Aufgaben:Exercise 4.09: Cyclo-Ergodicity - Revision history

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Guenter at 14:40, 29 November 2019

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-Hint:&nbsp; This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function|Auto-Correlation Function]].
+'''Hint''':&nbsp; This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function|Auto-Correlation Function]].
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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Correct are <u>proposed solutions 3 and 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>proposed solutions 3 and 4</u>:
-*At time&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($and all multiples of the period&nbsp; $T_0)$&nbsp; each pattern signal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; has a value between&nbsp; $1\hspace{0. 05cm}\rm V$&nbsp; and&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; The mean value is&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*At time&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($and all multiples of the period&nbsp; $T_0)$&nbsp; each pattern signal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; has a value between&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; and&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; The mean value is&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*In contrast, for&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; the signal value of the entire ensemble is identically zero.&nbsp; That is,t:
+*In contrast,&nbsp; for&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; the signal value of the entire ensemble is identically zero.&nbsp; That is: <br> &nbsp; Even the linear mean does not satisfy the stationarity condition:&nbsp; The process&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; is not stationary and therefore cannot be ergodic.
-*Even the linear mean does not satisfy the stationarity condition:&nbsp; The process&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; is not stationary and therefore cannot be ergodic.
+*In contrast,&nbsp; for the process&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; the same moments are expected at all times due to the uniformly distributed phase &nbsp; &rArr; &nbsp; the process is stationary.
-*In contrast, for the process&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; the same moments are expected at all times due to the uniformly distributed phase &nbsp; &rArr; &nbsp; the process is stationary.
+*Since the phase relations are lost in the ACF calculation,&nbsp; each individual pattern function is representative of the entire process. &nbsp; Therefore,&nbsp; ergodicity can be hypothetically assumed here.
-*Since the phase relations are lost in the ACF calculation, each individual pattern function is representative of the entire process &nbsp; Therefore, ergodicity can be hypothetically assumed here.
+*At the end of the exercise,&nbsp; check whether this assumption is justified.
+'''(2)'''&nbsp; Due to ergodicity,&nbsp; any pattern function can be used for ACF calculation.&nbsp; We arbitrarily use here the phase&nbsp; $\varphi_i = 0$.
-'''(2)'''&nbsp; Due to ergodicity, any pattern function can be used for ACF&ndash;calculation.&nbsp; We arbitrarily use here the phase&nbsp; $\varphi_i = 0$.
+*Because of the periodicity,&nbsp; it is sufficient to report only one period&nbsp; $T_0$.&nbsp; Then holds:
-*Because of the periodicity, it is sufficient to report only one period&nbsp; $T_0$.&nbsp; Then holds:
+:$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
 *Using the trigonometric relation &nbsp; $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$ &nbsp; it further follows:
 :$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
+*The first integral is zero&nbsp; (integration over two periods of the cosine function).&nbsp; The second integrand is independent of the integration variable&nbsp; $t$.&nbsp; It follows: &nbsp;
-*The first integral is zero&nbsp; (integration over two periods of the cosine function).
+:$$\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $$
 *For the given time points, with&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 :$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Correct are <u>both first proposed solutions</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Correct are&nbsp; <u>both first proposed solutions</u>:
 *The mean&nbsp; $m_y$&nbsp; can be obtained from the limit of the ACF for&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; if one excludes the periodic parts.&nbsp; It follows&nbsp; $m_y= 0$.
-*The variance (power) is equal to the ACF&ndash;value at the point&nbsp; $\tau = 0$, so&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; The rms value is the square root of it: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*The variance&nbsp; (power)&nbsp; is equal to the ACF value at the point&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\sigma_y^2 =2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; The rms value is the square root of it: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*The period of a periodic random process is preserved in the ACF, that is, the period of the ACF is also&nbsp; $T_0$.
+*The period of a periodic random process is preserved in the ACF,&nbsp; that is,&nbsp; the period of the ACF is also&nbsp; $T_0$.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|To illustrate the "cycloergodicity" property]]
+[[File:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|"Cyclo&ndash;ergodicity property"]]
-We consider two different random processes whose pattern functions are harmonic oscillations, each with the same frequency&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; $T_0$&nbsp; denotes the period duration.
+We consider two different random processes whose pattern functions are harmonic oscillations,&nbsp; each with the same frequency&nbsp; $f_0 = 1/T_0$,&nbsp; where&nbsp; $T_0$&nbsp; denotes the period duration.
-*In the random process shown above&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; the stochastic component is the amplitude, where the random parameter&nbsp; $C_i$&nbsp; can take all values between&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; and&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; with equal probability:
+*In the random process&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp;  shown above,&nbsp; the stochastic component is the amplitude, where the random parameter&nbsp; $C_i$&nbsp; can take all values between&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; and&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; with equal probability:
 :$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t)\}. $$
-*In the process&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; all pattern functions have the same amplitude: &nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Here the phase&nbsp; $\varphi_i$ varies, which averaged over all pattern functions is equally distributed between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $2\pi$&nbsp; :
+*In the process&nbsp; $\{y_i(t)\}$,&nbsp; all pattern functions have the same amplitude: &nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Here the phase&nbsp; $\varphi_i$ varies, which averaged over all pattern functions is uniformly distributed between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $2\pi$
 :$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
-The properties&nbsp; "cyclostationary"&nbsp; and&nbsp; "cyclergodic"&nbsp; state,
+The properties&nbsp; "cyclo-stationary"&nbsp; and&nbsp; "cyclo-ergodic"&nbsp; state,
 *that although the processes cannot be described as stationary and ergodic in the strict sense,
-*but all statistical characteristics are the same for multiples of the perion duration&nbsp; $T_0$&nbsp; in each case.
+*but all statistical characteristics are the same for multiples of the period duration&nbsp; $T_0$&nbsp; in each case.
-In these cases, most of the calculation rules, which actually apply only to ergodic processes, are also applicable.
+In these cases,&nbsp; most of the calculation rules,&nbsp; which actually apply only to ergodic processes,&nbsp; are also applicable.
+Hint:&nbsp; This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function|Auto-Correlation Function]].
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-{Calculate the auto-correlation function&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; for different&nbsp; $\tau$ values.
+{Calculate the auto-correlation function&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; for different&nbsp; $\tau$&nbsp; values.
 |type="{}"}
 $\varphi_y(\tau=0)\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
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 {Which of the following statements are true regarding&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp;?
 |type="[]"}
-+ All pattern signals are free of equal signals.
++ All pattern signals are free of DC signals.
-+ All pattern signals have rms value&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
++ All pattern signals have the rms value&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
 - The ACF has twice the period&nbsp; $(2T_0)$&nbsp; as the pattern signals&nbsp; $(T_0)$.

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−	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^4.4 ~~Autokorrelationsfunktion (AKF)~~^]]	+	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^4.4 Auto-Correlation Function^]]

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 }}
-[[File:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Eigenschaft &bdquo;Zykloergodizität"]]
+[[File:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Eigenschaft "Zykloergodizität"]]
 Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; sind.&nbsp; $T_0$&nbsp; bezeichnet die Periodendauer.
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 :$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
-Die Eigenschaften&nbsp; &bdquo;zyklostation&auml;r"&nbsp; und&nbsp; &bdquo;zykloergodisch"&nbsp; sagen aus,
+Die Eigenschaften&nbsp; "zyklostation&auml;r"&nbsp; und&nbsp; "zykloergodisch"&nbsp; sagen aus,
 *dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als station&auml;r und ergodisch zu bezeichnen sind,
 *alle statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer&nbsp; $T_0$&nbsp; jeweils gleich sind.

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 }}
-[[File:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Eigenschaft &bdquo;Zykloergodizität&rdquo;]]
+[[File:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Eigenschaft &bdquo;Zykloergodizität"]]
 Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; sind.&nbsp; $T_0$&nbsp; bezeichnet die Periodendauer.
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 :$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
-Die Eigenschaften&nbsp; &bdquo;zyklostation&auml;r&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;zykloergodisch&rdquo;&nbsp; sagen aus,
+Die Eigenschaften&nbsp; &bdquo;zyklostation&auml;r"&nbsp; und&nbsp; &bdquo;zykloergodisch"&nbsp; sagen aus,
 *dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als station&auml;r und ergodisch zu bezeichnen sind,
 *alle statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer&nbsp; $T_0$&nbsp; jeweils gleich sind.

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	''Hinweis:''		''Hinweis:''
−	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[~~Stochastische_Signaltheorie~~/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].	+	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ (und allen Vielfachen der Periodendauer $T_0$) hat jedes Mustersignal $x_i(t)$ einen Wert zwischen $1\hspace{0.05cm}\rm V$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$. Der Mittelwert beträgt $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($und allen Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0)$&nbsp; hat jedes Mustersignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*Dagegen ist bei $t = T_0/4$ der Signalwert des gesamten Ensembles identisch $0$. Das hei&szlig;t:
+*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t:
-*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht; der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
+*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht:&nbsp; Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
-*Dagegen sind beim Prozess $\{y_i(t)\}$ aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.
+*Dagegen sind beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.
-*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess. Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.
+*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.
 *Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.
 '''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF&ndash;Berechung herangezogen werden. Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase $\varphi_i = 0$.
-*Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mitteilung &uuml;ber nur eine Periodendauer $T_0$. Dann gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF&ndash;Berechung herangezogen werden.&nbsp; Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase&nbsp; $\varphi_i = 0$.
 :$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
 *Mit der trigonometrischen Beziehung &nbsp; $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$ &nbsp; folgt daraus weiter:
-:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t + \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
+:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
-*Das erste Integral ist Null (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).
+*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).
-*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen $t$. Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $
+*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $
-*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
+*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 :$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der erste Lösungsvorschlag</u>:
-*Der Mittelwert $m_y$ kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r $\tau \to \infty$ ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t. Daraus folgt $m_y= 0$.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle $\tau = 0$, also $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
-*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt $T_0$.
+*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$, also&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
 {{ML-Fuß}}