Aufgaben:Exercise 4.16Z: Multi-dimensional Data Reduction - Revision history

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; From the condition&nbsp; $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$&nbsp; follows:
+'''(1)'''&nbsp; From the condition &nbsp; $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ &nbsp; follows:
 :$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}
-- \lambda & 1/3 \
+- \lambda & 1/3 \\
 /3 & 1- \lambda
 \end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0
-\hspace{0.3cm}\rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0
+\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm
 \sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$
-*The eigenvalues of this&nbsp; $2\times2$ matrix are thus&nbsp; $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
+*The eigenvalues of this&nbsp; $2\times2$&nbsp; matrix are thus&nbsp; $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
 '''(2)'''&nbsp; Without considering correlations, there are&nbsp; $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$&nbsp; different pairs of values.
-*Taking into account the correlations and the fact that the two components created by coordinate rotation&nbsp; $\eta_1$&nbsp; and&nbsp; $\eta_2$&nbsp; are each in the range&nbsp; $-4\sigma_1$&nbsp; to&nbsp; $+4\sigma_1$&nbsp; $($bzw. from&nbsp; $-4\sigma_2$&nbsp; to&nbsp; $+4\sigma_2)$&nbsp;) are to be quantized, one obtains
+'''(2)'''&nbsp; Without considering correlations,&nbsp; there are&nbsp; $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$&nbsp; different pairs of values.
 :$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
 \hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
@@ Line 114: / Line 115: @@
 \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27}  = 0.$$
-*This equation has already been given as a solution hint, as well as one of the solutions: &nbsp; $\lambda_1= 5/3$.
+*This equation has already been given as a solution hint,&nbsp; as well as one of the solutions: &nbsp; $\lambda_1= 5/3$.
-*This gives the equation of determination for the further eigenvalues&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_3$&nbsp; to.
+*This gives the equation for the further eigenvalues&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; and&nbsp; $\lambda_3$&nbsp; to
 :$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
 {20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -
 {4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
-*This equation of determination can be transformed as follows: &nbsp; $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
+*This equation can be transformed as follows: &nbsp; $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
 *The other eigenvalues besides&nbsp; $\lambda_1= 5/3$&nbsp; are thus equal and result in &nbsp; $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|frame|Correlation matrices <br>$\mathbf{K_y}$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{K_z}$ ]]
+[[File:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|frame|Matrices&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{K_z}$ ]]
-We consider Gaussian zero mean random variables&nbsp; $\mathbf{x}$,&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; and&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; with dimensions&nbsp; $N= 1$,&nbsp; $N= 2$&nbsp; and&nbsp; $N= 3$:
+We consider Gaussian zero mean random variables &nbsp; $\mathbf{x}$,&nbsp; $\mathbf{y}$ &nbsp; and &nbsp; $\mathbf{z}$ &nbsp; with dimensions&nbsp; $N= 1$,&nbsp; $N= 2$&nbsp; and&nbsp; $N= 3$:
-* The one-dimensional random variable&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; is characterized by the variance&nbsp; $\sigma^2 = 1$&nbsp; and the standard deviation &nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; respectively. <br>Because of the dimension&nbsp; $N= 1$&nbsp; $\mathbf{x} = x$ holds.
+* The one-dimensional random variable&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; is characterized by the variance&nbsp; $\sigma^2 = 1$&nbsp; and the standard deviation &nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; respectively. <br>Because of the dimension&nbsp; $N= 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\mathbf{x} = x$.
 * The correlation coefficient between the components&nbsp; $y_1$&nbsp; and&nbsp; $y_2$&nbsp; of the 2D random variable&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; is&nbsp; $\rho = 1/3$&nbsp; $($see matrix&nbsp; $\mathbf{K_y})$. <br>$y_1$ and $y_2$ also have the standard deviation $\sigma = 1$.
@@ Line 12: / Line 12: @@
-If one quantizes the random variable&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; in the range between&nbsp; $-4$&nbsp; and&nbsp; $+4$&nbsp; with interval width&nbsp; $\Delta_x = 1/32$, there are altogether &nbsp;$N_1 = 256$&nbsp; different quantization values, for whose transmission thus &nbsp;$n_1 = 8\ \rm {bit}$&nbsp; would be needed.
+If one quantizes the random variable&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; in the range between&nbsp; $-4$&nbsp; and&nbsp; $+4$&nbsp; with interval width&nbsp; $\Delta_x = 1/32$,&nbsp; there are altogether &nbsp;$N_1 = 256$&nbsp; different quantization values,&nbsp; for whose transmission thus &nbsp;$n_1 = 8\ \rm {bit}$&nbsp; would be needed.
