Aufgaben:Exercise 3.6: State Transition Diagram - Revision history

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Guenter at 13:09, 7 June 2019

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 {{ML-Kopf}}
 [[File:P_ID2649__KC_A_3_6a_neu.png|right|frame|Equivalent circuit diagram of the encoder under consideration]]
-'''(1)'''&nbsp; As can be seen from the accompanying equivalent circuit diagram, the encoder contains only one memory element &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; Memory $m = 1$. Thus there are $2^m \ \underline{= 2}$ states, viz.
+'''(1)'''&nbsp; As can be seen from the accompanying equivalent circuit diagram,&nbsp; the encoder contains only one memory element &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; memory&nbsp; $m = 1$.&nbsp; Thus there are&nbsp; $2^m \ \underline{= 2}$&nbsp; states,&nbsp; viz.
 * the state $S_0 \ \Rightarrow \ u_{i&ndash;1} = 0$,
 * the state $S_1 \ \Rightarrow \ u_{i&ndash;1} = 1$.
-'''(2)'''&nbsp; From each state $2^k = 2$ arrows go to different states.
+'''(2)'''&nbsp; From each state go&nbsp; $2^k = 2$&nbsp; arrows to different states.
-*Since there are only two states, the answer <u>YES</u> is correct.
+*Since there are only two states,&nbsp; the answer <u>YES</u> is correct.
-'''(3)'''&nbsp; Correct are the <u>solutions 1 and 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>solutions 1 and 3</u>:
-*The information bit $u_i$ present at time $i$ is, with respect to the following time $(j = i + 1)$, the previous bit $(u_{j&ndash;1})$.
+*The information bit&nbsp; $u_i$&nbsp; present at time&nbsp; $i$&nbsp; is with respect to the following time $(j = i + 1)$&nbsp; the previous bit&nbsp; $(u_{j&ndash;1})$.
 *Thus $s_{i+1} = u_i$ holds. Only with $u_i = 0$ does one get from $s_i = S_1$ to $s_{i+1} = S_0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Proposed solution 1</u>.
-*From $s_i = S_1$ &#8658; $u_{i&ndash;1} = 1$ follows further &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Proposed solution 3</u>:
+*Thus&nbsp; $s_{i+1} = u_i$&nbsp; holds.&nbsp; Only with&nbsp; $u_i = 0$&nbsp; does one get&nbsp; from&nbsp; $s_i = S_1$&nbsp; to&nbsp; $s_{i+1} = S_0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Proposed solution 1</u>.
 :$${x}_i^{(1)} = u_i = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{x}_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}= 0+1 = 1
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x}_i = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})
 \hspace{0.05cm}. $$
-*The proposed solution 4 could have been ruled out from the beginning. The graph on the specification sheet clearly shows that the coder is systematic: $x_i^{(1)} = u_i$. The combination $u_i = 0$ and $\underline{x}_i = (1, 0)$ would contradict this.
+*The proposed solution 4 could have been ruled out from the beginning.&nbsp; The graph on the specification sheet clearly shows that the coder is systematic:&nbsp; $x_i^{(1)} = u_i$.&nbsp;
-In contrast, the second code sequence is not possible:
+* But in the state&nbsp; $S_1$&nbsp; then only the outputs&nbsp; "$01$"&nbsp; and&nbsp; "$10$"&nbsp; are possible, but not&nbsp; "$00$".
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 [[File:P_ID2648__KC_A_3_6.png|right|frame|Simple realization of a rate $1/2$ convolutional encoder]]
-A description possibility for convolutional coders is provided by the so-called <i>state transition diagram</i>. If the coder&nbsp; $m$&nbsp; contains memory registers &nbsp; &#8658; &nbsp; influence length&nbsp; $\nu = m + 1$, then there are different states&nbsp; $S_{\mu}$ with $0 &#8804; \mu &#8804; 2^m -1$, where holds for the index:
+A description possibility for convolutional encoders is provided by the so-called&nbsp; "state transition diagram".
 :$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2^{l-1} \cdot u_{i-l}
 \hspace{0.05cm}.$$
-This type of code description is to be applied to the convolutional coder of rate&nbsp; $R = 1/2$&nbsp; outlined above.
+*This type of code description is to be applied to the convolutional coder of rate&nbsp; $R = 1/2$&nbsp; outlined above.
 *Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Channel_Coding/Code_Description_with_State_and_Trellis_Diagram#State_definition_for_a_memory_register|"State definition for a memory register"]].
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 {What statements hold for the transition from&nbsp; $s_i = S_1$&nbsp; to&nbsp; $s_{i+1} = S_0$?
 |type="[]"}
-+ The current information bit must&nbsp; $u_i = 0$&nbsp;.
++ The current information bit must be&nbsp; $u_i = 0$&nbsp;.
 - The current information bit must be&nbsp; $u_i = 1$&nbsp;.
 + The associated code sequence is&nbsp; $\underline{x}_i = (01)$.
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 {What statements hold for the transition from&nbsp; $s_i = S_1$&nbsp; to&nbsp; $s_{i+1} = S_1$?
 |type="[]"}
-- The current information bit must&nbsp; $u_i = 0$&nbsp;.
+- The current information bit must be&nbsp; $u_i = 0$&nbsp;.
 + The current information bit must be&nbsp; $u_i = 1$&nbsp;.
 - The associated code sequence is&nbsp; $\underline{x}_i = (01)$.

