Aufgaben:Exercise 4.12: Regular and Irregular Tanner Graph - Revision history

Guenter at 15:39, 17 December 2022

2022-12-17T15:39:22Z

Guenter at 15:23, 17 December 2022

2022-12-17T15:23:32Z

Noah at 20:21, 10 December 2022

2022-12-10T20:21:06Z

Show changes

Guenter: Guenter moved page Aufgaben:Aufgabe 4.12: Regulärer und irregulärer Tanner–Graph to Aufgaben:Exercise 4.12: Regular and Irregular Tanner Graph

2022-11-22T13:00:36Z

Guenter moved page Aufgabe 4.12: Regulärer und irregulärer Tanner–Graph to Exercise 4.12: Regular and Irregular Tanner Graph

Javier: Text replacement - "„" to """

2021-05-28T14:36:04Z

Text replacement - "„" to """

Javier: Text replacement - "”" to """

2021-05-28T14:31:27Z

Text replacement - "”" to """

Javier: Text replacement - "Category:Aufgaben zu Kanalcodierung" to "Category:Channel Coding: Exercises"

2021-03-23T12:51:25Z

Text replacement - "Category:Aufgaben zu Kanalcodierung" to "Category:Channel Coding: Exercises"

Javier: Text replacement - "[[Kanalcodierung" to "[[Channel_Coding"

2020-07-09T12:53:00Z

Text replacement - "[[Kanalcodierung" to "[[Channel_Coding"

