Aufgaben:Exercise 4.2: Mismatched Line - Revision history

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 * In particular,&nbsp; it should be examined whether there are reflections.
 * To avoid confusion:&nbsp;
-**$f_{\rm U}$&nbsp; stands for&nbsp; "lowest frequency" &nbsp; &rArr; &nbsp; German: &nbsp; "unterste Frequenz" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript "U",
+#$f_{\rm U}$&nbsp; stands for&nbsp; "lowest frequency" &nbsp; &rArr; &nbsp; German: &nbsp; "unterste Frequenz" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript "U",
-**$f_{\rm O}$&nbsp; stands for&nbsp; "highest frequency"&nbsp; &rArr; &nbsp; German: &nbsp; "oberste Frequenz" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript "O".
+#$f_{\rm O}$&nbsp; stands for&nbsp; "highest frequency"&nbsp; &rArr; &nbsp; German: &nbsp; "oberste Frequenz" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript "O".

@@ Line 26: / Line 26: @@
 ''Notes:''
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp;   [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Some_Results_from_Line_Transmission_Theory|Some Results from Line Transmission Theory]].
-* In particular, it should be examined whether there are reflections.
+* In particular,&nbsp; it should be examined whether there are reflections.

@@ Line 91: / Line 91: @@
 *Since&nbsp; $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$&nbsp; was assumed to be frequency-independent in the exercise, the input impedance&nbsp;  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$&nbsp; is also frequency-independent.
 *In contrast, with frequency-dependent wave impedance with real termination, reflections cannot be avoided for all frequencies.
-*Die Beschaltung&nbsp; $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$&nbsp; is to be aimed at, since then the maximum power is delivered by the source.
+*The wiring&nbsp; $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$&nbsp; is to be aimed at, since then the maximum power is delivered by the source.
-'''(3)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand&nbsp; $R_{\rm 2} = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem&nbsp; $x = \gamma (f) \cdot l$:
+'''(3)'''&nbsp; With the terminating resistor&nbsp; $R_{\rm 2} = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; short circuit follows from the given equation with real&nbsp; $x = \gamma (f) \cdot l$:
 :$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)
   = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
   e}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}.$$
-Insbesondere gilt:
+In particular:
 :$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   {\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Line 110: / Line 110: @@
   \Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{1.0\,{\rm
   Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
-Das heißt:
+That means:
-*Bei der Frequenz&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp; genügt bereits die Leitungslänge&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
+*At the frequency&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp;, the line length&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$ is already sufficient to largely suppress reflections.
-*Bei niedrigerer Frequenz&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp; ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes  eine größere Kabellänge erforderlich.
+*At a lower frequency&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp;, a longer cable length is required due to the lower attenuation function.
-*Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.
+*Of course, these statements only refer to the avoidance of reflections.
-*Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.
+*Overall, of course, the lower signal frequency is more favorable than the higher one.
-'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise erhält man für&nbsp; $R_2 &#8594; &#8734;$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Leerlauf die Gleichung
+'''(4)'''&nbsp; Similarly, one obtains for&nbsp; $R_2 &#8594; &#8734;$ &nbsp; &#8658; &nbsp; idle:
 :$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
   =  \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
-Im Gegensatz zum Kurzschluss&ndash;Fall ergibt sich nun für den Quotienten&nbsp; $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
+In contrast to the short-circuit case, this now results in the quotient&nbsp; $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
 :$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   {\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
-Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''':
+Approximately, the same result is obtained here as in subtask&nbsp; '''(3)''':
-*Bei der Frequenz&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp; genügt bereits die Leitungslänge&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
+*At the frequency&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp;, the line length&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$ is already sufficient to largely suppress reflections.
-*Bei der niedrigeren Frequenz&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp; ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.
+*At a lower frequency&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp;, a longer cable length is required due to the lower attenuation function.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID1799__LZI_A_4_2.png|right|frame|Message line with wiring]]
+[[File:P_ID1799__LZI_A_4_2.png|right|frame|Transmission line with wiring]]
 A transmission system occupies the range from &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; to &nbsp;$f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.
-The transmission line used also has a constant wave impedance&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (real), which does not quite correspond to reality, since the wave impedance usually decreases slightly with frequency and often an imaginary part (usually smaller) must also be taken into account.
+The transmission line used has a constant wave impedance&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (real),&nbsp; which does not quite correspond to reality,&nbsp; since the wave impedance usually decreases slightly with frequency and often an imaginary part&nbsp; (usually smaller)&nbsp; must also be taken into account.
-The line is supplied by a voltage source with internal resistance &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; and is terminated by resistor&nbsp; $R_{\rm 2}$&nbsp;.&nbsp; The input impedance of the line is given by
+The line is supplied by a voltage source with internal resistance &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; and is terminated by resistor&nbsp; $R_{\rm 2}$.&nbsp; The input impedance&nbsp; (German:&nbsp; "Eingangswiderstand" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript&nbsp; "E")&nbsp; of the line is given by
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}

