Aufgaben:Exercise 4.15Z: Statements of the Covariance Matrix - Revision history

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@@ Line 72: / Line 72: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Only the <u>second and the last statement</u> are true:
+'''(1)'''&nbsp; Only the&nbsp; <u>second and the last statement</u>&nbsp; are true:
-*Statement 2 describes the case considered in the graph where two quantities&nbsp; $($here: &nbsp; $x_1$&nbsp; and&nbsp; $x_2)$&nbsp; are uncorrelated, while&nbsp; $x_3$&nbsp; has statistical bindings with respect to&nbsp; $x_1$&nbsp; $($about the quantity&nbsp; $u)$&nbsp; and also with respect to&nbsp; $x_3$&nbsp; $($due to the random variable $v)$&nbsp;.
+*Statement 2 describes the case considered in the graph where two quantities&nbsp; $($here: &nbsp; $x_1$&nbsp; and&nbsp; $x_2)$&nbsp; are uncorrelated,&nbsp; while&nbsp; $x_3$&nbsp; has statistical bindings with respect to&nbsp; $x_1$&nbsp; $($about the quantity&nbsp; $u)$&nbsp; and also with respect to&nbsp; $x_2$&nbsp; $($due to the random variable $v)$&nbsp;.
-*On the other hand, the combination&nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; is not possible with the structure given here. &nbsp; For this, one would need a third statistically independent random variable&nbsp; $w$&nbsp; and, for example, &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; and &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; would have to hold.
+*On the other hand,&nbsp; the combination&nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; is not possible with the structure given here. &nbsp; For this,&nbsp; one would need a third statistically independent random variable&nbsp; $w$&nbsp; and,&nbsp; for example, &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; and &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; would have to hold.
-*The third statement is also not true:&nbsp; If&nbsp; $x_1$&nbsp; and&nbsp; $x_2$&nbsp; are uncorrelated and at the same time also&nbsp; $x_1$&nbsp; and&nbsp; $x_3$, then no statistical bindings can exist between&nbsp; $x_2$&nbsp; and&nbsp; $x_3$&nbsp; either.
+*The third statement is not true:&nbsp; If&nbsp; $x_1$&nbsp; and&nbsp; $x_2$&nbsp; are uncorrelated and at the same time also&nbsp; $x_1$&nbsp; and&nbsp; $x_3$,&nbsp; then no statistical bindings can exist between&nbsp; $x_2$&nbsp; and&nbsp; $x_3$.
-*In general, however, both&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; and&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; will be different from zero.
+*In general,&nbsp; however,&nbsp; both&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; and&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; will be different from zero.&nbsp; A very simple example of this is considered in the subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp;.
-'''(2)'''&nbsp; In this case, the quantities &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; are completely&nbsp; $($to&nbsp; $100\%)$&nbsp; correlated.
+'''(2)'''&nbsp; In this case,&nbsp; the quantities &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; are completely&nbsp; $($to&nbsp; $100\%)$&nbsp; correlated.
 *With&nbsp; $A_2 = A_1$&nbsp; and&nbsp; $B_2 = B_1$&nbsp; we obtain for the joint correlation coefficient:
 :$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
-*In the same way, with&nbsp; $A_3 = -A_1$&nbsp; and &nbsp;$B_3 = -B_1$:
+*In the same way,&nbsp; with&nbsp; $A_3 = -A_1$&nbsp; and &nbsp;$B_3 = -B_1$:
 :$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
-'''(3)'''&nbsp; With this set of parameters,&nbsp; $x_1$&nbsp; is identical to the random variable&nbsp; $u$, while&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; holds.
+'''(3)'''&nbsp; With this parameter set,&nbsp; $x_1$&nbsp; is identical to the random variable&nbsp; $u$,&nbsp; while&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; holds.
