Aufgaben:Exercise 3.4: Systematic Convolution Codes - Revision history

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Correct is the <u>proposed solution 1</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Correct is the&nbsp; <u>proposed solution 1</u>:
-*Proposition 2 would result if the two outputs were swapped, that is, for the [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D-transform_to_rate-1.2Fn-convolution_encoders|"Rate 1/2 standard code"]] mostly considered in the theory section.
+*Proposition 2 would result if the two outputs were swapped,&nbsp; that is,&nbsp; for the [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D-transform_to_rate-1.2Fn-convolution_encoders|"rate&ndash;1/2 standard code"]] mostly considered in the theory section.
-*Proposition 3 applies to a systematic code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. However, the coder considered here &nbsp;$\rm A$&nbsp; does not exhibit this property.
+*Proposition 3 applies to a systematic code &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$.&nbsp; However,&nbsp; the coder&nbsp;$\rm A$&nbsp; considered here  does not exhibit this property.
-'''(2)'''&nbsp; To go from a nonsystematic $(n, \ k)$ code with matrix $\mathbf{G}(D)$ to the equivalent systematic code &nbsp; &#8658; &nbsp; matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$, <br> one must generally split $\mathbf{G}(D)$ into a $k &times; k$ matrix $\mathbf{T}(D)$ and a remainder matrix $\mathbf{Q}(D)$.
+'''(2)'''&nbsp; To go from a nonsystematic&nbsp; $(n, \ k)$&nbsp; code with matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; to the equivalent systematic code &nbsp; &#8658; &nbsp; matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$,&nbsp; one must generally split&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; into a&nbsp; $k &times; k$&nbsp; matrix&nbsp; $\mathbf{T}(D)$&nbsp; and a remainder matrix&nbsp; $\mathbf{Q}(D)$.
-*The desired result is then with the $k &times; k$ identity matrix $\mathbf{I}_k$:
+*The desired result is then with the&nbsp; $k &times; k$&nbsp; identity matrix&nbsp; $\mathbf{I}_k$:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot  {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-*We assume here the $\mathbf{G}(D)$ matrix for the coder &nbsp;$\rm A$&nbsp;.
+*We assume here the&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; matrix for the coder &nbsp;$\rm A$.&nbsp; Because of&nbsp; $k = 1$&nbsp; here both&nbsp; $\mathbf{T}(D)$&nbsp; and $\mathbf{Q}(D)$&nbsp; have dimension&nbsp; $1 &times; 1$,&nbsp; so strictly speaking they are not matrices at all:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.2cm}   {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm T}}(D) = \big ( 1+D^2\big )\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm}
   {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \big ( 1+D+D^2\big )\hspace{0.05cm} .$$
-*For the two elements of the systematic transfer function matrix, we obtain:
+*For the two elements of the systematic transfer function matrix,&nbsp; we obtain:
 :$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1 C,\hspace{0.8cm}
 G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$
@@ Line 90: / Line 89: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-So the <u>last proposed solution</u> is correct:
+So the&nbsp; <u>last proposed solution</u>&nbsp; is correct:
 *Proposed solution 1 does not describe a systematic code.
 *A code according to solution suggestion 2 is systematic, but not equivalent to the coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; according to the given circuit and transfer function matrix $\mathbf{G}(D)$.
@@ Line 99: / Line 99: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-*So this encoder is not equivalent to the encoder &nbsp;$\rm A$.
+*So this encoder is not equivalent to encoder &nbsp;$\rm A$.
-*Let us now consider the encoder &nbsp;$\rm C$. Here the second matrix element of $\mathbf{G}(D)$ holds:
 :$$w_i \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {U}(D) =  W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
