Aufgaben:Exercise 3.2: G-matrix of a Convolutional Encoder - Revision history

Guenter at 14:31, 9 November 2022

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; The memory of the considered convolutional encoder is $m = 2$.
+'''(1)'''&nbsp; The memory of the considered convolutional encoder is&nbsp; $m = 2$.
-*Thus, the generator matrix $\mathbf{G}$ is composed of the $m + 1 \ \underline {= 3}$ submatrices $\mathbf{G}_0, \mathbf{G}_1$ and $\mathbf{G}_2$.
+*Thus,&nbsp; the generator matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; is composed of the&nbsp; $m + 1 \ \underline {= 3}$ &nbsp; submatrices&nbsp; $\mathbf{G}_0,&nbsp; \mathbf{G}_1$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{G}_2$.
-'''(2)'''&nbsp; Correct are <u>statement 1 and 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Correct are&nbsp; <u>statement 1 and 2</u>:
 *From the given equations
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-1}^{(2)} + u_{i-2}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
-:$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}$$
+:$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)},$$
-it can be seen that in the whole set of equations an input value $u_i^{(j)}$ with $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ occurs exactly eight times &nbsp; &#8658; &nbsp; Statement 1 is true.
+it can be seen that in the whole equation set an input value&nbsp; $u_i^{(j)}$&nbsp; with&nbsp; $j &#8712; \{1,\ 2,\ 3\}$&nbsp; occurs exactly eight times &nbsp; &#8658; &nbsp; Statement 1 is true.
-*The input value $u_i^{(1)}$ influences the outputs $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$ and $x_i^{(4)}$. Thus, the first row of $\mathbf{G}_0 \text{:} is. \, 1 \ 1 \ 0 \ 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Statement 2 is also true.
-*In contrast, statement 3 is false: it is not the first row of $\mathbf{G}_0$ that is $1 \ 0 \ 0$, but the first column. This says that $x_i^{(1)}$ depends only on $u_i^{(1)}$, but not on $u_i^{(2)}$ or on $u_i^{(3)}$. It is a systematic code.
+*The input value&nbsp; $u_i^{(1)}$&nbsp; influences the outputs&nbsp; $x_i^{(1)}$,&nbsp; $x_i^{(2)}$&nbsp; and&nbsp; $x_i^{(4)}$.&nbsp; Thus,&nbsp; the first row of&nbsp; $\mathbf{G}_0 \text{ is} \, 1 \ 1 \ 0 \ 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Statement 2 is true too.
 '''(3)'''&nbsp; <u>All statements are accurate</u>:
-*In the equation set, an input value $u_{i&ndash;1}^{(j)}$ with $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ occurs three times. Thus, $\mathbf{G}_1$ contains a total of three ones.
+*In the equation set,&nbsp; an input value&nbsp; $u_{i&ndash;1}^{(j)}$&nbsp; with&nbsp; $j &#8712; \{1,\ 2,\ 3\}$&nbsp; occurs three times.&nbsp; Thus,&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; contains a total of three ones.
 *The input value $u_{i-1}^{(2)}$ influences the outputs $x_i^{(2)}$ and $x_i^{(3)}$, while $u_{i-1}^{(3)}$ is used only for the calculation of $x_i^{(2)}$.
-'''(4)'''&nbsp; Only <u>statement 3</u> is correct:
+'''(5)'''&nbsp; Correct is&nbsp; <u>statement 2</u>:
-*The following graph shows the upper left beginning (rows 1 to 9 and columns 1 to 12) of the generator matrix $\mathbf{G}$.
+*Generally,&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$,&nbsp; where&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; and&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; are sequences,&nbsp; that is,&nbsp; they continue to infinity.&nbsp;
-[[File:P_ID2615__KC_A_3_2d_v1.png|center|frame|Generator matrix of a convolutional code with&nbsp; $k = 4, \ n = 4, \ m = 2$.]]
+*If the information sequence&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; is limited&nbsp; $($here to&nbsp; $9$&nbsp; bits$)$,&nbsp; the code sequence&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; is also limited.