Guenter at 13:25, 10 July 2019

2019-07-10T13:25:17Z

Guenter at 13:19, 10 July 2019

2019-07-10T13:19:59Z

@@ Line 69: / Line 69: @@
 ===Solutiojn===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; The number of $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;rows is equal to the number of <i>check nodes</i> $C_j$ in the Tanner graph &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{m = 3}$, and the number $\underline{n = 6}$ of <i>variable nodes</i> $V_i$ is equal to the column number.
+'''(1)'''&nbsp; The number of&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; rows is equal to the number of check nodes&nbsp; $C_j$&nbsp; in the Tanner graph &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{m = 3}$,&nbsp; <br>and the number&nbsp; $\underline{n = 6}$&nbsp; of variable nodes&nbsp; $V_i$&nbsp; is equal to the column number.
-'''(2)'''&nbsp; Correct are <u>answers 1 and 3</u> in contrast to statement 2:
+'''(2)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>answers 1 and 3</u>&nbsp; in contrast to statement 2:
-*The second $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;row is rather "$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0$". Thus, this exercise is based on the following parity-check equation:
+*The second&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; row is rather&nbsp; "$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0$".
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} =
 	\begin{pmatrix}
@@ Line 85: / Line 85: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-*In the diagram, the parity-check equations are illustrated as red (row 1), green (row 2), and blue (row 3) groupings, respectively.
+*In the diagram,&nbsp; the parity-check equations are illustrated as red&nbsp; (row 1),&nbsp; green&nbsp; (row 2)&nbsp; resp. blue&nbsp; (row 3)&nbsp; groupings.
-'''(3)'''&nbsp; Correct are <u>solutions 1 and 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>solutions 1 and 3</u>:
-* The $\mathbf{H}$ matrix ends with a $3 &times 3$ diagonal matrix &nbsp; &#8658; &nbsp; systematic code.
+* The&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; matrix ends with a&nbsp; $3 &times 3$&nbsp; diagonal matrix &nbsp; &#8658; &nbsp; systematic code.
-[[File: P_ID3074__KC_A_4_12d_v1.png|right|frame|Modified Tanner graph for code $\rm B$]]
+*Thus&nbsp; $k = n - m = 6 - 3 = 3$&nbsp; and&nbsp; $R = k/n = 1/2$&nbsp; holds.
 '''(4)'''&nbsp; Correct is the <u>proposed solution 1</u>:
-*Looking at the previous Tanner&ndash;s graph, one can see the correctness of proposed solution 1.
 *By adding the row "$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$" to the $\mathbf{H}_{\rm A}$ matrix, one obtains:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} =
 	\begin{pmatrix}
@@ Line 109: / Line 115: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-The modifications are marked in red in the adjacent graphic.
+:The modifications are marked in red in the adjacent graphic.
-This is the condition for the code $\rm B$ to be regular.
+:* from all check nodes&nbsp; $C_j$&nbsp; uniformly four.
-'''(5)'''&nbsp; Correct are the <u>solutions 2 and 3</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>solutions 2 and 3</u>:
-*The construction in subtask (4) yields a regular code.
+*The construction in subtask&nbsp; '''(4)'''&nbsp; yields a regular code.
-*The Hamming weights of the rows and columns, respectively, are $w_{\rm Z} = 3$ and $w_{\rm S} = 2$.
 *This gives as lower bound for the code rate:
-:$$R \ge 1 - \frac{w_{\rm S}}{w_{\rm Z}}
+:$$R \ge 1 - \frac{w_{\rm C}}{w_{\rm R}}
 = 1 - {2}/{3} = 1/3
 \hspace{0.05cm}.$$
-*The $\mathbf{H}$ manipulation does not change the generator matrix $\mathbf{G}$.
+*The&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; manipulation does not change the generator matrix&nbsp; $\mathbf{G}$.
 *The same code is still sent with code rate $R = 1/2$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Channel_Coding/The_Basics_of_Low-Density_Parity_Check_Codes}}
-[[File:P_ID3072__KC_A_4_12_v1.png|right|frame|Given Tanner graph for code&nbsp; $\rm A$]]
+[[File:P_ID3072__KC_A_4_12_v1.png|right|frame|Tanner graph for code&nbsp; $\rm A$]]
-Dargestellt ist ein Tanner&ndash;Graph eines Codes&nbsp; $\rm A$&nbsp; mit
+Shown is a Tanner graph of a code&nbsp; $\rm A$&nbsp; with
-* the&nbsp; <i>variable nodes</i>&nbsp; (abbreviated VNs)&nbsp; $V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ V_6$, where&nbsp; $V_i$&nbsp; denotes the&nbsp; $i$th code word bit (whether information&ndash; or parity bit) and corresponds to the&nbsp; $i$th column of the parity-check matrix;
+* the&nbsp; variable nodes&nbsp;  $V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ V_6$,&nbsp;. where&nbsp; $V_i$&nbsp; denotes the&nbsp; $i$<sup>th</sup>&nbsp; code word bit&nbsp; $($whether information bit or parity bit$)$&nbsp; and corresponds to the&nbsp; $i$<sup>th</sup>&nbsp; column of the parity-check matrix;
-In the exercise, the relation between the above Tanner&ndash;graph &nbsp;$($valid for the code&nbsp; $\rm A)$&nbsp; and the matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; shall be given. In addition, the Tanner&ndash;graph to a parity-check matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; shall be set up, resulting from&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; adding another row. This is to be determined so that the associated code&nbsp; $\rm B$&nbsp; is regular. This means:
+In this exercise, the relation between the above Tanner graph &nbsp;$($valid for the code&nbsp; $\rm A)$&nbsp; and the matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; shall be given.&nbsp;
-Hints:
+*Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Channel_Coding/The_Basics_of_Low-Density_Parity_Check_Codes#Two-part_LDPC_graph_representation_-_Tanner_graph|"Two-part LDPC graph representation &ndash; Tanner graph"]].
@@ Line 41: / Line 42: @@
 {Which statements are true based on the Tanner graph?
 |type="[]"}
-+ The row 1 of&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;matrix is&nbsp; "$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$".
++ The row 1 of the&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; matrix is&nbsp; "$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$".
-- The row 2 of&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;matrix is&nbsp; "$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
+- The row 2 of the&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; matrix is&nbsp; "$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
-+ The row 3 of&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;matrix is&nbsp; "$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
++ The row 3 of the&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; matrix is&nbsp; "$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
-{What are the properties of the code&nbsp; $\rm A$&nbsp;?
+{What are the properties of code&nbsp; $\rm A$&nbsp;?
 |type="[]"}
 + The code is systematic.
@@ Line 52: / Line 53: @@
 - The code rate is&nbsp; $R = 1/3$.
-{The matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; is obtained from&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; by adding one more row. By which fourth row does a regular code&nbsp; $\rm B$ result?
+{The matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; is obtained from&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; by adding one more row.&nbsp; By which fourth row does a regular code&nbsp; $\rm B$&nbsp; result?
 |type="[]"}
 +By adding "$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$".
@@ Line 58: / Line 59: @@
 - By adding any other row.
-{What are the properties of the code&nbsp; $\rm B$&nbsp;?
+{What are the properties of code&nbsp; $\rm B$?
 |type="[]"}
 - The code is systematic.

