Aufgaben:Exercise 4.08Z: Error Probability with Three Symbols - Revision history

Guenter at 16:16, 28 July 2022

2022-07-28T16:16:58Z

Guenter at 15:53, 28 July 2022

2022-07-28T15:53:53Z

Hwang at 15:40, 11 July 2022

2022-07-11T15:40:06Z

Show changes

Guenter at 10:10, 23 June 2022

2022-06-23T10:10:27Z

Guenter: Guenter moved page Aufgaben:Aufgabe 4.08Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei drei Symbolen to Aufgaben:Exercise 4.08Z: Error Probability with Three Symbols

2022-06-23T10:01:50Z

Guenter moved page Aufgabe 4.08Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei drei Symbolen to Exercise 4.08Z: Error Probability with Three Symbols

Javier: Text replacement - "Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung" to "Category:Digital Signal Transmission: Exercises"

2021-03-23T12:48:22Z

Text replacement - "Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung" to "Category:Digital Signal Transmission: Exercises"

Guenter at 10:21, 14 March 2019

2019-03-14T10:21:07Z

Guenter at 17:09, 13 March 2019

2019-03-13T17:09:14Z

Guenter at 17:02, 13 March 2019

2019-03-13T17:02:53Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

@@ Line 59: / Line 59: @@
 |type="[]"}
 - All messages&nbsp; $m_i$&nbsp; are falsified in the same way.
-+ Conditional error probability&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
++ Conditional error probability&nbsp; ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
-- Conditional error probability&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
+- Conditional error probability&nbsp; ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
-+ Conditional error probability&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
++ Conditional error probability&nbsp; ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
 {What is the error probability with&nbsp; $A=1$&nbsp; and&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?
@@ Line 79: / Line 79: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-[[File:P_ID2039__Dig_Z_4_8b.png|right|frame|Noise regions with $A = 0.75$]]
+[[File:P_ID2039__Dig_Z_4_8b.png|right|frame|Noise regions with&nbsp; $A = 0.75$]]
-'''(1)'''&nbsp; The volume of the 2D PDF must give $p_n(x, y) =1$, that is:
+'''(1)'''&nbsp; The volume of the two-dimensional PDF must give&nbsp; $p_n(x, y) =1$,&nbsp; that is:
 :$$2A \cdot 2A  \cdot K = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \frac{1}{4A^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*With $A = 0.75$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $2A = 3/2$, we get $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.
+*With&nbsp; $A = 0.75$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $2A = 3/2$,&nbsp; we get $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.
-'''(2)'''&nbsp; In the accompanying graph, the noise component $\boldsymbol{n}$ is plotted by the squares of edge length $1.5$ around the 2D signal space points $\boldsymbol{s}_i$.
 *It can be seen that no decision boundary is exceeded by noise components.
-'''(3)'''&nbsp; <u>Statements 2 and 4</u> are correct, as can be seen from the graph below:
+* Likewise,&nbsp; $m_2$&nbsp; was sent with certainty if the received value lies in decision region&nbsp; $I_2$. <br>The reason:&nbsp; None of the squares around&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; and&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; extends into the region&nbsp; $I_2$.
-* The message $m_2$ cannot be falsified because the square around $\boldsymbol{s}_2$ lies entirely in the lower right quadrant and thus in the decision area $I_2$.
-* Likewise, $m_2$ was sent with certainty if the received value lies in decision area $I_2$. <br>The reason: none of the squares around $\boldsymbol{s}_0$ and $\boldsymbol{s}_1$ extends into the area $I_2$.
