Aufgaben:Exercise 3.7: Optimal Nyquist Equalization once again - Revision history

Guenter at 09:38, 23 June 2022

2022-06-23T09:38:38Z

Guenter at 09:12, 23 June 2022

2022-06-23T09:12:16Z

Hwang at 08:15, 26 May 2022

2022-05-26T08:15:56Z

Hwang at 08:08, 26 May 2022

2022-05-26T08:08:31Z

Guenter at 15:15, 7 May 2022

2022-05-07T15:15:36Z

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2022-05-07T15:12:03Z

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2020-06-10T15:55:19Z

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Guenter at 09:09, 6 March 2019

2019-03-06T09:09:10Z

Guenter at 09:03, 6 March 2019

2019-03-06T09:03:53Z

@@ Line 70: / Line 70: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; In general, for all frequencies $f \ge  0$: &nbsp;
+'''(1)'''&nbsp; In general,&nbsp; for all frequencies&nbsp; $f \ge  0$: &nbsp;
 :$$|H_{\rm SK}(f)|= {\rm sinc}(f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 83: / Line 83: @@
-'''(2)'''&nbsp; The graph shows that $H_{\rm TF}(f)$ becomes maximal at $f = f_{\rm Nyq}$. It follows with the given equation that
+'''(2)'''&nbsp; The graph shows that&nbsp; $H_{\rm TF}(f)$&nbsp; becomes maximal at&nbsp; $f = f_{\rm Nyq}$.&nbsp;
 :$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
   \frac{\kappa}{T})
   |^2}$$
-is minimal at the Nyquist frequency. However, for $f = f_{\rm Nyq}$, of the infinite sum, only the terms with $\kappa = 0$ and $\kappa = 1$ contribute relevantly to the result.
+:is minimal at the Nyquist frequency.&nbsp;
-*From this follows further with the result from '''(1)''':
+*However,&nbsp; for $f = f_{\rm Nyq}$,&nbsp; of the infinite sum, only the terms with&nbsp; $\kappa = 0$&nbsp; and&nbsp; $\kappa = 1$&nbsp; contribute relevantly to the result.
 :$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm
   Nyq})=
@@ Line 98: / Line 101: @@
-'''(3)'''&nbsp; Approximating the integral over $H_{\rm TF}(f)$ by the triangular area plotted in the graph, we obtain:
+'''(3)'''&nbsp; Approximating the integral over&nbsp; $H_{\rm TF}(f)$&nbsp; by the triangular area plotted in the graph,&nbsp; we obtain:
 :$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2  = T \cdot
 \int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx  T \cdot
@@ Line 105: / Line 108: @@
-'''(4)'''&nbsp; According to the given equation, we obtain for the (mean) symbol error probability:
+'''(4)'''&nbsp; According to the given equation,&nbsp; we obtain for the (mean) symbol error probability:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right
   ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{10^{8}}{1.7
@@ Line 112: / Line 115: @@
 \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-:Since a Nyquist system is present, the worst&ndash;case probability $p_{\rm U}$ is just as large.
+:Since a binary Nyquist system is present,&nbsp; the worst&ndash;case probability&nbsp; $p_{\rm U}$&nbsp; is just as large.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^3.5 Linear Nyquist Equalization^]]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization}}
-[[File:P_ID1435__Dig_A_3_7.png|right|frame|Transversal filter frequency response]]
+[[File:P_ID1435__Dig_A_3_7.png|right|frame|Transversal filter <br>frequency response]]
 We assume the following for this exercise:
 * binary bipolar NRZ rectangular pulses
 :$$|H_{\rm S}(f)|= {\rm sinc}(f T) \hspace{0.05cm},$$
-* coaxial cable with cable attenuation &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
+* coaxial cable with characteristic cable attenuation &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
 :$$|H_{\rm K}(f)|= {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm},$$
@@ Line 20: / Line 20: @@
-Because of Nyquist equalization, the eye is maximally open. For the error probability holds:
+Because of Nyquist equalization,&nbsp; the eye is maximally open.&nbsp; For the error probability holds:
 :$$p_{\rm S}  \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-The normalized interference power at the decision is given by the following equations:
+The normalized noise power at the decision is given by the following equations:
 :$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
 \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f
@@ Line 34: / Line 34: @@
 The validity of this equation follows from the periodicity of the transversal filter frequency response &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$.
-*In the graph, the normalized noise power can be seen as the area highlighted in red.
+*In the graph,&nbsp; the normalized noise power can be seen as the area highlighted in red.
 Notes:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization|"Linear Nyquist Equalization"]].