-Similarly, the random variable&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; results in a total of &nbsp;$N_2 = 256^2 = 65536$&nbsp; different quantized value pairs, if the correlation between&nbsp; $y_1$ &nbsp;and&nbsp; $y_2$&nbsp; is not taken into account.
+Similarly,&nbsp; the random variable&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; results in a total of &nbsp;$N_2 = 256^2 = 65536$&nbsp; different quantized value pairs,&nbsp; if the correlation between&nbsp; $y_1$ &nbsp;and&nbsp; $y_2$&nbsp; is not taken into account.
-Exploiting this correlation&ndash; for example, by coordinate transformation from the original system&nbsp; $(y_1, y_2)$&nbsp; to the new system&nbsp; $(\eta_1, \eta_2)$&nbsp; &ndash; results in a smaller number&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'$&nbsp; of quantized value pairs.
+Exploiting this correlation&nbsp; &ndash; for example, by coordinate transformation from the original system&nbsp; $(y_1, y_2)$&nbsp; to the new system&nbsp; $(\eta_1, \eta_2)$&nbsp; &ndash;&nbsp; results in a smaller number&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'$&nbsp; of quantized value pairs.
-*Here, it is to be considered that each component is to be quantized according to its respective dispersion&nbsp; $(\sigma_1$&nbsp; resp.&nbsp; $\sigma_2)$&nbsp; in the range of&nbsp; $-4$&nbsp; to&nbsp; $+4$&nbsp; and the quantization intervals should be the same in both directions: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
+*Here, it is to be considered that each component is to be quantized according to its respective standard deviation&nbsp; $(\sigma_1$&nbsp; resp.&nbsp; $\sigma_2)$&nbsp; in the range of&nbsp; $-4$&nbsp; to&nbsp; $+4$&nbsp; and the quantization intervals should be the same in both directions: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
-*We denote the quotient&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$&nbsp; as the data reduction factor with respect to the 2D random variable&nbsp; $\mathbf{y}$.
+*We denote the quotient&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$&nbsp; as the data reduction factor with respect to the two-dimensional random variable&nbsp; $\mathbf{y}$.
-*In analogous definition&nbsp; $N_3'/N_3$&nbsp; is the corresponding reduction factor of the 3D random variable&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; for&nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
+*In analogous definition&nbsp; $N_3'/N_3$&nbsp; is the corresponding reduction factor of the three-dimensional random variable&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; for&nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
 *Note that in both cases the smallest possible value of this quotient would be favorable.
@@ Line 35: / Line 31: @@
 Hints:
 *The exercise belongs to the chapter &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables|Generalization to N-Dimensional Random Variables]].
-*In particular, reference is made to the page &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Eigenvalues_and_eigenvectors|Eigenvalues and Eigenvectors]]&nbsp;.
+*In particular,&nbsp; reference is made to the section &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Eigenvalues_and_eigenvectors|Eigenvalues and Eigenvectors]]&nbsp;.
-*Some basics on the application of vectors and matrices can be found on the pages &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|Determinant of a Matrix]]&nbsp; and &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]]&nbsp;.
+*Some basics on the application of vectors and matrices can be found on the pages &nbsp;
+**[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|Determinant of a Matrix]],&nbsp;
-*The equation of determination of the eigenvalues of&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; is: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
+**[[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]]&nbsp;.
 *One of the three solutions of this equation is&nbsp; $\lambda_1 = 5/3$.
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-{What is the data reduction factor for the 2D random variable&nbsp; $\mathbf{y}$?
+{What is the data reduction factor for the two-dimensional random variable&nbsp; $\mathbf{y}$?
 |type="{}"}
 $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }
@@ Line 62: / Line 59: @@
-{What is the data reduction factor for the 3D random variable&nbsp; $\mathbf{z}$?
+{What is the data reduction factor for the three-dimensional random variable&nbsp; $\mathbf{z}$?
 |type="{}"}
 $N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie~~\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]	+	[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Insbesondere wird auf die Seite &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren|Eigenwerte und Eigenvektoren]]&nbsp; Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren|Eigenwerte und Eigenvektoren]]&nbsp; Bezug genommen.
-*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
+*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
 *Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; lautet: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der Bedingung $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der Bedingung&nbsp; $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$&nbsp; folgt:
 :$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}
 - \lambda & 1/3 \\
@@ Line 81: / Line 81: @@
 \sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$
-Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$  und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
+*Die Eigenwerte dieser&nbsp; $2\times2$-Matrix sind somit&nbsp; $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$&nbsp;  und&nbsp; $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
 '''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare.