-We obtained the same result in the '''(4)''' subtask of [[Aufgaben:Exercise_3.1:_Analysis_of_a_Convolutional_Encoder| "Exercise 3.1"]].
+*Shown here are only&nbsp; $9$&nbsp; information bits and&nbsp; $9 \cdot n/k = 12$&nbsp; code bits.
-*Shown here are only $9$ information bits and $9 \cdot n/k = 12$ code bits. Due to the partial matrices $\mathbf{G}_1$ and $\mathbf{G}_2$, however, (partial) ones would still result here for the code bits 13 to 20.
+*Due to the partial matrices&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{G}_2$,&nbsp; however,&nbsp; (partial) ones would still result here for the code bits 13 to 20.
-*The code sequence $\underline{x}$ is composed of the four subsequences $\underline{x}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{x}^{(4)}$, which can be read in the graphic due to different coloring.
+*The code sequence&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; is composed of the four subsequences&nbsp; $\underline{x}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{x}^{(4)}$,&nbsp; which can be read in the graphic due to different coloring.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Channel Coding: Exercises|^3.2 Polynomial Description^]]

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 [[File:P_ID2614__KC_A_3_1_neu.png|right|frame|Predefined convolutional encoder]]
-We consider as in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.1:_Analysis_of_a_Convolutional_Encoder| "Exercise 3.1"]]&nbsp; the convolutional encoder of rate&nbsp; $3/4$ drawn opposite. This is characterized by the following set of equations:
+We consider as in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.1:_Analysis_of_a_Convolutional_Encoder|$\text{Exercise 3.1}$]]&nbsp; the convolutional encoder of rate&nbsp; $3/4$&nbsp; drawn opposite.&nbsp; This is characterized by the following set of equations:
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
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 :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
-Referring to the sequences
+Referring to the sequences&nbsp; $($both starting at&nbsp; $i = 1$&nbsp; and extending in time to infinity$)$,
 :$$\underline{\it u} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, \text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i ,\text{...} \hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{\it x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it x}_1, \underline{\it x}_2, \text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i , \text{...} \hspace{0.1cm} \right )$$
-starting at&nbsp; $i = 1$&nbsp; and extending in time to infinity with&nbsp; $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \ \text{...} \ , u_i^{(k)})$&nbsp; resp.&nbsp; $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \ \text{...} \ , x_i^{(n)})$, then the relationship between the information sequence&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; and the code sequence&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; can be expressed by the generator matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; in the following form:
+with&nbsp;
 :$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}  \hspace{0.05cm}.$$
-For the generator matrix of a convolutional encoder with memory&nbsp; $m$&nbsp; is to be set thereby:
+For the generator matrix of a convolutional encoder with memory&nbsp; $m$&nbsp; is to be set:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
 		{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots   & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\
@@ Line 23: / Line 26: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hereby denote&nbsp; $\mathbf{G}_0, \ \mathbf{G}_1, \ \mathbf{G}_2, \ \text{...}$&nbsp; partial matrices each having&nbsp; $k$&nbsp; rows and&nbsp; $n$&nbsp; columns and binary matrix elements&nbsp; $(0$&nbsp; or&nbsp; $1)$.
+*Hereby denote &nbsp; $\mathbf{G}_0, \ \mathbf{G}_1, \ \mathbf{G}_2, \ \text{...}$ &nbsp; partial matrices each having&nbsp; $k$&nbsp; rows and&nbsp; $n$&nbsp; columns and binary matrix elements&nbsp; $(0$&nbsp; or&nbsp; $1)$.
 *If the matrix element&nbsp; $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$, it means that the code bit&nbsp; $x_i^{(j)}$&nbsp; is affected by the information bit&nbsp; $u_{i-l}^{(\kappa)}$&nbsp;.
-*Otherwise, this matrix element is equal to&nbsp; $0$.