@@ Line 41: / Line 41: @@
-''Hinweise:''
+''Notes:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization|"Linear Nyquist Equalization"]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization|"Linear Nyquist Equalization"]].
-* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; benutzen.
+* To determine the error probability you can use the interactive calculation module&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Complementary Gaussian Error Functions"]].&nbsp;
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Betrag des Sender&ndash;Kanal&ndash;Frequenzgangs für die Frequenzen &nbsp;$f = 0$, &nbsp;$f  = 1/(2T)= f_{\rm Nyq}$&nbsp; und&nbsp; $f = 1/T =  2 \cdot f_{\rm Nyq}$.
+{Calculate the magnitude of the transmitter channel frequency response for the frequencies &nbsp;$f = 0$, &nbsp;$f  = 1/(2T)= f_{\rm Nyq}$&nbsp; and&nbsp; $f = 1/T =  2 \cdot f_{\rm Nyq}$.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm SK} (f = 0)| \hspace{0.8cm} = \ $ { 1 3% }
@@ Line 56: / Line 56: @@
 $|H_{\rm SK} (f = 1/T)| \hspace{0.25cm} = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie den Maximalwert von &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; bei der Frequenz &nbsp;$f = f_{\rm Nyq}$.
+{Calculate the maximum value of &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; at frequency &nbsp;$f = f_{\rm Nyq}$.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm TF} (f = f_{\rm Nyq})| \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.21 3% } $\ \cdot 10^8$
-{Berechnen Sie die normierte Störleistung entsprechend der Dreiecknäherung.
+{Calculate the normalized noise power according to the triangular approximation.
 |type="{}"}
 $\sigma_{d, \ \rm  norm}^2 \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.7 3% } $\ \cdot 10^7$
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit &nbsp;$s_0^2 \cdot T/N_0 = 10^8$?
+{What is the symbol error probability with &nbsp;$s_0^2 \cdot T/N_0 = 10^8$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \hspace{0.2cm} = \ $ { 0.8 3% } $\ \%$
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge  0$: &nbsp;
+'''(1)'''&nbsp; In general, for all frequencies $f \ge  0$: &nbsp;
 :$$|H_{\rm SK}(f)|= {\rm sinc}(f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm}.$$
-*Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
+*This gives the special cases we are looking for:
 :$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = 0)|= {\rm sinc}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 84: / Line 84: @@
-'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt, dass $H_{\rm TF}(f)$ bei $f = f_{\rm Nyq}$ maximal wird. Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung, dass
+'''(2)'''&nbsp; The graph shows that $H_{\rm TF}(f)$ becomes maximal at $f = f_{\rm Nyq}$. It follows with the given equation that
 :$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
   \frac{\kappa}{T})
   |^2}$$
-bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei.
+is minimal at the Nyquist frequency. However, for $f = f_{\rm Nyq}$, of the infinite sum, only the terms with $\kappa = 0$ and $\kappa = 1$ contribute relevantly to the result.
-*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus '''(1)''':
+*From this follows further with the result from '''(1)''':
 :$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm
   Nyq})=
@@ Line 99: / Line 99: @@
-'''(3)'''&nbsp; Nähert man das Integral über $H_{\rm TF}(f)$ durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an, so erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Approximating the integral over $H_{\rm TF}(f)$ by the triangular area plotted in the graph, we obtain:
 :$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2  = T \cdot
 \int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx  T \cdot
@@ Line 106: / Line 106: @@
-'''(4)'''&nbsp; Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
+'''(4)'''&nbsp; According to the given equation, we obtain for the (mean) symbol error probability:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right
   ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{10^{8}}{1.7
@@ Line 113: / Line 113: @@
 \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-:Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst&ndash;case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.
+:Since a Nyquist system is present, the worst&ndash;case probability $p_{\rm U}$ is just as large.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^3.5 Linear Nyquist Equalization^]]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung}}
+{{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization}}
-[[File:P_ID1435__Dig_A_3_7.png|right|frame|Transversalfilterfrequenzgang]]
+[[File:P_ID1435__Dig_A_3_7.png|right|frame|Transversal filter frequency response]]
-Wir gehen bei dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:
+We assume the following for this exercise:
-* binäre bipolare NRZ&ndash;Rechteckimpulse
+* binary bipolar NRZ rectangular pulses
-:$$|H_{\rm S}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$
+:$$|H_{\rm S}(f)|= {\rm sinc}(f T) \hspace{0.05cm},$$
-* Koaxialkabel mit der Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
+* coaxial cable with cable attenuation &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
 :$$|H_{\rm K}(f)|= {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm},$$
-* optimaler Nyquistentzerrer, bestehend aus Matched&ndash;Filter und Transversalfilter:
+* optimal Nyquist equalizer consisting of matched filter and transversal filter:
 :$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)$$
-:$$\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+:$$\hspace{0.8cm}{\rm where}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
    H_{\rm TF}(f) =
   \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
@@ Line 17: / Line 17: @@
   |^2}\hspace{0.05cm}.$$
-:Hierbei bezeichnet &nbsp;$H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$&nbsp; das Produkt von Sender&ndash; und Kanalfrequenzgang.
+:Here, &nbsp;$H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$&nbsp; denotes the product of transmitter and channel frequency response.
-Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
+Because of Nyquist equalization, the eye is maximally open. For the error probability holds:
 :$$p_{\rm S}  \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die normierte Störleistung am Entscheider ist durch folgende Gleichungen gegeben:
+The normalized interference power at the decision is given by the following equations:
 :$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
 \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f
@@ Line 33: / Line 33: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilterfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$.
+The validity of this equation follows from the periodicity of the transversal filter frequency response &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$.
-*In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.
+*In the graph, the normalized noise power can be seen as the area highlighted in red.
-*Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.
+*As an approximation, the normalized noise power can be calculated by the triangular area shown in blue in the graph.
@@ Line 42: / Line 42: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|Linare Nyquistentzerrung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization|"Linear Nyquist Equalization"]].
 * Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; benutzen.
@@ Line 72: / Line 72: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge  0$: &nbsp;
-:$$|H_{\rm SK}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
+:$$|H_{\rm SK}(f)|= {\rm sinc}(f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm}.$$
 *Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
-:$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = 0)|= {\rm si}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}
+:$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = 0)|= {\rm sinc}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$ f= f_{\rm Nyq}\text{:} \ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{2T})|= {\rm si}({\pi}/{2}) \cdot {\rm e}^{-9.2}
+:$$ f= f_{\rm Nyq}\text{:} \ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{2T})|= {\rm sinc}({1}/{2}) \cdot {\rm e}^{-9.2}
 \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.43 \cdot 10^{-5}}
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$ f= {1}/{T} \text{:}\ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{T})|= {\rm si}({\pi}) \cdot {\rm e}^{...}
+:$$ f= {1}/{T} \text{:}\ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{T})|= {\rm sinc}({1}) \cdot {\rm e}^{...}
 \hspace{0.15cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Digitalsignalübertragung~~\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].

−	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.	+	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.