Aufgaben:Exercise 3.5Z: Phase Modulation of a Trapezoidal Signal - Revision history

Reed: /* Solution */

2022-04-09T15:11:46Z

Solution

Reed at 15:09, 9 April 2022

2022-04-09T15:09:14Z

Reed at 12:58, 17 March 2022

2022-03-17T12:58:24Z

Reed at 12:57, 17 March 2022

2022-03-17T12:57:19Z

Reed at 12:56, 17 March 2022

2022-03-17T12:56:50Z

Reed at 12:49, 17 March 2022

2022-03-17T12:49:11Z

Reed at 12:44, 17 March 2022

2022-03-17T12:44:54Z

Reed at 12:44, 17 March 2022

2022-03-17T12:44:31Z

Reed at 12:38, 17 March 2022

2022-03-17T12:38:33Z

Guenter at 13:24, 16 March 2022

2022-03-16T13:24:56Z

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 '''(2)'''&nbsp; In the range&nbsp; $0 < t < T$&nbsp;, the angular function can be represented as follows:
 :$$ \psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot 2\,{\rm V} \cdot {t}/{T}\hspace{0.05cm}.$$
-*The instantaneous angular frequency &nbsp; $ω_{\rm A}(t)$&nbsp; or the instantaneous frequency &nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp; the following holds:
+*For the instantaneous angular frequency &nbsp; $ω_{\rm A}(t)$&nbsp; or the instantaneous frequency &nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp;, the following holds:
 :$$\omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm PM} \cdot \frac{2\,{\rm V}}{10\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \frac{1.5\,{\rm  V}^{-1}}{2 \pi} \cdot 2 \cdot 10^5 \rm {V}/{ s} = 100\,{\rm kHz}+ 47.7\,{\rm kHz}= 147.7\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
 *The instantaneous frequency is constant, so $f_\text{A, min} = f_\text{A, max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 147.7 \ \rm kHz}$&nbsp; holds.

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	}}		}}

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 *The instantaneous angular frequency &nbsp; $ω_{\rm A}(t)$&nbsp; or the instantaneous frequency &nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp; the following holds:
 :$$\omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm PM} \cdot \frac{2\,{\rm V}}{10\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \frac{1.5\,{\rm  V}^{-1}}{2 \pi} \cdot 2 \cdot 10^5 \rm {V}/{ s} = 100\,{\rm kHz}+ 47.7\,{\rm kHz}= 147.7\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-*The instantaneous frequency is constant, sonbsp; $f_\text{A, min} = f_\text{A, max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 147.7 \ \rm kHz}$&nbsp; holds.
+*The instantaneous frequency is constant, so $f_\text{A, min} = f_\text{A, max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 147.7 \ \rm kHz}$&nbsp; holds.

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 }}
-[[File:P_ID1100__Mod_Z_3_5.png|right|frame|Trapez– und Rechtecksignal]]
+[[File:P_ID1100__Mod_Z_3_5.png|right|frame|Trapezoidal and rectangular signals]]
 A phase modulator with input signal&nbsp;$q_1(t)$&nbsp; a modulated signal&nbsp;$s(t)$&nbsp; at the output are described as follows:
 :$$s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big[\psi(t) \big ]=

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Phasenfunktion berechnet sich zu&nbsp; $ϕ(t) = K_{\rm PM} · q_1(t)$.&nbsp; Der Phasenhub&nbsp; $ϕ_{\rm max}$&nbsp;  ist gleich der sich ergebenden Phase für den Maximalwert des Quellensignals:
+'''(1)'''&nbsp; The phase function is calculated as&nbsp; $ϕ(t) = K_{\rm PM} · q_1(t)$.&nbsp; The phase deviation&nbsp; $ϕ_{\rm max}$&nbsp;is equal to the phase resulting from the maximum value of the source signal:
 :$$ \phi_{\rm max} = K_{\rm PM} \cdot 2\,{\rm V} = 3\,{\rm rad}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm PM} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V^{-1}}} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Im Bereich&nbsp; $0 < t < T$&nbsp; kann die Winkelfunktion wie folgt dargestellt werden:
+'''(2)'''&nbsp; In the range&nbsp; $0 < t < T$&nbsp;, the angular function can be represented as follows:
 :$$ \psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot 2\,{\rm V} \cdot {t}/{T}\hspace{0.05cm}.$$
-*Für die Augenblickskreisfrequenz&nbsp; $ω_{\rm A}(t)$&nbsp; bzw. die Augenblicksfrequenz&nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp; gilt dann:
+*The instantaneous angular frequency &nbsp; $ω_{\rm A}(t)$&nbsp; or the instantaneous frequency &nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp; the following holds:
 :$$\omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm PM} \cdot \frac{2\,{\rm V}}{10\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \frac{1.5\,{\rm  V}^{-1}}{2 \pi} \cdot 2 \cdot 10^5 \rm {V}/{ s} = 100\,{\rm kHz}+ 47.7\,{\rm kHz}= 147.7\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Augenblicksfrequenz ist konstant, so dass&nbsp; $f_\text{A, min} = f_\text{A, max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 147.7 \ \rm kHz}$&nbsp; gilt.
+*The instantaneous frequency is constant, sonbsp; $f_\text{A, min} = f_\text{A, max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 147.7 \ \rm kHz}$&nbsp; holds.
-'''(3)'''&nbsp; Aufgrund des konstanten Quellensignals ist im gesamten hier betrachteten Zeitbereich&nbsp; $T < t < 3T$&nbsp; die Ableitung gleich Null, so dass die Augenblicksfrequenz gleich der Trägerfrequenz ist:
+'''(3)'''&nbsp; Due to the constant source signal, the derivative is zero throughout the time interval&nbsp; $T < t < 3T$&nbsp; under consideration, so the instantaneous frequency is equal to the carrier frequency:
 :$$f_{\rm A, \hspace{0.05cm} min} =f_{\rm A, \hspace{0.05cm} max} =f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 100\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Der lineare Abfall von&nbsp; $q_1(t)$&nbsp; im Zeitintervall&nbsp;  $3T < t < 5T$&nbsp; mit betragsmäßig gleicher Steigung, wie unter Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet, führt zum Ergebnis:
+'''(4)'''&nbsp; The linear decay of&nbsp; $q_1(t)$&nbsp; in the time interval&nbsp;  $3T < t < 5T$&nbsp; with slope as calculated in&nbsp; '''(2)'''&nbsp; leads to the result:
 :$$f_{\rm A, \hspace{0.05cm} min} =f_{\rm A, \hspace{0.05cm} max} =f_{\rm T} - 47.7\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 52.3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Durch Differentiation kommt man zur Augenblickskreisfrequenz:
+'''(5)'''&nbsp; By differentiation, we arrive at the instantaneous angular frequency:
 :$$ \omega_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q_2(t) \Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm A}(t) = f_{\rm T}+\frac{ K_{\rm FM}}{2 \pi} \cdot q_2(t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich somit:
+*Using the result from &nbsp; '''(2)'''&nbsp;, we get:
 :$$\frac{ K_{\rm FM}}{2 \pi} \cdot 2\,{\rm V} = \frac{ 3 \cdot 10^5}{2 \pi} \cdot {\rm s^{-1}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5 \cdot 10^5 \hspace{0.15cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$

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 $f_\text{A, max} \hspace{0.06cm} = \ $ { 52.3 3% } $\ \rm kHz$
-{How must the modulator constant be chosen&nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; so that the signal&nbsp;$q_2(t)$&nbsp; results in the same RF signal&nbsp;$s(t)$&nbsp; after frequency modulation?
+{How must the modulator constant &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp;be chosen so that the signal&nbsp;$q_2(t)$&nbsp; results in the same RF signal&nbsp;$s(t)$&nbsp; after frequency modulation?
 |type="{}"}
 $K_{\rm FM} \ = \ $ { 1.5 3% }  $\ \cdot 10^5 \ \rm V^{-1}s^{-1}$

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 ''Hints:''
 *This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)|Frequency Modulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
+*Reference is also made to the chapter&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].