+* $m_0$&nbsp; can only be falsified to $m_1$.&nbsp; The&nbsp; (conditional)&nbsp; falsification probability is equal to the ratio of the areas of the small yellow triangle&nbsp; $($area $1/16)$&nbsp; and the square&nbsp; $($area&nbsp; $4)$:
 :$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) = \frac{1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/4}{4}= {1}/{64}
   \hspace{0.05cm}.$$
-* For symmetry reasons, equally:
+* For symmetry reasons,&nbsp; equally:
 :$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 )={1}/{64}
   \hspace{0.05cm}. $$
-'''(4)'''&nbsp; For equal probability symbols, we obtain for the (average) error probability:
+'''(4)'''&nbsp; For equal probability symbols,&nbsp; we obtain for the&nbsp; (average)&nbsp; error probability:
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \big [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) +  {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\big ]$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{1}/{64} +  {1}/{64} + 0 )\right ]= \frac{2}{3 \cdot 64} = {1}/{96}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.04 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Now we obtain a smaller average error probability, viz.
+'''(5)'''&nbsp; Now we obtain a smaller&nbsp; average error probability, viz.
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} )  = {1}/{4} \cdot {1}/{64} +  {1}/{4} \cdot {1}/{64}+ {1}/{2} \cdot0 = {1}/{128}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.78 \% } \hspace{0.05cm}. $$
@@ Line 116: / Line 119: @@
 '''(6)'''&nbsp; <u>Correct is YES</u>:
 *For example, &nbsp; &nbsp; $I_1$: first quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_0$: second quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_2 \text{:} \ y < 0$ &nbsp; &nbsp; would give zero error probability.
-*This means that the given bounds are optimal only in the case of circularly symmetric PDF of the noise, for example, the AWGN channel.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Approximation_of_the_Error_Probability}}
-[[File:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Decision regions with&nbsp; $M = 3$ symbols]]
+[[File:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Decision regions with&nbsp; $M = 3$]]
 The diagram shows exactly the same signal space constellation as in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_4.08:_Decision_Regions_at_Three_Symbols|"Exercise 4.8"]]:
-* the&nbsp; $M = 3$&nbsp; possible transmitted signals, viz.
+* the&nbsp; $M = 3$&nbsp; possible transmitted signals,&nbsp; viz.
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
@@ Line 15: / Line 15: @@
-The two axes of the 2D signal space are simplistically denoted here as&nbsp; $x$&nbsp; and&nbsp; $y$;&nbsp; actually, &nbsp; $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$&nbsp; should be written for these, respectively.
+The two axes of the two-dimensional signal space are simplistically denoted here as&nbsp; $x$&nbsp; and&nbsp; $y$;&nbsp; actually, &nbsp; $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$&nbsp; should be written for these, respectively.
 These decision boundaries are optimal under the two conditions:
 * equal probability symbol probabilities,
 In contrast, in this exercise we consider a two&ndash;dimensional uniform distribution for the noise PDF:
 :$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }}  (x,\hspace{0.15cm} y) =
   \left\{ \begin{array}{c} K\\
@@ Line 30: / Line 31: @@
 *Such an amplitude-limited noise is admittedly without any practical meaning.
-''Notes:''
+Notes:
 * The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Approximation_of_the_Error_Probability|"Approximation of the Error Probability"]].