+*If the matrix element&nbsp; $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$,&nbsp; it means that the code bit&nbsp; $x_i^{(j)}$&nbsp; is affected by the information bit&nbsp; $u_{i-l}^{(\kappa)}$&nbsp;.
-The goal of this exercise is to compute the code sequence&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; belonging to the information sequence
+&rArr; &nbsp;The goal of this exercise is to compute the code sequence &nbsp; $\underline{x}$ &nbsp; belonging to the information sequence
 :$$\underline{u} = (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}
 ,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})$$
-according to the above specifications. The result should match the result of&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.1:_Analysis_of_a_Convolutional_Encoder| "Exercise 3.1"]]&nbsp; which, however, was obtained in a different way.
+according to the above specifications.&nbsp; The result should match the result of&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.1:_Analysis_of_a_Convolutional_Encoder| $\text{Exercise 3.1}$]]&nbsp; which was obtained in a different way.
@@ Line 42: / Line 47: @@
-Hints:
+Hints:&nbsp; This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description| "Algebraic and Polynomial Description"]].
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 {From how many partial matrices&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; is the matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; composed?
 |type="{}"}
-${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 3 3% }
+$\text{number of partial matrices} \ = \ ${ 3 3% }
-{Which statements are true for the partial matrix&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp;?
+{Which statements are true for the partial matrix&nbsp; $\mathbf{G}_0$?
 |type="[]"}
 + In total,&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; contains eight ones.
@@ Line 66: / Line 70: @@
 + The third row is&nbsp; $0 \ 1 \ 0 \ 0$.
-{Determine the first nine rows and twelve columns of the generator matrix&nbsp; $\mathbf{G}$. Which statements are true?
+{Determine the first nine rows and twelve columns of the generator matrix&nbsp; $\mathbf{G}$.&nbsp; Which statements are true?
 |type="[]"}
 - There is at least one row with all zeros.
 - There is at least one row with all ones.
-+ In each of the columns&nbsp; $1, 5, 9$&nbsp; there is only one single one.
++ In each of the columns&nbsp; $1,\ 5,\ 9$&nbsp; there is only one single one.
 {What code sequence&nbsp; $\underline {x}$&nbsp; results for&nbsp; $\underline {u} = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1)$?

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−	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.2 ~~Polynomische Beschreibung~~^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.2 Polynomial Description^]]

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	''Hinweis:''		''Hinweis:''
−	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[~~Kanalcodierung~~/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung\| Algebraische und polynomische Beschreibung]].	+	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Channel_Coding/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung\| Algebraische und polynomische Beschreibung]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Gedächtnis des betrachteten Faltungscodierers ist $m = 2$. Damit setzt sich die Generatormatrix $\mathbf{G}$ aus den $m + 1 \ \underline {= 3}$ Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ zusammen.
+'''(1)'''&nbsp; Das Gedächtnis des betrachteten Faltungscodierers ist $m = 2$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtigsind die u>Aussage 1 und 2</u>:
 *Aus  den angegebenen Gleichungen
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 94: / Line 96: @@
 *Der Eingangswert $u_i^{(1)}$ beeinflusst die Ausgänge $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(4)}$. Damit lautet die erste Zeile von $\mathbf{G}_0 \text{:} \, 1 \ 1 \ 0 \ 1$  &nbsp; &#8658;  &nbsp; auch Aussage 2 trifft zu.
 *Dagegen ist die Aussage 3 falsch: Nicht die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 0 \ 0$, sondern die erste Spalte. Dies besagt, dass $x_i^{(1)}$ nur von $u_i^{(1)}$ abhängt, aber nicht von $u_i^{(2)}$ oder von $u_i^{(3)}$. Es handelt sich um einen systematischen Code.
@@ Line 99: / Line 102: @@
 *Im Gleichungssatz kommt dreimal ein Eingangswert $u_{i&ndash;1}^{(j)}$ mit $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ vor. Somit beinhaltet $\mathbf{G}_1$ insgesamt drei Einsen.
