Aufgaben:Exercise 4.10Z: Correlation Duration - Revision history

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; The quadratic mean results to&nbsp; $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2.$
+'''(1)'''&nbsp; The second moment results to&nbsp; $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2.$
 *From this follows the standard deviation&nbsp; $\sigma_x\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$.
-'''(2)'''&nbsp; Because&nbsp; $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$&nbsp; holds for the ACF in general:
+'''(2)'''&nbsp; Because of&nbsp; $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$&nbsp; holds for the ACF in general:
 :$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
 *From this we obtain:
@@ Line 89: / Line 89: @@
 *From this follows&nbsp; $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s}}$.
-*With other ACF form, a different ratio is obtained for&nbsp; $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.
+*With another ACF form,&nbsp; a different ratio is obtained for&nbsp; $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.
-'''(4)'''&nbsp; Because&nbsp; $P_x = P_y$&nbsp; the root mean square values of&nbsp; $x$&nbsp; and&nbsp; $y$&nbsp; are equal, respectively&nbsp; $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$.
+'''(4)'''&nbsp; Because of&nbsp; $P_x = P_y$&nbsp; the second order moments of&nbsp; $x$&nbsp; and&nbsp; $y$&nbsp; are equal &nbsp; $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$.
 *Taking into account the mean value&nbsp; $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$&nbsp; holds:
 :$$m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 \hspace{0.05 cm} V^2.$$
@@ Line 102: / Line 102: @@
-'''(5)'''&nbsp; In terms of unit resistance&nbsp; $ R = 1 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$&nbsp; the ASF of the process&nbsp; $\{y_i(t)\}$ is:
+'''(5)'''&nbsp; In terms of unit resistance&nbsp; $ R = 1 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$&nbsp; the ACF of the process&nbsp; $\{y_i(t)\}$ is:
 :$$\varphi_y (\tau) = m_y^2 + \sigma_y^2 \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}.$$
-*On the right you can see the function progression.&nbsp; Related to the resistor&nbsp; $ R = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$&nbsp; results in the following ACF values:
+*On the right you can see the ACF curve.&nbsp; Related to the resistor&nbsp; $ R = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$&nbsp; results in the following ACF values:
 :$$\varphi_y (\tau = 0) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} , \hspace{0.5cm} \varphi_y (\tau \rightarrow \infty) = 1.8\hspace{0.1cm} {\rm mW} .$$
@@ Line 112: / Line 112: @@
 \hspace{0.15 cm}\underline{=1.938\hspace{0.05 cm}\rm mW}.$$
-*With positive mean&nbsp; $m_y$&nbsp; (having the same amplitude), there would be no change in the ASF, since&nbsp; $m_y$&nbsp; is squared in the ASF equation.
+*With positive mean&nbsp; $m_y$&nbsp; $($having the same magnitude$)$,&nbsp; there would be no change in the ACF,&nbsp; since&nbsp; $m_y$&nbsp; is squared in the ACF equation.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID393__Sto_Z_4_10.png|right|frame|Sample functions of ergodic processes]]
+[[File:P_ID393__Sto_Z_4_10.png|right|frame|Pattern signals of ergodic processes]]
 The graphic shows pattern signals of two random processes&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; and&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; with equal power&nbsp;
 :$$P_x = P_y = 5\hspace{0.05 cm} \rm mW.$$

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID393__Sto_Z_4_10.png|right|frame|Sample functions of ergodic processes]]
-The adjacent image shows pattern signals of two random processes&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; and&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; each with equal power&nbsp; $P_x = P_y = 5\hspace{0.05 cm} \rm mW$.&nbsp; Assuming here the resistance&nbsp; $R = 50\hspace{0.05 cm}\rm \Omega$.
+The graphic shows pattern signals of two random processes&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; and&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; with equal power&nbsp;
@@ Line 13: / Line 15: @@
+As can be seen from the diagram below,&nbsp; the random process&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; has much stronger internal statistical bindings than the random process&nbsp; $\{x_i(t)\}$.
+Or,&nbsp; to put it another way:
 *The random process&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; is lower frequency than&nbsp; $\{x_i(t)\}$.
 *The equivalent ACF duration is&nbsp; $\nabla \tau_y = 10 \hspace{0.05 cm}\rm &micro; s $.