@@ Line 41: / Line 41: @@
 {Welche Aussagen sind aufgrund des Tanner&ndash;Graphen zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Zeile 1 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$".
++ Die Zeile 1 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; "$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$".
-- Die Zeile 2 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
+- Die Zeile 2 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; "$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
-+ Die Zeile 3 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
++ Die Zeile 3 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; "$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
 {Welche Eigenschaften weist der Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; auf?
@@ Line 54: / Line 54: @@
 {Die Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; durch Hinzufügen einer weiteren Zeile. Durch welche vierte Zeile ergibt sich ein regulärer Code&nbsp; $\rm B$?
 |type="[]"}
-+ Durch Hinzufügen von &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$".
++ Durch Hinzufügen von "$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$".
-- Durch Hinzufügen von &bdquo;$1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$".
+- Durch Hinzufügen von "$1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$".
 - Durch Hinzufügen irgend einer anderen Zeile.
@@ Line 73: / Line 73: @@
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 2:
-*Die zweite $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Zeile lautet vielmehr &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0$". Somit liegt dieser Aufgabe die folgende Prüfgleichung zugrunde:
+*Die zweite $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Zeile lautet vielmehr "$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0$". Somit liegt dieser Aufgabe die folgende Prüfgleichung zugrunde:
 [[File:P_ID3073__KC_A_4_12c_v1.png|right|frame|Zugrunde liegende Prüfgleichungen]]
@@ Line 99: / Line 99: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Betrachtet man den bisherigen Tanner&ndash;Graphen, so erkennt man die Richtigkeit von Lösungsvorschlag 1.
-*Durch Hinzufügen der Zeile &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$" zur $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix erhält man:
+*Durch Hinzufügen der Zeile "$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$" zur $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix erhält man:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} =
 	\begin{pmatrix}

@@ Line 41: / Line 41: @@
 {Welche Aussagen sind aufgrund des Tanner&ndash;Graphen zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Zeile 1 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$&rdquo;.
++ Die Zeile 1 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$".
-- Die Zeile 2 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$&rdquo;.
+- Die Zeile 2 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
-+ Die Zeile 3 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$&rdquo;.
++ Die Zeile 3 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$".
 {Welche Eigenschaften weist der Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; auf?
@@ Line 54: / Line 54: @@
 {Die Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; durch Hinzufügen einer weiteren Zeile. Durch welche vierte Zeile ergibt sich ein regulärer Code&nbsp; $\rm B$?
 |type="[]"}
-+ Durch Hinzufügen von &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$&rdquo;.
++ Durch Hinzufügen von &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$".
-- Durch Hinzufügen von &bdquo;$1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$&rdquo;.
+- Durch Hinzufügen von &bdquo;$1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1$".
 - Durch Hinzufügen irgend einer anderen Zeile.
@@ Line 73: / Line 73: @@
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 2:
-*Die zweite $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Zeile lautet vielmehr &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0$&rdquo;. Somit liegt dieser Aufgabe die folgende Prüfgleichung zugrunde:
+*Die zweite $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Zeile lautet vielmehr &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0$". Somit liegt dieser Aufgabe die folgende Prüfgleichung zugrunde:
 [[File:P_ID3073__KC_A_4_12c_v1.png|right|frame|Zugrunde liegende Prüfgleichungen]]
@@ Line 99: / Line 99: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Betrachtet man den bisherigen Tanner&ndash;Graphen, so erkennt man die Richtigkeit von Lösungsvorschlag 1.
-*Durch Hinzufügen der Zeile &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$&rdquo; zur $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix erhält man:
+*Durch Hinzufügen der Zeile &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$" zur $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix erhält man:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} =
 	\begin{pmatrix}

← Older revision		Revision as of 12:51, 23 March 2021
Line 132:		Line 132:


−	[[Category:~~Aufgaben zu Kanalcodierung~~\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]	+	[[Category:Channel Coding: Exercises\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]

← Older revision	Revision as of 13:00, 22 November 2022
(No difference)

@@ Line 25: / Line 25: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes|Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes|Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Zweiteilige_LDPC.E2.80.93Graphenrepr.C3.A4sentation_.E2.80.93_Tanner.E2.80.93Graph|Zweiteilige LDPC&ndash;Graphenrepräsentation &ndash; Tanner&ndash;Graph]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Channel_Coding/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Zweiteilige_LDPC.E2.80.93Graphenrepr.C3.A4sentation_.E2.80.93_Tanner.E2.80.93Graph|Zweiteilige LDPC&ndash;Graphenrepräsentation &ndash; Tanner&ndash;Graph]].