-*Since&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$&nbsp; are statistically independent of each other, we get&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
+*Since&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$&nbsp; are statistically independent of each other,&nbsp; we get&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
-*In contrast, for the other two correlation coefficients:
+*In contrast,&nbsp; for the other two correlation coefficients:
 :$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
 :$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot
 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
+*For a&nbsp; (very well)&nbsp; trained eye,&nbsp; it can be seen from the graph on the information page that the signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; has more similarities with&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; than with&nbsp; $x_2(t)$.
 *This fact is also expressed by the calculated correlation coefficients.
-*Don't be frustrated, however, if you don't recognize the different correlation in the signal courses.
+*Don't be frustrated,&nbsp; however,&nbsp; if you don't recognize the different correlation in the signal courses.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Are the random signals correlated?]]
-Let be given the two Gaussian random variables&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$, each zero mean and with variance&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
+Let be given the two Gaussian random variables&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$,&nbsp; each zero mean and with variance&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
-From these, three new random variables are formed by linear combination:
+From these,&nbsp; three new random variables are formed by linear combination:
 :$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 :$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
 :$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
-Assuming that in all cases considered &nbsp;$(i = 1, 2, 3)$&nbsp; holds:
+Assuming that in all cases considered &nbsp;$(i = 1,\ 2,\ 3)$&nbsp; holds:
 :$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$
-The graph shows the signals $x_1(t)$, $x_2(t)$ and $x_3(t)$ for the case to be considered in the subtask&nbsp; '''(3)'''&nbsp; :
+The graph shows the signals&nbsp; $x_1(t)$,&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; and&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; for the case to be considered in the subtask&nbsp; '''(3)''':
 * $A_1 = B_2 = 1$,
 * $A_2 = B_2 = 0$,
-* $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,
+* $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$.
@@ Line 24: / Line 24: @@
 B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
-Under the assumption implicit here&nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$&nbsp; the covariance matrix&nbsp; $\mathbf{K}$ is:
+Under the assumption implicit here&nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$&nbsp; the covariance matrix&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; is:
 :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
@@ Line 30: / Line 30: @@
 \end{array} \right] .$$
-This is identical to the correlation matrix&nbsp; $\mathbf{R}$ for zero mean random variables.
+This is identical to the correlation matrix&nbsp; $\mathbf{R}$&nbsp; for zero mean random variables.
@@ Line 42: / Line 38: @@
 Hints:
 *The exercise belongs to the chapter &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables|Generalization to N-Dimensional Random Variables]].
-*Some basics on the application of vectors and matrices can be found on the pages &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|Determinant of a Matrix]]&nbsp; and &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]]&nbsp;.
+*Some basics on the application of vectors and matrices can be found on the pages &nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|Determinant of a Matrix]] &nbsp; and &nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]]&nbsp;.
@@ Line 52: / Line 48: @@
 {Which of the following statements are true? Give reasons for your findings.
 |type="[]"}
-- $\mathbf{K}$&nbsp; can be a diagonal matrix with a suitable choice of&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; be a diagonal matrix.&nbsp; Or in other words, &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; is possible.
+- $\mathbf{K}$&nbsp; can be with a suitable choice of &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; a diagonal matrix.&nbsp; Or in other words, &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; is possible.
-+ With appropriate choice of parameters&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; exactly one of the correlation coefficients&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; can be.
++ With appropriate choice of parameters &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; exactly one of the correlation coefficients can be&nbsp; $\rho_{ij} = 0$.
-- With appropriate choice of parameters&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; exactly two of the correlation coefficients&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; can be.
+- With appropriate choice of parameters &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; exactly two of the correlation coefficients can be&nbsp; $\rho_{ij} = 0$.
-+ With appropriate choice of parameters&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; all three correlation coefficients&nbsp; $\rho_{ij} \ne be 0$&nbsp; .
++ With appropriate choice of parameters &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; all three correlation coefficients&nbsp; $\rho_{ij} \ne  0$.