@@ Line 23: / Line 23: @@
-From the sketch it can also be seen that&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; in contrast to&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; is not equal signal free.&nbsp; The equal signal component is rather&nbsp; $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$.
+From the sketch it can also be seen that&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; in contrast to&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; is not DC free.&nbsp; The DC signal component is rather&nbsp; $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$.
@@ Line 32: / Line 29: @@
-Hint:
+'''Hint''':
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function|Auto-Correlation Function]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function|Auto-Correlation Function]].
-*Reference is made in particular to the page&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function#Interpretation_of_the_auto-correlation_function|Interpretation of the auto-correlation function]].
+*Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function#Interpretation_of_the_auto-correlation_function|Interpretation of the auto-correlation function]].
@@ Line 48: / Line 45: @@
-{What ACF&ndash;values result f&uuml;r&nbsp; $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm &micro;s$ &nbsp;resp.&nbsp; $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?
+{What ACF values result for&nbsp; $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm &micro;s$ &nbsp;resp.&nbsp; $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $\varphi_x(\tau = 2\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s}) \ = \ $ { 3.025 3% } $\ \rm mW$
@@ Line 54: / Line 51: @@
-{What is the correlation time&nbsp; $T_{\rm K}$, i.e. the time at which the ACF has dropped to half of the maximum?
+{What is the correlation time&nbsp; $T_{\rm K}$,&nbsp; i.e. the time at which the ACF has dropped to half of the maximum?
 |type="{}"}
 $T_{\rm K}  \ = \ $ { 2.35 3% } $\ \rm &micro; s$
@@ Line 64: / Line 61: @@
-{Calculate the ACF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$.&nbsp; What is the ACF value at&nbsp; $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?&nbsp; What would be the ACF&ndash;curve with positive mean&nbsp; $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?
+{Calculate the ACF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$.&nbsp; What is the ACF value at&nbsp; $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?&nbsp; What would be the ACF curve with positive mean&nbsp; $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?
 |type="{}"}
 $\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s}) \ = \ $ { 1.938 3% } $\ \rm mW$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2$ Daraus folgt der Effektivwert $\sigma_x\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$.
+'''(1)'''&nbsp; Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu&nbsp; $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2.$
 '''(2)'''&nbsp; Wegen $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$  gilt f&uuml;r die AKF allgemein:
 :$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
 *Daraus erh&auml;lt man:
 :$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} &micro; s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$
 :$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm &micro; s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$
@@ Line 85: / Line 88: @@
 :$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ \ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s}}$. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.
+*Daraus folgt&nbsp; $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s}}$.
 '''(4)'''&nbsp; Wegen $P_x = P_y$ sind die quadratischen Mittelwerte von $x$ und $y$ gleich, und zwar jeweils $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$. Unter Ber&uuml;cksichtigung des Mittelwertes $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$ gilt:
 $m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 \hspace{0.05 cm} V^2.$ Daraus folgt
 :$$\sigma_y\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.4\hspace{0.05 cm}{\rm V}}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Bezogen auf den Einheitswiderstand $ R = 1 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$ lautet die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$:
 :$$\varphi_y (\tau) = m_y^2 + \sigma_y^2 \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}.$$
-Rechts sehen Sie den Funktionsverlauf. Bezogen auf den Widerstand $ R = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$ ergeben sich die nachfolgend angegebenen AKF-Werte:
+*Rechts sehen Sie den Funktionsverlauf.&nbsp; Bezogen auf den Widerstand&nbsp; $ R = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$&nbsp; ergeben sich die nachfolgend angegebenen AKF-Werte:
 :$$\varphi_y (\tau = 0) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} , \hspace{0.5cm} \varphi_y (\tau \rightarrow \infty) = 1.8\hspace{0.1cm} {\rm mW} .$$
-Daraus folgt:
+*Daraus folgt:
 :$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2} \hspace{0.3cm }\Rightarrow \hspace{0.3cm }\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s})
 \hspace{0.15 cm}\underline{=1.938\hspace{0.05 cm}\rm  mW}.$$
-Bei positivem Mittelwert $m_y$ (mit gleichem Betrag) w&uuml;rde sich an der AKF nichts &auml;ndern, da $m_y$ in die AKF-Gleichung quadratisch eingeht.
+*Bei positivem Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; (mit gleichem Betrag) w&uuml;rde sich an der AKF nichts &auml;ndern, da&nbsp; $m_y$&nbsp; in die AKF-Gleichung quadratisch eingeht.