-*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man
+'''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es&nbsp; $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$&nbsp; verschiedene Wertepaare.
 :$$N_2\hspace{0.01cm}' =  \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
 \hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
 \sigma_2 .$$
-*Der Quotient lautet somit mit  $\sigma_1^2 = \lambda_1$ &nbsp;und&nbsp; $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
+*Der Quotient lautet somit mit&nbsp;  $\sigma_1^2 = \lambda_1$ &nbsp;und&nbsp; $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
 :$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} =   \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
 \cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:
 :$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}
 -\lambda & 1/3 & 1/3\\
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 *Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen: &nbsp; $\lambda_1= 5/3$.
-*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu
+*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_3$&nbsp; zu
 :$$\frac{\lambda^3 -  3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
 {20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} =  \lambda^2 -
 {4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
-Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: &nbsp; $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
+*Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: &nbsp; $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
-'''(4)'''&nbsp; Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe '''(2)''' ergibt sich hier:
+'''(4)'''&nbsp; Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich hier:
 :$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} =   \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot
 \lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}

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(No difference)

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 }}
-[[File:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|frame|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_z}$ ]]
+[[File:P_ID678__Sto_Z_4_16.png|right|frame|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_z}$ ]]
-Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:
+Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen&nbsp; $\mathbf{x}$,&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; mit den Dimensionen&nbsp; $N= 1$,&nbsp; $N= 2$&nbsp; und&nbsp; $N= 3$:
-* Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. <br>Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.
+* Die eindimensionale Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; ist durch die Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$&nbsp; bzw. die Streuung&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; charakterisiert. <br>Wegen der Dimension&nbsp; $N= 1$&nbsp; gilt&nbsp; $\mathbf{x} = x$.
-* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.
+* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten&nbsp; $y_1$&nbsp; und&nbsp; $y_2$&nbsp; der 2D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; beträgt&nbsp; $\rho = 1/3$&nbsp; $($siehe Matrix&nbsp; $\mathbf{K_y})$. <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.
-* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.
+* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; ist durch die Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; vollständig bestimmt.
-Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$&nbsp; mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt &nbsp;$N_1 = 256$&nbsp; unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit &nbsp;$n_1 = 8\ \rm {Bit}$&nbsp; benötigt würden.
+Quantisiert man die Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; im Bereich zwischen&nbsp; $-4$&nbsp; und&nbsp; $+4$&nbsp; mit Intervallbreite&nbsp; $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt &nbsp;$N_1 = 256$&nbsp; unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit &nbsp;$n_1 = 8\ \rm {Bit}$&nbsp; benötigt würden.
-Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt &nbsp;$N_2 = 256^2 = 65536$&nbsp; unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$ &nbsp;und&nbsp; $y_2$  nicht berücksichtigt.
+Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; insgesamt &nbsp;$N_2 = 256^2 = 65536$&nbsp; unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen&nbsp; $y_1$ &nbsp;und&nbsp; $y_2$&nbsp;  nicht berücksichtigt.
-Durch Ausnutzung dieser Korrelation &ndash; zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ &ndash; ergibt sich eine geringere Zahl $N_2\hspace{0.01cm}'$ quantisierter Wertepaare.
+Durch Ausnutzung dieser Korrelation &ndash; zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem&nbsp; $(y_1, y_2)$&nbsp; zum neuen System&nbsp; $(\eta_1, \eta_2)$&nbsp; &ndash; ergibt sich eine geringere Zahl&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'$&nbsp; quantisierter Wertepaare.
-*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$  bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
+*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung&nbsp; $(\sigma_1$&nbsp;  bzw.&nbsp; $\sigma_2)$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-4$&nbsp; bis&nbsp; $+4$&nbsp; zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen: &nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.
-*Den Quotienten $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$.
+*Den Quotienten&nbsp; $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$&nbsp; bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$.
-*In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
+*In analoger Definition ist&nbsp; $N_3'/N_3$&nbsp; der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; für&nbsp; $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
 *Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.
@@ Line 35: / Line 38: @@
 *Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
-*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
+*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; lautet: &nbsp; $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
-*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.
+*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist&nbsp; $\lambda_1 = 5/3$.
@@ Line 42: / Line 45: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
+{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$. Es gelte&nbsp; $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
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-{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?
+{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$?
 |type="{}"}
 $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }
-{Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.
+{Es gelte&nbsp; $\lambda_1 = 5/3$.&nbsp; Berechnen Sie die Eigenwerte&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_3 \le \lambda_2$&nbsp; von&nbsp; $\mathbf{K_z}$.
 |type="{}"}
 $\lambda_2 \ =  \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$
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-{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?
+{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$?
 |type="{}"}
 $N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }