Aufgaben:Exercise 3.9: Circular Arc and Parabola - Revision history

Reed: /* Solution */

2022-04-09T15:17:09Z

Solution

Reed at 15:15, 9 April 2022

2022-04-09T15:15:53Z

Reed at 15:09, 9 April 2022

2022-04-09T15:09:41Z

Reed: /* Solution */

2022-03-17T15:01:51Z

Solution

Reed at 14:53, 17 March 2022

2022-03-17T14:53:33Z

Reed: /* Question */

2022-03-17T14:53:19Z

Question

Reed at 14:51, 17 March 2022

2022-03-17T14:51:04Z

Reed at 14:50, 17 March 2022

2022-03-17T14:50:53Z

Reed at 14:48, 17 March 2022

2022-03-17T14:48:07Z

Guenter at 13:27, 16 March 2022

2022-03-16T13:27:08Z

@@ Line 111: / Line 111: @@
 :$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$
-*These equations can be rearranegd:
+*These equations can be rearranged:
 :$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$

@@ Line 16: / Line 16: @@
-However, if the bandwidth is limited to &nbsp;$B_{\rm K} = 25 \ \rm  kHz$, for example,the equivalent low-pass signal of the received signal can be described as follows:
+However, if the bandwidth is limited to &nbsp;$B_{\rm K} = 25 \ \rm  kHz$, for example, the equivalent low-pass signal of the received signal can be described as follows:
 :$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
 In this case, the result is a parabolic locus curve

← Older revision		Revision as of 15:09, 9 April 2022
Line 1:		Line 1:

−	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modulationsverfahren~~/~~Frequenzmodulation~~ (FM)	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)
	}}		}}

@@ Line 72: / Line 72: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex:
+'''(1)'''&nbsp; In the frequency modulation of a cosine signal, the modulation index is:
 :$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} =  \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit&nbsp; $γ = ω_{\rm N} · t$&nbsp; unter Berücksichtigung von&nbsp; ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
+'''(2)'''&nbsp; The equation given for the equivalent low-pass signal when&nbsp; $γ = ω_{\rm N} · t$&nbsp; and considering &nbsp; ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$&nbsp; and&nbsp; ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$, is written out as:
 :$$r_{\rm TP}(t)  =  {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 =  {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
-*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für&nbsp; $η = 2.4$, das heißt&nbsp; ${\rm J}_0 = 0$&nbsp; und&nbsp; ${\rm J}_2 = 0.43$:
+*Thus, for the real part in general, including for &nbsp; $η = 2.4$, that is,&nbsp; ${\rm J}_0 = 0$&nbsp; and&nbsp; ${\rm J}_2 = 0.43$:
 :$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 86: / Line 86: @@
-'''(3)'''&nbsp; Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man für den Imaginärteil&nbsp; $({\rm J}_1 = 0.52)$:
+'''(3)'''&nbsp; According to the result of question&nbsp; '''(2)'''&nbsp; we get an imginary part &nbsp; $({\rm J}_1 = 0.52)$ of:
 :$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils Null und damit auch die Phasenfunktion: &nbsp;
+'''(4)'''&nbsp; The imaginary part is zero at each of these time points and so is the phase function:
 :$$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
-*Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.
+*This fact can also be seen from the sketch on the exercise page.
-'''(5)'''&nbsp; Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für&nbsp; $t = T_{\rm N}/4$&nbsp; seinen Maximalwert erreicht.
+'''(5)'''&nbsp; From the sketch it can already be seen that the phase angle reaches its maximum value at&nbsp; $t = T_{\rm N}/4$&nbsp;, for example.
-*Dieser kann mit&nbsp; $y_{\rm max} = 1.04$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm min} = -0.86$&nbsp; wie folgt berechnet werden:
+*This can be calculated with&nbsp; $y_{\rm max} = 1.04$&nbsp; and&nbsp; $x_{\rm min} = -0.86$&nbsp; as follows:
 :$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
-*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel&nbsp; $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$&nbsp; ergeben.
+*Without band-limiting, the phase angle here would be $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$&nbsp;.
-*Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit beispielsweise zur Zeit&nbsp; $t = T_{\rm N}/4$&nbsp; auf.
+*Thus, the maximum deviation of the sink signal from the source signal occurs at time&nbsp; $t = T_{\rm N}/4$&nbsp;, for example.
-[[File:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png|right|frame|Parabelverlauf]]
+[[File:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png|right|frame|Parabolic progression]]
-'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp; $γ = ω_{\rm N} · t$&nbsp; und&nbsp; $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$&nbsp; kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
+'''(6)'''&nbsp; Using&nbsp; $γ = ω_{\rm N} · t$&nbsp; and&nbsp; $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$&nbsp; the real and imaginary parts can be written as:
 :$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
+*These equations can be rearranegd:
 :$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$
 $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$
-*Damit lauten die Parabelparameter für&nbsp; $ {\rm J}_0 = 0$:
+*Thus, the parabolic parameters for&nbsp; $ {\rm J}_0 = 0$ are:
 :$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$
-*Zur Kontrolle verwenden wir&nbsp; $y = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
+*To double-check, we use &nbsp; $y = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
-*Die Werte bei&nbsp; $x = 0$&nbsp; sind somit: &nbsp; &nbsp; $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$
+*Thus, the values at&nbsp; $x = 0$&nbsp; are &nbsp; &nbsp; $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 70: / Line 70: @@
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex:

