Aufgaben:Exercise 4.17: Non-Coherent On-Off Keying - Revision history

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2022-08-29T14:13:39Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

@@ Line 77: / Line 77: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; <u>Solution 3</u> is correct:
+'''(1)'''&nbsp; <u>Solution 3</u>&nbsp; is correct:
-*The energy is equal to the value $\boldsymbol{s}_0 = C$ in the signal space constellation squared, divided by $2$.
+*The energy is equal to the value&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; in the signal space constellation squared,&nbsp; divided by&nbsp; $2$.
-*The factor $1/2$ takes into account that the message $m_1$ does not contribute any energy ($\boldsymbol{s}_1 = 0$).
-'''(2)'''&nbsp;  <u>Solution 2</u> is correct here:
+'''(2)'''&nbsp;  <u>Solution 2</u>&nbsp; is correct here:
-*The optimal decision boundary $G$ lies at the intersection of the two curves shown.
+*The optimal decision boundary&nbsp; $G$&nbsp; lies at the intersection of the two curves shown.
 *The factor $1/2$ considers the equally probable messages $m_0$ and $m_1$. Thus, the following determination equation is obtained:
 :$${G}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - {G^2 }/{2 }\right ] = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac{G^2 - 2 C \cdot G + C^2}{2 }\right ]$$
@@ Line 94: / Line 96: @@
-'''(3)'''&nbsp; With $C = 4$, the governing equation given in (2) is
+'''(3)'''&nbsp; With&nbsp; $C = 4$,&nbsp; the governing equation given in subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp; is
 :$$f(G) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - C/2 - {1}/({2C}) \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi})=  G - 0.25 \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - 2 -  {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi})/8
   \approx G - 0.25 \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - 2.23 = 0
@@ Line 105: / Line 107: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Thus, the optimal decider boundary is $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
+*Thus,&nbsp; the optimal decision threshold is&nbsp; $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
@@ Line 112: / Line 114: @@
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1)+{1}/{ 2}\cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$
-*The first part (falsification from $m_1$ nach $m_0$) results from the crossing of the limit $G$ by the Rayleigh distribution
+*The first part&nbsp; $($falsification from&nbsp; $m_1$&nbsp; to&nbsp; $m_0)$&nbsp; results from the crossing of the limit&nbsp; $G$&nbsp; by the Rayleigh distribution:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1) =   \int_{G}^{\infty} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_1) \,{\rm d} \eta = {\rm e }^{-G^2/2}= {\rm e }^{-3.125}\approx 0.044
   \hspace{0.05cm}.$$
-*The second part (falsification from $m_0$ to $m_1$) results from the Rice distribution, which is approximated here by the Gaussian distribution:
+*The second part&nbsp; $($falsification from&nbsp; $m_0$&nbsp; to&nbsp; $m_1)$&nbsp; results from the Rice distribution,&nbsp; which is approximated here by the Gaussian distribution:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}| m = m_0) =   \int_{0}^{G} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_0) \,{\rm d} \eta =
     \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{G} {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2} \,{\rm d} \eta
   \hspace{0.05cm}.$$
-*This part can be given by the complementary Gaussian error integral ${\rm Q}(x)$:
+*This part can be given by the complementary Gaussian error integral&nbsp; ${\rm Q}(x)$:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0) =  {\rm Pr}(y < G-C) = {\rm Pr}(y > C-G) = {\rm Q }(\frac{C-G}{\sigma_n})= {\rm Q }(\frac{4-2.5}{1})= {\rm Q }(1.5) \approx 0.0688
   \hspace{0.05cm}.  $$
@@ Line 128: / Line 130: @@
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 +{1}/{ 2} \cdot 0.0668 \approx \underline{5.54\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
-''Note'': &nbsp; A system simulation has shown that a slightly smaller error probability results if the actual Rice distribution is used instead of the Gaussian approximation. Then with $G = 2.5$:
+<u>Note:</u> &nbsp;
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 + {1}/{ 2} \cdot 0.0484 \approx \underline{4.62\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
-Thus, the Gaussian approximation provides an upper bound on the true error probability.
+Thus,&nbsp; the Gaussian approximation provides an upper bound on the true error probability.
