Aufgaben:Exercise 3.2Z: Bessel Spectrum - Revision history

Reed at 14:51, 9 April 2022

2022-04-09T14:51:28Z

Guenter at 08:31, 30 March 2022

2022-03-30T08:31:34Z

Reed at 17:42, 14 March 2022

2022-03-14T17:42:01Z

Reed: /* Solution */

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Solution

Reed at 14:58, 14 March 2022

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Reed: /* Questions */

2022-03-14T14:58:16Z

Questions

Reed: /* Questions */

2022-03-14T14:58:03Z

Questions

Reed at 14:53, 14 March 2022

2022-03-14T14:53:32Z

Guenter at 16:50, 8 January 2022

2022-01-08T16:50:11Z

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 *Particular reference is made to the page&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Equivalent_low-pass_signal_in_phase_modulation|Equivalent low-pass signal in phase modulation]].
 *The values of the Bessel functions can be found in collections of formulae in table form.
-*You can also use the interactive applet &nbsp; [[Applets:Bessel_functions_of_the_first_kindt| Bessel functions of the first kind]]&nbsp; to solve this task.
+*You can also use the interactive applet &nbsp; [[Applets:Bessel_functions_of_the_first_kind| Bessel functions of the first kind]]&nbsp; to solve this task.

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 *Particular reference is made to the page&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Equivalent_low-pass_signal_in_phase_modulation|Equivalent low-pass signal in phase modulation]].
 *The values of the Bessel functions can be found in collections of formulae in table form.
-*You can also use the interactive applet &nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Bessel functions of the first kind]]&nbsp; to solve this task.
+*You can also use the interactive applet &nbsp; [[Applets:Bessel_functions_of_the_first_kindt| Bessel functions of the first kind]]&nbsp; to solve this task.

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Only the <u>second answer</u> is correct:
-*$x(t)$&nbsp; ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit&nbsp; $t = 0$.
+*$x(t)$&nbsp; is a complex signal that only becomes real in exceptional cases, for example at time &nbsp; $t = 0$.
-*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn&nbsp; $η ≥ π/2$&nbsp; ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  Antwort 1 ist falsch.
+*A purely imaginary value (at certain times) can only result when $η ≥ π/2$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp;  Answer 1 is incorrect.
-*Mit&nbsp; $T_0 = 2π/ω_0$&nbsp; gilt beispielsweise:
+*For example, when&nbsp; $T_0 = 2π/ω_0$&nbsp;:
 :$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
    {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Dieses Signal ist periodisch.&nbsp; Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.
+*This signal is periodic.&nbsp; The Fourier series, not the Fourier integral, must be used to calculate the spectral function.
-'''(2)'''&nbsp; Die Fourierkoeffizienten lauten:
+'''(2)'''&nbsp; The Fourier coefficients are:
 :$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution&nbsp; $α = ω_0 · t$&nbsp; erhält man:
+*Combining the two terms and after substituting &nbsp; $α = ω_0 · t$&nbsp;, we get:
 :$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
-*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
+*Thus, the <u>second answer</u> is correct.
-'''(3)'''&nbsp; Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:
+'''(3)'''&nbsp; Using Euler's theorem, the Fourier coefficients can be represented as follows:
 :$$D_n  =  \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +
 \frac{\rm  j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von&nbsp; $\alpha$:
+*The integrand of the first integral is an even function of&nbsp; $\alpha$:
 :$$I_1 (-\alpha)  =  {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
    {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
+*In contrast, the second integrand is an odd function:
 :$$I_2 (-\alpha)  =  {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
    -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
-*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
+*Thus, the second integral vanishes and, taking symmetry into account, we obtain:
 :$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Thus, the correct solution is <u>Answer 1</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für&nbsp; $η = 2$:
+'''(4)'''&nbsp; According to the formula for iterative calculation, when&nbsp; $η = 2$:
 :$$ D_2  =  D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
 :$$D_3  =  2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
+'''(5)'''&nbsp; Due to the given symmetry relation, it further holds that:
 :$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
 :$$D_{–3} = -D_3  \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$

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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:

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 |type="()"}
 +  All&nbsp; $D_n$&nbsp; are purely real.
--  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; are purely imaginary.
+-  All&nbsp; $D_n$&nbsp; are purely imaginary.
 {For &nbsp;$η = 2$&nbsp;, the coefficients are &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; and &nbsp;$D_1 = 0.577$.&nbsp; From this, calculate the coefficients &nbsp;$D_2$&nbsp; and &nbsp;$D_3$.

