Aufgaben:Exercise 3.8Z: Optimal Detection Time for DFE - Revision history

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2022-06-27T14:29:03Z

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2019-03-07T08:02:13Z

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2019-03-07T07:54:17Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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Guenter verschob die Seite 3.8Z Optimaler Detektionszeitpunkt bei DFE nach Aufgabe 3.8Z: Optimaler Detektionszeitpunkt bei DFE

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; For detection time $T_{\rm D} = 0$, the following holds (already calculated in Exercise 3.8):
+'''(1)'''&nbsp; For detection time&nbsp; $T_{\rm D} = 0$,&nbsp; the following holds&nbsp; (already calculated in Exercise 3.8):
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
-} = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T) \hspace{0.3cm}
+} = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T)$$
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 \cdot s_0} = 0.470 - 0.235 - 0.029 -0.001 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.205}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; The coefficients should be chosen such that $g_k(t)$ fully compensates for the trailer of $g_d(t)$:
+'''(2)'''&nbsp; The coefficients should be chosen such that&nbsp; $g_k(t)$&nbsp; fully compensates for the trailer of&nbsp; $g_d(t)$:
 :$$k_1 = g_d( T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.235},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(2T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.029},\hspace{0.2cm}k_3 =
    g_d(3T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.001}
@@ Line 88: / Line 88: @@
-'''(3)'''&nbsp; Based on the result of subtask '''(1)''', we obtain:
+'''(3)'''&nbsp; Based on the result of subtask&nbsp; '''(1)''',&nbsp; we obtain:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072}
@@ Line 94: / Line 94: @@
-'''(4)'''&nbsp; Optimizing $T_{\rm D}$ according to the entries in the table yields:
+'''(4)'''&nbsp; Optimizing&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; according to the entries in the table yields:
 :$$T_{\rm D}/T = 0: \hspace{0.5cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.470 &ndash; 0.235 &ndash; 0.029 &ndash; 0.001 = 0.205,$$
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.1: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.466 \ &ndash; \ 0.204 \ &ndash; \ 0.022 \ &ndash; \ 0.001 = 0.240,$$
@@ Line 102: / Line 102: @@
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ &ndash; \ 0.099 \ &ndash; \ 0.006 \ &ndash; \ 0.001 = 0.290,$$
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ &ndash; \ 0.080 \ &ndash; \ 0.004 \ &ndash; \ 0.001 = 0.282,$$
-*Thus, the optimal detection time is $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (probably slightly larger).
+*Thus,&nbsp; the optimal detection time is&nbsp; $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$&nbsp; (probably slightly larger).
 '''(5)'''&nbsp; With $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4 \ T$, the filter coefficients are:
 :$$k_1 = g_d(0.6 T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.366},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(1.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.080},\hspace{0.2cm}k_3 =
    g_d(2.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.004}
@@ Line 112: / Line 113: @@
-'''(6)'''&nbsp; Using the same procedure as in subtask (3), we obtain here:
+'''(6)'''&nbsp; Using the same procedure as in subtask&nbsp; '''(3)''',&nbsp; we obtain here:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D,\hspace{0.05cm} opt})}{
 \cdot s_0} = 0.291 - 0.5 \cdot (0.366 + 0.080 + 0.004) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.066}
@@ Line 118: / Line 119: @@
 The results of this exercise can be summarized as follows:
-* Optimizing the detection timing ideally increases the eye opening by a factor of $0.291/0.205 = 1.42$, which corresponds to the signal-to-noise ratio gain of $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$.
+# Optimizing the detection timing ideally increases the eye opening by a factor of&nbsp; $0.291/0.205 = 1.42$,&nbsp; which corresponds to the signal-to-noise ratio gain of&nbsp; $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$.
-* However, if the DFE functions only $50\%$ due to realization inaccuracies, then with $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$ there is a degradation by the amplitude factor $0.291/0.066 \approx 4.4$ compared to the ideal DFE. For $T_{\rm D} = 0$, this factor is much smaller with $2.05/0.072 \approx 3$.
+# However,&nbsp; if the DFE functions only&nbsp; $50\%$&nbsp; due to realization inaccuracies,&nbsp; then with&nbsp; $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$&nbsp; there is a degradation by the amplitude factor&nbsp; $0.291/0.066 \approx 4.4$&nbsp; compared to the ideal DFE.&nbsp; For&nbsp; $T_{\rm D} = 0$,&nbsp; this factor is much smaller with&nbsp; $2.05/0.072 \approx 3$.
-* In fact, the actually worse system (with $T_{\rm D} = 0$) is superior to the actually better system (with $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) if the decision feedback works only $50\%$. Then there is a signal-to-noise ratio loss of $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
+# In fact,&nbsp; the actually worse system&nbsp; $($with&nbsp; $T_{\rm D} = 0)$&nbsp; is superior to the actually better system&nbsp; $($with&nbsp; $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T)$,&nbsp; if the decision feedback works only&nbsp; $50\%$.&nbsp; Then there is a SNR loss of&nbsp; $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
