Aufgaben:Exercise 3.4: Simple Phase Modulator - Revision history

Reed: /* Questions */

2022-04-09T15:04:47Z

Questions

Reed at 14:51, 9 April 2022

2022-04-09T14:51:59Z

Guenter at 08:38, 30 March 2022

2022-03-30T08:38:44Z

Reed: /* Solution */

2022-03-14T18:35:45Z

Solution

Reed: /* Solution */

2022-03-14T18:35:02Z

Solution

Reed: /* Questions */

2022-03-14T18:24:28Z

Questions

Reed at 18:20, 14 March 2022

2022-03-14T18:20:20Z

Reed at 18:07, 14 March 2022

2022-03-14T18:07:29Z

Reed at 18:04, 14 March 2022

2022-03-14T18:04:03Z

Reed at 17:54, 14 March 2022

2022-03-14T17:54:49Z

@@ Line 60: / Line 60: @@
 $η = 0.5\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 26.6 3% } $\ \rm Grad$
-{What are distortions result after ideal phase demodulation of  &nbsp;$s(t)$?
+{What distortions result after ideal phase demodulation of  &nbsp;$s(t)$?
 |type="()"}
 - No distortions occur.

← Older revision		Revision as of 14:51, 9 April 2022
Line 1:		Line 1:

−	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modulationsverfahren~~/~~Phasenmodulation~~ (PM)	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)
	}}		}}

@@ Line 78: / Line 78: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-[[File:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|frame|Konstruktion der "vertikalen" Ortskurve aus den Zeigern]]
+[[File:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|frame|Construction of the "vertical locus" from the pointers]]
 '''(1)'''&nbsp; <u>Answer 3</u> is correct:
 *The equivalent low-pass signal is::$$s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot \frac {\eta}{2}\cdot \left ({\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\right) \right)

@@ Line 119: / Line 119: @@
 A simulation shows that by stopping the series after the third order term, we have made the error of over-estimating the distortion factor:
-*The values obtained by simulation are &nbsp; $K ≈ 6%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 1)$&nbsp; and&nbsp; $K ≈ 2%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 0.5)$.
+*The values obtained by simulation are &nbsp; $K ≈ 6%$&nbsp; $($for&nbsp; $η = 1)$&nbsp; and&nbsp; $K ≈ 2%$&nbsp; $($for&nbsp; $η = 0.5)$.
 *Thus, the error increases more than proportionally with increasing  &nbsp;$η$&nbsp;.

