Aufgaben:Exercise 4.2: AM/PM Oscillations - Revision history

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@@ Line 17: / Line 17: @@
-For the first two signals&nbsp; (shown in the graph)&nbsp; holds:
+For the  two signals&nbsp; (shown in the graph)&nbsp; holds:
 :$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces}}
-[[File:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|Considered AM/PM oscillations]]
+[[File:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|Two possible AM/PM oscillations]]
 We consider the signal set &nbsp; $\{s_i(t)\}$ &nbsp; with the indexing variable&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$.&nbsp; All signals &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; can be represented in the same way:
 :$$s_i(t) =

@@ Line 104: / Line 104: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*Here it is considered that $T$ is an even multiple of $1/f_{\rm T}$, so the second integral vanishes. Further:
+*Here it is considered that&nbsp; $T$&nbsp; is an even multiple of&nbsp; $1/f_{\rm T}$,&nbsp; so the second integral vanishes.
 :$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; <u>Solution 3</u> is correct: The basis function $\varphi_1(t)$ is equal in form to $s_1(t)$, where holds:
+'''(2)'''&nbsp; <u>Solution 3</u>&nbsp; is correct:&nbsp; The basis function&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; is equal in form to&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; where holds:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{E}}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}} = \sqrt{{2}/{T}}
 \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
@@ Line 115: / Line 117: @@
-'''(3)'''&nbsp; <u>Solution 1</u> is correct, since according to the equation given in '''(2)''':
+'''(3)'''&nbsp; <u>Solution 1</u>&nbsp; is correct&nbsp; since according to the equation given in&nbsp; '''(2)''':
 :$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) =  \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Using the signal $s_2(t)$ according to the given information, the basis function $\varphi_1(t)$ according to subtask '''(2)''' and the given trigonometric relation we get:
+'''(4)'''&nbsp; Using the signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; according to the given information,&nbsp; the basis function&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; according to subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp; and the given trigonometric relation we get:
 :$$s_{21}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =
 \int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}}
@@ Line 130: / Line 132: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*The second component yields the value $0$ (orthogonality). The first component yields:
+*The second component yields the value&nbsp; $0$&nbsp; (orthogonality).&nbsp; The first component yields:
 :$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; According to the Gram&ndash;Schmidt process, we obtain
+'''(5)'''&nbsp; According to the Gram&ndash;Schmidt process,&nbsp; we obtain
 :$$\theta_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm} =
 A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) - \sqrt{A^2 \cdot T}
@@ Line 145: / Line 147: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*With $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ it follows:
+*With&nbsp; $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$&nbsp; it follows:
 :$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Therefore, <u>solution 2</u> is correct.
+*Therefore,&nbsp; <u>solution 2</u> is correct.
-'''(6)'''&nbsp; Analogous to subtask '''(2)''', the orthonormal basis function $\varphi_2(t)$ is given by
+'''(6)'''&nbsp; Analogous to subtask&nbsp; '''(2)''',&nbsp; the orthonormal basis function&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; is given by
 :$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||} = - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Thus, the signal $s_2(t)$  can be represented by $s_{21}$ according to subtask '''(4)''' as follows:
+*Thus,&nbsp; the signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp;  can be represented by&nbsp; $s_{21}$&nbsp; according to subtask&nbsp; '''(4)'''&nbsp; as follows:
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )}
@@ Line 163: / Line 165: @@
-'''(7)'''&nbsp; We consider very many energy-limited signals ($M \gg 2$) of the following form:
+'''(7)'''&nbsp; We consider very many energy-limited signals&nbsp; $(M \gg 2)$&nbsp; of the following form:
 :$$s_i(t)=
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Line 170: / Line 172: @@
 \\  {\rm otherwise}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-The indexing variable can take the values $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$. Then holds:
+The indexing variable can take the values&nbsp; $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$.&nbsp; Then holds:
-* All $M$ signals can be completely described by only $N = 2$ basis functions:
+* All&nbsp; $M$&nbsp; signals can be completely described by only&nbsp; $N = 2$&nbsp; basis functions:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.  $$
 * If one proceeds according to the Gram&ndash;Schmidt process, one obtains for the two basis functions
 :$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \varphi_2(t) = \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1 \pm {\pi}/{2})\hspace{0.05cm}.$$
-* The sign in the argument of the second cosine function ($&plusmn; \pi/2$) is not unique. Rather, the sign of $s_{i 2}$ also depends on whether the plus sign or the minus sign was used for $\varphi_2(t)$.
-* However, possible basis functions that then lead to other coefficients are also:
+* The sign in the argument of the second cosine function&nbsp; $(&plusmn; \pi/2)$&nbsp; is not unique.&nbsp; Rather,&nbsp; the sign of&nbsp; $s_{i 2}$&nbsp; also depends on whether the plus sign or the minus sign was used for&nbsp; $\varphi_2(t)$.