-{What are the matrix elements of&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; with&nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$&nbsp; and&nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
+{What are the matrix elements of&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; with &nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$ &nbsp; and &nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
@@ Line 65: / Line 61: @@
-{Calculate the coefficients&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; for the case shown in the graph:&nbsp; $A_1 = 1$,&nbsp; $B_1 = 0$,&nbsp; $A_2 = 0$,&nbsp; $B_2 = 1$,&nbsp; $A_3 = 0.8$,&nbsp; $B_3 = 0.6$.
+{Calculate the coefficients&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; for the case shown in the graph: &nbsp; $A_1 = 1$,&nbsp; $B_1 = 0$,&nbsp; $A_2 = 0$,&nbsp; $B_2 = 1$,&nbsp; $A_3 = 0.8$,&nbsp; $B_3 = 0.6$.
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ = \ $ { 0. }

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie~~\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]	+	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
+*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
-*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: &nbsp; $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
+*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen&nbsp; $($hier: &nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2)$&nbsp; unkorreliert sind, während&nbsp; $x_3$&nbsp; statistische Bindungen bezüglich&nbsp; $x_1$&nbsp; $($über die Größe&nbsp; $u)$&nbsp; und auch in Bezug zu&nbsp; $x_3$&nbsp; $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$&nbsp; aufweist.
-*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
+*Die Kombination&nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.&nbsp; Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße&nbsp; $w$&nbsp; benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
-*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
+*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:&nbsp; Sind&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$&nbsp; unkorreliert und gleichzeitig auch&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_3$, so können auch zwischen&nbsp; $x_2$&nbsp; und&nbsp; $x_3$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen.
-*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein.
+*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; als auch&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{23}$&nbsp; von Null verschieden sein.
-*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe '''(2)''' betrachtet.
+*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; betrachtet.
-'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig (zu $100\%$) korreliert.
-*Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
+'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig&nbsp; $($zu&nbsp; $100\%)$&nbsp; korreliert.
 :$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
-*In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
+*In gleicher Weise gilt mit&nbsp; $A_3 = -A_1$&nbsp; und &nbsp;$B_3 = -B_1$:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt.
+'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist&nbsp; $x_1$&nbsp; identisch mit der Zufallsgröße&nbsp; $u$, während&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; gilt.
-*Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
+*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
 *Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
@@ Line 102: / Line 103: @@
 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
-*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$.
+*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mehr Ähnlichkeiten mit&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; aufweist als mit&nbsp; $x_2(t)$.
 *Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
 *Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.

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(No difference)

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 [[File:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
-Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.
+Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
 Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
@@ Line 11: / Line 11: @@
 :$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
-Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:
+Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen &nbsp;$(i = 1, 2, 3)$&nbsp; gilt:
 :$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
-In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet werden soll:
+Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; betrachtet werden soll:
 * $A_1 = B_2 = 1$,
 * $A_2 = B_2 = 0$,
@@ Line 20: / Line 20: @@
-Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:
+Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $x_i$&nbsp; und&nbsp; $x_j$&nbsp; wird wie folgt angegeben:
 :$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
 B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
-Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:
+Unter der hier implizit getroffenen Annahme&nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$&nbsp; lautet die Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}$:
 :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
@@ Line 30: / Line 30: @@
 \end{array} \right] .$$
-Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.
+Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R}$.
@@ Line 49: / Line 52: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 |type="[]"}
-- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
+- $\mathbf{K}$&nbsp; kann bei geeigneter Wahl von&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; eine Diagonalmatrix sein.&nbsp; Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; ist möglich.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; kann genau einer der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
-- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
+- Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können genau zwei der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können alle drei Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} \ne 0$&nbsp; sein.
-{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$  und $B_1 = B_2 = - B_3$?
+{Wie lauten die Matrixelemente von&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; mit&nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$&nbsp;  und&nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
@@ Line 62: / Line 65: @@
-{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
+{Berechnen Sie die Koeffizienten&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; für den in der Grafik dargestellten Fall:&nbsp; $A_1 = 1$,&nbsp; $B_1 = 0$,&nbsp; $A_2 = 0$,&nbsp; $B_2 = 1$,&nbsp; $A_3 = 0.8$,&nbsp; $B_3 = 0.6$.
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ =  \ $ { 0. }