-'''(5)'''&nbsp; With&nbsp; $C = 6$,&nbsp; the governing equation given in '''(3)''' is
+'''(5)'''&nbsp; With&nbsp; $C = 6$,&nbsp; the governing equation given in subtask&nbsp; '''(3)'''&nbsp; is
 :$$f(G)=  G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - C/2 - \frac{1}{2C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi}) \approx G -  {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G)/6 - 3.153 = 0
    \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 145: / Line 149: @@
-'''(6)'''&nbsp; Analogous to subtask '''(4)''', we obtain with $G = 3.5$:
+'''(6)'''&nbsp; Analogous to subtask&nbsp; '''(4)''',&nbsp; we obtain with&nbsp; $G = 3.5$:
 :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-G^2/2} +{1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(C-G)=  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-6.125} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.5)=
   {1}/{ 2} \cdot 2.2 \cdot 10^{-3} + {1}/{ 2} \cdot 6.2 \cdot 10^{-3} \underline{= 0.42 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*For&nbsp; $C = 6$,&nbsp; the optimal decision boundary ($G_{\rm opt} = 3.35$) results in an error probability that is about a factor of $10$ smaller than with $C = 4$:
+*For&nbsp; $C = 6$,&nbsp; the optimal decision boundary&nbsp; $(G_{\rm opt} = 3.35)$&nbsp; results in an error probability that is about a factor of&nbsp; $10$&nbsp; smaller than with&nbsp; $C = 4$:
 :$$p_{\rm S} = {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-5.61} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.65)=
 {1}/{ 2} \cdot 3.6 \cdot 10^{-3} +{1}/{ 2} \cdot 4 \cdot 10^{-3}= {0.38 \,\%}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Non-Coherent_Demodulation}}
-[[File:P_ID2078__Dig_A_4_17.png|right|frame|Rayleigh and Rice distribution]]
+[[File:P_ID2078__Dig_A_4_17.png|right|frame|Rayleigh and Rice PDF]]
-The figure shows the two density functions resulting from a non-coherent demodulation of <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i>&nbsp; (OOK). It is assumed that the two OOK signal space points are located at&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; $($message &nbsp;$m_0)$&nbsp; and at $\boldsymbol{s}_1 = 0$&nbsp; $($message &nbsp;$m_1)$.&nbsp;
+The figure shows the two density functions resulting from a non-coherent demodulation of&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; $\rm (OOK)$.&nbsp; It is assumed that the two OOK signal space points are located
 The symbol error probability of this system is described by the following equation:
@@ Line 10: / Line 14: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-With the standard deviation&nbsp; $\sigma_n = 1$, which is assumed in the following, the resulting Rayleigh distribution for&nbsp; $m = m_1$&nbsp; (blue curve) is:
+With the standard deviation&nbsp; $\sigma_n = 1$,&nbsp; which is assumed in the following,&nbsp;
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}| m_1) = \eta \cdot {\rm e }^{-\eta^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-The Rice distribution (red curve) can be approximated in the present case $($because of &nbsp;$C\gg \sigma_n)$&nbsp; by a Gaussian curve:
+*The&nbsp; (red)&nbsp; Rice distribution can be approximated in the present case&nbsp; $($because of &nbsp;$C\gg \sigma_n)$&nbsp; by a Gaussian curve:
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} m_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 20: / Line 25: @@
 The optimal decision boundary&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; is obtained from the intersection of the red and blue curves.
 *From the two sketches it can be seen that&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; depends on&nbsp; $C$.&nbsp;
 *For the upper graph&nbsp; $C = 4$, for the lower&nbsp; $C = 6$.
 *All quantities are normalized and&nbsp; $\sigma_n = 1$&nbsp; is always assumed.
 Notes:
 * The exercise belongs to the topic of the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Non-Coherent_Demodulation| "Carrier Frequency Systems with Non-Coherent Demodulation"]].
-''Notes:''
-* The exercise belongs to the topic of the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Non-Coherent_Demodulation| "Carrier Frequency Systems with Non-Coherent Demodulation"]].
+* For the complementary Gaussian error integral,&nbsp; you can use the following approximations:
 :$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
   {\rm Q }(2.65) \approx 0.0040
   \hspace{0.05cm}.$$
-* You can check your results with the interactive applet&nbsp;  [[Applets:On-Off-Keying|"Non-coherent On&ndash;Off&ndash;Keying"]].&nbsp;
+* You can check your results with theHTML5/JavaScript applet&nbsp;  [[Applets:Coherent_and_Non-Coherent_On-Off_Keying|"Coherent and Non-coherent On-Off Keying"]].&nbsp;
@@ Line 41: / Line 47: @@
 <quiz display=simple>
 {What is the relationship between the mean symbol energy&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; and the constant&nbsp; $C$&nbsp; of the Rice distribution?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $E_{\rm S} = C$,
 - $E_{\rm S} = C^2$,
-+ $E_{\rm S} = C^2/2$.
++ $E_{\rm S} = C^2\hspace{-0.1cm}/2$.
 {What is the governing equation for the optimal decision boundary&nbsp; $G_{\rm opt}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $G = C/2$,
 + $G \, &ndash;1/C \cdot {\rm ln} \, (G) = C/2 + 1/(2C) \cdot {\rm ln} \, (2\pi)$,
-- $G \, &ndash;1/C \cdot {\rm ln} \, (G)$.
+- $G = 1/C \cdot {\rm ln} \, (G)$.
-{Determine the optimal decision boundary for&nbsp; $C = 4$.
+{Determine the optimal decision threshold for&nbsp; $C = 4$.
 |type="{}"}
 $G_{\rm opt} \ = \ $ { 2.46 3% }
-{What is the symbol error probability for&nbsp; $C = 4$&nbsp; and&nbsp; $G = 2.5 \approx G_{\rm opt}$?
+{What is the symbol error probability with&nbsp; $C = 4$&nbsp; and&nbsp; $G = 2.5 \approx G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 5.54 3% } $\ \% $

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@@ Line 71: / Line 71: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig istder  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die Energie ist gleich dem Wert $\boldsymbol{s}_0 = C$ in der Signalraumkonstellation zum Quadrat, geteilt durch $2$. Der Faktor $1/2$ berücksichtigt hierbei, dass die Nachricht $m_1$ keinen Energiebeitrag liefert ($\boldsymbol{s}_1 = 0$).
+*Die Energie ist gleich dem Wert $\boldsymbol{s}_0 = C$ in der Signalraumkonstellation zum Quadrat, geteilt durch $2$.
@@ Line 83: / Line 85: @@
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C \cdot G - {\rm ln }\hspace{0.15cm} (\sqrt{2\pi} \cdot G) - C^2/2 = 0$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) = C/2 + {1}/({2C}) \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} (\sqrt{2\pi}) = C/2 + {1}/({2C}) \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi})\hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 90: / Line 93: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden:
+*Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden:
 :$$G = 2.0\text{:}\hspace{0.15cm}f(G) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.403 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}G = 3.0\text{:}\hspace{0.15cm}f(G) = 0.495
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}G = 2.5\text{:}\hspace{0.15cm}f(G) = 0.041\hspace{0.05cm},$$
@@ Line 96: / Line 99: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Die optimale Entscheidergrenze liegt demnach bei $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
+*Die optimale Entscheidergrenze liegt demnach bei $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
@@ Line 102: / Line 106: @@
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1)+{1}/{ 2}\cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Anteil (Verfälschung von $m_1$ nach $m_0$) ergibt sich aus der Überschreitung der Grenze $G$ durch die Rayleighverteilung
+*Der erste Anteil (Verfälschung von $m_1$ nach $m_0$) ergibt sich aus der Überschreitung der Grenze $G$ durch die Rayleighverteilung
 :$${\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1) =   \int_{G}^{\infty} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_1) \,{\rm d} \eta = {\rm e }^{-G^2/2}= {\rm e }^{-3.125}\approx 0.044
   \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Anteil (Verfälschung von $m_0$ nach $m_1$) ergibt sich aus der Riceverteilung, die hier durch die Gaußverteilung angenähert ist:
+*Der zweite Anteil (Verfälschung von $m_0$ nach $m_1$) ergibt sich aus der Riceverteilung, die hier durch die Gaußverteilung angenähert ist:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}| m = m_0) =   \int_{0}^{G} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_0) \,{\rm d} \eta =
     \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{G} {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2} \,{\rm d} \eta
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Anteil lässt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ angeben:
+*Dieser Anteil lässt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ angeben:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0) =  {\rm Pr}(y < G-C) = {\rm Pr}(y > C-G) = {\rm Q }(\frac{C-G}{\sigma_n})= {\rm Q }(\frac{4-2.5}{1})= {\rm Q }(1.5) \approx 0.0688
   \hspace{0.05cm}.  $$
-Damit erhält man insgesamt:
+*Damit erhält man insgesamt:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 +{1}/{ 2} \cdot 0.0668 \approx \underline{5.54\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
-Eine Systemsimulation hat ergeben, dass sich eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt, wenn man anstelle der Gaußnäherung die tatsächliche Riceverteilung ansetzt. Dann gilt mit $G = 2.5$:
+''Hinweis'': &nbsp; Eine Systemsimulation hat ergeben, dass sich eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt, wenn man anstelle der Gaußnäherung die tatsächliche Riceverteilung ansetzt. Dann gilt mit $G = 2.5$:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 + {1}/{ 2} \cdot 0.0484 \approx \underline{4.62\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 124: / Line 128: @@
 '''(5)'''&nbsp; Mit $C = 6$ lautet die unter (3) angegebene Bestimmungsgleichung
 :$$f(G)=  G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - C/2 - \frac{1}{2C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi}) \approx G -  {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G)/6 - 3.153 = 0
    \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 133: / Line 138: @@
 '''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (4) erhält man mit $G = 3.5$:
 :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-G^2/2} +{1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(C-G)=  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-6.125} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.5)=
   {1}/{ 2} \cdot 2.2 \cdot 10^{-3} + {1}/{ 2} \cdot 6.2 \cdot 10^{-3} \underline{= 0.42 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Für $C = 6$ ergibt sich mit der hierfür optimalen Entscheidergrenze ($G_{\rm opt} = 3.35$) eine etwa um den Faktor $10$ kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit $C = 4$:
+*Für&nbsp; $C = 6$&nbsp; ergibt sich mit der hierfür optimalen Entscheidergrenze ($G_{\rm opt} = 3.35$) eine etwa um den Faktor $10$ kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit $C = 4$:
 :$$p_{\rm S} = {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-5.61} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.65)=
 {1}/{ 2} \cdot 3.6 \cdot 10^{-3} +{1}/{ 2} \cdot 4 \cdot 10^{-3}= {0.38 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung der Riceverteilung (keine Gaußnäherung) liefert einen etwas kleineren Wert: $0.33\%$.
