Aufgaben:Exercise 4.17Z: Rayleigh and Rice Distribution - Revision history

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2019-03-19T13:49:52Z

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2019-03-19T13:45:03Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Non-Coherent_Demodulation}}
-[[File:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice (top) and Rayleigh (bottom)]]
+[[File:P_ID2079__Dig_Z_4_17_ret.png|right|frame|Rice (top) and Rayleigh (bottom)]]
 For the study of transmission systems,&nbsp; the Rayleigh and Rice distributions are of great importance.&nbsp; In the following let&nbsp; $y$&nbsp; be a Rayleigh or a Rice distributed random variable and&nbsp; $\eta$&nbsp; in each case a realization of it.
 * The&nbsp; "Rayleigh distribution"&nbsp; results thereby for the probability density function&nbsp; $\rm (PDF)$&nbsp; of a random variable&nbsp; $y$,&nbsp; which results from the two Gaussian distributed and statistically independent components&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$&nbsp; $($both with the standard deviation&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; as follows:

@@ Line 78: / Line 78: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; The <u>second solution</u> is correct:
+'''(1)'''&nbsp; The&nbsp; <u>second solution</u>&nbsp; is correct:
 *The upper graph shows approximately a Gaussian distribution and belongs accordingly to the Rice distribution.
-'''(2)'''&nbsp; You can see from the graph: The mean value of the Gaussian distribution is $\underline {C = 4}$ and the standard deviation is $\underline {\sigma_n = 1}$.
+'''(2)'''&nbsp; You can see from the graph:&nbsp; The mean value of the Gaussian distribution is&nbsp; $\underline {C = 4}$ and the standard deviation is $\underline {\sigma_n = 1}$.
-*It was given that $C$ and $\sigma_n$ were integers.
+*It was given that&nbsp; $C$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; were integers.&nbsp; Thus the two density functions are:
 :$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx
@@ Line 93: / Line 92: @@
-'''(3)'''&nbsp; <u>Solution 2</u> is correct, as can already be seen from the graph. A calculation confirms this result:
+'''(3)'''&nbsp; <u>Solution 2</u>&nbsp; is correct,&nbsp; as can already be seen from the graph.&nbsp; A calculation confirms this result:
 :$$\sigma_{\rm Rice}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \sigma_{\rm Rayl}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2  \cdot  ({2 - {\pi}/{2 }})  \approx 0.429
@@ Line 99: / Line 98: @@
-'''(4)'''&nbsp;  In general, the probability that $y$ is greater than a value $y_0$ is equal to
+'''(4)'''&nbsp;  In general,&nbsp; the probability that&nbsp; $y$&nbsp; is greater than a certain value&nbsp; $y_0$&nbsp; is equal to
 :$${\rm Pr}(y > y_0) = \int_{y_0}^{\infty} \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \,{\rm d} \eta
   \hspace{0.05cm}.$$
-*With the substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ can be written for this:
+*With the substitution&nbsp; $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$&nbsp; can be written for this:
 :$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x
   \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty}
   = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-*Here the indefinite integral given in the front was used. In particular:
+*Here the indefinite integral given in the front was used.&nbsp; In particular:
 :$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5}   \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0}  \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$

@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[File:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice (top) and Rayleigh (bottom)]]
-For the study of message systems, the Rayleigh and Rice distributions are of great importance. In the following let&nbsp; $y$&nbsp; be a Rayleigh or a Rice distributed random variable and&nbsp; $\eta$&nbsp; in each case a realization of it.
+For the study of transmission systems,&nbsp; the Rayleigh and Rice distributions are of great importance.&nbsp; In the following let&nbsp; $y$&nbsp; be a Rayleigh or a Rice distributed random variable and&nbsp; $\eta$&nbsp; in each case a realization of it.
-* The <i>Rayleigh distribution</i>&nbsp; results thereby for the probability density function (short: PDF) of a random variable&nbsp; $y$, which results from the two Gaussian distributed and statistically independent components&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$&nbsp; $($both with the standard deviation&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; as follows:
+* The&nbsp; "Rayleigh distribution"&nbsp; results thereby for the probability density function&nbsp; $\rm (PDF)$&nbsp; of a random variable&nbsp; $y$,&nbsp; which results from the two Gaussian distributed and statistically independent components&nbsp; $u$&nbsp; and&nbsp; $v$&nbsp; $($both with the standard deviation&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; as follows:
 :$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.01cm}.$$
-* The <i>Rice distribution</i>&nbsp; is obtained under otherwise identical boundary conditions for the application case where a constant&nbsp; $C$&nbsp; is still added to one of the two components, for example:
+* The&nbsp; "Rice distribution"&nbsp; is obtained under otherwise identical boundary conditions for the application case where a constant&nbsp; $C$&nbsp; is still added to one of the two components,&nbsp; for example:
 :$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot  C}{ \sigma_n^2}\right ]
@@ Line 16: / Line 16: @@
 In this equation,&nbsp; ${\rm I}_0(x)$&nbsp; denotes the&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Non-Coherent_Demodulation#Rayleigh_and_Rice_Distribution|"modified zero-order Bessel function"]].
-In the graph, the two density functions are shown, but it is not indicated whether&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; or&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; belong to a Rayleigh or a Rice distribution, respectively.
+In the graph,&nbsp; the two probability density functions are shown,&nbsp; but it is not indicated whether&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; or&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; belong to a Rayleigh or a Rice distribution,&nbsp; respectively.
 * It is only known that one Rayleigh and one Rice distribution is shown.
 * The parameter&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; is the same for both distributions.
 For your decision whether to assign&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; or&nbsp; $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$&nbsp; to the Rice distribution and for the determination of the PDF parameters you can consider the following statements:
 * For large values of the quotient&nbsp; $C/\sigma_n$,&nbsp; the Rice distribution can be approximated by a Gaussian distribution with mean&nbsp; $C$&nbsp; and standard deviation&nbsp; $\sigma_n$.&nbsp;
 * The values of&nbsp; $C$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; underlying the graph are integers.
-Regarding the Rayleigh distribution, note:
+Regarding the Rayleigh distribution,&nbsp; note:
 * The same&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; is used for both distributions.
 * For the standard deviation (root of the variance) of the Rayleigh distribution holds:
 :$$\sigma_y = \sigma_n  \cdot  \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n
   \hspace{0.05cm}.$$
 * For the standard deviation or for the variance of the Rice distribution in general only a complicated expression with hypergeometric functions can be given, otherwise only an approximation for&nbsp; $C \gg \sigma_n$&nbsp; corresponding to the Gaussian distribution.
@@ Line 38: / Line 42: @@
-''Notes:''
+Notes:
 * This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Non-Coherent_Demodulation|"Carrier Frequency Systems with Non-Coherent Demodulation"]].

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 |type="()"}
 - Die Rayleighverteilung,
-+ die Riceverteilung?.
++ die Riceverteilung?
 {Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>..:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung.
-'''(2)'''&nbsp; Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$. <br>Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien. Damit lauten die beiden Dichtefunktionen:
 :$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx
@@ Line 84: / Line 87: @@
 :$$ p_{\rm II} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 }\right ] \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
@@ Line 96: / Line 100: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:
+*Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:
 :$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x
   \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty}
   = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:
+*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:
 :$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5}   \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0}  \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}
-[[File:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleighverteilung (unten)]]
+[[File:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleigh (unten)]]
-Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung hiervon.
+Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei&nbsp; $y$&nbsp; eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und&nbsp; $\eta$&nbsp; jeweils eine Realisierung hiervon.
-* Die <i>Rayleighverteilung</i> ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $\upsilon$ (beide mit der Streuung $\sigma_n$) wie folgt ergibt:
+* Die <i>Rayleighverteilung</i>&nbsp; ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße&nbsp; $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; $($beide mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; wie folgt ergibt:
 :$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.01cm}.$$
-* Die <i>Riceverteilung</i> erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird, zum Beispiel:
+* Die <i>Riceverteilung</i>&nbsp; erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante&nbsp; $C$&nbsp; addiert wird, zum Beispiel:
 :$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot  C}{ \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung]].
+In dieser Gleichung bezeichnet&nbsp; ${\rm I}_0(x)$&nbsp; die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung]].
-In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh&ndash; oder zu einer Riceverteilung gehören. Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh&ndash; und eine Riceverteilung dargestellt ist. Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden gleich.
+In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; zu einer Rayleigh&ndash; oder zu einer Riceverteilung gehören.
 Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF&ndash;Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
-* Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern.
+Für Ihre Entscheidung, ob Sie&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; oder&nbsp; $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$&nbsp; der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF&ndash;Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
-* Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig.
+* Für große Werte des Quotienten&nbsp; $C/\sigma_n$&nbsp; lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $C$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; annähern.
 Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten:
-* Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt.
+* Für beide Verteilungen ist das gleiche&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; zugrunde gelegt.
 * Für die Streuung (Wurzel aus der Varianz) der Rayleighverteilung gilt:
 :$$\sigma_y = \sigma_n  \cdot  \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C \gg \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung.
+* Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für&nbsp; $C \gg \sigma_n$&nbsp; entsprechend der Gaußverteilung.
 ''Hinweise:''
-* Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Diese Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
 * Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral:
@@ Line 46: / Line 52: @@
 {Ordnen Sie die Grafiken der Rayleigh&ndash; bzw. Riceverteilung zu.
 |type="()"}
-- $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Rayleighverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung.
+- $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; entspricht der Rayleighverteilung, &nbsp;$p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; der Riceverteilung.
-+ $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Riceverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Rayleighverteilung.
++ $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; entspricht der Riceverteilung, &nbsp;$p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; der Rayleighverteilung.
 {Geben Sie die Parameter der hier dargestellten Riceverteilung an.
@@ Line 59: / Line 65: @@
 + die Riceverteilung?.
-{Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung
+{Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{0.33cm} = \ $ { 60.7 3% } $ \ \%$