Aufgaben:Exercise 4.09: Decision Regions at Laplace - Revision history

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@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Approximation_of_the_Error_Probability}}
-[[File:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Three decision regions <br>for Laplace]]
+[[File:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Three Laplace decision regions]]
-We consider a transmission system based on the basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$. The two equally probable transmitted signals are given by the signal points
+We consider a transmission system based on the basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$.&nbsp; The two equally probable transmitted signals are given by the signal points
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$.
@@ Line 13: / Line 13: @@
 The messages&nbsp; $m_0$&nbsp; and&nbsp; $m_1$&nbsp; are uniquely assigned to the signals&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; and&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; defined in this way.
-Let the two noise components&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; be independent of each other and each be Laplace distributed with parameter&nbsp; $a = 1$:
+Let the noise components&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; be independent of each other and each be Laplace distributed with parameter&nbsp; $a = 1$:
 :$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
@@ Line 20: / Line 20: @@
 The properties of such a Laplace noise will be discussed in detail in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_4.09Z:_Laplace_Distributed_Noise|"Exercise 4.9Z"]].&nbsp;
-The received signal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; is composed additively of the transmitted signal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; and the&nbsp; noise signal&nbsp; $\boldsymbol{n}$:
+The received signal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; is composed additively of the transmitted signal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; and the&nbsp; noise component&nbsp; $\boldsymbol{n}$:
 :$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
    \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
@@ Line 34: / Line 34: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-The decision rule of the MAP and ML receivers (both are identical due to the same symbol probabilities) are:
+The decision rule of the MAP and ML receivers&nbsp; $($both are identical due to the same symbol probabilities$)$&nbsp; are:
-:Decide for the symbol&nbsp; $m_0$, if &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
+&rArr; &nbsp; Decide for the symbol&nbsp; $m_0$, if &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
-With the further conditions for this $($decision for&nbsp; $m_0)$&nbsp; can also be written:
+&rArr; &nbsp; With the further conditions for the&nbsp; "decision for&nbsp; $m_0$"&nbsp; can also be written:
 :$${1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] >
     {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
@@ Line 47: / Line 47: @@
     | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
-This function&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; is frequently referred to in the questions.
+&rArr; &nbsp; This function&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; is frequently referred to in the questions.
 The graph shows three different decision regions&nbsp; $(I_0, \ I_1)$.
-*For AWGN noise, only the upper variant &nbsp;$\rm A$&nbsp; would be optimal.
+:*For AWGN noise,&nbsp; only the upper variant &nbsp;$\rm A$&nbsp; would be optimal.
-''Note:''
+Note: &nbsp;  The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Approximation_of_the_Error_Probability|"Approximation of the Error Probability"]].
@@ Line 69: / Line 67: @@
 ===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Which of the decision rules are correct? Decide for&nbsp; $m_0$, if
+{Which of the decision rules are correct?&nbsp; Decide for&nbsp; $m_0$,&nbsp; if
 |type="[]"}
 + $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
@@ Line 77: / Line 75: @@
 {How can the expression&nbsp; $|x+1| \ -|x \ -1|$&nbsp; be transformed?
 |type="[]"}
-+ For&nbsp; $x &#8805; +1$,&nbsp; &nbsp; $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
++ For&nbsp; $x &#8805; +1$:&nbsp; &nbsp; $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
-+ For&nbsp; $x &#8804; \, -1$,&nbsp; &nbsp; $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
++ For&nbsp; $x &#8804; \, -1$:&nbsp; &nbsp; $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
-+ For&nbsp; $-1 &#8804; x &#8804; +1$,&nbsp; &nbsp; $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
++ For&nbsp; $-1 &#8804; x &#8804; +1$:&nbsp; &nbsp; $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
 {What is the decision rule in the range&nbsp; $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$,&nbsp; $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
 |type="()"}
-+ Decision for&nbsp; $m_0$, if&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
++ Decision for&nbsp; $m_0$,&nbsp; if&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-- Decision for&nbsp; $m_1$, if&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Decision for&nbsp; $m_1$,&nbsp; if&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {What is the decision rule in the range&nbsp; $\rho_1 > +1$?

