Aufgaben:Exercise 3.2: Spectrum with Angle Modulation - Revision history

Hwang at 15:21, 23 January 2023

2023-01-23T15:21:50Z

Reed at 14:51, 9 April 2022

2022-04-09T14:51:16Z

Reed: /* Solution */

2022-03-14T14:45:09Z

Solution

Reed: /* Solution */

2022-03-14T13:52:33Z

Solution

Reed: /* Solution */

2022-03-14T13:52:21Z

Solution

Reed at 13:40, 14 March 2022

2022-03-14T13:40:42Z

Reed: /* Questions */

2022-03-14T13:40:22Z

Questions

Reed at 13:32, 14 March 2022

2022-03-14T13:32:15Z

Reed at 13:30, 14 March 2022

2022-03-14T13:30:06Z

Guenter at 16:49, 8 January 2022

2022-01-08T16:49:43Z

@@ Line 7: / Line 7: @@
 * Source signal:
 :$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
-* Transmit signal:
+* Transmitted signal:
 :$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K_{\rm M} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
 * Received signal (ideal channel):

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modulationsverfahren~~/~~Phasenmodulation~~ (PM)	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)
	}}		}}

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 :$$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$
 *This is therefore infinite due to the Dirac function, and only the weight of the Dirac function is finite.
-*The same applies for all discrete spectral line.
+*The same applies for all discrete spectral lines.
-'''(5)'''&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $S_{\rm TP}(f)$&nbsp; durch Verschiebung um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp;  nach rechts.&nbsp; Deshalb ist
+'''(5)'''&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; is obtained from &nbsp; $S_{\rm TP}(f)$&nbsp; by shifting &nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp;to the right.&nbsp; Therefore
 :$$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; bei positiven Frequenzen um den Faktor&nbsp; $1/2$:
+*The actual spectrum differs from&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; by a factor of &nbsp; $1/2$ at positive frequencies:
 :$$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Allgemein kann geschrieben werden:
+*In general, we can write:
 :$$ S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien&nbsp; ${\rm J}_{|n|>3}$&nbsp; außer Acht gelassen werden.
+'''(6)'''&nbsp; Under the suggested conditions, all the Bessel lines&nbsp; ${\rm J}_{|n|>3}$&nbsp; can be disregarded.
-* Damit erhält man&nbsp; $B_{\rm K} = 2 · 3 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 18 \ \rm kHz}$.
+* This gives&nbsp; $B_{\rm K} = 2 · 3 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 18 \ \rm kHz}$.
-'''(7)'''&nbsp; Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun folgende Kanalbandbreiten erforderlich wären:
+'''(7)'''&nbsp; The numerical values in the table given on the exercise page show that the following channel bandwidths would now be required:
 *für $η = 2$: &nbsp; &nbsp;  $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 24 \ \rm kHz}$,
 *für $η = 3$: &nbsp; &nbsp;  $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 36 \ \rm kHz}$.

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−	'''(2)'''  An angle ~~modulationn~~  (PM, FM)  always results in nonlinear distortion when the channel is bandlimited.	+	'''(2)'''  An angle modulation  (PM, FM)  always results in nonlinear distortion when the channel is bandlimited.
	*In contrast, double-sideband amplitude modulation  (DSB-AM)  here enables distortion-free transmission with  $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$ ; ⇒   <u>Answer 1</u>.		*In contrast, double-sideband amplitude modulation  (DSB-AM)  here enables distortion-free transmission with  $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$ ; ⇒   <u>Answer 1</u>.