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 <quiz display=simple>
-{Welche Eigenschaften besitzt das Signal &nbsp;$x(t)$?
+{What are the properties of the signal &nbsp;$x(t)$?
 |type="[]"}
-- $x(t)$&nbsp; ist für alle Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; imaginär.
+- $x(t)$&nbsp; is imaginary for all times &nbsp;$t$&nbsp;.
-+ $x(t)$&nbsp; ist periodisch.
++ $x(t)$&nbsp; is periodic.
-- Die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; erhält man über das Fourierintegral.
+- The spectral function&nbsp;$X(f)$&nbsp; is obtained via the Fourier integral.
-{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_n$&nbsp; mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.&nbsp; Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
+{Write the Fourier coefficients &nbsp;$D_n$&nbsp; together with the Bessel functions of the first kind &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.&nbsp; What relationships can be seen?
 |type="[]"}
-- Alle &nbsp;$D_n$&nbsp; sind gleich &nbsp;${\rm J}_η(0)$.
+- All &nbsp;$D_n$&nbsp; are equal to &nbsp;${\rm J}_η(0)$.
-+ Es gilt &nbsp;$D_n = {\rm J}_n(η)$.
++ &nbsp;$D_n = {\rm J}_n(η)$ holds.
-- Es gilt &nbsp;$D_n = -{\rm J}_η(n)$.
+- &nbsp;$D_n = -{\rm J}_η(n)$ holds.
-{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
+{ What are the properties of the Fourier coefficients?
 |type="()"}
-+  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein reell.
++  All&nbsp; $D_n$&nbsp; are purely real.
--  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein imaginär.
+-  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; are purely imaginary.
-{Für &nbsp;$η = 2$&nbsp; lauten die Koeffizienten &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; und &nbsp;$D_1 = 0.577$.&nbsp; Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$.
+{For &nbsp;$η = 2$&nbsp;, the coefficients are &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; and &nbsp;$D_1 = 0.577$.&nbsp; From this, calculate the coefficients &nbsp;$D_2$&nbsp; and &nbsp;$D_3$.
 |type="{}"}
 $D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }
 $D_3 \ = \ $ { 0.129 3% }
-{Wie lauten die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_{-2}$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$ ?
+{What are the Fourier coefficients &nbsp;$D_{-2}$&nbsp; and &nbsp;$D_{-3}$ ?
 |type="{}"}
 $D_{-2} \ = \ $ { 0.353 3% }

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 }}
-[[File:P_ID1083__Mod_Z_3_2.png|right|frame|Verlauf der Besselfunktionen]]
+[[File:P_ID1083__Mod_Z_3_2.png|right|frame|Progression of Bessel functions]]
-Wir betrachten das komplexe Signal
+Consider the complex signal
 :$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$
-Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.
+For example, the equivalent low-pass signal at the output of an angle modulator (PM, FM) can be represented in this form if appropriate normalizations are made.
-*Die Fourierreihendarstellung lautet mit &nbsp;$T_0 = 2π/ω_0$:
+*When &nbsp;$T_0 = 2π/ω_0$, the Fourier series representation is:
 :$$x(t)  =  \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
 :$$ D_n  =  \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und&nbsp; $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:
+*These complex Fourier coefficients can be expressed using $n$–th order Bessel functions of the first kind:
 :$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese sind in der Grafik im Bereich &nbsp;$0 ≤ η ≤ 5$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Für negative Werte von &nbsp;$n$&nbsp; erhält man:
+*These are shown on the graph in the range &nbsp;$0 ≤ η ≤ 5$&nbsp;.&nbsp;For negative values of&nbsp;$n$&nbsp; one obtains:
 :$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
+*The series representation of the Bessel functions is:
 :$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
-*Sind die Funktionswerte für &nbsp;$n = 0$&nbsp; und &nbsp;$n = 1$&nbsp; bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für &nbsp;$n ≥ 2$&nbsp; iterativ ermittelt werden:
+*If the function values for &nbsp;$n = 0$&nbsp; and &nbsp;$n = 1$&nbsp; are known, the Bessel functions for &nbsp;$n ≥ 2$&nbsp; can be determined from them by iteration:
 :$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Particular reference is made to the page&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Equivalent_low-pass_signal_in_phase_modulation|Equivalent low-pass signal in phase modulation]].
-*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
+*The values of the Bessel functions can be found in collections of formulae in table form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
+*You can also use the interactive applet &nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Bessel functions of the first kind]]&nbsp; to solve this task.
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>

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