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
+{{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Approximation_of_the_Error_Probability}}
-[[File:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
+[[File:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Three decision regions <br>for Laplace]]
-Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
+We consider a transmission system based on the basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$. The two equally probable transmitted signals are given by the signal points
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
-    \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
+    \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$.
-gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu&nbsp; $E = 1$&nbsp; und erhalten somit
+In the following we normalize the energy parameter to&nbsp; $E = 1$&nbsp; for simplification and thus obtain
 :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
 :$$   \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
-Die Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; sind den so festgelegten Signalen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; eindeutig zugeordnet.
+The messages&nbsp; $m_0$&nbsp; and&nbsp; $m_1$&nbsp; are uniquely assigned to the signals&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; and&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; defined in this way.
-Die zwei Rauschkomponenten&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; seien unabhängig voneinander und jeweils laplace&ndash;verteilt mit Parameter&nbsp; $a = 1$:
+Let the two noise components&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; be independent of each other and each be Laplace distributed with parameter&nbsp; $a = 1$:
 :$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
-Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]]&nbsp; noch eingehend behandelt.
+The properties of such a Laplace noise will be discussed in detail in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_4.09Z:_Laplace_Distributed_Noise|"Exercise 4.9Z"]].&nbsp;
-Das Empfangssignal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Sendesignal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; und dem&nbsp; Rauschsignal&nbsp; $\boldsymbol{n}$ zusammen:
+The received signal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; is composed additively of the transmitted signal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; and the&nbsp; noise signal&nbsp; $\boldsymbol{n}$:
 :$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
    \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
@@ Line 28: / Line 28: @@
    \hspace{0.05cm}. $$
-Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
+The corresponding realizations are denoted as follows:
-:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})
+:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm and \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})
    \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm}  (\rho_{1},\rho_{2})
    \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm}  (\eta_{1},\eta_{2})
    \hspace{0.05cm}.$$
-Die Entscheidungsregel des MAP&ndash; und des ML&ndash;Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
+The decision rule of the MAP and ML receivers (both are identical due to the same symbol probabilities) are:
-:Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$, falls &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
+:Decide for the symbol&nbsp; $m_0$, if &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
-Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für&nbsp; $m_0)$&nbsp; auch geschrieben werden:
+With the further conditions for this $($decision for&nbsp; $m_0)$&nbsp; can also be written:
 :$${1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] >
     {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
@@ Line 47: / Line 47: @@
     | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Auf diese Funktion&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.
+This function&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; is frequently referred to in the questions.
-Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen&nbsp; $(I_0, \ I_1)$.
+The graph shows three different decision regions&nbsp; $(I_0, \ I_1)$.
-*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; optimal.
+*For AWGN noise, only the upper variant &nbsp;$\rm A$&nbsp; would be optimal.
-*Auch beim betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]]:
+*Also for the considered Laplace noise, variant &nbsp;$\rm A$&nbsp; leads to the smallest possible error probability, see&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_4.09Z:_Laplace_Distributed_Noise|"Exercise 4.9Z"]]:
-:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
+:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimal\hspace{0.15cm} receiver}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
-*Zu untersuchen ist, ob die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; bzw. die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich &nbsp;$p_{\rm min}$&nbsp; sind.
+*It is to be examined whether variant &nbsp;$\rm B$&nbsp; or variant &nbsp;$\rm C$&nbsp; is also optimal, i.e. whether their error probabilities are also as small as possible equal to &nbsp;$p_{\rm min}$.&nbsp;
@@ Line 60: / Line 60: @@
-''Hinweis:''
+''Note:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Approximation_of_the_Error_Probability|"Approximation of the Error Probability"]].
@@ Line 67: / Line 67: @@
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
 {Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für&nbsp; $m_0$, falls

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−	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^4.3 BER-Approximation^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^4.3 BER Approximation^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Digitalsignalübertragung~~\|^4.3 BER-Approximation^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^4.3 BER-Approximation^]]

@@ Line 190: / Line 190: @@
 * Teilgebiet $T_3$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
 * Teilgebiet $T_4$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
-* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. <br>Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
+* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$ <br>&rArr; &nbsp; Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
 * Teilgebiet $T_6$: &nbsp;  Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.
@@ Line 201: / Line 201: @@
 Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten '''A''', '''B''' und '''C''' auf der Angabenseite, so erkennt man,  dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind:
 * Die Varianten '''A''' und  '''B''' sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
-* Die Variante  '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.
+* Die Variante  '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilgebiete $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.
 {{ML-Fuß}}

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(No difference)

@@ Line 119: / Line 119: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sinddie <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 )
@@ Line 125: / Line 125: @@
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 )
 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: <br>Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
+*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: &nbsp; Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
@@ Line 139: / Line 139: @@
 :$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$
-Ebenso gilt für $x &#8804; \, &ndash;1$, zum Beispiel $x = \, &ndash;3$:
+*Ebenso gilt für $x &#8804; \, &ndash;1$, zum Beispiel $x = \, &ndash;3$:
 :$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen gilt im mittleren Bereich $&ndash;1 &#8804; x &#8804; +1$:
+*Dagegen gilt im mittleren Bereich $&ndash;1 &#8804; x &#8804; +1$:
 :$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 190: / Line 190: @@
 * Teilgebiet $T_3$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
 * Teilgebiet $T_4$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
-* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
+* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. <br>Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
 * Teilgebiet $T_6$: &nbsp;  Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.

@@ Line 69: / Line 69: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls
+{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für&nbsp; $m_0$, falls
 |type="[]"}
 + $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
@@ Line 75: / Line 75: @@
 - $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 &#8805; 0$.
-{Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen?
+{Wie lässt sich der Ausdruck&nbsp; $|x+1| \ -|x \ -1|$&nbsp; umformen?
 |type="[]"}
-+ Für $x &#8805; +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
++ Für&nbsp; $x &#8805; +1$&nbsp; ist&nbsp; $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
-+ Für $x &#8804; \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
++ Für&nbsp; $x &#8804; \, -1$&nbsp; ist&nbsp; $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
-+ Für $-1 &#8804; x &#8804; +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
++ Für&nbsp; $-1 &#8804; x &#8804; +1$&nbsp; ist&nbsp; $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$,&nbsp; $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-- Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 > +1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-+ Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 < \, -1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 > +1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-+ Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 <  -1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 <  -1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Variante '''A''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
++ Die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
-+ Die Variante '''B''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
++ Die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
-- Die Variante '''C''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
+- Die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
 </quiz>