nbsp; $4$&nbsp; – und die doppelte Rauschbandbreite.
+*The less favorable value for the larger message frequency &nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; results from the halved modulation index and the doubled large noise bandwidth.
 {{ML-Fuß}}

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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis&nbsp; (Sinken–SNR)&nbsp; $ \rho_{v }$&nbsp; ist der Quotient aus Nutzleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; und Rauschleistung&nbsp; $P_{\rm R}$.&nbsp; Für die  Phasenmodulation gilt:

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 <quiz display=simple>
-{Welcher Rauschabstand ergibt sich bei&nbsp; <u>Phasenmodulation</u>&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{What is the signal-to-noise ratio for&nbsp; <u>phase modulation</u>&nbsp; and &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$?  Interpret the result.
 |type="{}"}
 $10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 46.99 3% } $\ \rm dB$
-{Berechnen Sie den Rauschabstand bei&nbsp; <u>Frequenzmodulation</u>&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.&nbsp; Wie groß ist der Modulationsindex bei dieser Konstellation?
+{Calculate the signal-to-noise ratio for <u>frequency modulation</u> and &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.  What is the modulation index for this configuration?
 |type="{}"}
 $10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 54.77 3% } $\ \rm dB$
-{Berechnen Sie den Rauschabstand bei&nbsp; <u>Frequenzmodulation</u>&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zu&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''.
+{Calculate the signal-to-noise ratio for <u>frequency modulation</u> and &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.&nbsp; Interpret the result in comparison to your answers for &nbsp; '''(1)'''&nbsp; and&nbsp; '''(2)'''.
 |type="{}"}
 $10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 45.74 3% } $\ \rm dB$

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 ''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation|Rauscheinfluss bei Winkelmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Influence_of_Noise_on_Systems_with_Angle_Modulation|Influence of Noise on Systems with Angle Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulation_Methods/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation#Systemvergleich_von_AM.2C_PM_und_FM_hinsichtlich_Rauschen|Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen]].
+*Particular reference is made to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Influence_of_Noise_on_Systems_with_Angle_Modulation#System_comparison_of_AM.2C_PM_and_FM_with_respect_to_noise| System comparison of AM, PM and FM with respect to noise]].
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>

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 [[File:P_ID1115__Mod_A_3_9.png|right|frame|Rauschleistungsdichten von PM und FM]]
-Betrachtet werden die Phasen– und Frequenzmodulation einer Cosinusschwingung mit der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N}$.&nbsp; Zunächst gelte für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; und der Modulationsindex (Phasenhub) sei &nbsp;$η = 5$.
+Consider the phase and frequency modulation of a cosine oscillation with frequency &nbsp; $f_{\rm N}$.&nbsp; .  First, let the message frequency be &nbsp;$f_{\rm N} = f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; and the modulation index (phase deviation) be &nbsp;$η = 5$.
-Bei Vorhandensein von additivem Gaußschen Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; ergibt sich nach dem PM–Demodulator eine konstante Rauschleistungsdichte &nbsp;${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM} }(f) = {\it \Phi}_0$, die auch vom Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; abhängt:
+In the presence of additive Gaussian noise with noise power density &nbsp;$N_0$&nbsp;, the PM demodulator results in a constant noise power density &nbsp;${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM} }(f) = {\it \Phi}_0$, which also depends on the modulation index &nbsp;$η$&nbsp;:
 :$${\it \Phi}_0 = \frac{N_0}{\eta^2} \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Berechnung der Rauschleistung &nbsp;$P_{\rm R}$&nbsp; ist lediglich der Frequenzbereich von &nbsp;$±f_{\rm N}$&nbsp; relevant (siehe Grafik).
+For the calculation of the noise power &nbsp;$P_{\rm R}$&nbsp;, only the frequency range &nbsp;$±f_{\rm N}$&nbsp; is relevant (see graph).
-Die Rauschleistungsdichte nach der FM–Demodulation lautet mit dem Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A}$:
+The noise power density after FM demodulation with the frequency deviation &nbsp;$Δf_{\rm A}$ is:
 :$${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f) = N_0 \cdot \left(\frac{f}{\Delta f_{\rm A}}\right)^2 \hspace{0.05cm}.$$
-*Gegeben ist der Rauschabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50 \ \rm dB$&nbsp; für Phasenmodulation und &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
+*The signal-to-noise ratio &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50 \ \rm dB$&nbsp; is given for phase modulation with &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
-*Gesucht sind in dieser Aufgabe der Rauschabstand bei FM für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; sowie die sich ergebenden Rauschabstände von PM und FM für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = f_{10} = 10 \ \rm kHz$.
+*In this task, we are looking for the S/N ratio of FM for the message frequency &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; as well as the resulting S/N ratios of PM and FM for message frequency  &nbsp;$f_{\rm N} = f_{10} = 10 \ \rm kHz$.
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-''Hinweise:''
+''Hints:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation|Rauscheinfluss bei Winkelmodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulation_Methods/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation#Systemvergleich_von_AM.2C_PM_und_FM_hinsichtlich_Rauschen|Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen]].

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