@@ Line 107: / Line 108: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G^{(2)}(D) = \frac{{X}^{(2)}(D)}{{U}(D)} = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}\hspace{0.05cm}.$$
-This corresponds exactly to the result of the subtask '''(2)'''' &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Proposed solution 2</u>.
+*This corresponds exactly to the result of subtask&nbsp; '''(2)''' &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Proposed solution 2</u>.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 [[File:EN_KC_A_3_4.png|right|frame|Predefined filter structures]]
-One speaks of a systematic convolutional code of rate&nbsp; $R = 1/2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 1, \ n = 2$, if the code bit&nbsp; $x_i^{(1)}$&nbsp; is equal to the currently applied information bit&nbsp; $u_i$&nbsp;.
+One speaks of a&nbsp; "systematic convolutional code"&nbsp; of rate&nbsp; $R = 1/2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 1, \ n = 2$,&nbsp; if the code bit&nbsp; $x_i^{(1)}$&nbsp; is equal to the currently applied information bit&nbsp; $u_i$.
-The transfer function matrix of such a code is:
+*The transfer function matrix of such a code is:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-The encoder &nbsp;$\rm A$&nbsp; shown in the upper graph is certainly not systematic, since for this&nbsp; $G^{(1)}(D) &ne; 1$&nbsp; holds. To derive the matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; we refer to a&nbsp; [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D-transform_to_rate-1. 2Fn-convolution_encoders|"earlier example"]], where for our standard rate 1/2 encoder with memory&nbsp; $m = 2$&nbsp; the transfer function matrix was determined:
+*The encoder &nbsp;$\rm A$&nbsp; shown in the upper graph is certainly not systematic,&nbsp; since for this&nbsp; $G^{(1)}(D) &ne; 1$&nbsp; holds.&nbsp; To derive the matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; we refer to an&nbsp; [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D-transform_to_rate-1. 2Fn-convolution_encoders|$\text{earlier example}$]],&nbsp; where for our standard rate&ndash;1/2&nbsp; encoder with memory&nbsp; $m = 2$&nbsp; the transfer function matrix was determined:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) = \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 +  D^2 \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-The encoder &nbsp;$\rm A$&nbsp; differs from this example only by swapping the two outputs.
+:The encoder &nbsp;$\rm A$&nbsp; differs from this example only by swapping the two outputs.
 *If the transfer function matrix of a code is
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm},$$
-then the equivalent systematic representation of this rate 1/2 convolutional code holds in general:
+:then the equivalent systematic representation of this rate&ndash;1/2&nbsp; convolutional code holds in general:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {G^{(2)}(D)}/{G^{(1)}(D)} \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-In subtask '''(3)''', check which of the systematic arrangements is equivalent to encoder &nbsp;$\rm A$&nbsp;?
+In subtask&nbsp; '''(3)''',&nbsp; check which of the systematic arrangements is equivalent to encoder &nbsp;$\rm A$?
 *Either encoder &nbsp;$\rm B$,
 *or encoder &nbsp;$\rm C$&nbsp;
 *or both.
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+* Reference is made in particular to the sections&nbsp;
-Hints:
+:* [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Transfer_Function_Matrix|"Transfer Function Matrix"]]&nbsp; and&nbsp;
-* This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description| Algebraic and Polynomial Description]].
+:* [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Equivalent_systematic_convolutional_code|"Equivalent systematic convolutional code"]].
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 {Which encoder is equivalent to &nbsp;$\rm A$&nbsp; and systematic?
-|type="()"}
+|type="[]"}
 - Encoder &nbsp;$\rm B$&nbsp;,
 + encoder &nbsp;$\rm C$&nbsp;.