 *Der Eingangswert $u_{i-1}^{(2)}$ beeinflusst die Ausgänge $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$, während $u_{i-1}^{(3)}$ nur für die Berechnung von $x_i^{(2)}$ herangezogen wird.
@@ Line 106: / Line 110: @@
 *Dieses Ergebnis gilt für jeden systematischen Code mit den Parametern $k = 3$ und $n = 4$.
-[[File:P_ID2615__KC_A_3_2d_v1.png|center|frame|Generatormatrix eines Faltungscodes: $k = 4, \ n = 4, \ m = 2$]]
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist die <u> Aussage 2</u>:
@@ Line 112: / Line 117: @@
 *Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ (hier auf $9$ Bit) ist auch die Codesequenz $\underline{x}$ begrenzt.
 *Interessiert man sich nur für die ersten Bits, so genügt es, nur den linken oberen Ausschnitt der Generatormatrix wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (4) zu betrachten.
-*Anhand dieser Grafik kann auch das Ergebnis der Matrizengleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ abgelesen werden. Richtig ist $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ ...)$ und damit Antwort 2.
+*Anhand dieser Grafik kann auch das Ergebnis der Matrizengleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ abgelesen werden.
-Das gleiche Ergebnis haben wir in der Teilaufgabe (4) von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] erhalten.
+Das gleiche Ergebnis haben wir in der Teilaufgabe '''(4)''' von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] erhalten.
-*Dargestellt sind hier nur $9$ Informationsbits und $9 \cdot n/k = 12$ Codebits. Aufgrund der Teilmatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ würden sich hier aber auch die Codebits 13 bis 20 noch (teilweise) Einsen ergeben.
+*Dargestellt sind hier nur $9$ Informationsbits und $9 \cdot n/k = 12$ Codebits. Aufgrund der Teilmatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ würden sich hier aber auch für die Codebits 13 bis 20 noch (teilweise) Einsen ergeben.
 *Die Codesequenz $\underline{x}$ setzt sich aus den vier Teilsequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{x}^{(4)}$ zusammen, die in der Grafik aufgrund unterschiedlicher Farbgebung abgelesen werden können.

@@ Line 2: / Line 2: @@
 [[File:P_ID2614__KC_A_3_1_neu.png|right|frame|Vorgegebener Faltungscodierer]]
-Wir betrachten wie in [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] den nebenstehend gezeichneten Faltungscodierer der Rate $3/4$. Dieser wird durch den folgenden Gleichungssatz charakterisiert:
+Wir betrachten wie in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]]&nbsp; den nebenstehend gezeichneten Faltungscodierer der Rate&nbsp; $3/4$. Dieser wird durch den folgenden Gleichungssatz charakterisiert:
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 8: / Line 8: @@
 :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
-Bezieht man sich auf die bei $i = 1$ beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
+Bezieht man sich auf die bei&nbsp; $i = 1$&nbsp; beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
 :$$\underline{\it u} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, \text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i ,\text{...} \hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{\it x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it x}_1, \underline{\it x}_2, \text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i , \text{...} \hspace{0.1cm} \right )$$
-mit $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \ \text{...} \ , u_i^{(k)})$ bzw. $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \ \text{...} \ , x_i^{(n)})$, so kann der Zusammenhang zwischen der Informationssequenz $\underline{u}$ und der Codesequenz $\underline{x}$ durch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in folgender Form ausgedrückt werden:
+mit&nbsp; $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \ \text{...} \ , u_i^{(k)})$&nbsp; bzw.&nbsp; $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \ \text{...} \ , x_i^{(n)})$, so kann der Zusammenhang zwischen der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und der Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; in folgender Form ausgedrückt werden:
 :$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}  \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Generatormatrix eines Faltungscoders mit dem Gedächtnis $m$ ist dabei zu setzen:
+Für die Generatormatrix eines Faltungscoders mit dem Gedächtnis&nbsp; $m$&nbsp; ist dabei zu setzen:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
 		{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots   & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\
@@ Line 23: / Line 23: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnen $\mathbf{G}_0, \mathbf{G}_1, \mathbf{G}_2, \ \text{...}$ Teilmatrizen mit jeweils $k$ Zeilen und $n$ Spalten sowie binären Matrixelementen ($0$ oder $1$). Ist das Matrixelement $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$, so bedeutet dies, dass das Codebit $x_i^{(j)}$ durch das Informationsbit $u_{i-l}^{(\kappa)}$ beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich $0$.