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-{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige Ergebnisse der Leitungstheorie
+{{quiz-Header|Buchseite=Linear_and_Time_Invariant_Systems/Some_Results_from_Line_Transmission_Theory
 }}
-[[File:P_ID1799__LZI_A_4_2.png|right|frame|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]
+[[File:P_ID1799__LZI_A_4_2.png|right|frame|Message line with wiring]]
-Ein Übertragungssystem belege den Bereich von &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; bis &nbsp;$f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.
+A transmission system occupies the range from &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; to &nbsp;$f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.
-Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein&nbsp; (meist kleinerer)&nbsp; Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
+The transmission line used also has a constant wave impedance&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (real), which does not quite correspond to reality, since the wave impedance usually decreases slightly with frequency and often an imaginary part (usually smaller) must also be taken into account.
-Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; gespeist und ist mit dem Widerstand&nbsp; $R_{\rm 2}$&nbsp; abgeschlossen.&nbsp; Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
+The line is supplied by a voltage source with internal resistance &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; and is terminated by resistor&nbsp; $R_{\rm 2}$&nbsp;.&nbsp; The input impedance of the line is given by
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
@@ Line 16: / Line 16: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Das Übertragungsmaß soll &ndash; wieder sehr vereinfacht &ndash; durch eine reelle Funktion angenähert werden:
+The complex propagation function should &ndash; again very simplified &ndash; approximated by a real function:
 :$$\frac {\gamma(f)}{1\,{\rm Np/km}}  =  \frac {\alpha(f)}{1\,{\rm Np/km}}  = \sqrt{f/f_{\rm O}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{\rm O} =  40\,{\rm MHz}\hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+''Notes:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp;   [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Some_Results_from_Line_Transmission_Theory|Some Results from Line Transmission Theory]].
-*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.
+* In particular, it should be examined whether there are reflections.
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für den Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; einer Leitung allgemein?
+{Which statements are valid for the wave impedance &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; of a line in general?
 |type="[]"}
-- $Z_{\rm W}$&nbsp;  ist abhängig von der Leitungslänge.
+- $Z_{\rm W}$&nbsp;  depends on the line length.
-+ $Z_{\rm W}$&nbsp;  kann frequenzabhängig sein.
++ $Z_{\rm W}$&nbsp;  can be frequency dependent.
-+ $Z_{\rm W}$&nbsp;  kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.
++ $Z_{\rm W}$&nbsp;  can take on complex values at certain frequencies.
-{Welche Aussagen gelten für die Beschaltung mit  &nbsp;$R_1 = R_2 = Z_{\rm W}$?
+{Which statements are valid for the wiring with &nbsp;$R_1 = R_2 = Z_{\rm W}$?
 |type="[]"}
-+ Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; ist gleich dem Wellenwiderstand.
++ The input impedance &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; is equal to the wave impedance.
-+ Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; ist frequenzunabhängig.
++ The input impedance &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; is frequency independent.
-- Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; hängt von der Leitungslänge ab.
+- The input impedance &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; depends on the line length.
-+ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.
++ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ indicates the best possible wiring.
-{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; und &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; im&nbsp; '''Kurzschlussfall''' &nbsp; $(R_{\rm 2} = 0)$&nbsp; um weniger als&nbsp; $1\%$?
+{At which line length &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; do &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; and &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; differ by less than&nbsp; $1\%$ in the&nbsp; '''short-circuit case''' &nbsp; $(R_{\rm 2} = 0)$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $  { 5.3 3% } $\ \rm km$
@@ Line 54: / Line 54: @@
-{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; von &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; im&nbsp; '''Leerlauf''' &nbsp; $(R_2 &#8594; &#8734;)$ um weniger als &nbsp;$1\%$?
+{At what line length &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; do &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; differ from &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; in&nbsp; '''idle''' &nbsp; $(R_2 &#8594; &#8734;)$ by less than &nbsp;$1\%$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$
@@ Line 63: / Line 63: @@
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; <u>Solutions 2 and 3</u> are correct:
-*Der Wellenwiderstand&nbsp;  $Z_{\rm W}$&nbsp; ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
+*The wave impedance&nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; is defined as the quotient of voltage and current of the wave propagating along the line.
-*Der Wellenwiderstand &nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; ist unabhängig vom Ort.
+*The wave impedance &nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; is independent of the location.
-*Deshalb ist&nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; auch unabhängig von der Leitungslänge&nbsp; $l$&nbsp; und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ und $C\hspace{0.08cm}'$ bestimmt.
+*Therefore,&nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; is also independent of the line length&nbsp; $l$&nbsp; and is determined solely by the primary line parameters $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ and $C\hspace{0.08cm}'$.
-*Die im Theorieteil angegebene Gleichung
+*The following equation given in the theory section
 :$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.08cm}'}}
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$
-macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.
+makes it clear that the wave impedance does depend on the frequency and is generally also complex-valued.
-Anzumerken ist, dass der Wellenwiderstand kein Widerstand im Sinne eines Verbrauchers ist:
+It should be noted that wave impedance is not a resistor in the sense of a user:
-*Der Wellenwiderstand charakterisiert die Leitung nicht als verlustbehaftetes Element.
+*The wave impedance does not characterize the line as a lossy element.
-*Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand.
+*Even a lossless line has a wave impedance.
-*Ebenso ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle stets ein Wellenwiderstand definiert.
+*Similarly, a wave impedance is always defined in the propagation of an electromagnetic wave.
-'''(2)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand&nbsp; $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
+'''(2)'''&nbsp; With the terminating resistor&nbsp; $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; the resistance value transformed to the beginning of the line is also equal to the characteristic impedance, independent of the line length:
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
@@ Line 88: / Line 88: @@
   {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
   Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
+<u>Solutions 1, 2 and 4</u> are correct:
-*Da in der Aufgabenstellung&nbsp; $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$&nbsp; als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand&nbsp;  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$&nbsp; frequenzunabhängig.
+*Since&nbsp; $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$&nbsp; was assumed to be frequency-independent in the exercise, the input impedance&nbsp;  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$&nbsp; is also frequency-independent.
-*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit  reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen  vermieden werden.
+*In contrast, with frequency-dependent wave impedance with real termination, reflections cannot be avoided for all frequencies.
-*Die Beschaltung&nbsp; $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$&nbsp; ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
+*Die Beschaltung&nbsp; $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$&nbsp; is to be aimed at, since then the maximum power is delivered by the source.

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