Aufgaben:Exercise 4.5: Pseudo Noise Modulation - Revision history

Guenter at 17:22, 4 March 2023

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Guenter at 16:59, 4 March 2023

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Guenter at 16:56, 4 March 2023

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Guenter at 16:51, 4 March 2023

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Noah at 18:08, 2 March 2023

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Noah at 18:08, 2 March 2023

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Noah at 20:55, 28 February 2023

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 '''(1)'''&nbsp; The&nbsp; <u>last solution</u>&nbsp; is correct:
 *We are dealing here with an optimal receiver.
 *Without noise,&nbsp; the signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; within each bit is constantly equal to&nbsp; $+1$&nbsp; or&nbsp; $-1$.
 *From the given equation for the integrator
 :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t $$
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 '''(2)'''&nbsp; Again the&nbsp; <u>last solution</u>&nbsp; is correct:
-* In the noise&ndash; and interference-free case &nbsp; ⇒ &nbsp; $n(t) = 0$,&nbsp; the twofold multiplication by&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; can be omitted,
+* In the noise-free and interference-free case &nbsp; ⇒ &nbsp; $n(t) = 0$,&nbsp; the twofold multiplication by&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; can be omitted,
 *so that the upper model is identical to the lower model.
@@ Line 76: / Line 79: @@
 '''(3)'''&nbsp; <u>Solution 1</u>&nbsp; is correct:
 *Since both models are identical in the noise-free case,&nbsp; only the noise signal has to be adjusted: &nbsp; $n'(t) = n(t) · c(t)$.
 *In contrast,&nbsp; the other two solutions are not applicable:
 *The integration must still be done over&nbsp; $T = J · T_c$&nbsp; and the PN modulation does not reduce the AWGN noise.
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 '''(4)'''&nbsp; The&nbsp; <u>last solution</u>&nbsp; is correct:
 *Multiplying the AWGN noise by the high-frequency&nbsp; $±1$ signal&nbsp; $c(t)$,&nbsp; the product is also Gaussian and white.
-*Because of &nbsp;${\rm E}\big[c^2(t)\big] = 1$,&nbsp; the noise variance is not changed either.&nbsp; Thus:
 *The equation&nbsp; $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt {{2 E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$&nbsp; valid for BPSK is also applicable for PN modulation,&nbsp; independent of spreading factor&nbsp; $J$&nbsp; and specific spreading sequence.
 *Ergo:&nbsp; For AWGN noise,&nbsp; band spreading neither increases nor decreases the error probability.
 {{ML-Fuß}}

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 - The noise power &nbsp;$σ_n^2$&nbsp; must be reduced by a factor of &nbsp;$J$.&nbsp;
-{What is the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; for &nbsp;$10 \lg \  (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm  dB$&nbsp; for PN modulation?&nbsp; <br>Note: &nbsp; For BPSK, the following applies in this case: &nbsp; $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.
+{What is the bit error probability &nbsp;$(p_{\rm B})$&nbsp; for &nbsp;$10 \lg \  (E_{\rm B}/N_0) = 6\ \rm  dB$&nbsp; for PN modulation? &nbsp; <u>Note:</u> &nbsp; For BPSK applies in this case: &nbsp; $p_{\rm B} ≈ 2.3 · 10^{–3}$.
 |type="()"}
 - The larger &nbsp;$J$&nbsp; is chosen, the smaller &nbsp;$p_{\rm B}$ is.

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 [[File:EN_Bei_A_4_5.png|right|frame|Equivalent circuit of PN modulation and BPSK]]
-The graph above shows the equivalent circuit of "pseudo-noise" modulation&nbsp; ( ''Direct Sequence Spread Spectrum'', abbreviated&nbsp; '''DS-SS''')&nbsp; in the equivalent low-pass region. $n(t)$&nbsp; denotes AWGN noise.
+The graph above shows the equivalent circuit of "pseudo-noise" modulation&nbsp; (''Direct Sequence Spread Spectrum'', abbreviated&nbsp; '''DS-SS''')&nbsp; in the equivalent low-pass region. $n(t)$&nbsp; denotes AWGN noise.
 Below is sketched the low pass model of&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|"Binary Phase Shift Keying"]].

