Aufgaben:Exercise 4.16: Eigenvalues and Eigenvectors - Revision history

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@@ Line 80: / Line 80: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Correct are <u>proposed solutions 1 and 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Correct are the&nbsp; <u>proposed solutions 1 and 2</u>:
-*$\mathbf{K_y}$&nbsp; is indeed the most general correlation matrix of a 2D random variable with&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
+*$\mathbf{K_y}$&nbsp; is indeed the most general correlation matrix of a two-dimensional random variable with&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
 *The parameter&nbsp; $\rho$&nbsp; specifies the correlation coefficient.&nbsp; This can take all values between&nbsp; $\pm 1$&nbsp; including these marginal values.
@@ Line 88: / Line 88: @@
 '''(2)'''&nbsp; In this case, the governing equation is:
 :$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}
-- \lambda & 0 \
+- \lambda & 0 \\
 & 1- \lambda
 \end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
-(1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
+(1- \lambda)^2  = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$
@@ Line 102: / Line 102: @@
 *For&nbsp; $\rho= 0.5$&nbsp; one gets&nbsp; $\underline{\lambda_{1} =1.5}$&nbsp; and&nbsp; $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
-*By the way, the equation holds in the whole domain of definition&nbsp; $-1 \le \rho \le +1$.
+*By the way,&nbsp; the equation holds in the whole domain of definition&nbsp; $-1 \le \rho \le +1$.
-*For&nbsp; $\rho = 0$&nbsp; is&nbsp; $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; see subtask&nbsp; '''(2)''''.
+*For&nbsp; $\rho = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; see subtask&nbsp; '''(2)'''.
-*For&nbsp; $\rho = \pm 1$&nbsp; this gives $\lambda_1 = 2$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2 = 0$.
+*For&nbsp; $\rho = \pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\lambda_1 = 2$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2 = 0$.
-'''(4)'''&nbsp; The eigenvectors are obtained by substituting the eigenvalues&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; into the correlation matrix:
+'''(4)'''&nbsp; Correct are&nbsp; <u>the proposed solutions 1 and 2</u>.
 :$$\left[ \begin{array}{cc}
 - (1+\rho) & \rho \\
@@ Line 146: / Line 148: @@
 \end{array} \right].$$
-[[File:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png|right|frame|To rotate the coordinate system]]
+[[File:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png|right|frame|Rotate the coordinate system]]
-Putting this into what is called orthonormal form, the following holds:
+Putting this into the&nbsp; "orthonormal form",&nbsp; the following holds:
 :$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[
 \begin{array}{c}
@@ Line 160: / Line 162: @@
 The sketch illustrates the result:
-*The coordinate system defined by&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; is actually in the direction of the principal axes of the original system.
+*The coordinate system defined by&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; is actually in the direction of the main axes of the original system.
-*With&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2$&nbsp; almost always results&nbsp; $($exception: &nbsp; $\rho= 0)$&nbsp; the angle of rotation&nbsp; $\alpha = 45^\circ$.
+*With&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2$&nbsp; almost always results&nbsp; $($exception: &nbsp; $\rho= 0)$&nbsp; the rotation angle&nbsp; $\alpha = 45^\circ$.
 *This also follows from the equation given in the theory section:
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
@@ Line 167: / Line 169: @@
 {1}/{2}\cdot \arctan
 (\infty)\hspace{0.3cm}\rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
-*The eigenvalues&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; do not denote the scatter with respect to the new axes, but the variances.
+*The eigenvalues&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; do not denote the standard deviations with respect to the new axes, but the variances.
-'''(5)'''&nbsp; By comparing the matrices&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; we get.
+'''(5)'''&nbsp; By comparing the matrices &nbsp; $\mathbf{K_x}$ &nbsp; and &nbsp; $\mathbf{K_z}$ &nbsp; we get.
 *$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
 *$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
@@ Line 209: / Line 209: @@
 The accompanying sketch shows the joint PDF of the random variable&nbsp; $\mathbf{z}$:
-*Because&nbsp; $\rho = 1$&nbsp; all values lie on the correlation line with coordinates&nbsp; $z_1$&nbsp; and&nbsp; $z_2 = z_1/2$.
+*Because of&nbsp; $\rho = 1$&nbsp; all values lie on the correlation line with coordinates&nbsp; $z_1$&nbsp; and&nbsp; $z_2 = z_1/2$.
-*By rotating by the angle&nbsp; $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$&nbsp; a new coordinate system is formed.
+*By rotating by the angle &nbsp; $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ &nbsp; a new coordinate system is formed.