@@ Line 79: / Line 79: @@
 {{ML-Kopf}}
 [[File:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|frame|Konstruktion der "vertikalen" Ortskurve aus den Zeigern]]
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; <u>Answer 3</u> is correct:
-*Das äquivalente Tiefpass–Signal lautet:
+*The equivalent low-pass signal is::$$s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot \frac {\eta}{2}\cdot \left ({\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\right) \right)
   =  A_{\rm T} \cdot \big ( 1 + {\rm j}\cdot {\eta}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \big)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Grafik verdeutlicht, dass die Ortskurve&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; nun eine vertikale Gerade ist im Gegensatz zur idealen PM&nbsp; (Kreisbogen)&nbsp; und zur ZSB–AM&nbsp; (horizontale Gerade).&nbsp;
+*The graph illustrates that the locus curve&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; is now a a vertical straight line in contrast to the ideal PM (circular arc) and DSB–AM&nbsp; (horizontal straight line).&nbsp;
-*Im Folgenden wird&nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp; gesetzt.
+*In the following, we set &nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp;.
-'''(2)'''&nbsp; Die Hüllkurve ergibt sich aus der zeitabhängigen Zeigerlänge zu
+'''(2)'''&nbsp; The envelope is obtained from the time-dependent pointer length as
 :$$a(t)  =  \sqrt{1 + \eta^2 \cdot \cos^2 (\omega_{\rm N} \cdot t)} \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline { = 1}, \hspace{0.3cm}a_{\rm max} = \sqrt{1 + \eta^2 }\hspace{0.05cm}.$$
-*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt sich der Maximalwert zu &nbsp;$a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
+*For&nbsp; $η = 1$&nbsp; the maximum value becomes &nbsp;$a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
-'''(3)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion dieses einfachen Phasendemodulators  gilt:
+'''(3)'''&nbsp; The phase function of this simple phase demodulator is given by:
 :$$\phi(t) = \arctan \frac{{\rm Im}[s_{\rm TP}(t)]}{{\rm Re}[s_{\rm TP}(t)]} = \arctan (\eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Maximalwert tritt beispielsweise zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf und beträgt&nbsp; $ϕ_{\rm max} = \arctan(η)$.
+*The maximum value occurs at time&nbsp; $t = 0$&nbsp;, for example, and is &nbsp; $ϕ_{\rm max} = \arctan(η)$.
-:*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; erhält man&nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = 45^\circ}$&nbsp; $($im Vergleich:&nbsp; Bei idealer PM&nbsp; $57.3^\circ)$,
+:*When&nbsp; $η = 1$&nbsp;, one obtains &nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = 45^\circ}$&nbsp; $($to compare:&nbsp; for ideal PM&nbsp; $57.3^\circ)$,
-:*Für&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 26.6^\circ}$&nbsp; $($bei idealer PM&nbsp; $28.7^\circ)$.
+:*When&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; one gets &nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 26.6^\circ}$&nbsp; $($for ideal PM&nbsp; $28.7^\circ)$.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(4)'''&nbsp;<u>Answer 3</u> is correct:
-*Es gilt&nbsp; '''nicht''':&nbsp; &nbsp; &nbsp; $\arctan\big [η · \cos(γ)\big ] = η · \cos(γ)$.
+*It is&nbsp; '''not''' true that:&nbsp; &nbsp; &nbsp; $\arctan\big [η · \cos(γ)\big ] = η · \cos(γ)$.
-*Das heißt, dass das Sinkensignal im Gegensatz zum Quellensignal nicht cosinusförmig verläuft.
+*This means that the sink signal is not cosine, in contrast to the source signal.
-*Dies weist auf nichtlineare Verzerrungen hin.
+*This points to nonlinear distortions.
-'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $γ = η · \cos(ω_N · t)$&nbsp; und&nbsp; $\arctan(γ) ≈ γ – γ^3/3$&nbsp; erhält man:
+'''(5)'''&nbsp; Using&nbsp; $γ = η · \cos(ω_N · t)$&nbsp; and&nbsp; $\arctan(γ) ≈ γ – γ^3/3$&nbsp;, we get:
 :$$ \phi(t) =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \cos^3 (\omega_{\rm N} \cdot t))=
    \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \left [ {3}/{4}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) + {1}/{4}\cdot \cos (3 \omega_{\rm N} \cdot t)\right ] $$
 :$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} \phi(t) =  \left(\eta - {\eta^3}/{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - {\eta^3}/{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das bedeutet:&nbsp; Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung&nbsp; (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt)&nbsp; ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von Null verschieden.&nbsp; Man erhält:
+*This means:&nbsp; using the given series expansion (where 5th and higher order terms are ignored), only the third-order harmonic distortion is non-zero. Thus:
 :$$K = K_3 = \frac{\eta^3/12}{\eta-\eta^3/4}= \frac{1}{12/\eta^2 -3} \hspace{0.05cm}.$$
-*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt sich der Zahlenwert&nbsp; $K = 1/9 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 11.1\%}$.
+*When&nbsp; $η = 1$&nbsp; the numerical value is&nbsp; $K = 1/9 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 11.1\%}$.
-*Für&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; ist der Klirrfaktor&nbsp; $K = 1/45 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 2.2\%}$.
+*When&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; the distortion factor is&nbsp; $K = 1/45 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 2.2\%}$.
-Eine Simulation zeigt, dass man durch den Abbruch der Reihe nach dem Term dritter Ordnung einen Fehler macht, der den Klirrfaktor als zu hoch erscheinen lässt:
+A simulation shows that by stopping the series after the third order term, we have made the error of over-estimating the distortion factor:
-*Die per Simulation gewonnenen Werte sind&nbsp; $K ≈ 6%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 1)$&nbsp; und&nbsp; $K ≈ 2%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 0.5)$.
+*The values obtained by simulation are &nbsp; $K ≈ 6%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 1)$&nbsp; and&nbsp; $K ≈ 2%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 0.5)$.
-*Der Fehler nimmt also mit wachsendem &nbsp;$η$&nbsp; mehr als proportional zu.
+*Thus, the error increases more than proportionally with increasing  &nbsp;$η$&nbsp;.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 43: / Line 43: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal.&nbsp; Welche Aussage trifft zu?
+{Calculate the equivalent low-pass signal.  Which statement is true?
 |type="()"}
-- Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein Kreisbogen.
+- The locus curve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; is a circular arc.
-- Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine horizontale Gerade.
+- The locus curve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; is a horizontal straight line.
-+ Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine vertikale Gerade.
++ The locus curve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; is a vertical straight line.
-{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit &nbsp;$η = 1$?
+{Calculate the (normalized) envelope&nbsp;$a(t)$&nbsp; for &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; What are its minimum and maximum values when &nbsp;$η = 1$?
 |type="{}"}
 $a_{\rm min} \ = \ $ { 1 3%  }
 $a_{\rm max} \ = \ $ { 1.414 3%  }
-{Berechnen Sie den Maximalwert der Phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; für &nbsp;$η = 1$&nbsp; und &nbsp;$η = 0.5$.
+{Calculate the maximum value of the phase&nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; for &nbsp;$η = 1$&nbsp; and &nbsp;$η = 0.5$.
 |type="{}"}
 $η = 1.0\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$
 $η = 0.5\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 26.6 3% } $\ \rm Grad$
-{Welche Verzerrungen ergeben sich nach idealer Phasendemodulation von &nbsp;$s(t)$?
+{What are distortions result after ideal phase demodulation of  &nbsp;$s(t)$?
 |type="()"}
-- Es treten keine Verzerrungen auf.
+- No distortions occur.
-- Es treten lineare Verzerrungen auf.
+- Linear distortions occur.
-+ Es treten nichtlineare Verzerrungen auf.
++ Nonlinear distortions occur.
-{Berechnen Sie den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp;  unter Berücksichtigung der auf der Angabenseite genannten trigonometrischen Beziehungen.
+{Calculate the distortion factor &nbsp;$K$&nbsp; considering the trigonometric relationships given on the exercise page.
 |type="{}"}
 $η = 1.0\text{:} \ \ \   K \ = \ $ { 11.1 3% } $\ \text{%}$