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	*Proposition 2 would result if the two outputs were swapped, that is, for the [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D-transform_to_rate-1.2Fn-convolution_encoders\|"Rate 1/2 standard code"]] mostly considered in the theory section.		*Proposition 2 would result if the two outputs were swapped, that is, for the [[Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description#Application_of_the_D-transform_to_rate-1.2Fn-convolution_encoders\|"Rate 1/2 standard code"]] mostly considered in the theory section.

−	*Proposition 3 applies to a systematic code ⇒ $\underline{x}^{(1)} = $\underline{u}$. However, the coder considered here  $\rm A$  does not exhibit this property.	+	*Proposition 3 applies to a systematic code ⇒ $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. However, the coder considered here  $\rm A$  does not exhibit this property.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Channel_Coding/Algebraic_and_Polynomial_Description}}
-[[File:P_ID2629__KC_A_3_4.png|right|frame|Predefined filter structures]]
+[[File:EN_KC_A_3_4.png|right|frame|Predefined filter structures]]
 One speaks of a systematic convolutional code of rate&nbsp; $R = 1/2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 1, \ n = 2$, if the code bit&nbsp; $x_i^{(1)}$&nbsp; is equal to the currently applied information bit&nbsp; $u_i$&nbsp;.

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−	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.2 ~~Polynomische Beschreibung~~^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.2 Polynomial Description^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Kanalcodierung~~\|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]

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   \hspace{0.05cm}.$$
-Der in der oberen Grafik dargestellte Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist sicher nicht systematisch, da für diesen&nbsp; $G^{(1)}(D) &ne; 1$&nbsp; gilt. Zur Herleitung der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; verweisen wir auf ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| früheres Beispiel]], in dem für unseren Standard&ndash;Rate&ndash;1/2&ndash;Coder mit Gedächtnis&nbsp; $m = 2$&nbsp; die Übertragungsfunktionsmatrix ermittelt wurde:
+Der in der oberen Grafik dargestellte Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist sicher nicht systematisch, da für diesen&nbsp; $G^{(1)}(D) &ne; 1$&nbsp; gilt. Zur Herleitung der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; verweisen wir auf ein&nbsp; [[Channel_Coding/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| früheres Beispiel]], in dem für unseren Standard&ndash;Rate&ndash;1/2&ndash;Coder mit Gedächtnis&nbsp; $m = 2$&nbsp; die Übertragungsfunktionsmatrix ermittelt wurde:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) = \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 +  D^2 \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-:: [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.9Cbertragungsfunktionsmatrix_.E2.80.93_Transfer_Function_Matrix|Übertragungsfunktionsmatrix &ndash; Transfer Function Matrix]]&nbsp; sowie&nbsp;
+:: [[Channel_Coding/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.9Cbertragungsfunktionsmatrix_.E2.80.93_Transfer_Function_Matrix|Übertragungsfunktionsmatrix &ndash; Transfer Function Matrix]]&nbsp; sowie&nbsp;
-:: [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode|Äquivalenter systematischer Faltungscode]].
+:: [[Channel_Coding/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode|Äquivalenter systematischer Faltungscode]].
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Rate&ndash;1/2&ndash;Standardcode]].
+*Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten [[Channel_Coding/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Rate&ndash;1/2&ndash;Standardcode]].
 *Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.

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 *Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Rate&ndash;1/2&ndash;Standardcode]].
-*Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder A weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.
+*Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.
-'''(2)'''&nbsp; Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$&ndash;Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen, muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k &times; k$&ndash;Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$.
+'''(2)'''&nbsp; Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$&ndash;Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen, <br>muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k &times; k$&ndash;Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$.
-Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:
+*Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot  {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Wir gehen hier von der $\mathbf{G}(D)$&ndash;Matrix für den Coder A aus. Wegen $k = 1$ haben hier sowohl $\mathbf{T}(D)$ als auch $\mathbf{Q}(D)$ die Dimension $1 &times; 1$, sind also streng genommen gar keine Matrizen:
+*Wir gehen hier von der $\mathbf{G}(D)$&ndash;Matrix für den Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; aus.
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.2cm}   {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm T}}(D) = \big ( 1+D^2\big )\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm}
   {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \big ( 1+D+D^2\big )\hspace{0.05cm} .$$
-Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:
+*Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:
 :$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1 C,\hspace{0.8cm}
 G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$
@@ Line 90: / Line 91: @@
 Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
 *Der Lösungsvorschlag 1 beschreibt keinen systematischen Code.
-*Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum '''Coder A''' entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.
+*Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Generatorfunktionsmatrix von <b>Coder B</b> lautet:
+'''(3)'''&nbsp; Die Generatorfunktionsmatrix von Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; lautet:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {1+D+D^2} \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum '''Coder A'''.
+*Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum Coder &nbsp;$\rm A$.
-*Betrachten wir nun den <b>Coder C</b>. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:
+*Betrachten wir nun den Coder &nbsp;$\rm C$. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:
 :$$w_i \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {U}(D) =  W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
@@ Line 105: / Line 106: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G^{(2)}(D) = \frac{{X}^{(2)}(D)}{{U}(D)} = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Dies entspricht genau dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+Dies entspricht genau dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 {{ML-Fuß}}