@@ Line 40: / Line 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm FM}$?
+{What is the modulator constant &nbsp;$K_{\rm FM}$?
 |type="{}"}
 $K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \cdot 10^4 \ \rm (Vs)^{-1}$
-{Berechnen Sie den Realteil &nbsp;$x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.
+{Calculate the real part&nbsp;$x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$&nbsp; of the equivalent low-pass signal and give its maximum and minimum.
 |type="{}"}
 $x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }
 $x_{\rm min} \ = \ $ { -0.89--0.83 }
-{Wie groß ist das Maximum und Minimum des Imaginärteils &nbsp;$y(t) = {\rm Im}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$?
+{What is the maximum and minimum of the imaginary part &nbsp;$y(t) = {\rm Im}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$?
 |type="{}"}
 $y_{\rm max} \ = \ $ { 1.04 3% }
 $y_{\rm min} \ = \ $ { -1.07--1.01 }
-{Welche Phasenwerte ergeben sich bei allen Vielfachen von &nbsp;$T_{\rm N}/2$?
+{What are the phase values for all multiples of &nbsp;$T_{\rm N}/2$?
 |type="{}"}
-$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm degrees$
-{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel &nbsp;$ϕ_{\rm max}$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{What is the maximum phase angle &nbsp;$ϕ_{\rm max}$?&nbsp; Interpret the result.
 |type="{}"}
-$ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$
+$ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm degrees$
-{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form &nbsp;$y^2 + a · x + b = 0$&nbsp; angeben kann.&nbsp; Bestimmen Sie die Parabelparameter &nbsp;$a$&nbsp; und &nbsp;$b$.
+{Show that the locus curve can be given in the form &nbsp;$y^2 + a · x + b = 0$&nbsp;.&nbsp; Determine the parabolic parameters  &nbsp;$a$&nbsp; and &nbsp;$b$.
 |type="{}"}
 $a\ = \ $ { 0.629 3%  }

@@ Line 28: / Line 28: @@
-'''Hints:''
+''Hints:''
 *This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)|Frequency Modulation]].
 *Reference is also made to the chapter&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]]&nbsp; and particularly to the section &nbsp;[[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)#Signal_characteristics_with_frequency_modulation|Signal characteristics with frequency modulation]].

@@ Line 28: / Line 28: @@
-''Hints:''
+'''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)|Frequency Modulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und insbesondere auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
+*Reference is also made to the chapter&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phase_Modulation_(PM)|Phase Modulation]]&nbsp; and particularly to the section &nbsp;[[Modulation_Methods/Frequency_Modulation_(FM)#Signal_characteristics_with_frequency_modulation|Signal characteristics with frequency modulation]].
+*During calculation, assume the following values of the Bessel function:
 :$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$
@@ Line 38: / Line 37: @@
-===Fragebogen===
+===Question===
 <quiz display=simple>

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID1106__Mod_A_3_8.png|right|frame|Ortskurven bei FM: <br>Kreisbogen und Parabel]]
+[[File:P_ID1106__Mod_A_3_8.png|right|frame|Locus curves in FM: <br>Arc and Parabola]]
-Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals
+We now consider the frequency modulation of a cosine source signal
 :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$
-mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 1 \ \rm V$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
+with amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 1 \ \rm V$&nbsp; and frequency&nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
-*Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt &nbsp;$η = 2.4$.
+*The modulation index (phase deviation) is &nbsp;$η = 2.4$.
-*Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude &nbsp;$(A_{\rm T}  = 1)$:
+*The corresponding low-pass signal with normalized carrier amplitude &nbsp;$(A_{\rm T}  = 1)$ is:
 :$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
-*Dieses beschreibt einen Kreisbogen.&nbsp; Innerhalb der Periodendauer &nbsp;$T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; ergeben sich folgende Phasenwinkel:
+*This represents an arc.&nbsp; Within the period&nbsp;$T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; the following phase angles result:
 :$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}
   \phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
-*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.
+*Theoretically, the channel bandwidth required to transmit this signal is infinite.
-Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf &nbsp;$B_{\rm K} = 25 \ \rm  kHz$, so kann das äquivalente Tiefpass–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:
+However, if the bandwidth is limited to &nbsp;$B_{\rm K} = 25 \ \rm  kHz$, for example,the equivalent low-pass signal of the received signal can be described as follows:
 :$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
-In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve
+In this case, the result is a parabolic locus curve
 :$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$
-die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.
+which will be analyzed in this task.
@@ Line 28: / Line 28: @@
+''Hints:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
 *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und insbesondere auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].

← Older revision		Revision as of 13:27, 16 March 2022
Line 127:		Line 127:


−	[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^3.2 ~~Frequenzmodulation (FM)~~^]]	+	[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^3.2 Frequency Modulation^]]