@@ Line 69: / Line 69: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die Anzahl der $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Zeilen ist gleich der Anzahl der <i>Check Nodes</i> $C_j$ im Tanner&ndash;Graphen &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{m = 3}$, und die Anzahl $\underline{n = 6}$ der <i>Variable Nodes</i> $V_i$ ist gleich der Spaltenzahl.
@@ Line 84: / Line 85: @@
 *Im Schaubild sind die Prüfgleichungen als rote (Zeile 1), grüne (Zeile 2) bzw. blaue (Zeile 3) Gruppierung veranschaulicht.
@@ Line 91: / Line 93: @@
 * Für die ersten drei Spalten gilt: $w_{\rm S}(1) = w_{\rm S}(2) = w_{\rm S}(3) = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; irregulärer Code.
 * Die drei Matrixzeilen sind linear unabhängig. Damit gilt $k = n - m = 6 - 3 = 3$ und $R = k/n = 1/2$.
@@ Line 105: / Line 108: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Modifikationen sind in nebenstehender Grafik rot markiert: Durch den neu hinzugefügten <i>Check Node</i> $C_4$ und die Verbindungen mit $V_4, \ V_5$ und $V_6$ gehen nun
+Die Modifikationen sind in nebenstehender Grafik rot markiert.
 * von allen <i>Variable Nodes</i> $V_i$ zwei Linien ab, und
 * von allen <i>Check Nodes</i> $C_j$ einheitlich vier.
 Dies ist die Bedingung dafür, dass der  Code $\rm B$ regulär ist.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}
-[[File:P_ID3072__KC_A_4_12_v1.png|right|frame|Vorgegebener Tanner–Graph für Code $\rm A$]]
+[[File:P_ID3072__KC_A_4_12_v1.png|right|frame|Vorgegebener Tanner–Graph für Code&nbsp; $\rm A$]]
-Dargestellt ist ein Tanner&ndash;Graph eines Codes $\rm A$ mit
+Dargestellt ist ein Tanner&ndash;Graph eines Codes&nbsp; $\rm A$&nbsp; mit
-* den <i>Variable Nodes</i> (abgekürzt VNs) $V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ V_6$, wobei $V_i$ das $i$&ndash;te Codewortbit kennzeichnet (egal, ob Informations &ndash; oder Paritybit) und der $i$&ndash;ten Spalte der Prüfmatrix entspricht;
+* den&nbsp; <i>Variable Nodes</i>&nbsp; (abgekürzt VNs)&nbsp; $V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ V_6$, wobei&nbsp; $V_i$&nbsp; das&nbsp; $i$&ndash;te Codewortbit kennzeichnet (egal, ob Informations&ndash; oder Paritybit) und der&nbsp; $i$&ndash;ten Spalte der Prüfmatrix entspricht;
-* den <i>Check Nodes</i> (abgekürzt CNs) $C_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ C_3$, die die Zeilen der $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix und damit die Prüfgleichungen repräsentieren.
+* den&nbsp; <i>Check Nodes</i>&nbsp; (abgekürzt CNs)&nbsp; $C_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ C_3$, die die Zeilen der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix und damit die Prüfgleichungen repräsentieren.
-Eine Verbindungslinie (englisch: <i>Edge</i>) zwischen $V_i$ und $C_j$ zeigt an, dass das $i$&ndash;te Codewortsymbol an der $j$&ndash;ten Prüfgleichung beteiligt ist. In diesem Fall ist das Element $h_{j,\hspace{0.05cm}i}$ der Prüfmatrix gleich $1$.
+Eine Verbindungslinie&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Edge</i>)&nbsp; zwischen&nbsp; $V_i$&nbsp; und&nbsp; $C_j$&nbsp; zeigt an, dass das&nbsp; $i$&ndash;te Codewortsymbol an der&nbsp; $j$&ndash;ten Prüfgleichung beteiligt ist. In diesem Fall ist das Element&nbsp; $h_{j,\hspace{0.05cm}i}$&nbsp; der Prüfmatrix gleich&nbsp; $1$.
-In der Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen dem oben dargestellten Tanner&ndash;Graphen (gültig für den Code $\rm A$) und der Matrix $\mathbf{H}_{\rm A}$ angegeben werden. Außerdem ist der Tanner&ndash;Graph zu einer Prüfmatrix $\mathbf{H}_{\rm B}$ aufzustellen, die sich aus $\mathbf{H}_{\rm A}$ durch Hinzufügen einer weiteren Zeile ergibt. Diese ist so zu ermitteln, dass der zugehörige Code $\rm B$ regulär ist. Das bedeutet:
+In der Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen dem oben dargestellten Tanner&ndash;Graphen &nbsp;$($gültig für den Code&nbsp; $\rm A)$&nbsp; und der Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; angegeben werden. Außerdem ist der Tanner&ndash;Graph zu einer Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; aufzustellen, die sich aus&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; durch Hinzufügen einer weiteren Zeile ergibt. Diese ist so zu ermitteln, dass der zugehörige Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; regulär ist. Das bedeutet:
