Aufgaben:Exercise 3.8: Modulation Index and Bandwidth - Revision history

Hwang at 14:22, 18 January 2023

2023-01-18T14:22:27Z

Reed at 15:09, 9 April 2022

2022-04-09T15:09:31Z

Reed at 14:42, 17 March 2022

2022-03-17T14:42:01Z

Reed: /* Solution */

2022-03-17T14:41:34Z

Solution

Reed: /* Questions */

2022-03-17T14:30:10Z

Questions

Reed at 14:26, 17 March 2022

2022-03-17T14:26:40Z

Reed at 14:25, 17 March 2022

2022-03-17T14:25:20Z

Reed at 13:54, 17 March 2022

2022-03-17T13:54:00Z

Reed at 13:45, 17 March 2022

2022-03-17T13:45:16Z

Guenter at 13:26, 16 March 2022

2022-03-16T13:26:41Z

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 :$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
-:as well as further, negligible Dirac lines with spacing &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
+:as well as further, negligible Dirac delta lines with spacing &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;We are dealing with a frequency modulation⇒ &nbsp; <u>Answer 2</u>.
-*In phase modulation, the weights of the Dirac lines would not change when the frequency is doubled.
+*In phase modulation, the weights of the Dirac delta lines would not change when the frequency is doubled.
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-'''(3)'''&nbsp; The weights of the Dirac lines at&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; are generally:
+'''(3)'''&nbsp; The weights of the Dirac delta lines at&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; are generally:
 :$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm  V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$

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-'''(2)'''&nbsp; The given spectral function suggests the carrier frequency&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; due to the symmetry properties.
+'''(2)'''&nbsp; The spectral function given suggests the carrier frequency&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; due to the symmetry properties.
 *Since at &nbsp; $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; the spectral line disappears at&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp;, we can assume $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$&nbsp;.
 *A check of the other pulse weights confirms this result:

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es handelt sich um eine Frequenzmodulation &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>.
+'''(1)'''&nbsp;We are dealing with a frequency modulation⇒ &nbsp; <u>Answer 2</u>.
-*Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.
+*In phase modulation, the weights of the Dirac lines would not change when the frequency is doubled.
+'''(2)'''&nbsp; The given spectral function suggests the carrier frequency&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; due to the symmetry properties.
-'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; schließen.
+*Since at &nbsp; $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; the spectral line disappears at&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp;, we can assume $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$&nbsp;.
-*Da bei&nbsp; $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; die Spektrallinie bei&nbsp; $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; verschwindet, ist&nbsp; $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$&nbsp; zu vermuten.
+*A check of the other pulse weights confirms this result:
 :$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Gewichte der Diraclinien bei&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; lauten allgemein:
+'''(3)'''&nbsp; The weights of the Dirac lines at&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; are generally:
 :$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm  V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Mit der Forderung&nbsp; $K < 1\%$&nbsp; gilt folgende Faustformel&nbsp; (''Carson–Regel''):
+'''(4)'''&nbsp; Given the requirement&nbsp; $K < 1\%$&nbsp;, one can use the following rule of thumb &nbsp; (''Carson's rule''):
 :$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_{–4}$, ... , $D_4$&nbsp; zur Verfügung.
+*Thus, the Fourier coefficients &nbsp; $D_{–4}$, ... , $D_4$&nbsp; are available.
-'''(5)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
+'''(5)'''&nbsp; For frequency modulation, the general rule is:
 :$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
+*Thus, by doubling the message frequency $f_{\rm N}$, the modulation index is halved: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
-'''(6)'''&nbsp; Die für&nbsp; $K < 1\%$&nbsp; erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; zu
+'''(6)'''&nbsp; Using the same calculation as in question &nbsp; '''(4)'''&nbsp;, the channel bandwidth necessary for &nbsp; $K < 1\%$&nbsp; is obtained using
 :$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm  kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm   kHz}.$$
-*Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf&nbsp; $1\%$, die Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_{–3}$, ... , $D_3$&nbsp; zu übertragen.
+*Because the modulation index is only half as large, transmitting the Fourier coefficients &nbsp; $D_{–3}$, ... , $D_3$&nbsp;is sufficient for limiting the distortion factor to&nbsp; $1\%$.
 {{ML-Fuß}}

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 <quiz display=simple>
-{Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
+{Which modulation method is used here?
 |type="()"}
-- Phasenmodulation.
+- Phase modulation.
-+ Frequenzmodulation.
++ Frequency modulation.
-{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_2$&nbsp; bei der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$?
+{What is the modulation index &nbsp;$η_2$&nbsp; at message frequency &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $η_2 \ = \ $ { 2.4 3% }
-{Wie groß ist die Trägeramplitude?
+{What is the carrier amplitude?
 |type="{}"}
 $A_{\rm T} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$
-{Geben Sie die Bandbreite &nbsp;$B_2$ an, wenn mit &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; ein Klirrfaktor  &nbsp;$K < 1\%$&nbsp;  gefordert wird.
+{Specify the bandwidth &nbsp;$B_2$ for &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; if a distortion factor &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; is desired.
 |type="{}"}
 $B_2 \ = \ $ { 17.6 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_4$&nbsp; mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
+{What is the modulation index&nbsp;$η_4$&nbsp; at message frequency &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $η_4\ = \ $ { 1.2 3% }
-{Welche Kanalbandbreite &nbsp;$B_4$&nbsp; ist nun erforderlich, um &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; zu gewährleisten?
+{What channel bandwidth &nbsp;$B_4$&nbsp; is now required to ensure &nbsp;$K < 1\%$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $B_4 \ = \ $ { 25.6 3% } $\ \rm kHz$

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 :Further spectral lines follow each with frequency spacing &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$,  but are not given here and can be ignored.
-*Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien
+*If one increases the message frequency to &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, there occur dominant lines
 :$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
-:sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
+:as well as further, negligible Dirac lines with spacing &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.

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 :$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-:Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
+:Further spectral lines follow each with frequency spacing &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$,  but are not given here and can be ignored.
 *Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien

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 }}
-[[File:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|frame|Werte der Besselfunktionen]]
+[[File:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|frame|Bessel function values]]
-Eine harmonische Schwingung der Form
+A harmonic oscillation of the form
 :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
-wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; ermittelt.
+is angle-modulated and then the one-sided magnitude spectrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; is obtained.
-*Mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
+*with a message frequency of &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; the following spectral lines can be seen with the following weights:
 :$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

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+''Hints:''
-''Hinweise:''
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)|Frequency Modulation]].
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*Reference is also made to the chapter&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]]&nbsp; and particularly to the section &nbsp;[[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)#Signal_characteristics_with_frequency_modulation|Signal characteristics with frequency modulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Es handelt sich um eine Frequenzmodulation &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>.

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