← Older revision		Revision as of 10:10, 23 June 2022
Line 121:		Line 121:


−	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^4.3 BER-Approximation^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^4.3 BER Approximation^]]

← Older revision		Revision as of 12:48, 23 March 2021
Line 121:		Line 121:


−	[[Category:~~Aufgaben zu Digitalsignalübertragung~~\|^4.3 BER-Approximation^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^4.3 BER-Approximation^]]

@@ Line 86: / Line 86: @@
-'''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D&ndash;Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet. Man erkennt, dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird. Daraus folgt: Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist unter den hier gegebenen Voraussetzungen $p_{\rm S}\ \underline { \equiv  0}$.
+'''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D&ndash;Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 4</u>, wie aus der unteren Grafik abgelesen werden kann:
 * Die Nachricht $m_2$ kann nicht verfälscht werden, da das Quadrat um $\boldsymbol{s}_2$ vollständig im rechten unteren Quadranten und damit im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt.
-* Ebenso wurde mit Sicherheit $m_2$ gesendet, wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt. Der Grund: Keines der Quadrate um $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ reicht bis in das Gebiet $I_2$ hinein.
+* Ebenso wurde mit Sicherheit $m_2$ gesendet, wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt. <br>Der Grund: Keines der Quadrate um $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ reicht bis in das Gebiet $I_2$ hinein.
 * $m_0$ kann nur zu $m_1$ verfälscht werden. Die (bedingte) Verfälschungswahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Flächen des gelben Dreiecks (Fläche $1/16$) und des Quadrats (Fläche 4):
@@ Line 104: / Line 106: @@
 '''(4)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen erhält man für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit:
-:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) +  {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\right ]$$
+:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \big [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) +  {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\big ]$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{1}/{64} +  {1}/{64} + 0 )\right ]= \frac{2}{3 \cdot 64} = {1}/{96}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.04 \%} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 113: / Line 115: @@
 '''(6)'''&nbsp; <u>Richtig ist JA</u>:
-*Beispielsweise ergäbe sich durch $I_1$: erster Quadrant, $I_0$: zweiter Quadrant, $I_2 \text{:} \ y < 0$ die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.
+*Beispielsweise ergäbe sich durch &nbsp; &nbsp; $I_1$: erster Quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_0$: zweiter Quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_2 \text{:} \ y < 0$ &nbsp; &nbsp;  die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.
 *Das bedeutet, dass die vorgegebenen Grenzen nur bei zirkulär symmetrischer WDF des Rauschens optimal sind, zum Beispiel beim AWGN&ndash;Kanal.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[File:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Entscheidungsregionen bei $M = 3$ Symbolen]]
+[[File:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Entscheidungsregionen bei&nbsp; $M = 3$ Symbolen]]
-Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in der [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| Aufgabe 4.8]]:
+Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| Aufgabe 4.8]]:
-* die $M = 3$ möglichen Sendesignale, nämlich
+* die&nbsp; $M = 3$&nbsp; möglichen Sendesignale, nämlich
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_2 = (2, \hspace{0.1cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$
-* die $M = 3$ Entscheidungsgrenzen
+* die&nbsp; $M = 3$&nbsp; Entscheidungsgrenzen
 :$$G_{01}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1.5 - 2 \cdot x\hspace{0.05cm},$$
 :$$G_{02}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.75 +1.5 \cdot x\hspace{0.05cm},$$
@@ Line 15: / Line 15: @@
-Die beiden Achsen des 2D&ndash;Signalraums sind hier vereinfachend mit $x$ und $y$ bezeichnet; eigentlich müsste hierfür $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$ bzw. $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$ geschrieben werden.
+Die beiden Achsen des 2D&ndash;Signalraums sind hier vereinfachend mit&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezeichnet; eigentlich müsste hierfür&nbsp; $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$&nbsp; geschrieben werden.
-Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den Voraussetzungen
+Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den beiden Voraussetzungen:
-* gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten
+* gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten,
 * zirkulär&ndash;symmetrische WDF des Rauschens (z.B. AWGN).
@@ Line 29: / Line 29: @@
 \\  {\rm sonst}   \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
-Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung. Es ermöglicht jedoch eine Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung ohne umfangreiche Integrale, aus der das Prinzip der Vorgehensweise erkennbar wird.
+*Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
@@ Line 44: / Line 48: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welchen Wert besitzt die Konstante $K$ für $A = 0.75$?
+{Welchen Wert besitzt die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; für &nbsp;$A = 0.75$?
 |type="{}"}
 $\boldsymbol{K} \ = \ $ { 0.444 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A = 0.75$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A = 0.75$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0. } $\ \%$
-{Welche Aussagen sind für $A = 1$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind für&nbsp; $A = 1$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-- Alle Nachrichten $m_i$ werden in gleicher Weise verfälscht.
+- Alle Nachrichten&nbsp; $m_i$&nbsp; werden in gleicher Weise verfälscht.
-+ Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
++ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
-- Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
+- Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
-+ Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
++ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A=1$ und ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A=1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 1.04 3% } $\ \%$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A=1$ und ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 1/4, {\rm Pr}(m_2) = 1/2$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A=1$&nbsp; und &nbsp;${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 1/4$ &nbsp;sowie&nbsp; ${\rm Pr}(m_2) = 1/2$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.78 3% } $\ \%$