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-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Welche Detektionssignalwerte sind bei BPSK  im rauschfreien Fall möglich?
+{What detection signal values are possible with BPSK in the noise-free case?
 |type="[]"}
-- $d(\nu T)$&nbsp; ist gaußverteilt.
+- $d(\nu T)$&nbsp; is Gaussian distributed.
-- $d(\nu T)$&nbsp; kann die Werte&nbsp; $+1, \ 0$&nbsp; und&nbsp; $–1$&nbsp; annehmen.
+- $d(\nu T)$&nbsp; can take the values&nbsp; $+1, \ 0$&nbsp; and&nbsp; $-1$&nbsp;.
-+ Es sind nur die Werte&nbsp; $d(\nu T) = +1$&nbsp; und&nbsp; $d(\nu T) = -1$&nbsp; möglich.
++ Only the values&nbsp; $d(\nu T) = +1$&nbsp; and&nbsp; $d(\nu T) = -1$&nbsp; are possible.
-{Welche Werte sind bei PN–Modulation im rauschfreien Fall möglich?
+{What values are possible with PN modulation in the noise-free case?
 |type="[]"}
-- $d(\nu T)$&nbsp; ist gaußverteilt.
+- $d(\nu T)$&nbsp; is Gaussian distributed.
-- $d(\nu T)$&nbsp; kann die Werte&nbsp; $+1, \ 0$&nbsp; und&nbsp; $–1$&nbsp; annehmen.
+- $d(\nu T)$&nbsp; can take the values&nbsp; $+1, \ 0$&nbsp; and&nbsp; $-1$&nbsp;.
-+ Es sind nur die Werte&nbsp; $d(\nu T) = +1$&nbsp; und&nbsp; $d(\nu T) = -1$&nbsp; möglich.
++ Only the values&nbsp; $d(\nu T) = +1$&nbsp; and&nbsp; $d(\nu T) = -1$&nbsp; are possible.
-{Welche Modifikation muss am BPSK–Modell vorgenommen werden, damit es auch für die PN–Modulation anwendbar ist?
+{What modification must be made to the BPSK model to make it applicable to PN modulation?
 |type="[]"}
-+ Das Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; muss durch&nbsp; $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$&nbsp; ersetzt werden.
++ The noise&nbsp; $n(t)$&nbsp; must be replaced by&nbsp; $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$&nbsp;.
-- Die Integration muss nun über&nbsp; $J \cdot T$&nbsp; erfolgen.
+- The integration must now be done over&nbsp; $J \cdot T$&nbsp; .
-- Die Rauschleistung muss um den Faktor&nbsp; $J$&nbsp; vermindert werden.
+- The noise power must be reduced by a factor of&nbsp; $J$&nbsp;.
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_{0}) = 6 \ \rm dB$&nbsp; bei PN–Modulation? <br>''Hinweis:'' &nbsp; Bei BPSK gilt in diesem Fall: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{–3}$.
+{What is the bit error probability&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; for&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_{0}) = 6 \ \rm dB$&nbsp; for PN modulation? <br>''Note:'' &nbsp; For BPSK, in this case: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 2.3 \cdot 10^{-3}$.
 |type="()"}
-- Je größer&nbsp; $J$&nbsp; gewählt wird, desto kleiner ist&nbsp; $p_{\rm B}$.
+- The larger&nbsp; $J$&nbsp; is chosen, the smaller&nbsp; $p_{\rm B}$ is.
-- Je größer&nbsp; $J$&nbsp; gewählt wird, desto größer ist&nbsp; $p_{\rm B}$.
+- The larger&nbsp; $J$&nbsp; is chosen, the larger&nbsp; $p_{\rm B}$.
-+ Es ergibt sich unabhängig von&nbsp; $J$&nbsp; stets der Wert&nbsp; $2.3 \cdot 10^{–3}$.
++ It always results in the value&nbsp; $2.3 \cdot 10^{-3}$ regardless of&nbsp; $J$&nbsp;.
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Correct is the <u>last proposed solution</u>:
-*Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
+*This is an optimal receiver.
-*Ohne Rauschen ist Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.
+*Without noise, signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; within each bit is constant equal to $+1$ or $-1$.
-*Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator folgt, dass&nbsp; $d(\nu T)$&nbsp; nur die Werte $±1$ annehmen kann:
+*From the given equation for the integrator, it follows that&nbsp; $d(\nu T)$&nbsp; can only take the values $±1$:
 :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist wieder der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Correct again is the <u>last proposed solution</u>:
-*Im rauschfreien Fall &nbsp; &rArr; &nbsp; $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, –1\} \ \Rightarrow \  c(t)^{2} = 1$&nbsp; verzichtet werden,
+*In the noise-free case &nbsp; &rArr; &nbsp; $n(t) = 0$, the twofold multiplication with&nbsp; $c(t) ∈ \{+1, -1\} \ \Rightarrow \ c(t)^{2} = 1$&nbsp; can be omitted,
-*so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.
+*so that the upper model is identical to the lower model.
-'''(3)'''&nbsp;  Zutreffend ist nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Only the <u>proposed solution 1</u> is applicable:
-*Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: &nbsp; $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$.
+*Since both models are identical in the noise-free case, only the noise signal needs to be adjusted: &nbsp; $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$.
-*Die Vorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend: &nbsp; Die Integration muss weiterhin über&nbsp; $T = J \cdot T_{\rm c}$&nbsp; erfolgen und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.
+*Suggestions 2 and 3, on the other hand, are not applicable: &nbsp; Integration must still be done over&nbsp; $T = J \cdot T_{\rm c}$&nbsp; and PN modulation does not reduce AWGN noise.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.:
+'''(4)'''&nbsp; Correct is the <u>last proposed solution</u>:
-*Multipliziert man das AWGN–Rauschen mit dem hochfrequenten&nbsp; $±1$–Signal&nbsp; $c(t)$, so ist das Rauschen ebenfalls gaußförmig und weiß.
+*Multiplying the AWGN noise by the high frequency&nbsp; $±1$ signal&nbsp; $c(t)$, the noise is also Gaussian and white.
-*Wegen&nbsp; $E[c^{2}(t)] = 1$&nbsp; wird auch die Rauschvarianz nicht verändert. Die für BPSK gültige Gleichung
+*Because&nbsp; $E[c^{2}(t)] = 1$&nbsp; the noise variance is also not changed. The equation valid for BPSK
-:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
+:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{-0.05cm} \right )$$
-:ist somit auch bei der PN&ndash;Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor&nbsp; $J$&nbsp; und von der spezifischen Spreizfolge.
+:is thus also applicable to PN&ndash;modulation and is independent of the spreading factor&nbsp; $J$&nbsp; and of the specific spreading sequence.
-:&nbsp; &rArr; &nbsp; '''Bei AWGN&ndash;Rauschen wird also die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert'''.
+:&nbsp; &rArr; &nbsp; '''Thus, in the case of AWGN noise, the error probability is neither increased nor decreased by band spreading'''.
 {{ML-Fuß}}

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 The graph above shows the equivalent circuit of "pseudo-noise" modulation&nbsp; (&nbsp; ''Direct Sequence Spread Spectrum'', abbreviated&nbsp; '''DS-SS''')&nbsp; in the equivalent low-pass region. $n(t)$&nbsp; denotes AWGN noise.
-Unten ist das Tiefpass–Modell der&nbsp; [[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|binären Phasenmodulation]]&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Binary Phase Shift Keying'',&nbsp; '''BPSK''') skizziert.
+Below is sketched the low pass model of&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|"Binary Phase Shift Keying"]].
-*Das Tiefpass–Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal&nbsp; $q(t) ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; mit Rechteckdauer&nbsp; $T$&nbsp; gesetzt ist.
+*The low-pass transmit signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; is set equal to the rectangular source signal&nbsp; $q(t) ∈ \{+1, -1\}$&nbsp; with rectangular duration&nbsp; $T$&nbsp; only for reasons of uniform representation.
-*Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:
+*The integrator function can be written as follows:
 :$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{0.03cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem&nbsp; $±1$–Spreizsignal&nbsp; $c(t)$&nbsp; bei Sender und Empfänger, wobei von&nbsp; $c(t)$&nbsp; lediglich der Spreizgrad&nbsp; $J$&nbsp; bekannt ist.
+*The two models differ by multiplication by the&nbsp; $±1$-spread signal&nbsp; $c(t)$&nbsp; at the transmitter and receiver, where only the degree of spread&nbsp; $J$&nbsp; is known from&nbsp; $c(t)$&nbsp;.
-*Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge&nbsp; (M–Sequenz oder Walsh–Funktion)&nbsp; nicht von Bedeutung.
+*For the solution of this exercise, the specification of the specific spreading sequence&nbsp; (M sequence or Walsh function)&nbsp; is not important.
-Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit
+What needs to be investigated is whether the lower BPSK model can also be applied in PN modulation and whether the BPSK error probability
-:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$
+:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{-0.05cm} \right )$$
-auch für die PN–Modulation gültig ist, bzw. wie die angegebene Gleichung zu modifizieren ist.
+is also valid for PN modulation, or how to modify the given equation.
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-''Hinweise:''
+Hints:
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/Telecommunications_Aspects_of_UMTS|"Telecommunications Aspects of UMTS"]].
-*Das bei UMTS eingesetzte CDMA–Verfahren firmiert auch unter der Bezeichnung „PN–Modulation”.
+*The CDMA method used in UMTS also goes by the name "PN modulation".
-*Die in dieser Aufgabe verwendete Nomenklatur richtet sich zum Teil nach dem Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/PN–Modulation|PN–Modulation]]&nbsp; im Buch „Modulationsverfahren”.
+*The nomenclature used in this exercise is partly based on the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation|"PN Modulation"]]&nbsp; in the book "Modulation Methods".