-* One can generalize these statements: &nbsp; The larger the improvement by system optimization (here:&nbsp; the optimization of the detection time) is in the ideal case, the larger is also the degradation at non-ideal conditions, e.g., at tolerance-bounded realization.
+# One can generalize these statements: &nbsp; '''The larger the improvement by system optimization'''&nbsp; (here:&nbsp; the optimization of the detection time)&nbsp;''' is in the ideal case,&nbsp; the larger is also the degradation at non-ideal conditions''',&nbsp; e.g.,&nbsp; at tolerance-bounded realization.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Decision_Feedback}}
-[[File:P_ID1454__Dig_Z_3_8.png|right|frame|Table of basic pulse values]]
+[[File:P_ID1454__Dig_Z_3_8.png|right|frame|Table of &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; samples&nbsp; (normalized)]]
-As in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.8:_Delay_Filter_DFE_Realization|"Exercise 3.8"]],&nbsp; we consider the bipolar binary system with decision feedback equalization (DFE).
+As in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.8:_Delay_Filter_DFE_Realization|"Exercise 3.8"]],&nbsp; we consider the bipolar binary system with decision feedback equalization&nbsp; $\rm (DFE)$.
 The pre-equalized basic pulse &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; at the input of the DFE corresponds to the rectangular response of a Gaussian low-pass filter with the cutoff frequency&nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
-In the ideal DFE, a compensation pulse &nbsp;$g_w(t)$&nbsp; is formed which is exactly equal to the input pulse &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; for all times &nbsp;$t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$,&nbsp; so that the following applies to the corrected basic pulse:
+In the ideal DFE,&nbsp; a compensation pulse &nbsp;$g_w(t)$&nbsp; is formed which is exactly equal to the input pulse &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; for all times &nbsp;$t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$,&nbsp; so that the following applies to the corrected basic pulse:
 :$$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t)
   \\ 0  \\  \end{array} \right.\quad
@@ Line 14: / Line 14: @@
 \end{array}$$
-Here &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; denotes the detection time, which is a system variable that can be optimized. $T_{\rm D} = 0$&nbsp; denotes symbol detection at pulse midpoint.
+Here &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; denotes the detection time,&nbsp; which is a system variable that can be optimized.&nbsp; $T_{\rm D} = 0$&nbsp; denotes symbol detection at the pulse midpoint.
-*However, for a system with DFE, &nbsp;$g_k(t)$&nbsp; is strongly asymmetric, so a detection time &nbsp;$T_{\rm D} < 0$&nbsp; is more favorable.
+*However,&nbsp; for a system with DFE, &nbsp;$g_k(t)$&nbsp; is strongly asymmetric,&nbsp; so a detection time &nbsp;$T_{\rm D} < 0$&nbsp; is more favorable.
 *The delay time &nbsp;$T_{\rm V} = T/2$&nbsp; indicates that the DFE does not take effect until half a symbol duration after detection.
 *However, &nbsp;$T_{\rm V}$&nbsp; is not relevant for solving this exercise.
-A low-effort realization of the DFE is possible with a delay filter, where the filter order must be at least &nbsp;$N = 3$&nbsp; for the given basic pulse. The filter coefficients are to be selected as follows:
+A low-effort realization of the DFE is possible with a delay filter,&nbsp; where the filter order must be at least &nbsp;$N = 3$&nbsp; for the given basic pulse.&nbsp; The filter coefficients are to be selected as follows:
 :$$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 27: / Line 29: @@
 Notes:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Decision_Feedback|"Decision Feedback"]].
-* Note also that decision feedback is not associated with an increase in noise power, so that an increase in (half) eye opening by a factor of &nbsp;$K$&nbsp; simultaneously results in a signal-to-noise ratio gain of &nbsp;$20 \cdot {\rm lg} \, K$.&nbsp;
+* Note also that decision feedback is not associated with an increase in noise power,&nbsp; so that an increase in&nbsp; (half)&nbsp; eye opening by a factor of &nbsp;$K$&nbsp; simultaneously results in a signal-to-noise ratio gain of &nbsp;$20 \cdot {\rm lg} \, K$.&nbsp;
-* The pre-equalized basic pulse &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; at the input of the DFE corresponds to the rectangular response of a Gaussian low-pass filter with the cutoff frequency &nbsp;$f_{\rm G} = 0.25/T$.
 *The table shows the sample values of &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; normalized to &nbsp;$s_0$.&nbsp; The information section for&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_3.8:_Delay_Filter_DFE_Realization| "Exercise 3.8"]]&nbsp; shows a sketch of &nbsp;$g_d(t)$.&nbsp;
@@ Line 65: / Line 67: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.004 3% }
-{How large is the (half) eye opening with &nbsp;$T_{\rm D, \ opt}$, if the DFE compensates the trailers only &nbsp;$50 \%$?&nbsp; Interpret the result.
+{How large is the (half) eye opening with &nbsp;$T_{\rm D, \ opt}$,&nbsp; if the DFE compensates the trailers only &nbsp;$50 \%$?&nbsp; Interpret the result.
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0)\ = \ $ { 0.066 3% }