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Phase&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; ist proportional zum Quellensignal&nbsp; $q(t)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; es handelt sich um eine Phasenmodulation  &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>.
+'''(1)'''&nbsp; The phase&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; is proportional to the source signal&nbsp; $q(t)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; this is a phase modulation  &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Answer 2</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Eine Winkelmodulation&nbsp; (PM, FM)&nbsp; führt bei bandbegrenztem Kanal stets zu nichtlinearen Verzerrungen.
+'''(2)'''&nbsp; An angle modulationn&nbsp; (PM, FM)&nbsp; always results in nonlinear distortion when the channel is bandlimited.
-*Bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation&nbsp; (ZSB-AM)&nbsp; ist hier dagegen bereits mit&nbsp; $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$&nbsp; eine verzerrungsfreie Übertragung möglich  &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 1</u>.
+*In contrast, double-sideband amplitude modulation&nbsp; (DSB-AM)&nbsp; here enables distortion-free transmission with&nbsp; $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$&nbsp;; ⇒ &nbsp; <u>Answer 1</u>.
-'''(3)'''&nbsp; Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei Phasenmodulation gleich&nbsp; $η = K_{\rm M} · A_{\rm N}$.
+'''(3)'''&nbsp; The modulation index (or phase deviation) is equal to&nbsp; $η = K_{\rm M} · A_{\rm N}$ for phase modulation.
-*Somit ist die Modulatorkonstante&nbsp; $K_{\rm M} = 1/A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 \rm \cdot {1}/{V}}$&nbsp; zu wählen, damit sich&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt.
+*Thus, the modulator constant must be set to&nbsp; $K_{\rm M} = 1/A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 \rm \cdot {1}/{V}}$&nbsp; to give &nbsp; $η = 1$&nbsp;.
-'''(4)'''&nbsp; Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor:
+'''(4)'''&nbsp; A so-called Bessel spectrum is present:
 :$$ S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$
-*Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei&nbsp; $f = n · f_{\rm N}$, wobei&nbsp; $n$&nbsp; ganzzahlig ist.
+*This is a discrete spectrum with components at &nbsp; $f = n · f_{\rm N}$, where&nbsp; $n$&nbsp; is an integer.
-*Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben.&nbsp; Mit&nbsp; $A_{\rm T} = 1\ \rm  V$&nbsp; erhält man:
+*The weights of the Dirac functions are given by the Bessel functions.&nbsp; When&nbsp; $A_{\rm T} = 1\ \rm  V$&nbsp;, one obtains:
-[[File:P_ID1082__Mod_A_3_2_d.png|right|frame|PM–Spektrum im äquivalenten Tiefpass–Bereich]]
+[[File:P_ID1082__Mod_A_3_2_d.png|right|frame|PM spectrum in the equivalent low-pass range]]
 :$$ S_{\rm TP}(f = 0)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$
 :$$ S_{\rm TP}(f = f_{\rm N})  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$
 :$$ S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N})  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
-*Aufgrund der Symmetrie&nbsp; ${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$&nbsp; erhält man für die Spektrallinie bei&nbsp; $f = -3 \ \rm kHz$:
+*Due to the symmetry &nbsp; ${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$&nbsp;, the spectral line at &nbsp; $f = -3 \ \rm kHz$ is obtained as:
 :$$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$
-''Anmerkung'':&nbsp; Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; schreiben:
+''Note'':&nbsp; For the spectral value at&nbsp; $f = 0$&nbsp; we should actually write:
 :$$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich.
+*This is therefore infinite due to the Dirac function, and only the weight of the Dirac function is finite.
-*Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.
+*The same applies for all discrete spectral line.

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 <quiz display=simple>
-{Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
+{Which modulation method is used here?
 |type="()"}
-- Amplitudenmodulation.
+- Amplitude modulation.
-+ Phasenmodulation.
++ Phase modulation.
-- Frequenzmodulation.
+- Frequency modulation.
-{Welches Modulationsverfahren würden Sie wählen, wenn die Kanalbandbreite nur &nbsp;$B_{\rm K} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; betragen würde?
+{Which modulation method would you choose if the channel bandwidth was only &nbsp;$B_{\rm K} = 10 \ \rm kHz$&nbsp;?
 |type="()"}
-+ Amplitudenmodulation.
++ Amplitude modulation.
-- Phasenmodulation.
+- Phase modulation.
-- Frequenzmodulation.
+- Frequency modulation.
-{Wie ist die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm M}$&nbsp; zu wählen, damit der Phasenhub &nbsp;$η = 1$&nbsp; beträgt?
+{How should one choose the modulator constant&nbsp;$K_{\rm M}$&nbsp; for a phase deviation of &nbsp;$η = 1$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $K_{\rm M} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$
-{Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$.&nbsp;
+{Calculate the spectrum &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; of the equivalent low-pass signal &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$.&nbsp;
-Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; und &nbsp;$f = -3 \ \rm kHz$?
+What are the weights of the spectral lines at &nbsp;$f = 0$&nbsp; and &nbsp;$f = -3 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $S_{\rm TP}(f = 0)\ = \ $ { 0.765 3% } $\ \rm V$
 $S_{\rm TP}(f = -3\ \rm kHz) \ = \ $ { -0.453--0.427 } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie die Spektren des analytischen Signals &nbsp;$s_{\rm +}(t)$&nbsp; sowie des physikalischen Signals &nbsp;$s(t)$.&nbsp; Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei &nbsp;$f = 97 \ \rm kHz$?
+{Calculate the spectra of the analytical signal&nbsp;$s_{\rm +}(t)$&nbsp; and the physical signal &nbsp;$s(t)$.&nbsp; What are the weights of the spectral lines at &nbsp;$f = 97 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $S_+(f = 97  \ \rm kHz)\ = \ $ { -0.453--0.427 } $\ \rm V$
@@ Line 60: / Line 60: @@
-{Wie groß ist die erforderliche Kanalbandbreite &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; für &nbsp;$ η = 1$, wenn man (betragsmäßige) Impulsgewichte kleiner als &nbsp;$0.01$&nbsp; vernachlässigt?
+{What is the required channel bandwidth &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; for &nbsp;$ η = 1$, if one ignores pulse weights smaller (in magnitude) than&nbsp;$0.01$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $η = 1\text{:} \ \  \ B_{\rm K}\ = \ $ { 18 3% } $\ \rm kHz$
-{Welche Kanalbandbreiten würden sich für &nbsp;$η = 2$&nbsp; und &nbsp;$η = 3$&nbsp; ergeben?
+{What would be the channel bandwidths for &nbsp;$η = 2$&nbsp; and &nbsp;$η = 3$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $η = 2\text{:} \ \ \  B_{\rm K}\ = \ $ { 24 3% } $\ \rm kHz$
@@ Line 70: / Line 70: @@
 </quiz>
 ===Musterlösung===

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 ''Hints:''
 *This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
-*Particular reference is made to the pages&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals]]&nbsp; and &nbsp;[[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Interpretation_des_Besselspektrums|Interpretation des Besselspektrums]].
+*Particular reference is made to the pages&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Spectral_function_of_a_phase-modulated_sine_signal|Spectral function of a phase-modulated sine signal]]&nbsp; and &nbsp;[[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Interpretation_of_the_Bessel_spectrum|Interpretation of the Bessel spectrum]].

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 }}
-[[File:P_ID1081__Mod_A_3_2.png|right|frame|Tabelle der Besselfunktionen]]
+[[File:P_ID1081__Mod_A_3_2.png|right|frame|Table of Bessel functions]]
-Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:
+The following equations are assumed here:
-* Quellensignal:
+* Source signal:
 :$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
-* Sendesignal:
+* Transmit signal:
 :$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K_{\rm M} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
-* Empfangssignal (idealer Kanal:
+* Received signal (ideal channel):
 :$$r(t)  =  s(t) =  1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
-* idealer Demodulator:
+* ideal demodulator:
 :$$ v(t) = \frac{1}{ K_{\rm M}} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Besselfunktionen&nbsp; ${\rm J}_n (\eta)$&nbsp; erster Art und&nbsp; $n$&ndash;ter Ordnung in tabellarischer Form.
+The graphs shows the &nbsp; $n$&ndash;th order Bessel functions of the first kind &nbsp; ${\rm J}_n (\eta)$&nbsp; in table form.
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-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Interpretation_des_Besselspektrums|Interpretation des Besselspektrums]].
+*Particular reference is made to the pages&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Spektralfunktion_eines_phasenmodulierten_Sinussignals|Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals]]&nbsp; and &nbsp;[[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Interpretation_des_Besselspektrums|Interpretation des Besselspektrums]].
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>

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