 :$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \varphi_2(t)  \pm \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}.$$
-So <u>solutions 2 and 3</u> are correct.
+&rArr; &nbsp; So the&nbsp; <u>solutions 2 and 3</u>&nbsp; are correct.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces}}
-[[File:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|AM/PM oscillations]]
+[[File:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|Considered AM/PM oscillations]]
-We consider the signal set &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; with the indexing variable&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$. All signals &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; can be represented in the same way:
+We consider the signal set &nbsp; $\{s_i(t)\}$ &nbsp; with the indexing variable&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$.&nbsp; All signals &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; can be represented in the same way:
 :$$s_i(t) =
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Line 10: / Line 10: @@
 \\  {\rm otherwise}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-The signal duration&nbsp; $T$&nbsp; is an integer multiple of&nbsp; $1/f_{\rm T}$, where&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; is the signal frequency (carrier frequency).
+The signal duration&nbsp; $T$&nbsp; is an integer multiple of&nbsp; $1/f_{\rm T}$,&nbsp; where&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; is the signal frequency&nbsp; ("carrier frequency").
 *The individual signals&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; differ in amplitude &nbsp;$(A_i)$&nbsp; and/or phase &nbsp;$(\phi_i)$.
-For the first two signals (shown in the graph) holds:
+For the first two signals&nbsp; (shown in the graph)&nbsp; holds:
 :$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$
-If we first restrict ourselves to these two signals&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; and $s_2(t)$, they can be completely described by the basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$.&nbsp; These are orthonormal to each other, that is, taking into account the time constraint on&nbsp; $T$&nbsp; holds:
+If we first restrict ourselves to these two signals&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $s_2(t)$,&nbsp; they can be completely described by the basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$.&nbsp; These are orthonormal to each other,&nbsp; that is,&nbsp; taking into account the time constraint on&nbsp; $T$&nbsp; holds:
-:$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+:$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm},$$
-  \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0
+:$$  \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0
   \hspace{0.05cm}.$$
-With these basis functions, the two signals can be represented as follows:
+With these basis functions,&nbsp; the two signals can be represented as follows:
 :$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{11} \cdot \varphi_1(t)  \hspace{0.05cm},$$
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-In subtask '''(7)''' we want to check whether all signals&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; according to the above definition $($with arbitrary amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; and arbitrary phase &nbsp;$\phi_i)$&nbsp; can be described by the following equation:
+In subtask&nbsp; '''(7)'''&nbsp; we want to check whether all signals&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; according to the above definition &nbsp; $($with arbitrary amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; and arbitrary phase &nbsp;$\phi_i)$ &nbsp; can be described by the following equation:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-The basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; are to be found here by the&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces#The_Gram-Schmidt_process|"Gram&ndash;Schmidt process"]],&nbsp; which was described in detail in the theory section. The required equations are summarized here again:
+The basis functions&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; are to be found here by the &nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces#The_Gram-Schmidt_process|"Gram&ndash;Schmidt process"]], &nbsp; which was described in detail in the theory section.&nbsp; The required equations are summarized here again:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm with}\hspace{0.4cm}
 s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t}
@@ Line 45: / Line 46: @@
 Notes:
-''Notes:''
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces|"Signals, Basis Functions and Vector Spaces"]].
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces|"Signals, Basis Functions and Vector Spaces"]].
-* For abbreviation, use the energy&nbsp; $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
+* Furthermore,&nbsp; the following trigonometric relation is given: &nbsp;
 :$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Line 56: / Line 57: @@
 ===Questions===
 <quiz display=simple>
-{What is the energy and 2&ndash;norm of the signal &nbsp;$s_1(t)$, expressed by $E$?
+{What is the energy and the&nbsp; "2&ndash;norm"&nbsp; of the signal &nbsp;$s_1(t)$,&nbsp; expressed by&nbsp; $E$?
 |type="{}"}
 $E_1\ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot E$
@@ Line 73: / Line 74: @@
 - $s_1(t) = \sqrt{2/T}  \cdot \varphi_1(t)$.
-{What is the inner product&nbsp; $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
+{What is the&nbsp; "inner product"&nbsp; $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21} \ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
@@ Line 83: / Line 84: @@
 - $\theta_2(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.
-{Give the coefficients of&nbsp; $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$.&nbsp;
+{Give the coefficients of &nbsp; $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$.&nbsp;
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
 $s_{\rm 22}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Which of the statements are generally true for the basis functions of the signal set&nbsp; $\{s_i(t)\}$ with $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls &nbsp;$M \gg 2$?
+{Which of the statements are generally true for the basis functions of the signal set&nbsp; $\{s_i(t)\}$&nbsp; with&nbsp; $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$,&nbsp; if &nbsp;$M \gg 2$?
 |type="[]"}
 - The number of basis functions is always&nbsp; $N = M$.