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-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)|Frequency Modulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]].
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Wie ist die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm PM}$&nbsp; zu wählen, damit &nbsp;$ϕ_{\rm max} = 3 \ \rm rad$&nbsp; beträgt?
+{How should the modulator constant &nbsp;$K_{\rm PM}$&nbsp; be chosen so that &nbsp;$ϕ_{\rm max} = 3 \ \rm rad$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $K_{\rm PM} \ = \ $  { 1.5 3% } $\ \rm V^{-1}$
-{Welchen Wertebereich nimmt die Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; im Zeitintervall &nbsp;$0 < t < T$&nbsp; an?
+{What range of values does the instantaneous frequency &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; take on in the time interval&nbsp;$0 < t < T$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $f_\text{A, min} \ = \ $ { 147.7 3% } $\ \rm kHz$
 $f_\text{A, max} \hspace{0.06cm} = \ $ { 147.7 3% } $\ \rm kHz$
-{Welchen Wertebereich nimmt die Augenblicksfrequenz  &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; im Zeitintervall &nbsp;$T < t < 3T$&nbsp; an?
+{What range of values does the instantaneous frequency &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp;take on in the time interval &nbsp;$T < t < 3T$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $f_\text{A, min} \ = \ $ { 100 3% } $\ \rm kHz$
 $f_\text{A, max} \hspace{0.06cm} = \ $ { 100 3% } $\ \rm kHz$
-{Welchen Wertebereich nimmt die Augenblicksfrequenz  &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; im Zeitintervall &nbsp;$3T < t < 5T$&nbsp; an?
+{What range of values does the instantaneous frequency&nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp;take on in the time interval &nbsp;$3T < t < 5T$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $f_\text{A, min} \ = \ $ { 52.3 3% } $\ \rm kHz$
 $f_\text{A, max} \hspace{0.06cm} = \ $ { 52.3 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie muss die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; gewählt werden, damit das Signal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; nach Frequenzmodulation zum gleichen HF–Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; führt?
+{How must the modulator constant be chosen&nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; so that the signal&nbsp;$q_2(t)$&nbsp; results in the same RF signal&nbsp;$s(t)$&nbsp; after frequency modulation?
 |type="{}"}
 $K_{\rm FM} \ = \ $ { 1.5 3% }  $\ \cdot 10^5 \ \rm V^{-1}s^{-1}$
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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die Phasenfunktion berechnet sich zu&nbsp; $ϕ(t) = K_{\rm PM} · q_1(t)$.&nbsp; Der Phasenhub&nbsp; $ϕ_{\rm max}$&nbsp;  ist gleich der sich ergebenden Phase für den Maximalwert des Quellensignals:

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 [[File:P_ID1100__Mod_Z_3_5.png|right|frame|Trapez– und Rechtecksignal]]
-Ein Phasenmodulator mit dem Eingangssignal &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; und dem modulierten Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; am Ausgang wird durch folgende Gleichung beschrieben:
+A phase modulator with input signal&nbsp;$q_1(t)$&nbsp; a modulated signal&nbsp;$s(t)$&nbsp; at the output are described as follows:
 :$$s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big[\psi(t) \big ]=
   A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q_1(t) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Trägerkreisfrequenz beträgt &nbsp;$ω_{\rm T} = 2π · 10^5 \cdot {1}/{\rm s}$.
+*The carrier angular frequency is &nbsp;$ω_{\rm T} = 2π · 10^5 \cdot {1}/{\rm s}$.
-*Die Augenblickskreisfrequenz &nbsp;$ω_{\rm A}(t)$&nbsp; ist gleich der Ableitung der Winkelfunktion &nbsp;$ψ(t)$&nbsp; nach der Zeit.
+*The instantaneous angular frequency &nbsp;$ω_{\rm A}(t)$&nbsp; is equal to the derivative of the angle function &nbsp;$ψ(t)$&nbsp; with respect to time.
-*Die Augenblicksfrequenz ist dann &nbsp;$f_{\rm A}(t) = ω_{\rm A}(t)/2π$.
+*The instantaneous frequency is thus &nbsp;$f_{\rm A}(t) = ω_{\rm A}(t)/2π$.
-Als Testsignal wird das Trapez–Signal &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; angelegt, wobei die Nomierungszeitdauer &nbsp;$T = 10 \ \rm &micro; s$&nbsp; beträgt.
+The trapezoidal signal &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; is applied as a test signal, where the nominated time duration is &nbsp;$T = 10 \ \rm &micro; s$&nbsp;.
-Zum gleichen modulierten Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; würde ein Frequenzmodulator mit der Winkelfunktion
+The same modulated signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; would result from a frequency modulator with the angular function
 :$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm FM} \cdot \int q_2(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t$$
-führen, wenn das rechteckförmige Quellensignal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; entsprechend der unteren Skizze angelegt wird.
+if the rectangular source signal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; is applied according to the lower plot.

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