-* Von allen <i>Variable Nodes</i> $V_i$ (mit $1 &#8804; i &#8804; n$) gehen gleich viele Linien (<i>Edges</i>) ab, ebenso von allen <i>Check Nodes</i> $C_j$ (mit $1 &#8804; j &#8804; m$).
+* Von allen&nbsp; <i>Variable Nodes</i>&nbsp; $V_i$&nbsp; $($mit&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; n)$&nbsp; gehen gleich viele Linien (<i>Edges</i>) ab, ebenso von allen&nbsp; <i>Check Nodes</i>&nbsp; $C_j$&nbsp; $($mit&nbsp; $1 &#8804; j &#8804; m)$.
-* Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen von $\mathbf{H}_{\rm B}$ sollen jeweils gleich sein $(w_{\rm Z})$, ebenso die Hamming&ndash;Gewichte aller Spalten $(w_{\rm S})$.
+* Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen von&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; sollen jeweils gleich sein&nbsp; $(w_{\rm Z})$, ebenso die Hamming&ndash;Gewichte aller Spalten&nbsp; $(w_{\rm S})$.
-* Für die Rate des zu konstruierenden regulären Codes $\rm B$ gilt dann die folgende untere Schranke:
+* Für die Rate des zu konstruierenden regulären Codes &nbsp;$\rm B$&nbsp; gilt dann die folgende untere Schranke:
 :$$R \ge 1 - \frac{w_{\rm S}}{w_{\rm Z}}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 21: / Line 21: @@
-''Hinweis:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes|Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Zweiteilige_LDPC.E2.80.93Graphenrepr.C3.A4sentation_.E2.80.93_Tanner.E2.80.93Graph|Zweiteilige LDPC&ndash;Graphenrepräsentation &ndash; Tanner&ndash;Graph]].
@@ Line 31: / Line 34: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wieviele Zeilen $(m)$ und Spalten $(n)$ hat die Prüfmatrix $\mathbf{H}_{\rm A}$?
+{Wieviele Zeilen&nbsp; $(m)$&nbsp; und Spalten&nbsp; $(n)$&nbsp; hat die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$?
 |type="{}"}
 $m \hspace{0.18cm} = \ ${ 3 }
@@ Line 38: / Line 41: @@
 {Welche Aussagen sind aufgrund des Tanner&ndash;Graphen zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Zeile 1 der $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist &bdquo;$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$&rdquo;.
++ Die Zeile 1 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0$&rdquo;.
-- Die Zeile 2 der $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$&rdquo;.
+- Die Zeile 2 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$&rdquo;.
-+ Die Zeile 3 der $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist &bdquo;$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$&rdquo;.
++ Die Zeile 3 der&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&ndash;Matrix ist&nbsp; &bdquo;$0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1$&rdquo;.
-{Welche Eigenschaften weist der Code $\rm A$ auf?
+{Welche Eigenschaften weist der Code&nbsp; $\rm A$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
 + Der Code ist systematisch.
 - Der Code ist regulär.
-+ Die Coderate ist $R = 1/2$.
++ Die Coderate ist&nbsp; $R = 1/2$.
-- Die Coderate ist $R = 1/3$.
+- Die Coderate ist&nbsp; $R = 1/3$.
-{Die Matrix $\mathbf{H}_{\rm B}$ ergibt sich aus $\mathbf{H}_{\rm A}$ durch Hinzufügen einer weiteren Zeile. Durch welche vierte Zeile ergibt sich ein regulärer Code $\rm B$?
+{Die Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm A}$&nbsp; durch Hinzufügen einer weiteren Zeile. Durch welche vierte Zeile ergibt sich ein regulärer Code&nbsp; $\rm B$?
 |type="[]"}
 + Durch Hinzufügen von &bdquo;$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1$&rdquo;.
@@ Line 55: / Line 58: @@
 - Durch Hinzufügen irgend einer anderen Zeile.
-{Welche Eigenschaften weist der Code $\rm B$ auf?
+{Welche Eigenschaften weist der Code&nbsp; $\rm B$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
 - Der Code ist systematisch.
 + Der Code ist regulär.
-+ Die Coderate ist $R = 1/2$.
++ Die Coderate ist&nbsp; $R = 1/2$.
-- Die Coderate ist $R = 1/3$.
+- Die Coderate ist&nbsp; $R = 1/3$.
 </quiz>