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Digitalsignalübertragung~~\|^3.6 Entscheidungsrückkopplung^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^3.6 Entscheidungsrückkopplung^]]

@@ Line 72: / Line 72: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]] berechnet):
+'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in der Aufgabe 3.8 berechnet):
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 } = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T) \hspace{0.3cm}
@@ Line 78: / Line 78: @@
 \cdot s_0} = 0.470 - 0.235 - 0.029 -0.001 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.205}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass $g_k(t)$ die Nachläufer von $g_d(t)$ vollständig kompensiert:
@@ Line 84: / Line 85: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072}
@@ Line 98: / Line 100: @@
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ &ndash; \ 0.099 \ &ndash; \ 0.006 \ &ndash; \ 0.001 = 0.290,$$
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ &ndash; \ 0.080 \ &ndash; \ 0.004 \ &ndash; \ 0.001 = 0.282,$$
+*Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer).
-Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer). Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert ($0.291$) ermittelt.
+* Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert $(\underline{0.291})$ ermittelt.
@@ Line 116: / Line 118: @@
 * Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor $0.291/0.205 = 1.42$ vergrößert, was dem Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$ entspricht.
 * Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu $50\%$, so ergibt sich mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$ gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor $0.291/0.066 \approx 4.4$. Für $T_{\rm D} = 0$ ist dieser Faktor mit $2.05/0.072 \approx 3$ deutlich kleiner.
-* Es ist sogar so: Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50\%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
+* Es ist sogar so:&nbsp; Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50\%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
-* Man kann diese Aussagen verallgemeinern: Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier: die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
+* Man kann diese Aussagen verallgemeinern: &nbsp; Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier:&nbsp; die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[File:P_ID1454__Dig_Z_3_8.png|right|frame|Tabelle der Grundimpulswerte]]
-Wir betrachten wie in der [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]] das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als <i>Decision Feedback Equalization</i> (DFE).
+Wir betrachten wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]]&nbsp; das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als <i>Decision Feedback Equalization</i> (DFE).
-Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
+Der vorentzerrte Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
-Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls $g_w(t)$ gebildet, der für alle Zeiten $t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$ genau gleich dem Eingangsimpuls $g_d(t)$ ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
+Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls &nbsp;$g_w(t)$&nbsp; gebildet, der für alle Zeiten &nbsp;$t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$&nbsp; genau gleich dem Eingangsimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
 :$$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t)
   \\ 0  \\  \end{array} \right.\quad
@@ Line 14: / Line 14: @@
 \end{array}$$
-Hierbei bezeichnet $T_{\rm D}$ den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$ bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
+Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$&nbsp; bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
-*Bei einem System mit DFE ist jedoch $g_k(t)$ stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} < 0$ günstiger ist.
+*Bei einem System mit DFE ist jedoch &nbsp;$g_k(t)$&nbsp; stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} < 0$&nbsp; günstiger ist.
-*Die Verzögerungszeit $T_{\rm V} = T/2$ gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
+*Die Verzögerungszeit &nbsp;$T_{\rm V} = T/2$&nbsp; gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
-*Zur Lösung dieser Aufgabe ist $T_{\rm V}$ allerdings nicht relevant.
+*Zur Lösung dieser Aufgabe ist &nbsp;$T_{\rm V}$&nbsp; allerdings nicht relevant.
-Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens $N = 3$ betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
+Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens &nbsp;$N = 3$&nbsp; betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
 :$$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T)
   \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Entscheidungsr%C3%BCckkopplung|Entscheidungsrückkopplung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Entscheidungsr%C3%BCckkopplung|Entscheidungsrückkopplung]].
-* Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor $K$ gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, K$ zur Folge hat.
+* Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor &nbsp;$K$&nbsp; gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von &nbsp;$20 \cdot {\rm lg} \, K$&nbsp; zur Folge hat.
-* Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 0.25/T$.
+* Der vorentzerrte Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 0.25/T$.
-*In der Tabelle sind die auf $s_0$ normierten Abtastwerte von $g_d(t)$ angegeben. Auf der Angabenseite zu [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]] ist $g_d(t)$ skizziert.
+*In der Tabelle sind die auf &nbsp;$s_0$&nbsp; normierten Abtastwerte von &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; angegeben. Auf der Angabenseite zu&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]]&nbsp; ist &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; skizziert.
@@ Line 37: / Line 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für $T_{\rm D} = 0$ und ideale DFE.
+{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für &nbsp;$T_{\rm D} = 0$&nbsp; und ideale DFE.
 |type="{}"}
 $100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0) \ = \ $ { 0.205 3% }
@@ Line 47: / Line 50: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.001 3% }
-{Es gelte weiter $T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu $50 \%$ kompensiert?
+{Es gelte weiter &nbsp;$T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert?
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)\ = \ $ { 0.072 3% }
@@ Line 62: / Line 65: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.004 3% }
-{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit $T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu $50 \%$ kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit &nbsp;$T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0)\ = \ $ { 0.066 3% }