-*The variance along the axis&nbsp; $\mathbf{\zeta_1}$ is&nbsp; $\lambda_1 = 5$&nbsp; $($scatter&nbsp; $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
+*The variance along the axis &nbsp; $\mathbf{\zeta_1}$ &nbsp; is&nbsp; $\lambda_1 = 5$&nbsp; $($standard deviation&nbsp; $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
-*while in the direction orthogonal to it&nbsp; $\mathbf{\zeta_2}$&nbsp; the random variable is not extended&nbsp; $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
+*while in the direction orthogonal to it,&nbsp; the random variable&nbsp; $\mathbf{\zeta_2}$&nbsp; is not extended&nbsp; $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID671__Sto_A_4_16.png|right|frame|Three correlation matrices]]
-Although the description of Gaussian random variables using vectors and matrices is actually only necessary and makes sense for more than&nbsp; $N = 2$&nbsp; dimensions, here we restrict ourselves to the special case of two-dimensional random variables for simplicity.
+Although the description of Gaussian random variables using vectors and matrices is actually only necessary and makes sense for more than&nbsp; $N = 2$&nbsp; dimensions,&nbsp; here we restrict ourselves to the special case of two-dimensional random variables for simplicity.
@@ Line 21: / Line 17: @@
 Hints:
 *The exercise belongs to the chapter &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables|Generalization to N-Dimensional Random Variables]].
-*Some basics on the application of vectors and matrices can be found on the pages &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|Determinant of a Matrix]]&nbsp; and &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]]&nbsp;.
+*Some basics on the application of vectors and matrices can be found on the pages &nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|Determinant of a Matrix]] &nbsp; and &nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]]&nbsp;.
-* According to the page &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables#Contour_lines_for_correlated_random_variables|Contour lines for correlated random variables]]&nbsp; the angle $\alpha$ between the old and the new system is given by the following equation:
+* According to the page &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables#Contour_lines_for_correlated_random_variables|"Contour lines for correlated random variables"]]&nbsp; the angle $\alpha$ between the old and the new system is given by the following equation:
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
 \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
-*In particular, note:
+*In particular,&nbsp; note:
 **A&nbsp; $2×2$-covariance matrix has two real eigenvalues&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2$.
 **These two eigenvalues determine two eigenvectors&nbsp; $\xi_1$&nbsp; and&nbsp; $\xi_2$.
@@ Line 38: / Line 34: @@
 |type="[]"}
 + $\mathbf{K_y}$&nbsp; describes all possible two-dimensional random variables with &nbsp;$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
-+ The value range of the parameter &nbsp;$\rho$&nbsp; is &nbsp;$-1 \le \rho \le +1$.
++ The value range of the parameter &nbsp;$\rho$ &nbsp; is &nbsp;$-1 \le \rho \le +1$.
-- The value range of the parameter &nbsp;$\rho$&nbsp; is &nbsp;$0 < \rho < 1$.
+- The value range of the parameter &nbsp;$\rho$ &nbsp; is &nbsp;$0 < \rho < 1$.
@@ Line 48: / Line 44: @@
-{Give the eigenvalues of&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; under the condition &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; and &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; What values result for &nbsp;$\rho = 0.5 $, assuming &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp;?
+{Give the eigenvalues of &nbsp; $\mathbf{K_y}$ &nbsp; under the condition &nbsp; $\sigma = 1$ &nbsp; and &nbsp; $0 < \rho < 1$ &nbsp; What values result for &nbsp;$\rho = 0.5 $,&nbsp; assuming &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$?
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
@@ Line 56: / Line 52: @@
 {Calculate the corresponding eigenvectors&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;and&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$.&nbsp; Which of the following statements are true?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;and&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; lie in the direction of the ellipse principal axes.
++ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;and&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; lie in the direction of the ellipse main axes.
-+ The new coordinates are rotated by&nbsp; $45^\circ$&nbsp;.
++ The new coordinates are rotated by&nbsp; $45^\circ$.
-- The scatterings with respect to the new system are&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2$.
+- The standard deviations with respect to the new system are&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2$.
-{What are the characteristics of the random variable specified by&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; $\mathbf{z}$?
+{What are the characteristics of the random variable&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; specified by&nbsp; $\mathbf{K_z}$?
 |type="{}"}
 $\sigma_1 = \ $ { 2 3% }