 {{ML-Fuß}}

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 [[File:P_ID393__Sto_Z_4_10.png|right|frame|Musterfunktionen ergodischer Prozesse]]
-Das nebenstehende Bild zeigt Mustersignale zweier Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$  mit jeweils gleicher Leistung  $P_x = P_y =  5\hspace{0.05 cm} \rm mW$. Vorausgesetzt ist hierbei der Widerstand $R = 50\hspace{0.05 cm}\rm  \Omega$.
+Das nebenstehende Bild zeigt Mustersignale zweier Zufallsprozesse&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp;  mit jeweils gleicher Leistung&nbsp;  $P_x = P_y =  5\hspace{0.05 cm} \rm mW$.&nbsp; Vorausgesetzt ist hierbei der Widerstand&nbsp; $R = 50\hspace{0.05 cm}\rm  \Omega$.
-Der Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$
+Der Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$
-* ist mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
+* ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$,
-* besitzt die gau&szlig;f&ouml;rmige AKF &nbsp; $\varphi_x (\tau) = \varphi_x (\tau = 0) \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2},$
+* besitzt die gau&szlig;f&ouml;rmige AKF &nbsp; $\varphi_x (\tau) = \varphi_x (\tau = 0) \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2},$&nbsp; und
-* und weist die &auml;quivalente AKF-Dauer $\nabla \tau_x = 5\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s $ auf.
+* weist die &auml;quivalente AKF-Dauer&nbsp; $\nabla \tau_x = 5\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s $&nbsp; auf.
-Wie aus dem unteren Bild zu erkennen ist, hat der Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$ sehr viel st&auml;rkere innere statistische Bindungen als der Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$.
+Wie aus dem unteren Bild zu erkennen ist, hat der Zufallsprozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; sehr viel st&auml;rkere innere statistische Bindungen als der Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$.
 Oder anders ausgedr&uuml;ckt:
-*Der Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$  ist niederfrequenter als  $\{x_i(t)\}$.
+*Der Zufallsprozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp;  ist niederfrequenter als&nbsp;  $\{x_i(t)\}$.
-*Die &auml;quivalente AKF-Dauer ist $\nabla \tau_y = 10 \hspace{0.05 cm}\rm &micro; s $.
+*Die &auml;quivalente AKF-Dauer ist&nbsp; $\nabla \tau_y = 10 \hspace{0.05 cm}\rm &micro; s $.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]].
@@ Line 39: / Line 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Welchen Effektivwert $(\sigma_x)$ besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{x_i(t)\}$?
+{Welchen Effektivwert&nbsp; $(\sigma_x)$&nbsp; besitzen die Mustersignale des Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V$
-{Welche AKF&micro;Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm &micro;s$ &nbsp;bzw.&nbsp; $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?
+{Welche AKF&ndash;Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm &micro;s$ &nbsp;bzw.&nbsp; $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $\varphi_x(\tau = 2\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s})  \ =  \ $ { 3.025 3% } $\ \rm mW$
@@ Line 50: / Line 51: @@
-{Wie gro&szlig; ist die Korrelationsdauer $T_{\rm K}$, also derjenige Zeitpunkt, bei dem die AKF auf die H&auml;lfte des Maximums abgefallen ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Korrelationsdauer&nbsp; $T_{\rm K}$, also derjenige Zeitpunkt, bei dem die AKF auf die H&auml;lfte des Maximums abgefallen ist?
 |type="{}"}
 $T_{\rm K}  \ =  \ $ { 2.35 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welchen Effektivwert $(\sigma_y)$ besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{y_i(t)\}$?
+{Welchen Effektivwert&nbsp; $(\sigma_y)$&nbsp; besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{y_i(t)\}$?
 |type="{}"}
 $\sigma_y \ =  \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie die AKF $\varphi_x(\tau)$. Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$? <br>Welcher AKF&ndash;Verlauf ergäbe sich bei positivem Mittelwert $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?
+{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$.&nbsp; Wie groß ist der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm &micro; s$?&nbsp; Welcher AKF&ndash;Verlauf ergäbe sich bei positivem Mittelwert&nbsp; $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?
 |type="{}"}
 $\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm &micro; s})  \ =  \ $ { 1.938 3% } $\ \rm mW$