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−	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.3 ~~Zustands– und Trellisdiagramm~~^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.3 State and Trellis Diagram^]]

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 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Ausgehend vom Zustand $S_0$ kommt man
-* mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$11$&rdquo;,
+* mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$11$",
-* mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$10$&rdquo;,
+* mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$10$",
-* mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe "$01$&rdquo;,
+* mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe "$01$",
-* mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe "$00$&rdquo;,
+* mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe "$00$",
-* mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$11$&rdquo;,
+* mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$11$",
-* mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$10$&rdquo;.
+* mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$10$".
 Dagegen ist die zweite Codesequenz nicht möglich:
-* Die Ausgabe "$11$&rdquo; bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
+* Die Ausgabe "$11$" bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
-* Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben "$01$&rdquo; und "$10$&rdquo; möglich, nicht jedoch "$00$&rdquo;.
+* Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben "$01$" und "$10$" möglich, nicht jedoch "$00$".
 {{ML-Fuß}}

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 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Ausgehend vom Zustand $S_0$ kommt man
-* mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe &bdquo;$11$&rdquo;,
+* mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$11$&rdquo;,
-* mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe &bdquo;$10$&rdquo;,
+* mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$10$&rdquo;,
-* mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe &bdquo;$01$&rdquo;,
+* mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe "$01$&rdquo;,
-* mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe &bdquo;$00$&rdquo;,
+* mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe "$00$&rdquo;,
-* mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe &bdquo;$11$&rdquo;,
+* mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$11$&rdquo;,
-* mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe &bdquo;$10$&rdquo;.
+* mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe "$10$&rdquo;.
 Dagegen ist die zweite Codesequenz nicht möglich:
-* Die Ausgabe &bdquo;$11$&rdquo; bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
+* Die Ausgabe "$11$&rdquo; bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
-* Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben &bdquo;$01$&rdquo; und &bdquo;$10$&rdquo; möglich, nicht jedoch &bdquo;$00$&rdquo;.
+* Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben "$01$&rdquo; und "$10$&rdquo; möglich, nicht jedoch "$00$&rdquo;.
 {{ML-Fuß}}

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Kanalcodierung~~\|^3.3 Zustands– und Trellisdiagramm^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^3.3 Zustands– und Trellisdiagramm^]]

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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm| Codebeschreibung mit Zustands&ndash; und Trellisdiagramm]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm| Codebeschreibung mit Zustands&ndash; und Trellisdiagramm]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands–_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister|Zustandsdefinition für ein Speicherregister]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Channel_Coding/Codebeschreibung_mit_Zustands–_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister|Zustandsdefinition für ein Speicherregister]].

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 {{ML-Kopf}}
 [[File:P_ID2649__KC_A_3_6a_neu.png|right|frame|Ersatzschaltbild des betrachteten Codierers]]
-'''(1)'''&nbsp; Wie aus dem nebenstehenden Ersatzschaltbild hervorgeht, beinhaltet der Codierer nur ein Speicherelement &nbsp; &#8658; &nbsp; Gedächtnis $m = 1$. Damit gibt es $2^m \ \underline{= 2}$ Zustände, nämlich
+'''(1)'''&nbsp; Wie aus dem nebenstehenden Ersatzschaltbild hervorgeht, beinhaltet der Codierer nur ein Speicherelement &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; Gedächtnis $m = 1$. Damit gibt es $2^m \ \underline{= 2}$ Zustände, nämlich
 * den Zustand $S_0 \ \Rightarrow \ u_{i&ndash;1} = 0$,
 * den Zustand $S_1 \ \Rightarrow \ u_{i&ndash;1} = 1$.
-'''(2)'''&nbsp; Von jedem Zustand gehen $2^k = 2$ Pfeile zu verschiedenene Zuständen ab. Da es nur zwei Zustände gibt, ist die Antwort <u>JA</u> richtig.
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
-*Auf ähnlichem Lösungsweg wie in der Teilaufgabe (3) gelangt man zum Ergebnis, dass hier das  aktuelle Informationsbit $u_i = 1$ sein muss.
+*Auf ähnlichem Lösungsweg wie in der Teilaufgabe '''(3)''' gelangt man zum Ergebnis, dass hier das  aktuelle Informationsbit $u_i = 1$ sein muss.
 *Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (10)$.
 *Damit ergeben sich das folgende Zustandsübergangsdiagramm (links) und das daraus ableitbare Trellisdiagramm: