Aufgaben:Exercise 4.14: Phase Progression of the MSK - Revision history

Reed at 11:37, 21 March 2022

2022-03-21T11:37:28Z

Reed at 11:35, 21 March 2022

2022-03-21T11:35:31Z

Reed: /* Solution */

2022-03-21T11:35:08Z

Solution

Reed: /* Questions */

2022-03-21T11:25:32Z

Questions

Reed at 11:22, 21 March 2022

2022-03-21T11:22:01Z

Reed at 11:21, 21 March 2022

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Reed at 11:11, 21 March 2022

2022-03-21T11:11:14Z

Reed at 11:03, 21 March 2022

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Guenter at 13:51, 19 March 2022

2022-03-19T13:51:09Z

Guenter: Guenter moved page Aufgaben:Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK to Aufgaben:Exercise 4.14: Phase Progression of the MSK

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Guenter moved page Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK to Exercise 4.14: Phase Progression of the MSK

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-The graph shows the two equivalent low-pass signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; nd &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in the two branches below, which are obtained for the inphase and quadrature branches after recoding &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp;from the source signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; sketched above.&nbsp; Considered here is the MSK fundamental pulse,
+The graph shows the two equivalent low-pass signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; and &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in the two branches below, which are obtained for the inphase and quadrature branches after recoding &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp;from the source signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; sketched above.&nbsp; Considered here is the MSK fundamental pulse,
 :$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{for}} \\{\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm otherwise}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 This is normalized to &nbsp;$1$&nbsp;, as are the signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; and &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp;.

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 '''(2)'''&nbsp; With the given equation, it holds that:
 :$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*The quotient&nbsp; $a_1/a_0$&nbsp; is always&nbsp; $+1$&nbsp; or&nbsp; $-1$.&nbsp; Thus, this quotient is preferabled and we get:
+*The quotient&nbsp; $a_1/a_0$&nbsp; is always&nbsp; $+1$&nbsp; or&nbsp; $-1$.&nbsp; Thus, this quotient is preferable and we get:
 :$$\phi(t) =  \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [
    \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T})\right ]=   \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T}

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; <u>Answers 2 and 3</u> are correct:
-*Beispielsweise gilt im Bereich&nbsp; $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt,  dass&nbsp; $a_0^2 = a_1^2 = 1$&nbsp; ist:
+*For example, in the range &nbsp; $0 ≤ t ≤ T$, considering that &nbsp; $a_0^2 = a_1^2 = 1$&nbsp;:
 :$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.
+*Thus, statement 2 is correct, while statement 1 is false.
-*Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar&nbsp; $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$&nbsp; und&nbsp; $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$.
+*This result holds for any pair of values&nbsp; $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$&nbsp; and&nbsp; $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$.
-*Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.
+*From this, it can be further concluded that the envelope is independent of the transmitted sequence.
-'''(2)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung gilt:
+'''(2)'''&nbsp; With the given equation, it holds that:
 :$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Quotient&nbsp; $a_1/a_0$&nbsp; ist stets&nbsp; $+1$&nbsp; oder&nbsp; $-1$.&nbsp; Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:
+*The quotient&nbsp; $a_1/a_0$&nbsp; is always&nbsp; $+1$&nbsp; or&nbsp; $-1$.&nbsp; Thus, this quotient is preferabled and we get:
 :$$\phi(t) =  \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [
    \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T})\right ]=   \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Durch die Anfangsphase&nbsp; $ϕ_0 = 0$&nbsp; können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden.&nbsp; Insbesondere gilt mit&nbsp; $a_0 = a_1 = +1$:
+*The initial phase&nbsp; $ϕ_0 = 0$&nbsp; can rule out ambiguities.&nbsp; In particular, because&nbsp; $a_0 = a_1 = +1$:
 :$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm &micro; s}) =  {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm &micro; s}) =  {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp;  Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:
+'''(3)'''&nbsp;  The easiest way to solve this problem is to use the unit circle:
 :$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$
 :$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$
-[[File:P_ID1741__Mod_A_4_13_d.png|right|frame|Quellensignal und Phasenverlauf bei MSK]]
+[[File:P_ID1741__Mod_A_4_13_d.png|right|frame|Source signal and phase response in MSK]]
 :$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm &micro; s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus der unteren Skizze erkennt man, dass&nbsp; $\phi(t = 4T= 4\,{\rm &micro; s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$&nbsp; richtig ist.
+*From the sketch below, we can see that &nbsp; $\phi(t = 4T= 4\,{\rm &micro; s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$&nbsp; is correct.
-'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die MSK–Phase&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; zusammen mit dem Quellensignal&nbsp; $q(t)$.&nbsp; Man erkennt:
+'''(4)'''&nbsp; The graph shows the MSK phase&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; together with the source signal&nbsp; $q(t)$.&nbsp; It can be seen that:
-* Beim Symbol&nbsp; $a_\nu =+1$&nbsp; steigt die Phase innerhalb der Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; linear um&nbsp; $90^\circ \  (π/2)$&nbsp; an.
+* At symbol&nbsp; $a_\nu =+1$&nbsp;  the phase increases linearly by $90^\circ \  (π/2)$&nbsp; within the symbol duration $T$&nbsp;.
-* Beim Symbol&nbsp; $a_\nu =-1$&nbsp; fällt die Phase innerhalb der Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; linear um&nbsp; $90^\circ \  (π/2)$&nbsp; ab.
+* At symbol&nbsp; $a_\nu =-1$&nbsp; the phase decreases linearly by $90^\circ \  (π/2)$&nbsp; within the symbol duration $T$&nbsp;.
-*Die weiteren Phasenwerte sind somit:
+*Thus, the remaining phase values are:
 :$$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T)  \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
 :$$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve &nbsp;$|s_{\rm TP}(t)|$&nbsp; der MSK?
+{Which statements are true for the envelope curve &nbsp;$|s_{\rm TP}(t)|$&nbsp; of MSK?
 |type="[]"}
-- Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
+- The envelope curve is a cosine oscillation.
-+ Die Hüllkurve ist konstant.
++ The envelope curve is constant.
-+ Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.
++ The envelope curve is independent of the transmitted sequence.
-{Es gelte &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro;s$.&nbsp; Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall &nbsp;$0 ≤ t ≤ T$.
+{Let &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro;s$.&nbsp; Calculate the phase response in the interval &nbsp;$0 ≤ t ≤ T$.
-<br>Welche Phasenwerte ergeben sich für &nbsp;$t = T/2$&nbsp; und &nbsp;$t = T$?
+<br>What are the phase values for &nbsp;$t = T/2$&nbsp; and &nbsp;$t = T$?
 |type="{}"}
-$ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3%  } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3%  } $\ \rm degrees$
-$ϕ(t = T) \hspace{0.63cm}  = \ ${ 90 3% } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = T) \hspace{0.63cm}  = \ ${ 90 3% } $\ \rm degrees$
-{Bestimmen Sie die Phasenwerte bei &nbsp;$t = 2T$, &nbsp;$t = 3T$ &nbsp;und&nbsp; $t = 4T$.
+{Determine the phase values at &nbsp;$t = 2T$, &nbsp;$t = 3T$ &nbsp;and&nbsp; $t = 4T$.
 |type="{}"}
-$ϕ(t = 2T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 2T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm degrees$
-$ϕ(t = 3T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 3T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm degrees$
-$ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm degrees$
-{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; im Bereich von &nbsp;$0$ &nbsp;bis&nbsp; $8T$. <br>Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeitpunkten?
+{Sketch and interpret the phase response &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; in the range from &nbsp;$0$ &nbsp;to&nbsp; $8T$. <br>What are the phase values at the following times?
 |type="{}"}
-$ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm degrees$
-$ϕ(t = 6T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 6T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm degrees$
-$ϕ(t = 7T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 7T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm degrees$
-$ϕ(t = 8T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$
+$ϕ(t = 8T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm degrees$
 </quiz>

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 The graph shows the two equivalent low-pass signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; nd &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in the two branches below, which are obtained for the inphase and quadrature branches after recoding &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp;from the source signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; sketched above.&nbsp; Considered here is the MSK fundamental pulse,
-:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
+:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{for}} \\{\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm otherwise}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 This is normalized to &nbsp;$1$&nbsp;, as are the signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; and &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp;.

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 [[File:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Source signal and low-pass signals <br>in both branches of the MSK]]
-Eine Realisierungsmöglichkeit für&nbsp; ''Minimum Shift Keying''&nbsp; $\rm (MSK)$&nbsp; bietet die&nbsp; $\rm Offset–QPSK$, wie aus dem &nbsp;[[Modulation_Methods/Nonlinear_Digital_Modulation#Realizing_MSK_as_Offset.E2.80.93QPSK|block diagram]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
+One possible implementation of&nbsp; ''Minimum Shift Keying''&nbsp; $\rm (MSK)$&nbsp; is offered by &nbsp; $\rm Offset–QPSK$, as shown in the [[Modulation_Methods/Nonlinear_Digital_Modulation#Realizing_MSK_as_Offset.E2.80.93QPSK|block diagram]]&nbsp; in the theory section.
-*Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; vorzunehmen.
+*For this, a recoding of the source symbols &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp;  into the similarly binary amplitude coefficients &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; must first be undertaken.
-*Diese Umcodierung wird in der  &nbsp;[[Aufgaben:Exercise_4.14Z:_Offset_QPSK_vs._MSK|Exercise 4.14Z]]&nbsp; eingehend behandelt.
+*This recoding is discussed in detail in  &nbsp;[[Aufgaben:Exercise_4.14Z:_Offset_QPSK_vs._MSK|Exercise 4.14Z]]&nbsp;.
-Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp; aus dem oben skizzierten Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben.&nbsp; Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
+The graph shows the two equivalent low-pass signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; nd &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in the two branches below, which are obtained for the inphase and quadrature branches after recoding &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp;from the source signal &nbsp;$q(t)$&nbsp; sketched above.&nbsp; Considered here is the MSK fundamental pulse,
 :$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Dieser ist ebenso wie die Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
+This is normalized to &nbsp;$1$&nbsp;, as are the signals &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; and &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp;.
-Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel &nbsp;[[Signal_Representation/Equivalent_Low_Pass_Signal_and_Its_Spectral_Function|Equivalent Low-Pass Signal and its Spectral Function]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”:
+In keeping with the chapter &nbsp;[[Signal_Representation/Equivalent_Low_Pass_Signal_and_Its_Spectral_Function|Equivalent Low-Pass Signal and its Spectral Function]]&nbsp;in the book "Signal Representation", the equivalent low-pass signal is:
 :$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$
-*mit dem Betrag
+*with magnitude
 :$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$
-*und der Phase
+*and phase
 :$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$
-Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu
+The physical MSK transmitted signal is then given by
 :$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale <br>in den beiden Zweigen der MSK]]
-Eine Realisierungsmöglichkeit für&nbsp; ''Minimum Shift Keying''&nbsp; $\rm (MSK)$&nbsp; bietet die&nbsp; $\rm Offset–QPSK$, wie aus dem &nbsp;[[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
+Eine Realisierungsmöglichkeit für&nbsp; ''Minimum Shift Keying''&nbsp; $\rm (MSK)$&nbsp; bietet die&nbsp; $\rm Offset–QPSK$, wie aus dem &nbsp;[[Modulation_Methods/Nonlinear_Digital_Modulation#Realizing_MSK_as_Offset.E2.80.93QPSK|block diagram]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
 *Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; vorzunehmen.
-*Diese Umcodierung wird in der  &nbsp;[[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Aufgabe 4.14Z]]&nbsp; eingehend behandelt.
+*Diese Umcodierung wird in der  &nbsp;[[Aufgaben:Exercise_4.14Z:_Offset_QPSK_vs._MSK|Exercise 4.14Z]]&nbsp; eingehend behandelt.
@@ Line 13: / Line 13: @@
 Dieser ist ebenso wie die Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
-Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel &nbsp;[[Signal_Representation/Equivalent_Low_Pass_Signal_and_Its_Spectral_Function|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”:
+Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel &nbsp;[[Signal_Representation/Equivalent_Low_Pass_Signal_and_Its_Spectral_Function|Equivalent Low-Pass Signal and its Spectral Function]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”:
 :$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$
 *mit dem Betrag
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-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Nonlinear_Digital_Modulation|Nonlinear Digital Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
+*Particular reference is made to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Nonlinear_Digital_Modulation#Realizing_MSK_as_Offset.E2.80.93QPSK|Realizing MSK as Offset–QPSK]].
-*Gehen Sie davon aus, dass &nbsp;$ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$&nbsp; ist.
+*Assume &nbsp;$ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$&nbsp;.
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
@@ Line 66: / Line 66: @@
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:

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