@@ Line 15: / Line 15: @@
 *In contrast to &nbsp;[[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|ideal phase modulation]]&nbsp; the modulation index&nbsp; $η$&nbsp; and the phase deviation &nbsp;$ϕ_{\rm max}$ may differ in this "approximate phase modulation".
-*Außerdem erkennt man, dass die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.
+*Additionally, we can see that the envelope &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp;.&nbsp; This means that an unwanted amplitude modulation is superimposed on the phase modulation.
-Berechnet werden sollen in dieser Aufgabe aus der Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene (Ortskurve)
+From the representation of the equivalent low-pass signal &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; in the complex plane (locus curve), the following are to be calculated in this task:
-*die Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; und
+*the envelope &nbsp;$a(t)$&nbsp; and
-*die Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$.
+*the phase function&nbsp;$ϕ(t)$.
-Anschließend sollen die Verfälschungen analysiert werden, die sich ergeben, wenn bei diesem nichtidealen PM-Modulator empfangsseitig ein idealer PM-Demodulator eingesetzt wird, der das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; proportional zur Phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; setzt.
+Then, you are to analyse the distortions arising when an ideal PM demodulator, which sets the sink signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; proportional to the phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp;, is used on the receiving side of this nonideal PM modulator.
@@ Line 36: / Line 36: @@
 *Particular reference is made to the page&nbsp;[[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Equivalent_low-pass_signal_in_phase_modulation|Equivalent low-pass signal in phase modulation]].
-*Zur näherungsweisen Berechnung des Klirrfaktors können Sie folgende Gleichungen benutzen:
+*You can use the following equations to approximate the distortion factor:
 :$$\arctan(\gamma) \approx \gamma - {\gamma^3}/{3} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\gamma) ={3}/{4} \cdot \cos(\gamma) +{1}/{4} \cdot \cos(3 \cdot \gamma) \hspace{0.05cm}.$$
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
@@ Line 76: / Line 76: @@
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 [[File:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|frame|Konstruktion der "vertikalen" Ortskurve aus den Zeigern]]

@@ Line 32: / Line 32: @@
-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Particular reference is made to the page&nbsp;[[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)#Equivalent_low-pass_signal_in_phase_modulation|Equivalent low-pass signal in phase modulation]].
 *Zur näherungsweisen Berechnung des Klirrfaktors können Sie folgende Gleichungen benutzen:

@@ Line 12: / Line 12: @@
 :$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t)  $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \big[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \big] \hspace{0.05cm}.$$
-Das Verhältnis &nbsp;$η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; bezeichnen wir als den Modulationsindex;&nbsp; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung zu&nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp; gesetzt.
+We refer to the ratio &nbsp;$η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; as the modulation index;&nbsp; in the following, the carrier amplitude is set to &nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp; for simplicity.
-*Im Gegensatz zur &nbsp;[[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]]&nbsp; unterscheidet sich bei dieser "näherungsweisen Phasenmodulation" der Modulationsindex&nbsp; $η$&nbsp; und der Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$.
+*In contrast to &nbsp;[[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|ideal phase modulation]]&nbsp; the modulation index&nbsp; $η$&nbsp; and the phase deviation &nbsp;$ϕ_{\rm max}$ may differ in this "approximate phase modulation".
 *Außerdem erkennt man, dass die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|frame|"Näherungsweiser Phasenmodulator"]]
+[[File:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|frame|"Approximate phase modulator"]]
-Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals.&nbsp;
+The adjacent circuit allows the approximate realization of a phase-modulated signal.&nbsp;
-Der &nbsp;$90^\circ$–Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
+From the cosinusoidal carrier, &nbsp;$z(t)$&nbsp;, the &nbsp;$90^\circ$ phase shifter forms a sinusoidal signal of the same frequency, such that the modulated signal can be written as:
 :$$ s(t) = z(t) + q(t) \cdot \frac{z(t- T_0/4)}{A_{\rm T}}
 = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Term beschreibt eine "ZSB–AM ohne Träger".&nbsp; Zusätzlich wird der um &nbsp;$90^\circ$&nbsp; phasenverschobene Träger addiert.&nbsp; Bei cosinusförmigem Quellensignal &nbsp;$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$&nbsp; ergibt sich somit:
+The second term describes a "DSB–AM without carrier".&nbsp; Additionally, the carrier, phase-shifted by&nbsp;$90^\circ$&nbsp;, is added.&nbsp; Thus, with a cosine source signal&nbsp;$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$&nbsp;, we get:
 :$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t)  $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \big[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \big] \hspace{0.05cm}.$$