+*Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung der Riceverteilung (keine Gaußnäherung) liefert einen etwas kleineren Wert: &nbsp; $0.33\%$.
 {{ML-Fuß}}

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(No difference)

@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[File:P_ID2078__Dig_A_4_17.png|right|frame|Rayleigh– und Riceverteilung]]
-Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i> (OOK) ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK&ndash;Signalraumpunkte bei $\boldsymbol{s}_0 = C$ (Nachricht $m_0$) und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$ (Nachricht $m_1$) liegen.
+Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i>&nbsp; (OOK) ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK&ndash;Signalraumpunkte bei&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_0)$&nbsp; und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_1)$&nbsp; liegen.
 Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit dieses Systems wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
@@ Line 10: / Line 10: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Streuung $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für $m = m_1$ ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):
+Mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für&nbsp; $m = m_1$&nbsp; ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}| m_1) = \eta \cdot {\rm e }^{-\eta^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Riceverteilung (rote Kurve) kann im vorliegenden Fall (wegen $C\gg \sigma_n$) durch eine Gaußverteilung angenähert werden:
+Die Riceverteilung (rote Kurve) kann man im vorliegenden Fall $($wegen &nbsp;$C\gg \sigma_n)$&nbsp; durch eine Gaußkurve annähern:
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} m_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve. Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass $G_{\rm opt}$ von $C$ abhängt. Für die obere Grafik gilt $C = 4$, für die untere $C = 6$. Alle Größen sind normiert und es wird stets $\sigma_n = 1$ vorausgesetzt.
+Die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
 * Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende Näherungen verwenden:
-:$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+:$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
   {\rm Q }(2.65) \approx 0.0040
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Berechnungstool  [[Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying]] überprüfen.
+* Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:On-Off-Keying|Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying]]&nbsp; überprüfen.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der mittleren Symbolenergie $E_{\rm S}$ und der Konstanten $C$ der Riceverteilung? Es gilt:
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der mittleren Symbolenergie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; und der Konstanten&nbsp; $C$&nbsp; der Riceverteilung?
 |type="[]"}
 - $E_{\rm S} = C$,
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 + $E_{\rm S} = C^2/2$.
-{Geben Sie eine Bestimmungsgleichung für die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ an. Es gilt:
+{Welche Bestimmungsgleichung gilt für die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$?
 |type="[]"}
 - $G = C/2$,
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 - $G \, &ndash;1/C \cdot {\rm ln} \, (G)$.
-{Bestimmen Sie die optimale Entscheidergrenze für $C = 4$.
+{Bestimmen Sie die optimale Entscheidergrenze für&nbsp; $C = 4$.
 |type="{}"}
 $G_{\rm opt} \ = \ $ { 2.46 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $C = 4$ und $G = 2.5 \approx G_{\rm opt}$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; $C = 4$&nbsp; und&nbsp; $G = 2.5 \approx G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 5.54 3% } $\ \% $
-{Bestimmen Sie die optimale Entscheiderschwelle für $C = 6$.
+{Bestimmen Sie die optimale Entscheiderschwelle für&nbsp; $C = 6$.
 |type="{}"}
 $G_{\rm opt} \ = \ $ { 3.35 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $C = 6$ und $G = 3.5\approx G_{\rm opt}$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $C = 6$&nbsp; und &nbsp;$G = 3.5\approx G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.42 3% } $\ \% $