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@@ Line 103: / Line 103: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass $T$ ein geradzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$ ist, so dass das zweite Integral verschwindet. Weiter gilt:
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass $T$ ein geradzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$ ist, so dass das zweite Integral verschwindet. Weiter gilt:
 :$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: Die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ ist formgleich mit $s_1(t)$, wobei gilt:
@@ Line 112: / Line 113: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da entsprechend der unter (2) angegebenen Gleichung gilt:
 :$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) =  \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit dem Signal $s_2(t)$ entsprechend der Angabe, der Basisfunktion $\varphi_1(t)$ gemäß Teilaufgabe (2) sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:
 :$$s_{21}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =
 \int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}}
@@ Line 126: / Line 129: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Der zweite Anteil ergibt den Wert $0$ (Orthogonalität). Der erste Anteil liefert:
+*Der zweite Anteil ergibt den Wert $0$ (Orthogonalität). Der erste Anteil liefert:
 :$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren erhält man
@@ Line 140: / Line 144: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ folgt daraus:
+*Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ folgt daraus:
 :$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 '''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (2) ergibt sich die orthonormale Basisfunktion $\varphi_2(t)$ zu
 :$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||} = - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit kann das Signal $s_2(t)$  mit $s_{21}$ entsprechend Teilaufgabe (4) wie folgt dargestellt werden:
+*Damit kann das Signal $s_2(t)$  mit $s_{21}$ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' wie folgt dargestellt werden:
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )}
 {-\sqrt{2/T}\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale ($M \gg 2$) folgender Form:

@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[File:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|AM/PM-Schwingungen]]
-Wir betrachten verschiedene Signalmengen $\{s_i(t)\}$ mit der Laufvariablen $i = 1, \ ... \, M$, die alle in gleicher Weise dargestellt werden können:
+Wir betrachten die Signalmenge &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$. Alle Signale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; können in gleicher Weise dargestellt werden:
 :$$s_i(t) =
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Line 10: / Line 10: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Signaldauer $T$ ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$, wobei $f_{\rm T}$ die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.
+Die Signaldauer&nbsp; $T$&nbsp; ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$, wobei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.
-Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von $T$. Die einzelnen Signale $s_i(t)$ unterscheiden sich in der Amplitude ($A_i$) und/oder der Phase ($\phi_i$). Für die beiden ersten (in der Grafik dargestellten) Signale gilt:
+*Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils&nbsp; $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von&nbsp; $T$.
 :$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$
-Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf $T$ gilt:
+Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
 :$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0
@@ Line 25: / Line 29: @@
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-In der Teilaufgabe (7) soll überprüft werden, ob sich alle Signale $s_i(t)$ gemäß der obigen Definition (mit beliebiger Amplitude $A_i$ und beliebiger Phase $\phi_i$) durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
+In der Teilaufgabe '''(7)''' soll überprüft werden, ob sich alle Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; gemäß der obigen Definition $($mit beliebiger Amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; und beliebiger Phase &nbsp;$\phi_i)$&nbsp; durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sollen hier durch das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]] gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
+Die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; sollen hier durch das&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]]&nbsp; gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
 s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t}
@@ Line 37: / Line 41: @@
 :$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||}\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
+* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie&nbsp; $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
-* Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp; $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$
+* Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp;
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Energie und die 2&ndash;Norm des Signals $s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?
+{Wie groß ist die Energie und die 2&ndash;Norm des Signals &nbsp;$s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?
 |type="{}"}
 $E_1\ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot E$
 $||s_1(t)|| \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Wie lautet die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ nach Gram&ndash;Schmidt?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; nach Gram&ndash;Schmidt?
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = \sqrt{E} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$,
@@ Line 59: / Line 67: @@
 + $\varphi_1(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$.
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $s_1(t)$ und $\varphi_1(t)$?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_1(t)$?
 |type="[]"}
 + $s_1(t) = \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)$,
@@ Line 65: / Line 73: @@
 - $s_1(t) = \sqrt{2/T}  \cdot \varphi_1(t)$.
-{Wie lautet das innere Produkt $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
+{Wie lautet das innere Produkt&nbsp; $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21} \ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Wie lautet die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$?
+{Wie lautet die Hilfsfunktion&nbsp; $\theta_2(t)$?
 |type="[]"}
 - $\theta_2(t) = +\sqrt{2} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
@@ Line 75: / Line 83: @@
 - $\theta_2(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.
-{Geben Sie die Koeffizienten von $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$ an.
+{Geben Sie die Koeffizienten von&nbsp; $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
 $s_{\rm 22}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls $M \gg 2$?
+{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls &nbsp;$M \gg 2$?
 |type="[]"}
-- Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = M$.
+- Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = M$.
-+ Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = 2$.
++ Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = 2$.
 + Mögliche Basisfunktionen sind Cosinus und (Minus&ndash;)Sinus.
 </quiz>