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@@ Line 20: / Line 20: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
+*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
-* Entsprechend der Seite &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen]]&nbsp; ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
+* Entsprechend der Seite &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen]]&nbsp; ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
 \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$

@@ Line 88: / Line 88: @@
 *Der Parameter&nbsp; $\rho$&nbsp; gibt den Korrelationskoeffizienten an.&nbsp; Dieser kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; inclusive dieser Randwerte annehmen.
 '''(2)'''&nbsp; In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:
@@ Line 98: / Line 99: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
 :$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow
 \hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
-*Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
+*Für&nbsp; $\rho= 0.5$&nbsp; erhält man&nbsp; $\underline{\lambda_{1} =1.5}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
-*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.
+*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich&nbsp; $-1 \le \rho \le +1$.
-*Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
+*Für&nbsp; $\rho = 0$&nbsp; ist&nbsp; $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
-*Bei $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1  = 2$ und $\lambda_2  = 0$.
+*Für&nbsp; $\rho = \pm 1$&nbsp; ergibt sich $\lambda_1  = 2$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2  = 0$.
 '''(4)'''&nbsp; Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:
 :$$\left[ \begin{array}{cc}
 - (1+\rho) & \rho \\
@@ Line 160: / Line 163: @@
 \end{array} \right].$$
-In der nebenstehenden Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
+In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
-*Das neue, durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
+*Das durch&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
-*Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme: &nbsp; $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.
+*Mit&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2$&nbsp; ergibt sich fast immer&nbsp; $($Ausnahme: &nbsp; $\rho= 0)$&nbsp; der Drehwinkel&nbsp; $\alpha = 45^\circ$.
 *Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
@@ Line 168: / Line 171: @@
 {1}/{2}\cdot \arctan
 (\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
-*Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.
+*Die Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.
@@ Line 174: / Line 177: @@
-'''(5)'''&nbsp; Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man
+'''(5)'''&nbsp; Durch Vergleich der Matrizen&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; erhält man
 *$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
 *$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
 *$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.
@@ Line 185: / Line 189: @@
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}
 =5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$
@@ Line 207: / Line 212: @@
 ({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$
-Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße $\mathbf{z}$:
+Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$:
-* Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.
+* Wegen&nbsp; $\rho = 1$&nbsp; liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten&nbsp; $z_1$&nbsp; und&nbsp; $z_2 = z_1/2$.
-*Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.
+*Durch die Drehung um den Winkel&nbsp; $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$&nbsp; entsteht ein neues Koordinatensystem.
-*Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$),
+*Die Varianz entlang der Achse&nbsp; $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt&nbsp; $\lambda_1 = 5$&nbsp; $($Streuung&nbsp; $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
-*während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
+*während in der dazu orthogonalen Richtung&nbsp; $\mathbf{\zeta_2}$&nbsp; die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist&nbsp; $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
 {{ML-Fuß}}

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(No difference)

@@ Line 9: / Line 9: @@
 Die Zufallsgrößen&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; geben zwei Spezialfälle von&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; bzw.&nbsp;  $\mathbf{K_z}$&nbsp; bestimmt werden sollen.
@@ Line 46: / Line 48: @@
-{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.
+{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.&nbsp;  Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $, wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ =  \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID671__Sto_A_4_16.png|right|frame|Drei Korrelationsmatrizen]]
-Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als $N = 2$ Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
+Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als&nbsp; $N = 2$&nbsp; Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
@@ Line 21: / Line 24: @@
 \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
 *Insbesondere ist zu beachten:
-**Eine $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$.
+**Eine&nbsp; $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$.
-**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren $\xi_1$ und $\xi_2$.
+**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren&nbsp; $\xi_1$&nbsp; und&nbsp; $\xi_2$.
 **Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.
@@ Line 30: / Line 33: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{K_y}$ beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit &nbsp;$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
++ $\mathbf{K_y}$&nbsp; beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit &nbsp;$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
 + Der Wertebereich des Parameters &nbsp;$\rho$&nbsp; ist &nbsp;$-1 \le \rho \le +1$.
 - Der Wertebereich des Parameters &nbsp;$\rho$&nbsp; ist &nbsp;$0 < \rho < 1$.
-{Berechnen Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; und &nbsp;$\rho = 0$.
+{Berechnen Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; und &nbsp;$\rho = 0$.
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ = \ $ { 1 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
@@ Line 43: / Line 46: @@
-{Geben Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.
+{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.
 <br>Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $, wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
@@ Line 50: / Line 53: @@
-{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$. <br>Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$ liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
++ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
-+ Die neuen Koordinaten sind  um $45^\circ$ gedreht.
++ Die neuen Koordinaten sind  um&nbsp; $45^\circ$&nbsp; gedreht.
-- Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind $\lambda_1$ und $\lambda_2$.
+- Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$.
-{Wie lauten die Kenngrößen der durch $\mathbf{K_z}$ festgelegten Zufallsgröße $\mathbf{z}$?
+{Wie lauten die Kenngrößen der durch&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; festgelegten Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$?
 |type="{}"}
 $\sigma_1 = \ $ { 2 3% }
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-{Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$.
+{Berechnen Sie die Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2 \le \lambda_1$&nbsp; der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_z}$.
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ = \  $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
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-{Um welchen Winkel $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$ gedreht?
+{Um welchen Winkel&nbsp; $\alpha$&nbsp;  ist das neue Koordinatensystem&nbsp; $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$&nbsp;  gegenüber dem ursprünglichen System&nbsp; $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$&nbsp; gedreht?
 |type="{}"}
 $\alpha \ =  \ $ { 26.56 3% } $\ \rm Grad$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*$\mathbf{K_y}$ ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
+*$\mathbf{K_y}$&nbsp; ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
-*Der Parameter $\rho$ gibt den Korrelationskoeffizienten an. Dieser kann alle Werte zwischen $\pm 1$ inclusive dieser Randwerte annehmen.
+*Der Parameter&nbsp; $\rho$&nbsp; gibt den Korrelationskoeffizienten an.&nbsp; Dieser kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; inclusive dieser Randwerte annehmen.