+*Hierbei bezeichnen&nbsp; $\mathbf{G}_0, \ \mathbf{G}_1, \ \mathbf{G}_2, \ \text{...}$&nbsp; Teilmatrizen mit jeweils&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten sowie binären Matrixelementen&nbsp; $(0$&nbsp; oder&nbsp; $1)$.
 Ziel dieser Aufgabe ist es, die zur Informationssequenz
@@ Line 30: / Line 33: @@
 ,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})$$
-gehörige Codesequenz $\underline{x}$ entsprechend den obigen Vorgaben zu berechnen. Das Ergebnis müsste mit dem Ergebnis von [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] übereinstimmen, das allerdings auf anderem Wege erzielt wurde.
+gehörige Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; entsprechend den obigen Vorgaben zu berechnen. Das Ergebnis müsste mit dem Ergebnis von&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]]&nbsp; übereinstimmen, das allerdings auf anderem Wege erzielt wurde.
@@ Line 36: / Line 42: @@
-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
-* Die  Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
+* Die  Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
@@ Line 44: / Line 50: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Aus wie vielen Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ setzt sich die Matrix $\mathbf{G}$ zusammen?
+{Aus wie vielen Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; setzt sich die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; zusammen?
 |type="{}"}
 ${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 3 3% }
-{Welche Aussagen treffen für die Teilmatrix $\mathbf{G}_0$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Teilmatrix&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Insgesamt beinhaltet $\mathbf{G}_0$ acht Einsen.
++ Insgesamt beinhaltet&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; acht Einsen.
-+ Die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 1 \ 0 \ 1$.
++ Die erste Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; lautet&nbsp; $1 \ 1 \ 0 \ 1$.
-- Die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 0 \ 0$.
+- Die erste Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; lautet&nbsp; $1 \ 0 \ 0$.
-{Welche aussagen treffen für die Teilmatrix $\mathbf{G}_1$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Teilmatrix&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Die erste Zeile lautet $0 \ 0 \ 0 \ 0$.
++ Die erste Zeile lautet&nbsp; $0 \ 0 \ 0 \ 0$.
-+ Die zweite Zeile lautet $0 \ 1 \ 1 \ 0$.
++ Die zweite Zeile lautet&nbsp; $0 \ 1 \ 1 \ 0$.
-+ Die dritte Zeile lautet $0 \ 1 \ 0 \ 0$.
++ Die dritte Zeile lautet&nbsp; $0 \ 1 \ 0 \ 0$.
-{Ermitteln Sie die ersten neun Zeilen und zwölf Spalten der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Welche Aussagen treffen zu?
+{Ermitteln Sie die ersten neun Zeilen und zwölf Spalten der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$. Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 - Es gibt mindestens eine Zeile mit lauter Nullen.
 - Es gibt mindestens eine Zeile mit lauter Einsen.
-+ In den Spalten $1, 5, 9$ steht jeweils nur eine einzige Eins.
++ In den Spalten&nbsp; $1, 5, 9$&nbsp; steht jeweils nur eine einzige Eins.
-{Welche Codesequenz $\underline {x}$ ergibt sich für $\underline {u} = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1)$?
+{Welche Codesequenz&nbsp; $\underline {x}$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $\underline {u} = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1)$?
 |type="()"}
-- Es gilt: $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, \ \text{...})$.
+- Es gilt:&nbsp; $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, \ \text{...})$.
-+ Es gilt: $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ \text{...})$.
++ Es gilt:&nbsp; $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ \text{...})$.
-- Es gilt: $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, \ \text{...})$.
+- Es gilt:&nbsp; $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, \ \text{...})$.
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